Kepler’s laws of Planetary Motion Questions in Gujarati

(C) આપેલ આલેખ પરથી,તારાની આસપાસ ગ્રહના પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T = 3 \text{ દિવસ}$ મળે છે.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,કક્ષીય સમયગાળો $T$ અને કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{G M} \cdot r^{3} \quad \dots(i)$
જો આપણે સમયગાળાને વર્ષમાં અને ત્રિજ્યાને $AU$ માં લઈએ,તો પૃથ્વી માટે ($T = 1 \text{ વર્ષ}$,$r = 1 \text{ AU}$),અચળાંક $\frac{4 \pi^{2}}{G M} = 1$ થાય છે.
અહીં $T = 3 \text{ દિવસ} = \frac{3}{365} \text{ વર્ષ}$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મૂકતા:
$r^{3} = T^{2}$
$r = T^{2/3}$
$r = \left(\frac{3}{365}\right)^{2/3} \approx \left(\frac{1}{121.67}\right)^{2/3} \approx \left(0.0082\right)^{2/3} \approx 0.04 \text{ AU}$.
આમ,ગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા આશરે $0.04 \text{ AU}$ છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ તેની ભ્રમણકક્ષાના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે.
પેરિહેલિયન $P$ અને એફેલિયન $A$ પર,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L_P = L_A$ હોવાથી,આપણી પાસે $m v_P r_P = m v_A r_A$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_P}{v_A} = \frac{r_A}{r_P}$.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ ધરાવતા લંબગોળ માટે,સૌથી નજીકના બિંદુ (પેરિહેલિયન) નું અંતર $r_P = a(1-e)$ છે અને સૌથી દૂરના બિંદુ (એફેલિયન) નું અંતર $r_A = a(1+e)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{v_P}{v_A} = \frac{a(1+e)}{a(1-e)} = \frac{1+e}{1-e}$ મળે છે.

(C) લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ કરતા ધૂમકેતુ માટે,અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ એ પેરીહેલિયન અંતર $(r_p)$ અને એફેલિયન અંતર $(r_a)$ ની સરેરાશ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{0.4 + x}{2} \, AU$
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$T^2 \propto a^3$
ધૂમકેતુની પૃથ્વી સાથે સરખામણી કરતા ($T_e = 1 \, yr$,$a_e = 1 \, AU$):
$\left(\frac{T}{T_e}\right)^2 = \left(\frac{a}{a_e}\right)^3$
આપેલ કિંમતો મૂકતા $(T = 125 \, yr)$:
$\left(\frac{125}{1}\right)^2 = \left(\frac{0.4 + x}{2 \times 1}\right)^3$
$(125)^2 = \left(\frac{0.4 + x}{2}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$(125)^{2/3} = \frac{0.4 + x}{2}$
$(5^3)^{2/3} = \frac{0.4 + x}{2}$
$5^2 = \frac{0.4 + x}{2}$
$25 = \frac{0.4 + x}{2}$
$50 = 0.4 + x$
$x = 50 - 0.4 = 49.6 \, AU$
આમ,એફેલિયન અંતર $49.6 \, AU$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$T^2 \propto r^3$
આનો અર્થ એ થાય કે $T \propto r^{3/2}$ અથવા $r \propto T^{2/3}$.
અહીં $T$ નો ઘાતાંક $2/3$ છે (જે $1$ કરતા ઓછો છે),તેથી $r$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ નીચેની તરફ અંતર્મુખ (concave downwards) હશે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $(4)$ એવો સંબંધ દર્શાવે છે જ્યાં $r$ એ $T$ સાથે વધે છે પરંતુ ઘટતા ઢાળ સાથે (નીચેની તરફ અંતર્મુખ),જે ગાણિતિક સંબંધ $r \propto T^{2/3}$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,સાચો આલેખ $(4)$ છે.

(A) અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b$ ધરાવતા લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબગોળ કક્ષા માટે,અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e$ સાથે $b = a\sqrt{1-e^2}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આમ,$A = \pi a^2 \sqrt{1-e^2}$.
આપેલ કક્ષા માટે $e$ અચળ હોવાથી,$A \propto a^2$.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના $III$ નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ ના ઘન ના પ્રમાણમાં હોય છે:
$T^2 \propto a^3$
$a \propto T^{2/3}$
આને ક્ષેત્રફળના સંબંધમાં મૂકતા:
$A \propto (T^{2/3})^2$
$A \propto T^{4/3}$
તેથી,લંબગોળ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $T^{4/3}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) સાચો જવાબ $(D)$ છે.
કેપ્લરનો પ્રથમ નિયમ,જેને કક્ષાનો નિયમ (Law of Orbits) તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે તમામ ગ્રહો લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ કરે છે,જેમાં સૂર્ય લંબગોળની બે નાભિઓ (foci) પૈકીના એક પર સ્થિત હોય છે.

(C) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ (આવર્તકાળનો નિયમ) મુજબ,ગ્રહના પરિભ્રમણના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ લંબગોળ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $a$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$T^2 \propto a^3$
સૂર્ય એક કેન્દ્ર પર હોય તેવી લંબગોળ કક્ષા માટે,મહત્તમ અંતર (અપસૂર) $r_1 = a(1+e)$ અને ન્યૂનતમ અંતર (ઉપસૂર) $r_2 = a(1-e)$ છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે.
આ બંને અંતરોનો સરવાળો કરતા:
$r_1 + r_2 = a(1+e) + a(1-e) = 2a$
તેથી,અર્ધ-મુખ્ય ધરી:
$a = \frac{r_1 + r_2}{2}$
આ કિંમતને કેપ્લરના ત્રીજા નિયમમાં મૂકતા:
$T^2 \propto \left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)^3$
અહીં $2^3$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$T^2 \propto (r_1 + r_2)^3$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$T \propto (r_1 + r_2)^{3/2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતી રેખા પર લાગે છે.
ધારો કે $\vec{r}$ એ સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહનો સ્થાન સદિશ છે અને $\vec{F}_g$ એ ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}_g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = r F_g \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}_g$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,તે બે પદાર્થોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર લાગે છે. તેથી,બળ સદિશ $\vec{F}_g$ સૂર્ય તરફ નિર્દેશિત છે,જે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે (એટલે કે,$\theta = 180^{\circ}$).
કારણ કે $\sin(180^{\circ}) = 0$ થાય છે,તેથી ટોર્ક $\tau = 0$ મળે છે.

(A) કોમ્યુનિકેશન સેટેલાઇટનો સમયગાળો $T_c = 24 \, hrs$ છે.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળાનો વર્ગ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
ધારો કે $r_c$ એ કોમ્યુનિકેશન સેટેલાઇટની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા છે અને $r_x$ એ ઉપગ્રહ $X$ ની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા છે. આપેલ છે કે $r_x = \frac{1}{4} r_c$,અથવા $\frac{r_c}{r_x} = 4$.
કેપ્લરના નિયમના ગુણોત્તર સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_c}{T_x} = \left( \frac{r_c}{r_x} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{24}{T_x} = (4)^{3/2}$.
કારણ કે $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$,તેથી $\frac{24}{T_x} = 8$.
આમ,$T_x = \frac{24}{8} = 3 \, hrs$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણના સમયગાળાનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરીના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
આપેલ છે:
પૃથ્વી માટે: $T_1 = 1 \, \text{વર્ષ}$,$R_1 = 1.5 \times 10^8 \, \text{km}$.
કાલ્પનિક ગ્રહ માટે: $T_2 = 2.83 \, \text{વર્ષ}$,$R_2 = ?$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{2.83}{1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{1.5 \times 10^8}\right)^3$
કારણ કે $2.83 \approx \sqrt{8}$,તેથી $(2.83)^2 \approx 8$:
$8 = \left(\frac{R_2}{1.5 \times 10^8}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$2 = \frac{R_2}{1.5 \times 10^8}$
$R_2 = 2 \times 1.5 \times 10^8 = 3 \times 10^8 \, \text{km}$.
આમ,અંતર $3 \times 10^8 \, \text{km}$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 24 \ hours$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{R}{4}$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{24}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{R}{R/4}\right)^3 = (4)^3 = 64$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{24}{T_2} = \sqrt{64} = 8$.
તેથી,$T_2 = \frac{24}{8} = 3 \ hours$.

(D) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે ગ્રહ સૂર્યની નજીક હોય ત્યારે તે ઝડપથી ગતિ કરે છે અને જ્યારે તે દૂર હોય ત્યારે ધીમો પડે છે.
તેથી,લંબગોળ કક્ષામાં સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહની રેખીય ઝડપ અચળ રહેતી નથી.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહની ઝડપ $v = \sqrt{GM/r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે નિશ્ચિત ત્રિજ્યા $r$ માટે અચળ છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે લંબગોળ કક્ષામાં ગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે પૃથ્વીનું દળ કોઈપણ પડતા પદાર્થની સરખામણીમાં ઘણું વધારે છે,જેના કારણે તેનો પ્રવેગ અને સ્થાનાંતર નગણ્ય બને છે.
આમ,ખોટું વિધાન $D$ છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ સૂર્યથી ગ્રહના સરેરાશ અંતરના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 200 \text{ દિવસ}$ છે અને પ્રારંભિક અંતર $r_1 = r$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2$ છે અને નવું અંતર $r_2 = \frac{r}{4}$ છે.
સંબંધ $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(200)^2}{r^3} = \frac{T_2^2}{(\frac{r}{4})^3}$
$T_2^2 = (200)^2 \times \frac{(\frac{r}{4})^3}{r^3}$
$T_2^2 = (200)^2 \times \frac{r^3}{64 \times r^3}$
$T_2^2 = \frac{(200)^2}{64}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$T_2 = \frac{200}{\sqrt{64}}$
$T_2 = \frac{200}{8}$
$T_2 = 25 \text{ દિવસ}$.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, સમયગાળાનો વર્ગ $(T)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(R)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
ધારો કે $T_m$ અને $R_m$ એ ચંદ્રનો સમયગાળો અને કક્ષાની ત્રિજ્યા છે, અને $T_s$ અને $R_s$ એ ઉપગ્રહનો સમયગાળો અને કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $R_s = R_m / 9$ અને $T_m = 27 \text{ દિવસ}$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left(\frac{T_m}{T_s}\right)^2 = \left(\frac{R_m}{R_s}\right)^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{27}{T_s}\right)^2 = \left(\frac{R_m}{R_m / 9}\right)^3 = (9)^3 = 729$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{27}{T_s} = \sqrt{729} = 27$.
તેથી, $T_s = \frac{27}{27} = 1 \text{ દિવસ}$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
બંને બાજુ લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને મળે છે: $2 \frac{\Delta T}{T} = 3 \frac{\Delta R}{R}$.
ત્રિજ્યામાં ફેરફાર $\Delta R = 1.03 R - R = 0.03 R$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = 0.03$.
આ કિંમતને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \frac{\Delta T}{T} = 3 \times 0.03$.
તેથી,સમયગાળામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{3 \times 0.03}{2} \times 100 = 4.5 \%$.

(A) કેપ્લરનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે સૂર્યથી ગ્રહ સુધીનો ત્રિજ્યા સદિશ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે. આનો અર્થ એ છે કે ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt}$ અચળ છે.
ક્ષેત્રીય વેગનું સૂત્ર $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ ગ્રહનું દળ છે.
સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ શૂન્ય છે $(\tau = \vec{r} \times \vec{F} = 0)$.
ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
જેમ કે $L$ અને $m$ અચળ છે,તેથી ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt}$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને કારણ $(R)$ તેની સાચી ભૌતિક સમજૂતી આપે છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $r$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
આપેલ છે કે મંગળની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_M = 4 \times r_{Me}$,જ્યાં $r_{Me}$ એ બુધની કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
સમયગાળાનો ગુણોત્તર આ મુજબ છે: $\frac{T_{Me}}{T_M} = \left(\frac{r_{Me}}{r_M}\right)^{3/2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{Me}}{687} = \left(\frac{1}{4}\right)^{3/2} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$T_{Me} = \frac{687}{8} = 85.875$ દિવસ.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,બુધ પર $1$ વર્ષની લંબાઈ આશરે $88$ પૃથ્વીના દિવસો છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
અહીં પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{1}{4} r_1$ છે.
સંબંધ $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$.
તેથી, $T_2 = \frac{T_1}{8} = \frac{24}{8} = 3 \text{ કલાક}$.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમયનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{T_p^2}{T_e^2} = \frac{r_p^3}{r_e^3}$,જ્યાં $T_p$ અને $r_p$ એ ગ્રહનો પરિભ્રમણ સમય અને કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,અને $T_e$ અને $r_e$ એ પૃથ્વી માટે છે.
આપેલ છે કે $T_p = 8 T_e$,તેથી ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{(8 T_e)^2}{T_e^2} = \frac{r_p^3}{r_e^3}$
$64 = \frac{r_p^3}{r_e^3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{r_p}{r_e} = (64)^{1/3} = 4$.
તેથી,ગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા અને પૃથ્વીની કક્ષાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $4$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$T^2 \propto r^3$
ઉપગ્રહ $S_1$ માટે: ત્રિજ્યા = $r$,આવર્તકાળ = $T_1$.
ઉપગ્રહ $S_2$ માટે: ત્રિજ્યા = $2r$,આવર્તકાળ = $T_2$.
સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{2r}{r} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2^{1} \cdot 2^{1/2} = 2\sqrt{2}$
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2}:1$ થાય છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, પરિભ્રમણ સમયગાળાનો વર્ગ $T^2$ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરીના ઘન $R^3$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
આપેલ છે કે ગ્રહ $A$ નો સમયગાળો $(T_A)$ એ ગ્રહ $B$ ના સમયગાળા $(T_B)$ કરતા $8$ ગણો છે, તેથી $T_A = 8 T_B$.
સંબંધ $\frac{T_A}{T_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^{3/2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(8)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$
આમ, ગ્રહ $A$ નું સૂર્યથી અંતર એ ગ્રહ $B$ ના સૂર્યથી અંતર કરતા $4$ ગણું છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$T^2 \propto r^3$
અહીં પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 5 \text{ કલાક}$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે।
નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 4r$ છે।
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{4r}{r}\right)^3 = (4)^3 = 64$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{64} = 8$
તેથી, નવો આવર્તકાળ:
$T_2 = 8 \times T_1 = 8 \times 5 \text{ કલાક} = 40 \text{ કલાક}$.

(B) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ગ્રહનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે.
તેથી,$L_p = L_a$.
પેરિહેલિયન એ કક્ષામાં સૂર્યની સૌથી નજીકનું બિંદુ છે અને એફેલિયન એ સૂર્યથી સૌથી દૂરનું બિંદુ છે.
તેથી,$r_p < r_a$.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$ સંરક્ષિત હોવાથી,આપણી પાસે $m v_p r_p = m v_a r_a$ છે.
જેમ કે $r_p < r_a$,તેથી $v_p > v_a$ મળે છે.
આમ,સાચો સંબંધ $r_p < r_a, v_p > v_a, L_a = L_p$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેમને જોડતી રેખા પર લાગે છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ હોવાથી,સૂર્યની સાપેક્ષ ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ સંરક્ષિત રહે છે.
કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રીય વેગ (એકમ સમયમાં કપાતું ક્ષેત્રફળ) એ કોણીય વેગમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(dA/dt = L/2m)$.
કોણીય વેગમાન $L$ અને ગ્રહનું દળ $m$ અચળ હોવાથી,ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે એકમ સમયમાં કાપેલું ક્ષેત્રફળ અચળ હોય છે:
$\frac{A_{1}}{t_{1}} = \frac{A_{2}}{t_{2}} = \frac{A_{3}}{t_{3}}$
અહીં $t_{1} = 2$ દિવસ,$t_{2} = 3$ દિવસ અને $t_{3} = 6$ દિવસ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{A_{1}}{2} = \frac{A_{2}}{3} = \frac{A_{3}}{6}$
આ સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે,આખા સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા:
$6 \times \frac{A_{1}}{2} = 6 \times \frac{A_{2}}{3} = 6 \times \frac{A_{3}}{6}$
$3 A_{1} = 2 A_{2} = A_{3}$

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે ગ્રહનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr \sin(\theta)$ અચળ હોવાથી,જ્યાં $m$ એ ગ્રહનું દળ છે,$v$ એ તેની રેખીય ઝડપ છે,$r$ એ સૂર્યથી અંતર છે,અને $\theta$ એ સ્થાન સદિશ અને વેગ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પેરિહેલિયન (સૂર્યની સૌથી નજીકનું બિંદુ) પર,અંતર $r$ ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ માટે,આ બિંદુએ રેખીય ઝડપ $v$ મહત્તમ હોવી જોઈએ.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $A$ સૂર્યની સૌથી નજીક છે.
આમ,ગ્રહની રેખીય ઝડપ બિંદુ $A$ પર મહત્તમ છે.

(A) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહે છે.
સૂર્યના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક $(\tau)$ $\tau = r \times F$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી જે ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખા પર લાગે છે,તેથી ટોર્ક શૂન્ય $(\tau = 0)$ થાય છે.
સંબંધ $\tau = \frac{dL}{dt}$ પરથી,જો $\tau = 0$ હોય,તો $\frac{dL}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $L$ અચળ છે.
જેમ જેમ ગ્રહ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે,તેમ સૂર્યથી તેનું અંતર બદલાય છે,જેના કારણે તેની રેખીય ઝડપ,કોણીય ઝડપ અને ગતિઊર્જા સમય સાથે બદલાય છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહને સૂર્ય સાથે જોડતો ત્રિજ્યા સદિશ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.
એટલે કે,$\frac{dA}{dt} = \text{અચળ}$.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ધારો કે $r$ એ સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહનો સ્થાન સદિશ છે અને $F$ એ સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
આ બળ દ્વારા સૂર્યની આસપાસ ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ છે:
$\tau = r \times F = 0$
(કારણ કે $r$ અને $F$ એક જ રેખા પર છે).
આપણે જાણીએ છીએ કે ટોર્ક એ કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર છે:
$\tau = \frac{dL}{dt}$
અહીં $\tau = 0$ હોવાથી,$\frac{dL}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $L = \text{અચળ}$.
આમ,કેપ્લરનો બીજો નિયમ એ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(C) ધારો કે $T_A$ અને $T_B$ એ અનુક્રમે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહ $A$ અને $B$ ના પરિભ્રમણ સમયગાળા છે. આપેલ છે કે $T_A = 8 T_B$.
કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળાનો વર્ગ એ સૂર્યથી અંતરના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
તેથી,$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{8 T_B}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$8^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$.
આમ,સૂર્યથી ગ્રહ $A$ નું અંતર એ સૂર્યથી ગ્રહ $B$ ના અંતર કરતા $4$ ગણું છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કેન્દ્રીય બળ ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા ગ્રહ કે ઉપગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $L = mvr \sin \theta$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{mvr \sin \theta}{2m} = \frac{vr \sin \theta}{2}$.
અંતિમ સમીકરણમાં જોઈ શકાય છે કે દળ $m$ ઉડી જાય છે.
તેથી,ક્ષેત્રીય વેગ ઉપગ્રહના દળ પર આધારિત નથી,જેનો અર્થ છે કે તે $m^0$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ હોય છે. ક્ષેત્રફળ કાપવા માટે લાગતો સમય તે ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે લંબગોળનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. અહીં $a = 2b$.
સૂર્ય નાભિ $S(ae, 0)$ પર છે. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$S = (\sqrt{3}, 0)$.
$bed$ માર્ગ એ $S$ થી ચાપ $bed$ સુધીના ત્રિજ્યા સદિશ દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળને અનુરૂપ છે. લંબગોળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab$ છે.
$bed$ માર્ગમાં ત્રિજ્યા સદિશ દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ $A_{bed}$ છે.
ક્ષેત્રીય વેગના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,લાગતો સમય આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે. $bed$ અને $dab$ માર્ગો માટેના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કર્યા પછી,સમયનો ગુણોત્તર મળે છે. $T_{bed} = 24$ કલાક = $1440$ મિનિટ આપેલ હોવાથી,ગણતરી કરતા $T_{dab} = 804$ મિનિટ મળે છે.

(B) ક્ષેત્રીય વેગ $A$ એ ગ્રહના સ્થાન સદિશ દ્વારા ક્ષેત્રફળ કપાવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
બંને બાજુ ગ્રહના દળ $M$ વડે ગુણતા:
$MA = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
કારણ કે $r$ અંતરે રહેલા $M$ દળના બિંદુવત પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M r^2$ છે,તેથી:
$MA = \frac{1}{2} I \omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ છે.
સમીકરણમાં $L$ મૂકતા:
$MA = \frac{1}{2} L$
તેથી,કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L = 2MA$

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
ધારો કે પ્રારંભિક ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ છે (કારણ કે તે ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ છે).
ધારો કે નવી ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ છે.
આપણે નવો આવર્તકાળ $T_2$ શોધવાનો છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2^2}{24^2} = \left( \frac{2r_1}{r_1} \right)^3 = 2^3 = 8$.
$T_2^2 = 8 \times 24^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $T_2 = \sqrt{8} \times 24 = 2\sqrt{2} \times 24 = 48\sqrt{2} \text{ કલાક}$.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
ધારો કે $R_1 = R$ ત્રિજ્યા માટે આવર્તકાળ $T_1$ છે અને $R_2 = 1.02 R$ ત્રિજ્યા માટે આવર્તકાળ $T_2$ છે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2} = (1.02)^{3/2}$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 0.02$ અને $n = 1.5$ છે:
$\frac{T_2}{T_1} \approx 1 + (1.5 \times 0.02) = 1 + 0.03 = 1.03$.
આનો અર્થ એ છે કે $T_2 \approx 1.03 T_1$.
ટકાવારી તફાવત $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = \left( \frac{T_2}{T_1} - 1 \right) \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા: $(1.03 - 1) \times 100 = 0.03 \times 100 = 3\%$.

(C) ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{d A}{d t}$ નું સૂત્ર $\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ છે.
આ સૂત્ર કોણીય વેગમાન $L = mvr = mr^2 \omega$ પરથી મેળવવામાં આવે છે,જ્યાં ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2m} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ થાય છે.
અહીં $\frac{1}{2}$ અચળ હોવાથી,$\frac{d A}{d t} \propto r^2 \omega$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\frac{d A}{d t} \propto \omega r^2$ છે.

(C) લંબગોળ કક્ષાનો અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ એ મહત્તમ અંતર $(r_{max} = R)$ અને ન્યૂનતમ અંતર $(r_{min} = R/3)$ ની સરેરાશ છે:
$a = \frac{R + R/3}{2} = \frac{4R/3}{2} = \frac{2R}{3}$
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(2R/3)^3}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{8R^3}{27GM}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{8R^3}{27GM} = \frac{32\pi^2}{27GM} \cdot R^3$
$T^2 = \alpha R^3$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = \frac{32\pi^2}{27GM}$

(A) કેપ્લરના બીજા નિયમ (ક્ષેત્રફળનો નિયમ) મુજબ,સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતો ત્રિજ્યા સદિશ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સૂર્ય $(S)$ લંબગોળ કક્ષાના એક કેન્દ્ર (focus) પર છે.
ગ્રહ દ્વારા $DAB$ માર્ગમાં આંતરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ચાપ $DAB$ અને રેખાઓ $SD$ તથા $SB$ દ્વારા ઘેરાયેલો વિસ્તાર છે.
ગ્રહ દ્વારા $BCD$ માર્ગમાં આંતરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ચાપ $BCD$ અને રેખાઓ $SB$ તથા $SD$ દ્વારા ઘેરાયેલો વિસ્તાર છે.
સૂર્ય બાજુ $A$ ની નજીક હોવાથી,$DAB$ માર્ગમાં ગ્રહ દ્વારા આંતરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $BCD$ માર્ગમાં આંતરાયેલા ક્ષેત્રફળ કરતા ઓછું છે.
તેથી,$DAB$ માર્ગ કાપવા માટે લાગતો સમય $BCD$ માર્ગ કાપવા માટે લાગતા સમય કરતા ઓછો છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$T^2 \propto r^3$
કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,$T = \frac{2\pi}{\omega}$ થાય. આ કિંમત નિયમમાં મૂકતા:
$(\frac{2\pi}{\omega})^2 \propto r^3 \Rightarrow \frac{1}{\omega^2} \propto r^3 \Rightarrow r^3 \omega^2 = \text{અચળ}$.
પૃથ્વી $(E)$ અને ગ્રહ $(P)$ માટે:
$r_E^3 \omega_E^2 = r_P^3 \omega_P^2$
અહીં $r_E = R$ અને $\omega_P = 2\omega_E$ આપેલ છે:
$R^3 \omega_E^2 = r_P^3 (2\omega_E)^2$
$R^3 \omega_E^2 = r_P^3 (4\omega_E^2)$
$R^3 = 4 r_P^3$
$r_P^3 = \frac{R^3}{4} = \frac{R^3}{2^2}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$r_P = \frac{R}{2^{2/3}} = 2^{-2/3} R$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહના પરિભ્રમણ સમય $(T)$ નો વર્ગ તેના સૂર્યથી સરેરાશ અંતર $(R)$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$T^{2} \propto R^{3}$
ધારો કે પૃથ્વીનો સમયગાળો $T_{1} = D$ છે જે $L_{1}$ અંતરે છે,અને બીજા ગ્રહનો સમયગાળો $T_{2}$ છે જે $L_{2}$ અંતરે છે.
તેથી,$\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{L_{2}^{3}}{L_{1}^{3}}$
$\frac{T_{2}^{2}}{D^{2}} = \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3}$
$T_{2}^{2} = D^{2} \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$T_{2} = D \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3/2} \text{ દિવસ}$.

(B) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$M$ દળ ધરાવતા તારાની આસપાસ $R$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ એ $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$T \propto \sqrt{\frac{R^3}{M}}$.
ગ્રહ $P_1$ માટે: $T_1 \propto \sqrt{\frac{R^3}{2M}}$.
ગ્રહ $P_2$ માટે: $T_2 \propto \sqrt{\frac{(2R)^3}{4M}} = \sqrt{\frac{8R^3}{4M}} = \sqrt{\frac{2R^3}{M}}$.
ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1}$ લેતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\sqrt{2R^3/M}}{\sqrt{R^3/2M}} = \sqrt{\frac{2R^3}{M} \cdot \frac{2M}{R^3}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$P_2$ અને $P_1$ ના પરિભ્રમણના સમયગાળાનો ગુણોત્તર $2$ છે.