Class 11PhysicsSystem of Particles and Rotational MotionMix Example - System of Particles and Rotational Motion
Difficultદળ $m$ અને બાજુ $a$ ધરાવતો એક સમાન ઘન ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યો છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ધાર પર એક શિરોલંબ બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે. નીચેનાને જોડો (સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ):
$(a)$ $\frac{mg}{4} < F < \frac{mg}{2}$ $(i)$ ઘન ઉપરની તરફ ગતિ કરશે $(b)$ $F > \frac{mg}{2}$ $(ii)$ ઘન કોઈ ગતિ દર્શાવશે નહીં $(c)$ $F > mg$ $(iii)$ ઘન $A$ ની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરશે $(d)$ $F = \frac{mg}{4}$ $(iv)$ લંબ પ્રતિક્રિયા અસરકારક રીતે $A$ થી $a/3$ અંતરે છે,કોઈ ગતિ નથી
| $(a)$ $\frac{mg}{4} < F < \frac{mg}{2}$ | $(i)$ ઘન ઉપરની તરફ ગતિ કરશે |
| $(b)$ $F > \frac{mg}{2}$ | $(ii)$ ઘન કોઈ ગતિ દર્શાવશે નહીં |
| $(c)$ $F > mg$ | $(iii)$ ઘન $A$ ની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરશે |
| $(d)$ $F = \frac{mg}{4}$ | $(iv)$ લંબ પ્રતિક્રિયા અસરકારક રીતે $A$ થી $a/3$ અંતરે છે,કોઈ ગતિ નથી |
(A) ધારો કે ઘનની બાજુ $a$ છે. વજન $mg$ ઘનના કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે બિંદુ $A$ થી $a/2$ અંતરે છે. બળ $F$ ધાર પર લાગે છે,જે બિંદુ $A$ થી $a$ અંતરે છે.
$1$. ઘન બિંદુ $A$ ની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે તે માટે,$F$ ને કારણે ટોર્ક $A$ ની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક કરતા વધારે હોવું જોઈએ:
$\tau_F > \tau_{mg} \implies F \times a > mg \times \frac{a}{2} \implies F > \frac{mg}{2}$. તેથી,$(b) \rightarrow (iii)$.
$2$. જો $F > mg$ હોય,તો ચોખ્ખું ઉપરનું બળ ધન છે,તેથી ઘન ઉપરની તરફ ગતિ કરશે. તેથી,$(c) \rightarrow (i)$.
$3$. કોઈ ગતિ ન થાય તે માટે,લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ એ બળોને સંતુલિત કરવી જોઈએ અને $A$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ. ધારો કે $x$ એ $A$ થી લંબ પ્રતિક્રિયાનું અંતર છે. તો $N = mg - F$ અને $mg(a/2) - F(a) - N(x) = 0$. $F = mg/4$ માટે,$N = 3mg/4$. કિંમત મૂકતા: $mg(a/2) - (mg/4)a = (3mg/4)x \implies mg(a/4) = (3mg/4)x \implies x = a/3$. તેથી,$(d) \rightarrow (iv)$.
$4$. $\frac{mg}{4} < F < \frac{mg}{2}$ માટે,$F$ નું ટોર્ક ગુરુત્વાકર્ષણના ટોર્ક કરતા ઓછું છે,તેથી ઘન સપાટી પર સંતુલનમાં રહે છે. તેથી,$(a) \rightarrow (ii)$.
$1$. ઘન બિંદુ $A$ ની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે તે માટે,$F$ ને કારણે ટોર્ક $A$ ની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક કરતા વધારે હોવું જોઈએ:
$\tau_F > \tau_{mg} \implies F \times a > mg \times \frac{a}{2} \implies F > \frac{mg}{2}$. તેથી,$(b) \rightarrow (iii)$.
$2$. જો $F > mg$ હોય,તો ચોખ્ખું ઉપરનું બળ ધન છે,તેથી ઘન ઉપરની તરફ ગતિ કરશે. તેથી,$(c) \rightarrow (i)$.
$3$. કોઈ ગતિ ન થાય તે માટે,લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ એ બળોને સંતુલિત કરવી જોઈએ અને $A$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ. ધારો કે $x$ એ $A$ થી લંબ પ્રતિક્રિયાનું અંતર છે. તો $N = mg - F$ અને $mg(a/2) - F(a) - N(x) = 0$. $F = mg/4$ માટે,$N = 3mg/4$. કિંમત મૂકતા: $mg(a/2) - (mg/4)a = (3mg/4)x \implies mg(a/4) = (3mg/4)x \implies x = a/3$. તેથી,$(d) \rightarrow (iv)$.
$4$. $\frac{mg}{4} < F < \frac{mg}{2}$ માટે,$F$ નું ટોર્ક ગુરુત્વાકર્ષણના ટોર્ક કરતા ઓછું છે,તેથી ઘન સપાટી પર સંતુલનમાં રહે છે. તેથી,$(a) \rightarrow (ii)$.
Explore More
Similar Questions
બે ડિસ્ક જેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = 4 \ kg \ m^2$ અને $I_2 = 2 \ kg \ m^2$ તેમના કેન્દ્રીય અક્ષો પર અને તેમના સમતલને લંબ છે,જે અનુક્રમે $10 \ rad/s$ અને $4 \ rad/s$ ની કોણીય ઝડપ સાથે ફરે છે,તેમને સામસામે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે જેથી તેમની ભ્રમણની અક્ષો એકરૂપ થાય. આ પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો . . . . . . $J$ છે.
DifficultJEE MAIN 2024
View Solutionએક ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L$ છે. જ્યારે ભ્રમણ કરતી વસ્તુની આવૃત્તિ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે અને તેની ગતિઊર્જા એક-તૃતીયાંશ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું કોણીય વેગમાન કેટલું થાય?
આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:
$l$ લંબાઈ અને $M$ દળનો એક સળિયો ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર પડેલો છે,જેના પર તે કોઈપણ રીતે ગતિ કરવા માટે મુક્ત છે. $v$ ઝડપથી ગતિ કરતો $m$ દળનો એક દડો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સળિયાના એક છેડા સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે. જો અથડામણ પછી દડો સ્થિર થઈ જાય,તો દડાનું દળ કેટલું હોવું જોઈએ?
Difficult
View Solution$M=0.2 \ kg$ દળનો એક કણ શરૂઆતમાં $xy$-સમતલમાં $(x=-l, y=-h)$ બિંદુ પર સ્થિર છે,જ્યાં $l=10 \ m$ અને $h=1 \ m$ છે. કણને $t=0$ સમયે ધન $x$-દિશામાં $a=10 \ m/s^2$ ના અચળ પ્રવેગથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે તેનું કોણીય વેગમાન અને ટોર્ક $SI$ એકમોમાં અનુક્રમે $\vec{L}$ અને $\vec{\tau}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ એ અનુક્રમે ધન $x, y$ અને $z$-દિશામાં એકમ સદિશો છે. જો $\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ કણ $t=2 \ s$ સમયે $(x=l, y=-h)$ બિંદુ પર પહોંચે છે.
$(B)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=2 \hat{k}$.
$(C)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{L}=4 \hat{k}$.
$(D)$ જ્યારે કણ $(x=0, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=\hat{k}$.
$(A)$ કણ $t=2 \ s$ સમયે $(x=l, y=-h)$ બિંદુ પર પહોંચે છે.
$(B)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=2 \hat{k}$.
$(C)$ જ્યારે કણ $(x=l, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{L}=4 \hat{k}$.
$(D)$ જ્યારે કણ $(x=0, y=-h)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે $\vec{\tau}=\hat{k}$.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo