કેપ્લરના નિયમ મુજબ, ગ્રહનો પરિભ્રમણ સમય $(T)$ અને સૂર્યથી તેનું સરેરાશ અંતર $(r)$ કયા સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે?

પૃથ્વી $E$ સૂર્ય $S$ ની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે,જેમાં સૂર્ય એક કેન્દ્ર (focus) પર છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. તેની ગતિની ઝડપ કયા બિંદુએ મહત્તમ હશે?

એક ઉપગ્રહ જે ચોક્કસ કક્ષામાં ભૂસ્થિર છે તેને બીજી કક્ષામાં લઈ જવામાં આવે છે. નવી કક્ષામાં પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર અગાઉની કક્ષા કરતા $2$ ગણું છે. બીજી કક્ષામાં તેનો આવર્તકાળ કેટલો હશે?

એક ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. બીજો ઉપગ્રહ $1.02 R$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. પ્રથમ ઉપગ્રહની સરખામણીમાં બીજા ઉપગ્રહના આવર્તકાળમાં કેટલા ટકાનો વધારો થશે ($\%$ માં)?

કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ જણાવે છે કે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહના પરિભ્રમણના સમયગાળા $(T)$ નો વર્ગ એ સૂર્ય અને ગ્રહ વચ્ચેના સરેરાશ અંતર $(r)$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $T^2 = Kr^3$,જ્યાં $K$ અચળાંક છે. જો સૂર્ય અને ગ્રહના દળ અનુક્રમે $M$ અને $m$ હોય,તો ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ તેમની વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{r^2}$ છે,જ્યાં $G$ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે. $G$ અને $K$ વચ્ચેનો સંબંધ શું છે?

ગ્રહોની ગતિ પર ટાયકો બ્રાહેનું યોગદાન જણાવો.