Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Hindi

(C) डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R_d^2$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,हम आयतन की तुलना करते हैं:
$V_{\text{disc}} = V_{\text{sphere}}$
$\pi R_d^2 \times (R_d/8) = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$\frac{R_d^3}{8} = \frac{4}{3} R_s^3 \implies R_s^3 = \frac{3}{32} R_d^3 \implies R_s^2 = \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} R_d^2$.
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R_s^2$ है।
$R_s^2$ का मान रखने पर:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} R_d^2$.
चूंकि $M R_d^2 = 2I$,इसलिए:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} (2I) \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} = \frac{4I}{5} \left(\frac{9}{1024}\right)^{1/3} \approx \frac{I}{5}$.

(A) $x$-अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण तीनों छड़ों के $x$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का योग है: $I_{\text{total}} = I_x + I_y + I_z$.
$m$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली पतली छड़ के लिए,जब अक्ष एक सिरे से गुजरती है और छड़ के लंबवत होती है,तो जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ होता है।
$1$. $x$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए: चूँकि छड़ $x$-अक्ष पर ही स्थित है,इसलिए $x$-अक्ष से इसकी दूरी शून्य है। अतः,$I_x = 0$.
$2$. $y$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए: घूर्णन अक्ष ($x$-अक्ष) छड़ के लंबवत है और एक सिरे से गुजरती है। यहाँ $m = 2M$ है,इसलिए $I_y = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$.
$3$. $z$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए: इसी प्रकार,$x$-अक्ष इस छड़ के लंबवत है और एक सिरे से गुजरती है। यहाँ $m = 2M$ है,इसलिए $I_z = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$.
कुल जड़त्व आघूर्ण: $I_{\text{total}} = 0 + \frac{2ML^2}{3} + \frac{2ML^2}{3} = \frac{4ML^2}{3}$.

(C) मान लीजिए कि तीन छड़ें $1$,$2$ और $3$ क्रमशः $X$,$Y$ और $Z$ अक्षों के अनुदिश रखी गई हैं।
$1$. $X$ अक्ष के अनुदिश छड़ $1$ का $Z$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: चूंकि छड़ $X$ अक्ष पर स्थित है,$Z$ अक्ष से इसकी दूरी $0$ से $L$ तक बदलती है। एक सिरे से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{3}$ होता है। अतः,$I_1 = \frac{ML^2}{3}$।
$2$. $Y$ अक्ष के अनुदिश छड़ $2$ का $Z$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: इसी प्रकार,छड़ $Y$ अक्ष पर स्थित है और $Z$ अक्ष मूल बिंदु पर इसके लंबवत है। अतः,$I_2 = \frac{ML^2}{3}$।
$3$. $Z$ अक्ष के अनुदिश छड़ $3$ का $Z$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ स्वयं $Z$ अक्ष पर स्थित है। इसलिए,छड़ का प्रत्येक द्रव्यमान अवयव $Z$ अक्ष से $0$ दूरी पर है। अतः,$I_3 = 0$।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2 ML^2}{3}$।

(C) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार डिस्क के व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र है: $I = \frac{1}{4} m R^2$।
घूर्णन त्रिज्या $(k)$ को संबंध $I = m k^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $k = \sqrt{\frac{I}{m}}$।
$I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $k = \sqrt{\frac{\frac{1}{4} m R^2}{m}} = \sqrt{\frac{R^2}{4}} = \frac{R}{2}$।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले लूप का जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लूप एक ही सामग्री से बने हैं,मान लीजिए $\lambda$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
लूप का द्रव्यमान $M = \lambda \cdot (2\pi R)$ होता है।
इस मान को $I$ के व्यंजक में रखने पर:
$I = (\lambda \cdot 2\pi R) \cdot R^2 = 2\pi\lambda R^3$.
अतः,$I \propto R^3$.
इसलिए,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात:
$\frac{I_P}{I_Q} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
दिया गया है कि $\frac{I_P}{I_Q} = 27$,इसलिए:
$27 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{27} = 3$.
अतः,अनुपात $R_1 / R_2$ का मान $3:1$ है।

(B) माना कि पतले गोलीय कोश और ठोस गोले की त्रिज्याएँ क्रमशः $R_1$ और $R_2$ हैं।
पतले गोलीय कोश का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{\text{shell}} = \frac{2}{3} MR_1^2$ ... $(i)$
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_2^2$ ... (ii)
दिया गया है कि दोनों पिंडों के द्रव्यमान $(M)$ और जड़त्व आघूर्ण $(I)$ समान हैं,इसलिए समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$\frac{2}{3} MR_1^2 = \frac{2}{5} MR_2^2$
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{3}{5}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\sqrt{3}: \sqrt{5}$ है।

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है। अक्ष शीर्ष $A$ से गुजरती है और भुजा $BC$ के समानांतर है।
कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$,$I = \sum mr^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ अक्ष से प्रत्येक द्रव्यमान की लंबवत दूरी है।
$1$. शीर्ष $A$ पर स्थित द्रव्यमान अक्ष पर ही स्थित है,इसलिए इसकी लंबवत दूरी $r_A = 0$ है। अतः,जड़त्व आघूर्ण में इसका योगदान $m(0)^2 = 0$ है।
$2$. शीर्ष $B$ और $C$ पर स्थित द्रव्यमान अक्ष से $h$ की लंबवत दूरी पर हैं। $L$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में,ऊँचाई $h = L \sin 60^{\circ} = L \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ होती है।
$3$. कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ तीनों द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्णों का योग है:
$I = m(r_A)^2 + m(r_B)^2 + m(r_C)^2$
$I = 0 + m(h)^2 + m(h)^2 = 2mh^2$
$h$ का मान रखने पर:
$I = 2m \left( L \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$
$I = 2m \left( \frac{3L^2}{4} \right)$
$I = \frac{3mL^2}{2}$

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
चूंकि दोनों डिस्क के लिए द्रव्यमान $M$ समान है,इसलिए अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ होगा।
डिस्क का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2 t) d$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $M$ और $t$ स्थिर हैं,इसलिए $R^2 \propto \frac{1}{d}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $R^2 d = \text{स्थिरांक}$.
अतः,$R_1^2 d_1 = R_2^2 d_2$,जिससे हमें $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{d_2}{d_1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को जड़त्व आघूर्ण के अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{I_1}{I_2} = \frac{d_2}{d_1}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए डिस्क का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
डिस्क की उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ है।
घूर्णन त्रिज्या $K_c$ के लिए $I_c = MK_c^2$ का उपयोग करने पर,$MK_c^2 = \frac{1}{2}MR^2$,जिससे $K_c = \frac{R}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ है।
घूर्णन त्रिज्या $K_d$ के लिए $I_d = MK_d^2$ का उपयोग करने पर,$MK_d^2 = \frac{1}{4}MR^2$,जिससे $K_d = \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः अनुपात $K_c : K_d = \frac{R/\sqrt{2}}{R/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ है।

(C) एक ठोस गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रश्न में,प्रत्येक गोले के लिए घूर्णन अक्ष उसके स्वयं के केंद्र से गुजरती है और गोलों के तल के लंबवत है।
चूंकि चारों गोले समान हैं (समान द्रव्यमान '$M$' और त्रिज्या '$R$') और प्रत्येक गोले के लिए घूर्णन अक्ष समान है (उसके स्वयं के केंद्र से गुजरती है),इसलिए प्रत्येक गोले का जड़त्व आघूर्ण अन्य गोलों की स्थिति से स्वतंत्र है।
अतः,$I_{A} = I_{B} = I_{C} = I_{D} = \frac{2}{5}MR^2$।

(D) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} m r^2$ होता है।
उन तीन गोलों के लिए जिनके केंद्र घूर्णन अक्ष $A-A'$ पर स्थित हैं,इस अक्ष के परितः प्रत्येक का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} m r^2$ होगा।
उन दो गोलों के लिए जिनके केंद्र घूर्णन अक्ष $A-A'$ से $r$ दूरी पर हैं,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I = I_{cm} + m d^2$,जहाँ $d = r$ है।
अतः,$I_2 = \frac{2}{5} m r^2 + m r^2 = \frac{7}{5} m r^2$।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 3 \times I_1 + 2 \times I_2$ है।
$I_{total} = 3 \left( \frac{2}{5} m r^2 \right) + 2 \left( \frac{7}{5} m r^2 \right) = \frac{6}{5} m r^2 + \frac{14}{5} m r^2 = \frac{20}{5} m r^2 = 4 m r^2$।

(A) घूर्णन त्रिज्या $k$,जड़त्व आघूर्ण $I$ से $I = mk^2$ सूत्र द्वारा संबंधित है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है।
प्रत्येक स्थिति के लिए:
$(A)$ अपने स्पर्शरेखा के परितः घूमता ठोस गोला: $I = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$. अतः,$k = \sqrt{\frac{7}{5}}R$. यह $(R)$ से मेल खाता है।
$(B)$ अपने तल के लंबवत स्पर्शरेखा के परितः घूमती रिंग: $I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$. अतः,$k = \sqrt{2}R$. यह $(P)$ से मेल खाता है।
$(C)$ अपनी केंद्रीय अक्ष के परितः घूमता एकसमान ठोस लंबवृत्तीय शंकु: $I = \frac{3}{10}mR^2$. अतः,$k = \sqrt{\frac{3}{10}}R$. यह $(S)$ से मेल खाता है।
$(D)$ अपने व्यास के परितः घूमती एकसमान डिस्क: $I = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2) = \frac{1}{4}mR^2$. अतः,$k = \frac{R}{2}$. यह $(Q)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A)-(R), (B)-(P), (C)-(S), (D)-(Q)$ है।

(A) घूर्णन त्रिज्या $K$ का सूत्र $K = \sqrt{\frac{I}{m}}$ है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय के लिए,उसके तल के लंबवत केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{ring, center}} = mR^2$ है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली चकती के लिए,उसके तल के लंबवत केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{disc, center}} = \frac{1}{2}mR^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,तल के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_{\text{center}} + mR^2$ होगा।
वलय के लिए: $I'_{\text{ring}} = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$। अतः,$K_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2mR^2}{m}} = \sqrt{2}R$।
चकती के लिए: $I'_{\text{disc}} = \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$। अतः,$K_{\text{disc}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$।
वलय और चकती की घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{K_{\text{ring}}}{K_{\text{disc}}} = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3/2}R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक पतली छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{12} M L^2$ होता है।
जब छड़ को चार बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $M' = \frac{M}{4}$ और लंबाई $L' = \frac{L}{4}$ हो जाती है।
प्रत्येक भाग का उसके अपने केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I'$ इस प्रकार है:
$I' = \frac{1}{12} M' (L')^2$
$M'$ और $L'$ के मान रखने पर:
$I' = \frac{1}{12} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{L}{4} \right)^2$
$I' = \frac{1}{12} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{L^2}{16} \right)$
$I' = \frac{1}{64} \left( \frac{1}{12} M L^2 \right)$
चूंकि $I = \frac{1}{12} M L^2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I' = \frac{I}{64}$

(C) उनकी केंद्रीय अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण के सूत्र इस प्रकार हैं:
$I_{\text{Ring}} = M R^2 = 1.0 M R^2$
$I_{\text{Sphere}} = \frac{2}{5} M R^2 = 0.4 M R^2$
$I_{\text{Disc}} = \frac{1}{2} M R^2 = 0.5 M R^2$
गुणांकों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $1.0 > 0.5 > 0.4$ है।
इसलिए,रिंग का जड़त्व आघूर्ण सबसे अधिक है क्योंकि इसका द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिकतम दूरी $(R)$ पर वितरित है।

(C) घूर्णन त्रिज्या $K$ को संबंध $I = MK^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ द्रव्यमान है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार वलय के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{r} = MR^2$ होता है।
अतः,$MR^2 = MK_{r}^2$,जिससे $K_{r} = R$ प्राप्त होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार चकती के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{d} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
अतः,$\frac{1}{2}MR^2 = MK_{d}^2$,जिससे $K_{d} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{K_{r}}{K_{d}} = \frac{R}{R/\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda$ दिया गया है। पहली वलय का द्रव्यमान $M_1 = \lambda(2\pi R)$ और त्रिज्या $R_1 = R$ है।
अतः,$I_1 = M_1 R_1^2 = (2\pi R \lambda) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
दूसरी वलय का द्रव्यमान $M_2 = \lambda(2\pi nR)$ और त्रिज्या $R_2 = nR$ है।
अतः,$I_2 = M_2 R_2^2 = (2\pi nR \lambda) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ दिया गया है।
व्यंजक रखने पर: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
इसलिए,$n^3 = 8$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$,उसके द्रव्यमान $m$ और घूर्णन त्रिज्या $K$ के पदों में $I = mK^2$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग $L$,जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय वेग $\omega$ से $L = I\omega$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$I$ के व्यंजक को कोणीय संवेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = (mK^2)\omega$ प्राप्त होता है।
कोणीय वेग $\omega$ के लिए इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर,$\omega = \frac{L}{mK^2}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी पिंड का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
दिए गए द्रव्यमान वितरण के लिए,जड़त्व आघूर्ण तब अधिक होता है जब द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिक औसत दूरी पर वितरित होता है।
दिए गए त्रिकोणीय लैमिना $PQR$ में,अक्ष $QR$ त्रिभुज की एक भुजा है। लैमिना का संपूर्ण द्रव्यमान इस प्रकार वितरित है कि अधिकांश क्षेत्रफल (और इसलिए द्रव्यमान) अक्ष $PQ$ या $PR$ की तुलना में अक्ष $QR$ से अधिक औसत दूरी पर स्थित है।
अतः,अक्ष $QR$ के परितः जड़त्व आघूर्ण अधिकतम होगा।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
मान लीजिए कि तार का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m$ है। तब लूप के द्रव्यमान $M_P = 2\pi R_1 m$ और $M_Q = 2\pi R_2 m$ होंगे।
जड़त्व आघूर्ण $I_P = M_P R_1^2 = (2\pi R_1 m) R_1^2 = 2\pi m R_1^3$ और $I_Q = M_Q R_2^2 = (2\pi R_2 m) R_2^2 = 2\pi m R_2^3$ हैं।
अनुपात लेने पर: $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{2\pi m R_1^3}{2\pi m R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
दिया गया है कि $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{1}{8}$,इसलिए $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = 2$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,बड़े गोले का आयतन $27$ छोटे गोलों के आयतन के योग के बराबर होगा: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जहाँ $r$ प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या है।
इससे $R^3 = 27r^3$ प्राप्त होता है,अतः $R = 3r$ या $r = R/3$ है।
घनत्व समान होने के कारण प्रत्येक छोटे गोले का द्रव्यमान $m = M/27$ होगा।
प्रत्येक छोटे गोले का जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{2}{5}mr^2$ है।
$m = M/27$ और $r = R/3$ रखने पर:
$I' = \frac{2}{5} \times (M/27) \times (R/3)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{27} \times \frac{R^2}{9} = \frac{2}{5}MR^2 \times \frac{1}{243} = \frac{I}{243}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ की उसके केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$I_1 = MK_1^2$,जहाँ $K_1$ घूर्णन त्रिज्या है।
अतः,$MK_1^2 = \frac{ML^2}{12} \implies K_1 = \frac{L}{\sqrt{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
एक सिरे से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$I_2 = MK_2^2$,जहाँ $K_2$ घूर्णन त्रिज्या है।
अतः,$MK_2^2 = \frac{ML^2}{3} \implies K_2 = \frac{L}{\sqrt{3}}$.
पहली स्थिति और दूसरी स्थिति में घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{L / (2\sqrt{3})}{L / \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(A) माना छड़ का द्रव्यमान $M$ है और इसकी लंबाई $L$ है। छड़ के एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{3}$ है।
जब छड़ को $r$ त्रिज्या वाली वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है: $2\pi r = L$,जिसका अर्थ है $r = \frac{L}{2\pi}$।
वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{Mr^2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर: $I_{1} = \frac{M}{2} \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2 = \frac{M}{2} \cdot \frac{L^2}{4\pi^2} = \frac{ML^2}{8\pi^2}$।
अब,अनुपात $\frac{I}{I_{1}}$ की गणना करने पर:
$\frac{I}{I_{1}} = \frac{ML^2/3}{ML^2/8\pi^2} = \frac{ML^2}{3} \cdot \frac{8\pi^2}{ML^2} = \frac{8\pi^2}{3}$।

(A) छड़ को मध्य बिंदु $O$ पर दो भागों में मोड़ा जाता है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $l = \frac{L}{2}$ और द्रव्यमान $m = \frac{M}{2}$ है।
प्रत्येक भाग $l$ लंबाई की एक छड़ के रूप में कार्य करता है जो अपने एक सिरे के परितः घूमती है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एकसमान छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक भाग के लिए,$m = \frac{M}{2}$ और $l = \frac{L}{2}$ है।
अतः,बिंदु $O$ के परितः एक भाग का जड़त्व आघूर्ण:
$I_1 = \frac{(\frac{M}{2})(\frac{L}{2})^2}{3} = \frac{(\frac{M}{2})(\frac{L^2}{4})}{3} = \frac{ML^2}{24}$.
चूंकि निकाय ऐसे दो भागों से बना है,इसलिए $O$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I$:
$I = I_1 + I_1 = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$.

(A) मान लीजिए कि दो छल्ले $Ring_1$ और $Ring_2$ हैं।
$Ring_1$ के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष उसकी केंद्रीय अक्ष है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = MR^2$ है।
$Ring_2$ के लिए,सामान्य केंद्र से गुजरने वाली और $Ring_1$ के लंबवत अक्ष $Ring_2$ के तल में स्थित है। यह अक्ष $Ring_2$ का व्यास है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{MR^2}{2}$ है।
इस अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = MR^2 + \frac{MR^2}{2} = \frac{3 MR^2}{2}$ होगा।

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I = Mk^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय के लिए उसके तल के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः,समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर: $I_{\text{ring}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$।
अतः,$Mk_{\text{ring}}^2 = 2MR^2 \implies k_{\text{ring}} = \sqrt{2}R$।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए उसके तल के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः,समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर: $I_{\text{disc}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।
अतः,$Mk_{\text{disc}}^2 = \frac{3}{2}MR^2 \implies k_{\text{disc}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$।
घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{k_{\text{ring}}}{k_{\text{disc}}} = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3/2}R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
जब छड़ को $4$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $M' = \frac{M}{4}$ और लंबाई $L' = \frac{L}{4}$ हो जाती है।
प्रत्येक छोटे भाग का उसके अपने केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{M'(L')^2}{12}$ होगा।
$M'$ और $L'$ के मान रखने पर: $I' = \frac{(\frac{M}{4}) \cdot (\frac{L}{4})^2}{12} = \frac{M \cdot \frac{L^2}{16}}{4 \cdot 12} = \frac{ML^2}{12 \cdot 64}$.
चूंकि $I = \frac{ML^2}{12}$,इसलिए $I' = \frac{I}{64}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं। मान लीजिए कि अक्ष शीर्ष $A$ से गुजरती है और भुजा $BC$ के समानांतर है।
शीर्ष $A$ पर स्थित द्रव्यमान अक्ष पर ही स्थित है,इसलिए अक्ष से इसकी लंबवत दूरी $0$ है। जड़त्व आघूर्ण में इसका योगदान $m(0)^2 = 0$ है।
शीर्ष $B$ और $C$ पर स्थित द्रव्यमान अक्ष से $h$ लंबवत दूरी पर हैं,जहाँ $h$ समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
ऊँचाई $h$ का मान $h = \ell \sin 60^{\circ} = \ell \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ व्यक्तिगत द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्ण का योग है:
$I = m(0)^2 + m(h)^2 + m(h)^2 = 2mh^2$.
$h$ का मान रखने पर:
$I = 2m \left( \ell \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 2m \left( \frac{3}{4} \ell^2 \right) = \frac{3}{2} m \ell^2$.

(B) माना तार का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m$ है।
लूप $A$ का द्रव्यमान $M_A = (2 \pi R)m$ है।
लूप $B$ का द्रव्यमान $M_B = (2 \pi NR)m$ है।
अतः,द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{M_B}{M_A} = \frac{2 \pi NRm}{2 \pi Rm} = N$ है।
वृत्ताकार लूप का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
इसलिए,$I_A = M_A R^2$ और $I_B = M_B (NR)^2 = M_B N^2 R^2$ है।
$M_B = N M_A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_B = (N M_A) N^2 R^2 = N^3 M_A R^2 = N^3 I_A$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $I_B = 3 I_A$,इसलिए $N^3 = 3$ है।
अतः,$N = (3)^{1/3}$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली रिंग का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ होता है।
चूंकि दोनों रिंग एक ही तार से बनी हैं,इसलिए द्रव्यमान $m$ परिधि $(2 \pi r)$ के समानुपाती होता है,अतः $m \propto r$ है।
इसलिए,$m_A = k(2 \pi nR)$ और $m_B = k(2 \pi R)$,जहाँ $k$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
अतः,$\frac{m_A}{m_B} = \frac{nR}{R} = n$ है।
रिंग $A$ का जड़त्व आघूर्ण $I_A = m_A (nR)^2 = (n m_B) (n^2 R^2) = n^3 (m_B R^2)$ है।
चूंकि $I_B = m_B R^2$,इसलिए $I_A = n^3 I_B$ है।
दिया गया है कि $I_A = 64 I_B$,इसलिए $n^3 = 64$ है।
अतः,$n = \sqrt[3]{64} = 4$ है।

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B$ और $C$ हैं। मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष भुजा $BC$ के अनुदिश है।
$B$ और $C$ पर स्थित द्रव्यमान घूर्णन अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए अक्ष से उनकी लंबवत दूरी $0$ है। अतः,उनका जड़त्व आघूर्ण $I_{B} = m(0)^{2} = 0$ और $I_{C} = m(0)^{2} = 0$ है।
$A$ पर स्थित द्रव्यमान भुजा $BC$ से $h$ लंबवत दूरी पर है। $\ell$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में,ऊँचाई $h = \ell \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ell$ द्वारा दी जाती है।
अक्ष $BC$ के परितः $A$ पर स्थित द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I_{A} = m h^{2} = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \ell \right)^{2} = m \left( \frac{3}{4} \ell^{2} \right) = \frac{3}{4} m \ell^{2}$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{A} + I_{B} + I_{C} = \frac{3}{4} m \ell^{2} + 0 + 0 = \frac{3}{4} m \ell^{2}$ है।

(A) डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों डिस्क का द्रव्यमान $M$ समान है,इसलिए $I_1 = \frac{1}{2} M R_1^2$ और $I_2 = \frac{1}{2} M R_2^2$ होगा।
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ है।
चूंकि दोनों डिस्क एक ही पदार्थ से बनी हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ समान है। द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \rho = (\pi R^2 t) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों के लिए $M$ और $\rho$ समान होने के कारण,$\pi R_1^2 t_1 \rho = \pi R_2^2 t_2 \rho$,जो सरल होकर $R_1^2 t_1 = R_2^2 t_2$ हो जाता है।
इससे हमें $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{t_2}{t_1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को जड़त्व आघूर्ण के अनुपात में रखने पर,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{t_2}{t_1}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $I_1 t_1 = I_2 t_2$ प्राप्त होता है।

(B) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{2}{5} MR^{2}$ है।
ग्रह के अपने आकार का आधा होने के बाद,नई त्रिज्या $R' = \frac{R}{2}$ और नया द्रव्यमान $M' = \frac{M}{2}$ हो जाता है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I_{2}$ की गणना इस प्रकार है:
$I_{2} = \frac{2}{5} M' (R')^{2}$
$I_{2} = \frac{2}{5} \left(\frac{M}{2}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^{2}$
$I_{2} = \frac{2}{5} \times \frac{M}{2} \times \frac{R^{2}}{4}$
$I_{2} = \frac{2}{40} MR^{2} = \frac{MR^{2}}{20}$.

(D) माना कि तीन छड़ें $R_1$,$R_2$,और $R_3$ हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। हमें छड़ $R_1$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
$1$. छड़ $R_1$ के लिए: चूंकि घूर्णन अक्ष छड़ के अनुदिश है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I_1 = 0$ होगा।
$2$. छड़ $R_2$ के लिए: यह छड़ घूर्णन अक्ष $R_1$ के लंबवत है और इसके एक सिरे पर जुड़ी हुई है। एक सिरे से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{M L^2}{3}$ होता है।
$3$. छड़ $R_3$ के लिए: यह छड़ घूर्णन अक्ष $R_1$ के समानांतर $L$ दूरी पर है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_3 = I_{CM} + M d^2$। चूंकि अक्ष $R_3$ के द्रव्यमान केंद्र से गुजरती है (जो $R_1$ से $L$ दूरी पर है),इसलिए $I_{CM} = 0$ होगा। अतः,$I_3 = 0 + M L^2 = M L^2$।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + \frac{M L^2}{3} + M L^2 = \frac{4 M L^2}{3}$।

(D) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I = \frac{2}{5} m R^2$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $R$ गोले की त्रिज्या है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक त्रिज्या $R_1 = R$ है और अंतिम त्रिज्या $R_2 = 2R$ है। द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} m R^2$ है।
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{5} m (2R)^2 = \frac{2}{5} m (4R^2) = 4 \times (\frac{2}{5} m R^2) = 4 I_1$ होगा।
अतः,प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण और अंतिम जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1}{4 I_1} = \frac{1}{4}$ है।

(B) एक पतली एकसमान छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ जब वह अपने केंद्र से गुजरने वाली और अपनी लंबाई के लंबवत अक्ष पर घूमती है,तो $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
चूंकि $I = MK^2$,जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है,हमें $MK_1^2 = \frac{ML^2}{12}$ प्राप्त होता है,जिससे $K_1 = \frac{L}{\sqrt{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$ मिलता है।
दूसरे मामले में,घूर्णन अक्ष छड़ के एक सिरे से होकर गुजरती है और लंबाई के लंबवत है। इस स्थिति में जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$MK_2^2 = \frac{ML^2}{3}$ का उपयोग करने पर,हमें $K_2 = \frac{L}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
पहले मामले और दूसरे मामले में घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{L / (2\sqrt{3})}{L / \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ है।

(B) किसी पिंड का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_i$ अक्ष से $r_i$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान है।
दिए गए द्रव्यमान के लिए जड़त्व आघूर्ण को अधिकतम करने के लिए,द्रव्यमान को घूर्णन अक्ष से यथासंभव दूर वितरित किया जाना चाहिए।
चूंकि लोहा एल्युमीनियम की तुलना में अधिक सघन होता है,इसलिए अधिक सघन पदार्थ (लोहे) को परिधि पर (आंतरिक भाग के चारों ओर) रखने से जड़त्व आघूर्ण में काफी वृद्धि होती है।
अतः,आंतरिक भाग में एल्युमीनियम और उसके चारों ओर लोहा रखना जड़त्व आघूर्ण को अधिकतम करने का सबसे प्रभावी तरीका है।

(A) ठोस गोले (बड़ी बूंद) का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^{2}$ होता है।
जब बड़ी बूंद को $n = 8$ छोटी बूंदों में विभाजित किया जाता है,तो कुल आयतन स्थिर रहता है।
$n \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) = \frac{4}{3} \pi R^{3}$
$8 r^{3} = R^{3} \Rightarrow 2r = R \Rightarrow r = \frac{R}{2}$.
प्रत्येक छोटी बूंद का द्रव्यमान $m = \frac{M}{n} = \frac{M}{8}$ है।
प्रत्येक छोटी बूंद का जड़त्व आघूर्ण $i$ इस प्रकार है:
$i = \frac{2}{5} m r^{2}$
$i = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{8} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^{2}$
$i = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{2}{5} M R^{2} \right)$
$i = \frac{I}{32}$.

(C) एक दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित होता है।
यह निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. पिंड का द्रव्यमान।
$2$. घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण।
$3$. घूर्णन अक्ष की स्थिति और अभिविन्यास।
अतः,जड़त्व आघूर्ण पिंड का कोई आंतरिक गुण नहीं है,बल्कि यह चुने गए घूर्णन अक्ष पर निर्भर करता है।

(A) दिया गया है: प्लेट का द्रव्यमान,$M = 2 \, kg$.
$x$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{x} = 0.2 \, kg \cdot m^{2}$.
$y$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{y} = 0.3 \, kg \cdot m^{2}$.
लंबवत अक्ष प्रमेय (perpendicular axis theorem) के अनुसार,समतलीय वस्तु के लिए उसके समतल के लंबवत (मूल बिंदु $O$ से गुजरने वाली) अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{z}$ इस प्रकार है:
$I_{z} = I_{x} + I_{y}$
$I_{z} = 0.2 + 0.3 = 0.5 \, kg \cdot m^{2}$.
हम जानते हैं कि जड़त्व आघूर्ण और घूर्णन त्रिज्या $k$ के बीच संबंध है:
$I = M k^{2}$
मान रखने पर:
$0.5 = 2 \cdot k^{2}$
$k^{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m^{2}$
$k = \sqrt{0.25} = 0.5 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$k = 0.5 \times 100 \, cm = 50 \, cm$.
अतः,घूर्णन त्रिज्या $50 \, cm$ है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{z} = Mr^{2}$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$ होता है।
चूंकि वलय अपने व्यास के परितः सममित है,इसलिए $I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ होगा।
अतः,$Mr^{2} = 2I_{diameter}$।
$I_{diameter} = \frac{Mr^{2}}{2}$।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली वृत्ताकार वलय की उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = MR^2$ होता है। घूर्णन त्रिज्या $k_z$ को $I_z = Mk_z^2$ द्वारा दिया जाता है, इसलिए $k_z = R = 10 \sqrt{2} \,cm$ है।
वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ होता है। व्यास के परितः घूर्णन त्रिज्या $k_d$ को $I_d = Mk_d^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $Mk_d^2 = \frac{1}{2} MR^2$, जिसका अर्थ है कि $k_d = \frac{R}{\sqrt{2}}$।
$R = 10 \sqrt{2} \,cm$ का मान रखने पर, हमें $k_d = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \,cm$ प्राप्त होता है।

(B) यह निकाय $x$,$y$ और $z$ अक्षों पर रखी गई तीन छड़ों से बना है।
मान लीजिए $I_x$,$I_y$ और $I_z$ व्यक्तिगत छड़ों के $z$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
$1$. $z$-अक्ष के अनुदिश छड़ के लिए: छड़ घूर्णन अक्ष पर स्थित है,इसलिए $z$-अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = 0$ है।
$2$. $x$-अक्ष के अनुदिश छड़ के लिए: छड़ एक सिरे पर $z$-अक्ष के लंबवत है। $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ होता है।
$3$. $y$-अक्ष के अनुदिश छड़ के लिए: इसी प्रकार,छड़ एक सिरे पर $z$-अक्ष के लंबवत है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_3 = \frac{ML^2}{3}$ है।
$z$-अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$ होगा।

(A) '$M$' द्रव्यमान और '$L$' लंबाई की एक पतली एकसमान छड़ की उसके केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र है: $I = \frac{ML^2}{12}$।
घूर्णन त्रिज्या $(k)$ को $I = Mk^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$Mk^2 = \frac{ML^2}{12}$
दोनों पक्षों को '$M$' से विभाजित करने पर:
$k^2 = \frac{L^2}{12}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$k = \sqrt{\frac{L^2}{12}} = \frac{L}{\sqrt{12}}$
अतः,घूर्णन त्रिज्या $\frac{L}{\sqrt{12}}$ है।

(C) एक ठोस बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $M = 2.5 \ kg$
त्रिज्या $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 2.5 \times (0.1)^2$
$I = 1.25 \times 0.01$
$I = 0.0125 \ kg \ m^2$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{sphere} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cylinder} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
ठोस गोले के जड़त्व आघूर्ण और ठोस बेलन के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात:
$\frac{I_{sphere}}{I_{cylinder}} = \frac{\frac{2}{5}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{5}$.
अतः,अनुपात $4: 5$ है।

(B) डिस्क का व्यास $D = 0.5 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $R = 0.25 \ m$ है।
छड़ डिस्क के तल में एक स्पर्शरेखा के रूप में स्थित है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,डिस्क के तल में स्पर्शरेखा अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + MR^2$ होता है।
डिस्क के व्यास के परितः $I_{cm} = \frac{1}{4} MR^2$ होता है,इसलिए स्पर्शरेखा के परितः $I = \frac{1}{4} MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4} MR^2$ होगा।
घूर्णन त्रिज्या $K = \sqrt{\frac{I}{M}}$ है।
अतः,$K = \sqrt{\frac{5}{4} R^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} R$ प्राप्त होता है।
यदि $R = 0.5 \ m$ माना जाए,तो $K = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{5}}{4} \ m$ होगा।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली वृत्ताकार वलय के लिए,उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,उसके तल में स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{ring} = I_{diam} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ होगा। घूर्णन त्रिज्या $k_{ring}$ का मान $Mk_{ring}^2 = \frac{3}{2}MR^2$ से प्राप्त होता है,अतः $k_{ring} = R\sqrt{\frac{3}{2}}$.
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार चकती के लिए,उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{4}MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,उसके तल में स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{disc} = I_{diam} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ होगा। घूर्णन त्रिज्या $k_{disc}$ का मान $Mk_{disc}^2 = \frac{5}{4}MR^2$ से प्राप्त होता है,अतः $k_{disc} = R\sqrt{\frac{5}{4}}$.
घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{k_{ring}}{k_{disc}} = \frac{R\sqrt{3/2}}{R\sqrt{5/4}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{12}{10}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$ है।
$\sqrt{12}:\sqrt{K}$ के रूप में लाने के लिए,हम अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{10}}$। अतः,$K = 10$ है।