Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Hindi

(C) पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg_0$ है,जहाँ $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ है।
$h = \frac{R}{2}$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ इस प्रकार दिया जाता है:
$g' = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R + R/2)^2} = \frac{GM}{(3R/2)^2} = \frac{GM}{9R^2/4} = \frac{4}{9} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{4}{9} g_0$.
अतः,$h$ ऊँचाई पर भार $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9} g_0 \right) = \frac{4}{9} W$ होगा।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सतह से $h$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g(1 - \frac{h}{R})$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$g' = \frac{g}{n}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{n} = g(1 - \frac{h}{R})$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{h}{R}$।
$h$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{h}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$।
अतः,$h = \frac{R(n-1)}{n}$।

(B) पृथ्वी के घूर्णन के कारण $\lambda$ अक्षांश पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g^{\prime} = g - R_{E} \omega^2 \cos^2 \lambda$
भूमध्य रेखा पर,अक्षांश $\lambda = 0^{\circ}$ है। चूंकि $\cos(0^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$g_E = g - R_{E} \omega^2 (1)^2 = g - R_{E} \omega^2$
ध्रुवों पर,अक्षांश $\lambda = 90^{\circ}$ है। चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$,इसलिए:
$g_P = g - R_{E} \omega^2 (0)^2 = g$
अब,अंतर $(g_P - g_E)$ की गणना करने पर:
$g_P - g_E = g - (g - R_E \omega^2) = R_E \omega^2$

(B) पृथ्वी की सतह के नीचे जाने पर गुरुत्वीय त्वरण का मान घटता है। किसी पिंड का भार $(W)$ उसके द्रव्यमान $(m)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का गुणनफल होता है, अर्थात $W = mg$।
पृथ्वी की सतह से $h$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$g' = g \left(1 - \frac{h}{R}\right)$
दोनों पक्षों को द्रव्यमान $m$ से गुणा करने पर, हमें $h$ गहराई पर भार प्राप्त होता है:
$W' = W \left(1 - \frac{h}{R}\right)$
दिया गया है कि $W' = 250 \,N$, $W = 500 \,N$, और $R = 6400 \,km$:
$250 = 500 \left(1 - \frac{h}{6400}\right)$
$0.5 = 1 - \frac{h}{6400}$
$\frac{h}{6400} = 0.5$
$h = 0.5 \times 6400 = 3200 \,km$।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{9}$,इसलिए:
$\frac{g}{9} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$।
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर: $\frac{1}{9} = \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{3} = \frac{1}{1 + \frac{h}{R}}$।
इसका अर्थ है: $1 + \frac{h}{R} = 3$।
$h$ के लिए हल करने पर: $\frac{h}{R} = 2$,जिससे $h = 2R$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g^{\prime} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दिया गया है कि $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{g}{n}$ है,इसलिए हम समीकरण में मान रखते हैं:
$\frac{g}{n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = \frac{R(n-1)}{n}$

(A) पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
प्रश्न के अनुसार,$d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान सतह पर मान का $\frac{1}{n}$ गुना है,इसलिए $g' = \frac{g}{n}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{n} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$।
$d$ के लिए हल करने पर: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$।
अतः,$d = R\left(\frac{n-1}{n}\right)$।

(D) पृथ्वी की सतह से '$h$' ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{3}$,इसलिए:
$\frac{g}{3} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों को '$g$' से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{3} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{R+h}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$R + h = \sqrt{3} R$।
'$h$' के लिए हल करने पर:
$h = \sqrt{3} R - R = (\sqrt{3} - 1) R$।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम स्थिति में,सतह से दूरी $R$ है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_1 = R + R = 2R$ है। दिया गया है $g_1 = \frac{g}{4}$।
द्वितीय स्थिति में,सतह से दूरी $\frac{R}{2}$ है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_2 = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{g_2}{g_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{2R}{3R/2}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$।
अतः,$g_2 = \frac{16}{9} \times g_1 = \frac{16}{9} \times \frac{g}{4} = \frac{4g}{9}$।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
यहाँ दिया गया है कि ऊँचाई $h = R$,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$g' = \frac{g}{4}$
अतः,पृथ्वी की सतह से $R$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{g}{4}$ होगा।

(B) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g' = g(1 - \frac{d}{R})$
जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $g' = 60\% \text{ of } g$,इसलिए:
$g' = 0.6g$
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$0.6g = g(1 - \frac{d}{R})$
$0.6 = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - 0.6$
$\frac{d}{R} = 0.4$
$\frac{d}{R} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
अतः,$d = \frac{2}{5}R$.

(D) किसी अक्षांश $\phi$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g_{\phi} = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
भूमध्य रेखा पर,$\phi = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$,जिससे $g_{eq} = g - \omega^2 R$ (न्यूनतम मान) प्राप्त होता है।
ध्रुवों पर,$\phi = 90^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 90^{\circ} = 0$,जिससे $g_{pole} = g$ (अधिकतम मान) प्राप्त होता है।
इसके अतिरिक्त,पृथ्वी एक चपटा गोला है,जिसका अर्थ है कि भूमध्य रेखा पर त्रिज्या ध्रुवों की त्रिज्या से अधिक है $(R_{eq} > R_{pole})$।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,ध्रुवों पर कम त्रिज्या के कारण $g$ का मान अधिक होता है।
इसलिए,जैसे-जैसे हम भूमध्य रेखा से ध्रुवों की ओर बढ़ते हैं,गुरुत्वीय त्वरण का मान बढ़ता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
सतह से '$h$' ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण '$g_h$' का सूत्र $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
दिया गया है कि $g_h = \frac{g}{3}$,इसलिए:
$\frac{g}{3} = \frac{GM}{(R+h)^2}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{3} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{GM}{(R+h)^2}$.
$\frac{1}{3R^2} = \frac{1}{(R+h)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}R} = \frac{1}{R+h}$.
$R+h = \sqrt{3}R$.
$h = \sqrt{3}R - R$.
$h = R(\sqrt{3}-1)$.

(D) दिया गया है कि पृथ्वी की सतह से छेद के तल की दूरी $d = \frac{R_e}{2}$ है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 300 \ N$ है।
सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g(1 - \frac{d}{R_e})$ होता है।
सूत्र में $d = \frac{R_e}{2}$ रखने पर:
$g' = g(1 - \frac{R_e/2}{R_e}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
छेद के तल पर पिंड का भार $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ होगा।
$mg = 300 \ N$ का मान रखने पर:
$W' = \frac{300}{2} = 150 \ N$.

(D) जब किसी पिंड को $\lambda$ अक्षांश पर स्थित बिंदु $P$ पर डोरी से लटकाया जाता है,तो वह पिंड पृथ्वी की कोणीय गति $\omega$ के साथ घूमता है। पिंड पर कार्य करने वाला प्रभावी बल गुरुत्वाकर्षण बल और वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल का अंतर है।
डोरी में तनाव $T$ इस प्रकार दिया जाता है:
$T = mg - mr\omega^2 \cos \lambda$
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$ और $\lambda$ अक्षांश पर वृत्तीय पथ की त्रिज्या $r = R \cos \lambda$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$T = m \left( \frac{GM}{R^2} \right) - m(R \cos \lambda) \omega^2 \cos \lambda$
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2 \cos^2 \lambda$
विषुववृत्त पर,अक्षांश $\lambda = 0^{\circ}$ होता है।
$\lambda = 0^{\circ}$ और $\cos 0^{\circ} = 1$ रखने पर:
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2 (1)^2$
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2$

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर $g$ का मान $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$g$ में परिवर्तन $\Delta g_h = g - g_h = g(\frac{2h}{R})$ है।
पृथ्वी की सतह से $x$ गहराई पर $g$ का मान $g_x = g(1 - \frac{x}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$g$ में परिवर्तन $\Delta g_x = g - g_x = g(\frac{x}{R})$ है।
यह दिया गया है कि ऊँचाई $h$ और गहराई $x$ पर $g$ में परिवर्तन समान है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$g(\frac{2h}{R}) = g(\frac{x}{R})$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 2h$ प्राप्त होता है।

(C) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g' = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दिया गया है कि $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान सतह पर मान का $\frac{1}{n}$ गुना है,इसलिए:
$g' = \frac{g}{n}$
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{g}{n} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = R\left(\frac{n-1}{n}\right)$

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ है।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{4}$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{g}{4} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{4} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{1}{2} = \frac{R}{R+h}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $R + h = 2R$ प्राप्त होता है।
अतः,$h = 2R - R = R$.

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g^{\prime} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2}$
यहाँ ऊँचाई $h = nR$ दी गई है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g^{\prime} = g \left( \frac{R}{R+nR} \right)^{2}$
$g^{\prime} = g \left( \frac{R}{R(1+n)} \right)^{2}$
$g^{\prime} = g \left( \frac{1}{1+n} \right)^{2}$
अब,पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ और उस ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $(g^{\prime})$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{g}{g^{\prime}} = \frac{g}{g \left( \frac{1}{1+n} \right)^{2}}$
$\frac{g}{g^{\prime}} = (1+n)^{2}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $(n+1)^{2}$ है।

(C) पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ को उसके आयतन $V$ और औसत घनत्व $\rho$ के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ ... $(i)$
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है:
$g = \frac{GM}{R^2}$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $M$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \times \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right)$
$g = \frac{4}{3} \pi R G \rho$
औसत घनत्व $\rho$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\rho = \frac{3 g}{4 \pi R G}$

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
पृथ्वी का द्रव्यमान $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\rho$ औसत घनत्व है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है:
$g = \frac{G}{R^2} \cdot \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
चूँकि $G$,$\pi$ और $R$ पृथ्वी के लिए नियतांक हैं,इसलिए $g \propto \rho$ प्राप्त होता है।
अतः,औसत घनत्व $\rho$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ के समानुपाती है।

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{4}{3} \pi G R \rho$, जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, $R$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है।
चूंकि ग्रह और पृथ्वी दोनों के लिए घनत्व $\rho$ समान है, इसलिए $g \propto R$ होगा।
मान लीजिए पृथ्वी पर त्वरण $g$ है और ग्रह पर त्वरण $g^{\prime}$ है।
दिया गया है कि $R^{\prime} = 0.2 R$, इसलिए:
$\frac{g^{\prime}}{g} = \frac{R^{\prime}}{R} = 0.2$
अतः, $g^{\prime} = 0.2 g$.

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{GM}{R^2}$।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है,इसलिए हम इसे $g$ के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi \rho G R$।
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि जब त्रिज्या $R$ स्थिर रहती है,तो $g \propto \rho$ होता है।
अतः,$\frac{g_2}{g_1} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$।
दिया गया है कि घनत्व दोगुना कर दिया जाता है,यानी $\rho_2 = 2\rho_1$।
इस प्रकार,$g_2 = 2 \times g_1 = 2 \times 9.8 \ m/s^2 = 19.6 \ m/s^2$।

(A) पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
ग्रह के लिए, द्रव्यमान $M' = 4M$ है और त्रिज्या $R' = R$ है।
अतः, ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM'}{R'^2} = \frac{G(4M)}{R^2} = 4g$ होगा।
दिया गया है $g = 10 \,ms^{-2}$, इसलिए ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = 4 \times 10 = 40 \,ms^{-2}$ होगा।
$m = 5 \,kg$ द्रव्यमान के पिंड को $h = 2 \,m$ की ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य $W = m g' h$ है।
मान रखने पर, $W = 5 \,kg \times 40 \,ms^{-2} \times 2 \,m = 400 \,J$ प्राप्त होता है।

(C) भूमध्य रेखा पर,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g - R\omega^2$ होता है।
वस्तु का भार शून्य होने के लिए,प्रभावी गुरुत्व शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $g' = 0$।
अतः,$g - R\omega^2 = 0$।
इसका अर्थ है $R\omega^2 = g$।
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{g}{R}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$
यहाँ $g = 10 \,ms^{-2}$ और $R = 6400 \,km = 6.4 \times 10^6 \,m$ दिया गया है।
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}}$
$\omega = \sqrt{\frac{10}{64 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}}$
$\omega = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800} \,rad/s$।

(B) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
मान लीजिए $g_m, M_m, R_m$ चंद्रमा का गुरुत्वाकर्षण,द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $g_e, M_e, R_e$ पृथ्वी के लिए हैं।
दिया गया है: $g_m = \frac{1}{6} g_e$ और $M_m = \frac{1}{8} M_e$.
हमें अनुपात मिलता है: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{6} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{R_e}{R_m} = \sqrt{\frac{4}{3}}$.
अतः,पृथ्वी की त्रिज्या चंद्रमा की त्रिज्या की $\sqrt{4/3}$ गुना है।

(B) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर भार अपने प्रारंभिक मान का $\frac{3}{5}$ हो जाता है,इसलिए $g' = \frac{3}{5}g$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{5}g = g - \omega^2 R$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$ मिलता है।
अतः,$\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$ है।
दिया गया है $g = 10 \ m/s^2$ और $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ है।
$\omega = \sqrt{\frac{2 \times 10}{5 \times 6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{20}{32 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{1.6 \times 10^6}} = \sqrt{0.625 \times 10^{-6}} \approx 0.791 \times 10^{-3} \ rad/s = 7.91 \times 10^{-4} \ rad/s$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह से $h = R$ ऊँचाई पर,नया आवर्तकाल $T' = xT$ है।
ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ होता है।
चूँकि $h = R$,इसलिए $g_h = \frac{GM}{(R+R)^2} = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{g}{4}$ होगा।
अब,आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T'}{T} = \frac{2\pi \sqrt{l/g_h}}{2\pi \sqrt{l/g}} = \sqrt{\frac{g}{g_h}}$ है।
$g_h = \frac{g}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = \sqrt{\frac{g}{g/4}} = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।

(B) सरल लोलक की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ है।
पृथ्वी की सतह पर,$f = F = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$.
सतह से $d$ गहराई पर,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है।
यहाँ $d = \frac{R}{3}$ दिया गया है,इसलिए प्रभावी गुरुत्व $g_d = g(1 - \frac{R/3}{R}) = g(1 - \frac{1}{3}) = \frac{2g}{3}$ होगा।
गहराई $d$ पर आवृत्ति $f_d = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_d}{l}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2g}{3l}}$ प्राप्त होती है।
सतह पर आवृत्ति के साथ तुलना करने पर:
$f_d = \sqrt{\frac{2}{3}} \times \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \right) = \sqrt{\frac{2}{3}} F$.
चूंकि $\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{1.5}} = \frac{1}{\sqrt{1.5}}$,इसलिए आवृत्ति $\frac{F}{\sqrt{1.5}}$ होगी।

(D) दिया गया है कि ग्रह $A$ पर गुरुत्वीय त्वरण, ग्रह $B$ पर गुरुत्वीय त्वरण का $9$ गुना है:
$g_{A} = 9g_{B}$ $(i)$
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर, $v^2 = u^2 + 2gh$। चूँकि कूद के लिए प्रारंभिक वेग $u$ दोनों ग्रहों पर समान है और अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0$ है, इसलिए $u^2 = 2gh$, या $h = \frac{u^2}{2g}$ प्राप्त होता है।
अतः, $h \propto \frac{1}{g}$
इसलिए, $\frac{h_{B}}{h_{A}} = \frac{g_{A}}{g_{B}}$
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{h_{B}}{2} = \frac{9g_{B}}{g_{B}} = 9$
$h_{B} = 9 \times 2 = 18 \,m$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = 2M_e$ और त्रिज्या $R_p = 2R_e$ है।
इसलिए,ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p$ होगा:
$g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} g_e$.
लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी पर सेकंड लोलक के लिए,$T_e = 2 \ s$ और त्वरण $g_e$ है।
ग्रह पर,नया आवर्तकाल $T_p$ होगा:
$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_p}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_e/2}} = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g_e}}) = \sqrt{2} \times T_e$.
$T_e = 2 \ s$ रखने पर,हमें $T_p = 2\sqrt{2} \ s$ प्राप्त होता है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी पर सेकंड लोलक के लिए,$T = 2 \text{ s}$ होता है।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM'}{R'^2}$ है।
दिया गया है कि $M' = 3M$ और $R' = 3R$,इसलिए:
$\frac{g'}{g} = \frac{M'}{M} \cdot \frac{R^2}{R'^2} = 3 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।
ग्रह पर आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ है।
अतः,$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{3}$।
$T' = T \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \text{ सेकंड}$।

(A) सरल लोलक की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$.
सतह से $d$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है।
यहाँ $d = \frac{R}{2}$ दिया गया है,इसलिए $g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
गहराई $d$ पर नई आवृत्ति $n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g'}{l}}$ होगी।
$g' = \frac{g}{2}$ रखने पर,$n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g/2}{l}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \right)$.
अतः,$n' = \frac{n}{\sqrt{2}}$.

(D) पृथ्वी की सतह से $ d $ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $ g_d $ का सूत्र इस प्रकार है:
$ g_d = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right) $
जहाँ $ g $ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $( 9.8 \,ms^{-2} )$ है,$ d $ गहराई $( 1600 \,km )$ है,और $ R $ पृथ्वी की त्रिज्या $( 6400 \,km )$ है।
मान रखने पर:
$ g_d = 9.8 \left( 1 - \frac{1600}{6400} \right) $
$ g_d = 9.8 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) $
$ g_d = 9.8 \times \frac{3}{4} $
$ g_d = 7.35 \,ms^{-2} $
अतः,$ 1600 \,km $ की गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $ 7.35 \,ms^{-2} $ है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र: $g_h = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि ऊँचाई $h = \frac{R}{2}$,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सूत्र में $h$ का मान रखने पर:
$g_h = \frac{g}{(1 + \frac{R/2}{R})^2} = \frac{g}{(1 + \frac{1}{2})^2} = \frac{g}{(\frac{3}{2})^2}$.
$g_h = \frac{g}{9/4} = \frac{4}{9}g$.
$g = 9.8 \ m/s^2$ का उपयोग करने पर:
$g_h = \frac{4}{9} \times 9.8 \approx 4.355 \ m/s^2 \approx 4.4 \ m/s^2$.

(D) पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(x < R)$: $g = \frac{GMx}{R^3}$,जिसका अर्थ है $g \propto x$। यह एक रैखिक संबंध है।
$2$. पृथ्वी के बाहर $(x \ge R)$: $g = \frac{GM}{x^2}$,जिसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{x^2}$। यह एक व्युत्क्रम वर्ग का संबंध है।
अतः,ग्राफ मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होता है,$x = R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,और फिर $x > R$ के लिए व्युत्क्रम वर्ग के नियम का पालन करते हुए घटता है।

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$ पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
अजीब ग्रह के लिए,हमें $g_p = 2g_e$ दिया गया है।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: यदि $M_p = \frac{M_e}{2}$ और $R_p = \frac{R_e}{2}$ है,तो $g_p = \frac{G(M_e/2)}{(R_e/2)^2} = \frac{GM_e/2}{R_e^2/4} = 2 \frac{GM_e}{R_e^2} = 2g_e$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर,$\frac{g'}{g} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$.
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R+h}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$R+h = R\sqrt{2}$.
$h = R(\sqrt{2}-1)$.

(B) पृथ्वी के केंद्र से '$r$' दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण '$g$' का मान इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(r < R)$: $g = \frac{GMr}{R^3}$,जिसका अर्थ है $g \propto r$। यह एक रैखिक संबंध है।
$2$. पृथ्वी के बाहर $(r \geq R)$: $g = \frac{GM}{r^2}$,जिसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{r^2}$। यह एक गैर-रैखिक,व्युत्क्रम-वर्ग का ह्रास है।
इसलिए,ग्राफ केंद्र $(r=0)$ से सतह $(r=R)$ तक एक रैखिक वृद्धि और पृथ्वी की त्रिज्या $(r > R)$ से अधिक दूरी के लिए एक गैर-रैखिक गिरावट को दर्शाता है। ग्राफ $B$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) $h = 10 \,km$ की ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e}) = x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e}) = x$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$.
चूँकि $h = 10 \,km$ दिया गया है,इसलिए $d = 2 \times 10 \,km = 20 \,km$ प्राप्त होता है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,जहाँ $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
$h = R/2$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ होता है।
$h = R/2$ रखने पर,हमें $g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{(4/9)g}} = \frac{3}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right) = \frac{3}{2}T$।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$,जहाँ $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है: $h = (\sqrt{2}-1)R$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
सूत्र में $h$ का मान रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + (\sqrt{2}-1)R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{R + \sqrt{2}R - R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{\sqrt{2}R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2$
$g' = g \times \frac{1}{2}$
$g' = \frac{10}{2} = 5 \ m \ s^{-2}$।

(A) दिया गया है: $h_1 = 6400 \,km$ ऊँचाई पर $g_1 = 2.5 \,ms^{-2}$। पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \,km$ है।
ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
इसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{(R+h)^2}$।
ऊँचाई $h_1 = 6400 \,km$ के लिए, केंद्र से दूरी $r_1 = R + h_1 = 6400 + 6400 = 12800 \,km = 2R$ है।
ऊँचाई $h_2 = 12800 \,km$ के लिए, केंद्र से दूरी $r_2 = R + h_2 = 6400 + 12800 = 19200 \,km = 3R$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{g_2}{g_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{2R}{3R} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$।
अतः, $g_2 = \frac{4}{9} \times g_1 = \frac{4}{9} \times 2.5 = \frac{10}{9} \approx 1.11 \,ms^{-2}$।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$ है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R_E$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $g_h = \frac{g}{4}$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{g}{4} = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{R_E}{R_E + h}$
$R_E + h = 2R_E$
$h = R_E$
चूँकि $R_E = 6400 \ km$ दिया गया है,इसलिए $h = 6400 \ km$ होगा।

(C) $\text{पृथ्वी की सतह से } h \text{ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण } g' \text{ का सूत्र इस प्रकार है:}$
$g' = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
$\text{यहाँ ऊँचाई } h = 4 R_E \text{ और पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण } g = 10 \,ms^{-2} \text{ दिया गया है।}$
$\text{सूत्र में मान रखने पर:}$
$g' = 10 \left( \frac{R_E}{R_E + 4 R_E} \right)^2$
$g' = 10 \left( \frac{R_E}{5 R_E} \right)^2$
$g' = 10 \left( \frac{1}{5} \right)^2$
$g' = 10 \times \frac{1}{25} = \frac{10}{25} = 0.4 \,ms^{-2}$

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है,इसकी त्रिज्या $R$ ध्रुवों पर न्यूनतम और भूमध्य रेखा पर अधिकतम होती है। चूँकि $g \propto \frac{1}{R^2}$,इसलिए ध्रुवों पर $g$ का मान अधिक होता है।
जब हम सतह से $h$ ऊँचाई पर जाते हैं,तो गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime} = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,$g^{\prime}$ का मान घटता जाता है।
पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण शून्य होता है।
अतः,कथन $A$ और $B$ सही हैं।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान ठोस गोले के केंद्र से $r$ दूरी $(r \ge R)$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह पर,$r = R$ है,इसलिए $a_o = \frac{GM}{R^2}$ है।
हमें वह दूरी $r$ ज्ञात करनी है जहाँ त्वरण $a = \frac{a_o}{4}$ हो जाता है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{GM}{r^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{GM}{R^2} \right)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $GM$ को हटाने पर,$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{4R^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$r^2 = 4R^2$,जिससे $r = 2R$ प्राप्त होता है।
अतः,गोले के केंद्र से दूरी $2R$ है।

(C) ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$,हम त्रिज्या $R$ को $R = \left( \frac{3M}{4\pi \rho} \right)^{1/3}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
$R$ का मान $g$ के सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{GM}{(\frac{3M}{4\pi \rho})^{2/3}} = G M^{1/3} (\frac{4\pi \rho}{3})^{2/3}$.
यह दर्शाता है कि $g \propto M^{1/3} \rho^{2/3}$.
ग्रह के लिए दिया गया है: $M^{\prime} = 8M$ और $\rho^{\prime} = 27\rho$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{g^{\prime}}{g} = \left( \frac{M^{\prime}}{M} \right)^{1/3} \left( \frac{\rho^{\prime}}{\rho} \right)^{2/3}$.
$\frac{g^{\prime}}{g} = (8)^{1/3} \times (27)^{2/3} = 2 \times (3^3)^{2/3} = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$.
अतः,$g^{\prime} = 18g$.