The Common Forces and Equilibrium of Concurrent Forces Questions in Gujarati

(D) વેગ અચળ રહેવા માટે,પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F}_{net} = m\vec{a}$. જો $\vec{a} = 0$ હોય,તો $\vec{F}_{net} = 0$ થાય.
તેથી,પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(2\hat{i} - 5\hat{j}) + (3\hat{i} - 4\hat{j}) + \vec{F}_3 = 0$
$(2 + 3)\hat{i} + (-5 - 4)\hat{j} + \vec{F}_3 = 0$
$5\hat{i} - 9\hat{j} + \vec{F}_3 = 0$
$\vec{F}_3 = -(5\hat{i} - 9\hat{j})$
$\vec{F}_3 = -5\hat{i} + 9\hat{j}$

(D) ધારો કે દળ $m = 5\, kg$ છે. પદાર્થનું વજન $W = mg = 5 \times 10 = 50\, N$ છે (જ્યાં $g = 10\, m/s^2$ લેતા).
જ્યારે મધ્યબિંદુ પર $50\, N$ નું સમક્ષિતિજ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે દોરડું શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે વિચલિત થાય છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,જે બિંદુ પર બળ લગાડવામાં આવે છે ત્યાં લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. જમણી તરફ લાગતું સમક્ષિતિજ બળ $F = 50\, N$.
$2$. ડાબી તરફ લાગતો તણાવનો ઘટક $T \sin \theta$.
$3$. ઉપરની તરફ લાગતો તણાવનો ઘટક $T \cos \theta$.
$4$. નીચેની તરફ લાગતું વજન $W = 50\, N$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં સંતુલન માટે: $T \sin \theta = F = 50\, N$.
શિરોલંબ દિશામાં સંતુલન માટે: $T \cos \theta = W = 50\, N$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{50}{50} \Rightarrow \tan \theta = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^o$.

(B) આપેલ છે કે ત્રણ બળોનો સરવાળો શૂન્ય છે,$\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec F_1 = -(\vec F_2 + \vec F_3)$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે ત્રણેય બળોને એકબીજાની પાછળ ગોઠવવામાં આવે ત્યારે તે એક બંધ ત્રિકોણ બનાવે છે.
તેમના મૂલ્યો $F_1 = 100\,N$,$F_2 = 80\,N$ અને $F_3 = 60\,N$ છે.
કારણ કે $60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000 = 100^2$,તેથી આ બળો એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ધારો કે $\theta$ એ $\vec F_1$ અને $\vec F_2$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. સદિશ ત્રિકોણમાં,$\vec F_1$ અને $\vec F_2$ વચ્ચેનો ખૂણો એ શિરોબિંદુ પરનો બહિષ્કોણ છે જ્યાં તેઓ મળે છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$60\,N$ મૂલ્યની બાજુની સામેનો અંતઃકોણ $\alpha$ છે,જ્યાં $\sin \alpha = 60/100 = 0.6$,તેથી $\alpha = 37^o$.
સદિશો $\vec F_1$ અને $\vec F_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^o - \alpha = 180^o - 37^o = 143^o$ છે.

(D) ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે અને દોરડું સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
મધ્યબિંદુ પર $m = 15\, kg$ વજન સંતુલનમાં રહે તે માટે,તણાવના ઉર્ધ્વ ઘટકો વજનને સંતુલિત કરવા જોઈએ:
$2T \sin \theta = mg$
તણાવ $T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{mg}{2 \sin \theta}$
દોરડાને સંપૂર્ણપણે સીધું કરવા માટે,દોરડું સમક્ષિતિજ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ખૂણો $\theta = 0^\circ$ હોવો જોઈએ.
જેમ $\theta \to 0^\circ$,તેમ $\sin \theta \to 0$.
તેથી,$T = \frac{mg}{2 \times 0} = \infty$.
આમ,દોરડાને સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ બનાવવા માટે અનંત તણાવની જરૂર પડે છે.

(D) પદાર્થ એક લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સ્થિર છે. પદાર્થ પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,ઉપરની તરફ લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$,અને સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha$ ખૂણે લાગતું બાહ્ય બળ $F = kt$ છે.
બળ $F$ ના ઘટકો પાડતા,ઉર્ધ્વ ઘટક $F_y = F \sin \alpha = kt \sin \alpha$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઉર્ધ્વ દિશામાં ગતિનું સમીકરણ $N + F \sin \alpha = mg$ છે.
જ્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ શૂન્ય થાય ત્યારે પદાર્થ સપાટી છોડે છે.
$N = 0$ લેતા,આપણને $kt \sin \alpha = mg$ મળે છે.
સમય $t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{mg}{k \sin \alpha}$ મળે છે.

(D) નળાકાર સંતુલનમાં રહે તે માટે,સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે ધાર $A$ પરનું લંબ બળ $N_A$ છે અને ધાર $B$ પરનું લંબ બળ $N_B$ છે.
લીસા નળાકારની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ લંબ બળ તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાની દિશામાં લાગે છે.
લંબ બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$N_A$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $N_A \sin 60^{\circ}$ છે (જમણી તરફ).
$N_B$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $N_B \sin 30^{\circ}$ છે (ડાબી તરફ).
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે:
$N_A \sin 60^{\circ} = N_B \sin 30^{\circ}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$N_A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = N_B \cdot \frac{1}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3} N_A = N_B$

(B) તંત્ર સંતુલનમાં હોવા માટે,$x$ અને $y$ બંને દિશામાં તમામ બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$x$-દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$\Sigma F_x = 0 \Rightarrow x + 5 \cos 53^\circ - y \sin 35^\circ = 0$
$\Rightarrow x + 3 - \frac{4y}{5} = 0 \Rightarrow 5x + 15 - 4y = 0$
$y$-દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$\Sigma F_y = 0 \Rightarrow 10 - 5 \sin 53^\circ - y \cos 35^\circ = 0$
$\Rightarrow 10 - 4 - \frac{3y}{5} = 0 \Rightarrow 6 = \frac{3y}{5} \Rightarrow y = 10$
$y = 10$ ની કિંમત મૂકતા,$x = 5$ મળે છે.

(C) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો ત્રણ બળોને એક જ ક્રમમાં લેવાયેલા ત્રિકોણની બાજુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
આપેલ ત્રિકોણ $PQR$ માં,બળો $\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{QR}$ અને $\overrightarrow{RP}$ છે.
તેઓ એક જ ક્રમમાં હોવાથી,કુલ બળ $\overrightarrow{F}_{net} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{0}$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{F}_{net} = m\overrightarrow{a}$.
અહીં $\overrightarrow{F}_{net} = \overrightarrow{0}$ હોવાથી,પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ થાય.
તેથી,કણનો વેગ $\overrightarrow{V}$ અચળ રહેશે.

(B) દોરડાના છેડે લટકાવેલા વજન $W$ ના સંતુલનનો વિચાર કરો.
સ્પષ્ટ છે કે,દોરડાના નીચેના ભાગમાં તણાવ $T_{2}$ એ દળના વજનને સંતુલિત કરતું હોવું જોઈએ.
$T_{2} = m \times g = 6 \; kg \times 10 \; m s^{-2} = 60 \; N$.
હવે,બિંદુ $P$ પર લાગતા ત્રણ બળો - દોરડાના ઉપરના ભાગમાં તણાવ $T_{1}$,દોરડાના નીચેના ભાગમાં તણાવ $T_{2}$,અને $50 \; N$ નું સમક્ષિતિજ બળ - હેઠળ બિંદુ $P$ ના સંતુલનનો વિચાર કરો.
સંતુલન માટે બિંદુ $P$ પરના પરિણામી બળના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો અલગ-અલગ શૂન્ય થવા જોઈએ.
શિરોલંબ ઘટકો માટે: $T_{1} \cos \theta = T_{2} = 60 \; N$.
સમક્ષિતિજ ઘટકો માટે: $T_{1} \sin \theta = 50 \; N$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{T_{1} \sin \theta}{T_{1} \cos \theta} = \frac{50}{60} \implies \tan \theta = \frac{5}{6}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{6}\right) \approx 39.8^{\circ}$,જે આશરે $40^{\circ}$ છે.

(N/A) $7^{\text{th}}$ સિક્કા પર તેની ઉપર રહેલા ત્રણ સિક્કાઓ $(8^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 10^{\text{th}})$ ના વજનને કારણે બળ લાગે છે.
એક સિક્કાનું વજન $= mg$.
ત્રણ સિક્કાનું વજન $= 3mg$.
તેથી,$7^{\text{th}}$ સિક્કા પર તેની ઉપરના ત્રણ સિક્કાઓ દ્વારા લાગતું બળ $3mg$ છે. આ બળ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
$(b)$ $8^{\text{th}}$ સિક્કા દ્વારા $7^{\text{th}}$ સિક્કા પર લાગતું બળ એ $7^{\text{th}}$ સિક્કાની ઉપર રહેલા તમામ સિક્કાઓ $(8^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 10^{\text{th}})$ ના વજન જેટલું હોય છે.
કુલ વજન $= mg + mg + mg = 3mg$.
તેથી,$8^{\text{th}}$ સિક્કા દ્વારા $7^{\text{th}}$ સિક્કા પર લાગતું બળ $3mg$ છે જે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
$(c)$ $6^{\text{th}}$ સિક્કો તેની ઉપર રહેલા તમામ સિક્કાઓ $(7^{\text{th}}, 8^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 10^{\text{th}})$ ના વજનને ટેકો આપે છે.
$6^{\text{th}}$ સિક્કા દ્વારા ટેકો આપવામાં આવતું કુલ વજન $= 4mg$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$6^{\text{th}}$ સિક્કો $7^{\text{th}}$ સિક્કા પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે.
તેથી,$6^{\text{th}}$ સિક્કાની $7^{\text{th}}$ સિક્કા પરની પ્રતિક્રિયા બળ $4mg$ છે જે શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં લાગે છે.

(D) ધારો કે $N_B$ અને $N_C$ એ ફ્લોર દ્વારા લેડર પર બિંદુ $B$ અને $C$ પર લાગતા લંબબળો છે. ધારો કે $T$ એ દોરડા $DE$ માં તણાવ છે.
આપેલ છે: $BA = CA = 1.6 \; m$,$DE = 0.5 \; m$,$BF = 1.2 \; m$,$m = 40 \; kg$.
$D$ અને $E$ એ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$DE$ એ $BC$ ને સમાંતર છે અને $DE = \frac{1}{2} BC$. તેથી,$BC = 2 \times DE = 1.0 \; m$.
ધારો કે $I$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $AI$ એ $\triangle ABC$ નો વેધ છે. $BI = IC = 0.5 \; m$.
$AF = BA - BF = 1.6 - 1.2 = 0.4 \; m$.
$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AD = 0.8 \; m$. $F$ એ $A$ થી $0.4 \; m$ અંતરે છે,તેથી $F$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $H$ એ $DE$ અને $AI$ નું છેદબિંદુ છે. $DH = \frac{1}{2} BI = 0.25 \; m$.
ધારો કે $G$ એ $AI$ પર $F$ નો પ્રક્ષેપ છે. $F$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$FG = \frac{1}{2} DH = 0.125 \; m$ અને $AG = \frac{1}{2} AH$.
$\triangle ADH$ માં,$AH = \sqrt{AD^2 - DH^2} = \sqrt{0.8^2 - 0.25^2} = \sqrt{0.64 - 0.0625} = \sqrt{0.5775} \approx 0.76 \; m$.
સ્થાનાંતર સંતુલન: $N_B + N_C = mg = 40 \times 9.8 = 392 \; N$.
$A$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ સંતુલન: $N_B \times BI - N_C \times IC + mg \times FG = 0$ (ઘડિયાળની દિશાને ધન લેતા).
$N_B(0.5) - N_C(0.5) + 392(0.125) = 0 \implies 0.5(N_C - N_B) = 49 \implies N_C - N_B = 98$.
$N_B + N_C = 392$ અને $N_C - N_B = 98$ ઉકેલતા,આપણને $N_C = 245 \; N$ અને $N_B = 147 \; N$ મળે છે.
બાજુ $AB$ માટે,$A$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા: $N_B \times BI - mg \times FG - T \times AG = 0$.
$147 \times 0.5 - 392 \times 0.125 - T \times (0.76/2) = 0$.
$73.5 - 49 = T \times 0.38 \implies 24.5 = 0.38T \implies T \approx 64.47 \; N$.

(C) જરૂરી બળોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.
જો આ ત્રણેય બળોને એક જ ક્રમમાં ત્રિકોણની બાજુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે.
આ સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ પર આધારિત છે,જ્યાં $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 0$ થાય છે.

(N/A) સ્થિર પદાર્થને ગતિમાં લાવવા અથવા ગતિમાન પદાર્થને અટકાવવા માટે બળની જરૂર પડે છે. પદાર્થના સંપર્કમાં હોવું હંમેશા જરૂરી નથી. તેથી,મુખ્યત્વે બળના બે પ્રકારો છે:
$(i)$ સંપર્ક બળ (Contact Force):
સંપર્ક બળમાં પદાર્થો વચ્ચે ભૌતિક આંતરક્રિયા થાય છે. અન્ય પદાર્થ સાથેના સંપર્કને કારણે પદાર્થની ગતિ અથવા સ્થિરતાની સ્થિતિ બદલી શકાય છે.
સંપર્ક બળ સંપર્કમાં રહેલા બંને પદાર્થો પર લાગે છે.
સંપર્ક બળ ધક્કો અથવા ખેંચાણ હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ: ટેબલ પર પડેલા બ્લોકને ધક્કો મારી શકાય અથવા ખેંચી શકાય છે. અહીં,સંપર્ક બળ બ્લોક અને ટેબલ બંને પર લાગે છે.
$(ii)$ ક્ષેત્ર બળ (Field Force):
જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અથવા વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં હોય,ત્યારે તે ક્ષેત્રને કારણે બળ અનુભવે છે.
ક્ષેત્ર બળમાં પદાર્થો વચ્ચે કોઈ ભૌતિક આંતરક્રિયા હોતી નથી.
ચુંબકીય બળ,વિદ્યુત બળ અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ક્ષેત્ર બળના ઉદાહરણો છે.
ઉદાહરણ $1$: બિલ્ડિંગની ટોચ પરથી મુક્ત પતન કરતો પદાર્થ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રને કારણે પ્રવેગિત ગતિ કરે છે. અહીં,પૃથ્વી અને ગતિમાન પદાર્થ વચ્ચે કોઈ ભૌતિક સંપર્ક નથી,છતાં તે પ્રવેગિત ગતિ કરે છે.
ઉદાહરણ $2$: જ્યારે ખીલીને ગજિયા ચુંબકની નજીક રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે આકર્ષાય છે.

(N/A) સમાનતા: સંપર્ક બળ અને ક્ષેત્ર બળ બંને બે પદાર્થો વચ્ચેની પરસ્પર આંતરક્રિયાઓ છે,જેનો અર્થ છે કે ન્યૂટનના $3^{rd}$ નિયમ મુજબ તે હંમેશા જોડીમાં જોવા મળે છે.
તફાવત:
$(i)$ સંપર્ક બળ માટે બે પદાર્થો વચ્ચે ભૌતિક સંપર્ક જરૂરી છે (દા.ત.,ઘર્ષણ,લંબબળ),જ્યારે ક્ષેત્ર બળ ભૌતિક સંપર્ક વગર અંતરેથી કાર્ય કરે છે (દા.ત.,ગુરુત્વાકર્ષણ,સ્થિત-વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય બળ).
$(ii)$ ક્ષેત્ર બળો (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળો) સામાન્ય રીતે સંરક્ષી બળો છે,જ્યારે સંપર્ક બળો (જેમ કે ઘર્ષણ અને હવાના અવરોધ) સામાન્ય રીતે અસંરક્ષી બળો છે.

(N/A) $1$. બળની વ્યાખ્યા: બળ એટલે પદાર્થ પર લાગતો ધક્કો કે ખેંચાણ,જે પદાર્થની સ્થિર કે ગતિમાન અવસ્થામાં ફેરફાર કરવાની અથવા તેનો આકાર કે કદ બદલવાની ક્ષમતા ધરાવે છે.
$2$. સંપર્ક બળ: સંપર્ક બળ એવું બળ છે જે પદાર્થ પર ત્યારે જ લાગે છે જ્યારે તે બીજા પદાર્થના સીધા ભૌતિક સંપર્કમાં આવે. ઉદાહરણ તરીકે ઘર્ષણ બળ,તણાવ બળ અને લંબબળ.
$3$. ક્ષેત્ર બળ (બિન-સંપર્ક બળ): ક્ષેત્ર બળ એવું બળ છે જે કોઈ પણ ભૌતિક સંપર્ક વગર પદાર્થ પર લાગે છે,જે સામાન્ય રીતે કોઈ ક્ષેત્ર (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર) દ્વારા કાર્ય કરે છે. તેના બે ઉદાહરણો:
$(i)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
(ii) સ્થિત વિદ્યુત બળ

(B) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ સ્થિર રહે છે અથવા અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખે છે.
જ્યારે પદાર્થ સ્થિર હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
જ્યારે પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ પણ શૂન્ય છે.
તેથી,બંને સ્થિતિઓ ગતિશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં ભૌતિક રીતે સમાન છે કારણ કે બંને કિસ્સામાં પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી (નેટ) બળ શૂન્ય $(F_{net} = 0)$ છે.
આ સ્થિતિને સ્થાનાંતરિત સંતુલન કહેવામાં આવે છે. પદાર્થની તેની સ્થિર અવસ્થા અથવા સમાન ગતિની અવસ્થામાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરવાની ક્ષમતાને જડત્વ કહેવામાં આવે છે,જે પદાર્થના દળ દ્વારા માપવામાં આવે છે.

(N/A) સંગામી બળો: જો આપેલા તમામ બળોની કાર્યરેખા એક જ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય,તો આ બળોને સંગામી બળો કહેવામાં આવે છે.
મિકેનિક્સમાં,જ્યારે કણ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય,ત્યારે કણ સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય છે. આ કિસ્સામાં કણ કાં તો સ્થિર હોય છે અથવા અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોય છે.
જો કણ પર માત્ર એક જ બળ $\vec{F}$ લાગે,તો તેની ગતિ પ્રવેગી હોય છે અને તે સંતુલનમાં રહી શકતું નથી.
જો કણ પર બે બળો $\vec{F}_{1}$ અને $\vec{F}_{2}$ લાગતા હોય,તો સંતુલન માટે $\Sigma \vec{F} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે:
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = 0$
$\therefore \vec{F}_{1} = -\vec{F}_{2}$
જો કણ પર ત્રણ બળો $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2},$ અને $\vec{F}_{3}$ લાગતા હોય,તો સંતુલન માટે $\Sigma \vec{F} = 0$:
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$
$\therefore \vec{F}_{3} = -(\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2})$
બળોના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,$\vec{F}_{1}$ અને $\vec{F}_{2}$ નું પરિણામી બળ વિકર્ણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. જ્યારે સમાન મૂલ્યનું બળ $\vec{F}_{3}$ વિરુદ્ધ દિશામાં લગાડવામાં આવે ત્યારે કણ સંતુલનમાં રહેશે. સદિશના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RP} = 0$
$\therefore \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$
$\therefore \Sigma \vec{F} = 0$

(N/A) જ્યારે કોઈ કણ બે બળોની અસર હેઠળ સંતુલનમાં હોય,ત્યારે તે કણ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે બળો $\vec{F}_1$ અને $\vec{F}_2$ છે.
સંતુલન માટેની શરત $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{F}_1 = -\vec{F}_2$.
તેથી,બંને બળો મૂલ્યમાં સમાન,દિશામાં પરસ્પર વિરુદ્ધ અને એક જ રેખા પર કાર્યરત હોવા જોઈએ.

(N/A) જ્યારે કોઈ કણ ત્રણ બળો $\vec{F_1}$,$\vec{F_2}$ અને $\vec{F_3}$ ની અસર હેઠળ સંતુલનમાં હોય,ત્યારે આ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$.
ભૌમિતિક રીતે,આનો અર્થ એ છે કે ત્રણ બળ સદિશો,જ્યારે એકબીજાની પાછળ (head-to-tail) ગોઠવવામાં આવે,ત્યારે એક બંધ ત્રિકોણ બનાવવો જોઈએ. આને સંતુલનનો ત્રિકોણનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) જો કોઈ કણ પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તે કણ સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\sum \vec{F} = 0$
જ્યાં $\sum \vec{F}$ એ કણ પર લાગતા તમામ બાહ્ય બળોનો સદિશ સરવાળો દર્શાવે છે.
કાર્તેઝિયન ઘટકોના સંદર્ભમાં,આનો અર્થ એ થાય છે કે:
$\sum F_x = 0$,$\sum F_y = 0$,અને $\sum F_z = 0$.

(N/A) યાંત્રિકીમાં બળોને મુખ્યત્વે બે શ્રેણીઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે: ક્ષેત્ર બળો અને સંપર્ક બળો.
$1$. ક્ષેત્ર બળો: આ બળો ભૌતિક સંપર્ક વિના અંતરેથી કાર્ય કરે છે. ઉદાહરણોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વિદ્યુત બળ અને વિદ્યુતચુંબકીય બળનો સમાવેશ થાય છે.
$2$. સંપર્ક બળો: આ બળો બે પદાર્થો વચ્ચેના ભૌતિક સંપર્કને કારણે ઉદ્ભવે છે. ઉદાહરણો:
- લંબબળ (Normal Force): જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટી પર સ્થિર હોય,ત્યારે સપાટીને લંબ રૂપે લાગતા સંપર્ક બળના ઘટકને લંબબળ $(N)$ કહેવામાં આવે છે.
- ઘર્ષણ બળ (Frictional Force): સપાટીને સમાંતર લાગતા સંપર્ક બળના ઘટકને ઘર્ષણ બળ $(f)$ કહેવામાં આવે છે.
- તણાવ બળ (Tension): જ્યારે દોરી,દોરડું કે કેબલને વિરુદ્ધ છેડેથી ખેંચવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું બળ.
- પુનઃસ્થાપક બળ (સ્પ્રિંગ બળ): જ્યારે સ્પ્રિંગ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં પુનઃસ્થાપક બળ ઉદ્ભવે છે જે તેને મૂળ આકારમાં લાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે. આ બળ લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $(x)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તેને સમીકરણ $F = -kx$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.

(N/A) ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં પદાર્થ પર લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે વપરાતી આકૃતિ છે.
$1$. તે પદાર્થને તેના આસપાસના વાતાવરણથી અલગ કરીને દર્શાવે છે.
$2$. પદાર્થ પર લાગતા તમામ બાહ્ય બળોને પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી ઉદ્ભવતા સદિશો તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. આ બળોમાં સામાન્ય રીતે ગુરુત્વાકર્ષણ (વજન),લંબબળ,તણાવબળ,ઘર્ષણ અને લાગુ પાડેલા બળોનો સમાવેશ થાય છે.
$4$. $FBD$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ,$\sum \vec{F} = m\vec{a}$ નો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત બળો અથવા પ્રવેગ શોધવામાં મદદ કરે છે.

(A) હા,જો એક સ્થિર પદાર્થ પર ઘણાં બધા બાહ્યબળો લાગતા હોય તો પણ તે સ્થિર રહી શકે છે. ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બાહ્યબળ શૂન્ય હોય,તો પદાર્થ પોતાની સ્થિર અવસ્થા જાળવી રાખે છે. જો બધા લાગુ પડેલા બળોનો સદિશ સરવાળો $\sum \vec{F} = 0$ થાય,તો પદાર્થ સ્થિર રહેશે.

(D) જ્યારે પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય $(F_{net} = 0)$ હોય ત્યારે પદાર્થ સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય $(a = 0)$ છે.
તેથી,જો પદાર્થ સ્થિર હોય તો તે સ્થિર રહે છે,અને જો તે ગતિમાં હોય તો તે અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખે છે.

(C) જો કોઈ પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ અને પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક બંને શૂન્ય હોય,તો તે પદાર્થ યાંત્રિક સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય.
ગાણિતિક રીતે,યાંત્રિક સંતુલન માટે:
$1$. બધા બાહ્ય બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\sum \vec{F}_{ext} = 0$.
$2$. કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે બધા બાહ્ય ટોર્કનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\sum \vec{\tau}_{ext} = 0$.
જો આ શરતો સંતોષાય,તો પદાર્થમાં કોઈ રેખીય પ્રવેગ કે કોણીય પ્રવેગ હશે નહીં.

(B) જ્યારે કોઈ કણ સ્થિર હોય અથવા અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તે સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ છે.
કણ સંતુલનમાં રહે તે માટે તેનો પ્રવેગ $a$ શૂન્ય $(a = 0)$ હોવો જોઈએ.
તેથી,કણ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય $(F_{net} = 0)$ હોવું જોઈએ.

(N/A) જ્યારે કોઈ કણ પર એક કરતાં વધુ બળો લાગતાં હોય ત્યારે તે કણ સંતુલનમાં છે તેમ ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે તેના પર લાગતાં તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય.
ગાણિતિક રીતે,આ શરતને $\Sigma \vec{F} = 0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
બળ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,આ શરતનો અર્થ એ થાય છે કે દરેક યામ અક્ષ પરના બળોના ઘટકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\Sigma F_{x} = 0$,$\Sigma F_{y} = 0$ અને $\Sigma F_{z} = 0$.

(N/A) પદાર્થ અચળ ઝડપે (અચળ વેગથી) ગતિ કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે,એટલે કે $\vec{a} = 0$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $\vec{F}_{net} = m\vec{a} = 0$ થાય. તેથી,$\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$.
$(a)$ ત્રણ બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,જ્યારે તેમને એકબીજાની પાછળ ગોઠવવામાં આવે ત્યારે તેઓ એક બંધ ત્રિકોણ બનાવે છે. ત્રિકોણ એ દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિ છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રણેય સદિશો એક જ સમતલમાં હોવા જોઈએ. તેથી,આ બળો એક જ સમતલમાં (coplanar) છે.
$(b)$ કોઈપણ બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\vec{\tau} = \sum (\vec{r_i} \times \vec{F_i})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા બળો બિંદુ $P$ પર લાગતા હોવાથી,$P$ ની સાપેક્ષે બધા બળોના કાર્યબિંદુનો સ્થાન સદિશ શૂન્ય છે. તેથી,બિંદુ $P$ ને અનુલક્ષીને ટોર્ક શૂન્ય છે. અન્ય કોઈપણ બિંદુ $O$ માટે,કુલ ટોર્ક $\vec{\tau}_O = \vec{OP} \times (\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3})$ થાય. કારણ કે $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$ છે,તેથી કોઈપણ બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને ટોર્ક પણ શૂન્ય થાય છે.

(N/A) બિંદુ $P$ પર લાગતા બળો $1 \text{ N}$ (શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ખૂણે),$2 \text{ N}$ (શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ખૂણે),$F_2$ (સમક્ષિતિજ દિશામાં) અને $F_1$ (શિરોલંબ નીચેની દિશામાં) છે.
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\sum \overrightarrow{F} = 0$.
બળોને સમક્ષિતિજ ($x$-અક્ષ) અને શિરોલંબ ($y$-અક્ષ) દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$\sum F_x = 0 \implies F_2 + 1 \cos 45^{\circ} - 2 \cos 45^{\circ} = 0$
$F_2 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} = 0$
$F_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \implies F_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ N} \approx 0.707 \text{ N}$.
$\sum F_y = 0 \implies 1 \sin 45^{\circ} + 2 \sin 45^{\circ} - F_1 = 0$
$F_1 = 3 \sin 45^{\circ} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \text{ N} \approx 2.121 \text{ N}$.

(N/A) લીવરનો યાંત્રિક ફાયદો $(MA)$ એ લોડ બળ $(L)$ અને પ્રયત્ન બળ $(E)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે:
$MA = \frac{L}{E}$
વૈકલ્પિક રીતે,આધારબિંદુ (fulcrum) થી અંતરના સંદર્ભમાં,તે પ્રયત્ન ભુજાની લંબાઈ $(d_E)$ અને લોડ ભુજાની લંબાઈ $(d_L)$ નો ગુણોત્તર છે:
$MA = \frac{d_E}{d_L}$
$1$ કરતા વધારે યાંત્રિક ફાયદો સૂચવે છે કે લીવર ઇનપુટ બળનો ગુણાકાર કરે છે,જેનાથી ભારે લોડ ઉપાડવાનું સરળ બને છે.

(D) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો ત્રણ બળો $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ અને $\vec{F}_{3}$ ને સમાન ક્રમમાં લીધેલ ત્રિકોણની બાજુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = -\vec{F}_{3}$.
કારણ કે કુલ બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$ છે,તેથી તંત્ર સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં છે.
વિધાન-$I$ સાચું છે કારણ કે બંધ ત્રિકોણ બનાવતા બળો સંગામી હોય છે (અથવા તેમને સંગામી બનાવવા માટે સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે) અને તેમનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,જે સંતુલનની શરતનું પાલન કરે છે.
વિધાન-$II$ પણ સાચું છે કારણ કે ત્રિકોણની આસપાસ સમાન ક્રમમાં લીધેલ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,જે સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટેની શરત છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) ધારો કે દોરડાના ઉપરના અડધા ભાગમાં તણાવ $T_1$ છે અને નીચેના અડધા ભાગમાં તણાવ $T_2$ છે. દોરડાનો નીચેનો અડધો ભાગ $m = 10 \, kg$ દળને ટેકો આપે છે,તેથી $T_2 = mg = 10 \times 10 = 100 \, N$.
મધ્ય બિંદુ પર જ્યાં આડું બળ $F = 30 \, N$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યાં આપણે આડી અને ઊભી દિશામાં બળોનું સંતુલન ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
આડા સંતુલન માટે: $T_1 \sin \theta = F = 30 \, N$.
ઊભા સંતુલન માટે: $T_1 \cos \theta = T_2 = 100 \, N$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_1 \sin \theta}{T_1 \cos \theta} = \frac{30}{100} \Rightarrow \tan \theta = 0.3$.
આપેલ છે કે $\theta = \tan^{-1}(x \times 10^{-1})$,તેથી $\tan \theta = x \times 10^{-1} = \frac{x}{10}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{x}{10} = 0.3 \Rightarrow x = 3$.

(A) પદાર્થનો કુલ પ્રવેગ શૂન્ય થાય તે માટે પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે જરૂરી વધારાનું બળ $\overrightarrow{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j}$ છે.
પદાર્થ પર લાગતા બળો $5 \hat{i}$ (ધન $x$ દિશામાં),$-6 \hat{i}$ (ઋણ $x$ દિશામાં),$7 \hat{j}$ (ધન $y$ દિશામાં),અને $-8 \hat{j}$ (ઋણ $y$ દિશામાં) છે.
સંતુલન માટેની શરત $\sum \overrightarrow{F} = 0$ છે.
$\overrightarrow{F} + (5 \hat{i} - 6 \hat{i}) + (7 \hat{j} - 8 \hat{j}) = 0$
$\overrightarrow{F} - 1 \hat{i} - 1 \hat{j} = 0$
$\overrightarrow{F} = 1 \hat{i} + 1 \hat{j}$
બળનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ N}$ છે.
ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{1}{1} = 1$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(D) તંત્ર સંતુલનમાં હોવા માટે,સમક્ષિતિજ $(x)$ અને શિરોલંબ $(y)$ બંને દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે સમક્ષિતિજ દિશા $x$-અક્ષ છે અને શિરોલંબ દિશા $y$-અક્ષ છે.
બળોને ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$1$. $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે $1 \text{ N}$ નું બળ: $x$-ઘટક $= 1 \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$y$-ઘટક $= 1 \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$. $x$-અક્ષ સાથે $135^{\circ}$ ના ખૂણે $2 \text{ N}$ નું બળ: $x$-ઘટક $= 2 \cos 135^{\circ} = -\sqrt{2}$,$y$-ઘટક $= 2 \sin 135^{\circ} = \sqrt{2}$.
$3$. ધન $x$-અક્ષની દિશામાં $F_{1}$ બળ: $x$-ઘટક $= F_{1}$,$y$-ઘટક $= 0$.
$4$. ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં $F_{2}$ બળ: $x$-ઘટક $= 0$,$y$-ઘટક $= -F_{2}$.
$x$-દિશામાં બળોનો સરવાળો: $F_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = 0 \implies F_{1} = \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y$-દિશામાં બળોનો સરવાળો: $\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} - F_{2} = 0 \implies F_{2} = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $F_{1} : F_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{3}{\sqrt{2}} = 1 : 3$.
આમ,$x = 3$.

(D) આધાર બિંદુએ,તણાવબળ $T$ શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે લાગે છે.
આખા દોરડાના શિરોલંબ સંતુલન માટે,બંને છેડા પરના તણાવબળના શિરોલંબ ઘટકોએ દોરડાના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$2T \cos 30^{\circ} = mg$
$T = \frac{mg}{2 \cos 30^{\circ}}$
ધારો કે $T_1$ એ દોરડાના સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવબળ છે. આ બિંદુએ,તણાવબળ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે. દોરડાના અડધા ભાગના સંતુલનને ધ્યાનમાં લેતા,આધાર પરના તણાવબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક એ સૌથી નીચલા બિંદુએ રહેલા તણાવબળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$T_1 = T \sin 30^{\circ}$
$T$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_1 = \left( \frac{mg}{2 \cos 30^{\circ}} \right) \sin 30^{\circ} = \frac{mg}{2} \tan 30^{\circ}$
અહીં $m = 5 \,kg$,$g = 10 \,m/s^2$,અને $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે:
$T_1 = \frac{5 \times 10}{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}} \approx \frac{25}{1.732} \approx 14.43 \,N$
આમ,સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવબળ આશરે $14 \,N$ છે.

(B) તંત્ર સંતુલનમાં છે. ધારો કે $m_1$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું લટકાવવાના બિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાથી અંતર $r_1$ છે અને $m_2$ માટે તે $r_2$ છે.
ગોળાઓ સંપર્કમાં હોવાથી,$r_1 + r_2 = 2R$ થાય.
સંપર્ક બિંદુની આસપાસ ભ્રમણીય સંતુલન માટે,સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ ધરીની આસપાસ બંને ગોળાઓના વજનને કારણે લાગતા ટોર્ક સંતુલિત હોવા જોઈએ.
$m_1 g r_1 = m_2 g r_2$
સમીકરણમાં $r_1 = 2R - r_2$ મૂકતા:
$m_1 (2R - r_2) = m_2 r_2$
$2 m_1 R - m_1 r_2 = m_2 r_2$
$2 m_1 R = r_2 (m_1 + m_2)$
$r_2 = \frac{2 m_1 R}{m_1 + m_2}$
નાના ખૂણા $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{r_2}{L}$ થાય.
$r_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\theta = \frac{2 m_1 R}{(m_1 + m_2) L}$

(A) રમકડું સંતુલનમાં હોવાથી (તે ખસતું નથી),તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
રમકડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. બાળક દ્વારા લગાડવામાં આવતું ધક્કા બળ $F$.
$2$. રમકડાનું વજન $(W = mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. જમીન દ્વારા લગાડવામાં આવતું લંબબળ $(N)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$4$. જમીન દ્વારા લગાડવામાં આવતું ઘર્ષણ બળ $(f)$ જે ગતિનો વિરોધ કરવા માટે આડી દિશામાં લાગે છે.
ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,સંતુલનમાં રહેલા પદાર્થ માટે તેના પર લાગતા તમામ બાહ્ય બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{F} + \vec{W} + \vec{N} + \vec{f} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે આ ચારેય બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(A) બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ઉર્ધ્વ દિશામાં, લાગુ પાડેલા બળ $F$ નો ઉર્ધ્વ ઘટક બ્લોકના વજન $(mg)$ ને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
બળનો ઉર્ધ્વ ઘટક $F \sin 45^{\circ}$ છે.
ઉર્ધ્વ બળોને સરખાવતા: $F \sin 45^{\circ} = mg$.
અહીં $m = 4 \; kg$ અને $g = 10 \; m/s^2$ આપેલ છે, તેથી $mg = 4 \times 10 = 40 \; N$.
કિંમતો મૂકતા: $F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 40$.
તેથી, $F = 40 \sqrt{2} \; N$.

(B) લંબબળ શોધવા માટે,આપણે બ્લોક પર શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. જમીન દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$,જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. લાગુ પાડેલા બળ $F$ નો શિરોલંબ ઘટક. ખૂણો $\theta$ શિરોલંબ સાથે આપેલો હોવાથી,શિરોલંબ ઘટક $F \cos \theta$ થશે,જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
બ્લોક શિરોલંબ સંતુલનમાં હોવાથી,ઉપરની તરફ લાગતા બળોનો સરવાળો નીચેની તરફ લાગતા બળોના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ:
$N + F \cos \theta = mg$
લંબબળ $N$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$N = mg - F \cos \theta$
આમ,બ્લોક દ્વારા જમીન પર લાગતું લંબબળ એ જમીન દ્વારા બ્લોક પર લાગતા લંબબળ જેટલું જ હોય છે,જે $mg - F \cos \theta$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(C) પુસ્તકનું દળ $m = 5 \,kg$ છે.
પુસ્તકને નીચેની તરફ દબાવતું બળ $F = 10 \,N$ છે.
પુસ્તક પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = mg = 5 \times 9.8 = 49 \,N$ છે.
પુસ્તક સંતુલનમાં હોવાથી,ટેબલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ એ કુલ અધોદિશાના બળને સંતુલિત કરશે.
તેથી,$N = mg + F$.
$N = 49 \,N + 10 \,N = 59 \,N$.
આમ,ટેબલ દ્વારા પુસ્તક પર લાગતું લંબબળ $59 \,N$ છે.

(B) બ્લોક $C$ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું બળ શોધવા માટે,આપણે બ્લોક $C$ ની ઉપરની સિસ્ટમ પર લાગતા બળોને ધ્યાનમાં લેવા પડશે.
બ્લોક $B$ એ બ્લોક $A$ ને ટેકો આપે છે અને તેનું પોતાનું વજન પણ ધરાવે છે.
બ્લોક $B$ દ્વારા બ્લોક $A$ પર લાગતું લંબબળ $N_1$ એ બ્લોક $A$ ના વજન જેટલું છે,તેથી $N_1 = m_1 g$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક $A$ બ્લોક $B$ પર નીચેની તરફ સમાન અને વિરુદ્ધ બળ $N_1$ લગાડે છે.
હવે,બ્લોક $B$ ની ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. બ્લોક $B$ પર નીચેની તરફ લાગતા બળો તેનું પોતાનું વજન $(m_2 g)$ અને બ્લોક $A$ દ્વારા લાગતું બળ $(N_1 = m_1 g)$ છે.
ધારો કે $N_2$ એ બ્લોક $C$ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું લંબબળ (ઉપરની તરફ) છે.
બ્લોક $B$ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું બળ નીચેની તરફ લાગતા બળોને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$N_2 = m_2 g + N_1$
$N_2 = m_2 g + m_1 g$
$N_2 = (m_1 + m_2) g$
તેથી,બ્લોક $C$ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું બળ $(m_1 + m_2) g$ છે.

(C) સાચો જવાબ $(C)$ છે.
કોઈ પદાર્થ ત્યારે જ સ્થિર રહી શકે જો તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય.
આનો અર્થ એ નથી કે પદાર્થ પર કોઈ બળ લાગતું નથી; પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ પર લાગતા તમામ વ્યક્તિગત બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય છે.
$\vec{F}_{\text{net}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots + \vec{F}_n = 0$.
ઉદાહરણ તરીકે,ટેબલ પર પડેલા પુસ્તક પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (નીચેની તરફ) અને લંબબળ (ઉપરની તરફ) લાગે છે,જે એકબીજાને સંતુલિત કરે છે.

(C) જો કોઈ પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય,તો તે પદાર્થ સંતુલન અવસ્થામાં છે તેમ કહેવાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a}$.
જો $\vec{F}_{\text{net}} = 0$ હોય,તો $m\vec{a} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} = 0$ (કારણ કે દળ $m \neq 0$ છે).
તેથી,પદાર્થનો ચોખ્ખો પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સંતુલનનો અર્થ એ નથી કે પદાર્થ સ્થિર જ હોય (તે અચળ વેગથી ગતિ કરતો પણ હોઈ શકે) અથવા તેના પર કોઈ બળ લાગતું નથી (ઘણા બળો લાગતા હોઈ શકે છે જેનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે).

(D) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ સ્થિર રહે તે માટે,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
પદાર્થ પર ત્રણ બળો લાગે છે: સમક્ષિતિજ બળ $F$,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,અને દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$.
સંતુલનની સ્થિતિ મુજબ,આ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{F} + m\vec{g} + \vec{T} = 0$
$\vec{T} = -(\vec{F} + m\vec{g})$
તણાવ બળ $T$ નું મૂલ્ય એ સમક્ષિતિજ બળ $F$ અને ઉર્ધ્વ વજન $mg$ ના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે,જે એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે લાગે છે:
$T = \sqrt{F^2 + (mg)^2}$
$T = \sqrt{F^2 + m^2g^2}$
આમ,દોરી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ $\sqrt{F^2 + m^2g^2}$ છે.

(B) માણસ અને થેલી દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું કુલ અધોગામી બળ તેમના વજનના સરવાળા જેટલું હોય છે.
માણસનું વજન $(W_m)$ = $m \times g = 50 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 = 490 \,N$.
થેલીનું વજન $(W_b)$ = $40 \,N$.
કુલ અધોગામી બળ $(F_{total})$ = $W_m + W_b = 490 \,N + 40 \,N = 530 \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભોંયતળિયું માણસના પગ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં લંબબળ $(N)$ લગાડે છે.
તેથી,$N = 530 \,N$.

(D) ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે અને દોરડું શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta$ છે.
વજન $Mg$ ના સંતુલન માટે,તણાવના શિરોલંબ ઘટકોએ વજનને સંતુલિત કરવું આવશ્યક છે:
$2T \cos \theta = Mg$
$T = \frac{Mg}{2 \cos \theta}$
દોરડાને સંપૂર્ણપણે સીધું કરવા માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ $90^{\circ}$ થવો જોઈએ.
તણાવના સમીકરણમાં $\theta = 90^{\circ}$ મૂકતા:
$T = \frac{Mg}{2 \cos 90^{\circ}} = \frac{Mg}{2 \times 0} = \infty$
આમ,દોરડાને સંપૂર્ણપણે આડું (સીધું) કરવા માટે અનંત તણાવની જરૂર પડે છે.

(B) $10\,kg$ ના બ્લોકને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $T = mg = 10 \times 10 = 100\,N$ છે.
ગરેડી (pulley) માટે,નીચેની તરફનું બળ $2T = 2 \times 100 = 200\,N$ છે. આ બળ $T_1$ અને $T_2$ ના શિરોલંબ ઘટકો દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
ધારો કે સમક્ષિતિજ સાથેના ખૂણા અનુક્રમે $60^{\circ}$ અને $30^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે: $T_1 \cos 60^{\circ} = T_2 \cos 30^{\circ} \implies T_1 \times \frac{1}{2} = T_2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \implies T_1 = \sqrt{3} T_2 \dots(i)$
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $T_1 \sin 60^{\circ} + T_2 \sin 30^{\circ} = 200\,N$.
શિરોલંબ સંતુલનના સમીકરણમાં $(i)$ મૂકતા:
$(\sqrt{3} T_2) \sin 60^{\circ} + T_2 \sin 30^{\circ} = 200$
$(\sqrt{3} T_2) \times \frac{\sqrt{3}}{2} + T_2 \times \frac{1}{2} = 200$
$\frac{3}{2} T_2 + \frac{1}{2} T_2 = 200$
$2 T_2 = 200 \implies T_2 = 100\,N$.

(A) પિસ્ટનને ઊભી રીતે સિલિન્ડરમાં નીચે ઉતારવા માટે,પિસ્ટન પર લાગતું કુલ આડું (ક્ષૈતિજ) બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે જમણી તરફની આડી દિશા ધન છે.
$1$. બળ $F_1$ (શ્રીમાન $A$ દ્વારા) શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે લાગે છે. તેનો આડો ઘટક $F_1 \sin 60^{\circ}$ ડાબી તરફ છે.
$2$. બળ $F_2$ (શ્રીમાન $B$ દ્વારા) આડા સમતલ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે લાગે છે. તેનો આડો ઘટક $F_2 \cos 60^{\circ}$ જમણી તરફ છે.
$3$. બળ $F_3$ (શ્રીમાન $C$ દ્વારા) આડું જમણી તરફ લાગે છે.
આડી દિશામાં સંતુલન માટે:
$\sum F_x = 0$
$F_2 \cos 60^{\circ} + F_3 = F_1 \sin 60^{\circ}$
કિંમતો $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$\frac{F_2}{2} + F_3 = F_1 \frac{\sqrt{3}}{2}$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$F_2 + 2 F_3 = \sqrt{3} F_1$
આમ,સાચો સંબંધ $\sqrt{3} F_1 = F_2 + 2 F_3$ છે.

(B) ધારો કે જે બિંદુએ ત્રણેય દોરીઓ મળે છે તે સંતુલનમાં છે.
જંકશન પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. તણાવ $T_3$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,જે વજન $W$ ને સંતુલિત કરે છે,તેથી $T_3 = W$.
$2$. તણાવ $T_1$ સમક્ષિતિજ દિશામાં ડાબી તરફ લાગે છે.
$3$. તણાવ $T_2$ એ દોરી $B$ પર દોરી $A$ સાથે $135^{\circ}$ ના ખૂણે લાગે છે.
બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે: $T_2 \cos(180^{\circ} - 135^{\circ}) = T_1 \implies T_2 \cos(45^{\circ}) = T_1 \implies T_2 / \sqrt{2} = T_1$.
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $T_2 \sin(180^{\circ} - 135^{\circ}) = T_3 \implies T_2 \sin(45^{\circ}) = T_3 \implies T_2 / \sqrt{2} = T_3$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $T_1 = T_2 / \sqrt{2}$ અને $T_3 = T_2 / \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,$T_1 = T_3$.

(B) ધારો કે કપનું કેન્દ્ર $O$ છે અને બે ગોળાઓના કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ છે. કપના કેન્દ્રથી દરેક ગોળાના કેન્દ્રનું અંતર $R - r = 3r - r = 2r$ છે.
બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r + r = 2r$ છે.
કપનું કેન્દ્ર અને બે ગોળાઓના કેન્દ્રો દ્વારા બનતા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો. આ $2r, 2r, 2r$ બાજુઓ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
આમ,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N_1$ (કપ દ્વારા) શિરોલંબ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $30^\circ$ છે.
એક ગોળા પરના બળોનું સંતુલન:
શિરોલંબ સંતુલન: $N_1 \cos \theta = mg$
સમક્ષિતિજ સંતુલન: $N_1 \sin \theta = N_2$,જ્યાં $N_2$ એ બે ગોળાઓ વચ્ચેનું પ્રતિક્રિયા બળ છે.
આપેલ છે કે $\theta = 30^\circ$,તેથી $\sin 30^\circ = 1/2$.
તેથી,$N_1 (1/2) = N_2$,જેનો અર્થ છે કે $N_1 / N_2 = 2$.