Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि पृथ्वी की सतह से ऊपर और नीचे $h$ दूरी पर पिंड का भार समान है। इसका अर्थ है कि $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_h)$ और $h$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_d)$ समान होने चाहिए।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = \frac{g R^2}{(R+h)^2}$ है।
$h$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{g R^2}{(R+h)^2} = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$.
$\frac{1}{(1 + h/R)^2} = 1 - \frac{h}{R}$.
मान लीजिए $x = \frac{h}{R}$। तब $\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - x$.
$1 = (1-x)(1+x)^2 = (1-x)(1 + 2x + x^2) = 1 + x - x^2 - x^3$.
$x^3 + x^2 - x = 0$.
चूँकि $x \neq 0$,इसलिए $x^2 + x - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
अतः,$h = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} R = \frac{\sqrt{5} R - R}{2}$.

(A) मान लीजिए $R_E$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ सतह के ऊपर बिंदु की ऊँचाई है। पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R_E + h$ है।
गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{G M_E}{r} = -5.12 \times 10^7 \,J/kg$ ... $(i)$
गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{G M_E}{r^2} = 6.4 \,m/s^2$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{g'} = \frac{-G M_E / r}{G M_E / r^2} = -r$
$r = -\frac{V}{g'} = -\frac{-5.12 \times 10^7}{6.4} = 0.8 \times 10^7 \,m = 8000 \,km$
चूंकि $r = R_E + h$, इसलिए $h = r - R_E = 8000 \,km - 6400 \,km = 1600 \,km$.

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $h = R$ दिया गया है,इसलिए गुरुत्वीय त्वरण $g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{g}{4}$ होगा।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$\ell = 4 \ m$ और $g' = \frac{g}{4}$ मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{g/4}} = 2\pi \sqrt{\frac{16}{g}}$ प्राप्त होता है।
$g = \pi^2 \ ms^{-2}$ दिया गया है,समीकरण में मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{16}{\pi^2}} = 2\pi \left( \frac{4}{\pi} \right) = 8 \ s$.

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र है: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$।
यहाँ $h = 2R$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g \left(1 + \frac{2R}{R}\right)^{-2} = g(1 + 2)^{-2} = g(3)^{-2} = \frac{g}{9}$।
चूँकि $g = 10 \,ms^{-2}$ है,प्रभावी त्वरण $g' = \frac{10}{9} \,ms^{-2}$ होगा।
$m = 90 \,kg$ द्रव्यमान वाले पिंड पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल:
$F = m \times g' = 90 \times \frac{10}{9} = 100 \,N$।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ होता है।
अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell (R+h)^2}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+h)$.
ऊँचाई $h_1 = R$ के लिए,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+R) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (2R)$.
ऊँचाई $h_2 = 2R$ के लिए,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+2R) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (3R)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2R}{3R} = \frac{2}{3}$.
इसलिए,$3T_1 = 2T_2$.

(D) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W_s = mg_s = 300 \,N$ है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ होता है, जहाँ $g_s$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ गहराई $d = R/4$ दी गई है, इसलिए:
$g_d = g_s \left(1 - \frac{R/4}{R}\right)$
$g_d = g_s \left(1 - \frac{1}{4}\right)$
$g_d = g_s \left(\frac{3}{4}\right)$
$d$ गहराई पर वस्तु का भार $W_d = mg_d$ होगा।
$g_d$ का मान रखने पर:
$W_d = m \times \left(\frac{3}{4} g_s\right)$
$W_d = \frac{3}{4} \times (mg_s)$
चूँकि $mg_s = 300 \,N$, इसलिए:
$W_d = \frac{3}{4} \times 300 \,N = 225 \,N$.

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
मान लीजिए कि पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है। अतः $g = \frac{GM}{R^2} = 9.8 \ m \ s^{-2}$ है।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M' = \frac{M}{10}$ और त्रिज्या $R' = \frac{R}{2}$ है (चूंकि व्यास आधा है,इसलिए त्रिज्या भी आधी होगी)।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM'}{R'^2}$ होगा।
मान रखने पर: $g' = \frac{G(M/10)}{(R/2)^2} = \frac{GM/10}{R^2/4} = \frac{4}{10} \frac{GM}{R^2}$।
चूंकि $\frac{GM}{R^2} = 9.8 \ m \ s^{-2}$ है,इसलिए $g' = 0.4 \times 9.8 \ m \ s^{-2} = 3.92 \ m \ s^{-2}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = R + h$ है।
त्वरण का दिया गया अनुपात:
$\frac{g_p}{g_Q} = \frac{GM / r_p^2}{GM / r_Q^2} = \left( \frac{r_Q}{r_p} \right)^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{36}{25} = \left( \frac{r_Q}{r_p} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{r_Q}{r_p} = \frac{6}{5} \implies r_Q = \frac{6}{5} r_p$
चूँकि $r_p = R + h_p = R + R/3 = 4R/3$ है:
$r_Q = \frac{6}{5} \times \left( \frac{4R}{3} \right) = \frac{24R}{15} = \frac{8R}{5}$
अब,$r_Q = R + h_Q$ है,इसलिए:
$R + h_Q = \frac{8R}{5}$
$h_Q = \frac{8R}{5} - R = \frac{3R}{5}$

(B) दिया गया है: $R_p = \frac{R_e}{10}$,$\rho_p = \rho_e$,$\lambda = 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$,$g_e = 10 \ m \ s^{-2}$,$R_e = 6 \times 10^6 \ m$.
चूंकि घनत्व समान है,$M_p = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R_p^3 = \frac{M_e}{10^3}$.
ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p = \frac{G M_p}{R_p^2} = \frac{G (M_e / 10^3)}{(R_e / 10)^2} = \frac{G M_e}{10 R_e^2} = \frac{g_e}{10} = \frac{10}{10} = 1 \ m \ s^{-2}$.
केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g(r) = g_p \frac{r}{R_p}$ है।
तार $r = R_p - \frac{R_p}{5} = \frac{4R_p}{5}$ से $r = R_p$ तक फैला हुआ है।
तार को पकड़े रखने के लिए आवश्यक बल $F$ तार का भार है: $F = \int_{4R_p/5}^{R_p} \lambda \cdot g(r) \, dr = \int_{4R_p/5}^{R_p} \lambda \frac{g_p}{R_p} r \, dr$.
$F = \frac{\lambda g_p}{R_p} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{4R_p/5}^{R_p} = \frac{\lambda g_p}{2R_p} \left( R_p^2 - \frac{16R_p^2}{25} \right) = \frac{\lambda g_p}{2R_p} \left( \frac{9R_p^2}{25} \right) = \frac{9 \lambda g_p R_p}{50}$.
मान रखने पर: $R_p = \frac{6 \times 10^6}{10} = 6 \times 10^5 \ m$.
$F = \frac{9 \times 10^{-3} \times 1 \times 6 \times 10^5}{50} = \frac{5400}{50} = 108 \ N$.

(A) पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
ग्रह पर,द्रव्यमान $M' = 4M$ और त्रिज्या $R' = 2R$ है।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{G(4M)}{(2R)^2} = \frac{4GM}{4R^2} = \frac{GM}{R^2} = g$ है।
चूंकि दोनों स्थानों पर गुरुत्वीय त्वरण समान है,इसलिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ समान रहता है। अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है।
लोलक के गोलक का द्रव्यमान सरल लोलक के आवर्तकाल को प्रभावित नहीं करता है। इसलिए,कारण $(R)$ सत्य है।
हालाँकि,आवर्तकाल के समान होने का कारण दोनों ग्रहों पर $g$ की समानता है,न कि लोलक का द्रव्यमान। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g = \frac{GM}{R_e^2}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि व्यास को उसके मूल मान का $1/3$ कर दिया जाता है,इसलिए त्रिज्या $R_e$ भी अपने मूल मान की $1/3$ हो जाती है,अर्थात $R' = R_e / 3$।
द्रव्यमान $M$ अपरिवर्तित रहता है।
गुरुत्वीय त्वरण का नया मान $g'$ इस प्रकार होगा:
$g' = \frac{GM}{(R_e/3)^2} = \frac{GM}{R_e^2 / 9} = 9 \left( \frac{GM}{R_e^2} \right) = 9g$
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का नया मान $9g$ होगा।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}},$ जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे $g$ बढ़ता है,आवर्तकाल घटता है और जैसे-जैसे $g$ घटता है,आवर्तकाल बढ़ता है।
पहाड़ की चोटी पर,पृथ्वी की सतह से ऊँचाई $h$ धनात्मक होती है,और गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g_0 \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $g_h < g_0$ (जहाँ $g_0$ आधार/सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है),पहाड़ की चोटी पर $g$ का मान कम होता है।
क्योंकि चोटी पर $g$ कम है,इसलिए पहाड़ की चोटी पर आवर्तकाल $T$ आधार की तुलना में अधिक होगा।
अतः,अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 48 \ N$ है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ है।
यहाँ $h = \frac{R}{3}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{3}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{4R}{3}} \right)^2 = g \left( \frac{3}{4} \right)^2 = g \left( \frac{9}{16} \right)$.
$h$ ऊँचाई पर भार $W' = mg' = mg \left( \frac{9}{16} \right)$ होगा।
$mg = 48 \ N$ रखने पर:
$W' = 48 \times \frac{9}{16} = 3 \times 9 = 27 \ N$.

(B) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_E)$ का सूत्र $g_E = g_P - \omega^2 R$ है,जहाँ $g_P$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी की कोणीय चाल है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर भार ध्रुवों पर भार का आधा है,इसलिए $g_E = \frac{g_P}{2}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{g_P}{2} = g_P - \omega^2 R$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 R = g_P - \frac{g_P}{2} = \frac{g_P}{2}$.
अतः,$\omega = \sqrt{\frac{g_P}{2R}}$.
$g_P = 9.8 \ m/s^2$ और $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ का उपयोग करने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{9.8}{2 \times 6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{9.8}{12.8 \times 10^6}} = \sqrt{0.7656 \times 10^{-6}} \approx 8.75 \times 10^{-4} \ rad/s$.

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ में परिवर्तन इस प्रकार है:
$1$. $r < R$ के लिए (पृथ्वी के अंदर): $g_{in} = \frac{GMr}{R^3}$। अतः, $g$ का मान $r$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। जैसे-जैसे $r$, $0$ से $R$ तक बढ़ता है, $g$ बढ़ता है। इसलिए, कथन $(b)$ गलत है।
$2$. $r = 0$ पर (पृथ्वी का केंद्र): $g = 0$। इसलिए, कथन $(c)$ सत्य है।
$3$. $r > R$ के लिए (पृथ्वी के बाहर): $g_{out} = \frac{GM}{r^2}$। अतः, जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है, $g$ घटता है। इसलिए, कथन $(a)$ सत्य है।
$4$. भूमध्य रेखा पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ है। यदि पृथ्वी घूमना बंद कर दे $(\omega = 0)$, तो $g' = g$ हो जाएगा। चूंकि $g - \omega^2 R < g$, इसलिए पृथ्वी के घूमना बंद करने पर भूमध्य रेखा पर $g$ का मान बढ़ जाता है। इसलिए, कथन $(d)$ गलत है।
निष्कर्ष: कथन $(a)$ और $(c)$ सत्य हैं।

(B) गुरुत्वीय त्वरण $g$ के अंतर्गत प्रारंभिक वेग $u$ के साथ लंबवत ऊपर की ओर प्रक्षेपित कण के लिए उड़ान का समय $t$ सूत्र $t = \frac{2u}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों कणों को समान प्रारंभिक वेग $u$ के साथ प्रक्षेपित किया गया है,इसलिए हमारे पास $u = \frac{g_1 t_1}{2}$ और $u = \frac{g_2 t_2}{2}$ है।
$u$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $\frac{g_1 t_1}{2} = \frac{g_2 t_2}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $g_1 t_1 = g_2 t_2$ प्राप्त होता है।

(C) गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $G$ और $M$ स्थिर हैं,$g \propto R^{-2}$। अवकलन लेने पर,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$। दिया गया है कि $\frac{\Delta R}{R} = -2 \%$,इसलिए $\frac{\Delta g}{g} = -2(-2 \%) = +4 \%$। अतः,$g$ में $4 \%$ की वृद्धि होती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है। यदि $L$ स्थिर रहता है,तो $K \propto \frac{1}{I}$। चूंकि $I = \frac{2}{5} MR^2$,इसलिए $I \propto R^2$। अतः,$K \propto R^{-2}$। अवकलन लेने पर,$\frac{\Delta K}{K} = -2 \frac{\Delta R}{R}$। दिया गया है कि $\frac{\Delta R}{R} = -2 \%$,इसलिए $\frac{\Delta K}{K} = -2(-2 \%) = +4 \%$। अतः,$K$ में $4 \%$ की वृद्धि होती है। इसलिए,$g$ और $K$ दोनों में $4 \%$ की वृद्धि होती है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर,$g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
सतह से $h = 2R$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R+2R)^2} = \frac{GM}{(3R)^2} = \frac{GM}{9R^2} = \frac{g}{9}$ होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ का मान $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/9}} = 3 \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 3T$ है।
$T' = 3T$ की तुलना $T' = xT$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{r^2}$ होता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\varrho$ और त्रिज्या $r$ के पदों में $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^3 \varrho$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए इसे $g$ के सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi r^3 \varrho)}{r^2} = \frac{4}{3} \pi G r \varrho$.
अतः,$g \propto r \varrho$ होता है।
ग्रह $A$ के लिए,$g_A \propto r_1 \varrho_1$.
ग्रह $B$ के लिए,$g_B \propto r_2 \varrho_2$.
इसलिए,ग्रह $A$ और $B$ पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_A}{g_B} = \frac{r_1 \varrho_1}{r_2 \varrho_2}$ होगा।

(A) पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ है,जहाँ $g_s$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है कि $g_d = \frac{g_s}{n}$,इसलिए:
$\frac{g_s}{n} = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दोनों पक्षों को $g_s$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = \frac{R(n-1)}{n}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = \frac{GMm}{R^2} = 45 \ N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$h = \frac{R}{2}$ की ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ से प्राप्त होता है।
सूत्र में $h = \frac{R}{2}$ रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
ऊँचाई $h$ पर भार $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ होगा।
$W = 45 \ N$ रखने पर:
$W' = \frac{4}{9} \times 45 = 4 \times 5 = 20 \ N$.

(A) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$.
दिया गया है कि $g_d = \frac{g}{n}$,इसलिए:
$\frac{g}{n} = g(1 - \frac{d}{R})$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$.
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$.
अतः,$d = \frac{R(n-1)}{n}$.

(A) सरल लोलक की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $L$ स्थिर है,इसलिए $n \propto \sqrt{g}$ होगा।
पृथ्वी की सतह पर,$g_s = g$ है।
$d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $d = R/3$,इसलिए $g_d = g \left(1 - \frac{R/3}{R}\right) = g \left(1 - 1/3\right) = \frac{2}{3}g$।
नई आवृत्ति $n'$ का मान $n' = n \sqrt{\frac{g_d}{g_s}}$ होगा।
मान रखने पर,$n' = n \sqrt{\frac{(2/3)g}{g}} = n \sqrt{2/3}$।

(A) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर वजन अपने वर्तमान मूल्य का $\frac{1}{6}$ हो जाता है,हम मानते हैं कि वर्तमान वजन लगभग $mg$ है।
अतः,$g' = \frac{1}{6} g$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{6} g = g - \omega^2 R$.
$\omega^2 R$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - \frac{1}{6} g = \frac{5}{6} g$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \sqrt{\frac{5g}{6R}}$.
अतः,आवश्यक कोणीय गति $\sqrt{\frac{5}{6} \frac{g}{R}}$ है।

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{n}$,इसलिए हम लिख सकते हैं: $\frac{g}{n} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{n} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{R}{R+h}$।
$h$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $R+h = R \sqrt{n}$।
अतः,$h = R \sqrt{n} - R = R(\sqrt{n}-1)$।

(B) $h$ ऊँचाई पर किसी पिंड का भार $W_h = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $W$ पृथ्वी की सतह पर भार है।
दिया गया है कि $W_h = \frac{1}{16} W$,इसलिए:
$\frac{1}{16} W = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{4} = \frac{R}{R+h}$
$R + h = 4R$
$h = 3R$
अतः,वह ऊँचाई जिस पर भार सतह के भार का $\frac{1}{16}$ हो जाता है,$3R$ है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दिया गया है कि $g_h = \frac{g}{3}$,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{g}{3} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{3} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{R+h}$।
$h$ के लिए हल करने पर:
$R + h = \sqrt{3} R$।
$h = \sqrt{3} R - R$।
$h = (\sqrt{3} - 1) R$।

(B) सतह पर लोलक की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है।
गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_{eff} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ है।
$d = \frac{R}{4}$ के लिए,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g \left(1 - \frac{R/4}{R}\right) = g \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} g$ है।
गहराई $d$ पर आवृत्ति $f_d = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g_{eff}}{l}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3g}{4l}}$ है।
नई आवृत्ति और मूल आवृत्ति $n$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{f_d}{n} = \frac{\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3g}{4l}}}{\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,नई आवृत्ति $f_d = \frac{\sqrt{3}}{2} n$ होगी।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
दिया गया है कि $g$ का मान $64 \%$ कम हो जाता है,इसलिए शेष मान $g_h = (100 \% - 64 \%) \text{ of } g = 36 \% \text{ of } g = 0.36g$ होगा।
अतः,$\frac{g_h}{g} = 0.36 = \frac{36}{100}$.
$g$ और $g_h$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{R^2}{(R+h)^2} = \frac{36}{100}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R}{R+h} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$5R = 3(R+h) = 3R + 3h$.
$2R = 3h$.
$h = \frac{2}{3} R$.

(B) गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
दिया गया है कि $g_d = \frac{g}{n-1}$,इसलिए:
$\frac{g}{n-1} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n-1} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ के लिए हल करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n-1}$.
$\frac{d}{R} = \frac{n-1-1}{n-1} = \frac{n-2}{n-1}$.
अतः,$d = R\left(\frac{n-2}{n-1}\right)$।

(B) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$,हम लिख सकते हैं $g = \frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi R \rho G$.
यह दिया गया है कि $g$ पृथ्वी और ग्रह दोनों के लिए समान है,इसलिए $R_e \rho_e = R_p \rho_p$.
यहाँ,$R_e = R$ और $\rho_p = 3 \rho_e$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R \times \rho_e = R_p \times (3 \rho_e)$.
अतः,$R_p = \frac{R}{3}$.

(D) वस्तु का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह $(h=0)$ पर,गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान अधिकतम होता है।
जब हम $h_1$ गहराई की खदान में जाते हैं,तो गुरुत्वीय त्वरण $g_1 = g(1 - h_1/R)$ होता है,इसलिए $W_1 = mg(1 - h_1/R) < W_2$।
जब हम $h_3$ ऊँचाई वाले पहाड़ की चोटी पर जाते हैं,तो गुरुत्वीय त्वरण $g_3 = g(1 - 2h_3/R)$ होता है,इसलिए $W_3 = mg(1 - 2h_3/R) < W_2$।
चूँकि $W_2$ सतह पर भार है,यह $W_1$ और $W_3$ दोनों से अधिक है।
अतः,सही संबंध $W_1 < W_2 > W_3$ है।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{4}{3} \pi \rho G R$,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
दिया गया है कि ग्रह का घनत्व $\rho_p = 2 \rho_e$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g_p = g_e$ है।
ग्रह और पृथ्वी के लिए व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{4}{3} \pi \rho_p G R_p = \frac{4}{3} \pi \rho_e G R_e$
$\rho_p R_p = \rho_e R_e$
$\rho_p = 2 \rho_e$ और $R_e = R$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(2 \rho_e) R_p = \rho_e R$
$2 R_p = R$
$R_p = \frac{R}{2}$

(A) अक्षांश $\theta$ पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
भूमध्य रेखा पर,अक्षांश $\theta = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$। अतः,$g' = g - R\omega^2$।
यह दिया गया है कि वजन अपने वर्तमान मान का $\frac{3}{5}$ हो जाता है,इसलिए प्रभावी गुरुत्व $g'$ का मान $\frac{3}{5}g$ होना चाहिए।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{5}g = g - R\omega^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $R\omega^2 = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{2g}{5R}$,जिससे $\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 72 \ N$ है।
सतह से $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का सूत्र है: $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
यहाँ $h = \frac{R}{2}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g_h = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$।
ऊंचाई $h$ पर भार $W_h = m g_h = m \left( \frac{4}{9} g \right) = \frac{4}{9} W$ होगा।
$W = 72 \ N$ रखने पर:
$W_h = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$।

(C) पृथ्वी की भूमध्य रेखा पर स्थित कण की रैखिक चाल $V = R \omega$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $\omega$ पृथ्वी के घूर्णन की कोणीय चाल है।
$\theta$ अक्षांश पर,कण $r = R \cos \theta$ त्रिज्या के वृत्त में गति करता है।
$\theta$ अक्षांश पर कण की रैखिक चाल $V'$ का मान $V' = r \omega = (R \cos \theta) \omega$ होता है।
$\theta = 30^{\circ}$ रखने पर:
$V' = R \omega \cos 30^{\circ} = R \omega \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
चूँकि $V = R \omega$,इसलिए $V' = \frac{\sqrt{3}}{2} V$ प्राप्त होता है।

(D) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$।
यहाँ गहराई $d = \frac{R}{2}$ दी गई है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g_d = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$।
सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 300 \ N$ है।
$d$ गहराई पर वस्तु का भार $W_d = mg_d$ होगा।
$g_d = \frac{g}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $W_d = m(\frac{g}{2}) = \frac{1}{2} \times mg = \frac{1}{2} \times 300 \ N = 150 \ N$।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूँकि घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ वाले गोले का द्रव्यमान $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है,इसे सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर हो,तो $g \propto R$ होता है।
पृथ्वी के लिए,$g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ है।
ग्रह के लिए,त्रिज्या $R_p = 3R$ और घनत्व $\rho_p = \rho$ है।
अतः,ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_n = \frac{4}{3} \pi G \rho (3R) = 3 \cdot (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = 3g$ होगा।
$g_n = x \cdot g$ की तुलना $g_n = 3g$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(D) ऊँचाई $h$ पर पिंड का भार $W_h = m g_h$ और सतह पर $W = m g$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $W_h = \frac{W}{9}$,इसलिए $m g_h = \frac{m g}{9}$,जिसका अर्थ है $g_h = \frac{g}{9}$।
ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ और सतह पर $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
इन मानों को समीकरण $g_h = \frac{g}{9}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{GM}{R^2}$
$\frac{1}{(R+h)^2} = \frac{1}{9 R^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{R+h} = \frac{1}{3 R}$
$R + h = 3 R$
$h = 2 R$
अतः,ऊँचाई $2 R$ है।

(D) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
दिया गया है कि गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = \frac{g}{2n}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{g}{2n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2n} = 1 - \frac{d}{R}$।
$d$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{2n}$।
$\frac{d}{R} = \frac{2n - 1}{2n}$।
अतः,$d = R \left(\frac{2n - 1}{2n}\right)$।

(C) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$
यहाँ दी गई गहराई $d = \frac{R}{3}$ है।
सूत्र में $d$ का मान रखने पर:
$g_d = g(1 - \frac{R/3}{R})$
$g_d = g(1 - \frac{1}{3})$
$g_d = g(\frac{2}{3})$
अतः,उस गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{2g}{3}$ होगा।

(D) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $d$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \frac{4}{3} \pi R^3 d$ होता है,इसलिए $g$ के सूत्र में मान रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 d \right) = \frac{4}{3} \pi G R d$.
यह दर्शाता है कि $g \propto R \cdot d$.
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{x}{y}$ और घनत्व का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n}$ दिया गया है,अतः गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात होगा:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1}{R_2} \times \frac{d_1}{d_2} = \frac{x}{y} \times \frac{m}{n} = \frac{xm}{yn}$.
अतः,अनुपात $mx : ny$ है।

(C) गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊँचाई पर (जहाँ $h \ll R$) गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
$g_d$ और $g_h$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{g_d}{g_h} = \frac{g(1 - \frac{d}{R})}{g(1 - \frac{2h}{R})}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{g_d}{g_h} = \frac{\frac{R-d}{R}}{\frac{R-2h}{R}} = \frac{R-d}{R-2h}$.

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि पृथ्वी $R$ त्रिज्या और एकसमान घनत्व $\rho$ का एक गोला है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M$ को $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$M$ का मान $g$ के सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $g = \frac{4}{3} \pi \rho GR$ प्राप्त होता है।

(A) किसी अक्षांश $\phi$ पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान सूत्र द्वारा दिया जाता है: $g_{\phi} = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 \phi$,जहाँ $g_{0}$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है (घूर्णन को अनदेखा करते हुए)।
भूमध्य रेखा पर,$\phi = 0^{\circ}$,इसलिए $g = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 0^{\circ} = g_{0} - R \omega^2$.
अक्षांश $\phi = 30^{\circ}$ पर,$g_{\phi} = g_{0} - R \omega^2 \cos^2 30^{\circ} = g_{0} - R \omega^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = g_{0} - \frac{3}{4} R \omega^2$.
अब,अंतर $|g - g_{\phi}|$ की गणना करते हुए:
$|g - g_{\phi}| = |(g_{0} - R \omega^2) - (g_{0} - \frac{3}{4} R \omega^2)|$
$|g - g_{\phi}| = |-\frac{1}{4} R \omega^2| = \frac{1}{4} R \omega^2$.

(B) पृथ्वी के घूर्णन के कारण $\theta$ अक्षांश पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime} = g - R \omega^2 \cos^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
भूमध्य रेखा पर,अक्षांश $\theta = 0^{\circ}$ है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$ है।
अतः,भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण $g_e = g - R \omega^2$ है।
ध्रुवों पर,अक्षांश $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\cos 90^{\circ} = 0$ है।
अतः,ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p = g$ है।
ध्रुव और भूमध्य रेखा के बीच गुरुत्वीय त्वरण का अंतर $g_p - g_e = g - (g - R \omega^2) = R \omega^2$ है।

(C) हम जानते हैं कि गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M = \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)$ होता है,हम इसे गुरुत्वाकर्षण के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \rho \frac{4}{3} \pi R^3 \right) = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
यह दर्शाता है कि $g \propto \rho R$.
दिया गया है कि $g_m = \frac{1}{6} g_e$ और घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\rho_m}{\rho_e} = \frac{3}{5}$.
समानुपातिकता $g \propto \rho R$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{\rho_m R_m}{\rho_e R_e}$
$\frac{1}{6} = \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{R_m}{R_e} \right)$
$\frac{R_m}{R_e} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$
अतः,$R_m = \frac{5}{18} R_e$.

(A) दिया गया है: $\rho_A : \rho_B = 8 : 1$ और $M_A = M_B = M$.
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ है,इसलिए $\rho \propto \frac{1}{R^3}$ होगा।
अतः,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^3 = 8$ है।
घनमूल लेने पर,$\frac{R_B}{R_A} = 2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{2}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{g_A}{g_B} = \frac{GM/R_A^2}{GM/R_B^2} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$ होगा।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{g_A}{g_B} = (2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $4:1$ है।