Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Hindi

(A) द्रव्यमान $M$ और लंबाई $L$ की छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(MI)$ निम्न प्रकार दिया जाता है:
$1$. छड़ के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः: $I = \frac{ML^2}{12}$.
$2$. छड़ के लंबवत और एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः: $I = \frac{ML^2}{3}$.
इन सूत्रों का उपयोग करने पर:
$(a)$ द्रव्यमान $M$,लंबाई $L$,मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष: $I = \frac{ML^2}{12}$ ($iii$ के साथ मेल खाता है)।
$(b)$ द्रव्यमान $2M$,लंबाई $L$,सिरे से गुजरने वाली अक्ष: $I = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$ ($iv$ के साथ मेल खाता है)।
$(c)$ द्रव्यमान $M$,लंबाई $2L$,मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष: $I = \frac{M(2L)^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ ($ii$ के साथ मेल खाता है)।
$(d)$ द्रव्यमान $2M$,लंबाई $2L$,सिरे से गुजरने वाली अक्ष: $I = \frac{(2M)(2L)^2}{3} = \frac{2M(4L^2)}{3} = \frac{8ML^2}{3}$ ($i$ के साथ मेल खाता है)।
अतः,सही मिलान $(a)-(iii), (b)-(iv), (c)-(ii), (d)-(i)$ है।

(A) घूर्णन त्रिज्या $k$ का सूत्र $k = \sqrt{\frac{I}{m}}$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $m$ द्रव्यमान है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली समान डिस्क के लिए:
$1$. उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{mR^2}{2}$ है।
$2$. उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{mR^2}{4}$ है।
मान लीजिए कि $k_1$ और $k_2$ क्रमशः $I_1$ और $I_2$ के अनुरूप घूर्णन त्रिज्याएँ हैं।
अतः,$\frac{k_1}{k_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{mR^2 / 2}{mR^2 / 4}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2} = \sqrt{2}: 1$.

(C) सभी पिंडों की त्रिज्या $2R$ और द्रव्यमान $M$ है।
$I_{1} = \frac{2}{5} M (2R)^{2} = \frac{8}{5} MR^{2}$
$I_{2} = \frac{1}{2} M (2R)^{2} = 2 MR^{2}$
$I_{3} = \frac{M (2R)^{2}}{4} = MR^{2}$
$I_{4} = \frac{M (2R)^{2}}{2} = 2 MR^{2}$
दिया गया समीकरण: $2(I_{2} + I_{3}) + I_{4} = x I_{1}$
मान रखने पर: $2(2 MR^{2} + MR^{2}) + 2 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$2(3 MR^{2}) + 2 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$6 MR^{2} + 2 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$8 MR^{2} = x (\frac{8}{5} MR^{2})$
$x = 5$

(A) समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{com} + MR^2$ है।
$(A)$ ठोस गोले के लिए,$I_{com} = \frac{2}{5}MR^2$ है। स्पर्शरेखा के परितः,$I = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$ $(II)$ होगा।
$(B)$ खोखले गोले के लिए,$I_{com} = \frac{2}{3}MR^2$ है। स्पर्शरेखा के परितः,$I = \frac{2}{3}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{3}MR^2$ $(I)$ होगा।
$(C)$ वृत्ताकार वलय के लिए,$I_{com} = MR^2$ (तल के लंबवत अक्ष के परितः)। लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_x + I_y = I_z$ है। चूंकि $I_x = I_y = I_{diameter}$ है,इसलिए $2I_{diameter} = MR^2$,अतः $I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$ $(IV)$ होगा।
$(D)$ वृत्ताकार चकती के लिए,$I_{com} = \frac{1}{2}MR^2$ है। लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$2I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$,अतः $I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^2$ $(III)$ होगा।
अतः,सही मिलान $A-II, B-I, C-IV, D-III$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान और $\ell$ लंबाई की एक समान पतली छड़ के लिए,उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{m \ell^{2}}{3}$ होता है।
जब छड़ को $r$ त्रिज्या वाले वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए $\ell = 2 \pi r$,जिसका अर्थ है $r = \frac{\ell}{2 \pi}$।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{2} = \frac{1}{2} m r^{2}$ होता है।
$I_{2}$ के व्यंजक में $r = \frac{\ell}{2 \pi}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{2} = \frac{1}{2} m \left(\frac{\ell}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{m \ell^{2}}{8 \pi^{2}}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $\frac{I_{1}}{I_{2}}$ की गणना करने पर:
$\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{\frac{m \ell^{2}}{3}}{\frac{m \ell^{2}}{8 \pi^{2}}} = \frac{8 \pi^{2}}{3}$।
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{x \pi^{2}}{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 8$ प्राप्त होता है।

(A) $m$ द्रव्यमान और $\ell$ लंबाई वाली एक समान छड़ की उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m \ell^{2}}{12}$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,जड़त्व आघूर्ण को $I = mk^{2}$ के रूप में भी व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $mk^{2} = \frac{m \ell^{2}}{12}$।
$k$ के लिए हल करने पर: $k^{2} = \frac{\ell^{2}}{12} \Rightarrow k = \frac{\ell}{\sqrt{12}} = \frac{\ell}{2 \sqrt{3}}$।
चूँकि $\ell = 10 \sqrt{3} \ m$ दिया गया है,हम इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
$k = \frac{10 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 5 \ m$।
अतः,घूर्णन त्रिज्या $5 \ m$ है।

(A) मान लीजिए $O$ डिस्क का ज्यामितीय केंद्र है और $C(x, y)$ इसका द्रव्यमान केंद्र है।
मान लीजिए $I_{CM}$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और स्पर्श रेखाओं के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + M d^2$ है,जहाँ $d$ अक्षों के बीच की दूरी है।
स्पर्श रेखाओं $AB$ और $CD$ ($x$-अक्ष के समानांतर) के लिए,द्रव्यमान केंद्र से दूरियाँ क्रमशः $(R-y)$ और $(R+y)$ हैं:
$I_1 = I_{CM} + M(R-y)^2$
$I_3 = I_{CM} + M(R+y)^2$
इन समीकरणों को घटाने पर:
$I_1 - I_3 = M[(R-y)^2 - (R+y)^2] = M[R^2 - 2Ry + y^2 - (R^2 + 2Ry + y^2)] = -4MRy$
इसी प्रकार,स्पर्श रेखाओं $BC$ और $DA$ ($y$-अक्ष के समानांतर) के लिए,द्रव्यमान केंद्र से दूरियाँ क्रमशः $(R-x)$ और $(R+x)$ हैं:
$I_2 = I_{CM} + M(R-x)^2$
$I_4 = I_{CM} + M(R+x)^2$
$I_2 - I_4 = -4MRx$
दोनों परिणामों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(I_1 - I_3)^2 + (I_2 - I_4)^2 = 16M^2R^2y^2 + 16M^2R^2x^2 = 16M^2R^2(x^2 + y^2)$
अतः,दूरी $d = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{4MR} \sqrt{(I_1 - I_3)^2 + (I_2 - I_4)^2}$.

(C) किसी अक्ष के परितः किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ को $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान तत्व $m_i$ की लंबवत दूरी है।
जब डिस्क को उसके व्यास के परितः आधा मोड़ा जाता है,तो उस व्यास के सापेक्ष द्रव्यमान वितरण अपरिवर्तित रहता है। मूल डिस्क में व्यास से $r$ दूरी पर स्थित प्रत्येक द्रव्यमान तत्व $dm$,मोड़ने के बाद भी व्यास से उसी $r$ दूरी पर बना रहता है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ और अक्ष (व्यास) से सभी द्रव्यमान तत्वों की लंबवत दूरियां $r$ समान रहती हैं,इसलिए समाकलन $I = \int r^2 dm$ में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{M R^2}{4}$ ही रहेगा।

(D) घूर्णन करती हुई वस्तु की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय गति है।
चूंकि सभी स्थितियों के लिए $\omega$ स्थिर है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K$,जड़त्व आघूर्ण $I$ के सीधे आनुपातिक है $(K \propto I)$।
अतः,गतिज ऊर्जा उस अक्ष के लिए सबसे अधिक होगी जिसके परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ अधिकतम है।
$a$ भुजा और $M$ द्रव्यमान वाली वर्गाकार प्लेट के लिए:
$1$. केंद्र से गुजरती हुई,प्लेट के लंबवत अक्ष: $I_1 = \frac{Ma^2}{6}$
$2$. विकर्ण के अनुदिश अक्ष: $I_2 = \frac{Ma^2}{12}$
$3$. किनारे के अनुदिश अक्ष: $I_3 = \frac{Ma^2}{3}$
$4$. कोने से गुजरती हुई,प्लेट के लंबवत अक्ष: लंबवत अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_4 = I_{cm} + M(r^2) = \frac{Ma^2}{6} + M(\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = \frac{Ma^2}{6} + \frac{Ma^2}{2} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2Ma^2}{3}$.
मानों की तुलना करने पर,$I_4$ सबसे बड़ा है। इस प्रकार,जब प्लेट को एक कोने से गुजरने वाली और प्लेट के लंबवत अक्ष के परितः घुमाया जाता है,तो गतिज ऊर्जा सबसे अधिक होती है।

(D) किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ प्रत्येक कण के द्रव्यमान $(m_i)$ और घूर्णन अक्ष से उसकी लंबवत दूरी $(r_i)$ के वर्ग के गुणनफल के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. यह पिंड के कुल द्रव्यमान पर निर्भर करता है।
$2$. यह इस बात पर निर्भर करता है कि घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान कैसे वितरित है।
$3$. यह घूर्णन अक्ष की स्थिति और अभिविन्यास पर निर्भर करता है।
अतः,दिए गए सभी कारक पिंड के जड़त्व आघूर्ण को प्रभावित करते हैं।

(C) तार की लंबाई $\ell$ है,जो $R$ त्रिज्या का एक अर्धवृत्त बनाती है। इसलिए,$\ell = \pi R$,जिससे $R = \frac{\ell}{\pi}$ प्राप्त होता है।
अर्धवृत्ताकार तार का प्रत्येक बिंदु इसके मुक्त सिरों से गुजरने वाली अक्ष (अर्धवृत्त का व्यास) से $R$ दूरी पर स्थित है।
अक्ष से $R$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कण का जड़त्व आघूर्ण $I = m R^2$ होता है। चूंकि तार का संपूर्ण द्रव्यमान $m$ अक्ष से $R$ दूरी पर है,इसलिए इस अक्ष के परितः अर्धवृत्ताकार तार का जड़त्व आघूर्ण $I = m R^2$ होगा।
सूत्र में $R = \frac{\ell}{\pi}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = m \left( \frac{\ell}{\pi} \right)^2 = \frac{m \ell^2}{\pi^2}$.

(C) डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2 t) \rho$,हम लिख सकते हैं $R^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$।
इस मान को $I$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$।
यह दिया गया है कि दोनों डिस्क का द्रव्यमान $M$ और मोटाई $t$ समान है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण घनत्व $\rho$ के व्युत्क्रमानुपाती है:
$I \propto \frac{1}{\rho}$।
अतः,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात होगा:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{51 \, g/cm^3}{17 \, g/cm^3} = 3$।
इस प्रकार,अनुपात $3:1$ है।

(D) तार की लंबाई $l = \pi r$ है,जहाँ $r$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है।
इसलिए,$r = \frac{l}{\pi}$।
चूंकि तार पतला है,तार का प्रत्येक बिंदु अर्धवृत्त के केंद्र से $r$ दूरी पर है।
अर्धवृत्त के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः पूरे तार का जड़त्व आघूर्ण $I_{center} = m r^2$ होता है।
हालाँकि,प्रश्न में तार के एक सिरे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण पूछा गया है।
अर्धवृत्ताकार तार के लिए,एक सिरे से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = 2mr^2$ होता है।
$r = \frac{l}{\pi}$ का मान रखने पर,हमें $I = 2m(\frac{l}{\pi})^2 = \frac{2ml^2}{\pi^2}$ प्राप्त होता है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{M l^2}{12}$ होता है।
$x$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए,छड़ और रेखा $y = x$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है। इस रेखा के परितः इस छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_{cm} \sin^2(45^{\circ}) = \frac{M l^2}{12} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{M l^2}{24}$ होगा।
इसी प्रकार,$y$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए,छड़ और रेखा $y = x$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है। इस रेखा के परितः इस छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} \sin^2(45^{\circ}) = \frac{M l^2}{12} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{M l^2}{24}$ होगा।
रेखा $y = x$ के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{M l^2}{24} + \frac{M l^2}{24} = \frac{2 M l^2}{24} = \frac{M l^2}{12}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए कि दो छल्ले $R_1$ और $R_2$ हैं। मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष छल्ले $R_1$ का व्यास है और छल्ले $R_2$ के तल के लंबवत है।
छल्ले $R_1$ के लिए,इसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} m R^2$ है।
छल्ले $R_2$ के लिए,अक्ष इसके तल के लंबवत है और इसके केंद्र से गुजरती है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I_2 = m R^2$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$ है।
मान लीजिए $k$ निकाय की घूर्णन त्रिज्या है। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + m = 2m$ है।
हम जानते हैं कि $I = M k^2$,इसलिए $\frac{3}{2} m R^2 = (2m) k^2$ है।
$k$ के लिए हल करने पर: $k^2 = \frac{3}{4} R^2$,जिससे $k = \frac{\sqrt{3}}{2} R$ प्राप्त होता है।

(B) छड़ $4$ खंडों से बनी है,प्रत्येक की लंबाई $l$ और द्रव्यमान $M$ है। बाएं से दाएं खंडों को $1, 2, 3, 4$ मान लें।
खंड $2$ और $3$ बिंदु $O$ पर जुड़े हुए हैं। वे $l$ लंबाई की छड़ें हैं जो एक सिरे के परितः घूम रही हैं। उनका जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_3 = \frac{Ml^2}{3}$ है।
खंड $1$ और $4$ $l$ लंबाई की छड़ें हैं जिनके द्रव्यमान केंद्र बिंदु $O$ से $d$ दूरी पर हैं। $90^\circ$ के कोण की ज्यामिति का उपयोग करके $O$ से खंड $1$ (या $4$) के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $x = \sqrt{(l/2)^2 + (l/2)^2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होती है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_1 = I_4 = I_{CM} + Mx^2 = \frac{Ml^2}{12} + M(\frac{l}{\sqrt{2}})^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{2} = \frac{7Ml^2}{12}$।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 2(\frac{7Ml^2}{12}) + 2(\frac{Ml^2}{3}) = \frac{7Ml^2}{6} + \frac{4Ml^2}{6} = \frac{11Ml^2}{6}$।
नोट: दिए गए विकल्पों को देखते हुए,इस प्रकार के मानक पाठ्यपुस्तक प्रश्नों के आधार पर अपेक्षित उत्तर $B$ है।

(A) एक ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,अक्ष $PQ$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{PQ} = I_{cm} + Md^2$ है,जहाँ $d = 10 \, cm$ अक्षों के बीच की दूरी है।
$I_{PQ} = \frac{2}{5} MR^2 + M(10)^2$.
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $k$,जड़त्व आघूर्ण से $I_{PQ} = Mk^2$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$Mk^2 = \frac{2}{5} MR^2 + M(10)^2$.
$M$ से विभाजित करने पर,हमें $k^2 = \frac{2}{5} R^2 + 100$ प्राप्त होता है।
$R = 5 \, cm$ रखने पर,$k^2 = \frac{2}{5} (5)^2 + 100 = \frac{2}{5} (25) + 100 = 10 + 100 = 110$.
इस प्रकार,$k = \sqrt{110} \, cm$.
इसकी तुलना $\sqrt{x} \, cm$ से करने पर,हमें $x = 110$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि बेलन के पदार्थ का घनत्व $\rho$ है।
मूल बेलन का द्रव्यमान $m_1 = \rho \cdot \pi R^2 L$ है।
अपने अक्ष के परितः मूल बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} m_1 R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$ है।
काटे गए बेलन का द्रव्यमान $m_2 = \rho \cdot \pi (R')^2 L' = \rho \cdot \pi (\frac{R}{2})^2 (\frac{L}{2}) = \rho \cdot \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L$ है।
अपने अक्ष के परितः काटे गए बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} m_2 (R')^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{8} \rho \pi R^2 L) (\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{1}{64} \rho \pi R^4 L$ है।
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} \rho \pi R^4 L}{\frac{1}{64} \rho \pi R^4 L} = \frac{64}{2} = 32$ है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{4}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M_1$ और $M_2$ समान हैं,इसलिए जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ होगा।
डिस्क का द्रव्यमान $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \pi R^2 t$ है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $t$ मोटाई है।
$M_1 = M_2$ दिया गया है,इसलिए $\rho_1 R_1^2 t_1 = \rho_2 R_2^2 t_2$ होगा।
अतः,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{\rho_2 t_2}{\rho_1 t_1}$।
$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{3}{5}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{5}{3}$।
$t_1 = 1\,cm$ और $t_2 = 0.5\,cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{t_2}{t_1} = \frac{0.5}{1} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{5}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$।
अतः,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{5}{6}$ है।
इसकी तुलना $\frac{x}{6}$ से करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(C) एक वलय के लिए जो अपने केंद्र से गुजरने वाली और अपने तल के लंबवत अक्ष के परितः घूम रही है,जड़त्व आघूर्ण $I = M_1 R_1^2$ है। चूँकि $I = M_1 K_1^2$,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $K_1 = R_1$ है।
एक ठोस गोले के लिए जो अपने केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूम रहा है,जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{2}{5} M_2 R_2^2$ है। चूँकि $I' = M_2 K_2^2$,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $K_2 = \sqrt{\frac{2}{5}} R_2$ है।
यह दिया गया है कि घूर्णन त्रिज्याएँ समान हैं,इसलिए $K_1 = K_2$.
अतः,$R_1 = \sqrt{\frac{2}{5}} R_2$.
इसका अर्थ है कि $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
दिए गए अनुपात $\sqrt{\frac{2}{x}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(B) $M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = M_{total}R^2$ होता है।
$M$ द्रव्यमान वाली अर्धवृत्ताकार वलय के लिए,द्रव्यमान इस प्रकार वितरित होता है कि प्रत्येक द्रव्यमान अवयव की केंद्र से दूरी ठीक $R$ होती है।
जड़त्व आघूर्ण $I$ को $\int r^2 dm$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि अर्धवृत्ताकार वलय का प्रत्येक द्रव्यमान अवयव $dm$ केंद्र से $R$ की स्थिर दूरी पर है,इसलिए हमें $I = \int R^2 dm = R^2 \int dm = MR^2$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{1}{x} MR^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{x} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$,$I = mk^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
ठोस गोले के लिए,इसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sph}} = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
इसे $mk_{\text{sph}}^2$ के बराबर रखने पर,हमें $k_{\text{sph}} = \sqrt{\frac{2}{5}}R$ प्राप्त होता है।
ठोस बेलन के लिए,इसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{cyl}} = \frac{1}{2}mR^2$ होता है।
इसे $mk_{\text{cyl}}^2$ के बराबर रखने पर,हमें $k_{\text{cyl}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{k_{\text{sph}}}{k_{\text{cyl}}} = \frac{\sqrt{2/5}R}{R/\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2}{5}} \times \sqrt{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
दिए गए अनुपात $\frac{2}{\sqrt{x}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(B) घूर्णन त्रिज्या $K$ का सूत्र $K = \sqrt{\frac{I}{M}}$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ द्रव्यमान है।
ठोस गोले के लिए,अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{solid}} = \frac{2}{5}MR^2$ है। अतः,$K_{\text{solid}} = \sqrt{\frac{2/5 MR^2}{M}} = R\sqrt{\frac{2}{5}}$.
पतले खोखले गोले के लिए,अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{hollow}} = \frac{2}{3}MR^2$ है। अतः,$K_{\text{hollow}} = \sqrt{\frac{2/3 MR^2}{M}} = R\sqrt{\frac{2}{3}}$.
अनुपात $\frac{K_{\text{solid}}}{K_{\text{hollow}}} = \frac{R\sqrt{2/5}}{R\sqrt{2/3}} = \sqrt{\frac{2}{5} \times \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{3} : \sqrt{5}$ है।

(B) माना प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ है और वर्ग की भुजा $a = 2 \ m$ है।
माना घूर्णन अक्ष एक शीर्ष (माना ऊपर का दायां कोना) से होकर गुजरती है और वर्ग के तल के लंबवत है।
इस अक्ष से चारों कणों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. अक्ष पर स्थित कण: $r_1 = 0$
$2$. दो निकटवर्ती कण: $r_2 = r_3 = a = 2 \ m$
$3$. विकर्ण के विपरीत स्थित कण: $r_4 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ m$
जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र $I = \sum m_i r_i^2 = m(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2)$ है।
$I = 1 \times (0^2 + 2^2 + 2^2 + (2\sqrt{2})^2)$
$I = 1 \times (0 + 4 + 4 + 8) = 16 \ kg \ m^2$.

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले खोखले गोले के लिए,इसके व्यास अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{3} MR^2$ है।
चूंकि $I = Mk^2$,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $k_1$ के लिए $k_1^2 = \frac{2}{3} R^2$ प्राप्त होता है।
$M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $4R$ लंबाई वाले ठोस बेलन के लिए,अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके निकाला जाता है।
बेलन के लिए $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{12} M(4R)^2 + \frac{1}{4} MR^2 + M(2R)^2 = \frac{16}{12} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 + 4MR^2 = (\frac{4}{3} + \frac{1}{4} + 4) MR^2 = \frac{67}{12} MR^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$k_2^2 = \frac{67}{12} R^2$ है।
अनुपात $\frac{k_1}{k_2} = \sqrt{\frac{2/3}{67/12}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{12}{67}} = \sqrt{\frac{8}{67}}$ है।
इस प्रकार,$x = 67$ है।

(D) $2 \,m$ भुजा की लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से प्रत्येक भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,m$ है。
त्रिभुज के तल के लंबवत और केंद्रक से गुजरने वाली अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ है。
चूंकि सभी द्रव्यमान केंद्रक से समान दूरी $r$ पर हैं,इसलिए $I = (m_1 + m_2 + m_3) r^2$ होगा。
मान रखने पर: $I = (2 + 4 + 6) \times (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$.
$I = 12 \times \frac{1}{3} = 4 \,kg \,m^2$.

(D) एक पतली छड़ के मध्य बिंदु से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र है:
$I = \frac{m \ell^2}{12}$
दिया गया है:
$I = 2400 \,g \,cm^2$
$m = 400 \,g$
सूत्र में मान रखने पर:
$2400 = \frac{400 \times \ell^2}{12}$
समीकरण को सरल करने पर:
$2400 = \frac{100 \times \ell^2}{3}$
$2400 \times 3 = 100 \times \ell^2$
$7200 = 100 \times \ell^2$
$\ell^2 = 72$
वर्गमूल लेने पर:
$\ell = \sqrt{72} \approx 8.485 \,cm$
निकटतम मान लेने पर:
$\ell \approx 8.5 \,cm$

(B) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले गोलीय कोश का जड़त्व आघूर्ण $dI = \frac{2}{3} (dm) r^2$ होता है।
चूँकि $dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$,इसलिए $dI = \frac{8}{3} \pi \rho(r) r^4 dr$ होगा।
गोले $A$ के लिए: $I_A = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r}{R} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R} \int_0^R r^5 dr = \frac{8\pi k}{3R} \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{18} = \frac{4\pi k R^5}{9}$.
गोले $B$ के लिए: $I_B = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r^5}{R^5} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \int_0^R r^9 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \left[ \frac{r^{10}}{10} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{30} = \frac{4\pi k R^5}{15}$.
अब,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{4\pi k R^5 / 15}{4\pi k R^5 / 9} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}$.
इसे $\frac{n}{10}$ के साथ तुलना करने पर,$n = 6$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक निकाय का द्रव्यमान $M$ है। डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{MR_1^2}{4}$ है।
रिंग का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{MR_2^2}{2}$ है।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_3 = \frac{2MR_1^2}{5}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$I_1 = 2.5 I_2$.
$\frac{MR_1^2}{4} = 2.5 \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow \frac{R_1^2}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{R_2^2}{2} \Rightarrow \frac{R_1^2}{4} = \frac{5R_2^2}{4} \Rightarrow R_1^2 = 5R_2^2$.
अब,हमें दिया गया है $I_3 = n I_2$.
$\frac{2MR_1^2}{5} = n \times \frac{MR_2^2}{2}$.
समीकरण में $R_1^2 = 5R_2^2$ रखने पर:
$\frac{2M(5R_2^2)}{5} = n \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow 2MR_2^2 = n \times \frac{MR_2^2}{2} \Rightarrow n = 4$.

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक ठोस डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
चूंकि डिस्क एक ही पदार्थ (लोहे) से बनी हैं और उनकी मोटाई नगण्य है,इसलिए उनका पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ समान है।
अतः,डिस्क का द्रव्यमान $M = \sigma \times \text{क्षेत्रफल} = \sigma \times \pi R^2$ होगा।
पहली डिस्क के लिए: $M_1 = \sigma \pi R_1^2$ और $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R_1^2) R_1^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R_1^4$.
दूसरी डिस्क के लिए: $M_2 = \sigma \pi R_2^2$ और $I_2 = \frac{1}{2} M_2 R_2^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R_2^2) R_2^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R_2^4$.
दिया गया है कि $R_2 = 2 R_1$,इसे $I_2$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I_2 = \frac{1}{2} \sigma \pi (2 R_1)^4 = \frac{1}{2} \sigma \pi (16 R_1^4) = 16 \times (\frac{1}{2} \sigma \pi R_1^4) = 16 I_1$.
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1}{16 I_1} = \frac{1}{16}$.
इसकी तुलना $1/x$ से करने पर,हमें $x = 16$ प्राप्त होता है।

(D) छड़ की लंबाई $L$ है और इसका रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है। अतः,छड़ का कुल द्रव्यमान $M = \lambda L$ है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या के वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है: $2 \pi R = L$,जिससे $R = \frac{L}{2 \pi}$ प्राप्त होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
सूत्र में $M$ और $R$ के मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} (\lambda L) \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2$
$I = \frac{1}{2} (\lambda L) \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right)$
$I = \frac{\lambda L^3}{8 \pi^2}$.

(C) मान लीजिए कि $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की छड़ $AB$ है। द्रव्यमान केंद्र $C$ दोनों सिरों से $L/2$ दूरी पर है। घूर्णन अक्ष एक सिरे (मान लीजिए $A$) से $L/3$ दूरी पर स्थित बिंदु $N$ से गुजरती है।
केंद्र $C$ से $N$ की दूरी $d = |L/2 - L/3| = L/6$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$N$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = I_{CM} + Md^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{6}\right)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$
घूर्णन त्रिज्या $K$ को $I = MK^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए:
$MK^2 = \frac{ML^2}{9}$
$K^2 = \frac{L^2}{9}$
$K = \frac{L}{3}$

(A) $M_s$ द्रव्यमान वाले ठोस अर्धगोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5} M_s R^2$ होता है।
यहाँ,ठोस अर्धगोले का द्रव्यमान $M_s = m/2$ है,इसलिए $I_s = \frac{2}{5} (m/2) R^2 = \frac{1}{5} m R^2$ होगा।
$M_h$ द्रव्यमान वाले अर्धगोलीय खोल का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_h = \frac{2}{3} M_h R^2$ होता है।
यहाँ,अर्धगोलीय खोल का द्रव्यमान $M_h = m/2$ है,इसलिए $I_h = \frac{2}{3} (m/2) R^2 = \frac{1}{3} m R^2$ होगा।
अक्ष $AB$ के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों का योग है:
$I = I_s + I_h = \frac{1}{5} m R^2 + \frac{1}{3} m R^2 = \left(\frac{3+5}{15}\right) m R^2 = \frac{8}{15} m R^2$.

(A) डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है ... $(i)$
डिस्क का आयतन $V = \pi R^2 \times \text{मोटाई} = \pi R^2 \times \frac{R}{6} = \frac{\pi R^3}{6}$ है।
जब डिस्क को $R_s$ त्रिज्या वाले ठोस गोले में बदला जाता है,तो आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{\pi R^3}{6} = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$R_s^3 = \frac{R^3}{8} \implies R_s = \frac{R}{2}$ ... (ii)
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_s^2$ होता है।
$R_s = \frac{R}{2}$ को $I_{\text{sphere}}$ के व्यंजक में रखने पर:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} MR^2 = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} MR^2\right)$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हमें $I_{\text{sphere}} = \frac{I}{5}$ प्राप्त होता है।

(C) डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि डिस्क समान पदार्थ और समान मोटाई $t$ की बनी हैं,उनका द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho \times (\pi R^2 t)$ होगा।
$I$ के सूत्र में $M$ का मान रखने पर,$I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi t R^4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$,$\pi$ और $t$ दोनों डिस्क के लिए स्थिर हैं,इसलिए $I \propto R^4$ होगा।
अतः,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{R_A}{R_B} \right)^4$ होगा।
यहाँ $R_A = R$ और $R_B = 3R$ दिया गया है,इसलिए $\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{R}{3R} \right)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $1: 81$ है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार लूप का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है।
लूप $P$ का द्रव्यमान $M_P = \lambda \cdot (2\pi r)$ है और इसकी त्रिज्या $R_P = r$ है।
अतः,$I_P = M_P R_P^2 = (2\pi r \lambda) r^2 = 2\pi \lambda r^3$.
लूप $Q$ का द्रव्यमान $M_Q = \lambda \cdot (2\pi nr)$ है और इसकी त्रिज्या $R_Q = nr$ है।
अतः,$I_Q = M_Q R_Q^2 = (2\pi nr \lambda) (nr)^2 = 2\pi \lambda n^3 r^3$.
दिया गया है कि $I_Q = 4 I_P$,इसलिए $2\pi \lambda n^3 r^3 = 4(2\pi \lambda r^3)$.
दोनों पक्षों से $2\pi \lambda r^3$ को हटाने पर,हमें $n^3 = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$n = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$.

(B) $1$. $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक पतली समान छड़ के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
$2$. जब छड़ को $R$ त्रिज्या वाली वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है: $2\pi R = L$,इसलिए $R = \frac{L}{2\pi}$।
$3$. $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
$4$. $I_1$ के व्यंजक में $R = \frac{L}{2\pi}$ रखने पर: $I_1 = \frac{1}{2}M(\frac{L}{2\pi})^2 = \frac{1}{2}M(\frac{L^2}{4\pi^2}) = \frac{ML^2}{8\pi^2}$।
$5$. दिया गया है कि $I_1 = xI$,इसलिए $\frac{ML^2}{8\pi^2} = x(\frac{ML^2}{12})$।
$6$. $x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{12}{8\pi^2} = \frac{3}{2\pi^2}$।

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{s} = \frac{2}{5}MR^{2}$ होता है।
पतली दीवार वाले खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{h} = \frac{2}{3}MR^{2}$ होता है।
चूंकि दोनों गोलों का द्रव्यमान $M$ समान है,और गुणांकों की तुलना करने पर $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I_{h} > I_{s}$ सही उत्तर है।

(C) $1$. तार की लंबाई $L$ है। चूंकि इसे अर्धवृत्ताकार वलय में मोड़ा गया है,इसलिए अर्धवृत्त की चाप की लंबाई $\pi R = L$ होगी,जहाँ $R$ त्रिज्या है। अतः,$R = \frac{L}{\pi}$।
$2$. $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली अर्धवृत्ताकार वलय के लिए,उसके सिरों से गुजरने वाली अक्ष (व्यास) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
$3$. अब,$R = \frac{L}{\pi}$ का मान सूत्र में रखने पर,$I = \frac{1}{2} M \left(\frac{L}{\pi}\right)^2 = \frac{M L^2}{2 \pi^2}$ प्राप्त होता है।

(B) किसी अक्ष के परितः कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
$L$ भुजा वाले वर्ग के लिए,केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $M$ द्रव्यमान के चार कण हैं,इसलिए तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 4 \times M \times r^2 = 4 \times M \times (\frac{L}{\sqrt{2}})^2 = 4 \times M \times \frac{L^2}{2} = 2ML^2$ है।
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = M_{total} k^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $M_{total} = 4M$ है।
अतः,$2ML^2 = (4M)k^2$.
$k^2 = \frac{2ML^2}{4M} = \frac{L^2}{2}$.
$k = \frac{L}{\sqrt{2}}$.

(B) माना छड़ का द्रव्यमान $M$ और उसकी लंबाई $L$ है। छड़ के केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या की वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है,इसलिए $2\pi R = L$,जिसका अर्थ है $R = \frac{L}{2\pi}$।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
$I_2$ के व्यंजक में $R = \frac{L}{2\pi}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I_2 = \frac{1}{2}M(\frac{L}{2\pi})^2 = \frac{1}{2}M(\frac{L^2}{4\pi^2}) = \frac{ML^2}{8\pi^2}$।
अब,अनुपात $I_1 / I_2 = \frac{ML^2/12}{ML^2/8\pi^2} = \frac{8\pi^2}{12} = \frac{2\pi^2}{3}$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
माना बड़े गोले की त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान $M$ है।
जब इसे $r$ त्रिज्या के $27$ छोटे गोलों में ढाला जाता है,तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$।
इसका अर्थ है $R^3 = 27r^3$,इसलिए $R = 3r$ या $r = \frac{R}{3}$।
प्रत्येक छोटे गोले का द्रव्यमान $m = \frac{M}{27}$ होगा।
प्रत्येक छोटे गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{2}{5}mr^2$ है।
$m = \frac{M}{27}$ और $r = \frac{R}{3}$ रखने पर:
$I' = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{27} \right) \left( \frac{R}{3} \right)^2 = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{27} \right) \left( \frac{R^2}{9} \right) = \frac{1}{243} \left( \frac{2}{5}MR^2 \right)$।
चूंकि $I = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $I' = \frac{I}{243}$।

(A) $1$. तार का कुल द्रव्यमान $M = \lambda L$ है।
$2$. वलय की परिधि $2 \pi R = L$ है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{L}{2 \pi}$ है।
$3$. वलय के केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = MR^2$ होता है।
$4$. लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
$5$. समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,तल में स्थित स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diameter} + MR^2$ होगा।
$6$. $I = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$.
$7$. $M = \lambda L$ और $R = \frac{L}{2 \pi}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{3}{2} (\lambda L) (\frac{L}{2 \pi})^2 = \frac{3}{2} \lambda L \cdot \frac{L^2}{4 \pi^2} = \frac{3 \lambda L^3}{8 \pi^2}$.

(B) वलयाकार रिंग (या खोखली डिस्क) के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = \frac{1}{2} M(R_1^2 + R_2^2)$
जहाँ $M$ द्रव्यमान है,$R_1$ आंतरिक त्रिज्या है और $R_2$ बाहरी त्रिज्या है।
दिया गया है:
$M = 10 \ kg$
$R_1 = 5 \ m$
$R_2 = 10 \ m$
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 10 \times (5^2 + 10^2)$
$I = 5 \times (25 + 100)$
$I = 5 \times 125 = 625 \ kg \cdot m^2$

(B) दोनों लूप एक ही समान तार से बनाए गए हैं,इसलिए रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ स्थिर रहेगा।
लूप $P$ का द्रव्यमान $M_P = \lambda \times (2\pi r) = 2\pi r\lambda$ है।
लूप $Q$ का द्रव्यमान $M_Q = \lambda \times (2\pi nr) = 2\pi nr\lambda$ है।
वृत्ताकार लूप का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = Mr^2$ होता है।
लूप $P$ के लिए,$I_P = M_P r^2 = (2\pi r\lambda) r^2 = 2\pi r^3 \lambda$।
लूप $Q$ के लिए,$I_Q = M_Q (nr)^2 = (2\pi nr\lambda) (nr)^2 = 2\pi n^3 r^3 \lambda$।
दिया गया है कि $I_Q = 4 I_P$,अतः:
$2\pi n^3 r^3 \lambda = 4 \times (2\pi r^3 \lambda)$।
$n^3 = 4$।
$n = (4)^{1/3} = (2^2)^{1/3} = (2)^{2/3}$।

(A) मान लीजिए कि वृत्ताकार डिस्क और वृत्ताकार वलय दोनों का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
वृत्ताकार डिस्क के लिए,इसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
यदि $K_d$ डिस्क की घूर्णन त्रिज्या है,तो $I_d = MK_d^2$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,$MK_d^2 = \frac{1}{2} MR^2$,जिससे $K_d = \frac{R}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार वलय के लिए,इसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_r = MR^2$ होता है।
यदि $K_r$ वलय की घूर्णन त्रिज्या है,तो $I_r = MK_r^2$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,$MK_r^2 = MR^2$,जिससे $K_r = R$ प्राप्त होता है।
डिस्क और वलय की घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{K_d}{K_r} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(C) लूप (रिंग) का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$I_A = M_1 R_1^2$ और $I_B = M_2 R_2^2$ ... $(i)$
चूंकि लूप एक समान तार से बने हैं,द्रव्यमान $M$ परिधि $(2 \pi R)$ के समानुपाती होता है।
मान लीजिए $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है। तब $M_1 = 2 \pi R_1 m$ और $M_2 = 2 \pi R_2 m$ होगा।
इसलिए,$\frac{M_1}{M_2} = \frac{R_1}{R_2}$ ... (ii)
जड़त्व आघूर्ण के अनुपात में (ii) को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_A}{I_B} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
दिया गया है कि $\frac{I_A}{I_B} = 27$,इसलिए $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = 27$ है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$\frac{R_1}{R_2} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{3}$।

(B) द्रव्यमान $=$ आयतन $\times$ घनत्व।
माना द्रव्यमान $M_A$ और $M_B$ हैं,और त्रिज्याएँ $R_A$ और $R_B$ हैं।
चूंकि $M_A = M_B = M$,इसलिए:
$M = \frac{4}{3} \pi R_A^3 \rho_A = \frac{4}{3} \pi R_B^3 \rho_B$।
इससे,$\frac{R_B^3}{R_A^3} = \frac{\rho_A}{\rho_B}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{R_B}{R_A} = (\frac{\rho_A}{\rho_B})^{1/3}$।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
अतः,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{\frac{2}{5} M R_B^2}{\frac{2}{5} M R_A^2} = \frac{R_B^2}{R_A^2}$।
त्रिज्याओं के अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_B}{I_A} = ((\frac{\rho_A}{\rho_B})^{1/3})^2 = (\frac{\rho_A}{\rho_B})^{2/3}$।