Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Gujarati

(B) પ્રારંભિક સ્થિતિ: પ્રથમ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય વેગ $\omega$ છે. બીજી તકતી સ્થિર છે $(I_2 = I, \omega_2 = 0)$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $L_i = L_f$.
$I \omega + I(0) = (I + I) \omega'$,જ્યાં $\omega'$ એ સામાન્ય કોણીય વેગ છે.
$I \omega = 2I \omega' \implies \omega' = \frac{\omega}{2}$.
પ્રારંભિક રોટેશનલ ગતિઊર્જા: $K_i = \frac{1}{2} I \omega^2$.
અંતિમ રોટેશનલ ગતિઊર્જા: $K_f = \frac{1}{2} (2I) (\omega')^2 = I (\frac{\omega}{2})^2 = \frac{I \omega^2}{4}$.
રોટેશનલ ગતિઊર્જામાં થતો વ્યય: $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.5 \ m$,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 10 \ kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 70 \ rev/min = 70 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{7\pi}{3} \ rad/s$,સમય $t = 5.0 \ s$,લંબબળ $N = 88 \ N$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 0 \ rad/s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 7\pi/3}{5} = -\frac{7\pi}{15} \ rad/s^2$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = I|\alpha| = 10 \times \frac{7\pi}{15} = \frac{14\pi}{3} \ N \cdot m$.
વળી,ટોર્ક $\tau = f_k \cdot r = \mu_k N \cdot r$.
બંનેને સરખાવતા: $\mu_k N r = \frac{14\pi}{3} \implies \mu_k (88)(0.5) = \frac{14\pi}{3}$.
$\mu_k (44) = \frac{14 \times 3.14159}{3} \approx 14.66$.
$\mu_k = \frac{14.66}{44} \approx 0.333$.
આમ,ગતિક ઘર્ષણાંક આશરે $0.33$ છે.

(A) ઘન ગોળાની ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m r^2$ અને કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi n$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$KE = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} m r^2) \times (2 \pi n)^2 = \frac{1}{5} m r^2 \times 4 \pi^2 n^2 = \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
આપેલ છે કે આ ઉર્જાના $50 \%$ ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $\Delta Q = \frac{1}{2} KE = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2) = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
સંબંધ $\Delta Q = m S \Delta t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta t$ એ તાપમાનમાં વધારો છે,આપણને $\Delta t = \frac{\Delta Q}{m S}$ મળે છે.
$\Delta Q$ ની કિંમત મૂકતા,$\Delta t = \frac{2/5 m r^2 \pi^2 n^2}{m S} = \frac{2 \pi^2 n^2 r^2}{5 S}$.

(B, C) ધારો કે સળિયો $OX$ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. છેડા $A$ નો વેગ $v_A = 3 \ m/s$ ($OX$ ની દિશામાં) અને છેડા $B$ નો વેગ $v_B = 4 \ m/s$ ($OY$ ની દિશામાં નીચે તરફ) છે.
સળિયાની લંબાઈ અચળ રહેવાની શરત મુજબ,સળિયાની દિશામાં વેગના ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ:
$v_A \cos \theta = v_B \sin \theta \implies 3 \cos \theta = 4 \sin \theta \implies \tan \theta = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v_A \sin \theta + v_B \cos \theta}{\ell} = \frac{3(3/5) + 4(4/5)}{1} = \frac{9/5 + 16/5}{1} = \frac{25}{5} = 5 \ rad/s$.
સળિયો એવી રીતે ફરે છે કે $A$ જમણી તરફ અને $B$ નીચે તરફ જાય છે,તેથી આ ભ્રમણ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{12} m \ell^2) \omega^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} \times 4 \times (1)^2 \times (5)^2 = \frac{25}{6} \ J$.
આમ,વિધાન $B$ અને $C$ સાચા છે.

(A) $\ell$ લંબાઈના સાદા લોલક માટે,સમક્ષિતિજની નીચે $\theta$ ખૂણે કોણીય વેગ $\omega_1$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી મળે છે: $mg(\ell \sin \theta) = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (\omega_1 \ell)^2$. તેથી,$\omega_1 = \sqrt{\frac{2g \sin \theta}{\ell}}$.
એક છેડેથી ધરી પર ફરતા $L$ લંબાઈના સમાન સળિયા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} m L^2$ છે. જ્યારે તે $\theta$ ખૂણે ફરે છે ત્યારે ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા $mg(\frac{L}{2} \sin \theta)$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $mg(\frac{L}{2} \sin \theta) = \frac{1}{2} I \omega_2^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m L^2) \omega_2^2$. સાદું રૂપ આપતા $\omega_2 = \sqrt{\frac{3g \sin \theta}{L}}$ મળે છે.
ગતિ સિંક્રનસ હોવાથી,$\omega_1 = \omega_2$,તેથી $\frac{2}{\ell} = \frac{3}{L}$.
આમ,$L = \frac{3}{2} \ell$.

(A) પદાર્થના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = L/2$ છે. છૂટા પડતી વખતે પદાર્થનો રેખીય વેગ $v = \omega R = \frac{\omega L}{2}$ છે.
પદાર્થ શિરોલંબ ઉપરની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2v}{g} = \frac{\omega L}{g}$ દ્વારા મળે છે.
પદાર્થ સળિયાના તે જ બિંદુએ પહોંચે તે માટે,સળિયાએ $T$ સમયમાં $n$ જેટલા પૂર્ણાંક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા જોઈએ. $n$ પરિભ્રમણ માટેનો સમય $T = n \cdot \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\omega L}{g} = n \frac{2\pi}{\omega} \implies n = \frac{\omega^{2} L}{2\pi g}$. આમ,$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $C$ માટે,હવામાં પદાર્થે કાપેલું અંતર $2h = 2 \cdot \frac{v^2}{2g} = \frac{v^2}{g} = \frac{(\omega L/2)^2}{g} = \frac{\omega^2 L^2}{4g}$ છે,જે $\omega^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A, C) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ અને દળ $m$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ થી $L/2$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = (L/2) \sin \theta$ જેટલું નીચે ઉતરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થયેલા વધારા બરાબર હોય છે:
$mg(L/2) \sin \theta = \frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I = mL^2/3$.
$mg(L/2) \sin \theta = \frac{1}{2} (mL^2/3) \omega^2 \Rightarrow \omega^2 \propto \sin \theta \Rightarrow \omega \propto \sqrt{\sin \theta}$.
છેડા $B$ ની ઝડપ $v = \omega L$ હોવાથી,$v \propto \sqrt{\sin \theta}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માટે,$A$ ની આસપાસ ટોર્ક $\tau = mg(L/2) \cos \theta$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $mg(L/2) \cos \theta = (mL^2/3) \alpha$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $\alpha \propto \cos \theta$. આમ,વિકલ્પ $C$ પણ સાચો છે.

(A) ધારો કે સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ છે. તેના કેન્દ્રની આસપાસ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = \frac{(20m)(12)^2}{12} = 240m \text{ cm}^2$ છે.
સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L_i = L_f$
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = (2m)(v)(2) + (m)(v)(4) = 4mv + 4mv = 8mv$.
સિસ્ટમની અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{rod} + I_{mass1} + I_{mass2} = 240m + (2m)(2)^2 + (m)(4)^2 = 240m + 8m + 16m = 264m \text{ cm}^2$.
$L_f = I_f \omega$ હોવાથી,આપણને $8mv = 264m \omega$ મળે છે.
તેથી,$\frac{v}{\omega} = \frac{264}{8} = 33$.

(B) ઘનતા $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.
નાના ભાગનું દળ $m_1 = \frac{M}{8}$. કારણ કે $\rho = \frac{m_1}{V_1} = \frac{m_1}{\frac{4}{3}\pi r^3}$,તેથી $\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{M/8}{\frac{4}{3}\pi r^3} \Rightarrow r^3 = \frac{R^3}{8} \Rightarrow r = \frac{R}{2}$.
$I_1$ (ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા) $= \frac{2}{5}m_1r^2 = \frac{2}{5}(\frac{M}{8})(\frac{R}{2})^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{8} \times \frac{R^2}{4} = \frac{M R^2}{80}$.
મોટા ભાગનું દળ $m_2 = M - \frac{M}{8} = \frac{7M}{8}$.
$I_2$ (તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા) $= \frac{m_2 R_D^2}{4}$,જ્યાં $R_D = 2R$.
$I_2 = \frac{(\frac{7M}{8})(2R)^2}{4} = \frac{(\frac{7M}{8})(4R^2)}{4} = \frac{7M R^2}{8}$.
ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \frac{7M R^2 / 8}{M R^2 / 80} = \frac{7}{8} \times 80 = 70$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પદાર્થ માટે,જેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = kMR^2$ છે,સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ (સંપર્ક બિંદુથી $2R$ અંતરે) લગાડવામાં આવતું સ્પર્શકીય બળ $F$ ટોર્ક $\tau = F(2R) - f(R) = I\alpha$ ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે અને $\alpha = a/R$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આમ,$2FR - fR = (kMR^2)(a/R) \Rightarrow 2F - f = kMa$.
રેખીય બળનું સમીકરણ $F + f = Ma$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(2F - f) + (F + f) = kMa + Ma \Rightarrow 3F = (k+1)Ma \Rightarrow a = \frac{3F}{(k+1)M}$.
નક્કર ગોળા $(A)$ માટે,$k = 2/5$ અને $M = 5m$: $a_A = \frac{3F}{(2/5 + 1)5m} = \frac{3F}{(7/5)5m} = \frac{3F}{7m}$.
ગોલીય કવચ $(B)$ માટે,$k = 2/3$ અને $M = m$: $a_B = \frac{3F}{(2/3 + 1)m} = \frac{3F}{(5/3)m} = \frac{9F}{5m}$.
ગુણોત્તર $a_A/a_B = (3F/7m) / (9F/5m) = (3/7) \times (5/9) = 15/63 = 5/21$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 10t^2\hat{i} + 5t^3\hat{j}$.
વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 20t\hat{i} + 15t^2\hat{j}$.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે,$\vec{v} = 20\hat{i} + 15\hat{j} \text{ m/s}$.
રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v} = 0.1(20\hat{i} + 15\hat{j}) = (2\hat{i} + 1.5\hat{j}) \text{ kg} \cdot \text{m/s}$. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 20\hat{i} + 30t\hat{j}$.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે,$\vec{a} = 20\hat{i} + 30\hat{j} \text{ m/s}^2$.
બળ $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20\hat{i} + 30\hat{j}) = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \text{ N}$. આમ,વિધાન $B$ સાચું છે.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે,$\vec{r} = 10(1)^2\hat{i} + 5(1)^3\hat{j} = 10\hat{i} + 5\hat{j}$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 1.5\hat{j}) = (15\hat{k} - 10\hat{k}) = 5\hat{k} \text{ J} \cdot \text{s}$. આમ,વિધાન $C$ ખોટું છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j}) = (30\hat{k} - 10\hat{k}) = 20\hat{k} \text{ N} \cdot \text{m}$. આમ,વિધાન $D$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $A, B$ અને $D$ સાચા છે.