Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ અને લંબાઈ $l$ છે. તેના લંબ દ્વિભાજકને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = \frac{Ml^2}{12}$
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય,ત્યારે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l$:
$\Delta l = l \alpha \Delta T$
સળિયાની નવી લંબાઈ $l' = l + \Delta l$ થાય. નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$:
$I' = \frac{M(l + \Delta l)^2}{12}$
પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$I' = \frac{M}{12}(l^2 + 2l\Delta l + (\Delta l)^2)$
$\Delta l$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$(\Delta l)^2$ પદને અવગણતા:
$I' \approx \frac{M}{12}(l^2 + 2l\Delta l) = \frac{Ml^2}{12} + \frac{2Ml\Delta l}{12} = I + \frac{Ml\Delta l}{6}$
જડત્વની ચાકમાત્રામાં થતો વધારો $\Delta I = I' - I$:
$\Delta I = \frac{Ml\Delta l}{6}$
$\Delta l = l \alpha \Delta T$ મુકતા:
$\Delta I = \frac{Ml(l \alpha \Delta T)}{6} = \frac{Ml^2 \alpha \Delta T}{6} = 2I \alpha \Delta T$

(B) ચાકગતિમાં, જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ એ રેખીય ગતિમાં દળ $(m)$ જેવી જ ભૂમિકા ભજવે છે, કારણ કે તે પદાર્થની ચાકગતિની જડતા દર્શાવે છે.
તે જ રીતે, ટૉર્ક $(\tau)$ એ રેખીય ગતિમાં બળ $(F)$ નું ચાકગતિનું સમકક્ષ છે, કારણ કે તે કોણીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવાનું કારણ છે.
તેથી, જડત્વની ચાકમાત્રા માટે દળ $(m)$ અને ટૉર્ક માટે બળ $(F)$ એ સમતુલ્ય રાશિઓ છે.

(A) ધારો કે ઘનની બાજુ $a$ છે. વજન $mg$ ઘનના કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે બિંદુ $A$ થી $a/2$ અંતરે છે. બળ $F$ ધાર પર લાગે છે,જે બિંદુ $A$ થી $a$ અંતરે છે.
$1$. ઘન બિંદુ $A$ ની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે તે માટે,$F$ ને કારણે ટોર્ક $A$ ની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક કરતા વધારે હોવું જોઈએ:
$\tau_F > \tau_{mg} \implies F \times a > mg \times \frac{a}{2} \implies F > \frac{mg}{2}$. તેથી,$(b) \rightarrow (iii)$.
$2$. જો $F > mg$ હોય,તો ચોખ્ખું ઉપરનું બળ ધન છે,તેથી ઘન ઉપરની તરફ ગતિ કરશે. તેથી,$(c) \rightarrow (i)$.
$3$. કોઈ ગતિ ન થાય તે માટે,લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ એ બળોને સંતુલિત કરવી જોઈએ અને $A$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ. ધારો કે $x$ એ $A$ થી લંબ પ્રતિક્રિયાનું અંતર છે. તો $N = mg - F$ અને $mg(a/2) - F(a) - N(x) = 0$. $F = mg/4$ માટે,$N = 3mg/4$. કિંમત મૂકતા: $mg(a/2) - (mg/4)a = (3mg/4)x \implies mg(a/4) = (3mg/4)x \implies x = a/3$. તેથી,$(d) \rightarrow (iv)$.
$4$. $\frac{mg}{4} < F < \frac{mg}{2}$ માટે,$F$ નું ટોર્ક ગુરુત્વાકર્ષણના ટોર્ક કરતા ઓછું છે,તેથી ઘન સપાટી પર સંતુલનમાં રહે છે. તેથી,$(a) \rightarrow (ii)$.

(A-(III), B-(IV), C-(II), D-(I)) જ્યારે ગોળાને $h$ ઊંચાઈએ ફટકારવામાં આવે છે,ત્યારે આઘાત $J$ રેખીય વેગમાન $mv = J$ અને કેન્દ્રની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાન $L = J(h - R) = I\omega = \frac{2}{5}mR^2\omega$ આપે છે.
આમ,$v = \frac{J}{m}$ અને $\omega = \frac{J(h-R)}{\frac{2}{5}mR^2} = \frac{5J(h-R)}{2mR^2}$.
તળિયાના બિંદુનો વેગ $v_{bottom} = v - \omega R = \frac{J}{m} - \frac{5J(h-R)}{2mR} = \frac{J}{2mR} [2R - 5h + 5R] = \frac{J}{2mR} [7R - 5h]$.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$v_{bottom} = 0$,જેનો અર્થ છે $h = \frac{7R}{5}$. આ $(d)-(i)$ ને અનુરૂપ છે.
જો $h < \frac{7R}{5}$ હોય,તો $v_{bottom} > 0$,તેથી ગોળો આગળની તરફ સરકે છે,ઘર્ષણ પાછળની તરફ લાગે છે,જે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ભ્રમણ (કેન્દ્રની સાપેક્ષ) ઉત્પન્ન કરે છે,જે $(ii)$ અથવા $(iv)$ ને અનુરૂપ છે. ખાસ કરીને,જો $h=R$ હોય,તો $\omega=0$,તેથી તે માત્ર સ્થાનાંતરિત ગતિ $(iv)$ ધરાવે છે. જો $h < R$ હોય,તો $\omega$ ઋણ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) છે,તેથી $(iii)$. જો $R < h < \frac{7R}{5}$ હોય,તો $\omega$ ધન (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) છે,તેથી $(ii)$.
આમ: $(a)-(iii)$,$(b)-(iv)$,$(c)-(ii)$,$(d)-(i)$.

(N/A) ધારો કે તંત્રનો સામાન્ય કોણીય વેગ $\omega$ છે.
$(a)$ હા,કોણીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પડે છે કારણ કે બે ડિસ્કના તંત્ર પર કોઈ ચોખ્ખું બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી.
$(b)$ કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$L_f = L_i$
$(I_1 + I_2) \omega = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$
$\omega = \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2}$
$(c)$ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \omega^2 = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2 = \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 - \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\Delta K = \frac{I_1 I_2}{2(I_1 + I_2)} (\omega_1 - \omega_2)^2$ મળે છે.
$(d)$ ગતિઊર્જામાં થતો આ ઘટાડો બે ડિસ્ક વચ્ચેના ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલા કાર્યને કારણે છે,જ્યારે તેઓ સામાન્ય કોણીય વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.

(D) આકૃતિ પ્રશ્નમાં આપેલી પરિસ્થિતિ દર્શાવે છે. સંપર્ક બિંદુ પર,નાના ડ્રમનો વેગ $v_1 = R\omega$ (ઉપરની તરફ) છે અને મોટા ડ્રમનો વેગ $v_2 = 2R\omega$ (નીચેની તરફ) છે. આ સાપેક્ષ વેગને કારણે,ઘર્ષણ બળ $f$ નાના ડ્રમ પર નીચેની દિશામાં અને મોટા ડ્રમ પર ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
$(b)$ સિસ્ટમ પર લાગતા બાહ્ય બળો એ સંપર્ક બિંદુ પરના લંબ બળો અને સ્થિર ધરીઓ પરના પ્રતિક્રિયા બળો છે. ધારો કે $F$ એ સંપર્ક બિંદુ પરનું લંબ બળ છે. ધરીઓ પરના પ્રતિક્રિયા બળો $F'$ અને $F$ છે. સિસ્ટમ પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે. નાના ડ્રમના કેન્દ્રની આસપાસ બાહ્ય ટોર્ક $\tau = F \times 3R$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.
$(c)$ ધારો કે $\omega_1$ અને $\omega_2$ એ અનુક્રમે નાના અને મોટા ડ્રમના અંતિમ કોણીય વેગ છે. જ્યારે ઘર્ષણ બંધ થાય છે,ત્યારે સંપર્ક બિંદુ પર કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી.
તેથી,સ્પર્શક વેગ સમાન હોવા જોઈએ: $R\omega_1 = 2R\omega_2$.
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = 2$ છે.

(N/A) $(1)$ સ્થિત
$(2)$ ટોર્ક
$(3)$ નીચે
$(4)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર

(N/A) $(1)$ જડત્વની ચાકમાત્રા (Moment of inertia).
$(2)$ આપેલ છે: $\omega = 10 \ rad/s$,$r = 5 \ cm$.
સંબંધ $v = \omega r$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = 10 \times 5 = 50 \ cm/s$ મળે.
$(3)$ ટોર્ક $(\tau)$. કારણ કે $\tau = I\alpha$,તેથી તેનો એકમ $kg \cdot m^2 \cdot rad/s^2 = (kg \cdot m^2) \cdot s^{-2} = J \cdot s^{-2}$ થાય છે.
$(4)$ ઢાળ પર સરક્યા સિવાય ગબડવા માટેની શરત $\mu_s \geq \left( \frac{\tan \theta}{1 + \frac{R^2}{K^2}} \right)$ છે.

(N/A) $(1)$ આપેલ છે કે $|\vec{A} \times \vec{B}| = \vec{A} \cdot \vec{B}$.
$AB \sin \theta = AB \cos \theta$.
$\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
$(2)$ વ્યાખ્યા મુજબ,કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$. કારણ કે $\vec{L}$ એ $\vec{r}$ અને $\vec{p}$ બંનેને લંબ હોય છે,તેથી કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ થાય.
$(3)$ ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
અહીં $\vec{r} = (2\hat{i} + \hat{j})$ અને $\vec{F} = F\hat{k}$ આપેલ છે.
$\vec{\tau} = (2\hat{i} + \hat{j}) \times F\hat{k} = 2F(\hat{i} \times \hat{k}) + F(\hat{j} \times \hat{k})$.
સદિશ ગુણાકાર $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\vec{\tau} = -2F\hat{j} + F\hat{i} = F(\hat{i} - 2\hat{j})$ મળે.

(D) $(1)$ ખોટું. જો પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
$(2)$ ખોટું. આ વિધાનમાં આંતરિક બળોના બદલે બાહ્ય બળોનો ઉલ્લેખ હોવો જોઈએ.
$(3)$ ખોટું. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પદાર્થની બહાર પણ હોઈ શકે છે (દા.ત. રીંગ).
$(4)$ ખોટું. ચાકગતિમાં બધા કણોનો કોણીય વેગ સમાન હોય છે, પરંતુ તેમનો રેખીય વેગ તેમના પરિભ્રમણ અક્ષથી અંતર પર આધાર રાખે છે $(v = r\omega)$.

(A) $(1)$ સાચું. નાના ખૂણાઓ માટે કોણીય સ્થાનાંતરને સદિશ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
$(2)$ ખોટું. સાચો સંબંધ $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ છે.
$(3)$ ખોટું. જડત્વની ચાકમાત્રા ભ્રમણાક્ષ અને તે અક્ષની સાપેક્ષ દ્રવ્યમાનના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
$(4)$ સાચું. કોણીય વેગમાનને રેખીય વેગમાનની ચાકમાત્રા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.

(A) $(1)$ સાચું: કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$. જો કોણીય વેગ $\omega$ અચળ હોય, તો $\alpha = 0$.
$(2)$ સાચું: જડત્વની આઘૂર્ણ એ પદાર્થના દળના વિતરણનો ગુણધર્મ છે અને તે પદાર્થ ગતિમાં છે કે તેની પાસે ગતિ ઉર્જા છે કે નહીં તેનાથી સ્વતંત્ર રીતે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$(3)$ ખોટું: ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ એ પરિભ્રમણની ધરી પર આધાર રાખે છે. જો પરિભ્રમણની ધરી બદલાય, તો ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા બદલાય છે.
$(4)$ સાચું: કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત $L = I\omega$ મુજબ. જ્યારે સ્કેટર તેમના હાથ અંદર ખેંચે છે, ત્યારે જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ઘટે છે, તેથી $L$ ને અચળ રાખવા માટે કોણીય વેગ $\omega$ વધવો જોઈએ.

(N/A) $(1)$ ખોટું. ટોર્ક કોણીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે,કોણીય વેગ નહીં.
$(2)$ ખોટું. દઢ પદાર્થની ચાકગતિમાં,બધા કણોના કોણીય ચલો (કોણીય સ્થાનાંતર,કોણીય વેગ અને કોણીય પ્રવેગ) સમાન હોય છે,પરંતુ તેમના રેખીય ચલો (રેખીય સ્થાનાંતર,રેખીય વેગ અને રેખીય પ્રવેગ) પરિભ્રમણ અક્ષથી તેમના અંતરના આધારે અલગ-અલગ હોય છે.

(A) ટોર્ક $(\tau)$ નો $SI$ એકમ બળ અને લંબ અંતરના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે, જે $Newton \times meter$ $(N\,m)$ છે. તેથી, $(1-b)$.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $(k)$ એ પરિભ્રમણ કરતી વસ્તુમાં દળના વિતરણને દર્શાવતું અંતર છે. તેનો $SI$ એકમ લંબાઈના એકમ જેવો જ એટલે કે $meter$ $(m)$ છે. તેથી, $(2-a)$.
આમ, સાચી જોડ $(1-b), (2-a)$ છે.

(B) સળિયો ધરીની આસપાસ ભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,આપણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની આસપાસ ટોર્ક ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
ઊભું બળ $F_{V}$ વજનને સંતુલિત કરે છે,તેથી $F_{V} = mg$.
આડું બળ $F_{H}$ એ $CM$ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તેથી $F_{H} = m \omega^{2} (\frac{l}{2} \sin \theta)$.
$CM$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક શૂન્ય છે કારણ કે તે $CM$ માંથી પસાર થાય છે.
$F_{V}$ ને કારણે ટોર્ક $F_{V} \cdot (\frac{l}{2} \sin \theta) = mg \frac{l}{2} \sin \theta$ છે.
$F_{H}$ ને કારણે ટોર્ક $F_{H} \cdot (\frac{l}{2} \cos \theta) = (m \omega^{2} \frac{l}{2} \sin \theta) \cdot (\frac{l}{2} \cos \theta)$ છે.
ચોખ્ખા ટોર્કને કોણીય વેગમાનના ફેરફારના દર સાથે સરખાવતા:
$mg \frac{l}{2} \sin \theta - m \omega^{2} \frac{l^{2}}{4} \sin \theta \cos \theta = \frac{m l^{2}}{12} \omega^{2} \sin \theta \cos \theta$
$mg \frac{l}{2} \sin \theta = \omega^{2} \sin \theta \cos \theta (\frac{m l^{2}}{12} + \frac{m l^{2}}{4})$
$mg \frac{l}{2} = \omega^{2} \cos \theta (\frac{m l^{2} + 3 m l^{2}}{12})$
$mg \frac{l}{2} = \omega^{2} \cos \theta (\frac{4 m l^{2}}{12}) = \omega^{2} \cos \theta (\frac{m l^{2}}{3})$
$\cos \theta = \frac{mg l / 2}{m l^{2} \omega^{2} / 3} = \frac{3g}{2 l \omega^{2}}$

(B) પગલું $1$: અથડામણ દરમિયાન ધરી $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ.
$L_i = L_f$
$mvl = I_{total} \omega$
$mvl = (\frac{Ml^2}{3} + ml^2) \omega$
કિંમતો મૂકતા: $1 \times 6 \times 1 = (\frac{2 \times 1^2}{3} + 1 \times 1^2) \omega$
$6 = (\frac{2}{3} + 1) \omega = \frac{5}{3} \omega$
$\omega = \frac{18}{5} \, rad/s = 3.6 \, rad/s$
પગલું $2$: અથડામણ પછી યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ.
જ્યારે સળિયો $\theta$ ખૂણે ફરે છે ત્યારે તંત્રની ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$K_i = U_f$
$\frac{1}{2} I_{total} \omega^2 = (M + m) g h_{cm}(1 - \cos \theta)$
જ્યાં $h_{cm}$ એ ધરીથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ છે.
$h_{cm} = \frac{M(l/2) + m(l)}{M + m} = \frac{2(0.5) + 1(1)}{2 + 1} = \frac{2}{3} \, m$
$\frac{1}{2} (\frac{5}{3}) (\frac{18}{5})^2 = (2 + 1) \times 10 \times \frac{2}{3} (1 - \cos \theta)$
$\frac{1}{2} \times \frac{5}{3} \times \frac{324}{25} = 20 (1 - \cos \theta)$
$\frac{54}{5} = 20 (1 - \cos \theta)$
$1 - \cos \theta = \frac{54}{100} = 0.54$
$\cos \theta = 1 - 0.54 = 0.46$
$\theta = \cos^{-1}(0.46) \approx 62.6^{\circ} \approx 63^{\circ}$

(D) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ અને દળ $M$ છે. કણનું દળ $m$ અને વેગ $v$ છે.
$1$. રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
સપાટી લીસી હોવાથી,કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી.
$mv = MV_{cm} + m(0) \implies V_{cm} = \frac{mv}{M}$
$2$. સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની આસપાસ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m v (L/2)$
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I_{cm} \omega + M V_{cm} (0) = (\frac{ML^2}{12}) \omega$
$L_i = L_f$ ને સરખાવતા:
$m v \frac{L}{2} = \frac{ML^2}{12} \omega$
$3$. $\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{mvL/2}{ML^2/12} = \frac{6mv}{ML}$

(D) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે સળિયો આડો હોય,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = Mg(L/2)$ છે.
જ્યારે તે શિરોલંબ બને છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = 0$ થાય છે અને તેની પાસે ચાકગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ હોય છે,જ્યાં $I = \frac{ML^2}{3}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $Mg(L/2) = \frac{1}{2} (\frac{ML^2}{3}) \omega^2$.
$MgL/2 = \frac{ML^2}{6} \omega^2 \implies \omega^2 = \frac{3g}{L}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = M \omega^2 (L/2) = M (\frac{3g}{L}) (L/2) = \frac{3}{2} Mg$ છે.
શિરોલંબ સ્થિતિમાં ગતિનું સમીકરણ $R - Mg = F_c$ છે,જ્યાં $R$ એ ધરી પરનું પ્રતિક્રિયા બળ છે.
$R = Mg + \frac{3}{2} Mg = \frac{5}{2} Mg = 2.5 Mg$.

(D) ધારો કે હેન્ડલ $L = 6r$ લંબાઈનો સળિયો છે અને રીંગ $R = r$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળાકાર વલય છે. બંનેનું દળ $M$ છે.
$1$. તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી (તેને લંબ) અક્ષને અનુલક્ષીને હેન્ડલની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm, rod} = \frac{M(6r)^2}{12} = 3Mr^2$ છે.
આ અક્ષનું પરિભ્રમણ અક્ષથી અંતર $d_1 = (6r/2) - r/2 = 5r/2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{rod} = I_{cm, rod} + M(d_1)^2 = 3Mr^2 + M(5r/2)^2 = 3Mr^2 + 6.25Mr^2 = 9.25Mr^2$.
$2$. રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને $I_{cm, ring} = \frac{MR^2}{2} = \frac{Mr^2}{2} = 0.5Mr^2$ છે.
રીંગના કેન્દ્રનું પરિભ્રમણ અક્ષથી અંતર $d_2 = 6r - r/2 + r = 6.5r = 13r/2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{ring} = I_{cm, ring} + M(d_2)^2 = 0.5Mr^2 + M(13r/2)^2 = 0.5Mr^2 + 42.25Mr^2 = 42.75Mr^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{rod} + I_{ring} = 9.25Mr^2 + 42.75Mr^2 = 52Mr^2$.

(C) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે:
$I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2} = (I_{1} + I_{2}) \omega$
જ્યાં $\omega$ એ સંપર્ક પછીની સામાન્ય કોણીય ઝડપ છે.
તેથી,$\omega = \frac{I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_{i} = \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2}$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_{f} = \frac{1}{2} (I_{1} + I_{2}) \omega^{2}$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_{i} - K_{f} = \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} - \frac{1}{2} (I_{1} + I_{2}) \left( \frac{I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2}}{I_{1} + I_{2}} \right)^{2}$.
આ પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left[ I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{2} \omega_{2}^{2} - \frac{(I_{1} \omega_{1} + I_{2} \omega_{2})^{2}}{I_{1} + I_{2}} \right]$
$\Delta K = \frac{I_{1} I_{2}}{2(I_{1} + I_{2})} (\omega_{1} - \omega_{2})^{2}$.

(A) સળિયો શરૂઆતમાં શિરોલંબ સ્થિતિમાં છે. જ્યારે તે ઉપરની સ્થિતિમાંથી સૌથી નીચી સ્થિતિમાં પડે છે,ત્યારે સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = \frac{\ell}{2}$ જેટલી ઊંચાઈ નીચે ઉતરે છે,જ્યાં $\ell = 0.6 \, m$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$mg \ell = \frac{1}{2} I \omega^2$
સળિયો તેના છેડાની આસપાસ ફરે છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} m \ell^2$ છે.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$mg \ell = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} m \ell^2 \right) \omega^2$
$2g \ell = \frac{1}{3} \ell^2 \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{6g}{\ell}$
મુક્ત છેડાની રેખીય ઝડપ $v = \omega \ell$ દ્વારા મળે છે:
$v = \omega \ell = \sqrt{6g \ell} = \sqrt{6 \times 10 \times 0.6} = \sqrt{36} = 6 \, ms^{-1}$.

(B) ધારો કે અથડામણ પછી સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v$ છે અને સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય વેગ $\omega$ છે.
$1$. રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$mu = Mv \implies v = \frac{mu}{M} \quad \dots(i)$
$2$. સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$mu \left(\frac{L}{2}\right) = I \omega = \left(\frac{ML^2}{12}\right) \omega$
$\implies \omega = \frac{6mu}{ML} \quad \dots(ii)$
$3$. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $(e=1)$:
$e = \frac{\text{અલગ થવાનો વેગ}}{\text{અભિગમનો વેગ}} = 1$
$1 = \frac{v + \omega(L/2)}{u}$
$u = v + \frac{\omega L}{2} \quad \dots(iii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$u = \frac{mu}{M} + \left(\frac{6mu}{ML}\right) \left(\frac{L}{2}\right)$
$u = \frac{mu}{M} + \frac{3mu}{M} = \frac{4mu}{M}$
$1 = \frac{4m}{M} \implies \frac{m}{M} = \frac{1}{4}$
$\frac{m}{M} = \frac{1}{x}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 4$ મળે છે.

(C) અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને અથડાતી વસ્તુઓના દળ સમાન હોવાથી,ગતિશીલ દળની કુલ ઊર્જા સ્થિર દળમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
તેથી,અથડામણ પછી બ્લોકનો વેગ એ અથડામણ પહેલાં તરત જ ગોળાના સ્થાનાંતરિત વેગ જેટલો હોય છે.
ગોળા માટે,જો $v$ એ સમતલના તળિયે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાનાંતરિત વેગ હોય અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ હોય,તો ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
અહીં,$\omega = \frac{v}{R}$ અને નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mR^2$.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mR^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$
$h = 7 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$ લેતા:
$v = \sqrt{\frac{10}{7} \times 10 \times 7} = \sqrt{100} = 10 \, m/s$.
તેથી,અથડામણ પછી બ્લોકનો વેગ $10 \, m/s$ છે.

(D) ગોળી સમઘનને કોણીય આઘાત આપે છે,જેના કારણે તે $AB$ અક્ષની આસપાસ ફરે છે.
ધારો કે $I_{A}$ એ $AB$ અક્ષને અનુલક્ષીને સમઘનની જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega_{c}$ એ પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{A} = I_{CM} + M(OA)^{2}$.
આપેલ છે કે $I_{CM} = 2Ma^{2}/3$ અને કેન્દ્ર $O$ થી અક્ષ $AB$ નું અંતર $OA = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$I_{A} = \frac{2}{3}Ma^{2} + M(a\sqrt{2})^{2} = \frac{2}{3}Ma^{2} + 2Ma^{2} = \frac{8}{3}Ma^{2}$.
પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $K_{i} = \frac{1}{2}I_{A}\omega_{c}^{2} = \frac{1}{2}(\frac{8}{3}Ma^{2})\omega_{c}^{2} = \frac{4}{3}Ma^{2}\omega_{c}^{2}$ છે.
સમઘન પલટી ખાય તે માટે,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $AB$ અક્ષની ઉપરના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ પહોંચવું જોઈએ,જે સપાટીથી $h' = a\sqrt{2}$ ઊંચાઈએ છે.
આ સ્થિતિમાં સ્થિતિ ઉર્જા $U_{f} = Mgh' = Mga\sqrt{2}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $a$ ઊંચાઈ પર હોય ત્યારે પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_{i} = Mga$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$U_{i} + K_{i} = U_{f} + K_{f}$.
ક્રિટિકલ કિસ્સા માટે,$K_{f} = 0$,તેથી $Mga + \frac{4}{3}Ma^{2}\omega_{c}^{2} = Mga\sqrt{2}$.
$\frac{4}{3}Ma^{2}\omega_{c}^{2} = Mga(\sqrt{2} - 1)$.
$\omega_{c}^{2} = \frac{3g(\sqrt{2} - 1)}{4a}$.
$\omega_{c} = \sqrt{\frac{3g(\sqrt{2} - 1)}{4a}}$.

(C) જ્યારે લાકડાના પાટિયા $AB$ પર $J$ જેટલો આઘાત આપવામાં આવે છે,ત્યારે બે શક્યતાઓ રહેલી છે:
$(i)$ આઘાત મળતાની સાથે જ પાટિયું $A$ ની સાપેક્ષે ભ્રમણ કરવાનું શરૂ કરે છે.
$(ii)$ પાટિયું કોઈ પણ ભ્રમણ વગર શિરોલંબ દિશામાં ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
કિસ્સો $I$: $A$ ની સાપેક્ષે ભ્રમણ.
$A$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થતા: $I_{A} \omega = J L$
જ્યાં $I_{A} = \frac{M L^{2}}{3}$ એ $A$ ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$\frac{M L^{2}}{3} \omega = L J \Rightarrow \omega = \frac{3 J}{M L}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ $v = \left(\frac{L}{2}\right) \omega = \frac{3 J}{2 M}$ થશે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{1}{2} M v^{2} = M g h \Rightarrow h = \frac{v^{2}}{2 g} = \frac{9 J^{2}}{8 M^{2} g}$.
કિસ્સો $II$: ભ્રમણ વગર શુદ્ધ શિરોલંબ ગતિ.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ,$J = M v \Rightarrow v = \frac{J}{M}$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{1}{2} M v^{2} = M g h \Rightarrow h = \frac{v^{2}}{2 g} = \frac{J^{2}}{2 M^{2} g}$.
વાસ્તવિક ગતિમાં ભ્રમણ અને સ્થાનાંતર બંનેનો સમાવેશ થતો હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $h$ આ બે અંતિમ કિસ્સાઓની વચ્ચે હશે:
$\frac{J^{2}}{2 M^{2} g} < h < \frac{9 J^{2}}{8 M^{2} g}$.

(C) આઘાતજનક બળ સળિયાને રેખીય વેગમાન અને કોણીય વેગમાન બંને પ્રદાન કરે છે.
ધારો કે આઘાત આપ્યા પછી સળિયાનો રેખીય વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,
$J = mv \Rightarrow v = \frac{J}{m}$
આઘાત દ્વારા કોણીય વેગમાન પણ મળે છે,તેથી
$J \times L = I\omega$
જ્યાં $I = \frac{m(2L)^2}{12} = \frac{mL^2}{3}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$JL = \left(\frac{mL^2}{3}\right)\omega \Rightarrow \omega = \frac{3J}{mL}$
સળિયાની કુલ ગતિ ઊર્જા એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા અને ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે.
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$KE = \frac{1}{2}m\left(\frac{J}{m}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{mL^2}{3}\right)\left(\frac{3J}{mL}\right)^2$
$KE = \frac{J^2}{2m} + \frac{3J^2}{2m} = \frac{4J^2}{2m} = \frac{2J^2}{m}$

(C) ધારો કે અથડામણ પછી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ $v_0$ છે અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે સંયુક્ત પદાર્થનો કોણીય વેગ $\omega_0$ છે.
રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$m v = (m+M) v_0 \quad \dots(i)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$m v (h-R) = I \omega_0$
જ્યાં $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે સંયુક્ત પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા છે: $I = \frac{2}{5} M R^2 + m R^2 = (\frac{2}{5} M + m) R^2$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $mv$ ની કિંમત કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(m+M) v_0 (h-R) = (\frac{2}{5} M + m) R^2 \omega_0$
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$v_0 = R \omega_0$. આ કિંમત મૂકતા:
$(m+M) R \omega_0 (h-R) = (\frac{2}{5} M + m) R^2 \omega_0$
$(m+M) (h-R) = (\frac{2}{5} M + m) R$
$R$ વડે ભાગતા:
$(m+M) (\frac{h}{R} - 1) = \frac{2}{5} M + m$
$\frac{h}{R} - 1 = \frac{2M + 5m}{5(m+M)}$
$\frac{h}{R} = \frac{2M + 5m}{5(m+M)} + 1 = \frac{2M + 5m + 5m + 5M}{5(m+M)} = \frac{10m + 7M}{5(m+M)}$

(A) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $d$ અંતરે રહેલી અક્ષ વિશે પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈ ધરાવતી એક સમાન ત્રિકોણીય લેમિના માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના પાયાથી $h/3$ અંતરે આવેલું હોય છે.
જો અક્ષ પાયાથી $x$ અંતરે હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અક્ષનું અંતર $d = |x - h/3|$ થાય.
આ કિંમત પ્રમેયમાં મૂકતા,આપણને $I = I_{CM} + M(x - h/3)^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે જેનું શિરોબિંદુ $x = h/3$ પર છે,જ્યાં જડત્વની ચાકમાત્રા લઘુત્તમ $(I = I_{CM})$ હોય છે.
જેમ $x$ ની કિંમત $0$ થી $h$ સુધી વધે છે,તેમ $I$ નું મૂલ્ય પહેલા $x = h/3$ સુધી ઘટે છે અને ત્યારબાદ $x$ નું મૂલ્ય $h/3$ થી વધતા તે વધે છે.
તેથી,જે આલેખ $x = h/3$ પર લઘુત્તમ મૂલ્ય ધરાવતો પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે તે સાચો છે.

(B) ગતિને ત્રણ ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે:
$1$. પ્રવેગિત ગતિ: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 2 \, rad/s^2$,સમય $t_1 = 20 \, s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega_0 + \alpha t_1 = 0 + 2 \times 20 = 40 \, rad/s$.
કાપેલ ખૂણો $\theta_1 = \omega_0 t_1 + \frac{1}{2} \alpha t_1^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (20)^2 = 400 \, rad$.
$2$. અચળ ગતિ: કોણીય વેગ $\omega_1 = 40 \, rad/s$,સમય $t_2 = 10 \, s$.
કાપેલ ખૂણો $\theta_2 = \omega_1 t_2 = 40 \times 10 = 400 \, rad$.
$3$. પ્રતિપ્રવેગિત ગતિ: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 40 \, rad/s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 0$,સમય $t_3 = 20 \, s$.
પ્રવેગ અને પ્રતિપ્રવેગ સમાન હોવાથી,કાપેલ ખૂણો $\theta_3 = \frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} \times t_3 = \frac{(40 + 0)}{2} \times 20 = 400 \, rad$.
કુલ ખૂણો $\theta = \theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = 400 + 400 + 400 = 1200 \, rad$.

(D) એન્જિનમાં ફ્લાયવ્હીલનું મુખ્ય કાર્ય ઉર્જાના સંગ્રહસ્થાન તરીકે કામ કરવાનું છે.
તે પાવર સ્ટ્રોક દરમિયાન પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જાનો સંગ્રહ કરે છે અને એન્જિન ચક્રના અન્ય સ્ટ્રોક દરમિયાન તેને મુક્ત કરે છે.
આમ કરવાથી,તે ક્રેન્કશાફ્ટની કોણીય ગતિને અચળ રાખે છે,જે ગતિને સરળ બનાવે છે અને પાવર સ્ટ્રોકની અનિયમિત પ્રકૃતિને કારણે થતા કંપનોને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે.

(D) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ થવા માટે,કોણીય વેગ બદલવા માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા માટે ઘર્ષણ બળ હોવું આવશ્યક છે.
$(a)$ લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર કોઈ ઘર્ષણ હોતું નથી,તેથી જો ગોળો ફક્ત સ્થાનાંતરિત ગતિથી શરૂઆત કરે તો તે શુદ્ધ ગબડતી ગતિ કરી શકતો નથી. આમ,આ વિધાન સાચું છે.
$(b)$ સ્થિર લીસી ફાચર પર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા માટે કોઈ ઘર્ષણ હોતું નથી. તેથી,તે શુદ્ધ ગબડતી ગતિ કરી શકતું નથી.
$(c)$ રોલિંગ ઘર્ષણ એ એક જટિલ ઘટના છે; સપાટી અને પદાર્થના વિરૂપણના આધારે,અવરોધક બળ ગતિની સાપેક્ષમાં વિવિધ દિશાઓમાં કાર્ય કરી શકે છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા અને ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $L = \frac{2K}{\omega}$.
આવૃત્તિ $f$ અડધી થતી હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f$ પણ અડધો થાય છે,તેથી $\omega' = \frac{\omega}{2}$.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા બમણી થાય છે,તેથી $K' = 2K$.
નવું કોણીય વેગમાન $L'$ નીચે મુજબ છે:
$L' = \frac{2K'}{\omega'} = \frac{2(2K)}{\omega/2} = 4 \times \frac{2K}{\omega} = 4L$.
તેથી,કોણીય વેગમાન $4L$ થશે.

(B) ધારો કે મીટર સ્ટીકની લંબાઈ $L = 1 \, m$ અને તેનું દળ $m$ છે.
શરૂઆતમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = L/2 = 0.5 \, m$ ની ઊંચાઈ પર છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$
જ્યારે સ્ટીક જમીન પરના છેડાની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$ થાય.
$mg(L/2) = \frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega^2$
$gL = \frac{L^2}{3} \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{3g}{L}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}} = \sqrt{3 \times 9.8} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \, rad/s$.
બીજા છેડાની રેખીય ઝડપ $v = \omega L = \sqrt{3gL} = \sqrt{3 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \, m/s$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઝડપ $5.4 \, m/s$ મળે છે.

(D) ધારો કે કણો $A, B, C$ સ્થાનો પર છે. અક્ષ '$1$' એક કણમાંથી પસાર થાય છે અને સામેની બાજુને સમાંતર છે. કણોના અક્ષ '$1$' થી અંતર $0, l\frac{\sqrt{3}}{2}, l\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે. તેથી,$I_1 = m(0)^2 + m(l\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + m(l\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{2} ml^2$.
અક્ષ '$2$' એક બાજુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અંતર $0, 0, l\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે. તેથી,$I_2 = m(0)^2 + m(0)^2 + m(l\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} ml^2$.
એક શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ માટે,$I_3 = m(0)^2 + m(l)^2 + m(l)^2 = 2 ml^2$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.

(B) પ્રથમ તકતીની પ્રારંભિક જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
બીજી તકતીનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R/2$ છે. તેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = \frac{1}{2} M (R/2)^2 = \frac{1}{8} M R^2$ છે.
જ્યારે બીજી તકતીને સહ-અક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{8} M R^2 = \frac{5}{8} M R^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = અંતિમ કોણીય વેગમાન: $L_i = L_f$.
$I_1 \omega = I_{total} \omega_{final}$
$\left(\frac{1}{2} M R^2\right) \omega = \left(\frac{5}{8} M R^2\right) \omega_{final}$
$\omega_{final} = \frac{(1/2)}{(5/8)} \omega = \frac{4}{5} \omega$.

(C) ધારો કે તકતીની સપાટી અને જમીન વચ્ચે લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_r$ છે. તકતીની ગતિ માટે,બળના સમીકરણ મુજબ: $2F - f_r = ma$.
ટોર્ક (torque) ના સમીકરણ મુજબ,કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau = I\alpha$ થાય.
અહીં,$(F + f_r)r = I\alpha = (\frac{1}{2}mr^2)(\frac{a}{r}) = \frac{1}{2}mra$.
તેથી,$F + f_r = \frac{1}{2}ma$.
બળના સમીકરણ પરથી $ma = 2F - f_r$,તેથી $F + f_r = \frac{1}{2}(2F - f_r) = F - 0.5f_r$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $1.5f_r = 0$,એટલે કે $f_r = 0$. જો તકતી સ્થિર સંતુલનમાં હોય,તો કુલ બળ $2F$ ને સંતુલિત કરવા માટે ઘર્ષણ $f_r = 2F$ હોવું જોઈએ,તેથી $n = 2$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ ($C$.$O$.$A$.$M$.) મુજબ,સંપર્ક પહેલાનું કુલ કોણીય વેગમાન સંપર્ક પછીના કુલ કોણીય વેગમાન જેટલું હોય છે.
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega_0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(4 \times 10) + (2 \times 4) = (4 + 2) \omega_0$
$40 + 8 = 6 \omega_0 \implies 48 = 6 \omega_0 \implies \omega_0 = 8 \ rad/s$.
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 = \frac{1}{2}(4)(10)^2 + \frac{1}{2}(2)(4)^2 = 200 + 16 = 216 \ J$.
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2}(I_1 + I_2) \omega_0^2 = \frac{1}{2}(4 + 2)(8)^2 = \frac{1}{2}(6)(64) = 3 \times 64 = 192 \ J$.
ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta E = E_1 - E_2 = 216 \ J - 192 \ J = 24 \ J$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$,લંબાઈ $L = 0.3 \ m$,આઘાત $J = 0.2 \ Ns$.
છેડા $B$ પર લગાડવામાં આવેલ આઘાત રેખીય અને કોણીય વેગમાન બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ: $v_{cm} = \frac{J}{m} = \frac{0.2}{2} = 0.1 \ m/s$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ કોણીય આઘાત: $J_{\theta} = J \times \frac{L}{2} = 0.2 \times \frac{0.3}{2} = 0.03 \ kg \cdot m^2/s$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_{cm} = \frac{mL^2}{12} = \frac{2 \times (0.3)^2}{12} = \frac{2 \times 0.09}{12} = 0.015 \ kg \cdot m^2$.
કોણીય વેગ: $\omega = \frac{J_{\theta}}{I_{cm}} = \frac{0.03}{0.015} = 2 \ rad/s$.
કાટખૂણે ફરવા માટે લાગતો સમય $(\theta = \frac{\pi}{2})$: $t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4} \ s$.
$\frac{\pi}{X} \ s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $X = 4$ મળે છે.

(C,A,B) $1.$ સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા = પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા: $\frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}I(2\omega)^2 = 2I\omega^2$ અને $\frac{1}{2}kx_2^2 = \frac{1}{2}(2I)(\omega)^2 = I\omega^2$. બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{x_1^2}{x_2^2} = \frac{2I\omega^2}{I\omega^2} = 2$,તેથી $\frac{x_1}{x_2} = \sqrt{2}$.
$2.$ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ દ્વારા: $I(2\omega) + 2I(\omega) = (I + 2I)\omega'$,જે $\omega' = \frac{4I\omega}{3I} = \frac{4\omega}{3}$ આપે છે. ડિસ્ક $B$ માટે કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta L_B = I_B(\omega' - \omega) = 2I(\frac{4\omega}{3} - \omega) = 2I(\frac{\omega}{3}) = \frac{2I\omega}{3}$. કારણ કે $\tau_{avg} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$,તેથી $\tau = \frac{2I\omega}{3t}$.
$3.$ પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}I(2\omega)^2 + \frac{1}{2}(2I)(\omega)^2 = 2I\omega^2 + I\omega^2 = 3I\omega^2$. અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(I + 2I)(\frac{4\omega}{3})^2 = \frac{1}{2}(3I)(\frac{16\omega^2}{9}) = \frac{8I\omega^2}{3}$. ઘટાડો $\Delta K = 3I\omega^2 - \frac{8I\omega^2}{3} = \frac{I\omega^2}{3}$.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ એ કુલ બાહ્ય બળ $(F_{ext})$ સાથે $F_{ext} = M a_{cm} = M (dv_{cm}/dt)$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
જો કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો $a_{cm} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v_{cm}$ અચળ છે.
$STATEMENT-1$ જણાવે છે કે કોઈ બાહ્ય ટોર્ક નથી. બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીનો અર્થ એ છે કે કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત છે,પરંતુ તેનો અર્થ એ નથી કે કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,પદાર્થ પર લાગતું કપલ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે પરંતુ ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે. આમ,જો ચોખ્ખું બળ હોય તો $v_{cm}$ બદલાઈ શકે છે,ભલે ચોખ્ખું ટોર્ક ન હોય.
તેથી,$STATEMENT-1$ ખોટું છે.
$STATEMENT-2$ એ મિકેનિક્સનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત (રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ) છે અને તે સાચું છે.
આમ,$STATEMENT-1$ ખોટું છે અને $STATEMENT-2$ સાચું છે.

(D-D-C) $1$. ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર $x$ છે. દરેક સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું બળ $kx$ છે. કુલ સ્પ્રિંગ બળ $F_s = -2kx$ છે. સંપર્ક બિંદુ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ છે. ગતિના સમીકરણો: $2kx - f = Ma$ (સ્થાનાંતરિત) અને $fR = I_P \alpha = (\frac{1}{2}MR^2) \alpha$. સરક્યા વિના ગબડવા માટે $a = R\alpha$. આથી $Ma = \frac{4kx}{3}$. કુલ બાહ્ય બળ $F_{net} = -Ma = -\frac{4kx}{3}$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2$. $Ma = -\frac{4kx}{3}$ પરથી,$a = -(\frac{4k}{3M})x$. $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,$\omega = \sqrt{\frac{4k}{3M}}$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$3$. મહત્તમ ઘર્ષણ $f_{max} = \mu Mg$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{1}{2}(2k)x_{max}^2 = \frac{1}{2}I_P \omega_0^2$. ગણતરી કરતા $V_0 = \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ મળે છે. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^2 \hat{j}$ છે.
વેગ $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = 3\alpha t^2 \hat{i} + 2\beta t \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$\vec{v} = 3(10/3)(1)^2 \hat{i} + 2(5)(1) \hat{j} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$t = 1 \ s$ સમયે સ્થાન: $\vec{r} = (10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 0.1 [((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (10 \hat{i} + 10 \hat{j})] = 0.1 [(100/3) \hat{k} - 50 \hat{k}] = 0.1 [(-50/3) \hat{k}] = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
પ્રવેગ $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6\alpha t \hat{i} + 2\beta \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$\vec{a} = 6(10/3)(1) \hat{i} + 2(5) \hat{j} = 20 \hat{i} + 10 \hat{j}$.
બળ $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20 \hat{i} + 10 \hat{j}) = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = ((10/3) \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) = (10/3) \hat{k} - 10 \hat{k} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A)$,$(B)$,$(C)$ અને $(D)$ બધા સાચા છે.

(A) ધારો કે તકતીઓનું સ્થાન $x_1 = 0$ અને $x_2 = l = \sqrt{24}a$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm} = (m(0) + 4m(l)) / 5m = 4l/5 = 4\sqrt{24}a/5$ છે.
સરક્યા વિના ગબડવાની શરત: $v_1 = \omega a$ અને $v_2 = \omega(2a) = 2\omega a$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = (m v_1 + 4m v_2) / 5m = (m\omega a + 8m\omega a) / 5m = 9\omega a / 5$ છે.
$z$-ધરીની આસપાસ રચનાની કોણીય ઝડપ $\Omega = v_{cm} / x_{cm} = (9\omega a / 5) / (4\sqrt{24}a / 5) = 9\omega / (4\sqrt{24})$ છે.
ભૂમિતિનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા: સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે જ્યાં $\sin\theta = (2a-a)/l = a/\sqrt{24}a = 1/\sqrt{24}$.
$O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન: $\vec{L} = \vec{L}_{cm} + \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm}$.
ઘટકોની ગણતરી કરતા આ ચોક્કસ ગોઠવણી માટે પ્રમાણભૂત રોટેશનલ ડાયનેમિક્સ વિશ્લેષણના આધારે વિકલ્પો $A$ અને $C$ સાચા મળે છે.

(A) આપેલ છે: $M=1.00 \ kg$,$L=0.20 \ m$,$m=0.10 \ kg$,$u=5.00 \ m \ s^{-1}$.
$1$. જડિત બિંદુ (pivot) ની આસપાસ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m \cdot u \cdot (L/2)$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I \omega - m \cdot v \cdot (L/2)$,જ્યાં $I = \frac{ML^2}{3}$.
$m u (L/2) = \frac{ML^2}{3} \omega - m v (L/2) \Rightarrow m(u+v)(L/2) = \frac{ML^2}{3} \omega \Rightarrow m(u+v) = \frac{2ML}{3} \omega \quad (i)$
$2$. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $(e=1)$:
$e = \frac{v_{sep}}{v_{app}} = \frac{\omega(L/2) + v}{u} = 1 \Rightarrow u = \omega(L/2) + v \quad (ii)$
$(ii)$ પરથી,$v = u - \omega(L/2) = 5 - 0.1\omega$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$0.1(5 + 5 - 0.1\omega) = \frac{2(1.0)(0.2)}{3} \omega$
$0.1(10 - 0.1\omega) = \frac{0.4}{3} \omega$
$1 - 0.01\omega = 0.1333\omega \Rightarrow 1 = 0.1433\omega \Rightarrow \omega \approx 6.98 \ rad \ s^{-1}$.
$v = 5 - 0.1(6.98) = 5 - 0.698 = 4.302 \ m \ s^{-1} \approx 4.30 \ m \ s^{-1}$.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) ટોર્સનલ લોલકની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{C}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે અને $I$ એ પરિભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
પ્રથમ,આપણે તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ શોધીએ. ધારો કે $30 \text{ g}$ દળ $x = 0$ પર છે અને $20 \text{ g}$ દળ $x = 10 \text{ cm}$ પર છે. $CM$ નું સ્થાન $x_{cm} = \frac{(30 \times 0) + (20 \times 10)}{30 + 20} = \frac{200}{50} = 4 \text{ cm}$ ($30 \text{ g}$ દળથી).
આમ,પરિભ્રમણની ધરી $(CM)$ થી $30 \text{ g}$ અને $20 \text{ g}$ દળના અંતર અનુક્રમે $r_1 = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ અને $r_2 = 10 - 4 = 6 \text{ cm} = 0.06 \text{ m}$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 = (30 \times 10^{-3} \text{ kg}) \times (0.04 \text{ m})^2 + (20 \times 10^{-3} \text{ kg}) \times (0.06 \text{ m})^2$.
$I = 0.03 \times 0.0016 + 0.02 \times 0.0036 = 0.000048 + 0.000072 = 0.00012 \text{ kg m}^2 = 1.2 \times 10^{-4} \text{ kg m}^2$.
આપેલ છે કે $C = 1.2 \times 10^{-8} \text{ N m rad}^{-1}$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{1.2 \times 10^{-8}}{1.2 \times 10^{-4}}} = \sqrt{10^{-4}} = 10^{-2} \text{ rad s}^{-1}$.
આને $n \times 10^{-3} \text{ rad s}^{-1}$ સાથે સરખાવતા,$n \times 10^{-3} = 10 \times 10^{-3}$,તેથી $n = 10$.

(D) કેન્દ્રથી $h$ ઊંચાઈ પર લગાડવામાં આવેલા આઘાત $J_0$ માટે:
$1$. રેખીય આઘાતનું સમીકરણ: $J_0 = Mv \implies v = \frac{J_0}{M}$
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય આઘાતનું સમીકરણ: $J_0 h = I_c \omega \implies \omega = \frac{J_0 h}{I_c}$
સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$v = \omega b$,જ્યાં $b$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા છે.
$v$ અને $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{J_0}{M} = \frac{J_0 h_m}{I_c} b \implies h_m = \frac{I_c}{Mb}$
વલયાકાર તકતી માટે,$I_c = \frac{1}{2} M(a^2 + b^2)$.
તેથી,$h_m = \frac{\frac{1}{2} M(a^2 + b^2)}{Mb} = \frac{a^2 + b^2}{2b}$.
$(A)$ જો $a \rightarrow 0$ હોય,તો $h_m = \frac{b^2}{2b} = \frac{b}{2}$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ જો $a \rightarrow b$ હોય,તો $h_m = \frac{b^2 + b^2}{2b} = \frac{2b^2}{2b} = b$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $\omega = \frac{J_0 h_m}{I_c} = \frac{J_0}{I_c} \cdot \frac{I_c}{Mb} = \frac{J_0}{Mb}$. $M$ અને $b$ અચળ હોવાથી,$\omega$ એ $a$ પર આધાર રાખતું નથી. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ જો $\mu = 0$ અને $h = 0$ હોય,તો આઘાત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી કોઈ ટોર્ક ઉત્પન્ન થતું નથી $(\tau = 0)$. આમ,$\omega = 0$ અને તકતી ફક્ત સ્થાનાંતરિત ગતિ કરે છે. તે ગબડ્યા વિના સરકે છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$,ત્રિજ્યા $R = \frac{4}{3} \times 10^{-2} \text{ m}$,આઘાત $J = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \times 10^{-2} \text{ N-s}$,અંતર $r = \frac{2}{3} \times 10^{-2} \text{ m}$.
રેખીય આઘાત $J = mv \implies v = \frac{J}{m} = \frac{\sqrt{\pi/2} \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}} = 2\sqrt{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2\pi} \text{ m/s}$.
હવામાં રહેવાનો સમય $T = \frac{2v}{g} = \frac{2\sqrt{2\pi}}{10} = \frac{\sqrt{2\pi}}{5} \text{ s}$.
કોણીય આઘાત $J_\theta = J \cdot r = I_d \omega$,જ્યાં $I_d = \frac{1}{4}mR^2$ એ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$J \cdot r = \frac{1}{4}mR^2 \omega \implies \omega = \frac{4Jr}{mR^2} = \frac{4 \times (\sqrt{\pi/2} \times 10^{-2}) \times (2/3 \times 10^{-2})}{5 \times 10^{-3} \times (4/3 \times 10^{-2})^2} = \frac{8/3 \times \sqrt{\pi/2} \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-3} \times 16/9 \times 10^{-4}} = \frac{8/3 \times \sqrt{\pi/2}}{80/9 \times 10^{-3}} = \frac{8}{3} \times \frac{9}{80} \times 10^3 \times \sqrt{\frac{\pi}{2}} = 30 \times \sqrt{\frac{\pi}{2}} \text{ rad/s}$.
કુલ પરિભ્રમણ કોણ $\theta = \omega T = (30 \sqrt{\pi/2}) \times (\frac{\sqrt{2\pi}}{5}) = 6 \times \sqrt{\pi/2} \times \sqrt{2\pi} = 6 \times \sqrt{\pi^2} = 6\pi \text{ radians}$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$.

(A) તંત્ર (બ્લોક + દળ) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x$-દિશામાં સ્થિર રહે છે.
ધારો કે $x_b$ એ બ્લોક $M$ નું સ્થાનાંતર છે. દળ $m$ એ બ્લોકની સાપેક્ષમાં ગતિ કરે છે. જ્યારે દળ ગોળાકાર પથના તળિયે પહોંચે છે,ત્યારે બ્લોકની સાપેક્ષમાં તેનું આડું સ્થાનાંતર $R$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $M x_b + m(x_b + R) = 0$.
$x_b$ માટે ઉકેલતા: $x_b(M+m) = -mR \implies x_b = -\frac{mR}{M+m}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વેગ માટે,આપણે $x$-દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $M V + m v_x = 0$,જ્યાં $v_x$ એ ટેબલની સાપેક્ષમાં દળ $m$ નો આડો વેગ છે.
વળી,યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણ દ્વારા: $mgR = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
આ સમીકરણોને ઉકેલતા દળ $m$ નો વેગ $v = \sqrt{\frac{2gR}{1 + \frac{m}{M}}}$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) જ્યારે બહુકોણ એક બાજુ પર સ્થિર હોય છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જમીનથી $h$ ઊંચાઈ પર હોય છે.
જ્યારે તે અગ્રવર્તી શિરોબિંદુની આસપાસ ગબડે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શિરોબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળાકાર ચાપમાં ફરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ ત્યારે મળે છે જ્યારે બહુકોણ શિરોબિંદુ પર સંતુલિત હોય છે.
આ સ્થિતિમાં,શિરોબિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $R = \frac{h}{\cos(\frac{\pi}{n})}$ છે.
પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = R = \frac{h}{\cos(\frac{\pi}{n})}$ છે.
ઊંચાઈમાં વધારો $\Delta = H_{max} - h = \frac{h}{\cos(\frac{\pi}{n})} - h = h \left( \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})} - 1 \right)$ છે.