Kepler’s laws of Planetary Motion Questions in Gujarati

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમય $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
આવૃત્તિ $N$ એ સમયગાળાનો વ્યસ્ત હોવાથી $(N = 1/T)$,આપણને $T = 1/N$ મળે છે.
આ કિંમત કેપ્લરના નિયમમાં મૂકતા: $(1/N)^2 \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $N^{-2} \propto R^3$ અથવા $R^3 \propto N^{-2}$.
તેથી,$R \propto N^{-2/3}$.
બે ગ્રહો માટે,તેમની કક્ષીય ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર આ મુજબ મળે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^{-2/3}$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^{2/3}$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ એ કક્ષાની સરેરાશ ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
તેથી,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર આ મુજબ મળે: $\frac{T_{\text{mercury}}}{T_{\text{earth}}} = \left( \frac{r_{\text{mercury}}}{r_{\text{earth}}} \right)^{3/2}$.
આપેલ છે: $r_{\text{earth}} = 1.5 \times 10^{11} \ m$ અને $r_{\text{mercury}} = 6 \times 10^{10} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{\text{mercury}}}{T_{\text{earth}}} = \left( \frac{6 \times 10^{10}}{1.5 \times 10^{11}} \right)^{3/2} = \left( \frac{0.6 \times 10^{11}}{1.5 \times 10^{11}} \right)^{3/2} = \left( \frac{0.6}{1.5} \right)^{3/2} = \left( \frac{2}{5} \right)^{3/2} = (0.4)^{1.5} \approx 0.252$.
પૃથ્વીનો આવર્તકાળ $T_{\text{earth}} = 1$ વર્ષ હોવાથી,બુધનો આવર્તકાળ $T_{\text{mercury}} \approx 0.25$ વર્ષ એટલે કે $\frac{1}{4}$ વર્ષ થાય.

(C) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, કક્ષીય સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ તેની કક્ષાના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $r$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
પૃથ્વી માટે, $T_1 = 1\, \text{વર્ષ} = 365.25\, \text{દિવસ}$ અને $r_1 = 1\, AU$.
શુક્ર માટે, $r_2 = 0.72\, AU$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = T_1 \times (r_2/r_1)^{3/2} = 1 \times (0.72)^{3/2} \approx 0.611\, \text{વર્ષ}$.
દિવસોમાં રૂપાંતર કરતા: $0.611 \times 365.25 \approx 223.2\, \text{દિવસ}$, જે આશરે $225\, \text{દિવસ}$ છે.

(C) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ હોય છે,જે $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ ગ્રહનું દળ છે.
સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય છે $(\tau = 0)$.
કારણ કે $\tau = \frac{dL}{dt}$,જો $\tau = 0$ હોય,તો $L$ અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,સૌર મંડળમાં ઉપગ્રહો અથવા ગ્રહોની ગતિ એ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનું ઉદાહરણ છે.

(A) સૂર્ય દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બંને પદાર્થોને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે.
આ બળ કેન્દ્રીય બળ છે,જેનો અર્થ છે કે સૂર્યની સાપેક્ષમાં તેનું ટોર્ક શૂન્ય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાની ગતિ દરમિયાન તેનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કેન્દ્રીય ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા ગ્રહ અથવા ઉપગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ (ત્રિજ્યા સદિશ દ્વારા એકમ સમયમાં આવરી લેવાતું ક્ષેત્રફળ) અચળ રહે છે. આ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે $(T^2 \propto R^3)$.
ધારો કે પ્રથમ ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T_1$ છે જેની ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે,અને બીજા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T_2$ છે જેની ત્રિજ્યા $R_2 = 1.02 R$ છે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2} = (1.02)^{3/2}$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} \approx 1 + \frac{3}{2}(0.02) = 1 + 0.03 = 1.03$.
આમ,$T_2 \approx 1.03 T_1$.
આવર્તકાળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (1.03 - 1) \times 100 = 3 \%$ છે.

(A) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ હોય છે અને તે નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ ગ્રહનું દળ છે.
એક સંપૂર્ણ ભ્રમણ માટે,આવરી લેવાયેલ કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને તે માટે લાગતો સમય આવર્તકાળ $T$ છે. તેથી,સરેરાશ ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{A}{T}$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{A}{T} = \frac{L}{2m}$.
$L$ માટે સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $L = \frac{2mA}{T}$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગ્રહ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે.
આપેલ લંબગોળમાં,સૂર્ય $S$ એ એક નાભિ પર સ્થિત છે.
માર્ગ $ACB$ એ લંબગોળના અડધા ભાગ કરતા વધુ ક્ષેત્રફળ આવરી લે છે,જ્યારે માર્ગ $BDA$ એ લંબગોળના અડધા ભાગ કરતા ઓછું ક્ષેત્રફળ આવરી લે છે.
કારણ કે માર્ગ $ACB$ માં ત્રિજ્યા સદિશ દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ (ક્ષેત્રફળ $S-ACB$) એ માર્ગ $BDA$ માં આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ (ક્ષેત્રફળ $S-BDA$) કરતા વધારે છે,અને ક્ષેત્રીય વેગ અચળ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે લાગતો સમય $t_1$ એ $t_2$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,$t_1 > t_2$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની સરેરાશ ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$ અથવા $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$.
આપેલ છે:
$r_1 = 1.5 \times 10^{11} \ m$ (પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા)
$T_1 = 1 \text{ વર્ષ}$
$r_2 = 6 \times 10^{10} \ m$ (બુધની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા)
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1^2}{(1.5 \times 10^{11})^3} = \frac{T_2^2}{(6 \times 10^{10})^3}$
$T_2^2 = \left( \frac{6 \times 10^{10}}{1.5 \times 10^{11}} \right)^3$
$T_2^2 = \left( \frac{6}{15} \right)^3 = \left( 0.4 \right)^3 = 0.064$
$T_2 = \sqrt{0.064} \approx 0.25 \text{ વર્ષ}$.
આમ,બુધ સૂર્યની આસપાસ આશરે $\frac{1}{4}$ વર્ષમાં એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળાનો વર્ગ $(T^2)$ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$.
જીઓસ્ટેશનરી ઉપગ્રહ માટે,સમયગાળો $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ અને ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_1 = R + 6R = 7R$ છે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે,ઊંચાઈ $2.5R$ છે,તેથી ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2 = R + 2.5R = 3.5R$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{24^2}{(7R)^3} = \frac{T_2^2}{(3.5R)^3}$
$T_2^2 = 24^2 \times \left(\frac{3.5R}{7R}\right)^3$
$T_2^2 = 576 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 576 \times \frac{1}{8} = 72$
$T_2 = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \text{ કલાક}$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના $II$ નિયમ (ક્ષેત્રફળનો નિયમ) મુજબ,ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે.
અહીં છાયાંકિત વિસ્તારો સમાન આપેલા હોવાથી,આ વિસ્તારોને કાપવા માટે લાગતો સમય પણ સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$t_1 = t_2$.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે. આ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનું સીધું પરિણામ છે, કારણ કે સૂર્ય દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે, જેના પરિણામે ટોર્ક શૂન્ય $(\tau = 0)$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr \sin(\theta)$ સંરક્ષિત હોવાથી, જ્યારે ગ્રહ સૂર્યની નજીક હોય (નાનું $r$), ત્યારે $L$ ને અચળ રાખવા માટે તેનો કક્ષીય વેગ $v$ વધવો જોઈએ. તેથી, વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન સાચું છે.

(C) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ક્ષેત્રફળ કાપવા માટે લાગતો સમય તે ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે લંબગોળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
માર્ગ $abc$ માં ગ્રહ દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ એ અર્ધ-લંબગોળ (બાજુ $b$ તરફ) અને ત્રિકોણ $Sca$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
અર્ધ-લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{A}{2}$.
ત્રિકોણ $Sca$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4}A$ (આપેલ છે).
તેથી,માર્ગ $abc$ માં આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{A}{2} + \frac{A}{4} = \frac{3A}{4}$ છે.
માર્ગ $cda$ માં આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ $A_2 = A - A_1 = A - \frac{3A}{4} = \frac{A}{4}$ છે.
કારણ કે $\frac{t_1}{t_2} = \frac{A_1}{A_2}$,તેથી $\frac{t_1}{t_2} = \frac{3A/4}{A/4} = 3$.
આમ,$t_1 = 3t_2$.

(C) ટ્રાન્સફર ઓર્બિટ એ એક લંબગોળ માર્ગ છે જેમાં સૂર્ય એક કેન્દ્ર પર હોય છે। આ ટ્રાન્સફર ઓર્બિટનો અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a_{tr}$ એ પૃથ્વી અને મંગળની કક્ષાઓના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષોની સરેરાશ છે:
$a_{tr} = \frac{a_e + a_m}{2} = \frac{1.5 \times 10^{11} + 2.28 \times 10^{11}}{2} = 1.89 \times 10^{11} \, m$
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ, $T^2 \propto a^3$. ધારો કે $T_e$ એ પૃથ્વીનો કક્ષાનો સમયગાળો $(1 \, \text{વર્ષ} = 365 \, \text{દિવસ})$ છે અને $T_{tr}$ એ ટ્રાન્સફર ઓર્બિટનો સમયગાળો છે:
$\left( \frac{T_{tr}}{T_e} \right)^2 = \left( \frac{a_{tr}}{a_e} \right)^3$
$T_{tr} = T_e \times \left( \frac{1.89 \times 10^{11}}{1.5 \times 10^{11}} \right)^{3/2} = 365 \times (1.26)^{1.5} \approx 365 \times 1.415 \approx 516.5 \, \text{દિવસ}$
પૃથ્વીથી મંગળ સુધી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય એ ટ્રાન્સફર ઓર્બિટના સંપૂર્ણ કક્ષાના સમયગાળાનો અડધો ભાગ છે:
$t = \frac{T_{tr}}{2} = \frac{516.5}{2} \approx 258.25 \, \text{દિવસ}$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $260 \, \text{દિવસ}$ છે.

(C) ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ એટલે કે ગ્રહના સ્થાન સદિશ દ્વારા સૂર્યની સાપેક્ષે એકમ સમયમાં કપાતું ક્ષેત્રફળ.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રીય વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$
જ્યાં $L$ એ ગ્રહનું કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ તેનું દળ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની ભ્રમણકક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પેરિહેલિયન $(P)$ અને એફેલિયન $(A)$ પર,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $\sin(90^\circ) = 1$ થાય છે.
આમ,પેરિહેલિયન પર કોણીય વેગમાન $L_P = m v_P r_P$ છે અને એફેલિયન પર $L_A = m v_A r_A$ છે.
$L_P = L_A$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$m v_P r_P = m v_A r_A$
બંને બાજુને $m$ વડે ભાગતા અને પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$v_P r_P = v_A r_A$
$\frac{r_P}{r_A} = \frac{v_A}{v_P}$

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,બધા ગ્રહો લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે અને સૂર્ય તે લંબગોળના બે મુખ્ય કેન્દ્રો (foci) પૈકીના એક પર સ્થિત હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,વિકલ્પ $(D)$ દર્શાવે છે કે સૂર્ય લંબગોળ માર્ગના એક મુખ્ય કેન્દ્ર પર સ્થિત છે,જે કેપ્લરના નિયમ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ એ ગ્રહ માટે શક્ય કક્ષાનું સાચું નિરૂપણ છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.
ક્ષેત્રીય વેગનું સૂત્ર $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ ગ્રહનું દળ છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે,ગ્રહ $T$ સમયગાળામાં કુલ $A$ ક્ષેત્રફળ આવરી લે છે.
તેથી,સરેરાશ ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{A}{T}$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{A}{T} = \frac{L}{2m}$.
$L$ માટે ઉકેલતા,આપણને $L = \frac{2mA}{T}$ મળે છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$ અથવા $T \propto r^{3/2}$.
અહીં પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 5\, h$ અને પ્રારંભિક અંતર $r_1 = r$ છે.
નવું અંતર $r_2 = 4r$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{5} = \left(\frac{4r}{r}\right)^{3/2}$.
$\frac{T_2}{5} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,$T_2 = 5 \times 8 = 40\, h$.

(A) સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ગ્રહ પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે,એટલે કે $\tau = 0$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,$\frac{dL}{dt} = \tau$.
જેથી $\tau = 0$ હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
આમ,$Reason$ વિધાન સાચું છે.
ગ્રહ માટે,$L = mvr = \text{અચળ}$. જેમ સૂર્ય અને ગ્રહ વચ્ચેનું અંતર $r$ બદલાય છે (લંબગોળ કક્ષા),તેમ $L$ ને અચળ રાખવા માટે રેખીય ઝડપ $v$ બદલાવી જોઈએ. પરિણામે,ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ પણ બદલાય છે.
તે જ રીતે,$L = mr^2\omega = \text{અચળ}$. જેમ $r$ બદલાય છે,તેમ કોણીય ઝડપ $\omega$ પણ બદલાય છે.
તેથી,$Assertion$ વિધાન સાચું છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની યોગ્ય સમજૂતી આપે છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
આપેલ છે:
નેપ્ચ્યુનનું અંતર,$R_1 = 10^{13} \ m$
શનિનું અંતર,$R_2 = 10^{12} \ m$
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^3$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \left( \frac{10^{13}}{10^{12}} \right)^3 = (10)^3 = 1000$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T \propto r^{3/2}$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,જે $r = R_{E} + h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે: $r_1 = R_{E} + 6 R_{E} = 7 R_{E}$ અને $T_1 = 24 \; h$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: $r_2 = R_{E} + 2.5 R_{E} = 3.5 R_{E}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2} = \left( \frac{3.5 R_{E}}{7 R_{E}} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
તેથી,$T_2 = T_1 \times \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{24}{2 \sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6 \sqrt{2} \; h$.

(N/A) $P$ પર કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L_{P} = m_{p} r_{P} v_{P}$ છે,કારણ કે $r_{P}$ અને $v_{P}$ પરસ્પર લંબ છે. તેવી જ રીતે,$L_{A} = m_{p} r_{A} v_{A}$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{p} r_{P} v_{P} = m_{p} r_{A} v_{A}$
$\frac{v_{P}}{v_{A}} = \frac{r_{A}}{r_{P}}$
અહીં $r_{A} > r_{P}$ હોવાથી,$v_{P} > v_{A}$ મળે છે.
સમયના સંદર્ભમાં,કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ત્રિજ્યા સદિશ સમાન સમયમાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે. સેક્ટર $SBC$ નું ક્ષેત્રફળ એ સેક્ટર $SCPB$ (અથવા $SAB$) ના ક્ષેત્રફળ જેટલું નથી. ખાસ કરીને,$BAC$ ને પાર કરતી વખતે ગ્રહ દ્વારા કપાતું ક્ષેત્રફળ એ $CPB$ ને પાર કરતી વખતે કપાતા ક્ષેત્રફળ કરતા અલગ છે. તેથી,ગ્રહ $BAC$ અને $CPB$ ને પાર કરવા માટે સમાન સમય લેશે નહીં.

(C) પૃથ્વીને સૂર્યની આસપાસ એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય,$T_{e} = 1 \text{ વર્ષ}$.
પૃથ્વીની કક્ષીય ત્રિજ્યા,$R_{e} = 1 \text{ AU}$.
આપેલ છે કે ગ્રહ પૃથ્વી કરતા બમણી ઝડપે સૂર્યની આસપાસ ફરે છે,તેથી તેનો કક્ષીય સમયગાળો $T_{p}$ એ પૃથ્વી કરતા અડધો છે:
$T_{p} = \frac{1}{2} T_{e} = 0.5 \text{ વર્ષ}$.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,કક્ષીય સમયગાળાનો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે:
$\left(\frac{R_{p}}{R_{e}}\right)^{3} = \left(\frac{T_{p}}{T_{e}}\right)^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_{p}}{R_{e}} = \left(\frac{T_{p}}{T_{e}}\right)^{2/3} = \left(\frac{0.5}{1}\right)^{2/3} = (0.5)^{0.666} \approx 0.63$.
આમ,ગ્રહનું કક્ષીય કદ પૃથ્વીની સરખામણીમાં $0.63$ ના અવયવ જેટલું ઓછું છે.

(N/A) $Io$ નો કક્ષીય સમયગાળો, $T_{Io} = 1.769 \; \text{દિવસ} = 1.769 \times 24 \times 3600 \; s$.
$Io$ ની કક્ષીય ત્રિજ્યા, $R_{Io} = 4.22 \times 10^{8} \; m$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ ગુરુનું દળ $(M_J)$: $M_J = \frac{4 \pi^{2} R_{Io}^{3}}{G T_{Io}^{2}} \quad ... (i)$.
તે જ રીતે, પૃથ્વી માટે સૂર્યનું દળ $(M_S)$: $M_S = \frac{4 \pi^{2} R_e^{3}}{G T_e^{2}} \quad ... (ii)$, જ્યાં $R_e = 1.496 \times 10^{11} \; m$ અને $T_e = 365.25 \; \text{દિવસ}$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા: $\frac{M_S}{M_J} = \left( \frac{R_e}{R_{Io}} \right)^{3} \times \left( \frac{T_{Io}}{T_e} \right)^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{M_S}{M_J} = \left( \frac{1.496 \times 10^{11}}{4.22 \times 10^{8}} \right)^{3} \times \left( \frac{1.769}{365.25} \right)^{2}$.
ગણતરી કરતા: $\frac{M_S}{M_J} \approx (354.5)^{3} \times (0.00484)^{2} \approx 1045$.
આમ, $\frac{M_S}{M_J} \approx 1000$, જે દર્શાવે છે કે $M_J \approx \frac{M_S}{1000}$.
આમ, ગુરુનું દળ સૂર્યના દળ કરતાં લગભગ હજારમો ભાગ છે.

(N/A) સૂર્યના દળનો અંદાજ કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ અને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને લગાવી શકાય છે.
આપેલ છે:
પૃથ્વીની કક્ષીય ત્રિજ્યા,$r = 1.5 \times 10^{11} \text{ m}$.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણનો સમયગાળો,$T = 1 \text{ year} = 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 \text{ s} \approx 3.156 \times 10^{7} \text{ s}$.
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક,$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2\text{kg}^{-2}$.
પૃથ્વીની કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{M_s m_e}{r^2} = m_e \omega^2 r = m_e \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$
સૂર્યના દળ $(M_s)$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$M_s = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$M_s = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (1.5 \times 10^{11})^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (3.156 \times 10^7)^2}$
$M_s \approx 2.0 \times 10^{30} \text{ kg}$.
આમ,સૂર્યનું અંદાજિત દળ $2.0 \times 10^{30} \text{ kg}$ છે.

(B) પૃથ્વીનું સૂર્યથી અંતર,$r_{e} = 1.5 \times 10^{8} \; km = 1.5 \times 10^{11} \; m$.
પૃથ્વીનો આવર્તકાળ $= T_{e}$.
શનિનો આવર્તકાળ,$T_{s} = 29.5 \; T_{e}$.
શનિનું સૂર્યથી અંતર $= r_{s}$.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^{2} \propto r^{3}$,તેથી $\frac{r_{s}^{3}}{r_{e}^{3}} = \frac{T_{s}^{2}}{T_{e}^{2}}$.
$r_{s} = r_{e} \left(\frac{T_{s}}{T_{e}}\right)^{2/3}$.
$r_{s} = 1.5 \times 10^{11} \times (29.5)^{2/3}$.
$(29.5)^{2/3} \approx 9.545$.
$r_{s} = 1.5 \times 10^{11} \times 9.545 = 14.3175 \times 10^{11} \; m = 1.43 \times 10^{12} \; m$.

(A) ગ્રહોની ગતિ માટેનું સૌથી જૂનું નોંધાયેલ મોડેલ,જે આશરે $2000$ વર્ષ પહેલાં ટોલેમી દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું,તે 'ભૂકેન્દ્રી' (geocentric) મોડેલ હતું,જેમાં તમામ અવકાશી પદાર્થો,જેમ કે તારાઓ,સૂર્ય અને ગ્રહો,પૃથ્વીની આસપાસ ફરતા હતા.
એક વધુ સચોટ મોડેલ,'સૂર્યકેન્દ્રી' (heliocentric) મોડેલ,જેમાં સૂર્ય કેન્દ્રમાં હતો અને ગ્રહો તેની આસપાસ ફરતા હતા,તેનો ઉલ્લેખ ભારતીય ઋષિ અને વૈજ્ઞાનિક શ્રી આર્યભટ્ટે તેમના ગ્રંથમાં કર્યો હતો. એક હજાર વર્ષ પછી,નિકોલસ કોપરનિકસે એક મોડેલ પ્રસ્તાવિત કર્યું જેમાં ગ્રહો સ્થિર કેન્દ્રીય સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા હતા. તેમના સિદ્ધાંતનો ચર્ચ દ્વારા વિરોધ કરવામાં આવ્યો હતો,પરંતુ ગેલિલિયો દ્વારા તેને નોંધપાત્ર સમર્થન મળ્યું હતું.
ગેલિલિયો પછી,ટાયકો બ્રાહેએ નરી આંખે ગ્રહોના અવલોકનો નોંધ્યા હતા. તેમના દ્વારા એકત્રિત કરવામાં આવેલા ડેટાનું વિશ્લેષણ જોહાન્સ કેપ્લરે કર્યું હતું. તેમણે ગ્રહોની ગતિ માટે ત્રણ નિયમો આપ્યા. આ નિયમો ન્યૂટન જાણતા હતા અને તેનાથી તેમને ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ પ્રસ્તાવિત કરવામાં એક મોટી વૈજ્ઞાનિક છલાંગ લગાવવામાં મદદ મળી હતી.

(N/A) નિકોલસ કોપરનિકસે $16$ મી સદીમાં સૌરમંડળનું સૂર્યકેન્દ્રી મોડેલ રજૂ કર્યું હતું. તેમના મોડેલની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. સૂર્ય સૌરમંડળના કેન્દ્રમાં છે અને પૃથ્વી સહિતના તમામ ગ્રહો તેની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે.
$2$. પૃથ્વી સ્થિર નથી; તે દર $24$ કલાકે પોતાની ધરી પર એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,જે તારાઓની દેખીતી દૈનિક ગતિને સમજાવે છે.
$3$. પૃથ્વી પણ દર વર્ષે સૂર્યની આસપાસ એક પરિક્રમણ પૂર્ણ કરે છે.
$4$. ગ્રહોની દેખીતી વક્રી ગતિ (જ્યાં તેઓ આકાશમાં પાછળની તરફ જતા જણાય છે) એ પૃથ્વી દ્વારા તેની કક્ષામાં ધીમેથી ગતિ કરતા બહારના ગ્રહોને ઓવરટેક કરવાના કુદરતી પરિણામ તરીકે સમજાવવામાં આવે છે.

(N/A) ટાયકો બ્રાહે $(1546-1601)$ એક ડેનિશ ખગોળશાસ્ત્રી હતા,જેઓ તારાઓ અને ગ્રહોના સ્થાનના અત્યંત સચોટ અને વ્યાપક ખગોળીય અવલોકનો માટે જાણીતા છે.
તેમનું મુખ્ય યોગદાન ઘણા વર્ષો સુધી ગ્રહો,ખાસ કરીને મંગળની ગતિ અંગેના ચોક્કસ અવલોકનકારી ડેટાનો વિશાળ સંગ્રહ કરવાનો હતો.
જોકે તેમણે પોતે ગ્રહોની ગતિના નિયમો બનાવ્યા ન હતા,પરંતુ તેમના ઝીણવટભર્યા ડેટાએ જોહાન્સ કેપ્લર માટે જરૂરી પ્રાયોગિક પાયો પૂરો પાડ્યો હતો.
કેપ્લરે બ્રાહેના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને ગ્રહોની ગતિના તેમના ત્રણ નિયમો તારવ્યા,જેણે અંતે આઇઝેક ન્યૂટન માટે સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ ઘડવાનો માર્ગ મોકળો કર્યો.

(A) આઇઝેક ન્યૂટને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ પ્રસ્તાવિત કરવા માટે $Kepler$ ના ગ્રહોની ગતિના નિયમોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ખાસ કરીને,તેમણે $Kepler$ ના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કર્યો,જે જણાવે છે કે ગ્રહના ભ્રમણકક્ષાના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ તેની ભ્રમણકક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $r$ ના ઘન સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે $(T^2 \propto r^3)$. આને કેન્દ્રગામી બળ $(F = mv^2/r)$ ના ખ્યાલ સાથે જોડીને,તેમણે તારણ કાઢ્યું કે બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto 1/r^2)$.

(N/A) કક્ષાનો નિયમ:
બધા જ ગ્રહો લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ કરે છે અને સૂર્ય આ લંબગોળના બે કેન્દ્રો (foci) પૈકીના એક કેન્દ્ર પર સ્થિત હોય છે.
ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ લંબગોળ માર્ગે ગતિ કરે છે. સૌથી નજીકના બિંદુને $P$ અને સૌથી દૂરના બિંદુને $A$ કહેવામાં આવે છે. $P$ ને પેરીહેલિયન (perihelion) અને $A$ ને એફેલિયન (aphelion) કહેવાય છે. અર્ધ-દીર્ઘ અક્ષ એ $AP$ અંતરનું અડધું માપ છે (જેને $a$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે).
આ નિયમ કોપરનિકસના મોડેલથી અલગ હતો,જે ફક્ત વર્તુળાકાર કક્ષાઓને જ માન્ય રાખતું હતું. (લંબગોળ,જેનું એક વિશિષ્ટ સ્વરૂપ વર્તુળ છે,તે એક બંધ વક્ર છે).

(N/A) કેપ્લરનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે: "કોઈપણ ગ્રહને સૂર્ય સાથે જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે."
સાબિતી:
ધારો કે એક ગ્રહ $P$ સૂર્ય $S$ ની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ કરે છે. સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ છે. સૂક્ષ્મ સમયગાળા $\Delta t$ માં, ગ્રહ $P$ થી $P^{\prime}$ સુધી ગતિ કરે છે, જે સ્થાનાંતર $\Delta \vec{r} = \vec{v} \Delta t$ દર્શાવે છે.
સમય $\Delta t$ માં સ્થાન સદિશ દ્વારા આંતરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\Delta A$ એ ત્રિકોણ $SPP^{\prime}$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે:
$\Delta A = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \Delta \vec{r}| = \frac{1}{2} |\vec{r} \times (\vec{v} \Delta t)| = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \vec{v}| \Delta t$
$\Delta t$ વડે ભાગતા, આપણને ક્ષેત્રીય વેગ મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \vec{v}|$
સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી, તે સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતી રેખા પર લાગે છે. તેથી, ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ થાય છે.
ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી, કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = m(\vec{r} \times \vec{v})$ અચળ રહે છે.
ક્ષેત્રીય વેગના સમીકરણમાં $\vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}}{m}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} |\frac{\vec{L}}{m}| = \frac{L}{2m}$
અહીં $L$ અને $m$ અચળ હોવાથી, $\frac{dA}{dt}$ પણ અચળ રહે છે. આ સાબિત કરે છે કે ગ્રહ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.

(N/A) કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ,જેને આવર્તકાળનો નિયમ પણ કહેવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે ગ્રહના પરિભ્રમણના સમયગાળાનો વર્ગ $(T^{2})$ એ ગ્રહ દ્વારા રચાયેલા લંબગોળ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરીના ઘન $(a^{3})$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$T^{2} \propto a^{3}$
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$T^{2} = K a^{3}$
જ્યાં $K$ એ સમાન તારાની આસપાસ ફરતા તમામ ગ્રહો માટે અચળાંક છે.
જો $Q = \frac{T^{2}}{a^{3}}$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ,જ્યાં $a$ એ $10^{10} \ m$ ના એકમમાં અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે અને $T$ એ વર્ષ $(y)$ માં પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે,તો $Q$ નું મૂલ્ય લગભગ અચળ રહે છે $(Q \approx 2.98 \times 10^{-34} \ y^{2} \ m^{-3})$.
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ જ રહેશે)

(B) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.
લંબગોળાકાર કક્ષામાં રહેલા ગ્રહ માટે,સૂર્યથી તેનું અંતર $r$ સતત બદલાતું રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr \sin(\theta)$ સંરક્ષિત હોવાથી,જેમ $r$ બદલાય છે તેમ ઝડપ $v$ પણ બદલાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જ્યારે ગ્રહ સૂર્યની નજીક હોય (પેરિહેલિયન) ત્યારે તે ઝડપથી ગતિ કરે છે અને જ્યારે તે દૂર હોય (એફેલિયન) ત્યારે તે ધીમી ગતિ કરે છે.
તેથી,લંબગોળાકાર કક્ષામાં ગ્રહની ઝડપ અચળ રહેતી નથી.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની અર્ધ-દીર્ઘ અક્ષ $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
તેથી,કક્ષીય આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^{3/2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $R_1 = 10^{11} \ m$ અને $R_2 = 10^{10} \ m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{10^{11}}{10^{10}}\right)^{3/2} = (10)^{3/2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $10^1 \times 10^{1/2} = 10\sqrt{10}$ મળે છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની અર્ધ-દીર્ઘ અક્ષ (કક્ષીય ત્રિજ્યા) $r$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$T^2 \propto r^3$
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto r^{3/2}$ અથવા $r \propto T^{2/3}$.
અહીં આપેલ છે કે નવો કક્ષીય આવર્તકાળ $T' = 8T$ છે.
આ કિંમત સમપ્રમાણતાના સંબંધમાં મૂકતા:
$r' / r = (T' / T)^{2/3}$
$r' / r = (8T / T)^{2/3} = (8)^{2/3}$
$r' / r = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
તેથી, કક્ષીય ત્રિજ્યા મૂળ ત્રિજ્યા કરતા $4$ ગણી થશે.

(N/A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ (જે દરે ત્રિજ્યા સદિશ ક્ષેત્રફળ કાપે છે) અચળ રહે છે.
ક્ષેત્રીય વેગ સમય સાથે બદલાતો ન હોવાથી,ક્ષેત્રીય વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી આડી રેખા મળે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(C) ક્ષેત્રીય વેગને $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન $L = r \times p = r \times (mv)$ હોવાથી,આપણને $\frac{dA}{dt} = \frac{r \times mv}{2m} = \frac{1}{2}(r \times v)$ મળે છે.
ક્ષેત્રીય વેગ સદિશની દિશા એ કોણીય વેગમાન સદિશ $L$ ની દિશામાં જ હોય છે.
સદિશ ગુણાકાર $(r \times v)$ માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$L$ ની દિશા એ સ્થાન સદિશ $r$ અને વેગ સદિશ $v$ ને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,ક્ષેત્રીય વેગની દિશા સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીની કક્ષાના સમતલને લંબ હોય છે.

(N/A) અપસૂર એ પૃથ્વીનું એવું સ્થાન છે જ્યાં તે સૂર્યથી મહત્તમ અંતરે હોય છે,જ્યારે ઉપસૂર એ એવું સ્થાન છે જ્યાં તે સૂર્યથી ન્યૂનતમ અંતરે હોય છે.
કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે ગ્રહનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉપસૂર અને અપસૂર પર,વેગ સદિશ એ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$ અને $\sin(90^{\circ}) = 1$ થાય છે.
આમ,$L = mvr$,જેનો અર્થ છે કે $v \propto 1/r$.
કારણ કે ઉપસૂર પર અંતર $r$ ન્યૂનતમ હોય છે,તેથી અપસૂરની તુલનામાં ઉપસૂર પર પૃથ્વીની ઝડપ $v$ મહત્તમ હોય છે.

(N/A) ધારો કે $m$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
ધારો કે $\omega_p$ અને $\omega_a$ એ અનુક્રમે પેરિહેલિયન (સૂર્યની સૌથી નજીક) અને એફેલિયન (સૂર્યથી સૌથી દૂર) સ્થાને પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે.
કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે,જે સૂચવે છે કે $r_p^2 \omega_p = r_a^2 \omega_a$.
આપેલ છે કે $r_p = a(1-e)$ અને $r_a = a(1+e)$,તેથી $\frac{\omega_p}{\omega_a} = \left(\frac{1+e}{1-e}\right)^2$.
$e = 0.0167$ મૂકતા,આપણને $\frac{\omega_p}{\omega_a} = \left(\frac{1.0167}{0.9833}\right)^2 \approx 1.0691$ મળે છે.
ધારો કે $\omega$ એ સરેરાશ સૌર દિવસને અનુરૂપ સરેરાશ કોણીય ઝડપ છે. તેથી $\omega^2 = \omega_p \omega_a$.
આમ,$\frac{\omega_p}{\omega} = \frac{\omega}{\omega_a} = \sqrt{1.0691} \approx 1.034$.
એક દિવસમાં,પૃથ્વી તારાઓની સાપેક્ષમાં $360^\circ$ ફરે છે,વત્તા તે તેની ભ્રમણકક્ષામાં જે ખૂણો $\theta$ કાપે છે તે. સૌર દિવસ $T = \frac{360^\circ + \theta}{\omega_{spin}}$ છે.
કારણ કે $\theta \propto \omega_{orbit}$,સૌર દિવસમાં ફેરફાર $\Delta T \approx T_{mean} \times \frac{\Delta \omega}{\omega_{spin}}$ છે.
અત્યંત બિંદુઓની ગણતરી કરતા,ફેરફાર આશરે $\pm 8 \text{ s}$ જેટલો મળે છે.
આ ગણતરી દર્શાવે છે કે ભ્રમણકક્ષાની ઉત્કેન્દ્રિતતાને કારણે થતો ફેરફાર નાનો છે અને તે દિવસની લંબાઈમાં જોવા મળતા ફેરફારોને સંપૂર્ણપણે સમજાવતું નથી,જે પૃથ્વીની ધરીના નમન (obliquity) દ્વારા પણ નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત થાય છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના નિયમો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$(1)$ કેપ્લરનો પ્રથમ નિયમ એ કક્ષાનો નિયમ છે,જે જણાવે છે કે બધા ગ્રહો સૂર્યની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે અને સૂર્ય તેની એક નાભિ પર હોય છે.
$(2)$ કેપ્લરનો દ્વિતીય નિયમ એ ક્ષેત્રફળનો નિયમ છે,જે જણાવે છે કે ગ્રહને સૂર્ય સાથે જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.
$(3)$ કેપ્લરનો તૃતીય નિયમ એ આવર્તકાળનો નિયમ છે,જે જણાવે છે કે ગ્રહના પરિભ્રમણના આવર્તકાળનો વર્ગ તેની કક્ષાના અર્ધ-દીર્ઘ અક્ષના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(1-b), (2-c), (3-a)$ છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
ધારો કે પ્રથમ ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T_1 = T$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
ધારો કે બીજા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T_2$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = 9R$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{T_2}{T}\right)^2 = \left(\frac{9R}{R}\right)^3$
$\left(\frac{T_2}{T}\right)^2 = (9)^3 = 729$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_2}{T} = \sqrt{729} = 27$
તેથી,$T_2 = 27T$.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે લંબગોળ કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ $(dA/dt)$ તેની ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,વિધાન $(E)$ એકમાત્ર સાચું વિધાન છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
બંને બાજુ લઘુગણક લઈને વિકલન કરતા,આપણને $2 \frac{dT}{T} = 3 \frac{dR}{R}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dT}{T} = \frac{3}{2} \frac{dR}{R}$ થાય છે.
અહીં ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\Delta R = 1.02 R - R = 0.02 R$ છે,તેથી ત્રિજ્યામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} = 0.02$ છે.
આ કિંમતને આવર્તકાળના આંશિક ફેરફારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{3}{2} \times 0.02 = 0.03$.
ટકાવારી તફાવત શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3\%$.
આમ,આવર્તકાળમાં થતો ટકાવારી તફાવત $3\%$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ તેની ભ્રમણકક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $R$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
અહીં પ્રારંભિક અંતર $R$ છે અને પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T = 1 \text{ વર્ષ}$ છે.
જ્યારે નવું અંતર $R' = 3R$ થાય,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{T'}{T} = \left(\frac{R'}{R}\right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T'}{1} = \left(\frac{3R}{R}\right)^{3/2} = (3)^{3/2}$.
$T' = 3^{1} \cdot 3^{1/2} = 3\sqrt{3} \text{ વર્ષ}$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણના સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^{2} \propto r^{3}$.
આપેલ છે કે $T_{A} = 2 T_{B}$,તેથી સમયગાળાનો ગુણોત્તર $\frac{T_{A}}{T_{B}} = 2$ થાય.
સંબંધ $\left(\frac{T_{A}}{T_{B}}\right)^{2} = \left(\frac{r_{A}}{r_{B}}\right)^{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$(2)^{2} = \left(\frac{r_{A}}{r_{B}}\right)^{3}$
$4 = \frac{r_{A}^{3}}{r_{B}^{3}}$
$r_{A}^{3} = 4 r_{B}^{3}$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto r^{3/2}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 7 \, hours$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 3r$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{7} = \left(\frac{3r}{r}\right)^{3/2} = 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$.
$T_2 = 7 \times 3\sqrt{3} = 21\sqrt{3} \, hours$.
કારણ કે $\sqrt{3} \approx 1.732$,તેથી $T_2 \approx 21 \times 1.732 = 36.372 \, hours$.
તેથી,નવો અંદાજિત આવર્તકાળ $36 \, hours$ છે.