Motion of Centre of Mass Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે,$m_1 = 6 \,kg, m_2 = 4 \,kg$ અને $\overrightarrow{v}_1 = 5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}, \overrightarrow{v}_2 = 10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\overrightarrow{v}_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{6(5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}) + 4(10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k})}{6 + 4}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{(30 \hat{i}-12 \hat{j}+60 \hat{k}) + (40 \hat{i}-8 \hat{j}+20 \hat{k})}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{70 \hat{i}-20 \hat{j}+80 \hat{k}}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = 7 \hat{i}-2 \hat{j}+8 \hat{k}$

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ આ મુજબ મળે છે: $v_{cm} = \frac{M \cdot v_1 + m \cdot v_2}{M + m} = \frac{M(2) + 1(1)}{M + 1} = \frac{2M + 1}{M + 1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $K.E._{cm} = \frac{1}{2} (M + m) v_{cm}^2$.
આપેલ છે કે $K.E._{cm} = \frac{4}{3} \ J$,કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{3} = \frac{1}{2} (M + 1) \left( \frac{2M + 1}{M + 1} \right)^2$.
$\frac{4}{3} = \frac{1}{2} \frac{(2M + 1)^2}{M + 1}$.
$8(M + 1) = 3(4M^2 + 4M + 1)$.
$8M + 8 = 12M^2 + 12M + 3$.
$12M^2 + 4M - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $M = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$M = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(12)(-5)}}{2(12)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{24} = \frac{-4 \pm 16}{24}$.
દળ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $M = \frac{12}{24} = 0.5 \ kg$.

(A) આપેલ છે: દડાઓના દળ $m_1 = 100 \ g = 0.1 \ kg$ અને $m_2 = 200 \ g = 0.2 \ kg$.
$t = 0.4 \ s$ સમયે,પ્રથમ દડા માટે પતનનો સમય $t_1 = 0.4 \ s$ છે.
પ્રથમ દડા દ્વારા કાપેલ અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \ m$.
$t = 0.4 \ s$ સમયે,બીજા દડા માટે પતનનો સમય $t_2 = 0.4 - 0.2 = 0.2 \ s$ છે.
બીજા દડા દ્વારા કાપેલ અંતર $s_2 = \frac{1}{2} g t_2^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \ m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું મુક્તિ બિંદુથી અંતર $s_{cm} = \frac{m_1 s_1 + m_2 s_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $s_{cm} = \frac{0.1 \times 0.8 + 0.2 \times 0.2}{0.1 + 0.2} = \frac{0.08 + 0.04}{0.3} = \frac{0.12}{0.3} = 0.4 \ m$.

(A) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તેના પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ અનુસાર થાય છે,જે સમીકરણ $F_{ext} = M a_{cm}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં કણો $A$ અને $B$ પરસ્પર આકર્ષણ બળ હેઠળ ગતિ કરી રહ્યા છે,તેથી તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી $(F_{ext} = 0)$.
શરૂઆતમાં,બંને કણો સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{cm, initial} = 0$ છે.
$F_{ext} = 0$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = 0$ થશે,જેનો અર્થ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,કોઈપણ ક્ષણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ તેના પ્રારંભિક વેગ જેટલો જ એટલે કે $0$ રહેશે.

(C) ધારો કે દળ $m_1 = 2 \text{ kg}$ અને $m_2 = 1 \text{ kg}$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1) \times 10}{2 + 1} = \frac{10}{3} \text{ m/s}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2 \text{ kg}$ નો બ્લોક $a_1 = 10/3 \text{ m/s}^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે અને $1 \text{ kg}$ નો બ્લોક $a_2 = 10/3 \text{ m/s}^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 - m_2 a_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(10/3) - 1(10/3)}{2 + 1} = \frac{10/3}{3} = 10/9 \text{ m/s}^2$ થાય.
$t = 2 \text{ s}$ માં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલું અંતર $d = \frac{1}{2} a_{cm} t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times 4 = \frac{20}{9} \approx 2.22 \text{ m}$ થાય.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{m_A a_1 + m_B a_2}{m_A + m_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m_A = m_B = m$ હોવાથી,$a_{cm} = \frac{m(6\hat{i} + 6\hat{j}) + m(0)}{2m} = 3\hat{i} + 3\hat{j} \text{ m/s}^2$ મળે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{cm} = \frac{m_A v_1 + m_B v_2}{m_A + m_B} = \frac{m(4\hat{i}) + m(4\hat{j})}{2m} = 2\hat{i} + 2\hat{j} \text{ m/s}$ થાય.
અહીં પ્રવેગ સદિશ $a_{cm} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$ અને પ્રારંભિક વેગ સદિશ $v_{cm} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી $(a_{cm} = 1.5 v_{cm})$,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ સુરેખ માર્ગે થશે.