अ Hindi
Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Hindi
Class 11 Physics · System of Particles and Rotational Motion · Moment of Inertia and Radius of gyration
371+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 371 questions in Hindi
151
DifficultMCQ
एक दृढ़ पिंड को $x$-अक्ष पर किसी भी बिंदु पर कब्जेदार (hinged) किया जा सकता है। जब इसे इस प्रकार कब्जेदार किया जाता है कि कब्जा $x$ पर हो,तो जड़त्व आघूर्ण $I = 2x^2 - 12x + 27$ द्वारा दिया जाता है। द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक क्या है?
A
$x = 2$
B
$x = 0$
C
$x = 1$
D
$x = 3$
Solution
(D) समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$x$ स्थिति पर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + M(x - x_{CM})^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x_{CM}$ द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = M x^2 - 2 M x_{CM} x + (I_{CM} + M x_{CM}^2)$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $I = 2x^2 - 12x + 27$ से करने पर:
$x^2$ का गुणांक: $M = 2$.
$x$ का गुणांक: $-2 M x_{CM} = -12$.
दूसरे समीकरण में $M = 2$ रखने पर: $-2(2)x_{CM} = -12 \implies -4 x_{CM} = -12 \implies x_{CM} = 3$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $3$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = M x^2 - 2 M x_{CM} x + (I_{CM} + M x_{CM}^2)$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $I = 2x^2 - 12x + 27$ से करने पर:
$x^2$ का गुणांक: $M = 2$.
$x$ का गुणांक: $-2 M x_{CM} = -12$.
दूसरे समीकरण में $M = 2$ रखने पर: $-2(2)x_{CM} = -12 \implies -4 x_{CM} = -12 \implies x_{CM} = 3$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $3$ है।
0 likes
View Solution152
MediumMCQ
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई के एक तार को मोड़कर एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाई जाती है। अपनी अक्ष के परितः वलय का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?
A
$\left( \frac{1}{8\pi^2} \right) ML^2$
B
$(8\pi^2) ML^2$
C
$\left( \frac{1}{4\pi^2} \right) ML^2$
D
$(4\pi^2) ML^2$
Solution
(C) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई के तार को मोड़कर $R$ त्रिज्या की एक वलय बनाई जाती है।
चूंकि तार की लंबाई वलय की परिधि के बराबर है:
$L = 2\pi R$
इसलिए,वलय की त्रिज्या $R = \frac{L}{2\pi}$ है।
वलय का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र है:
$I = MR^2$
सूत्र में $R$ का मान रखने पर:
$I = M \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2$
$I = M \left( \frac{L^2}{4\pi^2} \right)$
$I = \left( \frac{1}{4\pi^2} \right) ML^2$
चूंकि तार की लंबाई वलय की परिधि के बराबर है:
$L = 2\pi R$
इसलिए,वलय की त्रिज्या $R = \frac{L}{2\pi}$ है।
वलय का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र है:
$I = MR^2$
सूत्र में $R$ का मान रखने पर:
$I = M \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2$
$I = M \left( \frac{L^2}{4\pi^2} \right)$
$I = \left( \frac{1}{4\pi^2} \right) ML^2$
0 likes
View Solution153
MediumMCQ
आकृति में $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक समान छड़ $x$-अक्ष पर स्थित है,जिसका एक सिरा मूल बिंदु $O$ पर है। $xy$-समतल में उन सभी बिंदुओं $(x, y)$ का बिंदुपथ,जिनके परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण के समान है,है:
A
एक दीर्घवृत्त
B
एक वृत्त
C
एक परवलय
D
एक सीधी रेखा
Solution
(B) मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $M$ और लंबाई $L$ है। मूल बिंदु $O$ से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष ($z$-अक्ष) के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_O = \frac{1}{3}ML^2$ है।
$xy$-समतल में एक बिंदु $P(x, y)$ पर विचार करें। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$P$ से गुजरने वाली और $xy$-समतल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_P = I_{CM} + Md^2$ है,जहाँ $d$ छड़ के द्रव्यमान केंद्र से बिंदु $P$ तक की दूरी है।
छड़ का द्रव्यमान केंद्र $(L/2, 0)$ पर है। $(L/2, 0)$ से $(x, y)$ तक की दूरी $d^2 = (x - L/2)^2 + y^2$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{1}{12}ML^2$ है।
अतः,$I_P = \frac{1}{12}ML^2 + M((x - L/2)^2 + y^2)$ है।
$I_P = I_O$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{12}ML^2 + M((x - L/2)^2 + y^2) = \frac{1}{3}ML^2$.
$(x - L/2)^2 + y^2 = \frac{1}{3}L^2 - \frac{1}{12}L^2 = \frac{1}{4}L^2$.
यह $(L/2, 0)$ केंद्र और $L/2$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।
$xy$-समतल में एक बिंदु $P(x, y)$ पर विचार करें। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$P$ से गुजरने वाली और $xy$-समतल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_P = I_{CM} + Md^2$ है,जहाँ $d$ छड़ के द्रव्यमान केंद्र से बिंदु $P$ तक की दूरी है।
छड़ का द्रव्यमान केंद्र $(L/2, 0)$ पर है। $(L/2, 0)$ से $(x, y)$ तक की दूरी $d^2 = (x - L/2)^2 + y^2$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{1}{12}ML^2$ है।
अतः,$I_P = \frac{1}{12}ML^2 + M((x - L/2)^2 + y^2)$ है।
$I_P = I_O$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{12}ML^2 + M((x - L/2)^2 + y^2) = \frac{1}{3}ML^2$.
$(x - L/2)^2 + y^2 = \frac{1}{3}L^2 - \frac{1}{12}L^2 = \frac{1}{4}L^2$.
यह $(L/2, 0)$ केंद्र और $L/2$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।
0 likes
View Solution154
MediumMCQ
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
अभिकथन $(A)$: जब घूर्णन अक्ष किसी दृढ़ पिंड के द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरती है,तो उसकी जड़त्व आघूर्ण किसी अन्य समानांतर अक्ष की तुलना में अपने न्यूनतम मान तक कम हो जाती है।
कारण $(R)$: एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक दृढ़ पिंड का भार हमेशा उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर कार्य करता है।
इन कथनों में से:
अभिकथन $(A)$: जब घूर्णन अक्ष किसी दृढ़ पिंड के द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरती है,तो उसकी जड़त्व आघूर्ण किसी अन्य समानांतर अक्ष की तुलना में अपने न्यूनतम मान तक कम हो जाती है।
कारण $(R)$: एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक दृढ़ पिंड का भार हमेशा उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर कार्य करता है।
इन कथनों में से:
A
$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।
B
$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$A$ सत्य है लेकिन $R$ असत्य है।
D
$A$ असत्य है लेकिन $R$ सत्य है।
Solution
(B) समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ पिंड का द्रव्यमान है,और $d$ दो अक्षों के बीच की लंबवत दूरी है।
चूंकि $Md^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $I$ तब न्यूनतम होता है जब $d = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि अक्ष द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरती है। अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है।
एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,किसी पिंड का भार उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर कार्य करता है। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
हालाँकि,यह तथ्य कि भार द्रव्यमान केंद्र से कार्य करता है,गुरुत्वाकर्षण से संबंधित एक गुण है और यह यह नहीं समझाता है कि द्रव्यमान केंद्र अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम क्यों होता है (जो समानांतर अक्ष प्रमेय से प्राप्त एक ज्यामितीय गुण है)। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
चूंकि $Md^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $I$ तब न्यूनतम होता है जब $d = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि अक्ष द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरती है। अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है।
एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,किसी पिंड का भार उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर कार्य करता है। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
हालाँकि,यह तथ्य कि भार द्रव्यमान केंद्र से कार्य करता है,गुरुत्वाकर्षण से संबंधित एक गुण है और यह यह नहीं समझाता है कि द्रव्यमान केंद्र अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम क्यों होता है (जो समानांतर अक्ष प्रमेय से प्राप्त एक ज्यामितीय गुण है)। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
0 likes
View Solution155
DifficultMCQ
आकृति में $M$ द्रव्यमान और $L$ आधार वाली एक समद्विबाहु त्रिभुजाकार प्लेट दिखाई गई है। शीर्ष पर कोण $90^o$ है। शीर्ष मूल बिंदु पर स्थित है और आधार $X$-अक्ष के समानांतर है। $z$-अक्ष के परितः प्लेट का जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$\frac{ML^2}{12}$
B
$\frac{ML^2}{24}$
C
$\frac{ML^2}{6}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) मान लीजिए कि त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और त्रिभुज समद्विबाहु है,ऊँचाई $h$ आधार $L$ को समद्विभाजित करती है। अतः,$h = L/2$.
क्षेत्रफल घनत्व $\sigma = M / (0.5 \times L \times h) = M / (0.5 \times L \times L/2) = 4M/L^2$.
शीर्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पट्टी लें। पट्टी की लंबाई $l(y) = 2y$ है (चूँकि कोण $90^o$ है,भुजाएँ $y=x$ और $y=-x$ हैं)।
पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma \times l(y) \times dy = (4M/L^2) \times (2y) \times dy = (8M/L^2) y dy$.
$z$-अक्ष के परितः इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI_z = dI_{cm} + dm \times y^2 = (dm \times l(y)^2 / 12) + dm \times y^2 = (dm \times (2y)^2 / 12) + dm \times y^2 = (dm \times y^2 / 3) + dm \times y^2 = (4/3) dm \times y^2$.
$dm$ का मान रखने पर: $dI_z = (4/3) \times (8M/L^2) y^2 \times y dy = (32M / 3L^2) y^3 dy$.
$y=0$ से $y=h=L/2$ तक समाकलन करने पर: $I_z = \int_0^{L/2} (32M / 3L^2) y^3 dy = (32M / 3L^2) [y^4 / 4]_0^{L/2} = (8M / 3L^2) (L/2)^4 = (8M / 3L^2) (L^4 / 16) = ML^2 / 6$.
क्षेत्रफल घनत्व $\sigma = M / (0.5 \times L \times h) = M / (0.5 \times L \times L/2) = 4M/L^2$.
शीर्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पट्टी लें। पट्टी की लंबाई $l(y) = 2y$ है (चूँकि कोण $90^o$ है,भुजाएँ $y=x$ और $y=-x$ हैं)।
पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma \times l(y) \times dy = (4M/L^2) \times (2y) \times dy = (8M/L^2) y dy$.
$z$-अक्ष के परितः इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI_z = dI_{cm} + dm \times y^2 = (dm \times l(y)^2 / 12) + dm \times y^2 = (dm \times (2y)^2 / 12) + dm \times y^2 = (dm \times y^2 / 3) + dm \times y^2 = (4/3) dm \times y^2$.
$dm$ का मान रखने पर: $dI_z = (4/3) \times (8M/L^2) y^2 \times y dy = (32M / 3L^2) y^3 dy$.
$y=0$ से $y=h=L/2$ तक समाकलन करने पर: $I_z = \int_0^{L/2} (32M / 3L^2) y^3 dy = (32M / 3L^2) [y^4 / 4]_0^{L/2} = (8M / 3L^2) (L/2)^4 = (8M / 3L^2) (L^4 / 16) = ML^2 / 6$.
0 likes
View Solution156
DifficultMCQ
आकृति में $M$ द्रव्यमान और $L$ आधार वाली एक समद्विबाहु त्रिभुजाकार प्लेट दिखाई गई है। शीर्ष पर कोण $90^o$ है। शीर्ष मूल बिंदु पर स्थित है और आधार $X$-अक्ष के समानांतर है। $X$-अक्ष के परितः प्लेट का जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$\frac{ML^2}{8}$
B
$\frac{ML^2}{32}$
C
$\frac{ML^2}{24}$
D
$\frac{ML^2}{6}$
Solution
(A) माना त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और त्रिभुज समद्विबाहु है,ऊँचाई $h$ आधार की लंबाई $L$ की आधी है। अतः,$h = L/2$ है।
प्लेट का पृष्ठीय घनत्व $\sigma = \frac{M}{\text{Area}} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times h} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times (L/2)} = \frac{4M}{L^2}$ है।
$X$-अक्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पतली पट्टी लें। इस पट्टी की लंबाई $l(y)$ शीर्ष $(y=0)$ पर $0$ से आधार $(y=h)$ पर $L$ तक रैखिक रूप से बदलती है।
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए,$l(y) = \frac{L}{h} y = \frac{L}{L/2} y = 2y$ प्राप्त होता है।
इस पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \left(\frac{4M}{L^2}\right) \times (2y) \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ है।
$X$-अक्ष के परितः इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI = dm \times y^2 = \left(\frac{8M}{L^2} y dy\right) y^2 = \frac{8M}{L^2} y^3 dy$ है।
$y=0$ से $y=h=L/2$ तक समाकलन करने पर:
$I = \int_0^{L/2} \frac{8M}{L^2} y^3 dy = \frac{8M}{L^2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{8M}{L^2} \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{L}{2}\right)^4 = \frac{2M}{L^2} \times \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{8}$.
प्लेट का पृष्ठीय घनत्व $\sigma = \frac{M}{\text{Area}} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times h} = \frac{M}{\frac{1}{2} \times L \times (L/2)} = \frac{4M}{L^2}$ है।
$X$-अक्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पतली पट्टी लें। इस पट्टी की लंबाई $l(y)$ शीर्ष $(y=0)$ पर $0$ से आधार $(y=h)$ पर $L$ तक रैखिक रूप से बदलती है।
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए,$l(y) = \frac{L}{h} y = \frac{L}{L/2} y = 2y$ प्राप्त होता है।
इस पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \left(\frac{4M}{L^2}\right) \times (2y) \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ है।
$X$-अक्ष के परितः इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI = dm \times y^2 = \left(\frac{8M}{L^2} y dy\right) y^2 = \frac{8M}{L^2} y^3 dy$ है।
$y=0$ से $y=h=L/2$ तक समाकलन करने पर:
$I = \int_0^{L/2} \frac{8M}{L^2} y^3 dy = \frac{8M}{L^2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{8M}{L^2} \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{L}{2}\right)^4 = \frac{2M}{L^2} \times \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{8}$.
0 likes
View Solution157
DifficultMCQ
आकृति में $M$ द्रव्यमान और $L$ आधार वाली एक समद्विबाहु त्रिभुजाकार प्लेट दिखाई गई है। शीर्ष पर कोण $90^o$ है। शीर्ष मूल बिंदु पर स्थित है और आधार $X$-अक्ष के समानांतर है। $y$-अक्ष के परितः प्लेट का जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$\frac{ML^2}{6}$
B
$\frac{ML^2}{8}$
C
$\frac{ML^2}{24}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) मान लीजिए त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है,ऊँचाई $h$ आधार $L$ को समद्विभाजित करती है। अतः,त्रिभुज $L/2$ आधार और $h$ ऊँचाई वाले दो समकोण त्रिभुजों से बना है। ज्यामिति से,$h = L/2$ है।
शीर्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पतली पट्टी लें। इस पट्टी की लंबाई $l(y)$ को समरूप त्रिभुजों के नियम से ज्ञात किया जा सकता है: $l(y)/y = L/h = L/(L/2) = 2$। अतः,$l(y) = 2y$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times L \times h = \frac{1}{2} \times L \times \frac{L}{2} = \frac{L^2}{4}$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{A} = \frac{4M}{L^2}$ है।
पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \frac{4M}{L^2} \times 2y \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ है।
$y$-अक्ष के परितः इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI_y = \frac{dm \times l(y)^2}{12} = \frac{1}{12} \times \left( \frac{8M}{L^2} y dy \right) \times (2y)^2 = \frac{1}{12} \times \frac{8M}{L^2} y dy \times 4y^2 = \frac{8M}{3L^2} y^3 dy$ है।
$y=0$ से $y=h=L/2$ तक समाकलन करने पर:
$I_y = \int_0^{L/2} \frac{8M}{3L^2} y^3 dy = \frac{8M}{3L^2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{8M}{3L^2} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{L}{2} \right)^4 = \frac{2M}{3L^2} \times \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{24}$।
शीर्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पतली पट्टी लें। इस पट्टी की लंबाई $l(y)$ को समरूप त्रिभुजों के नियम से ज्ञात किया जा सकता है: $l(y)/y = L/h = L/(L/2) = 2$। अतः,$l(y) = 2y$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times L \times h = \frac{1}{2} \times L \times \frac{L}{2} = \frac{L^2}{4}$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{A} = \frac{4M}{L^2}$ है।
पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma \times l(y) \times dy = \frac{4M}{L^2} \times 2y \times dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ है।
$y$-अक्ष के परितः इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI_y = \frac{dm \times l(y)^2}{12} = \frac{1}{12} \times \left( \frac{8M}{L^2} y dy \right) \times (2y)^2 = \frac{1}{12} \times \frac{8M}{L^2} y dy \times 4y^2 = \frac{8M}{3L^2} y^3 dy$ है।
$y=0$ से $y=h=L/2$ तक समाकलन करने पर:
$I_y = \int_0^{L/2} \frac{8M}{3L^2} y^3 dy = \frac{8M}{3L^2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{8M}{3L^2} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{L}{2} \right)^4 = \frac{2M}{3L^2} \times \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{24}$।
0 likes
View Solution158
MediumMCQ
संलग्न आरेख के लिए,$I_{1}, I_{2}$ और $I_{3}$ के बीच गलत संबंध क्या है? ($I$ = जड़त्व आघूर्ण)
A
$I_{2} > I_{1}$
B
$I_{3} > I_{1}$
C
$I_{1} > I_{2}$
D
$I_{3} > I_{2}$
Solution
(C) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ घूर्णन अक्ष के सापेक्ष उसके द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है। द्रव्यमान अक्ष से जितना दूर होगा,जड़त्व आघूर्ण उतना ही अधिक होगा।
दिए गए समकोण त्रिभुज $ABC$ में भुजाएँ $AB=4$,$BC=3$ और $AC=5$ हैं।
$I_{1}$ भुजा $AB$ से गुजरने वाली अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है।
$I_{3}$ भुजा $BC$ से गुजरने वाली अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है।
$I_{2}$ भुजा $AC$ से गुजरने वाली अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है।
इन अक्षों से द्रव्यमान वितरण की दूरियों की तुलना करने पर,हमें $I_{1} < I_{3} < I_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,संबंध $I_{1} > I_{2}$ गलत है।
दिए गए समकोण त्रिभुज $ABC$ में भुजाएँ $AB=4$,$BC=3$ और $AC=5$ हैं।
$I_{1}$ भुजा $AB$ से गुजरने वाली अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है।
$I_{3}$ भुजा $BC$ से गुजरने वाली अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है।
$I_{2}$ भुजा $AC$ से गुजरने वाली अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है।
इन अक्षों से द्रव्यमान वितरण की दूरियों की तुलना करने पर,हमें $I_{1} < I_{3} < I_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,संबंध $I_{1} > I_{2}$ गलत है।
0 likes
View Solution159
MediumMCQ
यदि कोई व्यक्ति अपने हाथों को फैलाकर एक घूमती हुई स्टूल पर बैठा है और अचानक अपने हाथों को नीचे कर लेता है, तो उसका
A
गतिज ऊर्जा घट जाएगी
B
जड़त्व आघूर्ण घट जाएगा
C
कोणीय संवेग बढ़ जाएगा
D
कोणीय वेग स्थिर रहेगा
Solution
(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, यदि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है, तो कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
जब व्यक्ति अपने हाथों को नीचे करता है, तो द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष के करीब आ जाता है, जिससे जड़त्व आघूर्ण $I$ कम हो जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है, इसलिए $I$ में कमी के कारण कोणीय वेग $\omega$ में वृद्धि होनी चाहिए।
इसके अलावा, घूर्णी गतिज ऊर्जा $K = \frac{L^2}{2I}$ बढ़ जाएगी क्योंकि $I$ घटता है जबकि $L$ स्थिर रहता है।
इसलिए, सही कथन यह है कि जड़त्व आघूर्ण घट जाएगा।
जब व्यक्ति अपने हाथों को नीचे करता है, तो द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष के करीब आ जाता है, जिससे जड़त्व आघूर्ण $I$ कम हो जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है, इसलिए $I$ में कमी के कारण कोणीय वेग $\omega$ में वृद्धि होनी चाहिए।
इसके अलावा, घूर्णी गतिज ऊर्जा $K = \frac{L^2}{2I}$ बढ़ जाएगी क्योंकि $I$ घटता है जबकि $L$ स्थिर रहता है।
इसलिए, सही कथन यह है कि जड़त्व आघूर्ण घट जाएगा।
0 likes
View Solution160
DifficultMCQ
$l$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान वाली तीन समान छड़ों को जोड़कर एक दृढ़ समबाहु त्रिभुज बनाया गया है। त्रिभुज के तल के लंबवत और एक कोने से गुजरने वाली अक्ष के परितः इसकी घूर्णन त्रिज्या क्या होगी?
A
$l$
B
$\frac{l}{\sqrt{2}}$
C
$\frac{l}{2}$
D
$\frac{l}{3}$
Solution
(B) मान लीजिए कि तीन छड़ें $AB$,$BC$ और $CA$ हैं। हमें शीर्ष $A$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ ज्ञात करना है।
$1$. छड़ $AB$ के लिए: अक्ष छड़ के एक सिरे से गुजरती है और उसकी लंबाई के लंबवत है। $I_1 = \frac{Ml^2}{3}$.
$2$. छड़ $AC$ के लिए: अक्ष छड़ के एक सिरे से गुजरती है और उसकी लंबाई के लंबवत है। $I_2 = \frac{Ml^2}{3}$.
$3$. छड़ $BC$ के लिए: अक्ष,छड़ $BC$ के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के समानांतर है। शीर्ष $A$ से $BC$ के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d = l \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}l}{2}$ है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर: $I_3 = I_{cm} + Md^2 = \frac{Ml^2}{12} + M\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}\right)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{3Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 9Ml^2}{12} = \frac{10Ml^2}{12} = \frac{5Ml^2}{6}$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{Ml^2}{3} + \frac{Ml^2}{3} + \frac{5Ml^2}{6} = \frac{2Ml^2}{3} + \frac{5Ml^2}{6} = \frac{4Ml^2 + 5Ml^2}{6} = \frac{9Ml^2}{6} = \frac{3}{2}Ml^2$.
निकाय का कुल द्रव्यमान $3M$ है। घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = (3M)k^2$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$\frac{3}{2}Ml^2 = 3Mk^2 \implies k^2 = \frac{l^2}{2} \implies k = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
$1$. छड़ $AB$ के लिए: अक्ष छड़ के एक सिरे से गुजरती है और उसकी लंबाई के लंबवत है। $I_1 = \frac{Ml^2}{3}$.
$2$. छड़ $AC$ के लिए: अक्ष छड़ के एक सिरे से गुजरती है और उसकी लंबाई के लंबवत है। $I_2 = \frac{Ml^2}{3}$.
$3$. छड़ $BC$ के लिए: अक्ष,छड़ $BC$ के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के समानांतर है। शीर्ष $A$ से $BC$ के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d = l \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}l}{2}$ है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर: $I_3 = I_{cm} + Md^2 = \frac{Ml^2}{12} + M\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}\right)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{3Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 9Ml^2}{12} = \frac{10Ml^2}{12} = \frac{5Ml^2}{6}$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{Ml^2}{3} + \frac{Ml^2}{3} + \frac{5Ml^2}{6} = \frac{2Ml^2}{3} + \frac{5Ml^2}{6} = \frac{4Ml^2 + 5Ml^2}{6} = \frac{9Ml^2}{6} = \frac{3}{2}Ml^2$.
निकाय का कुल द्रव्यमान $3M$ है। घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = (3M)k^2$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$\frac{3}{2}Ml^2 = 3Mk^2 \implies k^2 = \frac{l^2}{2} \implies k = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
0 likes
View Solution161
DifficultMCQ
एक समान वर्गाकार प्लेट $S$ (भुजा $c$) और एक समान आयताकार प्लेट $R$ (भुजाएँ $b$,$a$) $(a > b)$ के क्षेत्रफल और द्रव्यमान समान हैं। चित्र के आधार पर,निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
$(a)\ I_{xR}/I_{xS} < 1$
$(b)\ I_{yR}/I_{yS} > 1$
$(c)\ I_{zR}/I_{zS} > 1$
$(a)\ I_{xR}/I_{xS} < 1$
$(b)\ I_{yR}/I_{yS} > 1$
$(c)\ I_{zR}/I_{zS} > 1$
A
$(a)$ और $(b)$
B
$(b)$ और $(c)$
C
$(a)$,$(b)$,और $(c)$
D
कोई नहीं
Solution
(C) दिया गया है कि क्षेत्रफल समान हैं,इसलिए $ab = c^2$। चूँकि $a > b$,इसलिए $a > c > b$ होता है।
आयताकार प्लेट $R$ के लिए: $I_{xR} = \frac{Mb^2}{12}$,$I_{yR} = \frac{Ma^2}{12}$,$I_{zR} = \frac{M(a^2 + b^2)}{12}$।
वर्गाकार प्लेट $S$ के लिए: $I_{xS} = \frac{Mc^2}{12}$,$I_{yS} = \frac{Mc^2}{12}$,$I_{zS} = \frac{Mc^2}{6}$।
$(a)$ की जाँच करें: $I_{xR}/I_{xS} = b^2/c^2$। चूँकि $b < c$,इसलिए $b^2/c^2 < 1$। अतः,$(a)$ सही है।
$(b)$ की जाँच करें: $I_{yR}/I_{yS} = a^2/c^2$। चूँकि $a > c$,इसलिए $a^2/c^2 > 1$। अतः,$(b)$ सही है।
$(c)$ की जाँच करें: $I_{zR}/I_{zS} = \frac{M(a^2 + b^2)/12}{Mc^2/6} = \frac{a^2 + b^2}{2c^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \right)$।
$ab = c^2$ होने के कारण,$b^2/c^2 = c^2/a^2$ होता है। इसलिए,$I_{zR}/I_{zS} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \right)$।
$x > 0$ के लिए $x + 1/x > 2$ गुण का उपयोग करते हुए (जहाँ $x = a^2/c^2$),यह सिद्ध होता है कि $I_{zR}/I_{zS} > 1$। अतः,$(c)$ सही है।
इसलिए,सभी कथन $(a)$,$(b)$,और $(c)$ सही हैं।
आयताकार प्लेट $R$ के लिए: $I_{xR} = \frac{Mb^2}{12}$,$I_{yR} = \frac{Ma^2}{12}$,$I_{zR} = \frac{M(a^2 + b^2)}{12}$।
वर्गाकार प्लेट $S$ के लिए: $I_{xS} = \frac{Mc^2}{12}$,$I_{yS} = \frac{Mc^2}{12}$,$I_{zS} = \frac{Mc^2}{6}$।
$(a)$ की जाँच करें: $I_{xR}/I_{xS} = b^2/c^2$। चूँकि $b < c$,इसलिए $b^2/c^2 < 1$। अतः,$(a)$ सही है।
$(b)$ की जाँच करें: $I_{yR}/I_{yS} = a^2/c^2$। चूँकि $a > c$,इसलिए $a^2/c^2 > 1$। अतः,$(b)$ सही है।
$(c)$ की जाँच करें: $I_{zR}/I_{zS} = \frac{M(a^2 + b^2)/12}{Mc^2/6} = \frac{a^2 + b^2}{2c^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \right)$।
$ab = c^2$ होने के कारण,$b^2/c^2 = c^2/a^2$ होता है। इसलिए,$I_{zR}/I_{zS} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \right)$।
$x > 0$ के लिए $x + 1/x > 2$ गुण का उपयोग करते हुए (जहाँ $x = a^2/c^2$),यह सिद्ध होता है कि $I_{zR}/I_{zS} > 1$। अतः,$(c)$ सही है।
इसलिए,सभी कथन $(a)$,$(b)$,और $(c)$ सही हैं।
0 likes
View Solution162
MediumMCQ
दो अर्ध-वलय (half rings) चित्र में दिखाए अनुसार जुड़े हुए हैं। प्रत्येक अर्ध-वलय की त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान $M$ है। $XX'$ अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?
A
$MR^2$
B
$\frac{1}{2}MR^2$
C
$\frac{3}{2}MR^2$
D
$\frac{1}{2}MR^2 - \frac{4MR^2}{\pi^2}$
Solution
(A) $2M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}(2M)R^2 = MR^2$ होता है।
चूंकि निकाय में $M$ द्रव्यमान के दो अर्ध-वलय हैं,जो इस प्रकार जुड़े हैं कि $XX'$ अक्ष उनके सामान्य व्यास से होकर गुजरती है,इसलिए हम इस निकाय को $2M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वलय के रूप में मान सकते हैं जो अपने व्यास के परितः घूम रही है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{1}{2}mR^2$ होता है।
प्रथम अर्ध-वलय (द्रव्यमान $M$) के लिए,$XX'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
दूसरे अर्ध-वलय (द्रव्यमान $M$) के लिए,$XX'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + \frac{1}{2}MR^2 = MR^2$ होगा।
चूंकि निकाय में $M$ द्रव्यमान के दो अर्ध-वलय हैं,जो इस प्रकार जुड़े हैं कि $XX'$ अक्ष उनके सामान्य व्यास से होकर गुजरती है,इसलिए हम इस निकाय को $2M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वलय के रूप में मान सकते हैं जो अपने व्यास के परितः घूम रही है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{1}{2}mR^2$ होता है।
प्रथम अर्ध-वलय (द्रव्यमान $M$) के लिए,$XX'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
दूसरे अर्ध-वलय (द्रव्यमान $M$) के लिए,$XX'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + \frac{1}{2}MR^2 = MR^2$ होगा।
0 likes
View Solution163
DifficultMCQ
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक पतली छड़ को एक सिरे पर कब्ज़े (hinge) पर लटकाया गया है ताकि वह ऊर्ध्वाधर तल में स्वतंत्र रूप से घूम सके। इसकी घनत्व असमान है और कब्ज़े वाले सिरे से मुक्त सिरे तक रैखिक रूप से बदलती है और अपना मान दोगुना कर लेती है। कब्ज़े वाले बिंदु से गुजरने वाली घूर्णन अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) क्या है?
A
$\frac{2ML^2}{9}$
B
$\frac{3ML^2}{16}$
C
$\frac{7ML^2}{18}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) माना $S$ छड़ के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda(x)$,$x=0$ पर $\rho_0$ से $x=L$ पर $2\rho_0$ तक रैखिक रूप से बदलता है।
अतः,$\lambda(x) = S \cdot \rho(x) = S \left( \rho_0 + \frac{2\rho_0 - \rho_0}{L} x \right) = S \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right)$.
कुल द्रव्यमान $M$ इस प्रकार दिया गया है:
$M = \int_{0}^{L} \lambda(x) dx = S \int_{0}^{L} \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right) dx = S \rho_0 \left[ x + \frac{x^2}{2L} \right]_{0}^{L} = S \rho_0 \left( L + \frac{L}{2} \right) = \frac{3}{2} S \rho_0 L$.
इसलिए,$S \rho_0 = \frac{2M}{3L}$.
कब्ज़े के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = \int_{0}^{L} x^2 dm = \int_{0}^{L} x^2 \lambda(x) dx = S \int_{0}^{L} x^2 \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right) dx$.
$I = S \rho_0 \int_{0}^{L} \left( x^2 + \frac{x^3}{L} \right) dx = S \rho_0 \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4L} \right]_{0}^{L} = S \rho_0 \left( \frac{L^3}{3} + \frac{L^3}{4} \right) = S \rho_0 \left( \frac{7L^3}{12} \right)$.
$S \rho_0 = \frac{2M}{3L}$ का मान रखने पर:
$I = \left( \frac{2M}{3L} \right) \left( \frac{7L^3}{12} \right) = \frac{14ML^2}{36} = \frac{7ML^2}{18}$.
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda(x)$,$x=0$ पर $\rho_0$ से $x=L$ पर $2\rho_0$ तक रैखिक रूप से बदलता है।
अतः,$\lambda(x) = S \cdot \rho(x) = S \left( \rho_0 + \frac{2\rho_0 - \rho_0}{L} x \right) = S \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right)$.
कुल द्रव्यमान $M$ इस प्रकार दिया गया है:
$M = \int_{0}^{L} \lambda(x) dx = S \int_{0}^{L} \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right) dx = S \rho_0 \left[ x + \frac{x^2}{2L} \right]_{0}^{L} = S \rho_0 \left( L + \frac{L}{2} \right) = \frac{3}{2} S \rho_0 L$.
इसलिए,$S \rho_0 = \frac{2M}{3L}$.
कब्ज़े के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है:
$I = \int_{0}^{L} x^2 dm = \int_{0}^{L} x^2 \lambda(x) dx = S \int_{0}^{L} x^2 \left( \rho_0 + \frac{\rho_0}{L} x \right) dx$.
$I = S \rho_0 \int_{0}^{L} \left( x^2 + \frac{x^3}{L} \right) dx = S \rho_0 \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4L} \right]_{0}^{L} = S \rho_0 \left( \frac{L^3}{3} + \frac{L^3}{4} \right) = S \rho_0 \left( \frac{7L^3}{12} \right)$.
$S \rho_0 = \frac{2M}{3L}$ का मान रखने पर:
$I = \left( \frac{2M}{3L} \right) \left( \frac{7L^3}{12} \right) = \frac{14ML^2}{36} = \frac{7ML^2}{18}$.
0 likes
View Solution164
DifficultMCQ
बिंदु $O$ से गुजरने वाली अक्ष $OA$ के परितः कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{m{l^2}}{6}$
B
$\frac{m{l^2}}{6}n(n + 1)(2n + 1)$
C
शून्य
D
$m{l^2}\frac{n(n + 1)}{2}$
Solution
(B) किसी अक्ष के परितः कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$,प्रत्येक कण के द्रव्यमान और अक्ष से उसकी लंबवत दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग द्वारा दिया जाता है: $I = \sum m_i r_i^2$।
यहाँ,हमारे पास $n$ कण हैं,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है और वे अक्ष $OA$ से $\ell, 2\ell, 3\ell, \dots, n\ell$ की दूरी पर स्थित हैं।
अतः,कुल जड़त्व आघूर्ण होगा:
$I = m(\ell)^2 + m(2\ell)^2 + m(3\ell)^2 + \dots + m(n\ell)^2$
$I = m\ell^2 (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के मानक सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = m\ell^2 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]$
$I = \frac{m\ell^2}{6} n(n+1)(2n+1)$
यहाँ,हमारे पास $n$ कण हैं,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है और वे अक्ष $OA$ से $\ell, 2\ell, 3\ell, \dots, n\ell$ की दूरी पर स्थित हैं।
अतः,कुल जड़त्व आघूर्ण होगा:
$I = m(\ell)^2 + m(2\ell)^2 + m(3\ell)^2 + \dots + m(n\ell)^2$
$I = m\ell^2 (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के मानक सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = m\ell^2 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]$
$I = \frac{m\ell^2}{6} n(n+1)(2n+1)$
0 likes
View Solution165
DifficultMCQ
चित्र एक समान छड़ के जड़त्व आघूर्ण में परिवर्तन को दर्शाता है,जो उसके केंद्र से गुजरने वाली और छड़ की लंबाई के साथ $\theta$ कोण पर झुकी हुई अक्ष के परितः है। छड़ के एक सिरे से गुजरने वाली और छड़ के साथ $\theta = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाने वाली अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण ........ $kg-m^2$ होगा।
A
$0.45$
B
$1.8$
C
$2.4$
D
$1.5$
Solution
(B) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक समान छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और छड़ के साथ $\theta$ कोण पर झुकी हुई अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{centre} = \frac{ML^2}{12} \sin^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से,$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर $I$ का अधिकतम मान $0.6 \ kg-m^2$ है।
इन मानों को रखने पर: $0.6 = \frac{ML^2}{12} \sin^2(\frac{\pi}{2}) = \frac{ML^2}{12} \Rightarrow ML^2 = 7.2 \ kg-m^2$.
छड़ के एक सिरे से गुजरने वाली और छड़ के साथ $\theta$ कोण पर झुकी हुई अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{end} = \frac{ML^2}{3} \sin^2 \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$I_{end} = \frac{ML^2}{3} \sin^2(\frac{\pi}{3}) = \frac{ML^2}{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{ML^2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{ML^2}{4}$.
$ML^2 = 7.2$ रखने पर,हमें $I_{end} = \frac{7.2}{4} = 1.8 \ kg-m^2$ प्राप्त होता है।
ग्राफ से,$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर $I$ का अधिकतम मान $0.6 \ kg-m^2$ है।
इन मानों को रखने पर: $0.6 = \frac{ML^2}{12} \sin^2(\frac{\pi}{2}) = \frac{ML^2}{12} \Rightarrow ML^2 = 7.2 \ kg-m^2$.
छड़ के एक सिरे से गुजरने वाली और छड़ के साथ $\theta$ कोण पर झुकी हुई अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{end} = \frac{ML^2}{3} \sin^2 \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$I_{end} = \frac{ML^2}{3} \sin^2(\frac{\pi}{3}) = \frac{ML^2}{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{ML^2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{ML^2}{4}$.
$ML^2 = 7.2$ रखने पर,हमें $I_{end} = \frac{7.2}{4} = 1.8 \ kg-m^2$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution166
DifficultMCQ
$L$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान वाली तीन समान छड़ों को जोड़कर एक समबाहु त्रिभुज बनाया गया है। त्रिभुज के तल के लंबवत और एक कोने से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूर्णन त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{2}$
B
$\sqrt{\frac{3}{2}}L$
C
$\frac{L}{\sqrt{2}}$
D
$\frac{L}{\sqrt{3}}$
Solution
(C) मान लीजिए कि तीन छड़ें $A$,$B$ और $C$ हैं। अक्ष शीर्ष बिंदु से तल के लंबवत गुजरती है।
छड़ $A$ और $B$ के लिए,अक्ष एक सिरे से गुजरती है,इसलिए उनका जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_B = \frac{mL^2}{3}$ है।
छड़ $C$ के लिए,इसके द्रव्यमान केंद्र की अक्ष से दूरी $d = L \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,अक्ष के परितः छड़ $C$ का जड़त्व आघूर्ण $I_C = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m\left(\frac{\sqrt{3}L}{2}\right)^2 = \frac{mL^2}{12} + \frac{3mL^2}{4} = \frac{mL^2 + 9mL^2}{12} = \frac{10mL^2}{12} = \frac{5mL^2}{6}$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_A + I_B + I_C = \frac{mL^2}{3} + \frac{mL^2}{3} + \frac{5mL^2}{6} = \frac{2mL^2 + 2mL^2 + 5mL^2}{6} = \frac{9mL^2}{6} = \frac{3mL^2}{2}$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 3m$ है। घूर्णन त्रिज्या $K$ को $I_{total} = MK^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$\frac{3mL^2}{2} = (3m)K^2 \implies K^2 = \frac{L^2}{2} \implies K = \frac{L}{\sqrt{2}}$।
छड़ $A$ और $B$ के लिए,अक्ष एक सिरे से गुजरती है,इसलिए उनका जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_B = \frac{mL^2}{3}$ है।
छड़ $C$ के लिए,इसके द्रव्यमान केंद्र की अक्ष से दूरी $d = L \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,अक्ष के परितः छड़ $C$ का जड़त्व आघूर्ण $I_C = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m\left(\frac{\sqrt{3}L}{2}\right)^2 = \frac{mL^2}{12} + \frac{3mL^2}{4} = \frac{mL^2 + 9mL^2}{12} = \frac{10mL^2}{12} = \frac{5mL^2}{6}$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_A + I_B + I_C = \frac{mL^2}{3} + \frac{mL^2}{3} + \frac{5mL^2}{6} = \frac{2mL^2 + 2mL^2 + 5mL^2}{6} = \frac{9mL^2}{6} = \frac{3mL^2}{2}$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 3m$ है। घूर्णन त्रिज्या $K$ को $I_{total} = MK^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$\frac{3mL^2}{2} = (3m)K^2 \implies K^2 = \frac{L^2}{2} \implies K = \frac{L}{\sqrt{2}}$।
0 likes
View Solution167
DifficultMCQ
एक असमान छड़ $OM$ (लंबाई $l$) $x$-अक्ष के अनुदिश रखी गई है और चित्र में दिखाए अनुसार छड़ के लंबवत अक्ष $AB$ के परितः घूम रही है। छड़ का रैखिक द्रव्यमान घनत्व छड़ के बाएं सिरे $O$ से दूरी $r$ के साथ $\lambda = \lambda_0 \left( \frac{r^3}{l^3} \right)$ के अनुसार बदलता है,जहाँ $\lambda_0$ एक स्थिरांक है। यदि अक्ष $AB$ सिरे $O$ से $x$ दूरी पर है,तो $x$ का मान क्या होगा ताकि अक्ष $AB$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(I_{AB})$ न्यूनतम हो?
A
$\frac{7l}{15}$
B
$\frac{2l}{5}$
C
$\frac{8l}{15}$
D
$\frac{4l}{5}$
Solution
(D) मान लीजिए कि छड़ $r=0$ से $r=l$ तक $x$-अक्ष पर स्थित है। अक्ष $AB$,$r=x$ पर है। अक्ष $AB$ से $r$ स्थिति पर स्थित एक छोटे अवयव $dr$ की दूरी $|r-x|$ है।
अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dr = \lambda_0 \frac{r^3}{l^3} dr$ है।
अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{AB} = \int_0^l (r-x)^2 dm = \int_0^l (r-x)^2 \frac{\lambda_0}{l^3} r^3 dr$ है।
$I_{AB} = \frac{\lambda_0}{l^3} \int_0^l (r^2 - 2rx + x^2) r^3 dr = \frac{\lambda_0}{l^3} \int_0^l (r^5 - 2xr^4 + x^2r^3) dr$.
$I_{AB} = \frac{\lambda_0}{l^3} \left[ \frac{r^6}{6} - \frac{2xr^5}{5} + \frac{x^2r^4}{4} \right]_0^l = \frac{\lambda_0}{l^3} \left( \frac{l^6}{6} - \frac{2xl^5}{5} + \frac{x^2l^4}{4} \right) = \lambda_0 \left( \frac{l^3}{6} - \frac{2xl^2}{5} + \frac{x^2l}{4} \right)$.
$I_{AB}$ को न्यूनतम होने के लिए,$\frac{dI_{AB}}{dx} = 0$ होना चाहिए।
$\frac{d}{dx} \left( \lambda_0 (\frac{l^3}{6} - \frac{2xl^2}{5} + \frac{x^2l}{4}) \right) = \lambda_0 (0 - \frac{2l^2}{5} + \frac{2xl}{4}) = 0$.
$\frac{xl}{2} = \frac{2l^2}{5} \Rightarrow x = \frac{4l}{5}$.
अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dr = \lambda_0 \frac{r^3}{l^3} dr$ है।
अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{AB} = \int_0^l (r-x)^2 dm = \int_0^l (r-x)^2 \frac{\lambda_0}{l^3} r^3 dr$ है।
$I_{AB} = \frac{\lambda_0}{l^3} \int_0^l (r^2 - 2rx + x^2) r^3 dr = \frac{\lambda_0}{l^3} \int_0^l (r^5 - 2xr^4 + x^2r^3) dr$.
$I_{AB} = \frac{\lambda_0}{l^3} \left[ \frac{r^6}{6} - \frac{2xr^5}{5} + \frac{x^2r^4}{4} \right]_0^l = \frac{\lambda_0}{l^3} \left( \frac{l^6}{6} - \frac{2xl^5}{5} + \frac{x^2l^4}{4} \right) = \lambda_0 \left( \frac{l^3}{6} - \frac{2xl^2}{5} + \frac{x^2l}{4} \right)$.
$I_{AB}$ को न्यूनतम होने के लिए,$\frac{dI_{AB}}{dx} = 0$ होना चाहिए।
$\frac{d}{dx} \left( \lambda_0 (\frac{l^3}{6} - \frac{2xl^2}{5} + \frac{x^2l}{4}) \right) = \lambda_0 (0 - \frac{2l^2}{5} + \frac{2xl}{4}) = 0$.
$\frac{xl}{2} = \frac{2l^2}{5} \Rightarrow x = \frac{4l}{5}$.
0 likes
View Solution168
DifficultMCQ
एक गोलीय कोश का द्रव्यमान एक ठोस गोले के द्रव्यमान का एक-चौथाई है और दोनों का अपने-अपने व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(M.I.)$ समान है। उनकी त्रिज्याओं का अनुपात क्या होगा?
A
$1 : 2$
B
$\sqrt{12} : \sqrt{5}$
C
$\sqrt{3} : \sqrt{20}$
D
$\sqrt{5} : \sqrt{20}$
Solution
(B) माना ठोस गोले का द्रव्यमान $M$ और उसकी त्रिज्या $R_S$ है।
माना गोलीय कोश का द्रव्यमान $M_H = \frac{M}{4}$ और उसकी त्रिज्या $R_H$ है।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{SS} = \frac{2}{5} M R_S^2$ होता है।
गोलीय कोश का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{HS} = \frac{2}{3} M_H R_H^2 = \frac{2}{3} (\frac{M}{4}) R_H^2 = \frac{1}{6} M R_H^2$ होता है।
दिया गया है कि $I_{HS} = I_{SS}$,इसलिए:
$\frac{1}{6} M R_H^2 = \frac{2}{5} M R_S^2$
$\frac{R_H^2}{R_S^2} = \frac{2}{5} \times 6 = \frac{12}{5}$
$\frac{R_H}{R_S} = \sqrt{\frac{12}{5}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $R_H : R_S$ का मान $\sqrt{12} : \sqrt{5}$ है।
माना गोलीय कोश का द्रव्यमान $M_H = \frac{M}{4}$ और उसकी त्रिज्या $R_H$ है।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{SS} = \frac{2}{5} M R_S^2$ होता है।
गोलीय कोश का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{HS} = \frac{2}{3} M_H R_H^2 = \frac{2}{3} (\frac{M}{4}) R_H^2 = \frac{1}{6} M R_H^2$ होता है।
दिया गया है कि $I_{HS} = I_{SS}$,इसलिए:
$\frac{1}{6} M R_H^2 = \frac{2}{5} M R_S^2$
$\frac{R_H^2}{R_S^2} = \frac{2}{5} \times 6 = \frac{12}{5}$
$\frac{R_H}{R_S} = \sqrt{\frac{12}{5}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $R_H : R_S$ का मान $\sqrt{12} : \sqrt{5}$ है।
0 likes
View Solution169
MediumMCQ
$100 \, g$ द्रव्यमान वाली एक समान वलयाकार डिस्क (annular disc),जिसकी आंतरिक त्रिज्या $10 \, cm$ और बाहरी त्रिज्या $20 \, cm$ है,का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।
A
$2.5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
B
$1.5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
C
$5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
D
$6 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
Solution
(A) वलयाकार डिस्क के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = M \left[ \frac{R_1^2 + R_2^2}{2} \right]$
दिया गया है:
द्रव्यमान $M = 100 \, g = 0.1 \, kg$
आंतरिक त्रिज्या $R_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$
बाहरी त्रिज्या $R_2 = 20 \, cm = 0.2 \, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = 0.1 \left[ \frac{(0.1)^2 + (0.2)^2}{2} \right]$
$I = 0.1 \left[ \frac{0.01 + 0.04}{2} \right]$
$I = 0.1 \left[ \frac{0.05}{2} \right]$
$I = 0.1 \times 0.025 = 0.0025 \, kg \cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
$I = M \left[ \frac{R_1^2 + R_2^2}{2} \right]$
दिया गया है:
द्रव्यमान $M = 100 \, g = 0.1 \, kg$
आंतरिक त्रिज्या $R_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$
बाहरी त्रिज्या $R_2 = 20 \, cm = 0.2 \, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = 0.1 \left[ \frac{(0.1)^2 + (0.2)^2}{2} \right]$
$I = 0.1 \left[ \frac{0.01 + 0.04}{2} \right]$
$I = 0.1 \left[ \frac{0.05}{2} \right]$
$I = 0.1 \times 0.025 = 0.0025 \, kg \cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3} \, kg \cdot m^2$
0 likes
View Solution170
DifficultMCQ
$2l$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान वाली एक समान छड़ की उसके केंद्र से गुजरने वाली और $\alpha$ कोण पर झुकी हुई अक्ष $xx'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$\frac{m l^2}{3} \sin^2 \alpha$
B
$\frac{m l^2}{12} \sin^2 \alpha$
C
$\frac{m l^2}{6} \cos^2 \alpha$
D
$\frac{m l^2}{2} \cos^2 \alpha$
Solution
(A) मान लीजिए कि छड़ $x$-अक्ष के अनुदिश है और इसका केंद्र मूल बिंदु पर है। छड़ का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{m}{2l}$ है।
केंद्र से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = \frac{m}{2l} dx$ है।
इस अवयव की अक्ष $xx'$ से लंबवत दूरी $r = x \sin \alpha$ है।
अक्ष $xx'$ के परितः इस अवयव का जड़त्व आघूर्ण $dI = (dm) r^2 = \left(\frac{m}{2l} dx\right) (x \sin \alpha)^2$ है।
इसका $x = -l$ से $x = +l$ तक समाकलन करने पर:
$I = \int_{-l}^{l} \frac{m}{2l} x^2 \sin^2 \alpha dx = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \int_{-l}^{l} x^2 dx$.
$I = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-l}^{l} = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{l^3}{3} - \frac{(-l)^3}{3} \right) = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{2l^3}{3} \right) = \frac{1}{3} m l^2 \sin^2 \alpha$.
केंद्र से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = \frac{m}{2l} dx$ है।
इस अवयव की अक्ष $xx'$ से लंबवत दूरी $r = x \sin \alpha$ है।
अक्ष $xx'$ के परितः इस अवयव का जड़त्व आघूर्ण $dI = (dm) r^2 = \left(\frac{m}{2l} dx\right) (x \sin \alpha)^2$ है।
इसका $x = -l$ से $x = +l$ तक समाकलन करने पर:
$I = \int_{-l}^{l} \frac{m}{2l} x^2 \sin^2 \alpha dx = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \int_{-l}^{l} x^2 dx$.
$I = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-l}^{l} = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{l^3}{3} - \frac{(-l)^3}{3} \right) = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{2l^3}{3} \right) = \frac{1}{3} m l^2 \sin^2 \alpha$.
0 likes
View Solution171
MediumMCQ
$l$ लंबाई की एक समान छड़ की उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः घूर्णन त्रिज्या क्या है?
A
$l/\sqrt{2}$
B
$l/3$
C
$l/\sqrt{3}$
D
$l/2$
Solution
(C) $M$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक समान छड़ की उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र है:
$I = \frac{1}{3} M l^2$
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = M k^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$M k^2 = \frac{1}{3} M l^2$
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने पर:
$k^2 = \frac{l^2}{3}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$k = \frac{l}{\sqrt{3}}$
$I = \frac{1}{3} M l^2$
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = M k^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$M k^2 = \frac{1}{3} M l^2$
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने पर:
$k^2 = \frac{l^2}{3}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$k = \frac{l}{\sqrt{3}}$
0 likes
View Solution172
MediumMCQ
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार तार का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$M R^{2}$
B
$M R^{2} / 2$
C
$2 M R^{2}$
D
$M R^{2} / 4$
Solution
(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार वलय (या तार) के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{z} = M R^{2}$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$,जहाँ $I_{x}$ और $I_{y}$ दो परस्पर लंबवत व्यासों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
चूँकि वलय सममित है,इसलिए $I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ होगा।
अतः,$I_{z} = 2 I_{diameter}$।
$I_{z}$ का मान रखने पर,हमें $M R^{2} = 2 I_{diameter}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$I_{diameter} = M R^{2} / 2$।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$,जहाँ $I_{x}$ और $I_{y}$ दो परस्पर लंबवत व्यासों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
चूँकि वलय सममित है,इसलिए $I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ होगा।
अतः,$I_{z} = 2 I_{diameter}$।
$I_{z}$ का मान रखने पर,हमें $M R^{2} = 2 I_{diameter}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$I_{diameter} = M R^{2} / 2$।
0 likes
View Solution173
MediumMCQ
एक वृत्ताकार वलय (रिंग) और एक वृत्ताकार चकती (डिस्क),दोनों का द्रव्यमान और त्रिज्या समान है। उनके केंद्रों से गुजरने वाली और उनके तल के लंबवत अक्ष के परितः उनके जड़त्व आघूर्ण का अनुपात क्या होगा?
A
$1 : 1$
B
$2 : 1$
C
$1 : 2$
D
$4 : 1$
Solution
(B) एक वृत्ताकार वलय (रिंग) का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{Ring} = MR^2$ होता है।
एक वृत्ताकार चकती (डिस्क) का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{Disc} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
यह दिया गया है कि दोनों का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ समान है,इसलिए उनके जड़त्व आघूर्ण का अनुपात होगा:
$\frac{I_{Ring}}{I_{Disc}} = \frac{MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{1}{1/2} = \frac{2}{1}$।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।
एक वृत्ताकार चकती (डिस्क) का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{Disc} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
यह दिया गया है कि दोनों का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ समान है,इसलिए उनके जड़त्व आघूर्ण का अनुपात होगा:
$\frac{I_{Ring}}{I_{Disc}} = \frac{MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{1}{1/2} = \frac{2}{1}$।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।
0 likes
View Solution174
DifficultMCQ
$l$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान के एक तार को $ABCD$ आयत के रूप में मोड़ा गया है,जहाँ $(AB/BC) = 2$ है। $BC$ भुजा के परितः इस तार का जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$\frac{11}{252} ml^2$
B
$\frac{8}{203} ml^2$
C
$\frac{5}{136} ml^2$
D
$\frac{7}{162} ml^2$
Solution
(D) आयत का परिमाप $l = 2(AB + BC)$ है।
दिया है $AB/BC = 2$,इसलिए $AB = 2BC$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$l = 2(2BC + BC) = 6BC$,जिससे $BC = AD = l/6$ और $AB = DC = l/3$ प्राप्त होता है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = m/l$ है।
$AB$ और $DC$ भुजाओं का द्रव्यमान $m_{AB} = m_{DC} = \lambda(l/3) = m/3$ है।
$BC$ और $AD$ भुजाओं का द्रव्यमान $m_{BC} = m_{AD} = \lambda(l/6) = m/6$ है।
$BC$ भुजा के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_{BC} = I_{BC(BC)} + I_{BC(AB)} + I_{BC(DC)} + I_{BC(AD)}$.
$I_{BC(BC)} = 0$ (क्योंकि यह अक्ष पर स्थित है)।
$I_{BC(AB)} = m_{AB} \cdot (AB)^2 = (m/3) \cdot (l/3)^2 = ml^2/27$.
$I_{BC(DC)} = m_{DC} \cdot (DC)^2 = (m/3) \cdot (l/3)^2 = ml^2/27$.
$I_{BC(AD)} = m_{AD} \cdot (BC)^2 = (m/6) \cdot (l/6)^2 = ml^2/216$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 7/162 ml^2$ प्राप्त होता है।
दिया है $AB/BC = 2$,इसलिए $AB = 2BC$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$l = 2(2BC + BC) = 6BC$,जिससे $BC = AD = l/6$ और $AB = DC = l/3$ प्राप्त होता है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = m/l$ है।
$AB$ और $DC$ भुजाओं का द्रव्यमान $m_{AB} = m_{DC} = \lambda(l/3) = m/3$ है।
$BC$ और $AD$ भुजाओं का द्रव्यमान $m_{BC} = m_{AD} = \lambda(l/6) = m/6$ है।
$BC$ भुजा के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_{BC} = I_{BC(BC)} + I_{BC(AB)} + I_{BC(DC)} + I_{BC(AD)}$.
$I_{BC(BC)} = 0$ (क्योंकि यह अक्ष पर स्थित है)।
$I_{BC(AB)} = m_{AB} \cdot (AB)^2 = (m/3) \cdot (l/3)^2 = ml^2/27$.
$I_{BC(DC)} = m_{DC} \cdot (DC)^2 = (m/3) \cdot (l/3)^2 = ml^2/27$.
$I_{BC(AD)} = m_{AD} \cdot (BC)^2 = (m/6) \cdot (l/6)^2 = ml^2/216$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 7/162 ml^2$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution175
MediumMCQ
$1\, kg$ द्रव्यमान और $R = 10\, cm$ त्रिज्या वाले चार खोखले गोलों को $L = 50\, cm$ भुजा वाले वर्ग के रूप में द्रव्यमान रहित छड़ों से जोड़ा गया है। स्थिति-$1$ में,द्रव्यमान वर्ग की दो भुजाओं को समद्विभाजित करने वाली अक्ष के परितः घूमते हैं। स्थिति-$2$ में,द्रव्यमान वर्ग के विकर्ण से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूमते हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। दोनों स्थितियों के लिए जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $I_1/I_2$ ज्ञात कीजिए।
A
$I_1/I_2 = 8$
B
$I_1/I_2 = 4$
C
$I_1/I_2 = 2$
D
$I_1/I_2 = 1$
Solution
(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक खोखले गोले के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{3} MR^2$ होता है। हालाँकि,प्रश्न में दी गई गणना $\frac{2}{5} MR^2$ (जो ठोस गोले के लिए है) का उपयोग करती है,इसलिए हम उसी के अनुसार गणना करेंगे।
स्थिति-$1$: अक्ष दो भुजाओं को समद्विभाजित करती है। अक्ष से प्रत्येक गोले की दूरी $L/2$ है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_1 = 4 \times (I_{cm} + M(L/2)^2) = 4 \times (\frac{2}{5} MR^2 + \frac{ML^2}{4}) = \frac{8}{5} MR^2 + ML^2$.
स्थिति-$2$: अक्ष विकर्ण से गुजरती है। दो गोले अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए उनकी दूरी $0$ है। अन्य दो गोले विकर्ण से $d = \frac{L}{\sqrt{2}}$ की दूरी पर हैं। अतः,$I_2 = 2 \times I_{cm} + 2 \times (I_{cm} + M(\frac{L}{\sqrt{2}})^2) = 4 \times I_{cm} + 2 \times M \times \frac{L^2}{2} = 4 \times \frac{2}{5} MR^2 + ML^2 = \frac{8}{5} MR^2 + ML^2$.
$I_1$ और $I_2$ की तुलना करने पर,हमें $I_1 = I_2$ प्राप्त होता है। इसलिए,अनुपात $I_1/I_2 = 1$ है।
स्थिति-$1$: अक्ष दो भुजाओं को समद्विभाजित करती है। अक्ष से प्रत्येक गोले की दूरी $L/2$ है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_1 = 4 \times (I_{cm} + M(L/2)^2) = 4 \times (\frac{2}{5} MR^2 + \frac{ML^2}{4}) = \frac{8}{5} MR^2 + ML^2$.
स्थिति-$2$: अक्ष विकर्ण से गुजरती है। दो गोले अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए उनकी दूरी $0$ है। अन्य दो गोले विकर्ण से $d = \frac{L}{\sqrt{2}}$ की दूरी पर हैं। अतः,$I_2 = 2 \times I_{cm} + 2 \times (I_{cm} + M(\frac{L}{\sqrt{2}})^2) = 4 \times I_{cm} + 2 \times M \times \frac{L^2}{2} = 4 \times \frac{2}{5} MR^2 + ML^2 = \frac{8}{5} MR^2 + ML^2$.
$I_1$ और $I_2$ की तुलना करने पर,हमें $I_1 = I_2$ प्राप्त होता है। इसलिए,अनुपात $I_1/I_2 = 1$ है।
0 likes
View Solution176
DifficultMCQ
दो वृत्ताकार छल्लों (rings) के द्रव्यमानों और त्रिज्याओं का अनुपात क्रमशः $1 : 2$ और $2 : 1$ है,तो उनके जड़त्व आघूर्ण का अनुपात क्या होगा?
A
$1 : 4$
B
$2 : 1$
C
$4 : 1$
D
$1 : 2$
Solution
(B) एक वृत्ताकार छल्ले का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र $I = MR^2$ होता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ छल्ले की त्रिज्या है।
माना द्रव्यमान $M_1$ और $M_2$ हैं,और त्रिज्याएँ $R_1$ और $R_2$ हैं।
दिया गया है: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{1}$।
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{M_1}{M_2} \right) \times \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$।
$\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।
माना द्रव्यमान $M_1$ और $M_2$ हैं,और त्रिज्याएँ $R_1$ और $R_2$ हैं।
दिया गया है: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{1}$।
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{M_1}{M_2} \right) \times \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$।
$\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।
0 likes
View Solution177
DifficultMCQ
हमारे पास दो गोले हैं,जिनमें से एक खोखला गोला (shell) है और दूसरा ठोस है। उनके द्रव्यमान समान हैं और उनके संबंधित व्यासों के परितः जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) भी समान हैं। उनकी त्रिज्याओं का अनुपात क्या है?
A
$5 : 7$
B
$3 : 5$
C
$\sqrt{5} : \sqrt{3}$
D
$\sqrt{3} : \sqrt{7}$
Solution
(C) माना कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $m$ है। माना ठोस गोले की त्रिज्या $r_1$ है और खोखले गोले की त्रिज्या $r_2$ है।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} m r_1^2$ होता है।
खोखले गोले (shell) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{3} m r_2^2$ होता है।
दिया गया है कि जड़त्व आघूर्ण समान हैं,इसलिए $I_1 = I_2$.
अतः,$\frac{2}{5} m r_1^2 = \frac{2}{3} m r_2^2$.
समीकरण को सरल करने पर,$\frac{r_1^2}{5} = \frac{r_2^2}{3}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्याओं के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर,$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{5}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{5} : \sqrt{3}$.
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} m r_1^2$ होता है।
खोखले गोले (shell) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{3} m r_2^2$ होता है।
दिया गया है कि जड़त्व आघूर्ण समान हैं,इसलिए $I_1 = I_2$.
अतः,$\frac{2}{5} m r_1^2 = \frac{2}{3} m r_2^2$.
समीकरण को सरल करने पर,$\frac{r_1^2}{5} = \frac{r_2^2}{3}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्याओं के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर,$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{5}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{5} : \sqrt{3}$.
0 likes
View Solution178
DifficultMCQ
$2a$ व्यास और $M$ द्रव्यमान वाले चार गोलों को एक $b$ भुजा वाले वर्ग के चार कोनों पर उनके केंद्रों के साथ रखा गया है। वर्ग की एक भुजा के अनुदिश अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?
A
$\frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2$
B
$\frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$
C
$\frac{8}{5}Ma^2$
D
$\frac{4}{5}Ma^2 + 4Mb^2$
Solution
(B) मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष गोलों $A$ और $B$ के केंद्रों को जोड़ने वाली भुजा के अनुदिश है।
$1$. गोलों $A$ और $B$ के लिए,घूर्णन अक्ष उनके केंद्रों से होकर गुजरती है। एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ होता है। अतः,$I_A = I_B = \frac{2}{5}Ma^2$.
$2$. गोलों $C$ और $D$ के लिए,घूर्णन अक्ष उनके केंद्रों से $b$ लंबवत दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d = b$ है। अतः,$I_C = I_D = \frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2$.
$3$. निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_A + I_B + I_C + I_D$ है।
$I_{total} = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{2}{5}Ma^2 + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.
$1$. गोलों $A$ और $B$ के लिए,घूर्णन अक्ष उनके केंद्रों से होकर गुजरती है। एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ होता है। अतः,$I_A = I_B = \frac{2}{5}Ma^2$.
$2$. गोलों $C$ और $D$ के लिए,घूर्णन अक्ष उनके केंद्रों से $b$ लंबवत दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d = b$ है। अतः,$I_C = I_D = \frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2$.
$3$. निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_A + I_B + I_C + I_D$ है।
$I_{total} = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{2}{5}Ma^2 + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.
0 likes
View Solution179
MediumMCQ
$ABC$ समान मोटाई की एक त्रिभुजाकार प्लेट है। भुजाएँ चित्र में दिखाए गए अनुपात में हैं। $I_{AB}, I_{BC}, I_{CA}$ क्रमशः $AB, BC$ और $CA$ अक्षों के परितः प्लेट के जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) हैं। निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है?
A
$I_{CA}$ अधिकतम है
B
$I_{AB} > I_{BC}$
C
$I_{BC} > I_{AB}$
D
$I_{AB} + I_{BC} = I_{CA}$
Solution
(C) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ उसके द्रव्यमान के घूर्णन अक्ष के सापेक्ष वितरण पर निर्भर करता है। द्रव्यमान अक्ष से जितना दूर होगा,जड़त्व आघूर्ण उतना ही अधिक होगा।
$M$ द्रव्यमान और आधार $b$ के सापेक्ष $h$ ऊँचाई वाली त्रिभुजाकार प्लेट के लिए,आधार के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{Mh^2}{6}$ होता है।
मान लीजिए भुजाएँ $AB = 4k$,$BC = 3k$,और $AC = 5k$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times 4k \times 3k = 6k^2$ है।
$1$. $AB$ अक्ष के लिए (आधार $4k$,ऊँचाई $3k$): $I_{AB} = \frac{M(3k)^2}{6} = 1.5 Mk^2$.
$2$. $BC$ अक्ष के लिए (आधार $3k$,ऊँचाई $4k$): $I_{BC} = \frac{M(4k)^2}{6} = 2.67 Mk^2$.
$3$. $AC$ अक्ष के लिए (आधार $5k$,ऊँचाई $h'$): ऊँचाई $h'$ ज्ञात करने के लिए $A = \frac{1}{2} \times 5k \times h' = 6k^2$,जिससे $h' = 2.4k$ प्राप्त होता है। अतः,$I_{AC} = \frac{M(2.4k)^2}{6} = 0.96 Mk^2$.
मानों की तुलना करने पर: $I_{BC} (2.67 Mk^2) > I_{AB} (1.5 Mk^2) > I_{AC} (0.96 Mk^2)$.
अतः,$I_{BC} > I_{AB}$ सही संबंध है।
$M$ द्रव्यमान और आधार $b$ के सापेक्ष $h$ ऊँचाई वाली त्रिभुजाकार प्लेट के लिए,आधार के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{Mh^2}{6}$ होता है।
मान लीजिए भुजाएँ $AB = 4k$,$BC = 3k$,और $AC = 5k$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times 4k \times 3k = 6k^2$ है।
$1$. $AB$ अक्ष के लिए (आधार $4k$,ऊँचाई $3k$): $I_{AB} = \frac{M(3k)^2}{6} = 1.5 Mk^2$.
$2$. $BC$ अक्ष के लिए (आधार $3k$,ऊँचाई $4k$): $I_{BC} = \frac{M(4k)^2}{6} = 2.67 Mk^2$.
$3$. $AC$ अक्ष के लिए (आधार $5k$,ऊँचाई $h'$): ऊँचाई $h'$ ज्ञात करने के लिए $A = \frac{1}{2} \times 5k \times h' = 6k^2$,जिससे $h' = 2.4k$ प्राप्त होता है। अतः,$I_{AC} = \frac{M(2.4k)^2}{6} = 0.96 Mk^2$.
मानों की तुलना करने पर: $I_{BC} (2.67 Mk^2) > I_{AB} (1.5 Mk^2) > I_{AC} (0.96 Mk^2)$.
अतः,$I_{BC} > I_{AB}$ सही संबंध है।
1 likes
View Solution180
DifficultMCQ
$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक समान पतली छड़ की,उसके एक सिरे से $\frac{L}{3}$ दूरी पर स्थित और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$\frac{7ML^2}{48}$
B
$\frac{ML^2}{9}$
C
$\frac{ML^2}{12}$
D
$\frac{ML^2}{3}$
Solution
(B) $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक समान पतली छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
हमें एक सिरे से $d = \frac{L}{3}$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
इस अक्ष की द्रव्यमान केंद्र से दूरी $a = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Ma^2$।
मान रखने पर,$I = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{6}\right)^2$।
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$।
हमें एक सिरे से $d = \frac{L}{3}$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
इस अक्ष की द्रव्यमान केंद्र से दूरी $a = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Ma^2$।
मान रखने पर,$I = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{6}\right)^2$।
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$।
0 likes
View Solution181
DifficultMCQ
$1\,kg$ द्रव्यमान और $0.2\,m$ व्यास वाली एक पतली वृत्ताकार लैमिना (तश्तरी) की उसके किसी एक व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$
B
$2.5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$
C
$4 \times 10^{-2}\,kg\cdot m^2$
D
$0.2\,kg\cdot m^2$
Solution
(B) दिया है:
द्रव्यमान $M = 1\,kg$
व्यास $D = 0.2\,m$,अतः त्रिज्या $R = \frac{D}{2} = 0.1\,m$
एक वृत्ताकार लैमिना (डिस्क) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र है:
$I = \frac{MR^2}{4}$
मान रखने पर:
$I = \frac{1 \times (0.1)^2}{4}$
$I = \frac{1 \times 0.01}{4}$
$I = \frac{0.01}{4} = 0.0025\,kg\cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है.
द्रव्यमान $M = 1\,kg$
व्यास $D = 0.2\,m$,अतः त्रिज्या $R = \frac{D}{2} = 0.1\,m$
एक वृत्ताकार लैमिना (डिस्क) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र है:
$I = \frac{MR^2}{4}$
मान रखने पर:
$I = \frac{1 \times (0.1)^2}{4}$
$I = \frac{1 \times 0.01}{4}$
$I = \frac{0.01}{4} = 0.0025\,kg\cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है.
0 likes
View Solution182
MediumMCQ
$L$ लंबाई की एक समान पतली छड़ की उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः घूर्णन त्रिज्या क्या होगी?
A
$\frac{L}{\sqrt{12}}$
B
$\frac{L}{12}$
C
$\sqrt{12} \, L$
D
$12 \, L$
Solution
(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक समान पतली छड़ की उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $(K)$ और जड़त्व आघूर्ण के बीच का संबंध $I = MK^2$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $MK^2 = \frac{ML^2}{12}$।
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर,हमें $K^2 = \frac{L^2}{12}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$K = \frac{L}{\sqrt{12}}$ प्राप्त होता है।
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $(K)$ और जड़त्व आघूर्ण के बीच का संबंध $I = MK^2$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $MK^2 = \frac{ML^2}{12}$।
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर,हमें $K^2 = \frac{L^2}{12}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$K = \frac{L}{\sqrt{12}}$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution183
MediumMCQ
किसी पिंड की घूर्णन त्रिज्या (Radius of gyration) किस पर निर्भर करती है?
A
पिंड का द्रव्यमान और आकार
B
द्रव्यमान वितरण और घूर्णन अक्ष
C
पिंड का आकार
D
पिंड का द्रव्यमान
Solution
(B) घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = Mk^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ पिंड का कुल द्रव्यमान है।
इससे,$k = \sqrt{I/M}$ प्राप्त होता है।
किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$,घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण और स्वयं घूर्णन अक्ष की स्थिति पर निर्भर करता है।
चूंकि किसी दिए गए पिंड के लिए $M$ स्थिर होता है,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $k$ द्रव्यमान के वितरण और घूर्णन अक्ष पर निर्भर करती है।
इससे,$k = \sqrt{I/M}$ प्राप्त होता है।
किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$,घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण और स्वयं घूर्णन अक्ष की स्थिति पर निर्भर करता है।
चूंकि किसी दिए गए पिंड के लिए $M$ स्थिर होता है,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $k$ द्रव्यमान के वितरण और घूर्णन अक्ष पर निर्भर करती है।
0 likes
View Solution184
DifficultMCQ
यदि एक ठोस गोले की त्रिज्या $35\,cm$ है,तो स्पर्शरेखा (tangent) के अनुदिश अक्ष के लिए घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) की गणना करें।
A
$7\sqrt{10}\,cm$
B
$7\sqrt{35}\,cm$
C
$\frac{7}{5}\,cm$
D
$\frac{2}{5}\,cm$
Solution
(B) एक ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tan} = I_{cm} + MR^2$ होता है।
$I_{cm}$ का मान रखने पर,$I_{tan} = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$ प्राप्त होता है।
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = Mk^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
अतः,$Mk^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
$k = \sqrt{\frac{7}{5}}R$.
यहाँ $R = 35\,cm$ दिया गया है,इसलिए $k = \sqrt{\frac{7}{5}} \times 35 = \sqrt{\frac{7}{5} \times 1225} = \sqrt{7 \times 245} = \sqrt{1715} = 7\sqrt{35}\,cm$।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tan} = I_{cm} + MR^2$ होता है।
$I_{cm}$ का मान रखने पर,$I_{tan} = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$ प्राप्त होता है।
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = Mk^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
अतः,$Mk^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
$k = \sqrt{\frac{7}{5}}R$.
यहाँ $R = 35\,cm$ दिया गया है,इसलिए $k = \sqrt{\frac{7}{5}} \times 35 = \sqrt{\frac{7}{5} \times 1225} = \sqrt{7 \times 245} = \sqrt{1715} = 7\sqrt{35}\,cm$।
0 likes
View Solution185
MediumMCQ
$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान वाली तीन पतली छड़ों को $x, y$ और $z-$ अक्षों के अनुदिश इस प्रकार रखा गया है कि प्रत्येक छड़ का एक सिरा मूल बिंदु पर है। $z-$ अक्ष के परितः इस निकाय का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?
A
$\frac{2ML^2}{3}$
B
$\frac{4ML^2}{3}$
C
$\frac{5ML^2}{3}$
D
$\frac{ML^2}{3}$
Solution
(A) मान लीजिए कि तीन छड़ें $R_1, R_2$ और $R_3$ क्रमशः $x, y$ और $z-$ अक्षों के अनुदिश हैं।
$1$. छड़ $R_1$ के लिए ($x-$ अक्ष पर): $z-$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$y-$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण के समान होता है,जो $I_1 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$2$. छड़ $R_2$ के लिए ($y-$ अक्ष पर): $z-$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$x-$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण के समान होता है,जो $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$3$. छड़ $R_3$ के लिए ($z-$ अक्ष पर): चूंकि छड़ घूर्णन अक्ष ($z-$ अक्ष) पर ही स्थित है,इसलिए छड़ का प्रत्येक बिंदु अक्ष से $r = 0$ दूरी पर है। अतः,इसका जड़त्व आघूर्ण $I_3 = 0$ है।
$4$. $z-$ अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2ML^2}{3}$ होगा।
$1$. छड़ $R_1$ के लिए ($x-$ अक्ष पर): $z-$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$y-$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण के समान होता है,जो $I_1 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$2$. छड़ $R_2$ के लिए ($y-$ अक्ष पर): $z-$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$x-$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण के समान होता है,जो $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$3$. छड़ $R_3$ के लिए ($z-$ अक्ष पर): चूंकि छड़ घूर्णन अक्ष ($z-$ अक्ष) पर ही स्थित है,इसलिए छड़ का प्रत्येक बिंदु अक्ष से $r = 0$ दूरी पर है। अतः,इसका जड़त्व आघूर्ण $I_3 = 0$ है।
$4$. $z-$ अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2ML^2}{3}$ होगा।
0 likes
View Solution186
DifficultMCQ
$30\, cm$ लंबाई वाले एक खोखले बेलन (आंतरिक त्रिज्या $r = 10\, cm$ और बाहरी त्रिज्या $R = 20\, cm$) का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। समान द्रव्यमान वाले एक पतले बेलन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ताकि उसकी अक्ष के परितः उसका जड़त्व आघूर्ण भी $I$ हो। वह ......... $cm$ है।
A
$12$
B
$16$
C
$14$
D
$18$
Solution
(B) एक खोखले बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र है:
$I = \frac{1}{2} M (R^2 + r^2)$
जहाँ $M$ द्रव्यमान है,$R$ बाहरी त्रिज्या है,और $r$ आंतरिक त्रिज्या है।
यहाँ $r = 10\, cm$ और $R = 20\, cm$ दिया गया है,इसलिए:
$I = \frac{1}{2} M (20^2 + 10^2) = \frac{1}{2} M (400 + 100) = \frac{1}{2} M (500) = 250 M$
समान द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $r_0$ वाले एक पतले बेलन (रिंग) के लिए,उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I = M r_0^2$
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$M r_0^2 = 250 M$
$r_0^2 = 250$
$r_0 = \sqrt{250} \approx 15.81\, cm \approx 16\, cm$
अतः,पतले बेलन की त्रिज्या लगभग $16\, cm$ है।
$I = \frac{1}{2} M (R^2 + r^2)$
जहाँ $M$ द्रव्यमान है,$R$ बाहरी त्रिज्या है,और $r$ आंतरिक त्रिज्या है।
यहाँ $r = 10\, cm$ और $R = 20\, cm$ दिया गया है,इसलिए:
$I = \frac{1}{2} M (20^2 + 10^2) = \frac{1}{2} M (400 + 100) = \frac{1}{2} M (500) = 250 M$
समान द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $r_0$ वाले एक पतले बेलन (रिंग) के लिए,उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I = M r_0^2$
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$M r_0^2 = 250 M$
$r_0^2 = 250$
$r_0 = \sqrt{250} \approx 15.81\, cm \approx 16\, cm$
अतः,पतले बेलन की त्रिज्या लगभग $16\, cm$ है।
0 likes
View Solution187
DifficultMCQ
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma (r) = kr^2$ है,जहाँ $r$ इसके केंद्र से दूरी है। इसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और इसके तल के लंबवत अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?
A
$\frac{MR^2}{2}$
B
$\frac{MR^2}{3}$
C
$\frac{MR^2}{6}$
D
$\frac{2MR^2}{3}$
Solution
(D) सबसे पहले,हम डिस्क का कुल द्रव्यमान $M$ ज्ञात करते हैं:
$M = \int_0^R \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r \, dr = 2\pi k \int_0^R r^3 \, dr = 2\pi k \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{\pi k R^4}{2}$
इससे,हमें $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ प्राप्त होता है।
अब,केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ की गणना करते हैं:
$I = \int_0^R (dm) r^2 = \int_0^R (\sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr) r^2 = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r^3 \, dr = 2\pi k \int_0^R r^5 \, dr$
$I = 2\pi k \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = 2\pi k \frac{R^6}{6} = \frac{\pi k R^6}{3}$
$I$ के समीकरण में $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{\pi}{3} \left( \frac{2M}{\pi R^4} \right) R^6 = \frac{2}{3} MR^2$
$M = \int_0^R \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r \, dr = 2\pi k \int_0^R r^3 \, dr = 2\pi k \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{\pi k R^4}{2}$
इससे,हमें $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ प्राप्त होता है।
अब,केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ की गणना करते हैं:
$I = \int_0^R (dm) r^2 = \int_0^R (\sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr) r^2 = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r^3 \, dr = 2\pi k \int_0^R r^5 \, dr$
$I = 2\pi k \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = 2\pi k \frac{R^6}{6} = \frac{\pi k R^6}{3}$
$I$ के समीकरण में $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ का मान रखने पर:
$I = \frac{\pi}{3} \left( \frac{2M}{\pi R^4} \right) R^6 = \frac{2}{3} MR^2$
0 likes
View Solution188
DifficultMCQ
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले को दो असमान भागों में विभाजित किया जाता है। पहले भाग का द्रव्यमान $\frac{7M}{8}$ है और इसे $2R$ त्रिज्या की एक समान डिस्क में परिवर्तित किया जाता है। दूसरे भाग को एक समान ठोस गोले में परिवर्तित किया जाता है। मान लीजिए $I_1$ डिस्क का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $I_2$ नए गोले का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है। $I_1/I_2$ का अनुपात क्या है?
A
$285$
B
$185$
C
$65$
D
$140$
Solution
(D) पहले भाग का द्रव्यमान $M_1 = \frac{7M}{8}$ है और इसे $R_1 = 2R$ त्रिज्या की डिस्क में परिवर्तित किया जाता है।
डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2$ होता है।
मान रखने पर: $I_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{7M}{8} \right) (2R)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{7M}{8} \times 4R^2 = \frac{7MR^2}{4}$.
दूसरे भाग का द्रव्यमान $M_2 = M - \frac{7M}{8} = \frac{M}{8}$ है।
चूंकि घनत्व समान रहता है,आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3 = \frac{1}{8} V_{total} = \frac{1}{8} (\frac{4}{3} \pi R^3)$,जिसका अर्थ है $R_2^3 = \frac{R^3}{8}$,इसलिए $R_2 = \frac{R}{2}$।
ठोस गोले का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{5} M_2 R_2^2$ होता है।
मान रखने पर: $I_2 = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{8} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{8} \times \frac{R^2}{4} = \frac{MR^2}{80}$।
अंत में,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{7MR^2 / 4}{MR^2 / 80} = \frac{7}{4} \times 80 = 7 \times 20 = 140$ है।
डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2$ होता है।
मान रखने पर: $I_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{7M}{8} \right) (2R)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{7M}{8} \times 4R^2 = \frac{7MR^2}{4}$.
दूसरे भाग का द्रव्यमान $M_2 = M - \frac{7M}{8} = \frac{M}{8}$ है।
चूंकि घनत्व समान रहता है,आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3 = \frac{1}{8} V_{total} = \frac{1}{8} (\frac{4}{3} \pi R^3)$,जिसका अर्थ है $R_2^3 = \frac{R^3}{8}$,इसलिए $R_2 = \frac{R}{2}$।
ठोस गोले का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{5} M_2 R_2^2$ होता है।
मान रखने पर: $I_2 = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{8} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{8} \times \frac{R^2}{4} = \frac{MR^2}{80}$।
अंत में,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{7MR^2 / 4}{MR^2 / 80} = \frac{7}{4} \times 80 = 7 \times 20 = 140$ है।
0 likes
View Solution189
DifficultMCQ
$b$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार डिस्क के केंद्र में $a$ त्रिज्या का एक छेद है (चित्र देखें)। यदि डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma(r) = \frac{\sigma_0}{r}$ के अनुसार बदलता है,तो केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः डिस्क की घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{a + b}{3}$
B
$\sqrt{\frac{a^2 + b^2 + ab}{3}}$
C
$\frac{a + b}{2}$
D
$\sqrt{\frac{a^2 + b^2 + ab}{2}}$
Solution
(B) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक पतली वलय (ring) पर विचार करें। इस वलय का क्षेत्रफल $dA = 2\pi r dr$ है। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \sigma(r) dA = \left(\frac{\sigma_0}{r}\right) (2\pi r dr) = 2\pi \sigma_0 dr$ है।
डिस्क का कुल द्रव्यमान $M = \int_a^b dm = \int_a^b 2\pi \sigma_0 dr = 2\pi \sigma_0 (b - a)$ है।
केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \int_a^b r^2 dm = \int_a^b r^2 (2\pi \sigma_0 dr) = 2\pi \sigma_0 \int_a^b r^2 dr = 2\pi \sigma_0 \left(\frac{b^3 - a^3}{3}\right)$ है।
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = Mk^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए $k^2 = \frac{I}{M}$ है।
$k^2 = \frac{2\pi \sigma_0 (b^3 - a^3) / 3}{2\pi \sigma_0 (b - a)} = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)}$ है।
सर्वसमिका $b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + a^2 + ab)$ का उपयोग करने पर,हमें $k^2 = \frac{(b - a)(b^2 + a^2 + ab)}{3(b - a)} = \frac{a^2 + b^2 + ab}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + ab}{3}}$।
डिस्क का कुल द्रव्यमान $M = \int_a^b dm = \int_a^b 2\pi \sigma_0 dr = 2\pi \sigma_0 (b - a)$ है।
केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \int_a^b r^2 dm = \int_a^b r^2 (2\pi \sigma_0 dr) = 2\pi \sigma_0 \int_a^b r^2 dr = 2\pi \sigma_0 \left(\frac{b^3 - a^3}{3}\right)$ है।
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = Mk^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए $k^2 = \frac{I}{M}$ है।
$k^2 = \frac{2\pi \sigma_0 (b^3 - a^3) / 3}{2\pi \sigma_0 (b - a)} = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)}$ है।
सर्वसमिका $b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + a^2 + ab)$ का उपयोग करने पर,हमें $k^2 = \frac{(b - a)(b^2 + a^2 + ab)}{3(b - a)} = \frac{a^2 + b^2 + ab}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + ab}{3}}$।
0 likes
View Solution190
DifficultMCQ
चित्र एक पतली धात्विक त्रिकोणीय शीट $ABC$ को दर्शाता है। शीट का द्रव्यमान $M$ है। भुजा $AC$ के परितः शीट का जड़त्व आघूर्ण है
A
$\frac{Ml^2}{18}$
B
$\frac{Ml^2}{12}$
C
$\frac{Ml^2}{6}$
D
$\frac{Ml^2}{4}$
Solution
(B) $l$ भुजा और $2M$ द्रव्यमान वाली एक वर्गाकार प्लेट पर विचार करें जो ऐसी दो त्रिकोणीय शीट $ABC$ को कर्ण $AC$ के साथ जोड़कर बनाई गई है।
मान लीजिए वर्ग $PQRS$ है जहाँ $AC$ एक विकर्ण है।
$M_{total} = 2M$ द्रव्यमान और $l$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट का उसके विकर्ण के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diagonal} = \frac{1}{12} M_{total} l^2$ द्वारा दिया जाता है।
$M_{total} = 2M$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{diagonal} = \frac{1}{12} (2M) l^2 = \frac{Ml^2}{6}$ प्राप्त होता है।
चूँकि वर्ग $M$ द्रव्यमान वाली दो समान त्रिकोणीय शीट $ABC$ से बना है,इसलिए एक त्रिकोणीय शीट का विकर्ण $AC$ के परितः जड़त्व आघूर्ण,वर्ग के विकर्ण के परितः जड़त्व आघूर्ण का आधा होता है।
अतः,$I_{AC} = \frac{1}{2} \times I_{diagonal} = \frac{1}{2} \times \frac{Ml^2}{6} = \frac{Ml^2}{12}.$
मान लीजिए वर्ग $PQRS$ है जहाँ $AC$ एक विकर्ण है।
$M_{total} = 2M$ द्रव्यमान और $l$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट का उसके विकर्ण के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diagonal} = \frac{1}{12} M_{total} l^2$ द्वारा दिया जाता है।
$M_{total} = 2M$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{diagonal} = \frac{1}{12} (2M) l^2 = \frac{Ml^2}{6}$ प्राप्त होता है।
चूँकि वर्ग $M$ द्रव्यमान वाली दो समान त्रिकोणीय शीट $ABC$ से बना है,इसलिए एक त्रिकोणीय शीट का विकर्ण $AC$ के परितः जड़त्व आघूर्ण,वर्ग के विकर्ण के परितः जड़त्व आघूर्ण का आधा होता है।
अतः,$I_{AC} = \frac{1}{2} \times I_{diagonal} = \frac{1}{2} \times \frac{Ml^2}{6} = \frac{Ml^2}{12}.$
0 likes
View Solution191
MediumMCQ
दी गई आकृति में $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या की एक डिस्क $x-y$ तल में स्थित है,जिसका केंद्र मूल बिंदु से $a$ दूरी पर $x$-अक्ष पर है। तो $x$-अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?
A
$M\left( \frac{R^2}{2} \right)$
B
$M\left( \frac{R^2}{4} \right)$
C
$M\left( \frac{R^2}{4} + a^2 \right)$
D
$M\left( \frac{R^2}{2} + a^2 \right)$
Solution
(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{MR^2}{4}$ होता है।
दी गई आकृति में,डिस्क $x-y$ तल में स्थित है और इसका केंद्र $(a, 0)$ पर है।
$x$-अक्ष डिस्क के केंद्र से होकर गुजरती है और डिस्क के तल में ही स्थित है।
इसलिए,$x$-अक्ष डिस्क के लिए एक व्यास के रूप में कार्य करती है।
चूंकि डिस्क के किसी भी व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{MR^2}{4}$ होता है,इसलिए $x$-अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $\frac{MR^2}{4}$ होगा।
दी गई आकृति में,डिस्क $x-y$ तल में स्थित है और इसका केंद्र $(a, 0)$ पर है।
$x$-अक्ष डिस्क के केंद्र से होकर गुजरती है और डिस्क के तल में ही स्थित है।
इसलिए,$x$-अक्ष डिस्क के लिए एक व्यास के रूप में कार्य करती है।
चूंकि डिस्क के किसी भी व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{MR^2}{4}$ होता है,इसलिए $x$-अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $\frac{MR^2}{4}$ होगा।
0 likes
View Solution192
DifficultMCQ
दो डिस्क,जिनमें से एक का घनत्व $7.2 \, g/cm^3$ और दूसरे का घनत्व $8.9 \, g/cm^3$ है,का द्रव्यमान और मोटाई समान है। उनके जड़त्व आघूर्ण का अनुपात क्या है?
A
$\frac{8.9}{7.2}$
B
$\frac{7.2}{8.9}$
C
$(8.9 \times 7.2) : 1$
D
$1 : (8.9 \times 7.2)$
Solution
(A) डिस्क के केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M r^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों डिस्क के लिए द्रव्यमान $M$ और मोटाई $t$ समान हैं,हम द्रव्यमान को घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $r$ के साथ $M = \rho \cdot V = \rho \cdot (\pi r^2 t)$ के रूप में संबंधित करते हैं।
चूंकि $M$ और $t$ स्थिर हैं,$\rho_1 r_1^2 = \rho_2 r_2^2$,जिसका अर्थ है $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$।
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M r_1^2}{\frac{1}{2} M r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ है।
घनत्व का अनुपात प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{8.9}{7.2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों डिस्क के लिए द्रव्यमान $M$ और मोटाई $t$ समान हैं,हम द्रव्यमान को घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $r$ के साथ $M = \rho \cdot V = \rho \cdot (\pi r^2 t)$ के रूप में संबंधित करते हैं।
चूंकि $M$ और $t$ स्थिर हैं,$\rho_1 r_1^2 = \rho_2 r_2^2$,जिसका अर्थ है $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$।
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M r_1^2}{\frac{1}{2} M r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ है।
घनत्व का अनुपात प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{8.9}{7.2}$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution193
MediumMCQ
$10 \ kg$ द्रव्यमान वाले एक पहिये का अपने अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $160 \ kg \cdot m^2$ है। इसकी घूर्णन त्रिज्या ........ $m$ है।
A
$10$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(B) दिया गया है:
पहिये का द्रव्यमान,$M = 10 \ kg$
जड़त्व आघूर्ण,$I = 160 \ kg \cdot m^2$
घूर्णन त्रिज्या $K$ के पदों में जड़त्व आघूर्ण का सूत्र इस प्रकार है:
$I = M K^2$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$160 = 10 \times K^2$
$K^2$ के लिए हल करने पर:
$K^2 = \frac{160}{10} = 16$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$K = \sqrt{16} = 4 \ m$
अतः,घूर्णन त्रिज्या $4 \ m$ है।
पहिये का द्रव्यमान,$M = 10 \ kg$
जड़त्व आघूर्ण,$I = 160 \ kg \cdot m^2$
घूर्णन त्रिज्या $K$ के पदों में जड़त्व आघूर्ण का सूत्र इस प्रकार है:
$I = M K^2$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$160 = 10 \times K^2$
$K^2$ के लिए हल करने पर:
$K^2 = \frac{160}{10} = 16$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$K = \sqrt{16} = 4 \ m$
अतः,घूर्णन त्रिज्या $4 \ m$ है।
0 likes
View Solution194
DifficultMCQ
$2\, kg$ के पाँच द्रव्यमान एक क्षैतिज वृत्ताकार डिस्क पर रखे गए हैं,जो अपने केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूम सकती है। सभी द्रव्यमान अक्ष से $10\, cm$ की समान दूरी पर हैं। पूरे निकाय का जड़त्व आघूर्ण ($gm-cm^2$ में) ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए कि डिस्क का द्रव्यमान नगण्य है।)
A
$10^5$
B
$10^4$
C
$10^6$
D
$10^8$
Solution
(C) बिंदु द्रव्यमानों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ योग $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $5$ द्रव्यमान हैं,प्रत्येक का द्रव्यमान $m = 2\, kg = 2000\, g$ है और प्रत्येक घूर्णन अक्ष से $r = 10\, cm$ की दूरी पर है:
$I = 5 \times (m \times r^2)$
$I = 5 \times (2000\, g) \times (10\, cm)^2$
$I = 5 \times 2000 \times 100\, gm-cm^2$
$I = 1,000,000\, gm-cm^2 = 10^6\, gm-cm^2$.
चूंकि $5$ द्रव्यमान हैं,प्रत्येक का द्रव्यमान $m = 2\, kg = 2000\, g$ है और प्रत्येक घूर्णन अक्ष से $r = 10\, cm$ की दूरी पर है:
$I = 5 \times (m \times r^2)$
$I = 5 \times (2000\, g) \times (10\, cm)^2$
$I = 5 \times 2000 \times 100\, gm-cm^2$
$I = 1,000,000\, gm-cm^2 = 10^6\, gm-cm^2$.
0 likes
View Solution195
DifficultMCQ
$R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) क्या है?
A
$\frac{8}{3} \pi R^3 \rho$
B
$\frac{8}{15} \pi R^5 \rho$
C
$\frac{8}{3} \pi R^5 \rho$
D
$\frac{15}{8} \pi R^3 \rho^2$
Solution
(B) एक ठोस गोले का द्रव्यमान $M$ उसके आयतन और घनत्व के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $M = V \cdot \rho = (\frac{4}{3} \pi R^3) \rho$.
एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
$M$ का व्यंजक $I$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) R^2$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \frac{8}{15} \pi R^5 \rho$.
एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
$M$ का व्यंजक $I$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{2}{5} (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) R^2$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \frac{8}{15} \pi R^5 \rho$.
0 likes
View Solution196
DifficultMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार एक द्रव्यमान रहित छड़ पर चार द्रव्यमान स्थित हैं। $PQ$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण लगभग ..... $kg-m^2$ है।
A
$2$
B
$1.04$
C
$0.5$
D
$0.3$
Solution
(B) कणों के निकाय का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_i$ $i$-वें कण का द्रव्यमान है और $r_i$ घूर्णन अक्ष से उसकी लंबवत दूरी है।
चित्र से,$PQ$ अक्ष छड़ के केंद्र से होकर गुजरती है।
अक्ष $PQ$ से $0.2 \ m$ की दूरी पर $5 \ kg$ के दो द्रव्यमान स्थित हैं।
अक्ष $PQ$ से $(0.2 + 0.2) = 0.4 \ m$ की दूरी पर $2 \ kg$ के दो द्रव्यमान स्थित हैं।
कुल जड़त्व आघूर्ण की गणना:
$I = 2 \times (5 \ kg) \times (0.2 \ m)^2 + 2 \times (2 \ kg) \times (0.4 \ m)^2$
$I = 2 \times 5 \times 0.04 + 2 \times 2 \times 0.16$
$I = 10 \times 0.04 + 4 \times 0.16$
$I = 0.4 + 0.64 = 1.04 \ kg-m^2$.
चित्र से,$PQ$ अक्ष छड़ के केंद्र से होकर गुजरती है।
अक्ष $PQ$ से $0.2 \ m$ की दूरी पर $5 \ kg$ के दो द्रव्यमान स्थित हैं।
अक्ष $PQ$ से $(0.2 + 0.2) = 0.4 \ m$ की दूरी पर $2 \ kg$ के दो द्रव्यमान स्थित हैं।
कुल जड़त्व आघूर्ण की गणना:
$I = 2 \times (5 \ kg) \times (0.2 \ m)^2 + 2 \times (2 \ kg) \times (0.4 \ m)^2$
$I = 2 \times 5 \times 0.04 + 2 \times 2 \times 0.16$
$I = 10 \times 0.04 + 4 \times 0.16$
$I = 0.4 + 0.64 = 1.04 \ kg-m^2$.
0 likes
View Solution197
DifficultMCQ
आंतरिक त्रिज्या $r$,बाहरी त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान $M$ वाली एक समान वलयाकार डिस्क (annular disc) की उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?
A
$\frac{1}{2}M(R^2 - r^2)$
B
$\frac{1}{2}M(R^2 + r^2)$
C
$\frac{M(R^4 + r^4)}{2(R^2 + r^2)}$
D
$\frac{M(R^4 + r^4)}{2(R^2 - r^2)}$
Solution
(B) माना $M$ बाहरी त्रिज्या $R$ और आंतरिक त्रिज्या $r$ वाली वलयाकार डिस्क का द्रव्यमान है।
सतह द्रव्यमान घनत्व $\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ है।
$x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई वाली एक प्रारंभिक रिंग पर विचार करें। इस रिंग का द्रव्यमान $dm = \sigma \times (2\pi x dx) = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)} \times 2\pi x dx = \frac{2Mx dx}{R^2 - r^2}$ है।
इस प्रारंभिक रिंग का केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $dI = (dm)x^2 = \frac{2Mx^3 dx}{R^2 - r^2}$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = r$ से $x = R$ तक समाकलन (integrate) करेंगे:
$I = \int_{r}^{R} \frac{2Mx^3 dx}{R^2 - r^2} = \frac{2M}{R^2 - r^2} \int_{r}^{R} x^3 dx$.
समाकलन करने पर: $I = \frac{2M}{R^2 - r^2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{r}^{R} = \frac{2M}{R^2 - r^2} \left( \frac{R^4 - r^4}{4} \right)$.
चूंकि $R^4 - r^4 = (R^2 - r^2)(R^2 + r^2)$,इसलिए $I = \frac{2M}{R^2 - r^2} \times \frac{(R^2 - r^2)(R^2 + r^2)}{4} = \frac{1}{2}M(R^2 + r^2)$ प्राप्त होता है।
सतह द्रव्यमान घनत्व $\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ है।
$x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई वाली एक प्रारंभिक रिंग पर विचार करें। इस रिंग का द्रव्यमान $dm = \sigma \times (2\pi x dx) = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)} \times 2\pi x dx = \frac{2Mx dx}{R^2 - r^2}$ है।
इस प्रारंभिक रिंग का केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $dI = (dm)x^2 = \frac{2Mx^3 dx}{R^2 - r^2}$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = r$ से $x = R$ तक समाकलन (integrate) करेंगे:
$I = \int_{r}^{R} \frac{2Mx^3 dx}{R^2 - r^2} = \frac{2M}{R^2 - r^2} \int_{r}^{R} x^3 dx$.
समाकलन करने पर: $I = \frac{2M}{R^2 - r^2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{r}^{R} = \frac{2M}{R^2 - r^2} \left( \frac{R^4 - r^4}{4} \right)$.
चूंकि $R^4 - r^4 = (R^2 - r^2)(R^2 + r^2)$,इसलिए $I = \frac{2M}{R^2 - r^2} \times \frac{(R^2 - r^2)(R^2 + r^2)}{4} = \frac{1}{2}M(R^2 + r^2)$ प्राप्त होता है।
0 likes
View Solution198
MediumMCQ
$R$ त्रिज्या की एक वृत्ताकार डिस्क $X$ को $t$ मोटाई की लोहे की प्लेट से बनाया गया है,और $4R$ त्रिज्या की एक अन्य डिस्क $Y$ को $\frac{t}{4}$ मोटाई की लोहे की प्लेट से बनाया गया है। जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_Y}{I_X}$ है:
A
$32$
B
$16$
C
$1$
D
$64$
Solution
(D) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho (\pi R^2 t)$,इसलिए $I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$ होगा।
डिस्क $X$ के लिए: $I_X = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$.
डिस्क $Y$ के लिए: $I_Y = \frac{1}{2} \rho \pi (4R)^4 (\frac{t}{4}) = \frac{1}{2} \rho \pi (256 R^4) (\frac{t}{4}) = \frac{1}{2} \rho \pi (64 R^4 t) = 64 \times (\frac{1}{2} \rho \pi R^4 t)$.
अतः,$\frac{I_Y}{I_X} = \frac{64 I_X}{I_X} = 64$.
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho (\pi R^2 t)$,इसलिए $I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$ होगा।
डिस्क $X$ के लिए: $I_X = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$.
डिस्क $Y$ के लिए: $I_Y = \frac{1}{2} \rho \pi (4R)^4 (\frac{t}{4}) = \frac{1}{2} \rho \pi (256 R^4) (\frac{t}{4}) = \frac{1}{2} \rho \pi (64 R^4 t) = 64 \times (\frac{1}{2} \rho \pi R^4 t)$.
अतः,$\frac{I_Y}{I_X} = \frac{64 I_X}{I_X} = 64$.
0 likes
View Solution199
EasyMCQ
किसी पिंड की घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) किस पर निर्भर करती है?
A
पिंड का आकार और माप
B
पिंड में द्रव्यमान वितरण की प्रकृति
C
घूर्णन अक्ष का चयन
D
उपरोक्त सभी
Solution
(D) घूर्णन त्रिज्या $(k)$ को $I = Mk^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ पिंड का कुल द्रव्यमान है।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण $(I)$ पिंड के आकार और माप,अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण और घूर्णन अक्ष के चयन पर निर्भर करता है,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $(k = \sqrt{I/M})$ भी इन कारकों पर निर्भर करती है।
अतः,घूर्णन त्रिज्या पिंड के आकार,माप,द्रव्यमान वितरण और घूर्णन अक्ष पर निर्भर करती है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण $(I)$ पिंड के आकार और माप,अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण और घूर्णन अक्ष के चयन पर निर्भर करता है,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $(k = \sqrt{I/M})$ भी इन कारकों पर निर्भर करती है।
अतः,घूर्णन त्रिज्या पिंड के आकार,माप,द्रव्यमान वितरण और घूर्णन अक्ष पर निर्भर करती है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।
0 likes
View Solution200
DifficultMCQ
$2a$ व्यास और $M$ द्रव्यमान वाले चार गोलों को $b$ भुजा वाले वर्ग के चारों कोनों पर उनके केंद्रों के साथ रखा गया है। तो वर्ग की एक भुजा के अनुदिश अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?
A
$\frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2$
B
$\frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$
C
$\frac{8}{5}Ma^2$
D
$\frac{4}{5}Ma^2 + 4Mb^2$
Solution
(B) द्रव्यमान केंद्र के परितः एक ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $(I_{cm})$ का सूत्र $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ है।
मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष वर्ग की एक भुजा के अनुदिश है। दो गोलों के केंद्र इस अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए अक्ष से उनकी दूरी $0$ है। अन्य दो गोलों के केंद्र अक्ष से $b$ दूरी पर स्थित हैं।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ अक्ष से दूरी है।
अक्ष पर स्थित दो गोलों के लिए: $I_1 = 2 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + M(0)^2) = \frac{4}{5}Ma^2$.
अक्ष से $b$ दूरी पर स्थित दो गोलों के लिए: $I_2 = 2 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) = \frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{4}{5}Ma^2 + \frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2 = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$ होगा।
मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष वर्ग की एक भुजा के अनुदिश है। दो गोलों के केंद्र इस अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए अक्ष से उनकी दूरी $0$ है। अन्य दो गोलों के केंद्र अक्ष से $b$ दूरी पर स्थित हैं।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ अक्ष से दूरी है।
अक्ष पर स्थित दो गोलों के लिए: $I_1 = 2 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + M(0)^2) = \frac{4}{5}Ma^2$.
अक्ष से $b$ दूरी पर स्थित दो गोलों के लिए: $I_2 = 2 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) = \frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{4}{5}Ma^2 + \frac{4}{5}Ma^2 + 2Mb^2 = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$ होगा।
0 likes
View SolutionSystem of Particles and Rotational Motion — Moment of Inertia and Radius of gyration · Frequently Asked Questions
1Are these System of Particles and Rotational Motion questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a System of Particles and Rotational Motion Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.