The Common Forces and Equilibrium of Concurrent Forces Questions in Gujarati

(A) ધારો કે પરિણામી બળ $R = 20 \,N + 30 \,N = 50 \,N$ એ બિંદુ $A$ થી $d$ અંતરે લાગે છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક (મોમેન્ટ) લેતા:
$20 \times 0 + 30 \times 1.5 = 50 \times d$
$45 = 50d$
$d = \frac{45}{50} \,m = 0.9 \,m = 90 \,cm$.
તેથી,પરિણામી બળ $A$ થી $90 \,cm$ અંતરે લાગશે.

(D) ધારો કે દોરી $P$ માં તણાવ $T_P$ છે,દોરી $R$ માં તણાવ $T_R$ છે,અને દોરી $Q$ માં તણાવ $T_Q$ છે. $M = 60\,kg$ દળ દોરી $Q$ દ્વારા લટકાવેલ છે,તેથી $T_Q = Mg = 60 \times 10 = 600\,N$.
જંકશન પોઈન્ટ પર,બળો સંતુલનમાં છે. બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $T_R \cos 30^{\circ} - T_P = 0 \implies T_P = T_R \cos 30^{\circ}$
શિરોલંબ ઘટક: $T_R \sin 30^{\circ} - T_Q = 0 \implies T_R \sin 30^{\circ} = 600\,N$
શિરોલંબ ઘટકના સમીકરણ પરથી,$T_R = \frac{600}{\sin 30^{\circ}} = \frac{600}{0.5} = 1200\,N$.
હવે,$T_R$ ની કિંમત સમક્ષિતિજ ઘટકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_P = 1200 \times \cos 30^{\circ} = 1200 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 600 \times 1.732 = 1039.2\,N$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,દોરી $P$ માં તણાવ $103.9\,N$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m = \sqrt{3} \, kg$ છે. બ્લોકનું વજન નીચેની તરફ $W = mg = \sqrt{3} \times 10 = 10\sqrt{3} \, N$ લાગે છે.
તે બિંદુના સંતુલનનો વિચાર કરો જ્યાં દોરી,બળ $F$ અને વજન જોડાયેલા છે. દોરીમાં તણાવ $T$ એ શિરોલંબ દીવાલ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos 30^{\circ}$ (ઉપરની તરફ)
સમક્ષિતિજ ઘટક: $T \sin 30^{\circ}$ (દીવાલ તરફ)
તંત્ર સંતુલનમાં હોવા માટે:
$1$. શિરોલંબ બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ: $T \cos 30^{\circ} = mg$
$T \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$
$T = 10 \times 2 = 20 \, N$
આમ,તણાવ $T$ એ $20 \, N$ છે.

(C) ગાર્ડન રોલર પર શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળો લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ),વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin 30^{\circ}$ (નીચેની તરફ) છે.
રોલર શિરોલંબ દિશામાં સંતુલનમાં હોવાથી,કુલ બળ શૂન્ય થાય:
$N - mg - F \sin 30^{\circ} = 0$
$N = mg + F \sin 30^{\circ}$
અહીં $m = 70\,kg$,$g = 10\,m s^{-2}$,$F = 200\,N$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ આપેલ છે:
$N = (70 \times 10) + (200 \times \sin 30^{\circ})$
$N = 700 + (200 \times 0.5)$
$N = 700 + 100$
$N = 800\,N$

(D) ધારો કે દોરડાના ઉપરના ભાગમાં તણાવ $T_1$ છે અને નીચેના ભાગમાં તણાવ $T_2$ છે।
$1 \,kg$ દળ સંતુલનમાં હોવાથી, દોરડાના નીચેના ભાગમાં તણાવ $T_2 = mg = 1 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 10 \,N$ થશે।
હવે, જે બિંદુ પર બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે તે બિંદુના સંતુલનનો વિચાર કરો।
બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે: $T_1 \sin 45^{\circ} = F$
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $T_1 \cos 45^{\circ} = T_2 = 10 \,N$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_1 \sin 45^{\circ}}{T_1 \cos 45^{\circ}} = \frac{F}{10}$
$\tan 45^{\circ} = \frac{F}{10}$
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી, આપણને $1 = \frac{F}{10}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $F = 10 \,N$।

(A) ધારો કે દોરડું સમક્ષિતિજ બીમ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. ઊંચાઈ $OQ = L$ અને લંબાઈ $OP = L$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{L}{L} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
મિજાગરા $O$ પર શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન:
$R_y + T \sin 45^{\circ} = W + \alpha W$
$R_y + \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) \quad . . . (i)$
મિજાગરા $O$ પર સમક્ષિતિજ દિશામાં બળોનું સંતુલન:
$R_x = T \cos 45^{\circ} = \frac{T}{\sqrt{2}} \quad . . . (ii)$
બીમ માટે $O$ બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
$W \left(\frac{L}{2}\right) + (\alpha W) L = (T \sin 45^{\circ}) L$
$\frac{W}{2} + \alpha W = \frac{T}{\sqrt{2}}$
$T = \sqrt{2} W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right) \quad . . . (iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી:
$R_x = W \left(\frac{1}{2} + \alpha\right)$. જો $\alpha = 0.5$ હોય,તો $R_x = W(0.5 + 0.5) = W$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(iii)$ પરથી,જો $\alpha = 0.5$ હોય,તો $T = \sqrt{2} W (0.5 + 0.5) = \sqrt{2} W$. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
શિરોલંબ પ્રતિક્રિયા $R_y$ માટે,$(i)$ પરથી:
$R_y = W(1 + \alpha) - \frac{T}{\sqrt{2}} = W(1 + \alpha) - W(\frac{1}{2} + \alpha) = W(1 - 0.5) = 0.5 W$. $R_y$ એ $\alpha$ પર આધારિત ન હોવાથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જો $T > T_{\max} = 2\sqrt{2} W$ હોય તો દોરડું તૂટી જાય છે:
$\sqrt{2} W (\frac{1}{2} + \alpha) > 2\sqrt{2} W$
$\frac{1}{2} + \alpha > 2 \implies \alpha > 1.5$. આમ,વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(B) પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ બંને દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m = 1 \ kg$ અને $g = 10 \ m/s^2$. વજન $W = mg = 1 \times 10 = 10 \ N$.
તણાવ બળોના ઘટકો પાડતા:
સમક્ષિતિજ દિશા: $T_1 \cos 60^{\circ} = T_2 \cos 30^{\circ}$
$T_1 (1/2) = T_2 (\sqrt{3}/2) \implies T_1 = T_2 \sqrt{3}$
શિરોલંબ દિશા: $T_1 \sin 60^{\circ} + T_2 \sin 30^{\circ} = mg$
$T_1 (\sqrt{3}/2) + T_2 (1/2) = 10$
શિરોલંબ સમીકરણમાં $T_1 = T_2 \sqrt{3}$ મૂકતા:
$(T_2 \sqrt{3}) (\sqrt{3}/2) + T_2 (1/2) = 10$
$T_2 (3/2) + T_2 (1/2) = 10$
$2 T_2 = 10 \implies T_2 = 5 \ N$
હવે,$T_1 = T_2 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} \ N$.
આમ,તણાવ બળો $T_1$ અને $T_2$ અનુક્રમે $5 \sqrt{3} \ N$ અને $5 \ N$ છે.

(B) પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,તણાવના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો બળોને સંતુલિત કરવા જોઈએ.
સમક્ષિતિજ સંતુલન: $T_1 \cos \theta_1 = T_2 \cos \theta_2$.
આપેલ છે કે $T_1 = \sqrt{3} T_2$,તેથી $\sqrt{3} T_2 \cos \theta_1 = T_2 \cos \theta_2$,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{3} \cos \theta_1 = \cos \theta_2$ થાય છે.
શિરોલંબ સંતુલન: $T_1 \sin \theta_1 + T_2 \sin \theta_2 = mg$.
$T_1 = \sqrt{3} T_2$ મૂકતા: $T_2 (\sqrt{3} \sin \theta_1 + \sin \theta_2) = mg$.
વિકલ્પ $B$ ચકાસતા: $\theta_1 = 60^{\circ}$ અને $\theta_2 = 30^{\circ}$.
સમક્ષિતિજ ચકાસણી: $\sqrt{3} \cos 60^{\circ} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. આ સમાન છે.
શિરોલંબ ચકાસણી: $T_2 (\sqrt{3} \sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = T_2 (\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = T_2 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = T_2 (2) = mg$.
આમ,$T_2 = \frac{mg}{2}$.

(C) ધારો કે નમેલી દોરીમાં તણાવ $T$ છે. આ તણાવનો શિરોલંબ ઘટક પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે.
$T \sin 30^{\circ} = 2 \ kg-wt$
$T \times (1/2) = 2 \ kg-wt$
$T = 4 \ kg-wt$
હવે,તણાવ $T$ નો આડો ઘટક આડી દોરીમાં રહેલા તણાવ $T_1$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$T_1 = T \cos 30^{\circ}$
$T_1 = 4 \times (\sqrt{3} / 2)$
$T_1 = 2 \sqrt{3} \ kg-wt$

(A) સૌ પ્રથમ,બધા બળોને તેમના $x$ અને $y$ ઘટકોમાં વિભાજિત કરો.
$x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે $1 \ N$ બળ માટે: $F_{1x} = 1 \cos 60^{\circ} = 0.5 \ N$,$F_{1y} = 1 \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ N$.
$y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે $4 \ N$ બળ માટે: $F_{4x} = -4 \sin 30^{\circ} = -2 \ N$,$F_{4y} = 4 \cos 30^{\circ} = 2\sqrt{3} \ N$.
$y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે $2 \ N$ બળ માટે: $F_{2x} = 2 \sin 30^{\circ} = 1 \ N$,$F_{2y} = -2 \cos 30^{\circ} = -\sqrt{3} \ N$.
$x$-દિશામાં કુલ બળ $F_x = F_{1x} + F_{4x} + F_{2x} = 0.5 - 2 + 1 = -0.5 \ N$ છે.
પરિણામી બળ માત્ર $y$-દિશામાં જ રહે તે માટે $x$-દિશામાં કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,આપણે એક વધારાનું બળ $F_{add}$ ઉમેરવું પડશે જેથી $F_x + F_{add,x} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $F_{add,x} = 0.5 \ N$.
આ વધારાના બળનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0.5 \ N$ છે.

(B) '$Q$' બિંદુ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. '$PQ$' દોરીમાં તણાવ '$T$' જે શિરોલંબ સાથે '$\theta$' ખૂણે લાગે છે.
$2$. જમણી તરફ લાગતું આડું બળ '$F$'.
$3$. '$M$' દળને આધાર આપતી શિરોલંબ દોરીમાં તણાવ '$T_2$',જે '$Mg$' જેટલું છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,આડા અને શિરોલંબ બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
'$T$' ના ઘટકો પાડતા:
આડો ઘટક: $T \sin \theta = F$
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos \theta = Mg$
આડા ઘટકના સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે:
$T = \frac{F}{\sin \theta}$
તેથી,'$PQ$' દોરીમાં તણાવ $\frac{F}{\sin \theta}$ છે.

(C) સંપર્ક બળ એવું બળ છે જે બે પદાર્થો વચ્ચેના સંપર્ક બિંદુ પર કાર્ય કરે છે.
ઘર્ષણ બળ,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ અને શ્યાનતા બળ એ બધા સંપર્ક બળના ઉદાહરણો છે કારણ કે તેમને પદાર્થો વચ્ચે ભૌતિક સંપર્કની જરૂર હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બિન-સંપર્ક બળ (અથવા ક્ષેત્ર બળ) છે કારણ કે તે પદાર્થો વચ્ચે કોઈપણ ભૌતિક સંપર્ક વિના,અંતરે હોવા છતાં પણ કાર્ય કરે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંપર્ક બળ નથી.

(B) આપેલ છે,દળ $m = 0.05 \,kg$.
જ્યારે પથ્થર ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ (હવાનો અવરોધ અવગણતા) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય $F = m \times g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = 9.8 \,m/s^2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$F = 0.05 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 = 0.49 \,N$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળની દિશા હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ એટલે કે શિરોલંબ નીચેની તરફ હોય છે.
તેથી,પરિણામી બળ $0.49 \,N$ શિરોલંબ નીચેની તરફ છે.

(C) ત્રણ સંગામી બળોની અસર હેઠળ પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ એક બળનું મૂલ્ય બાકીના બે બળોના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ અને બાકીના બે બળોના તફાવત કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે બળો $F_1 = 1 \,N$,$F_2 = 2 \,N$ અને $F_3 = 3 \,N$ છે.
સંતુલન માટેની શરત એ છે કે કોઈપણ બે બળોનું પરિણામી બળ ત્રીજા બળની વિરુદ્ધ દિશામાં અને સમાન મૂલ્યનું હોવું જોઈએ.
અહીં,$F_1 + F_2 = 1 + 2 = 3 \,N$,જે $F_3$ જેટલું છે.
જોકે,$F_1$ અને $F_2$ નું પરિણામી બળ $3 \,N$ મેળવવા માટે,તેઓએ એક જ દિશામાં કાર્ય કરવું પડે (ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$).
જો તેઓ એક જ દિશામાં કાર્ય કરે,તો તેઓ પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ 'અલગ-અલગ દિશામાં' કાર્ય કરતા નથી.
જો બળો અલગ-અલગ દિશામાં કાર્ય કરે,તો $1 \,N$ અને $2 \,N$ નું પરિણામી બળ હંમેશા $3 \,N$ કરતા ઓછું હશે.
તેથી,આ ત્રણ બળો બંધ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી અને પદાર્થ સંતુલનમાં રહી શકતો નથી.

(B) ધારો કે તાર $OA$ માં તણાવ $T_{OA}$ છે અને આડા તાર $OB$ માં તણાવ $T_{OB} = 30 \text{ N}$ છે.
બિંદુ $O$ પર,બળો સંતુલનમાં છે.
તણાવ $T_{OA}$ ને આડા અને ઊભા ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
આડો ઘટક: $T_{OA} \sin(30^{\circ}) = T_{OB} = 30 \text{ N}$.
$T_{OA} \times (1/2) = 30 \text{ N} \implies T_{OA} = 60 \text{ N}$.
ઊભો ઘટક: $T_{OA} \cos(30^{\circ}) = W$.
$W = 60 \times (\sqrt{3}/2) = 30 \sqrt{3} \text{ N}$.
આમ,વજન $W$ એ $30 \sqrt{3} \text{ N}$ છે અને તાર $OA$ માં તણાવ $60 \text{ N}$ છે.

(B) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિમાં દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,બ્લોક પર લાગતા બળો સંતુલિત છે:
$1$. આડું બળ સંતુલન: $F = T \sin \theta$ ... $(i)$
$2$. શિરોલંબ બળ સંતુલન: $mg = T \cos \theta$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{F}{mg} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$
અહીં $F = 40 \ N$,$m = 8 \ kg$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$ આપેલ છે:
$\tan \theta = \frac{40}{8 \times 10} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(D) આપેલ છે, બ્લોકનું દળ, $m=90 \,kg$.
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g=10 \,ms^{-2}$.
ધારો કે દોરીઓ $A, B$ અને $C$ માં તણાવ બળો અનુક્રમે $T_A, T_B$ અને $T_C$ છે.
બ્લોકનું વજન નીચેની તરફ લાગે છે: $W = mg = 90 \times 10 = 900 \,N$.
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી, દોરી $C$ માં તણાવ વજનને સંતુલિત કરશે: $T_C = 900 \,N$.
હવે, જ્યાં ત્રણેય દોરીઓ મળે છે તે જંકશન બિંદુના સંતુલનનો વિચાર કરો. બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
શિરોલંબ સંતુલન: $T_B \sin 37^{\circ} = T_C = 900 \,N$.
કારણ કે $\sin 37^{\circ} = 0.6$, તેથી $T_B \times 0.6 = 900 \Rightarrow T_B = \frac{900}{0.6} = 1500 \,N$.
સમક્ષિતિજ સંતુલન: $T_A = T_B \cos 37^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 37^{\circ} = 0.8$, તેથી $T_A = 1500 \times 0.8 = 1200 \,N$.
આમ, તણાવ બળો $T_A = 1200 \,N, T_B = 1500 \,N$ અને $T_C = 900 \,N$ છે.

(D) ગોળો સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તણાવ $T$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$\Sigma F_x = P - T \sin \theta = 0 \implies P = T \sin \theta$ ...$(i)$
$\Sigma F_y = T \cos \theta - W = 0 \implies W = T \cos \theta$ ...(ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા,આપણને $\frac{P}{W} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$ મળે છે,તેથી $P = W \tan \theta$. આ સાચું છે.
બધા બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય છે,તેથી $\vec{T} + \vec{P} + \vec{W} = 0$. આ સાચું છે.
$(i)$ અને (ii) પરથી,$T^2 \sin^2 \theta + T^2 \cos^2 \theta = P^2 + W^2$,જે $T^2 = P^2 + W^2$ આપે છે. આ સાચું છે.
સમીકરણ $T = P + W$ ખોટું છે કારણ કે બળો સદિશ રાશિઓ છે અને જ્યાં સુધી તે એક જ દિશામાં ન હોય ત્યાં સુધી તેમનો બૈજિક સરવાળો કરી શકાતો નથી.

(B) પદાર્થ સંતુલનમાં હોવાથી,$x$ અને $y$ બંને દિશાઓમાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\Sigma F_x = 0$ અને $\Sigma F_y = 0$.
આકૃતિ પરથી,બળોના ઘટકો લેતા:
$\Sigma F_x = 0$ માટે:
$8 + 4 \cos(60^{\circ}) - F_2 \cos(30^{\circ}) = 0$
$8 + 4(0.5) - F_2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$8 + 2 = F_2(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$10 = F_2(\frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow F_2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ N}$.
$\Sigma F_y = 0$ માટે:
$F_1 + 4 \sin(60^{\circ}) - F_2 \sin(30^{\circ}) = 0$
$F_1 + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{20}{\sqrt{3}})(\frac{1}{2}) = 0$
$F_1 + 2\sqrt{3} - \frac{10}{\sqrt{3}} = 0$
$F_1 = \frac{10}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{3} = \frac{10 - 2(3)}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ N}$.
આમ,$F_1 = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ N}$ અને $F_2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ N}$.

(C) ત્રણ સંગામી બળો સંતુલનમાં હોય તે માટે,તેઓએ ત્રિકોણ અસમતા પ્રમેયનું પાલન કરવું આવશ્યક છે,જે જણાવે છે કે કોઈપણ બે બળોનો સરવાળો ત્રીજા બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ $(F_1 + F_2 \ge F_3)$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(a)$ $3 + 5 = 8 < 10$. $8 < 10$ હોવાથી,આ બળો સંતુલનમાં હોઈ શકે નહીં.
$(b)$ $3 + 5 = 8 < 9$. $8 < 9$ હોવાથી,આ બળો સંતુલનમાં હોઈ શકે નહીં.
$(c)$ $3 + 5 = 8 > 6$. $8 > 6$ હોવાથી,આ બળો ત્રિકોણ બનાવી શકે છે અને તેથી તે સંતુલનમાં હોઈ શકે છે.
$(d)$ $3 + 5 = 8 < 15$. $8 < 15$ હોવાથી,આ બળો સંતુલનમાં હોઈ શકે નહીં.

(B) ધારો કે $T$ એ દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ છે અને $F$ એ દળને સંતુલનમાં રાખવા માટે લગાડવામાં આવેલું સમક્ષિતિજ બળ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દળ પર લાગતા બળો સંતુલિત થાય છે:
$1$. શિરોલંબ દિશામાં: $T \cos \theta = M g$ (જ્યાં $\theta = 60^{\circ}$)
$2$. સમક્ષિતિજ દિશામાં: $F = T \sin \theta$
સમક્ષિતિજ બળના સમીકરણને શિરોલંબ બળના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{F}{M g} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$
$F = M g \tan \theta$
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ હોવાથી:
$F = M g \tan 60^{\circ} = M g \sqrt{3}$

(D) ટેબલને કારણે પુસ્તક પર લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $(N)$ એ સંપર્ક બળ છે જે પુસ્તક અને ટેબલની સંપર્ક સપાટીને લંબ રૂપે ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
પુસ્તકનું વજન $(mg)$ એ પૃથ્વી દ્વારા પુસ્તક પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે હંમેશા શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
આમ,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ શિરોલંબ ઉપરની તરફ અને વજન બળ શિરોલંબ નીચેની તરફ હોવાથી,આ બંને બળો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તેથી,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ અને પુસ્તકના વજન વચ્ચેનો ખૂણો $180^\circ$ છે.

(C) લોલકનો ગોળો ત્રણ બળોની અસર હેઠળ સંતુલનમાં છે: દોરીમાં તણાવ $T$,સમક્ષિતિજ બળ $F = 2 \text{ N}$,અને શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતું વજન $W = 1 \text{ N}$.
તણાવ $T$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $T \sin \theta = F = 2 \text{ N}$
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos \theta = W = 1 \text{ N}$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(T \sin \theta)^2 + (T \cos \theta)^2 = F^2 + W^2$
$T^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = F^2 + W^2$
$T^2 = F^2 + W^2$
$T = \sqrt{F^2 + W^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \text{ N}$

(A) બ્લોક સંતુલનમાં છે. આપણે તેના પર લાગતા બળોના ઘટકો પાડીએ.
આપેલ છે: $\tan \theta = \frac{3}{4}$,તેથી $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
$12 \ N$ ના લાગુ પડેલા બળના ઘટકો:
સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = 12 \cos \theta = 12 \times \frac{4}{5} = 9.6 \ N$.
શિરોલંબ ઘટક $F_y = 12 \sin \theta = 12 \times \frac{3}{5} = 7.2 \ N$.
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે,દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N_2$ એ લાગુ પડેલા બળના સમક્ષિતિજ ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$N_2 = F_x = 9.6 \ N$.
શિરોલંબ સંતુલન માટે,જમીન દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતું લંબબળ $N_1$ એ નીચેની તરફ લાગતા બળો (બ્લોકનું વજન,$10 \ N$ નું નીચેની તરફનું બળ,અને $12 \ N$ બળનો શિરોલંબ ઘટક) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
બ્લોકનું વજન $W = mg = 2 \times 10 = 20 \ N$.
$N_1 = W + 10 + F_y = 20 + 10 + 7.2 = 37.2 \ N$.
આમ,$N_1 = 37.2 \ N$ અને $N_2 = 9.6 \ N$.

(C) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તમામ બળોને બે લંબ અક્ષો ($X$ અને $Y$) પર વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે $m$ દળનો બ્લોક સંતુલનમાં છે,તેથી $x$ અને $y$ બંને દિશામાં ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$x$-દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$|F_2| \cos(60^{\circ}) = |F_1| \cos(30^{\circ})$
$|F_2| \times \frac{1}{2} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (\because |F_1| = 10 \ N \text{ આપેલ છે})$
$|F_2| = 10\sqrt{3} \ N$
$y$-દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$|F_3| = |F_1| \sin(30^{\circ}) + |F_2| \sin(60^{\circ})$
$|F_3| = 10 \times \frac{1}{2} + 10\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$|F_3| = 5 + 15 = 20 \ N$
આમ,$F_3$ નું મૂલ્ય $20 \ N$ છે.

(A) સાંકળના અડધા ભાગની ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$) ધ્યાનમાં લો.
આ અડધા ભાગ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. આધાર બિંદુ પર તણાવ $T$,જે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે લાગે છે.
$2$. સૌથી નીચલા બિંદુ પર તણાવ $T_0$,જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
$3$. અડધી સાંકળનું વજન,જે $\frac{m}{2}g$ છે અને શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
શિરોલંબ દિશામાં સંતુલન માટે:
$T \sin 30^{\circ} = \frac{m}{2}g$
$T \times \frac{1}{2} = \frac{mg}{2} \implies T = mg$
સમક્ષિતિજ દિશામાં સંતુલન માટે:
$T \cos 30^{\circ} = T_0$
$T = mg$ મૂકતા:
$T_0 = mg \cos 30^{\circ} = mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$