Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Gujarati

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેના લંબ દ્વિભાજકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_1 = \frac{ML^2}{12} \quad ...(1)$
જ્યારે સળિયાને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈ $L$ એ $r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળનો પરિઘ બને છે,તેથી $L = \pi r$,જે આપણને $r = \frac{L}{\pi}$ આપે છે.
$M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_2 = Mr^2$
$r = \frac{L}{\pi}$ મૂકતા:
$I_2 = M \left(\frac{L}{\pi}\right)^2 = \frac{ML^2}{\pi^2} \quad ...(2)$
હવે,$I_1 : I_2$ નો ગુણોત્તર ગણતા:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{ML^2/12}{ML^2/\pi^2} = \frac{\pi^2}{12}$
કારણ કે $\pi^2 \approx 9.87$,તેથી $\frac{\pi^2}{12} \approx \frac{9.87}{12} < 1$.
તેથી,ગુણોત્તર $I_1 : I_2 < 1$ થશે.

(B) ધારો કે પદાર્થનું સાચું વજન $w$ છે અને ત્રાજવાની બે ભુજાઓની લંબાઈ $p$ અને $q$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે પદાર્થને ડાબા પલ્લામાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે જમણા પલ્લામાં $6$ g વજન દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
ટોર્ક (મોમેન્ટ) ના સિદ્ધાંત મુજબ,$w \times p = 6 \times q$
$\Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{6}{w} \quad ...(i)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે પદાર્થને જમણા પલ્લામાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ડાબા પલ્લામાં $24$ g વજન દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
ટોર્ક (મોમેન્ટ) ના સિદ્ધાંત મુજબ,$24 \times p = w \times q$
$\Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{w}{24} \quad ...(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{6}{w} = \frac{w}{24}$
$w^2 = 6 \times 24 = 144$
$w = \sqrt{144} = 12$ g.
આમ,પદાર્થનું સાચું વજન $12$ g છે.

(D) ગોળો સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના વજન $(mg)$ ની કાર્યરેખા અવરોધની ધારમાંથી પસાર થવી જોઈએ અથવા તેની પાછળ હોવી જોઈએ જેથી તે પલટી ન જાય.
ગોળાના કેન્દ્ર,ઢળતા સમતલ સાથેના સંપર્ક બિંદુ અને અવરોધની ધાર દ્વારા બનતા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો.
ગોળાના કેન્દ્રથી ધારની સમક્ષિતિજ સપાટી સુધીનું ઊભું અંતર $R \cos \theta$ છે.
ઢળતા સમતલથી ગોળાના કેન્દ્રની ઊંચાઈ $R$ છે.
તેથી,ઢળતા સમતલની સાપેક્ષમાં ધારની ઊભી ઊંચાઈ $h = R - R \cos \theta$ છે.
આમ,$h = R(1 - \cos \theta)$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી શિરોલંબ સ્થિતિમાં આવે છે,ત્યારે સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ માં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ માં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો $= mg \frac{l}{2}$.
ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો $= \frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I = \frac{ml^2}{3}$ એ મિજાગરાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
બંનેને સરખાવતા: $mg \frac{l}{2} = \frac{1}{2} (\frac{ml^2}{3}) \omega^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $mg l = \frac{ml^2}{3} \omega^2$,જેમાંથી $\omega^2 = \frac{3g}{l}$ મળે છે.
શિરોલંબ સ્થિતિમાં,મિજાગરા તરફ લાગતું ચોખ્ખું બળ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F - mg = m a_c = m (\frac{l}{2}) \omega^2$.
$\omega^2$ ની કિંમત મૂકતા: $F = mg + m (\frac{l}{2}) (\frac{3g}{l}) = mg + \frac{3mg}{2} = \frac{5mg}{2}$.

(B) ટોર્ક $\tau$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર $P = \tau \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
સળિયો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
અચળ ટોર્ક $\tau$ આપેલ હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ અચળ રહેશે,જ્યાં $\alpha = \frac{\tau}{I}$ ($I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે).
સમય $t$ પર કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + \left(\frac{\tau}{I}\right) t = \frac{\tau}{I} t$ દ્વારા મળે છે.
આ કિંમતને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = \tau \left(\frac{\tau}{I} t\right) = \frac{\tau^2}{I} t$.
અહીં $\tau$ અને $I$ અચળ હોવાથી,$P \propto t$ મળે છે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં આપેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) $1$. ગરગડીની કિનારી પર લાગતું અચળ બળ $F$ મિજાગરાની આસપાસ $\tau = F \cdot R$ જેટલું અચળ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યાં $R$ એ ગરગડીની ત્રિજ્યા છે.
$2$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના રોટેશનલ સ્વરૂપ મુજબ,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે. ટોર્ક $\tau$ અચળ હોવાથી,$\alpha$ પણ અચળ રહે છે.
$3$. સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરતાં,$t$ સમયે કોણીય વેગ $\omega = \alpha t$ દ્વારા મળે છે. જેમ $t$ વધે છે,તેમ $\omega$ રેખીય રીતે વધે છે.
$4$. સ્થાનાંતરિત દિશામાં સંતુલન જાળવવા માટે,મિજાગરાએ લાગુ પાડેલા બળ $F$ ને સંતુલિત કરવા માટે પ્રતિક્રિયા બળ $F_h$ લગાડવું પડે છે. ગરગડી સ્થાનાંતરિત ગતિ કરતી નથી,તેથી તેના પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,મિજાગરા પરનું બળ $F_h$ હંમેશા લાગુ પાડેલા બળ $F$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ. આમ,મિજાગરા પરનું બળ અચળ રહે છે.

(C) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $l$ અને તેનું દળ $m$ છે. જ્યારે સળિયાને આડી સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણ દ્વારા,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ શિરોલંબ સ્થિતિમાં પહોંચતી વખતે મેળવેલી ચાકગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$mg(l/2) = (1/2)I\omega^2$
એક છેડે મિજાગરાવાળા સળિયા માટે $I = ml^2/3$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$mgl/2 = (1/2)(ml^2/3)\omega^2$
$\omega^2 = 3g/l$
જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સ્થિતિમાં પહોંચે છે,ત્યારે નીચેનો અડધો ભાગ (દળ $m/2$) અલગ થઈ જાય છે. ઉપરનો અડધો ભાગ (દળ $m/2$) ઉપરના છેડે મિજાગરા પર રહે છે અને તે જ કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{3g/l}$ સાથે ફરવાનું ચાલુ રાખે છે.
હવે,ઉપરના અડધા ભાગ માટે કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા,જેમ તે શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે ઉપર તરફ જાય છે:
ગતિ ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0 - (1/2)I_{upper}\omega^2$ છે,જ્યાં $I_{upper} = (m/2)(l/2)^2/3 = ml^2/24$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_g = -(m/2)g(h_{cm,f} - h_{cm,i}) = -(m/2)g((l/4) - (l/4)\cos\theta) = -(mgl/8)(1 - \cos\theta)$ છે.
$W_g = \Delta K$ ને સરખાવતા:
$-(mgl/8)(1 - \cos\theta) = -(1/2)(ml^2/24)(3g/l)$
$(mgl/8)(1 - \cos\theta) = (mgl/16)$
$1 - \cos\theta = 1/2$
$\cos\theta = 1/2$
$\theta = 60^o$.

(C) સળિયો એક છેડાથી $l/4$ અંતરે પિવોટ કરેલ છે. પિવોટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ થી અંતર $d = |l/2 - l/4| = l/4$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,પિવોટની આસપાસ સળિયાની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$:
$I = I_{CM} + md^2 = \frac{ml^2}{12} + m\left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{16} = \frac{4ml^2 + 3ml^2}{48} = \frac{7ml^2}{48}$.
જ્યારે સળિયાને સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તે શિરોલંબ સ્થિતિમાં પહોંચે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = l/4$ જેટલું નીચે ઉતરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો:
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$
$mg\left(\frac{l}{4}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{7ml^2}{48}\right) \omega^2$
$\frac{mgl}{4} = \frac{7ml^2}{96} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{mgl}{4} \cdot \frac{96}{7ml^2} = \frac{24g}{7l}$
$\omega = \sqrt{\frac{24g}{7l}}$.

(D) જ્યારે દોરી ખેંચાય છે,ત્યારે ખૂબ જ ટૂંકા સમયગાળા $\Delta t$ માટે બ્લોક અને ડિસ્ક બંને પર આઘાતી તણાવ $T$ લાગે છે.
બ્લોક માટે,આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ: $-T \Delta t = m v - m v_0$,જ્યાં $v_0 = 5\, m/s$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $v$ એ અંતિમ વેગ છે.
ડિસ્ક માટે,મિજાગરા (હિંગ) ની આસપાસ કોણીય આઘાત-કોણીય વેગમાન પ્રમેય મુજબ: $(T \cdot r) \Delta t = I \omega$,જ્યાં $I = \frac{1}{2} m r^2$ એ ડિસ્કની જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
દોરી ખેંચાયેલી હોવાથી,ડિસ્કની ધાર પરનો સ્પર્શક વેગ બ્લોકના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $v = \omega r$,અથવા $\omega = v/r$.
ડિસ્કના સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T \Delta t = \frac{I \omega}{r} = \frac{(\frac{1}{2} m r^2) (v/r)}{r} = \frac{1}{2} m v$.
બ્લોકના સમીકરણમાં $T \Delta t$ ની કિંમત મૂકતા: $-(\frac{1}{2} m v) = m v - m v_0$.
પદોને ગોઠવતા: $m v_0 = m v + \frac{1}{2} m v = \frac{3}{2} m v$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \frac{2}{3} v_0 = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}\, m/s$.

(A) આ સિસ્ટમ ટેબલ અને માણસની બનેલી છે. ટેબલ એક લીસી સપાટી પર હોવાથી અને પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી, સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં, માણસ ટેબલની ધાર પર કેન્દ્રથી $R$ અંતરે છે. સિસ્ટમની પ્રારંભિક જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{initial} = I + MR^2$ છે.
જ્યારે માણસ કેન્દ્ર તરફ જાય છે, ત્યારે પરિભ્રમણની ધરીથી તેનું અંતર શૂન્ય થઈ જાય છે. સિસ્ટમની અંતિમ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{final} = I + M(0)^2 = I$ છે.
કારણ કે $I_{final} < I_{initial}$ છે અને કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ સંરક્ષિત રહે છે, તેથી $I_{initial}\omega_{initial} = I_{final}\omega_{final}$ થાય.
તેથી, $\omega_{final} = \frac{I_{initial}}{I_{final}} \omega_{initial}$.
કારણ કે $I_{initial} > I_{final}$ છે, તેથી $\omega_{final} > \omega_{initial}$ થાય.
આમ, ટેબલનો કોણીય વેગ ચોક્કસ વધશે.

(B) ભ્રમણ કરતા પદાર્થનું કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ એ $\vec{L} = I\vec{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સાથે $\theta = 20^o$ ના ખૂણે એક છેડામાંથી પસાર થતી ધરી પર ફરે છે,ત્યારે કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ એ ભ્રમણની ધરી પર હોતો નથી.
તે સળિયાને લંબ હોય છે. સળિયો શિરોલંબ સાથે $20^o$ નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી,તે ક્ષિતિજ સમાંતર સાથે $90^o - 20^o = 70^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ સળિયાને લંબ હોવાથી,તે ક્ષિતિજ સમાંતર સમતલ સાથે $20^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
જેમ સળિયો ફરે છે,તેમ કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ક્ષિતિજ સમાંતર સાથે $20^o$ ના ખૂણે નીચેની તરફ નિર્દેશ કરે છે.

(B) ફરતા સળિયાનો કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ એ પરિભ્રમણની ધરી સાથે સંરેખિત નથી. જેમ સળિયો ફરે છે,તેમ કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,જે એક શંકુ આકાર બનાવે છે.
જેহেতু કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ સમય સાથે બદલાય છે,તેથી સળિયા પર બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ લાગતું હોવું જોઈએ.
જેમ સળિયો શિરોલંબ ધરીની આસપાસ ફરે છે,તેમ કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર સમક્ષિતિજ સમતલમાં થાય છે.
તેથી,આ ગતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક સમક્ષિતિજ હોવો જોઈએ.

(C) કણ $(0, 8)$ થી શરૂ થાય છે અને $\vec{v} = 3\hat{i}\,m/s$ ના વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
$t = 5\,s$ સમય પછી,કણનું સ્થાન:
$x = x_0 + v_x t = 0 + 3 \times 5 = 15\,m$
$y = y_0 + v_y t = 8 + 0 \times 5 = 8\,m$
સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 15\hat{i} + 8\hat{j}$ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $r = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\,m$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v_{\perp}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{\perp}$ એ સ્થાન સદિશને લંબ વેગનો ઘટક છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{8}{17}$ છે.
$\vec{r}$ ને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin \theta = 3 \times \frac{8}{17} = \frac{24}{17}\,m/s$ છે.
તેથી,$\omega = \frac{v_{\perp}}{r} = \frac{24/17}{17} = \frac{24}{289}\,rad/s$.

(D) $1)$ આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેની બાજુની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\Rightarrow$ વિકર્ણોનો અનુરૂપ ગુણોત્તર $5:3:2$ છે.
ધારો કે વિકર્ણોની લંબાઈ અનુક્રમે $5y, 3y,$ અને $2y$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$2)$ હવે,$A_3$ નો $A_0$ ની સાપેક્ષ વેગ એ કુલ લંબાઈ $A_0 A_3$ ના બદલાવનો દર છે:
$V_{A_3} - V_{A_0} = \frac{d(A_0 A_3)}{dt}$
$A_0$ સ્થિર હોવાથી,$V_{A_0} = 0$. કુલ લંબાઈ $A_0 A_3 = 5y + 3y + 2y = 10y$ છે.
$V - 0 = \frac{d(10y)}{dt}$
$V = 10 \frac{dy}{dt} \dots (1)$
$3)$ તેવી જ રીતે,$A_3$ નો $A_2$ ની સાપેક્ષ વેગ એ લંબાઈ $A_2 A_3$ ના બદલાવનો દર છે:
$V_{A_3} - V_{A_2} = \frac{d(A_2 A_3)}{dt}$
$V - V_{A_2} = \frac{d(2y)}{dt}$
$V - V_{A_2} = 2 \frac{dy}{dt} \dots (2)$
$4)$ સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{dy}{dt} = \frac{V}{10}$ મળે છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$V - V_{A_2} = 2 \left( \frac{V}{10} \right)$
$V - V_{A_2} = 0.2V$
$V_{A_2} = V - 0.2V = 0.8V$.
આમ,$A_2$ નો વેગ $0.8V$ છે.

(C) સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના નીચેના છેડા (સપાટી પરનો પીવટ પોઈન્ટ) થી $r = L/2$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયો $\alpha$ કોણીય પ્રવેગ સાથે ફરે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = r \alpha = (L/2) \alpha$ થાય છે.
આ સ્પર્શક પ્રવેગ સળિયાને લંબ હોય છે. શિરોલંબ દિશામાં આ પ્રવેગનો ઘટક (જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગ $A$ ની દિશા છે) $A = a_t \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_t$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = (L/2) \alpha \sin \theta$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2A = (L\alpha) \sin \theta$ મળે છે.

(B) અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે શુદ્ધ ગબડતી ગતિ કરતી તકતી માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = R\omega$ છે.
કેન્દ્ર $C$ ની સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર રહેલા બિંદુ $P$ માટે,વેગ સદિશ $\vec{v}_P$ એ સ્થાનાંતરિત વેગ $\vec{v}_{cm}$ અને સ્પર્શક વેગ $\vec{v}_{rot} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ત્યાં $\vec{v}_{cm}$ સમક્ષિતિજ છે અને બિંદુ $P$ પર $\vec{v}_{rot}$ શિરોલંબ છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $v_P = \sqrt{v_{cm}^2 + (R\omega)^2} = \sqrt{2} v_{cm}$ થાય છે. વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે $45^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બિંદુ $P$ નો પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી છે,જે કેન્દ્ર $C$ તરફ નિર્દેશિત છે,જે સમક્ષિતિજ છે.
આમ,વેગ સદિશ (સમક્ષિતિજ સાથે $45^o$ પર) અને પ્રવેગ સદિશ (સમક્ષિતિજ) વચ્ચેનો ખૂણો $45^o$ છે.

(C) સરક્યા વિના ગબડતી રીંગ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $u$ છે અને કોણીય વેગ $\omega = u/R$ છે.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ $B$ નો વેગ $v_B = u + R\omega = u + u = 2u$ થાય છે.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ $B$ નો પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે,જે રીંગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે $a_c = R\omega^2 = R(u/R)^2 = u^2/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ બિંદુએ પથની વક્રતા ત્રિજ્યા $R'$ એ $R' = v^2 / a_n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ કણનો વેગ છે અને $a_n$ એ લંબ (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ છે.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ $B$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$R' = \frac{(2u)^2}{u^2/R} = \frac{4u^2}{u^2/R} = 4R$.

(C) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
જ્યારે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ પર વીંટળાયેલા દોરા પર $F$ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે જે સ્પૂલને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફેરવવાનું વલણ ધરાવે છે.
જેમ સ્પૂલ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે,તેમ જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુને ડાબી તરફ સરકવાની વૃત્તિ થાય છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,સ્થિત ઘર્ષણ $f$ જમણી તરફ લાગે છે.
જો કે,સંપર્ક બિંદુ $P$ ની આસપાસ ટોર્કનું વિશ્લેષણ કરીએ. $F$ બળને કારણે ટોર્ક $\tau_P = F(R-r)$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે. આ ટોર્ક શૂન્ય ન હોવાથી,સ્પૂલને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ મળશે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,સ્પૂલ $a_{cm} = \alpha R$ પ્રવેગ સાથે જમણી તરફ ગતિ કરવી જોઈએ.
બળોને ધ્યાનમાં લેતા: $F + f = m a_{cm}$ (જ્યાં $f$ એ જમણી તરફ લાગતું ઘર્ષણ છે).
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કને ધ્યાનમાં લેતા: $F r + f R = I \alpha$.
સ્પૂલ જમણી તરફ ગતિ કરે છે અને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે,તેથી દોરો વધુ વીંટળાય છે. આમ,સ્પૂલ જમણી તરફ ગતિ કરે છે અને ઘર્ષણ જમણી તરફ લાગે છે.

(B) સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે,કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ઊભો ઊંચાઈનો તફાવત $H$ છે.
બિંદુ $B$ પર,નળાકાર ખરબચડા ઢાળના તળિયે પહોંચે છે. નક્કર નળાકાર $(I = \frac{1}{2}mR^2)$ માટે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_T$ અને ચાકગતિઊર્જા $K_R$ વચ્ચેનો સંબંધ $K_T = 2K_R$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mgH = K_T + K_R = 2K_R + K_R = 3K_R$. તેથી,$K_R = \frac{1}{3}mgH$ અને $K_T = \frac{2}{3}mgH$.
$B$ થી $C$ સુધીની સપાટી લીસી હોવાથી,ટોર્ક લગાડવા માટે કોઈ ઘર્ષણ બળ હોતું નથી. તેથી,કોણીય વેગ $\omega$ અને ચાકગતિઊર્જા $K_R$ અચળ રહે છે.
$B$ થી $C$ સુધી ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. જો $B$ અને $C$ વચ્ચેનો ઊભો ઊંચાઈનો તફાવત પણ $H$ હોય,તો વધારાની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $mgH$ મળે છે.
$C$ પર કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_{T,C} = K_{T,B} + mgH = \frac{2}{3}mgH + mgH = \frac{5}{3}mgH$ થાય.
$C$ પર ચાકગતિઊર્જા $K_{R,C} = K_{R,B} = \frac{1}{3}mgH$ છે.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{K_{T,C}}{K_{R,C}} = \frac{\frac{5}{3}mgH}{\frac{1}{3}mgH} = 5$ મળે.

(D) ધારો કે ગોળા પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એ ઢળતા સમતલની ઉપરની તરફ છે.
$M$ દળના પાટિયા માટે,ઢળતા સમતલની દિશામાં ગતિનું સમીકરણ:
$M a_1 = M g \sin \theta + f$ --- $(1)$
જ્યાં $a_1$ એ પાટિયાનો ઢળતા સમતલની નીચેની તરફનો પ્રવેગ છે.
$m$ દળના ગોળા માટે,ધારો કે $a_2$ એ પાટિયાની સાપેક્ષમાં ગોળાનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ છે. ગોળાના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્કનું સમીકરણ:
$f \cdot r = I \alpha = (\frac{1}{2} m r^2) \alpha$
ગોળો પાટિયા પર સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$a_2 = \alpha r$,તેથી $f = \frac{1}{2} m a_2$,જે આપણને $a_2 = \frac{2f}{m}$ આપે છે.
પાટિયાની સાપેક્ષમાં ગોળા માટે ગતિનું સમીકરણ:
$m a_2 = m g \sin \theta - f - m a_1$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a_1 = g \sin \theta + \frac{f}{M}$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$m (\frac{2f}{m}) = m g \sin \theta - f - m (g \sin \theta + \frac{f}{M})$
$2f = m g \sin \theta - f - m g \sin \theta - \frac{m f}{M}$
$3f = - \frac{m f}{M}$
$f (3 + \frac{m}{M}) = 0$
અહીં $(3 + \frac{m}{M}) \neq 0$ હોવાથી,$f = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે પાટિયાનું દળ $M$ છે અને ગોળાનું દળ $m$ છે. પાટિયાનો પ્રવેગ $a_p$ અને ગોળાનો પ્રવેગ $a_s$ છે. ગોળો સરકતો ન હોવાથી,ગોળાના સંપર્ક બિંદુનો પાટિયાની સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ. ઘર્ષણ બળ $f$ ગોળા પર આગળની દિશામાં અને પાટિયા પર પાછળની દિશામાં લાગે છે. ગોળા માટે,$f = m a_s$ અને $\tau = f R = I \alpha = (\frac{2}{5} m R^2) \alpha$. સરકતા ન હોવાથી,$a_s = \alpha R$,તેથી $f = \frac{2}{5} m a_s$. આ સૂચવે છે કે $a_s = \frac{f}{m}$. પાટિયાનો પ્રવેગ $a_p = \frac{F - f}{M}$ છે. આવા તંત્ર માટે સામાન્ય રીતે $a_s < a_p$ સાચું હોય છે,તેથી વિધાન $A$ સાચું છે. ગોળા પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = \Delta K_{sphere} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2} m v_s^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$ છે. $v_s = \omega R$ હોવાથી,$W_f = \frac{1}{2} m v_s^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v_s}{R})^2 = \frac{1}{2} m v_s^2 + \frac{1}{5} m v_s^2 = \frac{7}{10} m v_s^2$,જે ગોળાની કુલ ગતિઊર્જા છે. આમ,વિધાન $B$ સાચું છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તંત્ર (પાટિયું + ગોળો) પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય તેની કુલ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે. માત્ર બાહ્ય બળ $F$ કાર્ય કરે છે. ઘર્ષણ એ આંતરિક બળ છે,તેથી તંત્ર પર તેનું કુલ કાર્ય શૂન્ય છે. આમ,$W_F = \Delta K_{total}$. વિધાન $C$ પણ સાચું છે. તેથી,ખોટું વિધાન 'ઉપરનામાંથી કોઈ નહીં' છે.

(A) તંત્ર સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વગર ગબડે છે. જમીન સાથેનો સંપર્ક બિંદુ એ ક્ષણિક પરિભ્રમણની ધરી $(IAR)$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,રીંગના કેન્દ્રનો વેગ $v_0 = R\omega$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
તંત્રની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} I_{IAR} \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{IAR}$ ની ગણતરી કરીએ.
રીંગનું દળ $m$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. કણોના દળ $m$,$2m$,અને $m$ છે જે કેન્દ્રની સાપેક્ષે અનુક્રમે $(0, R)$,$(-R, 0)$,અને $(R, 0)$ સ્થાન પર છે.
સંપર્ક બિંદુ $(0, -R)$ પર છે.
સંપર્ક બિંદુથી કણોના અંતરના વર્ગ:
$(0, R)$ પર $m$ દળના કણ માટે: $r_1^2 = 0^2 + (R - (-R))^2 = (2R)^2 = 4R^2$.
$(-R, 0)$ પર $2m$ દળના કણ માટે: $r_2^2 = (-R - 0)^2 + (0 - (-R))^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$.
$(R, 0)$ પર $m$ દળના કણ માટે: $r_3^2 = (R - 0)^2 + (0 - (-R))^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$.
$m$ દળની રીંગ માટે,$I_{ring, IAR} = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$.
કુલ $I_{IAR} = m(4R^2) + 2m(2R^2) + m(2R^2) + 2mR^2 = 4mR^2 + 4mR^2 + 2mR^2 + 2mR^2 = 12mR^2$.
$I_{IAR}$ અને $\omega = v_0/R$ ની કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} (12mR^2) (v_0/R)^2 = 6mR^2 (v_0^2/R^2) = 6mv_0^2$.

(C) ગોળો સ્થિર થાય તે માટે,ઘર્ષણને કારણે લાગતું ચોખ્ખું આઘાત (impulse) રેખીય અને કોણીય બંને ગતિને અટકાવવું જોઈએ.
ધારો કે ગોળાનું દળ $m$ છે અને તેના કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f$ રેખીય ગતિનો વિરોધ કરવા માટે પાછળની દિશામાં લાગે છે,અને ટોર્ક $\tau = fR$ કોણીય ગતિનો વિરોધ કરવા માટે લાગે છે.
ધારો કે ગોળાને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
રેખીય ગતિ માટે આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ: $f t = m v_0$.
કોણીય આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ: $\tau t = I \omega_0$,જે $(fR) t = (\frac{2}{5}mR^2) \omega_0$ આપે છે.
કોણીય સમીકરણમાં $ft = m v_0$ મૂકતા: $(m v_0) R = \frac{2}{5} m R^2 \omega_0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $v_0 = \frac{2}{5} \omega_0 R$ અથવા $5v_0 = 2\omega_0 R$ મળે છે.

(D) ધારો કે નીચેની સ્થિતિમાં,$v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની રેખીય ઝડપ છે અને $\omega$ એ તેના કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણની કોણીય ઝડપ છે.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$Mgl = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2$
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$ અને $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$Mgl = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{v}{R})^2$
$Mgl = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{5} M v^2 = \frac{7}{10} M v^2$
$v = \sqrt{\frac{10gl}{7}}$
$P$ બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન અને $P$ ની સાપેક્ષે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના કોણીય વેગમાનનો સરવાળો છે:
$L = I_{cm} \omega + Mvl$
$L = (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{v}{R}) + Mvl = \frac{2}{5} MRv + Mvl$
$L = Mv (l + \frac{2}{5}R)$
$v = \sqrt{\frac{10gl}{7}}$ મૂકતા:
$L = M \sqrt{\frac{10gl}{7}} [l + \frac{2}{5}R]$

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.M.)$ ની સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે:
$F + f = ma$ (જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે)
$C.M.$ ની આસપાસ ભ્રમણીય ગતિ માટે:
$R(F - f) = I\alpha$
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,શરત $a = R\alpha$ છે,જેનો અર્થ છે $\alpha = a/R$.
ભ્રમણીય ગતિના સમીકરણમાં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$R(F - f) = I(a/R) \implies F - f = \frac{I}{R^2} a$
સ્થાનાંતરિત ગતિના સમીકરણ પરથી,$a = \frac{F + f}{m}$. આ કિંમત મૂકતા:
$F - f = \frac{I}{R^2} \left( \frac{F + f}{m} \right)$
$mR^2(F - f) = I(F + f)$
$F(mR^2 - I) = f(mR^2 + I)$
$f = F \frac{mR^2 - I}{mR^2 + I}$
લીસી સપાટી પર બાહ્ય ઘર્ષણની જરૂર વગર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ થવા માટે,આપણે $f = 0$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ એ છે કે $mR^2 - I = 0$,અથવા $I = mR^2$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,પાતળી પાઈપ (અથવા રીંગ) ની જડત્વની ચાકમાત્રા તેના કેન્દ્રીય અક્ષની આસપાસ $I = mR^2$ હોય છે.

(A) જ્યારે ડિસ્કને ખરબચડી સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સરકવાની ક્રિયા થાય છે. સંપર્ક બિંદુ પર સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે,ગતિજ ઘર્ષણ $f$ એ વેગ $v_0$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
રેખીય ગતિ માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f}{m}$ આપે છે.
ભ્રમણીય ગતિ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ઘર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau = f \cdot r$ છે. ટોર્ક શરૂઆતના કોણીય વેગ $\omega_0$ નો વિરોધ કરે છે,તેથી તે કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{f \cdot r}{\frac{1}{2} m r^2} = \frac{2f}{mr}$ આપે છે.
જો ડિસ્ક $t$ સમય પછી સ્થિર થઈ જાય,તો રેખીય વેગ અને કોણીય વેગ બંને એકસાથે શૂન્ય થઈ જાય છે:
$v_0 - at = 0 \implies t = \frac{v_0}{a} = \frac{v_0 m}{f}$
$\omega_0 - \alpha t = 0 \implies t = \frac{\omega_0}{\alpha} = \frac{\omega_0 mr}{2f}$
સમય $t$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{v_0 m}{f} = \frac{\omega_0 mr}{2f}$
$\frac{v_0}{\omega_0 r} = \frac{1}{2}$

(A) ધારો કે નક્કર ગોળાનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
રેખીય ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F + f = Ma$,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ટોર્કનું સમીકરણ: $F(R/2) - fR = I\alpha = (\frac{2}{5}MR^2)\alpha$.
સંપર્ક બિંદુએ સરકવાની ક્રિયા થતી ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a = R\alpha$,તેથી $\alpha = a/R$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $F/2 - f = \frac{2}{5}Ma \implies f = F/2 - \frac{2}{5}Ma$.
રેખીય સમીકરણમાં $f$ ની કિંમત મૂકતા: $F + F/2 - \frac{2}{5}Ma = Ma \implies \frac{3F}{2} = \frac{7}{5}Ma \implies a = \frac{15F}{14M}$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = a/R = \frac{15F}{14MR}$ છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુનો પ્રવેગ $a_{top} = a + R\alpha = a + a = 2a$ થાય.
તેથી,$a_{top} = 2 \times \frac{15F}{14M} = \frac{15F}{7M}$.

(B) શુદ્ધ ગબડતી ગતિ (pure rolling) માટે,સંપર્ક બિંદુ $P$ સપાટીની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવું જોઈએ.
ધારો કે $a_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટેની શરત $a_{cm} = R\alpha$ છે.
રેખીય ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F - f = M a_{cm} \Rightarrow a_{cm} = \frac{F - f}{M}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $\tau = I\alpha \Rightarrow fR = I\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{fR}{I}$.
આ કિંમતોને ગબડતી ગતિની શરતમાં મૂકતા: $\frac{F - f}{M} = R \left( \frac{fR}{I} \right) = \frac{fR^2}{I}$.
$F - f = \frac{M R^2}{I} f \Rightarrow F = f \left( 1 + \frac{M R^2}{I} \right)$.
અહીં $F$ ધન હોવાથી,$f$ પણ ધન હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે $F$ ની દિશામાં (આગળની દિશામાં) લાગે છે.

(D) માત્ર સ્થાનાંતરિત ગતિને કારણે,સરકવાની વૃત્તિનો વિરોધ કરવા માટે ઘર્ષણ બળ $f^{\prime}$ પાછળની તરફ લાગવું જોઈએ.
માત્ર પરિભ્રમણીય ગતિને કારણે,બળ $F$ (જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ ની ઉપર લાગુ પડે છે) દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક પરિભ્રમણની વૃત્તિ પેદા કરે છે,જે સંપર્ક બિંદુ પર આગળની તરફ ઘર્ષણ બળ $f^{\prime \prime}$ બનાવે છે.
આમ,ચોખ્ખા ઘર્ષણ બળની દિશા $f^{\prime}$ અને $f^{\prime \prime}$ ના સાપેક્ષ મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ ની ઉપર બળ $F$ લાગુ પાડવાના બિંદુની ચોક્કસ ઊંચાઈ નિર્દિષ્ટ ન હોવાથી,આ વિરોધી ઘર્ષણ ઘટકોના સાપેક્ષ મૂલ્યો નક્કી કરી શકાતા નથી.
તેથી,ચોખ્ખા ઘર્ષણ બળની દિશાનું અર્થઘટન કરી શકાતું નથી.

(B) જ્યારે સ્પૂલની આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ (બાહ્ય ત્રિજ્યા $R$ સાથે) પર શિરોલંબ ઉપરની તરફ બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્પૂલના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
કેન્દ્રની જમણી બાજુએ બળ લગાડવામાં આવતું હોવાથી,તે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
આ ટોર્ક સ્પૂલને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
આ ભ્રમણને કારણે,જમીન સાથેના સ્પૂલના સંપર્ક બિંદુ ડાબી તરફ ગતિ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
તેથી,આ ગતિના વિરોધમાં સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ વિરુદ્ધ દિશામાં,એટલે કે જમણી તરફ લાગે છે.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m(2v) - m(v) = (2m)v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = v/2$ જમણી તરફ.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$L_i = L_f$
$m(2v)(b/2) + m(v)(b/2) = I\omega$
જ્યાં $I = m(b/2)^2 + m(b/2)^2 = mb^2/2$.
$(3/2)mvb = (mb^2/2)\omega \Rightarrow \omega = 3v/b$.
શરૂઆતમાં $y = b/2$ પર રહેલા સ્કેટરની ગતિ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતર અને તેની આસપાસના પરિભ્રમણનું મિશ્રણ છે:
$x(t) = v_{cm}t + (b/2)\sin(\omega t) = 0.5vt + 0.5b\sin(3vt/b)$
$y(t) = (b/2)\cos(\omega t) = 0.5b\cos(3vt/b)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે રીંગ $A$ નું દળ $m$ છે અને પદાર્થ $B$ નું દળ $m$ છે. શરૂઆતમાં,રીંગ સરક્યા વિના ગબડે છે,તેથી તેની કોણીય વેગ $\omega = v/R$ છે. કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(v/R)^2 = mv^2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,રીંગ અને પદાર્થ $B$ એકસાથે સામાન્ય આડા વેગ $v'$ સાથે ગતિ કરે છે. આડી દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = (m + m)v'$,જે આપણને $v' = v/2$ આપે છે.
બધી સપાટીઓ લીસી હોવાથી,ત્યાં કોઈ ઘર્ષણ નથી,તેથી ગતિ દરમિયાન રીંગનો કોણીય વેગ $\omega$ અચળ રહે છે.
યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i = K_f + U_f$
$mv^2 = \frac{1}{2}(m+m)(v')^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + mgh$
$mv^2 = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(v/R)^2 + mgh$
$mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
$mv^2 = \frac{3}{4}mv^2 + mgh$
$mgh = mv^2 - \frac{3}{4}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2$
$h = \frac{v^2}{4g}$

(C) તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ સળિયાના મધ્યબિંદુ પર છે. દરેક પદાર્થનું $CM$ થી અંતર $r = L/2$ છે.
આઘાત $J = MV$ એક છેડે આપવામાં આવે છે. સળિયાને લંબ આઘાતનો ઘટક $J_{\perp} = J \sin 30^{\circ} = MV \sin 30^{\circ} = MV(1/2) = MV/2$ છે.
$CM$ ની સાપેક્ષે કોણીય આઘાત $\tau_{impulse} = J_{\perp} \times r = (MV/2) \times (L/2) = MVL/4$ છે.
કોણીય આઘાત એ કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર બરાબર હોય છે: $\tau_{impulse} = I \omega$,જ્યાં $I$ એ $CM$ ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$CM$ ની સાપેક્ષે બંને પદાર્થોની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M(L/2)^2 + M(L/2)^2 = 2M(L^2/4) = ML^2/2$ છે.
કોણીય આઘાતને કોણીય વેગમાનના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$ML^2/2 \times \omega = MVL/4$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{MVL/4}{ML^2/2} = \frac{MVL}{4} \times \frac{2}{ML^2} = \frac{V}{2L}$.
આમ,કોણીય વેગ $\frac{V}{2L}$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,લંબાઈ $L = 1 \, m$,આઘાત $J = 10 \, Ns$.
સળિયાની તેના ઉપરના છેડાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} m L^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{1}{3} \times 2 \times (1)^2 = \frac{2}{3} \, kg \cdot m^2$.
કોણીય આઘાત એ કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$J \times L = I \omega - 0$
$10 \times 1 = \frac{2}{3} \omega$
$\omega = \frac{10 \times 3}{2} = 15 \, rad/s$.
અથડામણ પછી તરત જ સળિયાની ગતિઊર્જા નીચે મુજબ મળે છે:
$KE = \frac{1}{2} I \omega^2$
$KE = \frac{1}{2} \times \left(\frac{2}{3}\right) \times (15)^2$
$KE = \frac{1}{3} \times 225 = 75 \, J$.

(B) સળિયો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.M.)$ ની આસપાસ સ્થાનાંતરિત અને ભ્રમણકક્ષાની ગતિ બંને કરશે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_0 = M V_{CM} \implies V_{CM} = \frac{m v_0}{M} \dots(1)$
$C.M.$ ની આસપાસ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_0 x = I \omega = \left( \frac{M L^2}{12} \right) \omega \implies \omega = \frac{12 m v_0 x}{M L^2} \dots(2)$
બિંદુ $A$ સ્થિર રહે તે માટે,$C.M.$ નો વેગ એ ભ્રમણને કારણે બિંદુ $A$ ના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ:
$V_{CM} = \omega \left( \frac{L}{2} \right) \dots(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ને $(3)$ માં મૂકતા:
$\frac{m v_0}{M} = \left( \frac{12 m v_0 x}{M L^2} \right) \left( \frac{L}{2} \right)$
$\frac{m v_0}{M} = \frac{6 m v_0 x}{M L}$
$1 = \frac{6 x}{L} \implies x = \frac{L}{6}$

(D) રેખીય વેગમાનના સમીકરણ પરથી,$m v_{cm} = J$,તેથી $v_{cm} = \frac{J}{m}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાનના સમીકરણ પરથી,$J \cdot \frac{l}{2} = I \omega = \frac{m l^2}{12} \cdot \omega$,જે આપણને $\omega = \frac{6 J}{m l}$ આપે છે.
$t = \frac{\pi m l}{12 J}$ સમયે,સળિયા દ્વારા ભ્રમણ કરેલ ખૂણો $\theta = \omega t = \left( \frac{6 J}{m l} \right) \left( \frac{\pi m l}{12 J} \right) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
$CM$ ની આસપાસ ભ્રમણને કારણે કણ $P$ નો સ્પર્શક વેગ $v_t = r \omega = \frac{l}{6} \cdot \frac{6 J}{m l} = \frac{J}{m}$ છે.
સળિયો $\frac{\pi}{2}$ જેટલો ફરી ગયો હોવાથી,ભ્રમણને કારણે મળતો વેગ સદિશ હવે પ્રારંભિક વેગ સદિશ $v_{cm}$ ને લંબ છે.
કણ $P$ નો પરિણામી વેગ $v_p = \sqrt{v_{cm}^2 + v_t^2} = \sqrt{\left( \frac{J}{m} \right)^2 + \left( \frac{J}{m} \right)^2} = \sqrt{2} \frac{J}{m}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: કણનું દળ $= m$,સળિયાનું દળ $= M$,સળિયાની લંબાઈ $= L$.
હિંગ (આધાર) ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m v (L/2) = I \omega$
સળિયાની હિંગની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M L^2 / 3$ હોવાથી:
$m v (L/2) = (M L^2 / 3) \omega$
$\omega = (3 m v) / (2 M L)$
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે અને કણ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સળિયાની ચાકગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$(1/2) m v^2 = (1/2) I \omega^2$
$(1/2) m v^2 = (1/2) (M L^2 / 3) [(3 m v) / (2 M L)]^2$
$m v^2 = (M L^2 / 3) [9 m^2 v^2 / (4 M^2 L^2)]$
$m v^2 = (3 m^2 v^2) / (4 M)$
$1 = (3 m) / (4 M)$
$M / m = 3 / 4$

(D) પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પરિભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$1$. $y$-ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ માટે: દળ $m$ એ $y$-ધરી પર છે,તેથી ધરીથી તેમનું અંતર $0$ છે. દળ $M$ એ $y$-ધરીથી $a$ અંતરે છે. આમ,$I_y = M(a)^2 + M(a)^2 = 2Ma^2$. ગતિઊર્જા $K_y = \frac{1}{2}(2Ma^2)\omega^2 = Ma^2\omega^2$ છે. આ $m$ થી સ્વતંત્ર છે.
$2$. $z$-ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ માટે: દળ $M$ એ $z$-ધરીથી $a$ અંતરે છે અને દળ $m$ એ $z$-ધરીથી $b$ અંતરે છે. આમ,$I_z = M(a)^2 + M(a)^2 + m(b)^2 + m(b)^2 = 2Ma^2 + 2mb^2$. ગતિઊર્જા $K_z = \frac{1}{2}(2Ma^2 + 2mb^2)\omega^2 = (Ma^2 + mb^2)\omega^2$ છે. આ $m$ પર આધાર રાખે છે.
$3$. જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ પરિભ્રમણની ધરી પર આધાર રાખતી હોવાથી,પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ પણ પરિભ્રમણની ધરી પર આધાર રાખે છે.
તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ વેગ છે,અને $d$ એ $O$ થી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર છે. કણ મુક્ત પતન કરતું હોવાથી,તેનો વેગ $v$ સમય સાથે વધે છે,જ્યારે $d$ અચળ રહે છે. તેથી,કોણીય વેગમાન $L$ વધે છે.
$O$ ની સાપેક્ષે કણની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ છે,જ્યાં $r$ એ $O$ થી કણનું અંતર છે. જેમ કણ નીચે પડે છે,તેમ અંતર $r$ ઘટે છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
$O$ ની સાપેક્ષે કણનો કોણીય વેગ $\omega = \frac{v_{\perp}}{r} = \frac{v \sin \theta}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ કણ નીચે પડે છે,તેમ $v$ વધે છે,$\sin \theta$ વધે છે (કારણ કે $\theta$ વધે છે),અને $r$ ઘટે છે. પરિણામે,કોણીય વેગ $\omega$ વધે છે.
આમ,તમામ વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) મુક્ત અવકાશમાં,માણસ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી,તેથી તેનું કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહે છે.
તેના શરીરનો આકાર બદલીને (હાથ ફેલાવીને અથવા સંકોચાઈને),માણસ તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ બદલે છે.
સૂત્ર $L = I \omega$ મુજબ,જો $I$ બદલાય,તો $L$ ને અચળ રાખવા માટે કોણીય વેગ $(\omega)$ પણ બદલાવો જોઈએ.
વધુમાં,ચાકગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $L$ અચળ હોવાથી,$I$ માં ફેરફાર થવાથી ચાકગતિ ઉર્જામાં પણ ફેરફાર થાય છે.
તેથી,તેના શરીરનો આકાર બદલીને,માણસ તેની જડત્વની ચાકમાત્રા,કોણીય વેગ અને ચાકગતિ ઉર્જા બદલી શકે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સરક્યા વગર ગબડતી રીંગ માટે,જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુ $A$ નો વેગ શૂન્ય છે,તેથી $v_A = u - R\omega = 0$,જેનો અર્થ છે કે $u = R\omega$.
ટોચના બિંદુ $B$ નો વેગ $v_B = u + R\omega = 2u$ છે.
આમ,રીંગ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે ઝડપનો વિસ્તાર $0 \leq v \leq 2u$ છે.
ધારો કે $P$ એવું બિંદુ છે કે જેથી ત્રિજ્યા $CP$ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. $P$ નો વેગ સદિશ એ સ્થાનાંતર વેગ $\vec{u}$ અને ભ્રમણીય વેગ $\vec{v}_{rot} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
વેગનું મૂલ્ય $v_P = \sqrt{u^2 + (R\omega)^2 + 2u(R\omega)\cos(\theta + 90^\circ)}$ છે.
$u = R\omega$ હોવાથી,$v_P = \sqrt{u^2 + u^2 + 2u^2(-\sin\theta)} = u\sqrt{2(1 - \sin\theta)}$.
વિકલ્પ $B$ માટે: જો $CP$ સમક્ષિતિજ હોય,$\theta = 0^\circ$,તો $v_P = u\sqrt{2(1 - 0)} = u\sqrt{2}$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: જો $\theta = 30^\circ$ હોય અને $P$ સમક્ષિતિજ સ્તરની નીચે હોય,તો $v_P = u\sqrt{2(1 - \sin 30^\circ)} = u\sqrt{2(1 - 0.5)} = u\sqrt{2(0.5)} = u$. આ પણ સાચું છે.
તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તેના પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ દ્વારા નક્કી થાય છે,$F_{ext} = Ma_{cm}$.
યો-યો જમણી તરફ ગતિ કરે તે માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક જમણી તરફ હોવો જોઈએ.
$1$. બળ $F_1$ સમક્ષિતિજ રીતે જમણી તરફ લગાડવામાં આવે છે. તેથી,જ્યારે $F_1$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે યો-યો પરનું કુલ બળ જમણી તરફ હોય છે,જેના કારણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જમણી તરફ ગતિ કરે છે.
$2$. બળ $F_3$ શિરોલંબ ઉપરની તરફ લગાડવામાં આવે છે. તેનો કોઈ સમક્ષિતિજ ઘટક નથી,તેથી તે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરાવી શકશે નહીં.
$3$. બળ $F_2$ એવા ખૂણે લગાડવામાં આવે છે કે તેનો સમક્ષિતિજ ઘટક જમણી તરફ હોય છે. તેથી,જ્યારે $F_2$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે પણ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જમણી તરફ ગતિ કરશે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ એ સાચું વિધાન છે.

(D) ધારો કે $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$m$ એ દળ છે,અને $R$ એ તકતીની ત્રિજ્યા છે. પરિઘ $s = 2\pi R$.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચે,તકતી સરક્યા વિના ગબડે છે. ગતિના સમીકરણો છે:
$F - f = ma_1$ અને $fR = I\alpha = (\frac{1}{2}mR^2)\alpha$. $a_1 = R\alpha$ હોવાથી,આપણને $f = \frac{1}{2}ma_1$ મળે છે. આ કિંમત મૂકતા,$F - \frac{1}{2}ma_1 = ma_1 \implies F = \frac{3}{2}ma_1 \implies a_1 = \frac{2F}{3m}$.
અંતર $AB = s = 2\pi R = \frac{1}{2}a_1 T^2$. તેથી,$T^2 = \frac{4\pi R}{a_1} = \frac{4\pi R}{2F/3m} = \frac{6\pi mR}{F}$.
બિંદુ $B$ પર,રેખીય વેગ $v_B = a_1 T$ અને કોણીય વેગ $\omega_B = \alpha T = \frac{a_1}{R}T$ છે.
$B$ ની જમણી બાજુએ,સપાટી લીસી છે,તેથી ઘર્ષણ $f = 0$ છે. નવો રેખીય પ્રવેગ $a_2 = F/m$ છે. $F = \frac{3}{2}ma_1$ હોવાથી,$a_2 = \frac{3}{2}a_1 > a_1$. આમ,રેખીય પ્રવેગ વધે છે.
$B$ પછી $T$ સમયમાં,કાપેલું અંતર $d = v_B T + \frac{1}{2}a_2 T^2 = (a_1 T)T + \frac{1}{2}(\frac{3}{2}a_1)T^2 = a_1 T^2 + \frac{3}{4}a_1 T^2 = \frac{7}{4}a_1 T^2$. $s = \frac{1}{2}a_1 T^2$ હોવાથી,$d = \frac{7}{2}s > s$.
$B$ ની જમણી બાજુએ કોઈ ઘર્ષણ ન હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega_B = \frac{a_1 T}{R}$ અચળ રહે છે. એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $t = \frac{2\pi}{\omega_B} = \frac{2\pi R}{a_1 T} = \frac{s}{a_1 T} = \frac{\frac{1}{2}a_1 T^2}{a_1 T} = \frac{T}{2}$.
બધા વિધાનો સાચા છે.

(C) તંત્રનું કુલ દળ $M = m + m = 2m$ છે.
ગોળો પોલો હોવાથી અને પાણીથી ભરેલો હોવાથી,કવચની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{shell} = \frac{2}{3} m R^2$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
જમીન પરના બિંદુને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન $L = I_{cm} \omega + M v R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $L = (\frac{2}{3} m R^2) \times (\frac{v}{R}) + (2m) v R$.
$L = \frac{2}{3} m v R + 2 m v R = \frac{8}{3} m v R$.

(D) ધારો કે $v_{cm}$ એ નળાકારના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે અને $\omega$ એ તેનો કોણીય વેગ છે.
નળાકાર અને પાટિયા વચ્ચેના સંપર્ક બિંદુ (નીચેનું બિંદુ) પર,નળાકારનો વેગ પાટિયાના વેગ જેટલો જ હોવો જોઈએ કારણ કે ત્યાં કોઈ સરકણ (slipping) થતું નથી. તેથી,$v_{cm} - R\omega = v$ (ધારી લઈએ કે $v_{cm}$ જમણી તરફ છે અને $\omega$ ઘડિયાળની દિશામાં છે).
નળાકાર અને ઉપરની દોરી વચ્ચેના સંપર્ક બિંદુ (ઉપરનું બિંદુ) પર,નળાકારનો વેગ દોરીના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ. દોરી દીવાલ સાથે જોડાયેલી હોવાથી,તેનો વેગ $0$ છે. તેથી,$v_{cm} + R\omega = 0$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(v_{cm} - R\omega) + (v_{cm} + R\omega) = v + 0$,જે $2v_{cm} = v$ આપે છે,તેથી $v_{cm} = v/2$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(v_{cm} - R\omega) - (v_{cm} + R\omega) = v - 0$,જે $-2R\omega = v$ આપે છે,તેથી $\omega = -v/(2R)$ (ઋણ નિશાની ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણ સૂચવે છે).
તેથી,નળાકારના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $v/2$ છે.

(D) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે જે કોણીય વેગ $\omega$ અને રેખીય વેગ $v = R\omega$ થી ગબડે છે:
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાન $L_O = I_O \omega = (\frac{1}{2}mR^2)\omega$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાન $\vec{L}_P = \vec{L}_{cm} + \vec{r}_{cm/P} \times m\vec{v}_{cm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $B$ (સંપર્ક બિંદુ) માટે: $\vec{L}_B = I_O \omega + mR^2 \omega = \frac{1}{2}mR^2 \omega + mR^2 \omega = \frac{3}{2}mR^2 \omega$.
બિંદુ $A$ (સૌથી ઉપરનું બિંદુ) માટે: $\vec{L}_A = I_O \omega - mR^2 \omega = \frac{1}{2}mR^2 \omega - mR^2 \omega = -\frac{1}{2}mR^2 \omega$.
મૂલ્ય $|L_B| = \frac{3}{2}mR^2 \omega$ અને $|L_A| = \frac{1}{2}mR^2 \omega$ છે. આમ,$|L_B| = 3|L_A|$.
$L_A$ ઋણ હોવાથી તે વિષમઘડી છે,અને $L_B$ ધન હોવાથી તે સમઘડી છે. તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) જ્યારે નળાકાર ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $f$ એ પદાર્થ પર લાગતા કુલ ટોર્ક અને કુલ બળ પર આધાર રાખે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર માટે,ગતિનું સમીકરણ $Mg \sin \theta - f = Ma$ છે અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કનું સમીકરણ $fR = I\alpha = (\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R})$ છે.
આને ઉકેલતા,આપણને $f = \frac{1}{3}Mg \sin \theta$ મળે છે,જે ઉપરની દિશામાં હોય છે.
જોકે,જો કોઈ બાહ્ય બળ (જેમ કે લાગુ પાડેલ બળ $F$) હાજર હોય,તો ઘર્ષણની દિશા સરકવાની વૃત્તિને રોકવા અથવા ગબડવા માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા માટે બદલાઈ શકે છે.
જો બાહ્ય બળ એવી રીતે લાગુ પાડવામાં આવે કે ગબડવા માટે જરૂરી ટોર્ક પહેલેથી જ મળી રહેતો હોય,તો ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોઈ શકે છે.
આમ,બાહ્ય બળ અને ગતિની સ્થિતિના આધારે ઘર્ષણ ઉપરની તરફ,નીચેની તરફ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(D) જ્યારે રીંગ ખરબચડી સપાટી પર પ્રવેશે છે,ત્યારે તે $v_0$ વેગ સાથે આગળની તરફ સરકે છે અને તેનો પ્રારંભિક કોણીય વેગ શૂન્ય $(\omega = 0)$ હોય છે.
$1$. રીંગ સરકતી હોવાથી,તેના પર ગતિક ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu Mg$ લાગે છે,જે સીમાંત ઘર્ષણ છે.
$2$. ઘર્ષણ બળ સંપર્ક બિંદુ પર ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
$3$. ઘર્ષણ બળ $f$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ $\tau = f \times R$ જેટલું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે. ઘર્ષણ નીચેના બિંદુ પર ડાબી તરફ લાગતું હોવાથી,ટોર્ક ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોય છે,જે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(C) $1$. જ્યારે રીંગ ખરબચડી સપાટી પર પ્રવેશે છે,ત્યારે ગતિ ઘર્ષણ બળ $f = \mu Mg$ તેના વેગ $v_0$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
$2$. રીંગ પર બાહ્ય બળ (ઘર્ષણ) લાગતું હોવાથી,રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહેતું નથી.
$3$. ઘર્ષણ બળ રીંગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની આસપાસ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે તે પરિભ્રમણ કરે છે. તેથી,$CM$ ની આસપાસ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહેતું નથી.
$4$. ઘર્ષણ બળ સપાટી સાથેના સંપર્ક બિંદુ પર લાગે છે. જો આપણે સમક્ષિતિજ સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુને સંદર્ભ બિંદુ તરીકે પસંદ કરીએ,તો ઘર્ષણ બળની કાર્યરેખા આ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આમ,સમક્ષિતિજ સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે ઘર્ષણને કારણે લાગતું ટોર્ક શૂન્ય છે. પરિણામે,રીંગનું કોણીય વેગમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે સંરક્ષિત રહે છે.
$5$. ઘર્ષણ એ બિન-સંરક્ષી બળ હોવાથી,તે તંત્ર પર કાર્ય કરે છે,તેથી યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી.

(D) જ્યારે રીંગ ખરબચડી સપાટી પર પ્રવેશે છે,ત્યારે ગતિશીલ ઘર્ષણ $v_0$ વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. ઘર્ષણ બળ $f = \mu Mg$ છે.
આ બળ રેખીય ગતિમાં પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે: $a = -\frac{f}{M} = -\mu g$.
વળી,આ ઘર્ષણ બળ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક આપે છે: $\tau = fR = \mu MgR$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{\mu MgR}{MR^2} = \frac{\mu g}{R}$ છે.
ધારો કે $t$ એ સમય છે જ્યારે શુદ્ધ રોલિંગ શરૂ થાય છે. આ સમયે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = v_0 - at = v_0 - \mu gt$ અને કોણીય વેગ $\omega = \alpha t = \frac{\mu gt}{R}$ છે.
શુદ્ધ રોલિંગ માટે,$v = \omega R$,તેથી $v_0 - \mu gt = (\frac{\mu gt}{R})R = \mu gt$.
આનાથી $2\mu gt = v_0$,અથવા $t = \frac{v_0}{2\mu g}$ મળે છે.
આ સમયે વેગ $v = v_0 - \mu g(\frac{v_0}{2\mu g}) = v_0 - \frac{v_0}{2} = \frac{v_0}{2}$ છે.
જ્યારે સંપર્ક બિંદુ સપાટીની સાપેક્ષમાં સ્થિર થાય ત્યારે શુદ્ધ રોલિંગ શરૂ થાય છે. આમ,બધા વિધાનો સાચા છે.