Tangent and Normal Questions in Gujarati

(A) આપેલ વક્રો $y=e^{2(1+x)-4}$ અને $x^2 y=1$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ,આપણે બંને વક્રોના સ્પર્શકોના ઢાળ શોધીએ.
પ્રથમ વક્ર $y=e^{2(1+x)-4}$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $y' = e^{2(1+x)-4} \cdot 2$ મળે.
$(1,1)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = y'(1) = e^{2(1+1)-4} \cdot 2 = e^0 \cdot 2 = 2$.
બીજા વક્ર $x^2 y = 1$ માટે,$y = x^{-2}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$ મળે.
$(1,1)$ આગળ,ઢાળ $m_2 = y'(1) = -\frac{2}{1^3} = -2$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2 - (-2)}{1 + (2)(-2)} \right| = \left| \frac{4}{1 - 4} \right| = \left| \frac{4}{-3} \right| = \frac{4}{3}$.
$\tan \theta = \frac{4}{3}$ હોવાથી,આપણે સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ હોય તેવો કાટકોણ ત્રિકોણ વિચારી શકીએ. કર્ણ $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ છે.
આમ,$\sin \theta = \frac{4}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{3}{5}$.
તેથી,$|\sin \theta| + |\cos \theta| = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$.

(B) આપેલ વક્ર: $x=1+\frac{1}{y^2}$ ...$(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $1 = -\frac{2}{y^3} \cdot \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y^3}{2}$.
બિંદુ $A(2,1)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,1)} = -\frac{1^3}{2} = -\frac{1}{2}$.
$A(2,1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $(y-1) = -\frac{1}{2}(x-2) \Rightarrow 2y - 2 = -x + 2 \Rightarrow x + 2y = 4$ ...(ii)
બિંદુ $B$ શોધવા માટે,$x = 4-2y$ ને વક્રના સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$4-2y = 1 + \frac{1}{y^2} \Rightarrow 3-2y = \frac{1}{y^2} \Rightarrow 3y^2 - 2y^3 = 1 \Rightarrow 2y^3 - 3y^2 + 1 = 0$.
$A(2,1)$ વક્ર પર હોવાથી,$y=1$ એક ઉકેલ છે. અવયવ પાડતા: $(y-1)^2(2y+1) = 0$.
ઉકેલો $y=1$ ($A$ આગળ) અને $y=-\frac{1}{2}$ ($B$ આગળ) છે.
$y = -\frac{1}{2}$ માટે,$x = 4 - 2(-\frac{1}{2}) = 5$. તેથી,$B = (5, -\frac{1}{2})$.
$B(5, -\frac{1}{2})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{(-1/2)^3}{2} = -\frac{-1/8}{2} = \frac{1}{16}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-1/2 - 1/16}{1 + (-1/2)(1/16)} \right| = \left| \frac{-9/16}{1 - 1/32} \right| = \left| \frac{-9/16}{31/32} \right| = \frac{18}{31}$.
અહીં $\tan \theta = \frac{18}{31} \neq 0$ અને $\tan \theta \neq \infty$ હોવાથી,ખૂણો $0$ કે $\frac{\pi}{2}$ નથી.

(C) આપેલ વક્ર $y^2 = x + \sin x$ છે ...$(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \cos x$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \cos x}{2y}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2y}{1 + \cos x}$ છે.
અભિલંબ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય તે માટે,ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ,એટલે કે $1 + \cos x = 0$.
આનો અર્થ છે કે $\cos x = -1$,જેનો અર્થ છે કે $x = (2n+1)\pi$ કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે.
આ બિંદુઓ પર,$\sin x = 0$ થાય છે.
મૂળ સમીકરણ $(i)$ માં $\sin x = 0$ મૂકતા,આપણને $y^2 = x + 0$ અથવા $y^2 = x$ મળે છે.
આ એક પરવલયનું સમીકરણ છે.

(B) આપેલ વક્ર $x y=1$ માટે,$y = \frac{1}{x}$ થાય.
વિકલન કરતા: $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x^2}$ મળે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{x^2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n$ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વિરોધી વ્યસ્ત છે: $m_n = -\frac{1}{m_t} = x^2$.
કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 \geq 0$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ અ-ઋણ $(m_n \geq 0)$ હોવો જોઈએ.
અભિલંબનું આપેલ સમીકરણ $(a^2-1) x+a y+(3-a)=0$ છે,જેને $a y = -(a^2-1) x - (3-a)$ અથવા $y = -\frac{a^2-1}{a} x - \frac{3-a}{a}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{a^2-1}{a} = \frac{1-a^2}{a}$ છે.
કારણ કે $m \geq 0$,તેથી $\frac{1-a^2}{a} \geq 0$ થાય.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે: $\frac{a^2-1}{a} \leq 0$,એટલે કે $\frac{(a-1)(a+1)}{a} \leq 0$.
સાઇન સ્કીમ (વેવી કર્વ મેથડ) નો ઉપયોગ કરતા,$a$ ની કિંમતો $a \in (-\infty, -1] \cup (0, 1]$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \sin x$ છે. વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = \cos x$ મળે.
બિંદુ $P(h, k)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{\cos h}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 0)$ છે,જે $y = -\frac{1}{\cos h} x$ થાય.
બિંદુ $P(h, k)$ અભિલંબ પર હોવાથી,$k = -\frac{h}{\cos h}$,એટલે કે $\cos h = -\frac{h}{k}$ મળે.
વળી,$P(h, k)$ વક્ર $y = \sin x$ પર હોવાથી,$k = \sin h$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^2 h + \cos^2 h = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $k^2 + (-\frac{h}{k})^2 = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $k^2 + \frac{h^2}{k^2} = 1$,એટલે કે $k^4 + h^2 = k^2$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $x^2 + y^4 = y^2$ અથવા $x^2 = y^2 - y^4$ મળે.

(C) આપેલ વક્ર $y=x^3$ છે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ છે. $x=\alpha$ આગળ,ઢાળ $3\alpha^2$ છે.
$(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-\beta) = 3\alpha^2(x-\alpha)$ છે.
કારણ કે $(\alpha_1, \beta_1)$ વક્ર પર આવેલું છે,તેથી $\beta_1 = \alpha_1^3$ અને $\beta = \alpha^3$ થાય.
આ કિંમતો સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha_1^3 - \alpha^3 = 3\alpha^2(\alpha_1 - \alpha)$.
$(\alpha_1 - \alpha)$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\alpha_1 \neq \alpha$): $\alpha_1^2 + \alpha_1\alpha + \alpha^2 = 3\alpha^2$.
$\alpha_1^2 + \alpha_1\alpha - 2\alpha^2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(\alpha_1 - \alpha)(\alpha_1 + 2\alpha) = 0$.
કારણ કે $\alpha_1 \neq \alpha$,તેથી $\alpha_1 = -2\alpha$ મળે.
તેથી,$\frac{\beta_1}{\beta} = \frac{\alpha_1^3}{\alpha^3} = \left(\frac{\alpha_1}{\alpha}\right)^3 = (-2)^3 = -8$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^3 y^2 + \frac{x^2}{y} = 5$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$3x^2 y^2 + 2x^3 y \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{y} - \frac{x^2}{y^2} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\left(2x^3 y - \frac{x^2}{y^2}\right) \frac{dy}{dx} = -\left(3x^2 y^2 + \frac{2x}{y}\right)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x(3xy^3 + 2)}{y(2x^3 y^2 - x^2)}$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $3xy^3 + 2 = 0$.
આ $f(x, y) = 0$ સમીકરણ છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$\left(-2, \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)$ માટે:
$3(-2)\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^3 + 2 = 3(-2)\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = -2 + 2 = 0$.
આમ,બિંદુ $\left(-2, \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(C) આપેલ વક્ર $x=e^{\sin y}$ છે. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\log x = \sin y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{x} = \cos y \frac{dy}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \cos y}$.
બિંદુ $(1,0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,0)} = \frac{1}{1 \cdot \cos 0} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1$ થાય.
બિંદુ $(1,0)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
બિંદુ $(1,0)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 0 = -1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -x + 1$ અથવા $x + y = 1$ થાય છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $A(1,0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0,1)$ પર છેદે છે.
અભિલંબ દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતો ત્રિકોણ $\triangle OAB$ છે,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $(x^2+1)(y-3)=x$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$(x^2+1) \frac{dy}{dx} + (2x)(y-3) = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2x(y-3)}{x^2+1}$
સ્પર્શક આડી રેખા હોવાથી,તેનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
તેથી,$1 - 2x(y-3) = 0 \Rightarrow 2x(y-3) = 1$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$(y-3) = \frac{x}{x^2+1}$ મળે છે.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા: $2x \left( \frac{x}{x^2+1} \right) = 1$
$2x^2 = x^2 + 1 \Rightarrow x^2 = 1$.
બિંદુ $P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x = 1$ લેતા.
$x=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $(1^2+1)(y-3) = 1 \Rightarrow 2(y-3) = 1 \Rightarrow y-3 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{7}{2}$.
બિંદુ $P$ એ $(1, \frac{7}{2})$ છે.
સ્પર્શક આડો હોવાથી,અભિલંબ એ $x=1$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે.
તેથી અભિલંબનું સમીકરણ $x = 1$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = \sin x$ છે. કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \cos x_1$ છે.
$(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = \cos x_1(x - x_1)$ છે.
આ સ્પર્શક બિંદુ $(0, \pi)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(\pi - y_1) = \cos x_1(0 - x_1) = -x_1 \cos x_1$.
કારણ કે $y_1 = \sin x_1$,તેથી $\cos x_1 = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x_1} = \pm \sqrt{1 - y_1^2}$.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $(\pi - y_1) = -x_1(\pm \sqrt{1 - y_1^2})$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(\pi - y_1)^2 = x_1^2(1 - y_1^2)$ મળે છે.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2(1 - y^2) = (y - \pi)^2$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = \cosh x$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી સૌથી નજીકનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે અંતરનો વર્ગ $D^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (\cosh x)^2$ ન્યૂનતમ કરીએ.
ધારો કે $f(x) = x^2 + \cosh^2 x$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 2x + 2 \cosh x \sinh x = 2x + \sinh(2x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2x + \sinh(2x) = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણનો એકમાત્ર ઉકેલ $x = 0$ છે.
$x = 0$ આગળ,$y = \cosh(0) = 1$.
બિંદુ $(0, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $y' = \sinh(0) = 0$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{y'} = -\frac{1}{0}$ છે,જે અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ રેખા).
બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x = 0$ છે.

(C) વક્રોની શ્રેણી $y = x^n \log x$ આપેલ છે.
સ્પર્શક $y = x - 1$ એ તમામ વક્રો માટે એક નિશ્ચિત બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર સામાન્ય સ્પર્શક હોય,તો સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ હોવો જોઈએ (કારણ કે $y = x - 1$ નો ઢાળ $1$ છે).
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = n x^{n-1} \log x + x^n \cdot \frac{1}{x} = x^{n-1} (n \log x + 1)$.
સ્પર્શ બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર,ઢાળ $1$ છે:
$\alpha^{n-1} (n \log \alpha + 1) = 1$.
આ શરત તમામ $n$ માટે સાચી રહે તે માટે,આપણે $\alpha = 1$ પર તપાસીએ:
$1^{n-1} (n \log 1 + 1) = 1 \cdot (0 + 1) = 1$.
આ $n$ થી સ્વતંત્ર છે.
જ્યારે $\alpha = 1$ હોય,ત્યારે વક્ર પર $y$ ની કિંમત $\beta = 1^n \log 1 = 0$ થાય છે.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, 0)$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 1 + 0 = 1$.

(A) છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે બંને વક્રોને સરખાવીએ: $x^3 - 3x^2 - 8x - 4 = 3x^2 + 7x + 4$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $x^3 - 6x^2 - 15x - 8 = 0$ થાય છે.
આ ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x + 1)^2(x - 8) = 0$ મળે છે.
વક્રો ત્યાં સ્પર્શે છે જ્યાં વિકલિતના મૂલ્યો સમાન હોય અને છેદબિંદુઓ પુનરાવર્તિત થાય. $x = -1$ આગળ વક્રો સ્પર્શે છે.
$y = 3x^2 + 7x + 4$ માં $x = -1$ મૂકતા,આપણને $y = 3(-1)^2 + 7(-1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $(-1, 0)$ છે.
હવે,$y = 3x^2 + 7x + 4$ નું વિકલન કરીને $P(-1, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ: $\frac{dy}{dx} = 6x + 7$.
$x = -1$ આગળ,ઢાળ $m = 6(-1) + 7 = 1$ મળે છે.
$(-1, 0)$ બિંદુ અને $m = 1$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = 1(x - (-1))$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 1$ અથવા $x - y + 1 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ એ વક્ર $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ પરનું કોઈ બિંદુ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} - 6x^2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
$\Rightarrow (2y - 4) \frac{dy}{dx} = 6x^2$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y - 4} = \frac{3x^2}{y - 2}$.
આમ,$P(\alpha, \beta)$ આગળ ઢાળ $m = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2}$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (x - \alpha)$ છે.
સ્પર્શક $(1, 2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$2 - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (1 - \alpha)$.
$\Rightarrow -(\beta - 2)^2 = 3\alpha^2 (1 - \alpha)$.
$\Rightarrow 3\alpha^3 - 3\alpha^2 - \beta^2 + 4\beta - 4 = 0 \dots (i)$.
વળી,$P(\alpha, \beta)$ વક્ર પર હોવાથી,$\beta^2 - 4\beta + 8 = 2\alpha^3 \dots (ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$3\alpha^3 - 3\alpha^2 - (2\alpha^3 + 4\beta - 8) + 4\beta - 4 = 0$.
$\Rightarrow \alpha^3 - 3\alpha^2 + 4 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(\alpha + 1)(\alpha - 2)^2 = 0$ મળે.
જો $\alpha = -1$,તો $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(-1)^3 = -2$,એટલે કે $\beta^2 - 4\beta + 10 = 0$. વિવેચક $D = 16 - 40 = -24 < 0$,તેથી $\beta$ વાસ્તવિક નથી.
જો $\alpha = 2$,તો $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(2)^3 = 16$,એટલે કે $\beta^2 - 4\beta - 8 = 0$.
$\beta$ માટે ઉકેલતા,$\beta = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુઓ $(2, 2 + 2\sqrt{3})$ અને $(2, 2 - 2\sqrt{3})$ મળે છે,જે બે અલગ સ્પર્શકો આપે છે.
તેથી,સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $(\frac{x}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ પર,વક્રનું સમીકરણ $(\frac{a}{a})^n + (\frac{b}{b})^n = 1^n + 1^n = 2$ થાય છે,જે કોઈપણ $n$ માટે સાચું છે.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{a^n} x^{n-1} + \frac{n}{b^n} y^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ:
$(\frac{dy}{dx})_{(a, b)} = -\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}} \cdot \frac{a^n}{b^n} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $bx + ay = 2ab$ થાય છે.
આને $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\cos \alpha = \frac{b}{p}$ અને $\sin \alpha = \frac{a}{p}$ મળે છે.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ હોવાથી,$\frac{b^2}{p^2} + \frac{a^2}{p^2} = 1$,તેથી $a^2 + b^2 = p^2$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{p^2}{a^2 b^2} = \frac{k}{p^2}$.
$p = 2ab$ પરથી,$p^2 = 4a^2 b^2$,તેથી $a^2 b^2 = \frac{p^2}{4}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{p^2}{p^2/4} = 4 = \frac{k}{p^2} \cdot p^2 = k$.
આમ,$k = 4$.

(A) આપેલ વક્ર $3y = 6x - 5x^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$3 \frac{dy}{dx} = 6 - 15x^2$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = 2 - 5x^2$ થાય છે.
બિંદુ $P(h, k)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{2 - 5h^2}$ છે.
$(0,0)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $y = \left(-\frac{1}{2 - 5h^2}\right)x$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ અભિલંબ પર હોવાથી,$k = \left(-\frac{1}{2 - 5h^2}\right)h$,એટલે કે $\frac{k}{h} = \frac{1}{5h^2 - 2}$ (સમીકરણ $i$).
બિંદુ $(h, k)$ વક્ર પર હોવાથી,$3k = 6h - 5h^3$,એટલે કે $\frac{k}{h} = \frac{6 - 5h^2}{3}$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$\frac{1}{5h^2 - 2} = \frac{6 - 5h^2}{3}$.
આનું સાદું રૂપ $3 = (6 - 5h^2)(5h^2 - 2) = 30h^2 - 12 - 25h^4 + 10h^2$ થાય છે.
ગોઠવતા $25h^4 - 40h^2 + 15 = 0$,અથવા $5h^4 - 8h^2 + 3 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $z = h^2$,તો $5z^2 - 8z + 3 = 0$.
અવયવ પાડતા $(5z - 3)(z - 1) = 0$,તેથી $z = \frac{3}{5}$ અથવા $z = 1$.
$z = 1$ માટે,$h^2 = 1$,તેથી $h = \pm 1$.
ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય $h = 1$ છે.

(C) બિંદુઓ $(0,3)$ અને $(5,-2)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-2-3}{5-0} = \frac{-5}{5} = -1$ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $(y-3) = -1(x-0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -x+3$ થાય છે.
વક્ર $y = \frac{c}{x+1}$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{-c}{(x+1)^2}$ દ્વારા મળે છે.
રેખા એ વક્રનો સ્પર્શક હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ: $\frac{-c}{(x+1)^2} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $c = (x+1)^2$.
સ્પર્શબિંદુ પર,વક્ર અને રેખા એકબીજાને છેદે છે,તેથી $\frac{c}{x+1} = -x+3$.
આ સમીકરણમાં $c = (x+1)^2$ મૂકતા: $\frac{(x+1)^2}{x+1} = -x+3$,જેનું સાદું રૂપ $x+1 = -x+3$ થાય છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = 2$,તેથી $x = 1$.
$x=1$ ને $c = (x+1)^2$ માં મૂકતા,આપણને $c = (1+1)^2 = 2^2 = 4$ મળે છે.

(B) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(x, y)$ છે જ્યાં $y = x^2 + 4x + 3$. રેખા $3x - y + 2 = 0$ છે.
બિંદુ રેખાની સૌથી નજીક હોવા માટે,તે બિંદુ પરનો સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોવો જોઈએ.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x + 4$ છે.
સ્પર્શક $y = 3x + 2$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $3$ હોવો જોઈએ.
$2x + 4 = 3 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
હવે,$x = -\frac{1}{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકીને $y$-યામ શોધો:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
આમ,બિંદુ $\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)$ છે.

(A) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + x + 16$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_1, y_1)} = 2x_1 + 1$ થાય.
સ્પર્શક રેખા $(0,0)$ અને $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનો ઢાળ $\frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{y_1}{x_1}$ પણ થાય.
બંને ઢાળને સરખાવતા: $2x_1 + 1 = \frac{y_1}{x_1} \Rightarrow y_1 = 2x_1^2 + x_1$ ...$(i)$
$(x_1, y_1)$ વક્ર પર હોવાથી,$y_1 = x_1^2 + x_1 + 16$ ...(ii)
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા: $2x_1^2 + x_1 = x_1^2 + x_1 + 16 \Rightarrow x_1^2 = 16 \Rightarrow x_1 = \pm 4$.
જો $x_1 = 4$,તો $y_1 = 4^2 + 4 + 16 = 36$. તેથી ઢાળ $m = \frac{36}{4} = 9$.
જો $x_1 = -4$,તો $y_1 = (-4)^2 + (-4) + 16 = 28$. તેથી ઢાળ $m = \frac{28}{-4} = -7$.
અહીં વિકલ્પો જોતા $m=9$ લેતા જવાબ $9$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^3 - 3xy + 2 = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} - 3(y + x \frac{dy}{dx}) = 0$.
$3$ વડે ભાગતા:
$y^2 \frac{dy}{dx} - y - x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$.
સ્પર્શક શિરોલંબ હોવા માટે,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને અંશ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ:
$y^2 - x = 0 \Rightarrow x = y^2$ અને $y \neq 0$.
$x = y^2$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0$.
$y^3 - 3y^3 + 2 = 0$.
$-2y^3 + 2 = 0 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$.
$y = 1$ હોવાથી,$x = (1)^2 = 1$.
બિંદુ $(1, 1)$ મળે છે.
આમ,$V = \{(1, 1)\}$.

(A) આપેલ વક્ર $y=\sqrt{9-2x^2}$ છે.
ધારો કે બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે જ્યાં $x_1 = y_1$ છે.
વક્રના સમીકરણમાં $y_1 = x_1$ મૂકતા: $x_1 = \sqrt{9-2x_1^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x_1^2 = 9-2x_1^2 \Rightarrow 3x_1^2 = 9 \Rightarrow x_1^2 = 3 \Rightarrow x_1 = \pm\sqrt{3}$.
કારણ કે $y = \sqrt{9-2x^2}$ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી $y_1 = \sqrt{3}$. આમ,બિંદુ $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ છે.
હવે,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9-2x^2}} \times (-4x) = \frac{-2x}{\sqrt{9-2x^2}} = \frac{-2x}{y}$.
બિંદુ $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ આગળ ઢાળ $m = \frac{-2(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = -2$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - \sqrt{3} = -2(x - \sqrt{3})$
$y - \sqrt{3} = -2x + 2\sqrt{3}$
$2x + y - 3\sqrt{3} = 0$.

(D) વક્ર $y^3-x^2 y+5 y-2 x=0$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$3 y^2 \frac{dy}{dx} - (x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy) + 5 \frac{dy}{dx} - 2 = 0$
$(0,0)$ આગળ,આ $5 \frac{dy}{dx} - 2 = 0$ માં પરિણમે છે,તેથી ઢાળ $m_1 = \frac{2}{5}$ મળે.
વક્ર $x^4-x^3 y^2+5 x+2 y=0$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$4x^3 - (x^3 \cdot 2y \frac{dy}{dx} + 3x^2 y^2) + 5 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$(0,0)$ આગળ,આ $5 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$ માં પરિણમે છે,તેથી ઢાળ $m_2 = -\frac{5}{2}$ મળે.
અહીં $m_1 \times m_2 = (\frac{2}{5}) \times (-\frac{5}{2}) = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો $x = a(1 + \cos \theta)$ અને $y = a \sin \theta$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a - a \cos \theta)$
$y - a \sin \theta = x \tan \theta - a \tan \theta - a \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta$
$y - a \sin \theta = x \tan \theta - a \tan \theta - a \sin \theta$
$y = x \tan \theta - a \tan \theta$
$y = \tan \theta (x - a)$.
આ રેખા $\theta$ થી સ્વતંત્ર એવા નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે,આપણે $x - a = 0$ લઈએ,જે $x = a$ આપે છે.
સમીકરણમાં $x = a$ મૂકતા,આપણને $y = \tan \theta (a - a) = 0$ મળે છે.
તેથી,નિશ્ચિત બિંદુ $(a, 0)$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y=a x^3+b x^2+c x+5$ ...$(i)$
વક્ર $P(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=-2$ અને $y=0$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + 5$
$0 = -8a + 4b - 2c + 5$ ...(ii)
હવે,વક્રનું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$
વક્ર $P(-2,0)$ બિંદુએ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી $x=-2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ થાય:
$\left[\frac{dy}{dx}\right]_{x=-2} = 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$
$12a - 4b + c = 0$
$4b = 12a + c$ ...(iii)
સમીકરણ (iii) માંથી $4b$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$-8a + (12a + c) - 2c + 5 = 0$
$4a - c + 5 = 0$
$c = 4a + 5$

(B) છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણોને એકબીજાની બરાબર મૂકો:
$x^2-1 = 8x-x^2-9$
$2x^2-8x+8 = 0$
$x^2-4x+4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$
$x=2$ ને $y=x^2-1$ માં મૂકતા,આપણને $y=3$ મળે છે. તેથી,છેદબિંદુ $(2,3)$ છે.
હવે,$(2,3)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ નક્કી કરવા માટે વિકલન શોધો:
$C_1: y=x^2-1$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x=2$ આગળ,$m_1 = 2(2) = 4$.
$C_2: y=8x-x^2-9$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 8-2x$. $x=2$ આગળ,$m_2 = 8-2(2) = 4$.
જેમ કે ઢાળ સમાન છે $(m_1 = m_2 = 4)$,તેથી $(2,3)$ બિંદુએ વક્રોના સ્પર્શકો સમાન છે.
તેથી,બંને વક્રો $(2,3)$ બિંદુએ એકબીજાને સ્પર્શે છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x + \frac{4}{x^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{8}{x^3}$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $0$ થાય. તેથી,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$1 - \frac{8}{x^3} = 0 \Rightarrow \frac{8}{x^3} = 1 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$.
હવે,$x = 2$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકીને $y$ યામ શોધો:
$y = 2 + \frac{4}{2^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.
આમ,સ્પર્શક એ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી આડી રેખા છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = 3$ છે.

(A) વક્ર $y=f(x)$ માટે કોઈ પણ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x)$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે બિંદુ $(3,4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t$ અને અભિલંબનો ઢાળ $m_n$ છે.
અભિલંબ ધન $X$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{3\pi}{4}$ માપનો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પર્શક અને અભિલંબના ઢાળ વચ્ચેનો સંબંધ $m_n = -\frac{1}{m_t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ મળે.
આમ,$f^{\prime}(3) = 1$ થાય.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{a} \left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} + \frac{n}{b} \left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ,ઢાળ $m$ છે:
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(a,b)} = -\frac{b}{a} \left(\frac{a/a}{b/b}\right)^{n-1} = -\frac{b}{a}$.
$(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a) \Rightarrow ay - ab = -bx + ab \Rightarrow bx + ay = 2ab$.
$2ab$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $2a$ અને $2b$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $2a + 2b = 2(a+b)$ થાય.

(D) વક્રનું સમીકરણ $2y = e^{-x/2}$ છે.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
$x = 0$ મૂકતા: $2y = e^0 = 1$,તેથી $y = 1/2$.
છેદબિંદુ $(0, 1/2)$ છે.
વક્રનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} e^{-x/2}$.
$x = 0$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4}$ મળે છે.
$y$-અક્ષ એ શિરોલંબ રેખા છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
વક્ર અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{1}{m}|$ છે.
અહીં,$m = -1/4$ હોવાથી,$\tan \theta = |\frac{1}{-1/4}| = 4$.
આપેલ છે કે ખૂણો $\tan^{-1}(k)$ છે,તેથી $\tan^{-1}(k) = \tan^{-1}(4)$.
આમ,$k = 4$.

(A) આપેલ વક્રો $y^2=4x$ અને $y=e^{-x/2}$ છે.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ બંને વક્રોનું છેદબિંદુ છે.
$y^2=4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
આમ,ઢાળ $m_1 = \frac{2}{y_1}$ છે.
$y=e^{-x/2}$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-x/2} = -\frac{1}{2}y$ મળે.
આમ,ઢાળ $m_2 = -\frac{y_1}{2}$ છે.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા: $m_1 m_2 = (\frac{2}{y_1})(-\frac{y_1}{2}) = -1$.
કારણ કે $1 + m_1 m_2 = 1 - 1 = 0$,છેદ શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \infty$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.
અંતે,$\operatorname{cosec}^2(\theta/2) = \operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2})^2 = 2$.

(C) આપેલ વક્ર $y = e^{2x} + x^2$ છે.
$x = 0$ આગળ,$y = e^0 + 0^2 = 1$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(0, 1)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} + 2x$ મળે.
$x = 0$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 2e^0 + 2(0) = 2$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ થાય.
$(0, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0)$ છે.
$2y - 2 = -x$,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y - 2 = 0$ થાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 1$,$B = 2$,અને $C = -2$ છે.
$d = \frac{|-2|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ એકમ.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^2 = ax^4 + b$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 4ax^3$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{4ax^3}{2y} = \frac{2ax^3}{y}$.
બિંદુ $(3, 6)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(3, 6)} = \frac{2a(3)^3}{6} = \frac{2a(27)}{6} = 9a$.
આપેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 4x - 6$ છે,જેનો ઢાળ $4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $9a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{9}$.
બિંદુ $(3, 6)$ એ વક્ર $y^2 = ax^4 + b$ પર આવેલું હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$6^2 = a(3)^4 + b \Rightarrow 36 = \frac{4}{9}(81) + b$.
$36 = 4(9) + b \Rightarrow 36 = 36 + b \Rightarrow b = 0$.
આમ,$a = \frac{4}{9}$ અને $b = 0$ મળે છે.

(C) વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $y = \frac{x}{x^2+1}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.
$x = -4$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=-4} = \frac{1-(-4)^2}{((-4)^2+1)^2} = \frac{1-16}{(16+1)^2} = \frac{-15}{17^2} = \frac{-15}{289}$.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વિરોધી વ્યસ્ત છે:
$\text{અભિલંબનો ઢાળ} = -\frac{1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)} = -\frac{1}{\left(\frac{-15}{289}\right)} = \frac{289}{15}$.

(B) આપેલ વક્ર: $2y^3 = ax^2 + x^3$ $(i)$
સ્પર્શક બિંદુ: $(a, a)$
$x$ ની સાપેક્ષે $(i)$ નું વિકલન કરતા:
$6y^2 \frac{dy}{dx} = 2ax + 3x^2$
બિંદુ $(a, a)$ આગળ:
$6a^2 \frac{dy}{dx} = 2a^2 + 3a^2 = 5a^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{5a^2}{6a^2} = \frac{5}{6}$
ઢાળ $m = \frac{5}{6}$ અને બિંદુ $(a, a)$ માંથી પસાર થતી સ્પર્શકની રેખાનું સમીકરણ:
$y - a = \frac{5}{6}(x - a)$
$6y - 6a = 5x - 5a$
$5x - 6y = -a$
$-a$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{-a/5} + \frac{y}{a/6} = 1$
અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -\frac{a}{5}$ અને $\beta = \frac{a}{6}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\alpha^2 + \beta^2 = 61$:
$(-\frac{a}{5})^2 + (\frac{a}{6})^2 = 61$
$\frac{a^2}{25} + \frac{a^2}{36} = 61$
$\frac{36a^2 + 25a^2}{900} = 61$
$\frac{61a^2}{900} = 61$
$a^2 = 900$
$|a| = 30$.

(C) આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$ અને સાયક્લોઇડના સમીકરણો $x = a(\theta - \sin \theta)$,$y = a(1 - \cos \theta)$ છે.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta)$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{\sin(\pi/3)}{1 - \cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1 - 1/2} = \sqrt{3}$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ આગળ $y$ ની કિંમત $y = a(1 - \cos(\pi/3)) = a(1 - 1/2) = \frac{a}{2}$ છે.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $= \left| \frac{y}{m} \right| = \frac{a/2}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
સબનોર્મલની લંબાઈ $= |y \cdot m| = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
લંબાઈનો સરવાળો $= \frac{a}{2\sqrt{3}} + \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a + 3a}{2\sqrt{3}} = \frac{4a}{2\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ વક્ર $y=x^2-3x+2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને સ્પર્શકનો ઢાળ મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = 2x-3$.
ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 2x-3$ છે.
આપેલ રેખા $y=x$ છે. તેને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,રેખાનો ઢાળ $m_2 = 1$ મળે છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ:
$m_1 \cdot m_2 = -1$.
$(2x-3) \cdot 1 = -1$.
$2x - 3 = -1$.
$2x = 2$.
$x = 1$.
હવે,$y$-યામ શોધવા માટે $x=1$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $(1,0)$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y=x^3$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y=x^3$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = 3x_1^2$ છે.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $X$-અક્ષના ઢાળ જેટલો એટલે કે $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$m_T = 0$,જેનો અર્થ છે કે $3x_1^2 = 0$,તેથી $x_1 = 0$.
$x_1 = 0$ ને વક્રના સમીકરણ $y=x^3$ માં મૂકતા,આપણને $y_1 = (0)^3 = 0$ મળે છે.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(0,0)$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $b y^2 = (x+a)^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2 b y \frac{d y}{d x} = 3(x+a)^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d y}{d x} = \frac{3(x+a)^2}{2 b y}$.
સબનોર્મલની લંબાઈ $p = y \frac{d y}{d x} = y \left( \frac{3(x+a)^2}{2 b y} \right) = \frac{3(x+a)^2}{2 b}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $q = y \frac{d x}{d y} = y \left( \frac{2 b y}{3(x+a)^2} \right) = \frac{2 b y^2}{3(x+a)^2}$.
આપેલ સંબંધ $p = q^2$ પરથી,$\frac{p}{q}$ ની કિંમત મેળવતા,પ્રમાણિત પરિણામ $\frac{8 b}{27}$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રો $x=y^2$ અને $xy=a^3$ છે.
$x=y^2$ ને $xy=a^3$ માં મૂકતા,આપણને $(y^2)y = a^3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $y^3 = a^3$,તેથી $y=a$.
ત્યારબાદ $x = y^2 = a^2$. છેદબિંદુ $(a^2, a)$ છે.
વક્ર $x=y^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
બિંદુ $(a^2, a)$ પર,ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2a}$.
વક્ર $xy=a^3$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
બિંદુ $(a^2, a)$ પર,ઢાળ $m_2 = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(\frac{1}{2a}\right) \times \left(-\frac{1}{a}\right) = -1$.
$-\frac{1}{2a^2} = -1$.
$2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ વક્ર $y=\frac{2}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d y}{d x} = 2x^2 + x$ મળે છે.
સ્પર્શકો યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવતા હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $\frac{d y}{d x} = 1 \Rightarrow 2x^2 + x = 1 \Rightarrow 2x^2 + x - 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2x - 1)(x + 1) = 0$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -1$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$.
$x = -1$ માટે,$y = \frac{2}{3}(-1) + \frac{1}{2}(1) = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{d y}{d x} = -1 \Rightarrow 2x^2 + x = -1 \Rightarrow 2x^2 + x + 1 = 0$.
વિવેચક $D = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$ હોવાથી,આ કિસ્સા માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,જરૂરી બિંદુઓ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{24}\right)$ અને $\left(-1, \frac{-1}{6}\right)$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\left(\frac{x}{31}\right)^n + \left(\frac{y}{1209}\right)^n = 2$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{31} \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1} + \frac{n}{1209} \left(\frac{y}{1209}\right)^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{n}{31} \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1}}{\frac{n}{1209} \left(\frac{y}{1209}\right)^{n-1}} = -\frac{1209}{31} \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1} \left(\frac{1209}{y}\right)^{n-1}$
કારણ કે $1209 / 31 = 39$,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = -39 \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1} \left(\frac{1209}{y}\right)^{n-1}$
બિંદુ $(31, 1209)$ આગળ,$x = 31$ અને $y = 1209$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -39 \left(\frac{31}{31}\right)^{n-1} \left(\frac{1209}{1209}\right)^{n-1} = -39(1)^{n-1}(1)^{n-1} = -39$
આમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $-39$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y=5x^2-3x+7$.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2-3x+7) = 10x-3$.
બિંદુ $(-1, 4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T$ છે:
$m_T = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=-1} = 10(-1)-3 = -10-3 = -13$.
હવે,રેખાના બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y-y_1 = m(x-x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y-4 = -13(x-(-1))$
$y-4 = -13(x+1)$
$y-4 = -13x-13$
$13x+y-4+13 = 0$
$13x+y+9 = 0$.

(D) આપેલ વક્ર $y = \frac{x-7}{(x-2)(x-3)}$ છે. વક્ર $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે ત્યાં $y = 0$ હોય છે. $y = 0$ લેતા,આપણને $x - 7 = 0$ મળે છે,તેથી $x = 7$. આમ,છેદબિંદુ $P(7, 0)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{[(x-2)(x-3)] \cdot 1 - (x-7) \cdot \frac{d}{dx}[(x-2)(x-3)]}{[(x-2)(x-3)]^2}$
$x = 7$ આગળ,છેદ $(7-2)^2(7-3)^2 = 5^2 \cdot 4^2 = 400$ થાય છે. અંશ $(49 - 35 + 6) - (0) = 20$ થાય છે.
તેથી,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=7} = \frac{20}{400} = \frac{1}{20}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -20$ છે.
બિંદુ $(7, 0)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 0 = -20(x - 7)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -20x + 140$ અથવા $20x + y - 140 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^n = ax$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = a$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{n} y^{1-n}$
સબનોર્મલની લંબાઈ $|y \frac{dy}{dx}|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\frac{dy}{dx}$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$\text{સબનોર્મલની લંબાઈ} = |y \cdot \frac{a}{n} y^{1-n}| = |\frac{a}{n} y^{2-n}|$
સબનોર્મલ અચળ રહે તે માટે,તે $y$ થી સ્વતંત્ર હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $y$ નો ઘાતાંક $0$ હોય,એટલે કે $2 - n = 0$.
તેથી,$n = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ છે ...$(i)$
ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ છે.
વક્ર $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2}{3} x^{-1/3} + \frac{2}{3} y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$.
બિંદુ $P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m$:
$m = -\left(\frac{a \sin^3 \theta}{a \cos^3 \theta}\right)^{1/3} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$.
બિંદુ $P$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$.
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta$.
બિંદુ $A$ માટે ($y=0$ લેતા),$x = a \cos \theta$,તેથી $A = (a \cos \theta, 0)$.
બિંદુ $B$ માટે ($x=0$ લેતા),$y = a \sin \theta$,તેથી $B = (0, a \sin \theta)$.
અંતર $AB = \sqrt{(a \cos \theta - 0)^2 + (0 - a \sin \theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = a$.
આમ,$AB = a$.

(A) વક્રનું સમીકરણ $y=ax^3+bx^2+cx+5$ છે ...$(i)$
વક્ર $P(-2,0)$ આગળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,તે $P(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-8a+4b-2c+5=0$ ...(ii)
વળી,તે $x=-2$ આગળ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી $x=-2$ આગળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2+2bx+c$. $x=-2$ માટે,$12a-4b+c=0$ ...(iii)
વક્ર $Y$-અક્ષને $Q(0,5)$ પર છેદે છે જ્યાં ઢાળ $3$ છે,તેથી $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = 3$,જે $c=3$ આપે છે.
$c=3$ ને (ii) અને (iii) માં મૂકતા:
$-8a+4b-6+5=0 \Rightarrow -8a+4b=1$ ...(iv)
$12a-4b+3=0 \Rightarrow 12a-4b=-3$ ...$(v)$
(iv) અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $4a = -2 \Rightarrow a=-\frac{1}{2}$.
$a=-\frac{1}{2}$ ને (iv) માં મૂકતા: $-8(-\frac{1}{2})+4b=1 \Rightarrow 4+4b=1 \Rightarrow 4b=-3 \Rightarrow b=-\frac{3}{4}$.
આમ,$a=-\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{4}, c=3$.

(C) આપેલ વક્ર $y = \sin x$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = \cos x$.
બિંદુ $(0, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = \cos(0) = 1$ છે.
બિંદુ $(0, 0)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
બિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને $m = -1$ ઢાળ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 0 = -1(x - 0)$.
આથી,$y = -x$ અથવા $x + y = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખા $2x+18y=9$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$ છે.
આપેલ વક્ર $y=x^3-3x$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 3x^2-3$ મળે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{3x^2-3}$ થાય.
અભિલંબ આપેલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોય:
$-\frac{1}{9} = -\frac{1}{3(x^2-1)} \Rightarrow 3(x^2-1) = 9 \Rightarrow x^2-1 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $x=2$,તો $y = (2)^3 - 3(2) = 8-6 = 2$. બિંદુ $(2, 2)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-2 = -\frac{1}{9}(x-2) \Rightarrow 9y-18 = -x+2 \Rightarrow x+9y = 20$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો $x=-2$,તો $y = (-2)^3 - 3(-2) = -8+6 = -2$. બિંદુ $(-2, -2)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-(-2) = -\frac{1}{9}(x-(-2)) \Rightarrow 9(y+2) = -(x+2) \Rightarrow 9y+18 = -x-2 \Rightarrow x+9y = -20$ થાય.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,જરૂરી સમીકરણો $x+9y = \pm 20$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = e^{2x}$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન શોધીએ: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$.
બિંદુ $(0, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 1)} = 2e^{2(0)} = 2(1) = 2$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (0, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 1 = 2(x - 0)$,જેનું સાદું રૂપ $y = 2x + 1$ થાય છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને જ્યાં મળે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા.
$0 = 2x + 1 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.
આમ,સ્પર્શક $x$-અક્ષને $(-\frac{1}{2}, 0)$ બિંદુએ મળે છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = x + \frac{2}{x}$ છે.
$x = 2$ માટે,$y = 2 + \frac{2}{2} = 3$. તેથી,બિંદુ $(2, 3)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x^2}$ મળે.
$x = 2$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -2$ છે.
$(2, 3)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 3 = -2(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 3 = -2x + 4$ અથવા $2x + y = 7$ થાય છે.
અભિલંબ યામ અક્ષોને જ્યાં મળે છે તે બિંદુઓ $A$ અને $B$ શોધવા માટે:
$x$-અંત:ખંડ $(y = 0)$ માટે,$2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}$. તેથી,$A = (\frac{7}{2}, 0)$.
$y$-અંત:ખંડ $(x = 0)$ માટે,$y = 7$. તેથી,$B = (0, 7)$.
$AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(\frac{7}{2} - 0)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + 49} = \sqrt{49(\frac{1}{4} + 1)} = 7 \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$.