Tangent and Normal Questions in Gujarati

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=\pi e^{\frac{-x}{\pi}}$ છે.
વક્ર $y$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x=0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા,આપણને $y = \pi e^{0} = \pi$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(0, \pi)$ છે.
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \pi \cdot e^{\frac{-x}{\pi}} \cdot \left(-\frac{1}{\pi}\right) = -e^{\frac{-x}{\pi}}$.
બિંદુ $(0, \pi)$ પર ઢાળ $m$:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, \pi)} = -e^{0} = -1$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ અને ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - \pi = -1(x - 0)$.
$y - \pi = -x$,જેનું સાદું રૂપ $x + y = \pi$ થાય છે.

(B) જે બિંદુએ વક્રનો સ્પર્શક સમક્ષિતિજ હોય,તેનો અર્થ એ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ શૂન્ય છે.
આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = \frac{16}{x} - x^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{16}{x} - x^2) = -\frac{16}{x^2} - 2x$.
સ્પર્શક સમક્ષિતિજ હોવા માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$-\frac{16}{x^2} - 2x = 0$.
$-\frac{16 + 2x^3}{x^2} = 0$.
$16 + 2x^3 = 0 \implies 2x^3 = -16 \implies x^3 = -8$.
આમ,$x = -2$.
હવે,$y$ શોધવા માટે મૂળ સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$y = \frac{16}{-2} - (-2)^2 = -8 - 4 = -12$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(-2, -12)$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $x=y^2 \dots(i)$ અને $xy=k \dots(ii)$ છે.
$(i)$ પરથી,$x=y^2$. આને $(ii)$ માં મૂકતા,$y^2 \cdot y = k$,તેથી $y^3 = k$,જેનો અર્થ છે $y = k^{1/3}$ અને $x = k^{2/3}$.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} = m_1$.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} = m_2$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$.
$\left(\frac{1}{2y}\right) \left(-\frac{y}{x}\right) = -1 \Rightarrow \frac{1}{2x} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
$x = y^2$ હોવાથી,$y^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$xy=k$ પરથી,$k^2 = x^2 y^2 = x^2 (x) = x^3$.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$k^2 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
આમ,$8k^2 = 8 \times \frac{1}{8} = 1$.

(B) આપેલ વક્ર: $x y^5+2 x^2 y-x^3+y+1=0$
$x=0$ મુકતા,સમીકરણ $0+0-0+y+1=0$ બને છે,જે $y=-1$ આપે છે.
તેથી,સ્પર્શ બિંદુ $(0, -1)$ છે.
સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x y^5) + \frac{d}{dx}(2 x^2 y) - \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(1) = 0$
$y^5 + 5 x y^4 \frac{d y}{d x} + 4 x y + 2 x^2 \frac{d y}{d x} - 3 x^2 + \frac{d y}{d x} = 0$
$(x, y) = (0, -1)$ મુકતા:
$(-1)^5 + 5(0)(-1)^4 \frac{d y}{d x} + 4(0)(-1) + 2(0)^2 \frac{d y}{d x} - 3(0)^2 + \frac{d y}{d x} = 0$
$-1 + 0 + 0 + 0 - 0 + \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x} = 1$
$(0, -1)$ બિંદુએ અને $m=1$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - (-1) = 1(x - 0)$
$y + 1 = x$
$y = x - 1$

(B) આપેલ વક્ર $xy+ax+by=0$ છે.
વક્ર $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1(1)+a(1)+b(1)=0$,જેનો અર્થ છે કે $a+b=-1$ (સમીકરણ $1$).
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $x \frac{dy}{dx} + y + a + b \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx}(x+b) = -(y+a)$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y+a}{x+b}$.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,1)} = -\frac{1+a}{1+b}$ છે.
આપેલ છે કે સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\tan^{-1} 2$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $m = \tan(\tan^{-1} 2) = 2$.
ઢાળ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $-\frac{1+a}{1+b} = 2$,જેનું સાદું રૂપ $-(1+a) = 2(1+b)$,અથવા $a+2b = -3$ (સમીકરણ $2$) થાય છે.
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a+2b) - (a+b) = -3 - (-1)$,જે $b = -2$ આપે છે.
$b = -2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a - 2 = -1$,તેથી $a = 1$.
અંતે,$\frac{a+b}{ab} = \frac{1+(-2)}{(1)(-2)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = \sin 3x$ છે ... $(i)$
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$y = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,બિંદુ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cos 3x$
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = 3 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 3 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{2}}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{-3/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{12} + \frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{12} + \frac{6\sqrt{2}}{12}$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3}x + \frac{\sqrt{2}(6-\pi)}{12}$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3} \left(x + \frac{6-\pi}{4}\right)$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^2=(2x+1)^3$ ... $(i)$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ વક્ર પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. તેથી,$y_1^2=(2x_1+1)^3$.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3(2x+1)^2 \times 2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1)^2}{y}$
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{3(2x_1+1)^2}{y_1}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $(ST)$ = $\left| \frac{y_1}{m} \right| = \left| \frac{y_1}{\frac{3(2x_1+1)^2}{y_1}} \right| = \frac{y_1^2}{3(2x_1+1)^2}$.
સબનોર્મલની લંબાઈ $(SN)$ = $|y_1 m| = \left| y_1 \times \frac{3(2x_1+1)^2}{y_1} \right| = 3(2x_1+1)^2$.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{SN}{(ST)^2}$ શોધવાનો છે:
$\frac{SN}{(ST)^2} = \frac{3(2x_1+1)^2}{\left[ \frac{y_1^2}{3(2x_1+1)^2} \right]^2} = \frac{3(2x_1+1)^2 \times 9(2x_1+1)^4}{y_1^4} = \frac{27(2x_1+1)^6}{y_1^4}$.
કારણ કે $y_1^2 = (2x_1+1)^3$,તેથી $y_1^4 = (2x_1+1)^6$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{SN}{(ST)^2} = \frac{27(2x_1+1)^6}{(2x_1+1)^6} = 27$.

(C) આપેલ વક્રના સમીકરણો: $x=a(\cos \theta+\theta \sin \theta)$ અને $y=a(\sin \theta-\theta \cos \theta)$.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a \theta \cos \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)) = a \theta \sin \theta$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ થાય.
બિંદુ $(x, y)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a(\sin \theta - \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a(\cos \theta + \theta \sin \theta))$.
$\sin \theta$ વડે ગુણતા:
$y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા:
$x \cos \theta + y \sin \theta - a(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 0$.
$x \cos \theta + y \sin \theta - a = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = \cos \theta$,$B = \sin \theta$,અને $C = -a$.
$d = \frac{|-a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \frac{a}{1} = a$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = \frac{x^n}{a^{n-1}}$.
પ્રથમ,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{n x^{n-1}}{a^{n-1}}$.
કોઈપણ બિંદુ $(\alpha, \beta)$ આગળ સબનોર્મલની લંબાઈનું સૂત્ર: $L = |y \frac{dy}{dx}|$.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર કિંમતો મૂકતા:
$L = \beta \cdot \left( \frac{n \alpha^{n-1}}{a^{n-1}} \right) = \left( \frac{\alpha^n}{a^{n-1}} \right) \cdot \left( \frac{n \alpha^{n-1}}{a^{n-1}} \right) = \frac{n \alpha^{2n-1}}{a^{2n-2}}$.
આપેલ છે કે સબનોર્મલની લંબાઈ $a^2$ ના પ્રમાણમાં છે. આ શરત મુજબ $n = \frac{3}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ વક્ર $x^2-a^2=\frac{x^2 y^2}{a^2}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = \frac{1}{a^2} [x^2(2y) \frac{dy}{dx} + (2x)y^2]$.
$2x$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{1}{a^2} [xy \frac{dy}{dx} + y^2]$.
$a^2 = xy \frac{dy}{dx} + y^2 \Rightarrow xy \frac{dy}{dx} = a^2 - y^2$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a^2 - y^2}{xy}$.
બિંદુ $P(\alpha, y)$ આગળ,ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{a^2 - y^2}{\alpha y}$ છે.
સબનોર્મલની લંબાઈ $|y \frac{dy}{dx}| = |y \cdot \frac{a^2 - y^2}{\alpha y}| = |\frac{a^2 - y^2}{\alpha}|$ થાય.
બિંદુ $P(\alpha, y)$ વક્ર પર હોવાથી,$\alpha^2 - a^2 = \frac{\alpha^2 y^2}{a^2} \Rightarrow y^2 = \frac{a^2}{\alpha^2}(\alpha^2 - a^2) = a^2 - \frac{a^4}{\alpha^2}$.
$y^2$ ની કિંમત સબનોર્મલના સૂત્રમાં મૂકતા:
લંબાઈ $= \frac{a^2 - (a^2 - \frac{a^4}{\alpha^2})}{\alpha} = \frac{a^4}{\alpha^3}$.
$\frac{k}{\alpha^3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = a^4$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=x^4-6x^3+13x^2-10x+5$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx}=4x^3-18x^2+26x-10$ મળે.
બિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $2$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx}=2$ લેતા:
$4x^3-18x^2+26x-10=2$
$4x^3-18x^2+26x-12=0$
$2$ વડે ભાગતા,$2x^3-9x^2+13x-6=0$ મળે.
આ ત્રિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા $(x-1)(2x^2-7x+6)=0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(x-1)(x-2)(2x-3)=0$ થાય છે.
ઉકેલો $x=1, 2, \frac{3}{2}$ છે.
$x_1, x_2 \in N$ આપેલ હોવાથી,આપણે $x_1=1$ અને $x_2=2$ લઈએ.
$x_1=1$ માટે,$y_1=1^4-6(1)^3+13(1)^2-10(1)+5=3$.
$x_2=2$ માટે,$y_2=2^4-6(2)^3+13(2)^2-10(2)+5=5$.
તેથી,$x_1x_2+y_1y_2=(1 \times 2)+(3 \times 5)=2+15=17$.

(C) આપેલ વક્ર $x=a(\theta+\sin \theta)$ અને $y=a(1-\cos \theta)$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન શોધીએ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \tan \frac{\theta}{2}$.
$P\left(\theta=\frac{\pi}{2}\right)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ અને અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -1$ છે.
બિંદુ $P$ ના યામ $x = a(\frac{\pi}{2} + 1)$ અને $y = a(1 - 0) = a$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - a = 1(x - a(\frac{\pi}{2} + 1))$. $y=0$ લેતા,આપણને $x = a(\frac{\pi}{2} + 1) - a = \frac{a\pi}{2}$ મળે. તેથી,$A = (\frac{a\pi}{2}, 0)$.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ: $y - a = -1(x - a(\frac{\pi}{2} + 1))$. $y=0$ લેતા,આપણને $-a = -x + a(\frac{\pi}{2} + 1)$ મળે,તેથી $x = a(\frac{\pi}{2} + 2)$. તેથી,$B = (a(\frac{\pi}{2} + 2), 0)$.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times |x_B - x_A| \times y_P$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |a(\frac{\pi}{2} + 2) - \frac{a\pi}{2}| \times a = \frac{1}{2} \times |2a| \times a = a^2$.

(C) આપેલ વક્ર: $(\frac{x}{3})^n + (\frac{y}{4})^n = 2$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{3} (\frac{x}{3})^{n-1} + \frac{n}{4} (\frac{y}{4})^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(3,4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{3} (\frac{3/3}{4/4})^{n-1} = -\frac{4}{3}$.
$(3,4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 3) \Rightarrow 4x + 3y = 24$.
સ્પર્શકનો $X$-અંત:ખંડ $y=0$ મૂકતા મળે છે,જે $4x = 24 \Rightarrow x = 6$ છે. તેથી,બિંદુ $C$ એ $(6,0)$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = \frac{3}{4}$ થાય.
$(3,4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ: $y - 4 = \frac{3}{4}(x - 3) \Rightarrow 3x - 4y + 7 = 0$.
અભિલંબનો $X$-અંત:ખંડ $y=0$ મૂકતા મળે છે,જે $3x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}$ છે. તેથી,બિંદુ $B$ એ $(-\frac{7}{3}, 0)$ છે.
ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓ $A(3,4)$,$B(-\frac{7}{3}, 0)$,અને $C(6,0)$ દ્વારા બને છે.
પાયો $BC = 6 - (-\frac{7}{3}) = 6 + \frac{7}{3} = \frac{25}{3}$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $A$ નો $y$-યામ છે,જે $4$ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 4 = \frac{50}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ છે $y=f(x)$. બિંદુ $P$ એ $(\alpha, 1)$ છે.
$P(\alpha, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-1=f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)$ છે.
$y=0$ લેતા,$X$-અંતઃખંડ $A$ એ $\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}$ મળે. તેથી $A = (\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}, 0)$.
$P(\alpha, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y-1=-\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}(x-\alpha)$ છે.
$y=0$ લેતા,$X$-અંતઃખંડ $B$ એ $\alpha + f^{\prime}(\alpha)$ મળે. તેથી $B = (\alpha + f^{\prime}(\alpha), 0)$.
બિંદુ $C$ એ $(\alpha, 0)$ છે.
તેથી $AC = |\alpha - (\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)})| = \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}$ અને $CB = |(\alpha + f^{\prime}(\alpha)) - \alpha| = f^{\prime}(\alpha)$.
આપણે $AC+CB = \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} + f^{\prime}(\alpha)$ ને ન્યૂનતમ બનાવવું છે.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} + f^{\prime}(\alpha) \geq 2 \sqrt{\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \cdot f^{\prime}(\alpha)} = 2$.
ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $f^{\prime}(\alpha) = 1$.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $f^{\prime}(\alpha) = 1$ છે.
સ્પર્શકને સમાંતર રેખાનો ઢાળ $1$ હોવો જોઈએ. રેખા $x-y=0$ નો ઢાળ $1$ છે.

(C) આપેલ વક્રો $xy=1$ $(i)$ અને $x^2+8y=0$ (ii) છે.
$(i)$ પરથી,$y = \frac{1}{x}$. (ii) માં મૂકતા: $x^2 + 8(\frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ માટે,$y = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. છેદબિંદુ $(-2, -\frac{1}{2})$ છે.
$(i)$ નું વિકલન કરતા: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. $(-2, -\frac{1}{2})$ આગળ,$m_1 = -\frac{-1/2}{-2} = -\frac{1}{4}$.
(ii) નું વિકલન કરતા: $2x + 8 \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4}$. $(-2, -\frac{1}{2})$ આગળ,$m_2 = -\frac{-2}{4} = \frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો સ્પર્શક $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = |\frac{-1/4 - 1/2}{1 + (-1/4)(1/2)}| = |\frac{-3/4}{1 - 1/8}| = |\frac{-3/4}{7/8}| = |-\frac{3}{4} \times \frac{8}{7}| = |-\frac{6}{7}| = \frac{6}{7}$.

(B) વક્ર $y = g(x)$ ના કોઈ પણ બિંદુ $x$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $g'(x)$ દ્વારા મળે છે.
$g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિકલિત હોવાથી,$g'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ થાય.
$x = 1$ અને $x = 2$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ સમાન છે,તેથી $g'(1) = g'(2)$ થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $f(1) = f(2)$.
કિંમતો મૂકતા,$a(1)^2 + b(1) + c = a(2)^2 + b(2) + c$.
$a + b + c = 4a + 2b + c$.
$3a + b = 0 \implies b = -3a$.
આપણને સમીકરણ $2a + 3b + 6c = 0$ આપેલું છે.
આ સમીકરણમાં $b = -3a$ મૂકતા: $2a + 3(-3a) + 6c = 0$.
$2a - 9a + 6c = 0 \implies -7a + 6c = 0 \implies 6c = 7a$.
આમ,$a : b : c = a : -3a : \frac{7a}{6}$.
$6$ વડે ગુણતા,આપણને $6 : -18 : 7$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{6} = \frac{b}{-18} = \frac{c}{7}$.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના બિંદુ $(1,2)$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $f^{\prime}(1)$ છે.
વક્રના બિંદુ $(1,2)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(1)}$ છે.
આપેલ છે કે અભિલંબ ધન $X$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ માપનો ખૂણો બનાવે છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$.
અભિલંબના ઢાળ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $-\frac{1}{f^{\prime}(1)} = -1$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{1}{f^{\prime}(1)} = 1$ મળે છે.
તેથી,$f^{\prime}(1) = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પર્શકની લંબાઈ (subtangent) $|y_1 \frac{dx}{dy}|$ દ્વારા અને અભિલંબની લંબાઈ (subnormal) $|y_1 \frac{dy}{dx}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકની લંબાઈ અને અભિલંબની લંબાઈ સમાન છે,તેથી:
$|y_1 \frac{dx}{dy}| = |y_1 \frac{dy}{dx}|$
જો $y_1 \neq 0$ હોય,તો આપણને મળે:
$|\frac{dx}{dy}| = |\frac{dy}{dx}|$
કારણ કે $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$,આ સૂચવે છે કે:
$|\frac{1}{dy/dx}| = |\frac{dy}{dx}|$
$|\frac{dy}{dx}|^2 = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \pm 1$.
સ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$L = |y_1 \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}|$
કારણ કે $\frac{dy}{dx} = \pm 1$,તેથી $\frac{dx}{dy} = \pm 1$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = |y_1 \sqrt{1 + (\pm 1)^2}| = |y_1 \sqrt{1 + 1}| = \sqrt{2}|y_1|$.
આમ,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{2}|y_1|$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ વક્ર $y=3x^2-5x+7$ પર છે.
બિંદુ $P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 6x-5$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $P(h, k)$ પર,ઢાળ $6h-5$ છે.
જીવા બિંદુઓ $(1, y_1)$ અને $(2, y_2)$ ને જોડે છે.
$x=1$ માટે,$y_1 = 3(1)^2 - 5(1) + 7 = 5$.
$x=2$ માટે,$y_2 = 3(2)^2 - 5(2) + 7 = 12 - 10 + 7 = 9$.
જીવાનો ઢાળ $\frac{y_2-y_1}{2-1} = \frac{9-5}{1} = 4$ છે.
સ્પર્શક જીવાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન છે:
$6h-5 = 4$.
$6h = 9$.
$h = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
આમ,બિંદુ $P$ નો $x$-યામ $\frac{3}{2}$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $x=a(\theta+\sin \theta)$ અને $y=a(1-\cos \theta)$ છે.
સ્પર્શક ધન $X$-અક્ષ સાથે $\psi = \frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ અને $1+\cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})}{2 \cos^2(\frac{\theta}{2})} = \tan(\frac{\theta}{2}) = 1$.
તેથી,$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
હવે,$x$ અને $y$ ના સમીકરણોમાં $\theta = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$
$y = a(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = a(1 - 0) = a$.
બિંદુના યામ $\left(a(\frac{\pi}{2}+1), a\right)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ વક્રો $x^2-y^2=4$ અને $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ છે.
ધારો કે $(x_0, y_0)$ એ છેદબિંદુ છે.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો એ છેદબિંદુ પરના સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ વક્ર $x^2-y^2=4$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$. $(x_0, y_0)$ પર,$m_1 = \frac{x_0}{y_0}$.
બીજા વક્ર $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. $(x_0, y_0)$ પર,$m_2 = -\frac{x_0}{y_0}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{\frac{x_0}{y_0} - (-\frac{x_0}{y_0})}{1 + (\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{y_0})} \right| = \left| \frac{2 \frac{x_0}{y_0}}{1 - \frac{x_0^2}{y_0^2}} \right| = \left| \frac{2 x_0 y_0}{y_0^2 - x_0^2} \right|$.
કારણ કે $x_0^2 - y_0^2 = 4$,તેથી $y_0^2 - x_0^2 = -4$.
આમ,$\tan \theta = \left| \frac{2 x_0 y_0}{-4} \right| = \frac{|x_0 y_0|}{2}$.
સમીકરણો $x_0^2 - y_0^2 = 4$ અને $x_0^2 + y_0^2 = 4 \sqrt{2}$ ઉકેલતા:
સરવાળો કરતા: $2x_0^2 = 4(1 + \sqrt{2}) \Rightarrow x_0^2 = 2(1 + \sqrt{2})$.
બાદબાકી કરતા: $2y_0^2 = 4(\sqrt{2} - 1) \Rightarrow y_0^2 = 2(\sqrt{2} - 1)$.
તેથી $x_0^2 y_0^2 = 4(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 4(2 - 1) = 4$.
તેથી,$|x_0 y_0| = 2$.
આ કિંમત $\tan \theta$ માં મૂકતા: $\tan \theta = \frac{2}{2} = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ વક્ર $y^2 = ax^3 + b$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,2)} = \frac{3a(1)^2}{2(2)} = \frac{3a}{4}$ છે.
આપેલ સ્પર્શક $y = 2x$ છે,જેનો ઢાળ $2$ છે.
ઢાળને સરખાવતા,$\frac{3a}{4} = 2$,તેથી $a = \frac{8}{3}$.
વક્ર બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ કિંમતોને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $2^2 = \frac{8}{3}(1)^3 + b$.
$4 = \frac{8}{3} + b$,જે આપણને $b = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$ આપે છે.
તેથી,$(a, b) = (\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$.

(D) ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ પરવલય $y^2 = 16ax$ પરનું ઉગમબિંદુ સિવાયનું કોઈપણ બિંદુ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $y_1 \left| \frac{dx}{dy} \right|_{(x_1, y_1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y^2 = 16ax$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx} = 16a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{8a}{y}$.
તેથી,$\frac{dx}{dy} = \frac{y}{8a}$.
$(x_1, y_1)$ આગળ સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $y_1 \left( \frac{y_1}{8a} \right) = \frac{y_1^2}{8a}$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પરવલય પર હોવાથી,$y_1^2 = 16ax_1$ થાય.
આ કિંમત સબટેન્જન્ટની લંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{16ax_1}{8a} = 2x_1$ મળે છે.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ અને એબ્સિસિસા $x_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{2x_1}{x_1} = 2:1$ છે.

(B) આપેલ વક્રોના સમીકરણો છે:
$y = \sin 2x$ $(i)$
$y = \cos 2x$ (ii)
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$2x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{\pi}{8}$
જ્યારે $x = \frac{\pi}{8}$ હોય,ત્યારે $y = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,છેદબિંદુ $(\frac{\pi}{8}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
હવે,આ બિંદુએ ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ શોધીએ:
$m_1 = \frac{dy}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$. $x = \frac{\pi}{8}$ પર,$m_1 = 2 \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$m_2 = \frac{dy}{dx} (\cos 2x) = -2 \sin 2x$. $x = \frac{\pi}{8}$ પર,$m_2 = -2 \sin \frac{\pi}{4} = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$
$\tan \theta = |\frac{-\sqrt{2} - \sqrt{2}}{1 + (\sqrt{2})(-\sqrt{2})}| = |\frac{-2\sqrt{2}}{1 - 2}| = |\frac{-2\sqrt{2}}{-1}| = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(B) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $x^2=8y$ $(i)$ અને $xy=8$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(i)$ માંથી $y = \frac{x^2}{8}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x\left(\frac{x^2}{8}\right) = 8 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4$.
$x=4$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $4y=8 \Rightarrow y=2$ મળે છે.
તેથી,છેદબિંદુ $(4, 2)$ છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x^2=8y \Rightarrow 2x = 8 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$.
બિંદુ $(4, 2)$ પર,ઢાળ $m_1 = \frac{4}{4} = 1$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$xy=8 \Rightarrow x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
બિંદુ $(4, 2)$ પર,ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $(\frac{x}{a})^n+(\frac{y}{b})^n=2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n x^{n-1}}{a^n} + \frac{n y^{n-1}}{b^n} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{b^n x^{n-1}}{a^n y^{n-1}}$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$(\frac{dy}{dx})_{(a, b)} = -\frac{b^n a^{n-1}}{a^n b^{n-1}} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
બંને બાજુ $ab$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.

(A) વક્ર $y=ax^3+bx+4$ એ બિંદુ $(2, 14)$ માંથી પસાર થાય છે. આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$14 = a(2)^3 + b(2) + 4$
$14 = 8a + 2b + 4$
$10 = 8a + 2b$
$5 = 4a + b$ --- $(i)$
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + b$
બિંદુ $(2, 14)$ આગળ ઢાળ $21$ છે:
$21 = 3a(2)^2 + b$
$21 = 12a + b$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(12a + b) - (4a + b) = 21 - 5$
$8a = 16$
$a = 2$
$a = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$5 = 4(2) + b$
$5 = 8 + b$
$b = -3$
આમ,$a = 2$ અને $b = -3$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો છે:
$x = a \cos^3 t$
$y = a \sin^3 t$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t}$
$(a \cos^3 t, a \sin^3 t)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - a \sin^3 t = -\frac{\sin t}{\cos t} (x - a \cos^3 t)$
$y \cos t - a \sin^3 t \cos t = -x \sin t + a \cos^3 t \sin t$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t (\sin^2 t + \cos^2 t)$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t$
અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y=0$ લેતા $x = a \cos t$ મળે,અને $x=0$ લેતા $y = a \sin t$ મળે.
બિંદુઓ $A(a \cos t, 0)$ અને $B(0, a \sin t)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ:
$L = \sqrt{(a \cos t - 0)^2 + (0 - a \sin t)^2} = \sqrt{a^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t} = \sqrt{a^2(1)} = a$.

(A) રેખા $y=-4x+b$ નો ઢાળ $m=-4$ છે.
વક્ર $y=\frac{1}{x}$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે રેખા વક્રને સ્પર્શે છે,તેથી સ્પર્શબિંદુએ તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{1}{x^2} = -4
\Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}
\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{1}{2}$ હોય,ત્યારે વક્ર પર $y$-યામ $y = \frac{1}{1/2} = 2$ મળે છે.
જ્યારે $x = -\frac{1}{2}$ હોય,ત્યારે વક્ર પર $y$-યામ $y = \frac{1}{-1/2} = -2$ મળે છે.
આ બિંદુઓ $(x, y)$ ને રેખાના સમીકરણ $y = -4x + b$ માં મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $2 = -4(\frac{1}{2}) + b \Rightarrow 2 = -2 + b \Rightarrow b = 4$.
કિસ્સો $2$: $-2 = -4(-\frac{1}{2}) + b \Rightarrow -2 = 2 + b \Rightarrow b = -4$.
આમ,$b = \pm 4$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = 5^x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 5^x \log_e 5$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)} = 5^{x_1} \log_e 5$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈનું સૂત્ર:
$L = \left| \frac{y_1}{\frac{dy}{dx}} \right|$.
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{y_1}{5^{x_1} \log_e 5}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વક્ર પર હોવાથી,$y_1 = 5^{x_1}$ થાય.
તેથી,$L = \frac{5^{x_1}}{5^{x_1} \log_e 5} = \frac{1}{\log_e 5}$.

(D) આપેલ વક્ર $y=x^2+x-1$ અને બિંદુ $(x_1, y_1)=(1,1)$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$.
$(1,1)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 2(1)+1 = 3$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $A = \left|\frac{y_1 \sqrt{1+m^2}}{m}\right| = \left|\frac{1 \sqrt{1+3^2}}{3}\right| = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
અસ્પર્શકની લંબાઈ $B = \left|\frac{y_1}{m}\right| = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
અભિલંબની લંબાઈ $C = \left|y_1 \sqrt{1+m^2}\right| = |1 \sqrt{1+3^2}| = \sqrt{10} \approx 3.162$.
અભિલંબના અસ્પર્શકની લંબાઈ $D = |y_1 m| = |1 \times 3| = 3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $B (0.333) < A (1.054) < D (3) < C (3.162)$.
આમ,ચડતો ક્રમ $B, A, D, C$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $y=\sin x$ અને $y=\cos x$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$\sin x = \cos x$ લો,જેનો અર્થ છે $\tan x = 1$.
આથી,$x = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો.
$y = \sin x$ માટે,ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$. $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y = \cos x$ માટે,ઢાળ $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$. $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(B) આપેલ વક્ર $6y = 7 - x^3$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{6} = -\frac{x^2}{2}$
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $m$ છે:
$m = -\frac{(1)^2}{2} = -\frac{1}{2}$
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે:
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = -(x - 1)$
$2y - 2 = -x + 1$
$x + 2y = 3$

(B) વક્રો $y^2 = x$ અને $x^2 + y^2 = 2$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમનું છેદબિંદુ શોધીએ.
$y^2 = x$ ને $x^2 + y^2 = 2$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + x - 2 = 0$ મળે છે.
$(x + 2)(x - 1) = 0$,જે $x = 1$ આપે છે (કારણ કે $y^2 = x$ માટે $x = -2$ શક્ય નથી).
$x = 1$ માટે,$y^2 = 1$,તેથી $y = 1$ (પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ ધ્યાનમાં લેતા).
હવે,$(1, 1)$ બિંદુએ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધવા માટે વક્રોનું વિકલન કરીએ:
$y^2 = x$ માટે,$2y \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$. $(1, 1)$ બિંદુએ,$m_1 = \frac{1}{2}$.
$x^2 + y^2 = 2$ માટે,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. $(1, 1)$ બિંદુએ,$m_2 = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{2} - (-1)}{1 + (\frac{1}{2})(-1)} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 3$.

(A) આપેલ વક્ર $\Gamma: y = b e^{-x/a}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ મળે છે.
જ્યાં વક્ર $y$-અક્ષને છેદે છે ત્યાં $x = 0$,તેથી $y = b e^0 = b$.
$(0, b)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = -\frac{b}{a}$ છે.
$(0, b)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ થાય છે.
આ રેખા $L$ નું સમીકરણ છે,તેથી $L$ એ $\Gamma$ ને $(0, b)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
કારણ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $e^{-x/a} > 0$,તેથી $y = b e^{-x/a}$ ક્યારેય $0$ થતું નથી. આમ,$\Gamma$ ક્યારેય $x$-અક્ષને સ્પર્શતું નથી.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $A$ અને $D$ બંને ગાણિતિક રીતે સાચા છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ વક્ર $y=f(x)$ પરનું બિંદુ છે અને $C(a, b)$ એ વક્ર પર ન હોય તેવું નિશ્ચિત બિંદુ છે.
$P$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $d^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોય,તો $d^2$ પણ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $d^2$ નું વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d}{dx}(d^2) = 2(x-a) + 2(y-b)\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(x-a) + (y-b)\frac{dy}{dx} = 0$,જેને $\frac{y-b}{x-a} = -\frac{1}{dy/dx}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં,$\frac{y-b}{x-a}$ એ રેખાખંડ $PC$ નો ઢાળ છે અને $\frac{dy}{dx}$ એ $P$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ છે.
તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,રેખાખંડ $PC$ એ $P$ આગળના સ્પર્શકને લંબ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y^{2}=2x^{3}$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 6x^{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{y}$.
બિંદુ $P(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{1} = \frac{3h^{2}}{k}$ છે.
આપેલ રેખા $4x=3y$ છે,એટલે કે $y=\frac{4}{3}x$,જેનો ઢાળ $m_{2} = \frac{4}{3}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,$m_{1} \times m_{2} = -1$.
તેથી,$\left(\frac{3h^{2}}{k}\right) \times \left(\frac{4}{3}\right) = -1 \Rightarrow \frac{4h^{2}}{k} = -1 \Rightarrow k = -4h^{2}$.
બિંદુ $P(h, k)$ વક્ર પર હોવાથી,$k^{2} = 2h^{3}$.
$k = -4h^{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-4h^{2})^{2} = 2h^{3} \Rightarrow 16h^{4} = 2h^{3}$.
આનાથી $2h^{3}(8h - 1) = 0$ મળે,તેથી $h=0$ અથવા $h=\frac{1}{8}$.
જો $h=0$ હોય,તો $k=0$ થાય. જોકે,$(0,0)$ આગળ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત છે (વક્રને ત્યાં અણી છે),તેથી સ્પર્શક પ્રમાણિત રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી.
જો $h=\frac{1}{8}$ હોય,તો $k = -4(\frac{1}{8})^{2} = -4(\frac{1}{64}) = -\frac{1}{16}$.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}\right)$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y^{2} = x^{3}$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 3x^{2}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{2y}$.
બિંદુ $(m^{2}, m^{3})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $T_{1} = \frac{3(m^{2})^{2}}{2(m^{3})} = \frac{3m^{4}}{2m^{3}} = \frac{3m}{2}$ છે.
$(m^{2}, m^{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - m^{3} = \frac{3m}{2}(x - m^{2})$ છે,જેનું સાદુરૂપ $3mx - 2y - m^{3} = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(M^{2}, M^{3})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{3M}{2}$ છે. તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $N_{2} = -\frac{2}{3M}$ થાય.
$(M^{2}, M^{3})$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - M^{3} = -\frac{2}{3M}(x - M^{2})$ છે,જેનું સાદુરૂપ $2x + 3My - (3M^{4} + 2M^{2}) = 0$ થાય છે.
સ્પર્શક અને અભિલંબ સમાન હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{3m}{2} = \frac{-2}{3M} \Rightarrow 9mM = -4 \Rightarrow mM = -\frac{4}{9}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = b e^{-\frac{x}{a}}$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = b e^{-\frac{x}{a}} \cdot (-\frac{1}{a}) = -\frac{y}{a}$.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_0, y_0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{y_0}{a}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_0 = -\frac{y_0}{a}(x - x_0)$ છે.
$y_0$ વડે ભાગતા: $\frac{y}{y_0} - 1 = -\frac{x}{a} + \frac{x_0}{a}$.
ગોઠવતા: $\frac{x}{a} + \frac{y}{y_0} = 1 + \frac{x_0}{a}$.
આ સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા,$y_0 = b$ અને $1 + \frac{x_0}{a} = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x_0 = 0$.
$x_0 = 0$ આગળ,$y_0 = b e^0 = b$. આમ,સ્પર્શક બિંદુ $(0, b)$ છે.
વક્ર $y$-અક્ષને $x = 0$ આગળ છેદે છે,તેથી $y$-અંત:ખંડ પરનો સ્પર્શક $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = x^2 - x + 1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{2x-1} = \frac{1}{1-2x}$ થાય.
$1$. $x_1 = 0$ માટે,$y_1 = 1$. ઢાળ $m_1 = \frac{1}{1-0} = 1$.
સમીકરણ: $y - 1 = 1(x - 0) \Rightarrow x - y + 1 = 0$ $(i)$.
$2$. $x_2 = -1$ માટે,$y_2 = (-1)^2 - (-1) + 1 = 3$. ઢાળ $m_2 = \frac{1}{1-2(-1)} = \frac{1}{3}$.
સમીકરણ: $y - 3 = \frac{1}{3}(x + 1) \Rightarrow 3y - 9 = x + 1 \Rightarrow x - 3y + 10 = 0$ (ii).
$3$. $x_3 = 5/2$ માટે,$y_3 = (5/2)^2 - 5/2 + 1 = 19/4$. ઢાળ $m_3 = \frac{1}{1-2(5/2)} = -\frac{1}{4}$.
સમીકરણ: $y - 19/4 = -\frac{1}{4}(x - 5/2) \Rightarrow 2x + 8y - 43 = 0$ (iii).
$(i)$ અને (ii) નો છેદબિંદુ શોધતા: $x - y = -1$ અને $x - 3y = -10$. બાદબાકી કરતા $2y = 9 \Rightarrow y = 9/2$. તેથી $x = 7/2$.
છેદબિંદુ $(7/2, 9/2)$ છે.
આ બિંદુ (iii) માં મૂકતા: $2(7/2) + 8(9/2) - 43 = 7 + 36 - 43 = 0$.
આમ,ત્રણેય અભિલંબ એક જ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે સંગામી છે.

(D) આપેલ વક્ર $y=x^{2}+2ax+b$ છે.
$x=\alpha$ આગળ બિંદુ $P(\alpha, \alpha^{2}+2a\alpha+b)$ છે.
$x=\beta$ આગળ બિંદુ $Q(\beta, \beta^{2}+2a\beta+b)$ છે.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $m_{chord} = \frac{(\beta^{2}+2a\beta+b) - (\alpha^{2}+2a\alpha+b)}{\beta-\alpha}$ છે.
$m_{chord} = \frac{(\beta^{2}-\alpha^{2}) + 2a(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} = \frac{(\beta-\alpha)(\beta+\alpha) + 2a(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} = \alpha+\beta+2a$.
કોઈપણ બિંદુ $x$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{tangent} = \frac{dy}{dx} = 2x+2a$ છે.
જીવા સ્પર્શકને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$2x+2a = \alpha+\beta+2a$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2x = \alpha+\beta$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$.

(B) આપેલ વક્ર $xy = 1 - 2x$ છે.
સમીકરણને $y = \frac{1 - 2x}{x} = \frac{1}{x} - 2$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ મળે છે.
બધા $x \neq 0$ માટે $\frac{dy}{dx} < 0$ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ હંમેશા ઋણ હોય છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ ને $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{a}{b}$ છે.
રેખા વક્રને સ્પર્શતી હોવાથી,તેનો ઢાળ સ્પર્શબિંદુ આગળના વિકલિત જેટલો હોવો જોઈએ,જે ઋણ છે.
તેથી,$-\frac{a}{b} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a}{b} > 0$.
આ શરત $\frac{a}{b} > 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a$ અને $b$ બંને સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય.
આમ,કાં તો $a > 0, b > 0$ અથવા $a < 0, b < 0$.

(A) છેદબિંદુઓ માટે,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ: $e^{x^{2}} = e^{x^{2}} \sin x$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{x^{2}} \neq 0$ હોવાથી,$e^{x^{2}}$ વડે ભાગતા આપણને $\sin x = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $f(x) = e^{x^{2}}$ અને $g(x) = e^{x^{2}} \sin x$.
$f(x)$ નું વિકલન $f'(x) = 2x e^{x^{2}}$ છે.
$g(x)$ નું વિકલન $g'(x) = 2x e^{x^{2}} \sin x + e^{x^{2}} \cos x$ છે.
છેદબિંદુ પર જ્યાં $\sin x = 1$ અને $\cos x = 0$ છે,ત્યાં આપણને મળે છે:
$f'(x) = 2x e^{x^{2}}$
$g'(x) = 2x e^{x^{2}}(1) + e^{x^{2}}(0) = 2x e^{x^{2}}$.
છેદબિંદુ પર $f'(x) = g'(x)$ હોવાથી,સ્પર્શકોના ઢાળ સમાન છે.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $0$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = x^2 - 3x + 2$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ મેળવવા માટે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2x - 3$.
આપેલ રેખા $y = x$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
સ્પર્શક રેખા $y = x$ ને લંબ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ શરતનું પાલન કરશે.
તેથી,$1 \times (2x - 3) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $2x - 3 = -1$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = 2$,તેથી $x = 1$.
$y$-યામ શોધવા માટે $x = 1$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
આમ,બિંદુ $(1, 0)$ છે.