Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Hindi

(A) $1$. वलय का द्रव्यमान $m$ है और इसका रैखिक घनत्व $\rho$ है। वलय की परिधि $L = \frac{m}{\rho}$ है।
$2$. चूंकि $L = 2 \pi R$,इसलिए वलय की त्रिज्या $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$ है।
$3$. वलय के व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$ होता है।
$4$. समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समानांतर स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diam} + m R^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$ होगा।
$5$. $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$ का मान रखने पर: $I = \frac{3}{2} m \left( \frac{m}{2 \pi \rho} \right)^2 = \frac{3}{2} m \left( \frac{m^2}{4 \pi^2 \rho^2} \right) = \frac{3 m^3}{8 \pi^2 \rho^2}$।

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ की उसकी लंबाई के लंबवत और एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3}ML^2$ द्वारा दिया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $K$ जड़त्व आघूर्ण से $I = MK^2$ द्वारा संबंधित है।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $MK^2 = \frac{1}{3}ML^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर,हमें $K^2 = \frac{L^2}{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$K = \frac{L}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $K: L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ या $1: \sqrt{3}$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार वलय (रिंग) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^2$ होता है।
यहाँ रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho = \frac{m}{L}$ है,जहाँ $L$ लूप की परिधि है $(L = 2 \pi R)$।
अतः,$\rho = \frac{m}{2 \pi R}$,जिसका अर्थ है कि $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$।
$R$ का मान जड़त्व आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} m \left( \frac{m}{2 \pi \rho} \right)^2$
$I = \frac{1}{2} m \left( \frac{m^2}{4 \pi^2 \rho^2} \right)$
$I = \frac{m^3}{8 \pi^2 \rho^2}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोलों के लिए द्रव्यमान $M$ समान है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती है,अर्थात $I \propto R^2$।
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,जड़त्व आघूर्णों का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $4:9$ है।

(A) प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $dm = \lambda|x|dx$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,छड़ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष $AA$ के परितः जड़त्व आघूर्ण की गणना करें:
$I_{AA} = \int x^2 dm = \int_{-L/2}^{L/2} x^2 (\lambda|x|) dx = 2\lambda \int_{0}^{L/2} x^3 dx = 2\lambda \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{\lambda}{2} \left( \frac{L}{2} \right)^4 = \frac{\lambda L^4}{32}$.
दिया है $\lambda = 16 \ kg/m^2$ और $L = 1 \ m$,इसलिए $I_{AA} = \frac{16 \times 1^4}{32} = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
अब,छड़ का कुल द्रव्यमान $M$ ज्ञात करें:
$M = \int_{-L/2}^{L/2} \lambda|x| dx = 2\lambda \int_0^{L/2} x dx = 2\lambda \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{L/2} = \lambda \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{\lambda L^2}{4}$.
$\lambda = 16$ और $L = 1$ रखने पर,$M = \frac{16 \times 1^2}{4} = 4 \ kg$.
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष $BB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें:
$I_{BB} = I_{CM} + M h^2$,जहाँ $h = L/2 = 0.5 \ m$.
$I_{BB} = 0.5 + 4 \times (0.5)^2 = 0.5 + 4 \times 0.25 = 0.5 + 1 = 1.5 \ kg \cdot m^2$.

(D) दिया गया है,गोले का घनत्व,$\rho = A r^\alpha$ (जहाँ $r$ त्रिज्यीय दूरी है और $A$ तथा $\alpha$ स्थिरांक हैं)।
$r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक सूक्ष्म गोलीय कोश पर विचार करें।
सूक्ष्म गोलीय कोश का द्रव्यमान,$dm = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (4 \pi r^2) dr \cdot A r^\alpha = 4 \pi A r^{2+\alpha} dr$.
संपूर्ण ठोस गोले का द्रव्यमान,$M = 4 \pi A \int_0^R r^{2+\alpha} dr = 4 \pi A \left[ \frac{r^{3+\alpha}}{3+\alpha} \right]_0^R = \frac{4 \pi A}{3+\alpha} R^{3+\alpha}$.
सूक्ष्म गोलीय कोश का जड़त्व आघूर्ण $dI = \frac{2}{3} (dm) r^2 = \frac{2}{3} (4 \pi A r^{2+\alpha} dr) r^2 = \frac{8}{3} \pi A r^{4+\alpha} dr$.
संपूर्ण ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण,$I = \int_0^R dI = \frac{8}{3} \pi A \int_0^R r^{4+\alpha} dr = \frac{8}{3} \pi A \left[ \frac{r^{5+\alpha}}{5+\alpha} \right]_0^R = \frac{8 \pi A}{3(5+\alpha)} R^{5+\alpha}$.
$I$ के व्यंजक में $M$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \left( \frac{4 \pi A R^{3+\alpha}}{3+\alpha} \right) \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3+\alpha}{5+\alpha} R^2 = M R^2 \left( \frac{2(3+\alpha)}{3(5+\alpha)} \right)$.
दिया गया है कि $I = \frac{6}{7} M R^2$,इसलिए तुलना करने पर: $\frac{2(3+\alpha)}{3(5+\alpha)} = \frac{6}{7}$.
$14(3+\alpha) = 18(5+\alpha) \Rightarrow 42 + 14\alpha = 90 + 18\alpha \Rightarrow -4\alpha = 48 \Rightarrow \alpha = -12$.

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I = \frac{2}{5}MR^2$ है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ गोले की त्रिज्या है।
चूंकि स्टील का घनत्व लकड़ी से अधिक होता है,इसलिए समान त्रिज्या के लिए स्टील के गोले का द्रव्यमान लकड़ी के गोले के द्रव्यमान से अधिक होता है।
अतः,स्टील के गोले का जड़त्व आघूर्ण लकड़ी के गोले से अधिक होता है। इसलिए,कथन $(A)$ सही है।
हालाँकि,सूत्र $I = \frac{2}{5}MR^2$ स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि जड़त्व आघूर्ण पिंड के द्रव्यमान $(M)$ पर निर्भर करता है।
इसलिए,कारण $(R)$ गलत है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान $M$,आयतन $V$ और घनत्व $\rho$ का गुणनफल है,इसलिए $M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है।
इस मान को $I$ के सूत्र में रखने पर,$I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) R^2 = \frac{8}{15} \pi R^5 \rho$ प्राप्त होता है।
अतः,जड़त्व आघूर्णों का अनुपात $\frac{I_A}{I_B} = \frac{\frac{8}{15} \pi R^5 \rho_A}{\frac{8}{15} \pi R^5 \rho_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B}$ होगा।

(A) एकसमान वृत्ताकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $(M)$ और मोटाई $(t)$ समान हैं,हम त्रिज्या $(R)$ को घनत्व $(\rho)$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$M = \pi R^2 t \rho \Rightarrow R^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$.
इसे $I$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$.
चूंकि $M$,$t$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $I \propto \frac{1}{\rho}$ है।
अतः,अधिक घनत्व वाले पदार्थ से बनी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण कम होगा।

(B) दिया गया है कि दो ठोस गोलों के द्रव्यमान समान हैं,$m_A = m_B$.
चूंकि द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है,इसलिए:
$\frac{4}{3} \pi R_A^3 \rho_A = \frac{4}{3} \pi R_B^3 \rho_B$
$\Rightarrow \frac{R_A^3}{R_B^3} = \frac{\rho_B}{\rho_A} \Rightarrow \frac{R_A}{R_B} = \left(\frac{\rho_B}{\rho_A}\right)^{1/3}$.
एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^2$ होता है।
चूंकि $m_A = m_B$,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात है:
$\frac{I_B}{I_A} = \frac{\frac{2}{5} m_B R_B^2}{\frac{2}{5} m_A R_A^2} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$.
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर:
$\frac{I_B}{I_A} = \left[ \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right)^{1/3} \right]^2 = \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right)^{2/3}$.

(D) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए $I \propto R^2$ है।
जड़त्व आघूर्ण में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta I}{I} = 2 \frac{\Delta R}{R}$ है।
हम जानते हैं कि रेखीय प्रसार $\frac{\Delta R}{R} = \alpha \Delta t$ है,जहाँ $\alpha = 10^{-5} /^{\circ} C$ और $\Delta t = 200^{\circ} C$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta t$ प्राप्त होता है।
प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = 2 \times 10^{-5} \times 200 \times 100 = 0.4 \%$.

(C) डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ है।
चूंकि डिस्क को पिघलाकर एक ठोस गोले में बदल दिया जाता है,इसलिए आयतन स्थिर रहता है।
डिस्क का आयतन = गोले का आयतन
$\pi R^2 \times \frac{R}{6} = \frac{4}{3} \pi R_1^3$
$\frac{R^3}{6} = \frac{4}{3} R_1^3$
$R_1^3 = \frac{R^3}{8} \implies R_1 = \frac{R}{2}$,जहाँ $R_1$ गोले की त्रिज्या है।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{2}{5} M R_1^2$ होता है।
$R_1 = \frac{R}{2}$ को सूत्र में रखने पर:
$I' = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{2}{5} M \left(\frac{R^2}{4}\right) = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} M R^2\right)$.
चूंकि $I = \frac{1}{2} M R^2$,इसलिए हमें $I' = \frac{I}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: कुल द्रव्यमान $M = 0.6 \ kg$,लंबाई $L = 1 \ m = 100 \ cm$.
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{0.6 \ kg}{100 \ cm} = 0.006 \ kg/cm$.
अक्ष $20 \ cm$ पर है। यह स्केल को दो भागों में विभाजित करता है: $AB$ $(20 \ cm)$ और $BC$ $(80 \ cm)$.
भाग $AB$ का द्रव्यमान,$m_1 = \lambda \times 20 = 0.006 \times 20 = 0.12 \ kg$.
भाग $BC$ का द्रव्यमान,$m_2 = \lambda \times 80 = 0.006 \times 80 = 0.48 \ kg$.
एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} m l^2$ होता है।
भाग $AB$ के लिए (अक्ष $B$ सिरे पर है): $I_1 = \frac{1}{3} m_1 (l_1)^2 = \frac{1}{3} \times 0.12 \times (0.2)^2 = 0.04 \times 0.04 = 0.0016 \ kg-m^2$.
भाग $BC$ के लिए (अक्ष $B$ सिरे पर है): $I_2 = \frac{1}{3} m_2 (l_2)^2 = \frac{1}{3} \times 0.48 \times (0.8)^2 = 0.16 \times 0.64 = 0.1024 \ kg-m^2$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = 0.0016 + 0.1024 = 0.104 \ kg-m^2$.

(D) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ होता है।
माना लूप $P$ का द्रव्यमान $m_P$ है और इसकी त्रिज्या $r_P = r$ है। लूप $Q$ का द्रव्यमान $m_Q$ है और इसकी त्रिज्या $r_Q = nr$ है।
चूंकि तार एकसमान है,द्रव्यमान परिधि के समानुपाती होता है $(m \propto 2\pi R)$। इसलिए,$m_Q = n m_P$ होगा।
$P$ का जड़त्व आघूर्ण $I_P = m_P r^2$ है।
$Q$ का जड़त्व आघूर्ण $I_Q = m_Q (nr)^2 = (n m_P) (n^2 r^2) = n^3 m_P r^2$ है।
दिया गया है कि $I_Q = 8 I_P$,इसलिए $n^3 m_P r^2 = 8 m_P r^2$ होगा।
अतः,$n^3 = 8$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष $AX$ रेखा है,जो शीर्ष $A$ से गुजरती है और $AB$ के लंबवत है।
निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$,अक्ष $AX$ के परितः व्यक्तिगत कणों के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
$I = \sum m_i r_i^2$,जहाँ $r_i$ अक्ष $AX$ से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
$1$. शीर्ष $A$ पर स्थित कण के लिए: दूरी $r_A = 0$,इसलिए $I_A = m(0)^2 = 0$.
$2$. शीर्ष $B$ पर स्थित कण के लिए: दूरी $r_B = a$,इसलिए $I_B = m(a)^2 = ma^2$.
$3$. शीर्ष $C$ पर स्थित कण के लिए: $AX$ से लंबवत दूरी $r_C = a \cos 60^{\circ} = a \times \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$ है।
इसलिए,$I_C = m(\frac{a}{2})^2 = \frac{ma^2}{4}$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_A + I_B + I_C = 0 + ma^2 + \frac{ma^2}{4} = \frac{5ma^2}{4} \text{ } g-cm^2$.

(D) मान लीजिए कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $M$ है। ठोस गोले के लिए: $M = \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
आंतरिक त्रिज्या $r$ वाले खोखले गोले के लिए: $M = \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})$.
द्रव्यमानों की तुलना करने पर: $\rho_{1} R^{3} = \rho_{2} (R^{3} - r^{3})$.
इससे $\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = 1 - \frac{r^{3}}{R^{3}}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{r^{3}}{R^{3}} = 1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{r}{R} = (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{1/3}$.
ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{S} = \frac{2}{5} M R^{2}$ है।
खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{H} = \frac{2}{5} M \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}}$ है।
$M = \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})$ का उपयोग करने पर,हमें $I_{H} = \frac{2}{5} (\rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})) \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}} = \frac{2}{5} \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{5} - r^{5})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M = \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}$ है,हमारे पास $I_{S} = \frac{2}{5} (\rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}) R^{2} = \frac{2}{5} \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{5}$ है।
अतः,$\frac{I_{H}}{I_{S}} = \frac{\rho_{2} (R^{5} - r^{5})}{\rho_{1} R^{5}} = \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} [1 - (\frac{r}{R})^{5}]$.
$\frac{r}{R} = (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{1/3}$ रखने पर,हमें $\frac{I_{H}}{I_{S}} = \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} [1 - (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{5/3}]$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि आयताकार फ्रेम के कोने $A, B, C,$ और $D$ हैं,जहाँ भुजा $AD = BC = a$ और भुजा $AB = CD = b$ है। प्रत्येक कोने पर $m$ द्रव्यमान रखा गया है।
घूर्णन की अक्ष $b$ लंबाई की भुजा (मान लीजिए भुजा $CD$) से होकर गुजरती है।
कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन की अक्ष से $i$-वें द्रव्यमान की लंबवत दूरी है।
$1$. $C$ और $D$ पर स्थित द्रव्यमान घूर्णन की अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए उनकी लंबवत दूरी $r_C = 0$ और $r_D = 0$ है। अतः,जड़त्व आघूर्ण में उनका योगदान $m(0)^2 + m(0)^2 = 0$ है।
$2$. $A$ और $B$ पर स्थित द्रव्यमान अक्ष $CD$ से $a$ की लंबवत दूरी पर हैं। अतः,उनका योगदान $m(a)^2 + m(a)^2 = 2ma^2$ है।
इसलिए,अक्ष $CD$ के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 0 + 2ma^2 = 2ma^2$ होगा।

(A) एक ठोस गोले की उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2$ होता है।
$I = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $k$ के लिए $I = mk^2$ होता है।
अतः,$mk^2 = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
$k^2 = \frac{2}{5} R^2 + d^2$.
यहाँ $R = 10 \ cm$ और $d = 15 \ cm$ दिया गया है:
$k^2 = \frac{2}{5} (10)^2 + (15)^2$.
$k^2 = \frac{2}{5} (100) + 225 = 40 + 225 = 265$.
चूंकि घूर्णन त्रिज्या $k = \sqrt{n}$ है,इसलिए $k^2 = n$ होगा।
अतः,$n = 265$।

(A) मान लीजिए कि बेलन के पदार्थ का घनत्व $\rho$ है।
मूल बेलन का द्रव्यमान $M = \rho \cdot \pi R^2 L$ है।
इसकी अक्ष के परितः मूल बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$ है।
कटे हुए बेलन का द्रव्यमान $m = \rho \cdot \pi (R/3)^2 \cdot (L/2) = \rho \cdot \pi (R^2/9) \cdot (L/2) = \frac{\rho \pi R^2 L}{18} = \frac{M}{18}$ है।
इसकी अक्ष के परितः कटे हुए बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} m (R/3)^2 = \frac{1}{2} (\frac{M}{18}) (\frac{R^2}{9}) = \frac{1}{324} M R^2$ है।
अब,अनुपात $I_1/I_2$ है:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M R^2}{\frac{1}{324} M R^2} = \frac{1}{2} \times 324 = 162$.

(C) वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि डिस्क समान पदार्थ से बनी हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ समान है।
डिस्क का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2 T) \rho$ है।
अतः,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} (\pi R^2 T \rho) R^2 = \frac{1}{2} \pi \rho R^4 T$ है।
दिया गया है कि $I_1 = I_2$,इसलिए:
$\frac{1}{2} \pi \rho R_1^4 T_1 = \frac{1}{2} \pi \rho R_2^4 T_2$
$R_1^4 T_1 = R_2^4 T_2$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{R_2^4}{R_1^4} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^4$.
दिया गया है कि $\frac{R_1}{R_2} = 2$,इसलिए $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}$ है।
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$ है।
इसकी तुलना $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{\alpha}$ से करने पर,हमें $\alpha = 16$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर छड़ $1$ है और क्षैतिज छड़ $2$ है।
छड़ $1$ के लिए,बिंदु $P$ (इसके सिरे) से गुजरने वाली और इसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{ML^2}{3}$ है।
छड़ $2$ के लिए,इसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + Md^2$ होगा,जहाँ $d = L$ बिंदु $P$ से छड़ $2$ के केंद्र तक की दूरी है।
$I_2 = \frac{ML^2}{12} + M(L)^2 = \frac{13ML^2}{12}$।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{ML^2}{3} + \frac{13ML^2}{12} = \frac{4ML^2 + 13ML^2}{12} = \frac{17ML^2}{12}$ है।
इसकी तुलना $\frac{x}{12} ML^2$ से करने पर,हमें $x = 17$ प्राप्त होता है।