વિધેય f(x) = x^{1/x} એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $y = x^{1/x}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln y = \frac{1}{x} \ln x$ મળે છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$\frac{1}{y} \frac{dy}

Vedclass · Accepted Answer

$(1, e)$ માં વધતું અને $(e, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $y = x^{1/x}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln y = \frac{1}{x} \ln x$ મળે છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \ln x + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.આમ,$\frac{dy}{dx} = x^{1/x} \left(\frac{1 - \ln x}{x^2}\right)$.બધા $x > 0$ માટે $x^{1/x} > 0$ અને $x^2 > 0$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx}$ ની નિશાની $(1 - \ln x)$ પર આધાર રાખે છે.$x \in (1, e)$ માટે,$\ln x 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} > 0$. આમ,$f(x)$ એ $(1, e)$ માં વધતું વિધેય છે.$x \in (e, \infty)$ માટે,$\ln x > 1$,તેથી $1 - \ln x < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} < 0$. આમ,$f(x)$ એ $(e, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ એ

Similar Questions

જો $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2-2, \forall x \neq 0$ અને $y=9 x^2 f(x)$ હોય,તો $y$ કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે:

જો $f(x) = x^2 + kx + 1$ એ અંતરાલ $[1, 2]$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય,તો $k$ નું ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય શું થાય?

$F(x) = \log |\sin x|$,જ્યાં $x \in (0, \pi)$,એ કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે?

વિધેય $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 7$ એ

$k$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેના માટે વિધેય $f(x) = {x^2} + kx + 1$ એ અંતરાલ $1 \leq x \leq 2$ માં વધતું વિધેય હોય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module