Mix Example of Applications of Derivatives Questions in Hindi

(D) दिया गया है $f(x) = x^4 (12 \ln x - 7)$.
प्रथम अवकलज: $f'(x) = 4x^3 (12 \ln x - 7) + x^4 (\frac{12}{x}) = 48x^3 \ln x - 28x^3 + 12x^3 = 48x^3 \ln x - 16x^3 = 16x^3 (3 \ln x - 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$3 \ln x = 1 \implies \ln x = 1/3 \implies x = e^{1/3}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज $f''(x) = 48x^2 (3 \ln x - 1) + 16x^3 (3/x) = 144x^2 \ln x - 48x^2 + 48x^2 = 144x^2 \ln x$ है। $x = e^{1/3}$ पर,$f''(e^{1/3}) = 144(e^{1/3})^2 (1/3) > 0$,अतः $x = e^{1/3}$ निम्निष्ठ बिंदु है।
अवतलता के लिए,$f''(x) = 144x^2 \ln x$ की जाँच करने पर,$(0, 1)$ में $\ln x < 0$ है,इसलिए $f''(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि ग्राफ नीचे की ओर अवतल है।
$x = 1$ पर,$f(1) = 1^4 (12 \ln 1 - 7) = -7$ है। चूँकि $f''(1) = 144(1)^2 \ln 1 = 0$ और $x=1$ पर $f''(x)$ का चिह्न बदलता है,इसलिए $(1, -7)$ नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः,सभी कथन सत्य हैं।

(C) दिया गया समीकरण $2e^{|x|} \tan^{-1}|x| = 1$ है।
इसे $2 \tan^{-1}|x| = e^{-|x|}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $f(x) = 2 \tan^{-1}|x|$ और $g(x) = e^{-|x|}$ है।
चूंकि दोनों फलन सम (even) हैं,हम $x \ge 0$ के लिए व्यवहार का विश्लेषण कर सकते हैं।
$x \ge 0$ के लिए,$f(x) = 2 \tan^{-1}x$ और $g(x) = e^{-x}$ है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 2 \tan^{-1}(0) = 0$ और $g(0) = e^0 = 1$ है। अतः,$f(0) < g(0)$ है।
जैसे-जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to 2(\frac{\pi}{2}) = \pi \approx 3.14$ और $g(x) \to 0$ होता है।
चूंकि $f(x)$ $x \ge 0$ के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है और $g(x)$ $x \ge 0$ के लिए एक निरंतर ह्रासमान फलन है,इसलिए $x > 0$ के लिए ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु होना चाहिए।
$y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,$x < 0$ के लिए भी ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।
इसलिए,कुल $2$ हल हैं।

(C) फलन $f(x) = \min (\{x\}, \{e^{-x}\})$.
$1$. असंतत बिंदु: भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ पूर्णांकों $x = 1, 2, \dots, 9$ पर असंतत है। अतः,असंतत बिंदुओं की संख्या $C = 9$ है।
$2$. अवकलनीय न होने वाले बिंदु: फलन निम्नलिखित बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है:
- असंतत बिंदु: $9$ बिंदु।
- जहाँ $\{x\} = \{e^{-x}\}$ होता है: प्रत्येक अंतराल $(n, n+1)$ में,$\{x\} = x-n$ और $\{e^{-x}\}$ एक ह्रासमान फलन है। प्रत्येक अंतराल में एक प्रतिच्छेदन बिंदु होता है जहाँ ग्राफ में एक तीक्ष्ण कोना (sharp corner) बनता है। ऐसे $10$ अंतराल होने के कारण $10$ बिंदु मिलते हैं।
- कुल अवकलनीय न होने वाले बिंदु $D = C + 10 = 9 + 10 = 19$.
अतः,$C + D = 9 + 19 = 28$.

(A) दिया गया है कि $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx$,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदुओं $\alpha$ और $\beta$ के आधार पर समाकलन को तीन भागों में विभाजित करने पर:
$\int_{a}^{\alpha} (f(x) - g(x)) dx + \int_{\alpha}^{\beta} (f(x) - g(x)) dx + \int_{\beta}^{b} (f(x) - g(x)) dx = 0$.
ग्राफ से,अंतराल $(a, \alpha)$ में,$f(x) > g(x)$,इसलिए क्षेत्रफल $A_1 = \int_{a}^{\alpha} (f(x) - g(x)) dx$.
अंतराल $(\alpha, \beta)$ में,$g(x) > f(x)$,इसलिए क्षेत्रफल $A_2 = \int_{\alpha}^{\beta} (g(x) - f(x)) dx = -\int_{\alpha}^{\beta} (f(x) - g(x)) dx$.
अंतराल $(\beta, b)$ में,$f(x) > g(x)$,इसलिए क्षेत्रफल $A_3 = \int_{\beta}^{b} (f(x) - g(x)) dx$.
इन मानों को समाकलन समीकरण में रखने पर: $A_1 - A_2 + A_3 = 0$,जिसका अर्थ है $A_2 = A_1 + A_3$.
अतः,$\int_{\alpha}^{\beta} (g(x) - f(x)) dx = \int_{a}^{\alpha} (f(x) - g(x)) dx + \int_{\beta}^{b} (f(x) - g(x)) dx$.

(A) दिया गया है $f(x) = x \cos^{-1}(-\sin |x|)$। चूंकि $\cos^{-1}(-u) = \pi - \cos^{-1}(u)$,इसलिए $f(x) = x(\pi - \cos^{-1}(\sin |x|))$।
$\cos^{-1}(\sin |x|) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - |x|)) = \frac{\pi}{2} - |x|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $|x| \in [0, \frac{\pi}{2}]$,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = x(\pi - (\frac{\pi}{2} - |x|)) = x(\frac{\pi}{2} + |x|)$।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = x(\frac{\pi}{2} + x) = \frac{\pi}{2}x + x^2$। अतः $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{2} + 2x$।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = x(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{\pi}{2}x - x^2$। अतः $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{2} - 2x$।
$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर: $LHD = \lim_{x \to 0^-} (\frac{\pi}{2} - 2x) = \frac{\pi}{2}$ और $RHD = \lim_{x \to 0^+} (\frac{\pi}{2} + 2x) = \frac{\pi}{2}$। चूंकि $LHD = RHD$,इसलिए $f$,$x=0$ पर अवकलनीय है और $f^{\prime}(0) = \frac{\pi}{2}$।
अब,$x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ के लिए,$f^{\prime\prime}(x) = -2 < 0$,इसलिए $f^{\prime}$ ह्रासमान है।
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$f^{\prime\prime}(x) = 2 > 0$,इसलिए $f^{\prime}$ वर्धमान है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(N/A) दिया गया समीकरण: $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}[(x-a)^{2}]+\frac{d}{d x}[(y-b)^{2}]=\frac{d}{d x}(c^{2})$
$2(x-a) + 2(y-b) \cdot \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x} = -\frac{x-a}{y-b}$ --- $(1)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -\frac{d}{d x} \left[ \frac{x-a}{y-b} \right] = -\frac{(y-b) \cdot 1 - (x-a) \cdot \frac{d y}{d x}}{(y-b)^{2}}$
$(1)$ से $\frac{d y}{d x}$ का मान रखने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -\frac{(y-b) - (x-a) \cdot \left( -\frac{x-a}{y-b} \right)}{(y-b)^{2}} = -\frac{(y-b)^{2} + (x-a)^{2}}{(y-b)^{3}} = -\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}$
अब,व्यंजक का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} = \frac{\left[1 + \frac{(x-a)^{2}}{(y-b)^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}} = \frac{\left[\frac{(y-b)^{2} + (x-a)^{2}}{(y-b)^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}} = \frac{\left[\frac{c^{2}}{(y-b)^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}}$
$= \frac{\frac{c^{3}}{|y-b|^{3}}}{-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}} = -c$
चूंकि $-c$ एक अचर है जो $a$ और $b$ से स्वतंत्र है,अतः सिद्ध हुआ।

(A) दिया गया है $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$। चूँकि $f(2) = 0$,$8 - 24 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 16$।
चूँकि $f(4) = 0$,$64 - 96 + 4a + b = 0 \Rightarrow 4a + b = 32$।
इन्हें हल करने पर,$a = 8, b = 0$ प्राप्त होता है। अतः $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 8x$।
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 8$। $f^{\prime}(x) = 0$ के मूल $x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं।
$(S_1)$ के लिए: $f^{\prime}(2) = -4$ और $f^{\prime}(4) = 8$। चूँकि $f^{\prime}(x)$ संतत है,मध्यमान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,ऐसा $x_{1} \in (2, 4)$ विद्यमान है कि $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ (क्योंकि $-1 \in (-4, 8)$)। साथ ही,$f^{\prime}(x)$ का एक मूल $x_{2} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 3.15 \in (2, 4)$ है। चूँकि $f^{\prime}(3) = 27 - 36 + 8 = -1$,हमारे पास $x_{1} = 3 < x_{2} \approx 3.15$ है। अतः $(S_1)$ सत्य है।
$(S_2)$ के लिए: $f$,$(2, x_{4})$ पर ह्रासमान है और $(x_{4}, 4)$ पर वर्धमान है जहाँ $x_{4} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। $f(x_{4}) = (2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{3} - 6(2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{2} + 8(2 + \frac{2}{\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3\sqrt{3}}$।
$2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4}) = \sqrt{3}(-\frac{16}{3\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3} \approx -5.33$। अतः $f^{\prime}(x_{3}) = -\frac{8}{3} \approx -2.67$। चूँकि $f^{\prime}(x)$,$(2, 4)$ पर $[-4, 8]$ के सभी मान ग्रहण करता है,ऐसा $x_{3}$ विद्यमान है। अतः $(S_2)$ सत्य है।

(C) दिया गया है $f(x) = 4 \log_{e}(x-1) - 2x^2 + 4x + 5$ जहाँ $x > 1$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{4}{x-1} - 4(x-1)$.
$1 < x < 2$ के लिए,$(x-1) < 1$,इसलिए $\frac{4}{x-1} > 4$,जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$. अतः,$f$ अंतराल $(1, 2)$ में वर्धमान है।
$x > 2$ के लिए,$(x-1) > 1$,इसलिए $\frac{4}{x-1} < 4$,जिसका अर्थ है $f'(x) < 0$. अतः,$f$ अंतराल $(2, \infty)$ में ह्रासमान है। (विकल्प $A$ सही है)।
चूंकि $f$ अंतराल $(1, 2)$ में बढ़ता है और $x=2$ पर अधिकतम मान $f(2) = 5$ प्राप्त करता है,और $(2, \infty)$ में घटता है,इसलिए $f(x) = -1$ के ठीक दो हल हैं। (विकल्प $B$ सही है)।
$f(e)$ और $f(e+1)$ की जाँच करें:
$f(e) > 0$ और $f(e+1) < 0$ होने के कारण,अंतराल $(e, e+1)$ में एक मूल स्थित है। (विकल्प $D$ सही है)।
$f'(e) - f''(2)$ की गणना करें:
$f'(e) = \frac{4}{e-1} - 4(e-1) \approx -4.54$.
$f''(x) = -\frac{4}{(x-1)^2} - 4$,इसलिए $f''(2) = -8$.
$f'(e) - f''(2) = -4.54 - (-8) = 3.46 > 0$.
अतः,$f'(e) - f''(2) < 0$ गलत है। (विकल्प $C$ गलत है)।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$।
ध्यान दें कि $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)^3 + (x-1)$।
अतः,$f(x) = \sin x + ((x-1)^3 + (x-1)) \cos x$।
अवकलन करने पर:
$f'(x) = \cos x + [3(x-1)^2 + 1] \cos x - [(x-1)^3 + (x-1)] \sin x$
$f'(x) = \cos x [3(x-1)^2 + 2] + (1-x)((x-1)^2 + 1) \sin x$।
$x \in (0, 1)$ के लिए,$\cos x > 0$,$\sin x > 0$,$(1-x) > 0$,और कोष्ठक में दिए गए पद धनात्मक हैं।
इस प्रकार,$f'(x) > 0$ सभी $x \in (0, 1)$ के लिए,जिसका अर्थ है कि $f$ निरंतर वर्धमान (monotone) है।
साथ ही,$f(0) = -2 < 0$ और $f(1) = \sin(1) > 0$।
चूंकि $f$ सतत है और $(0, 1)$ में अपना चिह्न बदलता है,Intermediate Value Theorem के अनुसार,$f$ का $(0, 1)$ में एक शून्य है।
अतः,कथन $I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ और $g(x) = \ln(\sqrt{1+x^2} + x)$ जहाँ $x \in [0, 3]$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें:
$f'(x) = 2 + \frac{1}{1+x^2}$
$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + x} \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + 1\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + x} \cdot \frac{x + \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
$x \in [0, 3]$ के लिए:
$f'(x) \in [2 + \frac{1}{1+3^2}, 2 + \frac{1}{1+0^2}] = [2.1, 3]$.
$g'(x) \in [\frac{1}{\sqrt{1+3^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+0^2}}] = [\frac{1}{\sqrt{10}}, 1] \approx [0.316, 1]$.
चूंकि $f'(x) > g'(x)$ सभी $x \in [0, 3]$ के लिए है,विकल्प $A$ गलत है।
$f(x)$ और $g(x)$ दोनों $[0, 3]$ पर वर्धमान फलन हैं।
अतः,$\max f(x) = f(3) = 6 + \tan^{-1} 3$ और $\max g(x) = g(3) = \ln(3 + \sqrt{10})$.
चूंकि $6 + \tan^{-1} 3 > 6$ और $\ln(3 + \sqrt{10}) \approx \ln(6.16) < 2$,यह स्पष्ट है कि $f(3) > g(3)$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) $m$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 2^x - x^2 = 0$ के मूलों की संख्या देखते हैं,जो $2^x = x^2$ के बराबर है।
ग्राफ से,हम देख सकते हैं कि वक्र $y = 2^x$ और $y = x^2$ तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं: एक ऋणात्मक क्षेत्र में (मान लीजिए $\alpha$),एक $x = 2$ पर,और एक $x = 4$ पर। अतः,$m = 3$ है।
$n$ ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x) = 2^x \ln 2 - 2x = 0$ के मूलों की संख्या देखते हैं,जो $2^x \ln 2 = 2x$ के बराबर है।
$y = 2^x \ln 2$ और $y = 2x$ के ग्राफ से,हम देख सकते हैं कि ये दो वक्र दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,$n = 2$ है।
इसलिए,$m + n = 3 + 2 = 5$।

(C, A, B) $1.$ $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$. चूंकि $f(-1) = -2$ और $f(-1/2) = 0.25$,इसलिए मूल $s$,$(-1, -1/2)$ में स्थित है। विकल्पों की जांच करने पर,$(C)$ सही है।
$2.$ $t = |s|$। चूंकि $s \in (-3/4, -1/2)$,इसलिए $t \in (1/2, 3/4)$। क्षेत्रफल $A = \int_0^t (4x^3+3x^2+2x+1) dx = t^4+t^3+t^2+t$। $t=1/2$ के लिए $A = 0.9375$ और $t=3/4$ के लिए $A \approx 2.05$। अतः विकल्प $(A)$ सही है।
$3.$ $f'(x) = 12x^2 + 6x + 2$। $f''(x) = 24x + 6$। $x = -1/4$ पर $f''(x) = 0$। $x > -1/4$ के लिए $f''(x) > 0$ (वर्धमान) और $x < -1/4$ के लिए $f''(x) < 0$ (ह्रासमान)। अतः $(B)$ सही है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$.
भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{5x(x+4)}{(x^2+2x+4)^2}$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = -4$ हैं।
$x \in (-4, 0)$ के लिए,$f'(x) < 0$,इसलिए $f$ ह्रासमान है। अतः,$(-2, -1)$ में $f$ ह्रासमान है,इसलिए $(A)$ $TRUE$ है।
$x \in (1, 2)$ के लिए,$f'(x) > 0$,इसलिए $f$ वर्धमान है। अतः $(B)$ $TRUE$ है।
परिसर ज्ञात करने के लिए,$f(0) = -\frac{3}{2}$ और $f(-4) = \frac{11}{6}$ प्राप्त करें।
जब $x \rightarrow \pm \infty$,तब $f(x) \rightarrow 1$.
परिसर $[-\frac{3}{2}, \frac{11}{6}]$ है।
चूंकि परिसर $R$ नहीं है,इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है। अतः,$(C)$ और $(D)$ $FALSE$ हैं।

(C) दिया गया है $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f^{\prime}(x)=e^{x^2}(x-2)(x-3)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x)=0$ रखने पर,हमें $x=2$ और $x=3$ प्राप्त होते हैं।
$f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$x < 2$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।
$2 < x < 3$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ (ह्रासमान)।
$x > 3$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।
अतः,$f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=3$ पर स्थानीय निम्नतम मान है। यह सिद्ध करता है कि $(A), (B)$ और $(D)$ सही हैं।
अब,$f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [e^{x^2}(x^2-5x+6)] = e^{x^2}(2x)(x^2-5x+6) + e^{x^2}(2x-5) = e^{x^2}(2x^3-10x^2+14x-5)$.
माना $g(x) = 2x^3-10x^2+14x-5$ है। चूँकि $g(0) = -5$ और $g(1) = 1$,मध्यवर्ती मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 1)$ विद्यमान है जिसके लिए $g(c) = 0$,अर्थात $f^{\prime \prime}(c) = 0$ है। अतः,$(C)$ भी सही है।
इसलिए,सभी विकल्प $(A), (B), (C), (D)$ सही हैं।

(B) $(P)$ माना $P(x) = 10x^3 - 45x^2 + 60x + 35$. तब $P'(x) = 30(x-1)(x-2)$.
अंतराल $[1, 2]$ में $P(x)$ घटता है,अतः $P(x)$ का परिसर $[55, 60]$ है।
$f(x) = [P(x)/n]$ के सतत होने के लिए,$P(x)/n$ के परिसर में कोई पूर्णांक नहीं होना चाहिए। $n=9$ के लिए परिसर $[55/9, 60/9] = [6.11, 6.66]$ है,जिसमें कोई पूर्णांक नहीं है। अतः $n=9$ न्यूनतम मान है।
$(Q)$ $g(x)$ के वर्धमान होने के लिए $g'(x) = (2n^2 - 13n - 15)(3x^2 + 3) \geq 0$ होना चाहिए। अतः $2n^2 - 13n - 15 \geq 0$,जिसे हल करने पर $n \geq 7.5$ प्राप्त होता है। सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n=8$ है।
$(R)$ $h'(x) = (x^2-9)^{n-1} [q(x)]$. $x=3$ पर स्थानीय निम्निष्ठ के लिए अवकलज का चिह्न बदलना चाहिए,जिसके लिए $n-1$ विषम होना चाहिए,अर्थात $n$ सम होना चाहिए। $5$ से बड़ी सबसे छोटी सम संख्या $n=6$ है।
$(S)$ $\sin|x-k|$ बिंदु $x=k$ पर अवकलनीय नहीं है। $k=0, 1, 2, 3, 4$ के लिए $5$ बिंदु प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$।
$f^{\prime}(x)=0$ के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+\sin x}} \cdot (1+\cos x) = 0$।
इसका अर्थ है $1+\cos x = 0$,इसलिए $\cos x = -1$।
अतः,$x = (2n+1)\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
अब,इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f((2n+1)\pi) = \sqrt{(2n+1)\pi + \sin((2n+1)\pi)}$।
चूँकि सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $\sin((2n+1)\pi) = 0$ होता है,इसलिए $f((2n+1)\pi) = \sqrt{(2n+1)\pi}$।
मान लीजिए $x = (2n+1)\pi$ और $y = f(x) = \sqrt{x}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = x$ प्राप्त होता है,जो एक परवलय का समीकरण है।

(D) $A. f(x) = 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$
$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 - 12x + 6 = 6(2x^3 - x^2 - 2x + 1) = 6(x-1)(2x-1)(x+1)$
$x > 1$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f(x)$ अंतराल $[1, \infty)$ में वर्धमान है। चूँकि $[2, \infty) \subset [1, \infty)$,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[2, \infty)$ में वर्धमान है। अतः,$A \rightarrow V$.
$B. f(x) = x + \frac{1}{x}, x < 0$
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$
$x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान)। $-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ (ह्रासमान)।
$x = -1$ पर,$f'(-1) = 0$ और $x < 0$ के लिए $f''(x) = \frac{2}{x^3} < 0$। अतः,$f(x)$ का $x = -1$ पर अधिकतम मान है। अतः,$B \rightarrow II$.
$C. f(x) = x^4(7 - x)^3$
$f'(x) = 4x^3(7-x)^3 - 3x^4(7-x)^2 = x^3(7-x)^2 [4(7-x) - 3x] = x^3(7-x)^2(28 - 7x) = 7x^3(7-x)^2(4-x)$
क्रांतिक बिंदु $x = 0, 4, 7$ हैं। $x = 4$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्नों की जाँच करने पर: $x < 4$ के लिए,$f'(x) > 0$; $x > 4$ के लिए,$f'(x) < 0$। अतः,$f(x)$ का $x = 4$ पर अधिकतम मान है। अतः,$C \rightarrow III$.
$D. f(x) = x^4 + (8-x)^4$
$f'(x) = 4x^3 - 4(8-x)^3 = 4(x^3 - (8-x)^3)$
$f'(x) = 0$ रखने पर $\Rightarrow x = 8-x \Rightarrow x = 4$.
$f''(x) = 12x^2 + 12(8-x)^2$। चूँकि $f''(4) = 12(16) + 12(16) > 0$,इसलिए $f(x)$ का $x = 4$ पर न्यूनतम मान है। अतः,$D \rightarrow I$.
सही सुमेलन: $A-V, B-II, C-III, D-I$.