Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Gujarati

$L$ લંબાઈનો એક સખત સમાન સળિયો $AB$ ઘર્ષણરહિત સપાટી પર તેની ઉભી સ્થિતિમાંથી લપસી રહ્યો છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ). કોઈ એક સમયે,સળિયા દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta$ છે. તેની ગતિ વિશે નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$[A]$ સળિયાનું મધ્યબિંદુ શિરોલંબ નીચેની તરફ પડશે
$[B]$ બિંદુ $A$ નો ગતિપથ પરવલય છે
$[C]$ જમીન સાથે સંપર્કમાં રહેલા બિંદુની સાપેક્ષે તાત્ક્ષણિક ટોર્ક $\sin \theta$ ના પ્રમાણમાં છે
$[D]$ જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે તેના મધ્યબિંદુનું પ્રારંભિક સ્થિતિથી સ્થાનાંતર $(1-\cos \theta)$ ના પ્રમાણમાં છે

$R$ ત્રિજ્યા અને $M$ દળ ધરાવતું એક પૈડું $R$ ઊંચાઈના એક નિશ્ચિત પગથિયાના તળિયે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવ્યું છે. પૈડાની સપાટી પર સતત એક અચળ બળ લગાડવામાં આવે છે જેથી તે લપસ્યા વિના પગથિયા પર ચઢી શકે. બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થતી અને કાગળના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau$ ધ્યાનમાં લો. નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?

આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:

$t=0$ સમયે ઉગમબિંદુ પર સ્થિર રહેલા $1.0 \ kg$ દળના પદાર્થનો વિચાર કરો. પદાર્થ પર બળ $\overrightarrow{F}=(\alpha t \hat{i}+\beta \hat{j})$ લગાડવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha=1.0 \ Ns^{-1}$ અને $\beta=1.0 \ N$ છે. $t=1.0 \ s$ સમયે ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ પદાર્થ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $|\vec{\tau}|=\frac{1}{3} \ Nm$
$(B)$ ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ એકમ સદિશ $+\hat{k}$ ની દિશામાં છે
$(C)$ $t=1 \ s$ સમયે પદાર્થનો વેગ $\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\hat{i}+2 \hat{j}) \ ms^{-1}$ છે
$(D)$ $t=1 \ s$ સમયે પદાર્થના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $\frac{1}{6} \ m$ છે

હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટના બોહરના સિદ્ધાંતની મુખ્ય લાક્ષણિકતા એ છે કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રોટોનની આસપાસ ફરે છે ત્યારે કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઇઝેશન થાય છે. આપણે આને દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે સામાન્ય પરિભ્રમણ ગતિ સુધી વિસ્તૃત કરીશું,તેને દ્રઢ ધારીને. લાગુ પાડવાનો નિયમ બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત છે.
$1.$ એક દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$n$-માં સ્તર $(n=1, 2, 3, \dots)$ માં તેની પરિભ્રમણ ઉર્જા છે:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ એવું જોવા મળ્યું છે કે $CO$ અણુ માટે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ સુધીની પરિભ્રમણની ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ ની નજીક છે. તો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ $CO$ અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી હશે? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ લો)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ અણુમાં,$C$ (દળ $= 12 \text{ a.m.u.}$) અને $O$ (દળ $= 16 \text{ a.m.u.}$) વચ્ચેનું અંતર,જ્યાં $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$,કેટલું હશે?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

$L$ લંબાઈ અને $m$ દળનો એક ધાતુનો સળિયો એક છેડેથી ધરી પર ફિક્સ કરેલો છે। $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા $(R < L)$ ધરાવતી એક પાતળી તકતી તેના કેન્દ્ર પર સળિયાના મુક્ત છેડા સાથે જોડાયેલી છે। તકતી જોડાયેલી હોય તેવી બે રીતો ધ્યાનમાં લો: (કિસ્સો $A$) તકતી તેના કેન્દ્રની આસપાસ ફરવા માટે મુક્ત નથી અને (કિસ્સો $B$) તકતી તેના કેન્દ્રની આસપાસ ફરવા માટે મુક્ત છે। સળિયા-તકતીની સિસ્ટમ સમાન સ્થાનાંતરિત સ્થિતિમાંથી મુક્ત થયા પછી શિરોલંબ સમતલમાં $SHM$ કરે છે। નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું/સાચા છે?

$2 \ kg$ દળ અને $1 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક પાતળી રીંગ $1 \ m/s$ ના વેગથી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે. $1 \ kg$ દળનો એક નાનો દડો,જે વિરુદ્ધ દિશામાં $2 \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે,તે $1.8 \ m$ ની ઊંચાઈએ રીંગને અથડાય છે અને $1 \ m/s$ ના વેગથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ જાય છે. અથડામણ પછી તરત જ:
$(A)$ રીંગ તેના સ્થિર $CM$ ની આસપાસ શુદ્ધ પરિભ્રમણ કરે છે.
$(B)$ રીંગ સંપૂર્ણપણે અટકી જાય છે.
$(C)$ રીંગ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ ડાબી તરફ છે.
$(D)$ રીંગ અને જમીન વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ નથી.

$O$ પર ધરી ધરાવતો એક પાતળો સમાન સળિયો સમક્ષિતિજ સમતલમાં અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ફરે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $t = 0$ સમયે,$m$ દળ ધરાવતું એક નાનું જીવડું $O$ થી શરૂઆત કરે છે અને સળિયાની સાપેક્ષમાં અચળ ઝડપ $v$ થી બીજા છેડા તરફ ગતિ કરે છે. તે $t = T$ સમયે સળિયાના છેડે પહોંચે છે અને અટકી જાય છે. સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રની કોણીય ઝડપ $\omega$ રહે છે. $O$ ની સાપેક્ષમાં તંત્ર પર લાગતા ટોર્ક $(|\vec{\tau}|)$ ના મૂલ્યને સમયના વિધેય તરીકે નીચેનામાંથી કયો આલેખ શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવે છે?

$M$ દળ અને $L$ લંબાઈનો એક પાતળો અને સમાન સળિયો મોટા ઘર્ષણવાળા ભોંયતળિયા પર શિરોલંબ રાખવામાં આવ્યો છે. સળિયાને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે જેથી તે ભોંયતળિયા સાથેના સંપર્કબિંદુની આસપાસ સરક્યા વિના પરિભ્રમણ કરીને નીચે પડે છે. જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે ત્યારે નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે? [$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે]
$(1)$ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $\frac{3g}{4}$ હશે
$(2)$ સળિયાનો કોણીય પ્રવેગ $\frac{3\sqrt{3}g}{4L}$ હશે
$(3)$ સળિયાની કોણીય ઝડપ $\sqrt{\frac{3g}{2L}}$ હશે
$(4)$ ભોંયતળિયા દ્વારા સળિયા પર લાગતું લંબબળ $\frac{Mg}{16}$ હશે

$m$ દળ અને $L$ લંબાઈનો એક સળિયો તેના એક છેડેથી લટકાવેલ છે. $m$ દળની એક ગોળી $v$ ઝડપથી ગતિ કરતી સળિયા સાથે તેના ધરીબિંદુથી $x$ અંતરે આડી અથડાય છે અને તેમાં ખૂંપી જાય છે. સંયુક્ત તંત્ર હવે ધરીબિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપથી ફરે છે. મહત્તમ કોણીય ઝડપ $\omega_M$ એ $x=x_M$ માટે પ્રાપ્ત થાય છે. તો
$(A)$ $\omega=\frac{3 v x}{ L ^2+3 x^2}$
$(B)$ $\omega=\frac{12 v x}{L^2+12 x^2}$
$(C)$ $x_M=\frac{L}{\sqrt{3}}$
$(D)$ $\omega_M=\frac{v}{2 L} \sqrt{3}$

$M=0.2 \ kg$ દળનો એક કણ શરૂઆતમાં $xy$-સમતલમાં $(x=-l, y=-h)$ બિંદુ પર સ્થિર છે,જ્યાં $l=10 \ m$ અને $h=1 \ m$ છે. કણને $t=0$ સમયે ધન $x$-દિશામાં $a=10 \ m/s^2$ ના અચળ પ્રવેગથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે તેનું કોણીય વેગમાન અને ટોર્ક $SI$ એકમોમાં અનુક્રમે $\vec{L}$ અને $\vec{\tau}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ એ અનુક્રમે ધન $x, y$ અને $z$-દિશામાં એકમ સદિશો છે. જો $\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ કણ $t=2 \ s$ સમયે $(x=l, y=-h)$ બિંદુ પર પહોંચે છે.
$(B)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=2 \hat{k}$.
$(C)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{L}=4 \hat{k}$.
$(D)$ જ્યારે કણ $(x=0, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=\hat{k}$.

$M$ દળ અને $a$ લંબાઈનો એક પાતળો સળિયો બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી સ્થિર શિરોલંબ ધરીની આસપાસ સમક્ષિતિજ સમતલમાં મુક્તપણે ફરી શકે છે. $M$ દળ અને $a/4$ ત્રિજ્યાની એક પાતળી વર્તુળાકાર તકતી આ સળિયા પર એવી રીતે જડેલી છે કે તેનું કેન્દ્ર મુક્ત છેડાથી $a/4$ અંતરે છે,જેથી તે તેની શિરોલંબ ધરીની આસપાસ મુક્તપણે ફરી શકે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે સળિયો અને તકતી બંને સમાન ઘનતા ધરાવે છે અને ગતિ દરમિયાન તે સમક્ષિતિજ રહે છે. એક બહારનો સ્થિર અવલોકનકાર સળિયાને $\Omega$ કોણીય વેગ સાથે અને તકતીને તેની શિરોલંબ ધરીની આસપાસ $4\Omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતી જુએ છે. બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ છે. $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક ડિસ્કને તેના કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે સમક્ષિતિજ સમતલમાં ફરતી ધ્યાનમાં લો. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ડિસ્કના વ્યાસની એક બાજુએ છાયાંકિત ભાગ અને બીજી બાજુએ અછાયાંકિત ભાગ છે. જ્યારે ડિસ્ક આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે બે કાંકરા $P$ અને $Q$ ને એકસાથે $R$ તરફ એક ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. પ્રક્ષેપણનો વેગ $y-z$ સમતલમાં છે અને ડિસ્કની સાપેક્ષમાં બંને કાંકરા માટે સમાન છે. ધારો કે $(i)$ તેઓ ડિસ્ક $\frac{1}{8}$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે તે પહેલાં ડિસ્ક પર પાછા ફરે છે,$(ii)$ તેમની રેન્જ ડિસ્કની અડધી ત્રિજ્યા કરતા ઓછી છે,અને $(iii)$ $\omega$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે. તો

દ્રઢ પદાર્થની સામાન્ય ગતિને $(i)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની કોઈ અક્ષની આસપાસની ગતિ અને $(ii)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન અક્ષની આસપાસની ગતિના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય. આ અક્ષો સ્થિર હોવી જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક પાતળી સમાન તકતીને તેના પરિઘ પર એક દળરહિત લાકડી સાથે આડી રીતે વેલ્ડિંગ (દ્રઢ રીતે જોડાયેલ) કરેલ છે. જ્યારે તકતી-લાકડી તંત્રને આડા ઘર્ષણરહિત સમતલ પર ઉદગમબિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ ક્ષણે ગતિને $(i)$ તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની $z$-અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ અને $(ii)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન ઉભી અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ (જે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના બદલાયેલા અભિગમ પરથી જોઈ શકાય છે) ના સંયોજન તરીકે લઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં બંને ગતિઓની કોણીય ઝડપ $\omega$ સમાન છે. હવે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમાન તંત્રો ધ્યાનમાં લો: કિસ્સો $(a)$ તકતીનો ચહેરો ઉભો અને $x-z$ સમતલને સમાંતર છે; કિસ્સો $(b)$ તકતીનો ચહેરો $x-y$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે અને તેનો આડો વ્યાસ $x$-અક્ષને સમાંતર છે. બંને કિસ્સાઓમાં,તકતીને બિંદુ $P$ પર વેલ્ડિંગ કરવામાં આવે છે,અને તંત્રોને $z$-અક્ષની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે.
$1.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) ની આસપાસની કોણીય ઝડપ અંગે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(D)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\omega$ છે.
$2.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ $(a)$ અને $(b)$ માટે ઉભી છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલમાં રહેલી છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે આડી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
$(D)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

આકૃતિ એક એવી સિસ્ટમ દર્શાવે છે જેમાં $(i)$ $3R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ આડી સપાટી પર $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે સરક્યા વિના ક્લોકવાઇઝ ગબડે છે અને $(ii)$ $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી આંતરિક ડિસ્ક $\omega/2$ કોણીય ઝડપ સાથે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ફરે છે. રીંગ અને ડિસ્ક ઘર્ષણરહિત બોલ બેરિંગ દ્વારા અલગ પડે છે. સિસ્ટમ $x-z$ સમતલમાં છે. આંતરિક ડિસ્ક પરનું બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુથી $R$ અંતરે છે,જ્યાં $OP$ આડી સપાટી સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો આડી સપાટીની સાપેક્ષમાં,
$(A)$ બિંદુ $O$ નો રેખીય વેગ $3R\omega\hat{i}$ છે.
$(B)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(C)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(D)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ છે.

$1.5 \ kg$ દળ અને $0.5 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમાન વર્તુળાકાર તકતી આડી ઘર્ષણરહિત સપાટી પર સ્થિર છે. તકતીની પરિમિતિ પર શિરોબિંદુઓ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ $XYZ$ ની ત્રણ બાજુઓ પર એકસાથે $F=0.5 \ N$ મૂલ્યના ત્રણ સમાન બળો લગાડવામાં આવે છે (આકૃતિ જુઓ). બળો લગાડ્યાના એક સેકન્ડ પછી,તકતીની કોણીય ઝડપ $\text{rad } s^{-1}$ માં કેટલી હશે?

એક લોલક $m=0.1 \ kg$ દળના ગોળા અને $L=1.0 \ m$ લંબાઈની દળરહિત અસ્થિતિસ્થાપક દોરીનું બનેલું છે. તે ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટીથી $H=0.9 \ m$ ઊંચાઈએ આવેલા નિશ્ચિત બિંદુએથી લટકાવેલું છે. શરૂઆતમાં,લોલકનો ગોળો સપાટી પર લટકાવેલા બિંદુની બરાબર નીચે સ્થિર પડેલો છે. કોઈ એક ક્ષણે ગોળાને $P=0.2 \ kg \cdot m/s$ નો સમક્ષિતિજ આઘાત આપવામાં આવે છે. ગોળો થોડું અંતર સરક્યા પછી,દોરી ખેંચાઈ જાય છે અને ગોળો સપાટી પરથી ઉપર ઉઠે છે. ગોળો ઉપર ઉઠે તે પહેલાં લટકાવેલા બિંદુને અનુલક્ષીને લોલકનું કોણીય વેગમાન $J \ kg \cdot m^2/s$ છે. ઉપર ઉઠ્યા પછી તરત જ લોલકની ગતિઊર્જા $K$ જૂલ છે. $(1)$ $J$ નું મૂલ્ય શોધો. $(2)$ $K$ નું મૂલ્ય શોધો.

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક પાતળી સમાન તકતી $A$ ની સપાટીને એક આડા ટેબલ પર ચોંટાડવામાં આવી છે. $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બીજી એક પાતળી સમાન તકતી $B$,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A$ ની પરિઘ પર સરક્યા વિના ગબડે છે. $B$ ની એક સપાટી પણ ટેબલના સમતલ પર રહેલી છે. $B$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની $A$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ ધરીની આસપાસ કોણીય ઝડપ $\omega$ છે. $A$ ના કેન્દ્રની સાપેક્ષે $B$ નું કોણીય વેગમાન $n M \omega R^2$ છે. નીચેનામાંથી $n$ નું મૂલ્ય કયું છે?

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક તકતી આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તેની ઉર્ધ્વ અક્ષની આસપાસ મુક્તપણે ફરી શકે છે. અવગણ્ય દળ ધરાવતી બેટરી સંચાલિત મોટર આ તકતી પર તેની પરિઘ પરના એક બિંદુએ લગાવેલી છે. સમાન દળ $M$ અને $R/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બીજી તકતી મોટરની પાતળી ધરી પર લગાવેલી છે. શરૂઆતમાં,બંને તકતીઓ સ્થિર છે. મોટર ચાલુ કરવામાં આવે છે જેથી નાની તકતી $\omega$ જેટલી સમાન કોણીય ઝડપે ફરે છે. જો મોટી તકતી જે કોણીય ઝડપે ફરે છે તે $\omega/n$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

બે $1 \ kg$ ના કણો $(A)$ અને $(B)$ ના સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{r}_{A} = (\alpha_1 t^2 \hat{i} + \alpha_2 t \hat{j} + \alpha_3 \hat{k}) \ m$ અને $\vec{r}_B = (\beta_1 t \hat{i} + \beta_2 t^2 \hat{j} + \beta_3 t \hat{k}) \ m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $\alpha_1 = 1 \ m/s^2, \alpha_2 = 3n \ m/s, \alpha_3 = 2 \ m, \beta_1 = 2 \ m/s, \beta_2 = -1 \ m/s^2, \beta_3 = 4p \ m/s$,જ્યાં $t$ સમય છે,$n$ અને $p$ અચળાંકો છે. $t = 1 \ s$ પર,$|\overrightarrow{V}_{A}| = |\overrightarrow{V}_{B}|$ અને વેગ $\overrightarrow{V}_{A}$ અને $\overrightarrow{V}_{B}$ પરસ્પર લંબ છે. $t = 1 \ s$ પર,કણ $(B)$ ની સાપેક્ષે કણ $(A)$ ના કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $\sqrt{L} \ kg \ m^2/s$ છે. $L$ નું મૂલ્ય શોધો.

$10 \ cm$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતી એક ચોરસ લેમિના $OABC$ ને $O$ પર પીવટ કરવામાં આવી છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ લેમિના પર બળો લાગે છે. જો લેમિના સ્થિર રહેતી હોય,તો $F$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

$A$,$B$,અને $C$ અનુક્રમે ડિસ્ક,નક્કર ગોળો અને ગોળીય કવચ છે,જેની ત્રિજ્યા $(R)$ અને દળ $(M)$ સમાન છે. આ પદાર્થોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવ્યા છે. $PQ$ અક્ષને અનુલક્ષીને આપેલ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{x}{15} I$ છે,જ્યાં $I$ એ ડિસ્કની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે. $x$ નું મૂલ્ય . . . . . . છે.

$m$ દળ અને $\ell$ લંબાઈનો એક સમાન સળિયો,જે છેડા $A$ પર મિજાગરા (hinge) વડે જોડાયેલ છે,તેને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. સળિયાને મુક્ત કર્યા પછી તરત જ:

Column $I$	Column $II$
$(A)$ $C$ નો કોણીય પ્રવેગ	$(P)$ $\frac{3g}{2}$
$(B)$ $B$ નો કોણીય પ્રવેગ	$(Q)$ $\frac{3g}{2\ell}$
$(C)$ $C$ નો પ્રવેગ	$(R)$ $\frac{3g}{4}$
$(D)$ $B$ નો પ્રવેગ	$(S)$ $\frac{3g}{\ell}$

$m$ દળ અને $\ell$ લંબાઈનો એક સમાન સળિયો $AB$ લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સ્થિર છે. સળિયાના છેડા $B$ પર સળિયાને લંબ રૂપે $P$ જેટલો આઘાત (impulse) લગાડવામાં આવે છે. સળિયાને કાટખૂણે ફરવા માટે લાગતો સમય કેટલો હશે?

$3 \ kg$ દળનો એક નક્કર નળાકાર $4 \ m/s$ ના વેગથી સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગબડી રહ્યો છે. તે એક સમક્ષિતિજ સ્પ્રિંગ સાથે અથડાય છે જેનો એક છેડો દ્રઢ આધાર સાથે જોડાયેલ છે. સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $200 \ N/m$ છે. સ્પ્રિંગમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ સંકોચન કેટલું હશે ($m$ માં)? (ધારો કે નળાકાર અને સ્પ્રિંગ વચ્ચેની અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે).

એક રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ છે. તે $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ભ્રમણ કરે છે. બીજી સમાન રીંગને તેના પર હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે જેથી તેમના કેન્દ્રો એકરૂપ થાય. જો બંને રીંગો એક જ અક્ષ પર ભ્રમણ કરતી હોય,તો ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો કેટલો હશે?

એક ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L$ છે. જ્યારે ભ્રમણ કરતી વસ્તુની આવૃત્તિ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે અને તેની ગતિઊર્જા એક-તૃતીયાંશ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું કોણીય વેગમાન કેટલું થાય?

એક ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L$ છે. જો તેની આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે અને તેની ગતિઊર્જા અડધી કરવામાં આવે,તો તેનું નવું કોણીય વેગમાન કેટલું થશે?

એક કણ $L$ કોણીય વેગમાન સાથે ભ્રમણ ગતિ કરે છે. જો ભ્રમણની આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે અને તેની ગતિઊર્જા ચોથા ભાગની થાય,તો નવું કોણીય વેગમાન કેટલું થશે?

એક કણ $L$ કોણીય વેગમાન સાથે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. જ્યારે કોણીય આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ચાકગતિ ઉર્જા અડધી થઈ જાય છે. તેનું નવું કોણીય વેગમાન કેટલું હશે?

$2 \ kg \ m^2$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા ધરાવતું એક પૈડું તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ પર $60 \ rad \ s^{-1}$ ની ઝડપે ફરે છે। ઘર્ષણને કારણે, તે $5$ મિનિટમાં સ્થિર થઈ જાય છે। પૈડું ફરતું બંધ થાય તેના ત્રણ મિનિટ પહેલાં તેનું કોણીય વેગમાન કેટલું હશે?

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની ધાર પર ચાર કણો,દરેકનું દળ $m$,સંમિત રીતે ગોઠવાયેલા છે. તકતીના સમતલને લંબ અને એક કણમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?

$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ગોળાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. તેને $t$ જાડાઈની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,જેની તેની ધાર (rim) માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ જ રહે છે. તો તકતીની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ધાતુના ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ છે. તેને ઓગાળીને $r$ ત્રિજ્યાની એક સમાન જાડાઈ ધરાવતી નક્કર તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો આ તકતીની તેની ધારમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ પણ $I$ હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{r}{R}$ શોધો.

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ છે. તેને $t$ જાડાઈની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,જેની તેની ધારમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ રહે છે. તકતીની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

એક રીંગ અને એક ડિસ્કનું દળ અને ત્રિજ્યા સમાન છે. રીંગની તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા અને ડિસ્કની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય ($: 1$ માં)?

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. તેને $t$ જાડાઈની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,જેની તેના કિનારીમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ રહે છે. તો તકતીની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

એક રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ છે. તે $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ભ્રમણ કરે છે. બીજી સમાન રીંગને તેની ઉપર એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી તેમના કેન્દ્રો એકબીજા પર સંપાત થાય. જો બંને રીંગો એક જ અક્ષ પર ભ્રમણ કરતી હોય,તો ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો કેટલો હશે?

એક નક્કર ગોળો તેના વ્યાસની આસપાસ શુદ્ધ ચાકગતિ કરે છે. તેના કોણીય વેગમાન $(L)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ નો ગુણોત્તર $\frac{\pi}{22}$ છે. ગોળાનો કોણીય વેગ $(\omega)$ શોધો. ($\pi = \frac{22}{7}$ લો) ($rad/s$ માં)

$L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતો એક પાતળો સમાન સળિયો તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી આડી ધરી પર મુક્તપણે દોલન કરે છે. તેની મહત્તમ કોણીય ઝડપ $\omega$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે? [જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે]

ભ્રમણ ગતિશાસ્ત્ર (rotational dynamics) ના કિસ્સામાં,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$[\vec{\omega} = \text{કોણીય વેગ}, \vec{v} = \text{રેખીય વેગ}, \vec{r} = \text{સ્થાન સદિશ}, \vec{\alpha} = \text{કોણીય પ્રવેગ}, \vec{a} = \text{રેખીય પ્રવેગ}, \vec{L} = \text{કોણીય વેગમાન}, \vec{p} = \text{રેખીય વેગમાન}, \vec{\tau} = \text{ટોર્ક}, \vec{f} = \text{બળ}]$

એક પાતળા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. જો તે જ સળિયાને વાળીને એક રીંગ બનાવવામાં આવે અને તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I^{\prime}$ હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{I}{I^{\prime}}$ કેટલો થાય?

$1 \,kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થને એક વજનરહિત દોરી વડે લટકાવવામાં આવે છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $2 \,kg$ દળ ધરાવતી ગરગડી પરથી પસાર થાય છે. આ દળને જમીનથી $1.6 \,m$ ની ઊંચાઈએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. તે કેટલા વેગ સાથે જમીન સાથે અથડાશે?

બે ફ્લાયવ્હીલ એક નોન-સ્લિપિંગ બેલ્ટ દ્વારા જોડાયેલા છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $I_1 = 4 \ kg \ m^2$,$r_1 = 20 \ cm$,$I_2 = 20 \ kg \ m^2$ અને $r_2 = 30 \ cm$ છે. નાના વ્હીલ પર $10 \ Nm$ નું ટોર્ક લગાડવામાં આવે છે. કોલમ $I$ ની વિગતોને કોલમ $II$ ની યોગ્ય વિગતો સાથે જોડો.

ભૌતિક રાશિઓ	તેમના આંકડાકીય મૂલ્યો ($SI$ એકમમાં)
a. નાના વ્હીલનો કોણીય પ્રવેગ	$1$. $5/3$
b. મોટા વ્હીલ પર લાગતું ટોર્ક	$2$. $100/3$
c. મોટા વ્હીલનો કોણીય પ્રવેગ	$3$. $5/2$

$l$ લંબાઈ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો એક સમાન સળિયો તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી ઉર્ધ્વ અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે. જો $\omega$ એ સળિયાનો કોણીય વેગ હોય,તો સળિયાના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ કેન્દ્રત્યાગી બળ કેટલું હશે?

$m$ દળનો એક પાતળો પોલો ગોળો $m$ દળના પ્રવાહીથી સંપૂર્ણ ભરેલો છે. જ્યારે ગોળો $v$ વેગ સાથે ગબડે છે,ત્યારે તંત્રની ગતિઊર્જા કેટલી હશે? (ઘર્ષણ અવગણો)

$1 \,m$ ત્રિજ્યા અને $1 \,kg$ દળ ધરાવતો એક સમાન નળાકાર તેની અક્ષ પર $20 \,rad/s$ ના કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. એક ચોક્કસ ક્ષણે, નળાકારને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ખૂણામાં મૂકવામાં આવે છે. આડી દીવાલ અને નળાકાર વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે, જ્યારે ઉભી દીવાલ ઘર્ષણરહિત છે. જો નળાકાર અટકે તે પહેલાં $5$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે, તો $\mu$ નું મૂલ્ય શોધો. (ગુરુત્વપ્રવેગ $g=10 \,m/s^2$)

$1 \ m$ વ્યાસ ધરાવતી પાતળી સમાન વર્તુળાકાર તકતીનું તાપમાન $10^{\circ} C$ જેટલું વધારવામાં આવે છે. તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રામાં થતો પ્રતિશત વધારો કેટલો હશે? (રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$)