Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि छड़ों का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु $(0,0)$ है।
$x$-अक्ष पर स्थित छड़ $AB$ के लिए,$x$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_x = 0$ है और $y$-अक्ष के परितः $I_y = \frac{ML^2}{12}$ है।
$y$-अक्ष पर स्थित छड़ $CD$ के लिए,$x$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_x = \frac{ML^2}{12}$ है और $y$-अक्ष के परितः $I_y = 0$ है।
$x$-अक्ष के परितः क्रॉस का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_x = 0 + \frac{ML^2}{12} = \frac{ML^2}{12}$ है।
$y$-अक्ष के परितः क्रॉस का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_y = \frac{ML^2}{12} + 0 = \frac{ML^2}{12}$ है।
रेखा $EF$ $xy$-तल में एक द्विभाजक है,जो दोनों अक्षों के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
तल में स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_x \sin^2 \theta + I_y \cos^2 \theta - 2 I_{xy} \sin \theta \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि छड़ें अक्षों के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए जड़त्व का गुणनफल $I_{xy} = 0$ है।
अतः,$I_{EF} = I_x \sin^2 45^{\circ} + I_y \cos^2 45^{\circ} = \frac{ML^2}{12} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{ML^2}{12} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{ML^2}{12}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले छल्ले का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = Mr^2$ होता है।
चूंकि छल्ले एक ही तार से बने हैं,इसलिए उनकी रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ स्थिर है।
छल्ले का द्रव्यमान $M = \lambda \times \text{परिधि} = \lambda (2\pi r)$ द्वारा दिया जाता है।
पहले छल्ले के लिए: $M_1 = \lambda (2\pi R)$ और $r_1 = R$. अतः,$I_1 = M_1 R^2 = \lambda (2\pi R) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
दूसरे छल्ले के लिए: $M_2 = \lambda (2\pi nR)$ और $r_2 = nR$. अतः,$I_2 = M_2 (nR)^2 = \lambda (2\pi nR) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
अतः,$n^3 = 8$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

(D) एक ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mr^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले एक ही पदार्थ (लोहे) से बने हैं, इसलिए उनका घनत्व $d$ समान है।
गोले का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^{3} d$ होता है।
द्रव्यमान के व्यंजक को जड़त्व आघूर्ण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3} \pi r^{3} d) r^{2} = \frac{8}{15} \pi d r^{5}$.
यह दर्शाता है कि $I \propto r^{5}$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात $r_{1} : r_{2} = 1 : 2$ दिया गया है, इसलिए उनके जड़त्व आघूर्ण का अनुपात है:
$\frac{I_{1}}{I_{2}} = (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{5} = (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$.
अतः, अनुपात $1 : 32$ है।

(B) किसी अक्ष के परितः घूमने वाले बिंदु द्रव्यमानों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$ वें कण की लंबवत दूरी है।
यहाँ,निकाय $x-$ अक्ष के परितः घूमता है। $y$ स्थिति पर स्थित कण की $x-$ अक्ष से लंबवत दूरी $|y|$ है।
दिए गए द्रव्यमान और उनकी स्थितियाँ:
$1$. $m_1 = 4 \, kg$,$y_1 = 3 \, m$ पर,इसलिए $r_1 = 3 \, m$.
$2$. $m_2 = 2 \, kg$,$y_2 = -2 \, m$ पर,इसलिए $r_2 = 2 \, m$.
$3$. $m_3 = 3 \, kg$,$y_3 = -4 \, m$ पर,इसलिए $r_3 = 4 \, m$.
कुल जड़त्व आघूर्ण की गणना:
$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2$
$I = 4(3)^2 + 2(2)^2 + 3(4)^2$
$I = 4(9) + 2(4) + 3(16)$
$I = 36 + 8 + 48$
$I = 92 \, kg \cdot m^2$.

(B) दी गई वस्तुओं के लिए उनकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार हैं:
$1$. ठोस गोले के लिए: $I_1 = \frac{2}{5}MR^2 = 0.4MR^2$
$2$. खोखले गोले के लिए: $I_2 = \frac{2}{3}MR^2 \approx 0.67MR^2$
$3$. वलय के लिए: $I_3 = MR^2 = 1.0MR^2$
गुणांकों की तुलना करने पर: $1.0 > 0.67 > 0.4$ प्राप्त होता है।
अतः,$I_3 > I_2 > I_1$।

(B) बिंदु द्रव्यमानों के निकाय का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_i$ द्रव्यमान है और $r_i$ घूर्णन अक्ष $P$ से लंबवत दूरी है।
चित्र से,अक्ष $P$ से द्रव्यमानों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
- दो $5 \ kg$ द्रव्यमान अक्ष $P$ से $0.2 \ m$ की दूरी पर हैं।
- दो $2 \ kg$ द्रव्यमान अक्ष $P$ से $(0.2 \ m + 0.2 \ m) = 0.4 \ m$ की दूरी पर हैं।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_P$ की गणना:
$I_P = (5 \ kg \times (0.2 \ m)^2) + (5 \ kg \times (0.2 \ m)^2) + (2 \ kg \times (0.4 \ m)^2) + (2 \ kg \times (0.4 \ m)^2)$
$I_P = 2 \times (5 \times 0.04) + 2 \times (2 \times 0.16)$
$I_P = 2 \times (0.2) + 2 \times (0.32)$
$I_P = 0.4 + 0.64$
$I_P = 1.04 \ kg \cdot m^2$.

(C) माना कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $M$ है। माना कि खोखले गोले की त्रिज्या $R_1$ है और ठोस गोले की त्रिज्या $R_2$ है।
खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{3} M R_1^2$ होता है।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{5} M R_2^2$ होता है।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण समान हैं $(I_1 = I_2)$,इसलिए:
$\frac{2}{3} M R_1^2 = \frac{2}{5} M R_2^2$
दोनों पक्षों से $M$ और $2$ को हटाने पर:
$\frac{R_1^2}{3} = \frac{R_2^2}{5}$
त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए:
$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{3}{5}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
अतः,अनुपात $\sqrt{3} : \sqrt{5}$ है।

(B) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले लूप का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लूप एक समान तार से बने हैं,द्रव्यमान $m$ परिधि के समानुपाती होता है,इसलिए $m = \lambda (2\pi r)$,जहाँ $\lambda$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$I = (\lambda 2\pi r) r^2 = 2\pi\lambda r^3$.
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{2\pi\lambda r_2^3}{2\pi\lambda r_1^3} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$.
हमें $\frac{I_2}{I_1} = 4$ दिया गया है।
इसलिए,$\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3 = 4$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $\frac{r_2}{r_1} = 4^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(B) एक दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $m_i$ $i$-वें कण का द्रव्यमान है और $r_i$ घूर्णन अक्ष से उसकी लंबवत दूरी है।
इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि जड़त्व आघूर्ण पिंड के द्रव्यमान,अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण और घूर्णन अक्ष की स्थिति/अभिविन्यास पर निर्भर करता है।
यह पिंड की गति की अवस्था,जैसे कि उसके कोणीय वेग या कोणीय त्वरण पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण पिंड के कोणीय वेग पर निर्भर नहीं करता है।

(C) बिंदु द्रव्यमानों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ सूत्र $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$5$ द्रव्यमान हैं,प्रत्येक का द्रव्यमान $m = 2\, kg = 2000\, g$ है।
प्रत्येक द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से $r = 10\, cm$ की दूरी पर है।
चूंकि सभी द्रव्यमान समान दूरी पर हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 5 \times m \times r^2$ होगा।
मान रखने पर: $I = 5 \times 2000\, g \times (10\, cm)^2$.
$I = 10000 \times 100 = 10^6\, g\cdot cm^2$.

(A) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके तल के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र है:
$I = \frac{1}{2} M R^2$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(M)$ = $0.4\, kg$
त्रिज्या $(R)$ = $100\, cm = 1\, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 0.4\, kg \times (1\, m)^2$
$I = 0.2 \times 1 = 0.2\, kg\, m^2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि छड़ प्रारंभ में $x$-अक्ष पर है और इसका केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। छड़ दो आधे भागों से बनी है,प्रत्येक का द्रव्यमान $m = M/2$ और लंबाई $l = L/2$ है।
जब छड़ को केंद्र से मोड़ा जाता है,तो छड़ का केंद्र मूल बिंदु पर ही रहता है। मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष मूल बिंदु से गुजरने वाली $z$-अक्ष है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और छड़ के साथ $\theta$ कोण बनाने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ अक्ष से लंबवत दूरी है।
छड़ के प्रत्येक आधे भाग के लिए,केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित एक बिंदु की अक्ष से दूरी $r = x \sin(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ छड़ और घूर्णन अक्ष के बीच का कोण है। यहाँ,अक्ष मूल छड़ के लंबवत है,इसलिए पहले आधे भाग के लिए $\theta = 90^o$ है,और दूसरे आधे भाग के लिए कोण बदल जाता है।
हालाँकि,एक सरल दृष्टिकोण: जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ है। चूँकि घूर्णन अक्ष से प्रत्येक द्रव्यमान अवयव $dm$ की दूरी $r$ नहीं बदलती है जब छड़ को उसके केंद्र पर मोड़ा जाता है (केंद्र बिंदु अक्ष पर है),इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण समान रहता है।
अतः,$I = \frac{1}{12} ML^2$।

(A) निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण घूर्णन अक्ष (छड़ $B$) के परितः व्यक्तिगत छड़ों के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
$1$. छड़ $B$ का जड़त्व आघूर्ण: चूंकि छड़ $B$ स्वयं घूर्णन अक्ष है,इसलिए छड़ $B$ का प्रत्येक द्रव्यमान अवयव अक्ष पर स्थित है। अतः,इसका जड़त्व आघूर्ण $I_B = 0$ है।
$2$. छड़ $A$ का जड़त्व आघूर्ण: छड़ $A$ अक्ष $B$ के लंबवत है और अपने केंद्र पर अक्ष से जुड़ी हुई है। $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{1}{12} M L^2$ होता है।
$3$. छड़ $C$ का जड़त्व आघूर्ण: इसी प्रकार,छड़ $C$ भी अक्ष $B$ के लंबवत है और अपने केंद्र पर जुड़ी हुई है। अतः,$I_C = \frac{1}{12} M L^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_A + I_B + I_C = \frac{1}{12} M L^2 + 0 + \frac{1}{12} M L^2 = \frac{2}{12} M L^2 = \frac{1}{6} M L^2$।

(C) माना वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $l$ है। द्रव्यमान $A, B, C, D$ पर स्थित हैं।
अक्ष $A$ से गुजरती है और विकर्ण $BD$ के समानांतर है।
अक्ष से बिंदु $A$ की दूरी $0$ है।
अक्ष से बिंदु $B$ की दूरी $d_B = \frac{l}{\sqrt{2}}$ है।
अक्ष से बिंदु $D$ की दूरी $d_D = \frac{l}{\sqrt{2}}$ है।
अक्ष से बिंदु $C$ की दूरी $d_C = l\sqrt{2}$ है।
जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
$I = m(0)^2 + m(l/\sqrt{2})^2 + m(l\sqrt{2})^2 + m(l/\sqrt{2})^2$
$I = 0 + m(l^2/2) + 2ml^2 + m(l^2/2)$
$I = ml^2 + 2ml^2 = 3ml^2$.

(C) तार की लंबाई $l$ है और इसका द्रव्यमान $m$ है।
जब तार को $r$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि तार की लंबाई के बराबर होती है।
$2\pi r = l$
अतः,वलय की त्रिज्या $r = \frac{l}{2\pi}$ है।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले वलय का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र है:
$I = mr^2$
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$I = m \left( \frac{l}{2\pi} \right)^2$
$I = m \left( \frac{l^2}{4\pi^2} \right)$
$I = \left( \frac{1}{4\pi^2} \right) ml^2$

(A) माना कि पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M_{total}$ है। चूंकि चौथाई सेक्टर का द्रव्यमान $M$ है,इसलिए पूरी डिस्क का द्रव्यमान $M_{total} = 4M$ होगा।
$M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण समान वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ होता है।
$M_{total} = 4M$ रखने पर,हमें $I_{total} = \frac{1}{2} (4M) R^2 = 2 M R^2$ प्राप्त होता है।
समरूपता के सिद्धांत के अनुसार,डिस्क के किसी भी सेक्टर का उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण उसके द्रव्यमान के समानुपाती होता है।
अतः,चौथाई सेक्टर का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{I_{total}}{4} = \frac{2 M R^2}{4} = \frac{1}{2} M R^2$ होगा।

(B) कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ को $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से $m_i$ द्रव्यमान वाले $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि $I$ घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण और अक्ष की स्थिति/अभिविन्यास पर निर्भर करता है। अतः,$Assertion$ सही है।
जड़त्व आघूर्ण को रैखिक गति में द्रव्यमान के समतुल्य के रूप में परिभाषित किया जाता है। जैसे द्रव्यमान रैखिक गति में पिंड के जड़त्व को दर्शाता है (रैखिक वेग में परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध),वैसे ही जड़त्व आघूर्ण पिंड के घूर्णी जड़त्व को दर्शाता है (कोणीय वेग में परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध)। अतः,$Reason$ भी सही है।
हालाँकि,$Reason$ यह बताता है कि जड़त्व आघूर्ण क्या दर्शाता है (घूर्णी जड़त्व),लेकिन यह यह नहीं समझाता कि यह घूर्णन अक्ष और द्रव्यमान वितरण पर क्यों निर्भर करता है। इसलिए,$Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है। सही विकल्प $B$ है।

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान तत्व $m_i$ की दूरी है।
प्रतिद्वंद्वी को झुकाकर और उनके द्रव्यमान को कमर (घूर्णन अक्ष) के करीब लाकर,औसत दूरी $r$ कम हो जाती है।
चूंकि $I \propto r^2$,प्रतिद्वंद्वी का जड़त्व आघूर्ण काफी कम हो जाता है।
कम जड़त्व आघूर्ण के लिए एक निश्चित कोणीय त्वरण उत्पन्न करने हेतु कम टॉर्क की आवश्यकता होती है,जिससे जूडो फाइटर के लिए प्रतिद्वंद्वी को घुमाना और पटकना आसान हो जाता है।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं और $Reason$ का $Assertion$ की सही व्याख्या है।

(D) किसी पिंड की घूर्णन त्रिज्या $K$ को $K = \sqrt{\frac{\sum m_i r_i^2}{M}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $M$ कुल द्रव्यमान है और $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$-वें कण की दूरी है।
यह एक नियत राशि नहीं है क्योंकि इसका मान घूर्णन अक्ष की स्थिति और अभिविन्यास पर निर्भर करता है।
इसलिए,$Assertion$ गलत है।
$Reason$ घूर्णन त्रिज्या को घूर्णन अक्ष से कणों की दूरी के वर्ग माध्य मूल के रूप में सही ढंग से परिभाषित करता है।
अतः,$Assertion$ गलत है,लेकिन $Reason$ सही है।

(A) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक पतली वृत्ताकार वलय (ring) पर विचार करें। इस वलय का क्षेत्रफल $dA = 2 \pi r dr$ है।
इस सूक्ष्म वलय का द्रव्यमान $dm = \sigma(r) dA = (A + Br) (2 \pi r dr)$ है।
डिस्क के तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः इस वलय का जड़त्व आघूर्ण $dI = dm r^{2}$ है।
$dm$ का मान रखने पर,हमें $dI = (A + Br) (2 \pi r dr) r^{2} = 2 \pi (A r^{3} + B r^{4}) dr$ प्राप्त होता है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = a$ तक $dI$ का समाकलन करते हैं:
$I = \int_{0}^{a} 2 \pi (A r^{3} + B r^{4}) dr = 2 \pi \left[ \frac{A r^{4}}{4} + \frac{B r^{5}}{5} \right]_{0}^{a}$.
$I = 2 \pi \left( \frac{A a^{4}}{4} + \frac{B a^{5}}{5} \right) = 2 \pi a^{4} \left( \frac{A}{4} + \frac{aB}{5} \right)$.

(B) $m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक समान छड़ की उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ml^2}{12}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,केंद्र से $d = \frac{l}{4}$ की दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2$ होता है।
मान रखने पर,$I = \frac{ml^2}{12} + m(\frac{l}{4})^2 = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{16}$ प्राप्त होता है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$I = \frac{4ml^2 + 3ml^2}{48} = \frac{7ml^2}{48}$ होता है।
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = mk^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए $mk^2 = \frac{7ml^2}{48}$।
अतः,$k^2 = \frac{7l^2}{48}$,जिससे $k = \sqrt{\frac{7}{48}} l$ प्राप्त होता है।

(N/A) जब कोई पिंड एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करता है,तो पिंड का प्रत्येक कण $i$,$v_{i} = r_{i} \omega$ रैखिक वेग के साथ वृत्ताकार पथ पर गति करता है,जहाँ $i = 1, 2, \ldots, n$ है।
इस कण की गतिज ऊर्जा $K_{i} = \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2}$ है।
घूर्णन करते पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $K$,उसके सभी कणों की गतिज ऊर्जाओं का योग है:
$K = \sum K_{i} = \sum \frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2} = \frac{1}{2} \omega^{2} \sum m_{i} r_{i}^{2}$.
इसकी तुलना स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} M v^{2}$ के व्यंजक से करने पर,हम जड़त्व आघूर्ण $I$ को $I = \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}$ के रूप में परिभाषित करते हैं।
परिभाषा: किसी दृढ़ पिंड का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,पिंड के व्यक्तिगत कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष से उनकी लंबवत दूरी के वर्ग के गुणनफल का योग होता है।
जड़त्व आघूर्ण को प्रभावित करने वाले कारक: यह पिंड के द्रव्यमान,पिंड के आकार और आकृति,घूर्णन अक्ष के परितः द्रव्यमान के वितरण,और घूर्णन अक्ष की स्थिति तथा अभिविन्यास पर निर्भर करता है।
मात्रक: जड़त्व आघूर्ण का $SI$ मात्रक $\text{kg} \cdot \text{m}^{2}$ है।
विमीय सूत्र: इसका विमीय सूत्र $[M^{1} L^{2} T^{0}]$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाली एक समान वृत्ताकार वलय (ring) पर विचार करें।
जड़त्व आघूर्ण $I$ को $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक वलय के लिए,प्रत्येक द्रव्यमान अवयव $dm$,केंद्र से गुजरने वाली और वलय के तल के लंबवत अक्ष से $R$ की स्थिर दूरी पर होता है।
इसलिए,$I = \int R^2 dm$ है।
चूंकि $R$ स्थिर है,इसलिए $I = R^2 \int dm$ होगा।
चूंकि $\int dm = M$,इसलिए हमें $I = MR^2$ प्राप्त होता है।

(N/A) निकाय अपने द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः घूर्णन कर रहा है।
मान लीजिए $C$ द्रव्यमान केंद्र है। केंद्र से प्रत्येक छोटे द्रव्यमान की दूरी $\frac{l}{2}$ है।
उल्लिखित अक्ष के परितः प्रत्येक द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I_i = m r^2 = \left(\frac{M}{2}\right)\left(\frac{l}{2}\right)^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण है:
$I = I_1 + I_2 = \left(\frac{M}{2}\right)\left(\frac{l}{2}\right)^{2} + \left(\frac{M}{2}\right)\left(\frac{l}{2}\right)^{2}$
$I = 2 \times \left(\frac{M}{2}\right)\left(\frac{l}{2}\right)^{2}$
$I = M \times \frac{l^2}{4} = \frac{M l^{2}}{4}$

(N/A) परिभ्रमण त्रिज्या एक ऐसा पैरामीटर है जो यह बताता है कि किसी घूर्णन करते हुए दृढ़ पिंड का द्रव्यमान,घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किस प्रकार वितरित है।
यह पिंड के जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कुल द्रव्यमान $(M)$ से संबंधित है।
मान लीजिए कि एक दृढ़ पिंड किसी दिए गए अक्ष के परितः घूर्णन कर रहा है,जो $n$ कणों से बना है,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है। दृढ़ पिंड का कुल द्रव्यमान $M = n m$ है।
दिए गए अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + \ldots + m_{n} r_{n}^{2}$
चूंकि सभी कणों के लिए $m_{i} = m$ है:
$I = m r_{1}^{2} + m r_{2}^{2} + \ldots + m r_{n}^{2} = m (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + \ldots + r_{n}^{2})$
$n$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = (m n) \left[ \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + \ldots + r_{n}^{2}}{n} \right]$
हम परिभ्रमण त्रिज्या $k$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं कि $k^2 = \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + \ldots + r_{n}^{2}}{n}$।
अतः,जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार प्राप्त होता है:
$I = M k^{2}$
यहाँ,$k$ घूर्णन अक्ष से कणों की दूरी का वर्ग माध्य मूल (root mean square distance) दर्शाता है।

(N/A) जड़त्व आघूर्ण का व्यावहारिक उपयोग स्टीम इंजन और ऑटोमोबाइल इंजन जैसी मशीनों में देखा जाता है।
ऐसी मशीनों में बहुत अधिक जड़त्व आघूर्ण वाली एक डिस्क का उपयोग किया जाता है,जिसे फ्लाई व्हील (flywheel) कहा जाता है।
फ्लाई व्हील वाहन की गति में होने वाली अचानक वृद्धि या कमी का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,गति में आने वाले झटके (jerks) कम हो जाते हैं,जिससे यात्रा या मशीन का संचालन सुचारू और आसान हो जाता है।

(N/A) किसी घूर्णन अक्ष के परितः किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण $(I)$,उस पिंड के कणों के द्रव्यमान और अक्ष से उनकी दूरी के वर्ग के गुणनफल का योग होता है। गणितीय रूप में,$I = \sum m_i r_i^2$ है।
$1$. $SI$ मात्रक: जड़त्व आघूर्ण का $SI$ मात्रक $kg \cdot m^2$ है।
$2$. विमीय सूत्र: चूंकि $I = M \cdot L^2$ होता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^0]$ है।

(N/A) किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. पिंड का द्रव्यमान: जड़त्व आघूर्ण पिंड के द्रव्यमान के सीधे समानुपाती होता है।
$2$. द्रव्यमान का वितरण: यह इस बात पर निर्भर करता है कि घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान कैसे वितरित है। यदि अधिक द्रव्यमान अक्ष से दूर केंद्रित है,तो जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है।
$3$. घूर्णन अक्ष की स्थिति और अभिविन्यास: यदि घूर्णन अक्ष को स्थानांतरित किया जाता है या पिंड के सापेक्ष इसका अभिविन्यास बदल दिया जाता है,तो जड़त्व आघूर्ण बदल जाता है।

(C) घूर्णन करते हुए दृढ़ पिंड का कोणीय संवेग $L$,संबंध $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
इस संबंध से,जड़त्व आघूर्ण $I = L/\omega$ होता है।
हालाँकि,जड़त्व आघूर्ण $I$ घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड के द्रव्यमान वितरण का एक गुण है और इसे $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूँकि $I$ केवल पिंड के द्रव्यमान और उसकी ज्यामिति पर निर्भर करता है,इसलिए यह कोणीय संवेग $L$ और कोणीय वेग $\omega$ से स्वतंत्र है।
अतः,कोणीय संवेग में परिवर्तन होने से जड़त्व आघूर्ण नहीं बदलता है।

(A) रेखीय गति में,किसी वस्तु का अपनी गति की अवस्था में परिवर्तन का विरोध करने का गुण द्रव्यमान $(m)$ कहलाता है।
घूर्णन गति में,किसी वस्तु का अपनी घूर्णन गति की अवस्था में परिवर्तन का विरोध करने का गुण जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कहलाता है।
अतः,जड़त्व आघूर्ण रेखीय गति के द्रव्यमान का घूर्णन गति में अनुरूप (analogous) है।

(N/A) किसी अक्ष के परितः किसी पिंड की घूर्णन त्रिज्या को उस अक्ष से उस बिंदु तक की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ यदि पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जाए,तो उस बिंदु का जड़त्व आघूर्ण वास्तविक पिंड के जड़त्व आघूर्ण के बराबर होगा।
गणितीय रूप से,$I = MK^2$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ कुल द्रव्यमान है,और $K$ घूर्णन त्रिज्या है।
अतः,$K = \sqrt{I/M}$।
मात्रक: घूर्णन त्रिज्या का $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है।
विमीय सूत्र: चूंकि यह एक दूरी को दर्शाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^0]$ है।

(A) हाँ,एक ही वस्तु का जड़त्व आघूर्ण अलग-अलग हो सकता है। जड़त्व आघूर्ण घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे घूर्णन अक्ष बदलता है,अक्ष से द्रव्यमान के तत्वों की दूरी बदल जाती है,जिसके परिणामस्वरूप जड़त्व आघूर्ण में परिवर्तन होता है।

(A) परिभ्रमण त्रिज्या $(k)$ को घूर्णन अक्ष से उस बिंदु तक की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है,बिना उसके जड़त्व आघूर्ण को बदले।
चूंकि यह एक दूरी को दर्शाता है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है।

(N/A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$,$I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_i$ द्रव्यमान का अवयव है और $r_i$ घूर्णन अक्ष से उसकी लंबवत दूरी है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक खोखले बेलन के लिए,उसका पूरा द्रव्यमान सममिति अक्ष से $R$ दूरी पर स्थित होता है। अतः,इसका जड़त्व आघूर्ण $I_{cylinder} = MR^2$ होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले के लिए,द्रव्यमान उसके पूरे आयतन में वितरित होता है,जिसका अर्थ है कि इसका अधिकांश द्रव्यमान सममिति अक्ष से $r < R$ दूरी पर स्थित होता है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_{sphere} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
चूंकि $\frac{2}{5}MR^2 < MR^2$,इसलिए ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण खोखले बेलन की तुलना में कम होता है।

(N/A) दिया गया है कि वर्गाकार प्लेट $S$ का क्षेत्रफल आयताकार प्लेट $R$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
इसलिए,$c^2 = a \times b$,जिसका अर्थ है $c^2 = ab$.
मान लीजिए कि दोनों प्लेटों का द्रव्यमान $M$ है।
$x$-अक्ष (केंद्र से गुजरने वाली और भुजा $a$ के समानांतर) के परितः $a$ और $b$ भुजाओं वाली आयताकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण $I_{xR} = \frac{Mb^2}{12}$ है।
$x$-अक्ष के परितः $c$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण $I_{xS} = \frac{Mc^2}{12}$ है।
$(i)$ $\frac{I_{xR}}{I_{xS}} = \frac{Mb^2/12}{Mc^2/12} = \frac{b^2}{c^2} = \frac{b^2}{ab} = \frac{b}{a}$. आयत के लिए $a > b$ होने के कारण,$\frac{b}{a} < 1$,इसलिए $\frac{I_{xR}}{I_{xS}} < 1$.
$(ii)$ इसी प्रकार,$I_{yR} = \frac{Ma^2}{12}$ और $I_{yS} = \frac{Mc^2}{12}$.
$\frac{I_{yR}}{I_{yS}} = \frac{a^2}{c^2} = \frac{a^2}{ab} = \frac{a}{b}$. चूंकि $a > b$,इसलिए $\frac{a}{b} > 1$,अतः $\frac{I_{yR}}{I_{yS}} > 1$.
$(iii)$ लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$.
$I_{zR} = \frac{M(a^2 + b^2)}{12}$ और $I_{zS} = \frac{M(c^2 + c^2)}{12} = \frac{2Mc^2}{12}$.
$\frac{I_{zR}}{I_{zS}} = \frac{a^2 + b^2}{2c^2} = \frac{a^2 + b^2}{2ab}$.
चूंकि $(a - b)^2 > 0$,हमारे पास $a^2 + b^2 > 2ab$ है,इसलिए $\frac{a^2 + b^2}{2ab} > 1$,जिसका अर्थ है $\frac{I_{zR}}{I_{zS}} > 1$.

(A) मान लीजिए कि शीर्ष $E(0, 0)$,$G(a, 0)$,और $F(a/2, a\sqrt{3}/2)$ हैं।
रेखा $EX$ $y$-अक्ष है ($E$ पर $EG$ के लंबवत)।
$y$-अक्ष से $E, G, F$ पर स्थित कणों की दूरियाँ $r_E = 0$,$r_G = a$,और $r_F = a/2$ हैं।
$y$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
$I = m(0)^2 + m(a)^2 + m(a/2)^2$
$I = 0 + ma^2 + \frac{ma^2}{4} = \frac{5}{4} ma^2$.
हमें $I = \frac{N}{20} ma^2$ दिया गया है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{5}{4} ma^2 = \frac{N}{20} ma^2$.
$\frac{5}{4} = \frac{N}{20} \implies N = \frac{5 \times 20}{4} = 25$.

(C) दिया गया जड़त्व आघूर्ण $I = M \left(\frac{R^2}{4} + \frac{L^2}{12}\right)$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ और घनत्व $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए आयतन $V = \pi R^2 L$ स्थिर रहेगा।
अतः,$R^2 L = K$ (जहाँ $K$ एक स्थिरांक है)।
$R$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2RL + R^2 \frac{dL}{dR} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dL}{dR} = -\frac{2L}{R}$।
$I$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $\frac{dI}{dR} = 0$ रखते हैं:
$\frac{dI}{dR} = M \left(\frac{2R}{4} + \frac{2L}{12} \frac{dL}{dR}\right) = 0$।
$\frac{R}{2} + \frac{L}{6} \left(-\frac{2L}{R}\right) = 0$।
$\frac{R}{2} - \frac{L^2}{3R} = 0$।
$\frac{R}{2} = \frac{L^2}{3R} \Rightarrow \frac{L^2}{R^2} = \frac{3}{2}$।
इसलिए,$\frac{L}{R} = \sqrt{\frac{3}{2}}$।

(B) एक समान डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि डिस्क एक ही पदार्थ से बनी हैं और उनकी मोटाई $t$ समान है,द्रव्यमान $M$ को $M = \rho V = \rho (\pi R^{2} t)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है।
इसे $I$ के सूत्र में रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^{2} t) R^{2} = \frac{1}{2} \rho \pi t R^{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$,$\pi$,और $t$ दोनों डिस्क के लिए स्थिर हैं,इसलिए $I \propto R^{4}$ है।
दिए गए अनुपात $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{1}{16}$ से,हम लिख सकते हैं कि $\frac{R_{1}^{4}}{R_{2}^{4}} = \frac{1}{16}$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,हमें $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R_{1} = R$ और $R_{2} = \alpha R$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R}{\alpha R} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\alpha = 2$।

(D) जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार दिया जाता है: $I = \int r^{2} dm = \int_{0}^{L} x^{2} \lambda(x) dx$.
$\lambda(x) = \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L})$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{0}^{L} x^{2} \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L}) dx = \lambda_{0} \int_{0}^{L} (x^{2} + \frac{x^{3}}{L}) dx$
$I = \lambda_{0} [\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4L}]_{0}^{L} = \lambda_{0} (\frac{L^{3}}{3} + \frac{L^{3}}{4}) = \frac{7}{12} \lambda_{0} L^{3} \quad ...(i)$
अब,कुल द्रव्यमान $M$ की गणना करें:
$M = \int_{0}^{L} \lambda(x) dx = \int_{0}^{L} \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L}) dx = \lambda_{0} [x + \frac{x^{2}}{2L}]_{0}^{L} = \lambda_{0} (L + \frac{L}{2}) = \frac{3}{2} \lambda_{0} L$
अतः,$\lambda_{0} L = \frac{2}{3} M \quad ...(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{7}{12} (\lambda_{0} L) L^{2} = \frac{7}{12} (\frac{2}{3} M) L^{2} = \frac{14}{36} M L^{2} = \frac{7}{18} M L^{2}$
$I \approx 0.388 M L^{2}$.

(A) मान लीजिए $M$ द्रव्यमान,$H$ ऊँचाई और $R$ त्रिज्या वाला एक खोखला शंकु है। इसकी तिर्यक ऊँचाई $L = \sqrt{R^2 + H^2}$ है।
मान लीजिए $\theta$ अर्ध-शीर्ष कोण है,इसलिए $\tan \theta = R/H$.
अक्ष पर शीर्ष से $y$ दूरी पर एक पतली वृत्ताकार वलय (ring) लें,जिसकी तिर्यक ऊँचाई पर मोटाई $dy$ है।
इस वलय की त्रिज्या $r = y \tan \theta$ है।
वलय की तिर्यक लंबाई $dl = dy / \cos \theta$ है।
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi R L = \pi R \sqrt{R^2 + H^2}$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = M / A = M / (\pi R \sqrt{R^2 + H^2})$ है।
वलय का क्षेत्रफल $dA = 2 \pi r dl = 2 \pi (y \tan \theta) (dy / \cos \theta)$ है।
वलय का द्रव्यमान $dm = \sigma dA = \frac{M}{\pi R \sqrt{R^2 + H^2}} \cdot 2 \pi (y \tan \theta) \frac{dy}{\cos \theta} = \frac{2M}{R \sqrt{R^2 + H^2}} \cdot \frac{\tan \theta}{\cos \theta} y dy$.
चूँकि $\tan \theta = R/H$ और $\cos \theta = H/L = H/\sqrt{R^2 + H^2}$,इसलिए $\frac{\tan \theta}{\cos \theta} = \frac{R/H}{H/L} = \frac{RL}{H^2} = \frac{R\sqrt{R^2+H^2}}{H^2}$.
अतः,$dm = \frac{2M}{R\sqrt{R^2+H^2}} \cdot \frac{R\sqrt{R^2+H^2}}{H^2} y dy = \frac{2M}{H^2} y dy$.
इस वलय का अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $dI = dm \cdot r^2 = (\frac{2M}{H^2} y dy) (y \tan \theta)^2 = \frac{2M}{H^2} \tan^2 \theta \cdot y^3 dy$.
$y=0$ से $y=H$ तक समाकलन करने पर:
$I = \int_0^H \frac{2M}{H^2} (R/H)^2 y^3 dy = \frac{2MR^2}{H^4} \int_0^H y^3 dy = \frac{2MR^2}{H^4} [\frac{y^4}{4}]_0^H = \frac{2MR^2}{H^4} \cdot \frac{H^4}{4} = \frac{MR^2}{2}$.

(C) मान लीजिए कि वर्ग के कोने $(0,0)$,$(\ell, 0)$,$(\ell, \ell)$,और $(0, \ell)$ पर हैं। अक्ष $(0,0)$ से गुजरती है और $(0, \ell)$ तथा $(\ell, 0)$ को जोड़ने वाले विकर्ण के समानांतर है। इस विकर्ण का समीकरण $x + y = \ell$ है। रेखा $x + y - \ell = 0$ से बिंदु $(x, y)$ की लंबवत दूरी $r = \frac{|x + y - \ell|}{\sqrt{2}}$ है।
चार द्रव्यमानों के लिए:
$1$. $(0,0)$ पर: $r_1 = \frac{|0 + 0 - \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$.
$2$. $(\ell, 0)$ पर: $r_2 = \frac{|\ell + 0 - \ell|}{\sqrt{2}} = 0$.
$3$. $(0, \ell)$ पर: $r_3 = \frac{|0 + \ell - \ell|}{\sqrt{2}} = 0$.
$4$. $(\ell, \ell)$ पर: $r_4 = \frac{|\ell + \ell - \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$.
अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum mr_i^2 = m \left( \left(\frac{\ell}{\sqrt{2}}\right)^2 + 0^2 + 0^2 + \left(\frac{\ell}{\sqrt{2}}\right)^2 \right) = m \left( \frac{\ell^2}{2} + \frac{\ell^2}{2} \right) = m\ell^2$.
कोणीय संवेग $L = I\omega = m\ell^2\omega$. अतः,लुप्त मान $1$ है।

(C) बिंदु द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I = m r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी है।
मान लीजिए कि अक्ष $A$ से गुजरती है और विकर्ण $DB$ के समानांतर है।
इस अक्ष से चारों द्रव्यमानों की लंबवत दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. $A$ पर द्रव्यमान के लिए: $r_A = 0$ (क्योंकि अक्ष $A$ से गुजरती है)।
$2$. $B$ पर द्रव्यमान के लिए: $r_B = l \sin(45^\circ) = l / \sqrt{2}$।
$3$. $D$ पर द्रव्यमान के लिए: $r_D = l \sin(45^\circ) = l / \sqrt{2}$।
$4$. $C$ पर द्रव्यमान के लिए: $r_C = l \sin(45^\circ) + l \sin(45^\circ) = l / \sqrt{2} + l / \sqrt{2} = 2l / \sqrt{2} = l \sqrt{2}$।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = m(r_A^2 + r_B^2 + r_D^2 + r_C^2)$ है।
$I = m [0^2 + (l / \sqrt{2})^2 + (l / \sqrt{2})^2 + (l \sqrt{2})^2]$
$I = m [0 + l^2/2 + l^2/2 + 2l^2]$
$I = m [l^2 + 2l^2] = 3 m l^2$।

(C) तार की लंबाई $L$ है। जब इसे $r$ त्रिज्या के अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है,तो चाप की लंबाई $\pi r = L$ होती है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{L}{\pi}$ है।
चूंकि तार के सभी बिंदु अर्धवृत्त के केंद्र से समान दूरी $r$ पर हैं,इसलिए केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm = r^2 \int dm$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\int dm = M$ है,इसलिए $I = Mr^2$ होगा।
$r = \frac{L}{\pi}$ का मान रखने पर,हमें $I = M \left( \frac{L}{\pi} \right)^2 = \frac{ML^2}{\pi^2}$ प्राप्त होता है।

(C) द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ की एक पतली वृत्ताकार वलय के लिए,उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{1}{2} MR^{2}$ है।
द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ की एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और डिस्क के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{2} = \frac{1}{2} MR^{2}$ है।
द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ के एक ठोस बेलन के लिए,उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{3} = \frac{1}{2} MR^{2}$ है।
द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ के एक ठोस गोले के लिए,उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{4} = \frac{2}{5} MR^{2}$ है।
इन मानों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $I_{1} = I_{2} = I_{3} = 0.5 MR^{2}$ और $I_{4} = 0.4 MR^{2}$ है।
अतः,$I_{1} = I_{2} = I_{3} > I_{4}$ है।

(B) छड़ की कुल लंबाई $L = 2.4 \,m$ है। चूंकि इसे $6$ भुजाओं वाले षट्भुज में मोड़ा गया है,इसलिए प्रत्येक भुजा की लंबाई $\ell = \frac{2.4}{6} = 0.4 \,m$ है।
कुल छड़ का द्रव्यमान $M = 6 \,kg$ है,इसलिए प्रत्येक भुजा का द्रव्यमान $m = \frac{6}{6} = 1 \,kg$ है।
एक समषट्भुज के लिए,केंद्र से भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी $r = \ell \sin 60^{\circ} = \ell \frac{\sqrt{3}}{2}$ होती है।
एक भुजा का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{m \ell^2}{12}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,षट्भुज के केंद्र के परितः एक भुजा का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_{cm} + m r^2 = \frac{m \ell^2}{12} + m \left(\frac{\ell \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{m \ell^2}{12} + \frac{3 m \ell^2}{4} = \frac{m \ell^2 + 9 m \ell^2}{12} = \frac{10 m \ell^2}{12} = \frac{5}{6} m \ell^2$ है।
चूंकि ऐसी $6$ भुजाएं हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 6 \times I_1 = 6 \times \frac{5}{6} m \ell^2 = 5 m \ell^2$ है।
$m = 1 \,kg$ और $\ell = 0.4 \,m$ मान रखने पर:
$I = 5 \times 1 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \,kg \cdot m^2$.
अतः,$I = 8 \times 10^{-1} \,kg \cdot m^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $M = 1.5\, {kg}$,त्रिज्या $r = 50\, {cm} = 0.5\, {m}$,और केंद्रों के बीच की दूरी $L = 5\, {m}$ है।
घूर्णन अक्ष छड़ के मध्य बिंदु से गुजरती है,जो निकाय का द्रव्यमान केंद्र भी है।
प्रत्येक गोले के केंद्र से घूर्णन अक्ष की दूरी $d = L/2 = 5/2 = 2.5\, {m}$ है।
प्रत्येक गोले के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,अक्ष के परितः एक गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{sphere} = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + Md^2$ है।
चूंकि निकाय में दो समान गोले हैं,इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 2 \times (\frac{2}{5}Mr^2 + Md^2)$ होगा।
मान रखने पर: $I_{total} = 2 \times [\frac{2}{5} \times 1.5 \times (0.5)^2 + 1.5 \times (2.5)^2]$.
$I_{total} = 2 \times [0.4 \times 1.5 \times 0.25 + 1.5 \times 6.25]$.
$I_{total} = 2 \times [0.15 + 9.375] = 2 \times 9.525 = 19.05\, {kgm}^{2}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वृत्ताकार वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^{2}$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान परिधि पर समान रूप से वितरित है,इसलिए $90^{\circ}$ के सेक्टर (जो कुल परिधि का $1/4$ भाग है) को हटाने के बाद शेष वलय का द्रव्यमान $M' = M - \frac{1}{4}M = \frac{3}{4}M$ होगा।
अक्ष से $R$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कण का जड़त्व आघूर्ण $I = mR^{2}$ होता है। चूंकि वलय का प्रत्येक बिंदु केंद्रीय अक्ष से समान दूरी $R$ पर है,इसलिए $M'$ द्रव्यमान वाले वलय के किसी भी भाग का जड़त्व आघूर्ण $I' = M'R^{2}$ होगा।
$M' = \frac{3}{4}M$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I' = \frac{3}{4}MR^{2}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $I' = KMR^{2}$ से करने पर,हमें $K = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,वृत्ताकार डिस्क जैसे समतलीय पिंड के लिए,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$ होता है।
घूर्णन त्रिज्या $K$ को $I = MK^{2}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $M$ पिंड का द्रव्यमान है।
इसे प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर: $MK_{z}^{2} = MK_{x}^{2} + MK_{y}^{2}$,जो सरल होकर $K_{z}^{2} = K_{x}^{2} + K_{y}^{2}$ हो जाता है।
चूंकि $K_{z}^{2} = K_{x}^{2} + K_{y}^{2}$,इसलिए तीनों अक्षों के परितः घूर्णन त्रिज्या समान नहीं हो सकती। अतः,अभिकथन $A$ गलत है।
कारण $R$ बताता है कि एक दृढ़ पिंड का द्रव्यमान और आकार निश्चित होता है,जो घूर्णन यांत्रिकी में एक दृढ़ पिंड की सही परिभाषा है। इसलिए,$A$ गलत है लेकिन $R$ सही है।

(C) मान लीजिए $\sigma$ प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान (पृष्ठ द्रव्यमान घनत्व) है। चूंकि दोनों डिस्क के लिए $\sigma$ समान है:
बड़ी डिस्क का द्रव्यमान,$M = \sigma \pi R^{2}$
छोटी डिस्क का द्रव्यमान,$m = \sigma \pi r^{2}$
बड़ी डिस्क का अक्ष $AB$ (केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{1}{2} MR^{2} = \frac{1}{2} (\sigma \pi R^{2}) R^{2} = \frac{1}{2} \sigma \pi R^{4}$ है।
छोटी डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{2} = \frac{1}{4} mr^{2} = \frac{1}{4} (\sigma \pi r^{2}) r^{2} = \frac{1}{4} \sigma \pi r^{4}$ है।
जड़त्व आघूर्णों का अनुपात $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{\frac{1}{2} \sigma \pi R^{4}}{\frac{1}{4} \sigma \pi r^{4}} = \frac{1/2}{1/4} \cdot \frac{R^{4}}{r^{4}} = 2 \frac{R^{4}}{r^{4}}$ है।
अतः,अनुपात $2R^{4}:r^{4}$ है।