Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Hindi

(A) कथन $I$ सत्य है क्योंकि न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम बताता है कि ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
कथन $II$ सत्य है क्योंकि पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान शून्य होता है। चूंकि भार को $W = mg$ के रूप में परिभाषित किया गया है,यदि $g = 0$ है,तो पृथ्वी के केंद्र पर व्यक्ति का भार $W$ भी शून्य होगा।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं।

(D) एक सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \ s$ होता है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ है।
सतह से $h = 2R$ की ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2} = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^{2} = g \left( \frac{1}{3} \right)^{2} = \frac{g}{9}$ होता है।
दिया गया है $g = \pi^{2} \ m/s^{2}$,इसलिए $g' = \frac{\pi^{2}}{9} \ m/s^{2}$।
इन मानों को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर: $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\pi^{2}/9}}$।
$1 = \pi \sqrt{\frac{9L}{\pi^{2}}} = \pi \cdot \frac{3\sqrt{L}}{\pi} = 3\sqrt{L}$।
$\sqrt{L} = \frac{1}{3} \Rightarrow L = \frac{1}{9} \ m$।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से दूरी $r = \frac{5}{4}R$ दी गई है,इसलिए इस ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण:
$g' = \frac{GM}{(\frac{5}{4}R)^2} = \frac{GM}{\frac{25}{16}R^2} = \frac{16}{25} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{16}{25}g$.
चूँकि भार $W = mg$ होता है,नया भार $W' = m g' = \frac{16}{25}mg = \frac{16}{25}W$ होगा।
भार में कमी $\Delta W = W - W' = W - \frac{16}{25}W = \frac{9}{25}W$ है।
भार में प्रतिशत कमी $\frac{\Delta W}{W} \times 100 = \frac{9/25 W}{W} \times 100 = \frac{9}{25} \times 100 = 36\%$ है।
अतः,वस्तु के भार में प्रतिशत कमी $36\%$ है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h << R$ है।
गुरुत्वीय त्वरण में परिवर्तन $\Delta g = g - g' = g(\frac{2h}{R})$ है।
भार में भिन्नात्मक कमी (जो $g$ में परिवर्तन के समानुपाती है) $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\text{प्रतिशत कमी} = \frac{\Delta g}{g} \times 100 = \frac{2h}{R} \times 100$.
दिए गए मान $h = 32 \ km$ और $R = 6400 \ km$ रखने पर:
$\text{प्रतिशत कमी} = 2 \times \frac{32}{6400} \times 100 = 2 \times \frac{1}{200} \times 100 = 1 \%$.

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\sqrt{\frac{g'}{g}} = \frac{R_E}{R_E + h}$.
दिए गए आवर्तकाल $T_1 = 4\,s$ और $T_2 = 6\,s$ के लिए,हमारे पास अनुपात है:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \frac{R_E + h}{R_E}$.
मान रखने पर:
$\frac{6}{4} = \frac{6400 + h}{6400}$.
$1.5 = 1 + \frac{h}{6400}$.
$0.5 = \frac{h}{6400}$.
$h = 0.5 \times 6400 = 3200\,km$.

(D) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{GM}{R^2}$,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए $g \propto \frac{1}{R^2}$ होगा।
सापेक्ष त्रुटि के सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$।
दिया गया है कि त्रिज्या $2 \%$ कम हो जाती है,इसलिए $\frac{\Delta R}{R} = -0.02$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.02) = 0.04$।
प्रतिशत में बदलने के लिए $100$ से गुणा करने पर: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 4 \%$।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए गुरुत्वीय त्वरण में $4 \%$ की वृद्धि होगी।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ होता है,जहाँ $h \ll R_e$ है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e})$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$g_h = g_d$ है,इसलिए:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने और सरल करने पर:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$
दिया गया है कि $d = \alpha h$,इसलिए:
$\alpha h = 2h$
$\alpha = 2$.

(B) जैसे-जैसे हम पृथ्वी की सतह से दूर जाते हैं,गुरुत्वीय त्वरण $g$ घटता जाता है,जिसे $g(h) = g_0(1 - 2h/R_e)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान लीजिए $C$ केबिन का द्रव्यमान केंद्र है। $h$ ऊँचाई पर किसी भी वस्तु का त्वरण $a = g(h)$ होता है।
चूंकि $A$,$C$ के ऊपर है और $B$,$C$ के नीचे है,इसलिए उनकी ऊँचाइयाँ $h_A > h_C > h_B$ हैं।
परिणामस्वरूप,गुरुत्वीय त्वरण $a_B > a_C > a_A$ संबंध का पालन करते हैं।
केबिन के फ्रेम (जिसका त्वरण $a_C$ है) से देखने पर,सापेक्ष त्वरण इस प्रकार हैं:
$a_{A,rel} = a_A - a_C < 0$ (अर्थात $A$ केबिन के सापेक्ष ऊपर की ओर त्वरित होता है)।
$a_{B,rel} = a_B - a_C > 0$ (अर्थात $B$ केबिन के सापेक्ष नीचे की ओर त्वरित होता है)।
इस प्रकार,$A$ धीरे-धीरे ऊपर की ओर और $B$ धीरे-धीरे नीचे की ओर केबिन के सापेक्ष गति करता है। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) ग्रह के घूर्णन के कारण,$\lambda$ अक्षांश पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g^{\prime} = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
भूमध्य रेखा पर,$\lambda = 0^{\circ}$,इसलिए $g_e = g - \omega^2 R$.
$60^{\circ}$ अक्षांश पर,$\lambda = 60^{\circ}$,इसलिए $g_{60} = g - \omega^2 R \cos^2(60^{\circ}) = g - \frac{\omega^2 R}{4}$.
यह दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर भार $60^{\circ}$ पर भार का $f$ गुना है,इसलिए $g_e = f \cdot g_{60}$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $g - \omega^2 R = f \left( g - \frac{\omega^2 R}{4} \right)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $g(1 - f) = \omega^2 R \left( 1 - \frac{f}{4} \right) = \frac{\omega^2 R}{4} (4 - f)$.
$g = \frac{GM}{R^2}$,$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$,और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ का उपयोग करके:
$\frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) (1 - f) = \frac{4 \pi^2}{T^2} R \left( \frac{4 - f}{4} \right)$.
$\frac{4}{3} \pi G R \rho (1 - f) = \frac{\pi^2 R}{T^2} (4 - f)$.
घनत्व $\rho$ के लिए हल करने पर: $\rho = \left( \frac{4 - f}{1 - f} \right) \cdot \frac{3 \pi}{4 G T^2}$.

(D) सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$g_h = g_d$ है।
इसलिए,$g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $\frac{2h}{R} = \frac{d}{R}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = 2h$।
चूँकि $h = 10 \,km$ दिया गया है,इसलिए $d = 2 \times 10 \,km = 20 \,km$ होगा।

(D) गेंद की कक्षीय त्रिज्या $r = R + h$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या $(6400 \, km)$ है और $h$ ऊंचाई $(9 \, km)$ है।
चूंकि $h \ll R$,इसलिए $r \approx R$ है।
वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाली वस्तु का त्वरण अभिकेंद्र त्वरण $a = v^2 / r$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षीय वेग $v = \sqrt{GM/r}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a = (GM/r) / r = GM/r^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r \approx R$,इसलिए त्वरण $a \approx GM/R^2$ है।
परिभाषा के अनुसार,पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वीय त्वरण $g = GM/R^2$ होता है।
अतः,कक्षा में गेंद का त्वरण लगभग $g$ के बराबर होता है।

(B) दिया गया है,दूसरे ग्रह का द्रव्यमान $M_2 = 8 M_1$,जहाँ $M_1$ पहले ग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों ग्रहों के लिए घनत्व $\rho$ समान है,हम जानते हैं कि $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है।
अतः,$M \propto R^3$,जिसका अर्थ है $R \propto M^{1/3}$।
इसलिए,$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{M_2}{M_1}\right)^{1/3} = (8)^{1/3} = 2$,यानी $R_2 = 2 R_1$।
गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
दूसरे ग्रह के गुरुत्वीय त्वरण का पहले ग्रह के गुरुत्वीय त्वरण से अनुपात:
$\frac{g_2}{g_1} = \frac{M_2}{M_1} \times \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{g_2}{g_1} = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 \times \frac{1}{4} = 2$।
अतः,अनुपात $2$ है।

(D) दिया गया है कि पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 144 \, N$ है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है:
$g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$
यहाँ $h = 3R$ दिया गया है,इसलिए:
$g' = g \left( \frac{R}{R + 3R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{4R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{g}{16}$
$h$ ऊँचाई पर वस्तु का भार $W' = mg'$ होगा।
$W' = m \left( \frac{g}{16} \right) = \frac{W}{16}$
$W = 144 \, N$ का मान रखने पर:
$W' = \frac{144}{16} = 9 \, N$.
अतः,$3R$ की ऊँचाई पर वस्तु का भार $9 \, N$ होगा।

(B) पृथ्वी की सतह पर किसी पिंड का भार $W = \frac{GMm}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$m$ पिंड का द्रव्यमान है और $r$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि $G, M$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $W \propto \frac{1}{r^2}$ है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या $0.1 \%$ कम हो जाती है,इसलिए नई त्रिज्या $r' = r(1 - 0.001) = 0.999r$ है।
नया भार $W' = \frac{GMm}{(0.999r)^2} = \frac{W}{(0.999)^2}$ होगा।
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1-x)^{-n} \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर,$W' = W(1 - 0.001)^{-2} \approx W(1 + 2 \times 0.001) = W(1 + 0.002)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$W' = W + 0.002W$,जो $0.002 \times 100 = 0.2 \%$ की वृद्धि दर्शाता है।
अतः,भार में $0.2 \%$ की वृद्धि होगी।

(B) हम जानते हैं कि गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि पृथ्वी का द्रव्यमान $25 \%$ कम हो जाता है,तो नया द्रव्यमान $M' = M - 0.25M = 0.75M = \frac{3}{4}M$ होगा।
पृथ्वी की त्रिज्या $50 \%$ बढ़ जाती है,तो नई त्रिज्या $R' = R + 0.50R = 1.5R = \frac{3}{2}R$ होगी।
गुरुत्वीय त्वरण का नया मान $g'$ होगा:
$g' = \frac{GM'}{(R')^2} = \frac{G(0.75M)}{(1.5R)^2} = \frac{0.75GM}{2.25R^2} = \frac{0.75}{2.25} g = \frac{1}{3} g \approx 0.333g$.
गुरुत्वीय त्वरण में कमी $\Delta g = g - g' = g - 0.333g = 0.667g$ है।
प्रतिशत के रूप में,यह कमी $0.667 \times 100 \% \approx 67 \%$ है।
अतः,इसकी सतह पर गुरुत्वीय त्वरण लगभग $67 \%$ कम हो जाएगा।

(B) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले पिंड की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ इस प्रकार दिया जाता है:
$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$
दिया गया है कि $g_p = g_e$ और $\rho_p = 1.5 \rho_e = \frac{3}{2} \rho_e$ है।
ग्रह और पृथ्वी के लिए गुरुत्वाकर्षण के समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{4}{3} \pi G \rho_p R_p = \frac{4}{3} \pi G \rho_e R_e$
$\rho_p R_p = \rho_e R_e$
$\rho_p = \frac{3}{2} \rho_e$ और $R_e = R$ रखने पर:
$(\frac{3}{2} \rho_e) R_p = \rho_e R$
$R_p = \frac{2}{3} R$
अतः,ग्रह की त्रिज्या $\frac{2}{3} R$ है।

(A) $h$ ऊँचाई पर पिंड का भार $W_h = W \left(1 - \frac{2h}{R}\right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $W = mg$ सतह पर भार है।
ऊँचाई $h$ पर भार में प्रतिशत कमी $\frac{W - W_h}{W} \times 100 = \frac{2h}{R} \times 100 = 1.5 \%$ है।
इससे हमें $\frac{h}{R} = \frac{1.5}{2 \times 100} = 0.75 \%$ प्राप्त होता है।
गहराई $h$ पर पिंड का भार $W_d = W \left(1 - \frac{h}{R}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
गहराई $h$ पर भार में प्रतिशत कमी $\frac{W - W_d}{W} \times 100 = \frac{h}{R} \times 100$ है।
$\frac{h}{R}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{h}{R} \times 100 = 0.75 \%$ प्राप्त होता है।
अतः,भार में $0.75 \%$ की कमी होगी।

(D) भूमध्य रेखा पर किसी वस्तु के भारहीन महसूस करने के लिए,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण शून्य होना चाहिए।
भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$g_{eff} = 0$ रखने पर,हमें $g - \omega^2 R = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega^2 R = g$।
अतः,$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$।
दिन की अवधि (समय अवधि $T$) $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दी जाती है।
मान $R \approx 6.4 \times 10^6 \, m$ और $g \approx 9.8 \, m/s^2$ रखने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{9.8}} \approx 2 \times 3.14 \times 808 \, s \approx 5074 \, s$।
घंटों में बदलने पर: $T \approx \frac{5074}{3600} \, hr \approx 1.41 \, hr$।

(D) पृथ्वी के अंदर $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = \frac{GMd}{R^3} = \beta$ है,जहाँ $d < R$ है।
इससे,हम $GM$ को $GM = \frac{\beta R^3}{d}$ के रूप में लिख सकते हैं।
पृथ्वी की सतह से $d$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = \frac{GM}{(R+d)^2}$ है।
पहले समीकरण से $GM$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर,हमें $g_h = \frac{\beta R^3}{d(R+d)^2}$ प्राप्त होता है।

(D) पृथ्वी की सतह पर किसी पिंड का भार $W = mg = \frac{GMm}{R^2} = 72 \, N$ द्वारा दिया जाता है।
सतह से $h = 2R$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + 2R = 3R$ होती है।
इस ऊँचाई पर भार $W' = mg' = \frac{GMm}{r^2} = \frac{GMm}{(3R)^2} = \frac{GMm}{9R^2}$ होगा।
पहले समीकरण से $W$ का मान रखने पर,हमें $W' = \frac{1}{9} \times \left( \frac{GMm}{R^2} \right) = \frac{72}{9} = 8 \, N$ प्राप्त होता है।

(C) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र: $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
यहाँ,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
चूँकि ग्रह गोलाकार है,इसके द्रव्यमान को इसके घनत्व $(\rho)$ और आयतन $(V)$ के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $M = \rho V = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$.
इस मान को $g$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \times \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
चूँकि $G$,$\pi$,और $\rho$ दोनों ग्रहों के लिए नियतांक हैं,हम पाते हैं कि $g \propto R$.
अतः,गुरुत्वीय त्वरण ग्रह की त्रिज्या के सीधे समानुपाती होता है। इसलिए,यह बड़े ग्रह पर अधिक होगा।

(C) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए $g \propto \frac{1}{R^2}$ होगा।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$।
यहाँ त्रिज्या $1.5 \%$ कम हो रही है,इसलिए $\frac{\Delta R}{R} = -1.5 \% = -0.015$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-1.5 \%) = +3 \%$.
अतः,गुरुत्वीय त्वरण में $3 \%$ की वृद्धि होती है।

(B) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है,इसलिए हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
यह दर्शाता है कि $g \propto \rho R$ है।
दिया गया है कि $\rho_p = 2 \rho_e$ और $R_p = 1.5 R_e$,जहाँ $p$ ग्रह को और $e$ पृथ्वी को दर्शाता है:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{\rho_p R_p}{\rho_e R_e} = \frac{2 \rho_e \times 1.5 R_e}{\rho_e R_e} = 2 \times 1.5 = 3$.
अतः,ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी की सतह का $3$ गुना है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $g$ का मान $2 \%$ कम हो जाता है,इसलिए नया मान $g' = 0.98g$ होगा।
सूत्र में मान रखने पर: $0.98g = g(1 - \frac{2h}{R_e})$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $0.98 = 1 - \frac{2h}{R_e}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{2h}{R_e} = 1 - 0.98 = 0.02$.
$h$ के लिए हल करने पर: $h = 0.01 \times R_e$.
चूँकि $R_e = 6400 \, km$ दिया गया है,इसलिए $h = 0.01 \times 6400 \, km = 64 \, km$ प्राप्त होता है।

(A) भूमध्य रेखा पर एक व्यक्ति का भार $w_{eq} = m(g - \omega^2 R)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी की कोणीय गति है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
ध्रुवों पर,घूर्णन का प्रभाव शून्य होता है,इसलिए भार $w_p = mg$ होता है।
भार में परिवर्तन $\Delta w = w_p - w_{eq} = mg - m(g - \omega^2 R) = m\omega^2 R$ है।
भार में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta w}{w_{eq}} = \frac{m\omega^2 R}{m(g - \omega^2 R)} = \frac{\omega^2 R}{g - \omega^2 R}$ है।
दिया गया है कि $\omega^2 R \approx 0.0337 \, m/s^2$ और $g \approx 9.81 \, m/s^2$,इसलिए:
$\frac{\Delta w}{w_{eq}} = \frac{0.0337}{9.81 - 0.0337} \approx \frac{0.0337}{9.7763} \approx 0.003447$.
प्रतिशत में बदलने पर: $0.003447 \times 100 = 0.3447 \%$.
अतः,भार में लगभग $0.34 \%$ की वृद्धि होती है।

(B) भूमध्य रेखा पर $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु का आभासी भार $w'$ सूत्र $w' = mg - m \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी की कोणीय गति है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
जब पृथ्वी घूम रही होती है,तो प्रभावी भार अभिकेंद्री बल $m \omega^2 R$ के कारण कम हो जाता है।
यदि पृथ्वी अचानक घूमना बंद कर दे,तो कोणीय गति $\omega$ शून्य हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नया आभासी भार $w'' = mg$ हो जाता है।
दोनों की तुलना करने पर,भार में अभिकेंद्री बल के परिमाण के बराबर वृद्धि होती है,जो $m \omega^2 R$ है।
इसलिए,वस्तु का भार $m \omega^2 R$ से बढ़ जाएगा।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$g_h = g \left[ \frac{R}{R+h} \right]^2$
दिया गया है:
$g = 9.8 \, m/s^2$
$R = 6400 \, km$
$h = 480 \, km$
सूत्र में मान रखने पर:
$g_h = 9.8 \left[ \frac{6400}{6400 + 480} \right]^2$
$g_h = 9.8 \left[ \frac{6400}{6880} \right]^2$
$g_h = 9.8 \left[ \frac{40}{43} \right]^2$
$g_h = 9.8 \times (0.9302)^2$
$g_h = 9.8 \times 0.8653$
$g_h \approx 8.48 \, m/s^2$
निकटतम मान के रूप में,हमें $8.5 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ द्वारा दिया जाता है।
ऊँचाई $h$ पर $g$ के मान में परिवर्तन $\Delta g_h = g - g_h = g(\frac{2h}{R_e})$ है।
पृथ्वी की सतह से $x$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_x = g(1 - \frac{x}{R_e})$ द्वारा दिया जाता है।
गहराई $x$ पर $g$ के मान में परिवर्तन $\Delta g_x = g - g_x = g(\frac{x}{R_e})$ है।
प्रश्न के अनुसार,दोनों स्थितियों में $g$ में परिवर्तन समान है:
$\Delta g_h = \Delta g_x$
$g(\frac{2h}{R_e}) = g(\frac{x}{R_e})$
$x = 2h$.

(A) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण है,$\omega$ कोणीय गति है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
भूमध्य रेखा पर व्यक्ति का वजन $W' = m g'$ है।
दिया गया है कि नया वजन वर्तमान वजन का $\frac{3}{5}$ है,इसलिए $m g' = \frac{3}{5} m g$।
$g'$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$m(g - \omega^2 R) = \frac{3}{5} m g$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$g - \omega^2 R = \frac{3}{5} g$
$\omega^2 R$ के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\omega^2 R = g - \frac{3}{5} g = \frac{2}{5} g$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{2 g}{5 R}$
$\omega = \sqrt{\frac{2 g}{5 R}}$

(D) सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए,जमीन पर पहुँचने पर प्राप्त वेग पृथ्वी और ग्रह दोनों पर समान होना चाहिए।
मान लीजिए पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g_1 = 9.8 \, m/s^2$ है और पृथ्वी पर सुरक्षित ऊँचाई $h_1 = 3 \, m$ है।
मान लीजिए ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_2 = 1.96 \, m/s^2$ है और ग्रह पर संगत सुरक्षित ऊँचाई $h_2$ है।
$h$ ऊँचाई से गिरने के बाद प्राप्त वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
सुरक्षा के लिए वेग को समान करने पर: $\sqrt{2 g_1 h_1} = \sqrt{2 g_2 h_2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $g_1 h_1 = g_2 h_2$.
मान रखने पर: $9.8 \times 3 = 1.96 \times h_2$.
$h_2 = \frac{9.8 \times 3}{1.96} = 5 \times 3 = 15 \, m$.
अतः,ग्रह पर संगत ऊँचाई $15 \, m$ है।

(A) मान लीजिए $M_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$1$. पृथ्वी के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर $(r < R)$ स्थित किसी बिंदु के लिए, गुरुत्वीय त्वरण इस प्रकार दिया जाता है:
$g_{in} = \frac{G M_e r}{R^3}$
इसका अर्थ है $g \propto r$, जो मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध है।
$2$. पृथ्वी के बाहर केंद्र से $r$ दूरी पर $(r \geq R)$ स्थित किसी बिंदु के लिए, गुरुत्वीय त्वरण इस प्रकार दिया जाता है:
$g_{out} = \frac{G M_e}{r^2}$
इसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{r^2}$, जो एक हाइपरबोलिक क्षय वक्र है।
सतह पर $(r = R)$, $g$ का मान अधिकतम होता है, $g_{max} = \frac{G M_e}{R^2}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, जो ग्राफ $r < R$ के लिए रैखिक वृद्धि और $r > R$ के लिए $1/r^2$ की कमी को दर्शाता है, वह पहले ग्राफ (ग्राफ $A$) द्वारा दर्शाया गया है।

(C) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का प्रभावी मान $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
व्यक्ति के भारहीन महसूस करने के लिए,प्रभावी गुरुत्व शून्य होना चाहिए,इसलिए $g' = 0$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0 = g - R\omega^2 \cos^2 60^{\circ}$।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 1/2$,इसलिए $\cos^2 60^{\circ} = 1/4$ होगा।
अतः,$0 = g - R\omega^2 (1/4)$,जिसका अर्थ है कि $R\omega^2 / 4 = g$।
$\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega^2 = 4g/R$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = 2\sqrt{g/R}$।
दिन की अवधि $T$ को कोणीय वेग $\omega$ के साथ $T = 2\pi / \omega$ द्वारा संबंधित किया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = 2\pi / (2\sqrt{g/R}) = \pi \sqrt{R/g}$ प्राप्त होता है।

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$ होता है।
पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 18 \, N$ है।
$h$ ऊँचाई पर पिंड का भार $W' = mg' = \frac{mg}{(1 + h/R_e)^2}$ होगा।
यहाँ $h = 3200 \, km$ और $R_e = 6400 \, km$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{h}{R_e} = \frac{3200}{6400} = \frac{1}{2} = 0.5$ प्राप्त होता है।
इन मानों को भार के सूत्र में रखने पर:
$W' = \frac{18}{(1 + 0.5)^2} = \frac{18}{(1.5)^2} = \frac{18}{2.25} = 8 \, N$.

(C) कथन $I$ सही है: सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 + h/R)^{-2}$ द्वारा दिया जाता है,जो $h$ बढ़ने पर घटता है। सतह से $d$ गहराई पर यह $g_d = g(1 - d/R)$ द्वारा दिया जाता है,जो $d$ बढ़ने पर घटता है।
कथन $II$ गलत है: ऊँचाई $h$ और गहराई $d$ जहाँ $h = d$ है,के लिए मान $g_h = g(1 + h/R)^{-2}$ और $g_d = g(1 - h/R)$ हैं। छोटे $h$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करने पर,$g_h \approx g(1 - 2h/R)$,जबकि $g_d = g(1 - h/R)$। चूँकि $(1 - 2h/R) \neq (1 - h/R)$,इसलिए मान समान नहीं हैं।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे हम माउंट एवरेस्ट (अधिक ऊंचाई) पर जाते हैं,$g$ का मान कम हो जाता है।
चूंकि $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$,इसलिए $g$ में कमी होने से आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
आवर्तकाल में वृद्धि का अर्थ है कि घड़ी एक दोलन पूरा करने में अधिक समय लेती है,जिसका अर्थ है कि घड़ी धीमी हो जाती है,तेज नहीं।
इसलिए,अभिकथन $A$ गलत है।
ऊंचाई $h$ पर $g$ का मान $g' = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ होता है,जो वास्तव में सतह पर $g$ से कम होता है। अतः,कारण $R$ सही है।
इस प्रकार,$A$ गलत है लेकिन $R$ सही है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
सतह से $h = R$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ है।
$h = R$ रखने पर,हमें $g' = \frac{g}{(1 + R/R)^2} = \frac{g}{(2)^2} = \frac{g}{4}$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ है $T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2T$।
यह दिया गया है कि नया आवर्तकाल $xT$ है,इसलिए $xT = 2T$,जिसका अर्थ है कि $x = 2$।

(B) जब कोई कण पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर होता है, तो उस पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल केंद्र की ओर निर्देशित होता है और इसे $F = -\frac{GMm}{R^3}x$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F = ma$, त्वरण $a = -\frac{GM}{R^3}x$ द्वारा दिया जाता है।
संबंध $g = \frac{GM}{R^2}$ का उपयोग करके, हम त्वरण को $a = -\frac{g}{R}x$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\omega^2 = \frac{g}{R}$ प्राप्त होता है, या $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = 6400 \, km = 6400 \times 10^3 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$।
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6400 \times 10^3}{10}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{640000} = 2 \times 3.14 \times 800 \, s$।
$T = 5024 \, s$।
मिनटों में बदलने पर: $T = \frac{5024}{60} \approx 83.73 \, \text{मिनट}$, जो लगभग $1$ घंटा और $24$ मिनट है।

(D) गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g_0 \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ है,जहाँ $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ है।
$h = 3R$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R+3R)^2} = \frac{GM}{(4R)^2} = \frac{GM}{16R^2} = \frac{g_0}{16}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$g_d = 4 \times g_h$.
मान रखने पर: $g_0 \left(1 - \frac{d}{R}\right) = 4 \times \left(\frac{g_0}{16}\right)$.
$1 - \frac{d}{R} = \frac{1}{4}$.
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$d = \frac{3}{4} \times R = \frac{3}{4} \times 6400 \ km = 4800 \ km$.

(B) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = G \frac{Mm}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर,भार $W'$ का मान $W' = mg' = G \frac{Mm}{(R+h)^2}$ होता है।
दिया गया है कि $h = 9R$,इसलिए हम इसे $W'$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$W' = G \frac{Mm}{(R + 9R)^2} = G \frac{Mm}{(10R)^2} = G \frac{Mm}{100R^2}$.
चूँकि $W = G \frac{Mm}{R^2}$,हम लिख सकते हैं कि $W' = \frac{W}{100}$.
अतः,उस ऊँचाई पर वस्तु का भार $W/100$ होगा।

(C) कथन-$I$ सत्य है क्योंकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है (यह एक चपटा गोलाभ है) और यह अपनी धुरी पर घूमती है। गुरुत्वीय त्वरण $g$,अक्षांश $\phi$ के साथ $g_{\phi} = g - \omega^2 R_e \cos^2 \phi$ के अनुसार बदलता है। अतः,यह अलग-अलग स्थानों पर अलग-अलग होता है।
कथन-$II$ असत्य है क्योंकि पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - d/R_e)$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे गहराई $d$ बढ़ती है,पद $(1 - d/R_e)$ घटता है,जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे हम पृथ्वी के अंदर गहराई में जाते हैं,$g_d$ का मान घटता है।

(D) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $V_e = \sqrt{\frac{2G \rho \frac{4}{3}\pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho} \cdot R$ होता है।
अतः,$V_e \propto \rho^{1/2} R$ है।
दिया गया है कि $\frac{V_{eA}}{V_{eB}} = \frac{1}{2}$ और $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{V_{eA}}{V_{eB}} = \sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} \cdot \frac{R_A}{R_B}$ से,$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} \cdot \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} = \frac{3}{2}$,इसलिए $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{9}{4}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}G\pi\rho R$ होता है।
इसलिए,$\frac{g_A}{g_B} = \frac{\rho_A R_A}{\rho_B R_B} = \left(\frac{\rho_A}{\rho_B}\right) \left(\frac{R_A}{R_B}\right) = \left(\frac{9}{4}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{4}$।

(C) ग्रह का द्रव्यमान $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $R$ त्रिज्या है।
चूंकि घनत्व $\rho$ स्थिर है,$M \propto R^3$,जिसका अर्थ है $R \propto M^{1/3}$।
वस्तु का वजन $W = mg$ है,जहाँ गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
$g$ के व्यंजक में $R \propto M^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g \propto \frac{M}{(M^{1/3})^2} = \frac{M}{M^{2/3}} = M^{1/3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वजन $W \propto g$,इसलिए $W \propto M^{1/3}$ है।
यह दिया गया है कि ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का दोगुना है $(M_p = 2M_e)$,इसलिए नया वजन $W' = (2)^{1/3} W$ होगा।

(B) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 100\,N$ है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ है।
यहाँ $h = \frac{R}{4}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/4} \right)^2 = g \left( \frac{R}{5R/4} \right)^2 = g \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25}g$.
$h$ ऊँचाई पर भार $W' = mg' = m \left( \frac{16}{25}g \right) = \frac{16}{25} \times W$ होगा।
$W = 100\,N$ रखने पर:
$W' = \frac{16}{25} \times 100 = 16 \times 4 = 64\,N$.

(D) पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 400\,N$ है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ गहराई $d = \frac{R}{2}$ दी गई है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$ प्राप्त होता है।
इस गहराई पर पिंड का नया भार $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ होगा।
चूँकि $mg = 400\,N$ है,इसलिए $W' = \frac{400}{2} = 200\,N$ होगा।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित बिंदु के लिए,गुरुत्वीय त्वरण इस प्रकार दिया जाता है:
$g(h) = \frac{GM}{(R+h)^2}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$g(h) = \frac{GM}{R^2(1 + \frac{h}{R})^2}$
$g(h) = \frac{GM}{R^2} (1 + \frac{h}{R})^{-2}$
चूँकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,इसलिए:
$g(h) = g (1 + \frac{h}{R})^{-2}$
दी गई शर्त $h \ll R$ के लिए,हम द्विपद सन्निकटन (binomial approximation) $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $|x| \ll 1$:
$(1 + \frac{h}{R})^{-2} \approx 1 - \frac{2h}{R}$
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(h) \approx g (1 - \frac{2h}{R})$
अतः,$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime} = g(1 - \frac{2h}{R})$ होता है।

(D) पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 200 \, N$ है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g(1 - d/R)$ होता है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दी गई गहराई $d = R/2$ को सूत्र में रखने पर:
$g' = g(1 - (R/2)/R) = g(1 - 1/2) = g/2$ प्राप्त होता है।
गहराई $d$ पर पिंड का भार $W' = mg' = m(g/2) = (mg)/2$ होगा।
चूंकि $mg = 200 \, N$ है,इसलिए $W' = 200/2 = 100 \, N$ होगा।

(B) अक्षांश $\lambda$ पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ है।
कथन $I$ सही है क्योंकि पृथ्वी का घूर्णन एक अभिकेंद्री बल (अपकेंद्री बल) उत्पन्न करता है,जो गुरुत्वीय त्वरण के प्रभावी मान को संशोधित करता है।
कथन $II$ गलत है। ध्रुवों पर,$\lambda = 90^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि प्रभाव शून्य (न्यूनतम) है। भूमध्य रेखा पर,$\lambda = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि प्रभाव $R\omega^2$ है,जो $g$ में अधिकतम कमी है।
अतः,कथन $I$ सही है और कथन $II$ गलत है।

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \left( \frac{4}{3} \pi G \right) \rho R$.
अतः,$g \propto \rho R$.
ग्रह $A$ के लिए: $g_A \propto \rho \times R$.
ग्रह $B$ के लिए: $g_B \propto \frac{\rho}{3} \times 4R = \frac{4}{3} \rho R$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{g_A}{g_B} = \frac{\rho R}{\frac{4}{3} \rho R} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
इस प्रकार,अनुपात $(g_A : g_B)$ का मान $3:4$ है।

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (\frac{4}{3} \pi R^3)$,इसलिए $g = \frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ होता है।
ग्रह $A$ के लिए: $g_A = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
ग्रह $B$ के लिए: $g_B = \frac{4}{3} \pi G (\frac{\rho}{2}) (1.5 R) = \frac{4}{3} \pi G \rho R \times (0.5 \times 1.5) = \frac{4}{3} \pi G \rho R \times 0.75$.
अतः,अनुपात $\frac{g_B}{g_A} = \frac{0.75}{1} = \frac{3}{4}$ है।

(D) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि $M$ स्थिर है,इसलिए $g \propto \frac{1}{R^2}$ होगा।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $R_1 = R$ है और अंतिम त्रिज्या $R_2 = \frac{R}{2}$ है।
अतः,नए त्वरण $g_2$ और प्रारंभिक त्वरण $g_1$ का अनुपात होगा:
$\frac{g_2}{g_1} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{R^2}{(R/2)^2} = \frac{R^2}{R^2/4} = 4$.
इसलिए,$g_2 = 4g_1 = 4g$ होगा।