Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Hindi

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g(1 - \frac{2h}{R})$ है,जहाँ $g = 9.8\, m/s^2$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है,$h = 12\, km = 1.2 \times 10^4\, m$ और $R = 6400\, km = 6.4 \times 10^6\, m$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
मान रखने पर:
$g' = 9.8 \times (1 - \frac{2 \times 12}{6400})$
$g' = 9.8 \times (1 - \frac{24}{6400})$
$g' = 9.8 \times (1 - 0.00375)$
$g' = 9.8 \times 0.99625$
$g' \approx 9.763\, m/s^2$.
अतः,मान लगभग $9.76\, m/s^2$ है।

(N/A) $1$. पृथ्वी के केंद्र पर,केंद्र से दूरी $r = 0$ होती है। पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g(1 - d/R)$ है,जहाँ केंद्र पर $d = R$ होता है। अतः,$g_{centre} = g(1 - R/R) = 0$। इस प्रकार,पृथ्वी के केंद्र पर $g$ का मान $0 \ m/s^2$ होता है।
$2$. सतह के नीचे: जैसे-जैसे हम पृथ्वी के अंदर गहराई में जाते हैं (गहराई $d$ बढ़ती है),$g$ का मान $g_d = g(1 - d/R)$ सूत्र के अनुसार रैखिक रूप से घटता है।
$3$. सतह के ऊपर: जैसे-जैसे हम सतह से ऊपर जाते हैं (ऊंचाई $h$ बढ़ती है),$g$ का मान $h \ll R$ के लिए $g_h = g(1 - 2h/R)$ सूत्र के अनुसार या सामान्य रूप से $g_h = gR^2 / (R + h)^2$ के अनुसार घटता है। दोनों ही स्थितियों में,ऊंचाई बढ़ने के साथ $g$ का मान घटता है।

(A) हाँ,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि $g$ केवल पृथ्वी के द्रव्यमान और उसकी त्रिज्या पर निर्भर करता है,इसलिए यह गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।
अतः,हवा के प्रतिरोध की अनुपस्थिति में,सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान की परवाह किए बिना समान त्वरण के साथ नीचे गिरती हैं।

(B) $1$. पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान $0$ होता है क्योंकि केंद्र पर वस्तु पर लगने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।
$2$. सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ प्रकृति का एक मूलभूत नियतांक है और इसका मान ब्रह्मांड में हर जगह,पृथ्वी के केंद्र सहित,$6.67 \times 10^{-11} \ Nm^2/kg^2$ रहता है।
$3$. गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ एक सदिश राशि है क्योंकि इसमें परिमाण और दिशा (पृथ्वी के केंद्र की ओर) दोनों होते हैं।
$4$. सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ एक अदिश राशि है क्योंकि इसमें केवल परिमाण होता है।

(B) पृथ्वी के ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान अधिक होता है।
इसका कारण यह है कि पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है।
ध्रुवों पर पृथ्वी की त्रिज्या $(R_p)$,भूमध्य रेखा की त्रिज्या $(R_e)$ से लगभग $21 \, km$ कम है।
सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ के अनुसार,गुरुत्वीय त्वरण त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R^2})$।
चूंकि ध्रुवों पर त्रिज्या कम होती है,इसलिए भूमध्य रेखा की तुलना में वहां $g$ का मान अधिक प्राप्त होता है।

(N/A) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$ है,जिसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{R_e^2}$। पृथ्वी भूमध्य रेखा पर थोड़ी उभरी हुई है,जिसका अर्थ है कि भूमध्य रेखा पर त्रिज्या $R_e$ का मान अधिक है,जिसके परिणामस्वरूप वहां $g$ का मान कम प्राप्त होता है। इसके विपरीत,पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी है,जिसका अर्थ है कि ध्रुवों पर त्रिज्या $R_e$ का मान कम है,जिसके परिणामस्वरूप वहां $g$ का मान अधिक प्राप्त होता है। चूंकि $g$ का मान अक्षांश के साथ बदलता है,इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है।

(A) पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है; यह एक चपटा गोलाभ (oblate spheroid) है।
विषुववृत्तीय त्रिज्या $(R_e)$ लगभग $6,378 \ km$ है।
ध्रुवीय त्रिज्या $(R_p)$ लगभग $6,357 \ km$ है।
विषुववृत्तीय त्रिज्या और ध्रुवीय त्रिज्या के बीच का अंतर $\Delta R = R_e - R_p = 6,378 \ km - 6,357 \ km = 21 \ km$ है।
चूंकि $1 \ km = 1,000 \ m$,इसलिए मीटर में अंतर $21 \times 1,000 \ m = 21,000 \ m$ है।

(B) पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है।
परिणामस्वरूप,भूमध्य रेखा पर पृथ्वी की त्रिज्या $(R_e)$ ध्रुवों की त्रिज्या $(R_p)$ से अधिक होती है।
गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि $g$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R^2})$,इसलिए भूमध्य रेखा पर बड़ी त्रिज्या के कारण $g$ का मान कम हो जाता है।
अतः,जब हम ध्रुवों से भूमध्य रेखा की ओर जाते हैं,तो $g$ का मान घटता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_h = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है,$R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
जैसे-जैसे ऊँचाई $h$ बढ़ती है,$\left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)$ पद का मान बढ़ता है,जिसके कारण $g_h$ का मान घट जाता है।
अतः,पृथ्वी की सतह से ऊपर जाने पर गुरुत्वीय त्वरण का मान घटता है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह से $h = R_e$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime}$ का सूत्र $g^{\prime} = \frac{GM_e}{(R_e + h)^2}$ है।
इस समीकरण में $h = R_e$ रखने पर,हमें $g^{\prime} = \frac{GM_e}{(R_e + R_e)^2} = \frac{GM_e}{(2R_e)^2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $g^{\prime} = \frac{GM_e}{4R_e^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $g^{\prime} = \frac{g}{4}$।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि $G$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $g \propto \frac{1}{R^2}$ होता है।
यदि त्रिज्या $R$ कम हो जाती है,तो हर $R^2$ का मान घट जाएगा।
अतः,$g$ का मान बढ़ जाएगा।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_e = \frac{G M_e}{R_e^2}$ है।
यहाँ दिया गया है कि नई त्रिज्या $R'_e = \frac{R_e}{n}$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e$ स्थिर रहता है।
संकुचन के बाद नया गुरुत्वीय त्वरण $g'_e = \frac{G M_e}{(R'_e)^2}$ होगा।
$R'_e$ का मान रखने पर,$g'_e = \frac{G M_e}{(R_e/n)^2} = \frac{G M_e n^2}{R_e^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g_e = \frac{G M_e}{R_e^2}$,इसलिए $g'_e = n^2 g_e$ होगा।

(B) अक्षांश $\phi$ पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$ है,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
ध्रुवों पर,$\phi = 90^\circ$ होता है,इसलिए $\cos 90^\circ = 0$ होता है। अतः,$g' = g$,जो कि अधिकतम मान है।
भूमध्य रेखा पर,$\phi = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$ होता है। अतः,$g' = g - \omega^2 R$,जो कि न्यूनतम मान है।

(A) अक्षांश $\lambda$ पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R_e \cos^2 \lambda$ है।
भूमध्य रेखा पर अक्षांश $\lambda = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $g' = g - \omega^2 R_e$ प्राप्त होता है।
भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण को शून्य करने के लिए,हम $g' = 0$ रखते हैं।
अतः,$0 = g - \omega^2 R_e$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\omega^2 R_e = g$ प्राप्त होता है।
$\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{g}{R_e}}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_s = \frac{GM_e m}{R_e^2}$ है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_h = \frac{GM_e m}{(R_e + h)^2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$F_h = \frac{1}{3} F_s$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{GM_e m}{(R_e + h)^2} = \frac{1}{3} \frac{GM_e m}{R_e^2}$.
समीकरण को सरल करने पर: $(R_e + h)^2 = 3 R_e^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $R_e + h = \sqrt{3} R_e$.
अतः,$h = \sqrt{3} R_e - R_e = R_e(\sqrt{3} - 1)$.

(C) पृथ्वी की सतह पर किसी वस्तु का भार $W = mg = \frac{GM_e m}{R_e^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब पृथ्वी की त्रिज्या दोगुनी हो जाती है,तो नई त्रिज्या $R_e' = 2R_e$ हो जाती है।
नया भार $W'$ इस प्रकार होगा: $W' = \frac{GM_e m}{(2R_e)^2} = \frac{GM_e m}{4R_e^2}$।
मूल भार $W$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W' = \frac{W}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,वस्तु का भार उसके मूल भार का एक-चौथाई हो जाता है।

(D) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु का भार $W = mg = \frac{GM_e m}{R_e^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e$ स्थिर रहता है और त्रिज्या आधी $(R' = \frac{R_e}{2})$ हो जाती है,तो नया गुरुत्वीय त्वरण $g'$ होगा:
$g' = \frac{GM_e}{(R_e/2)^2} = \frac{GM_e}{R_e^2 / 4} = 4 \left( \frac{GM_e}{R_e^2} \right) = 4g$.
अतः,नया भार $W'$ होगा:
$W' = mg' = m(4g) = 4W$.
इस प्रकार,वस्तु का भार उसके मूल भार का $4$ गुना हो जाएगा।

(B) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M_e = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R_e^3 \rho$,इसलिए $g = \frac{G}{R_e^2} (\frac{4}{3} \pi R_e^3 \rho) = \frac{4}{3} \pi G R_e \rho$ होता है।
यह दर्शाता है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर हो,तो $g \propto R_e$ होता है।
यदि नई त्रिज्या $R_e' = \frac{R_e}{2}$ हो जाए,तो नया गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{4}{3} \pi G (\frac{R_e}{2}) \rho = \frac{1}{2} g$ होगा।
चूंकि भार $W = mg$ होता है,इसलिए नया भार $W' = m g' = m (\frac{g}{2}) = \frac{W}{2}$ होगा।

(A) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \rho \times V = \rho \times (\frac{4}{3} \pi R^3)$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए इस मान को $g$ के सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \times (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
अतः,दोनों ग्रहों पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi G R_1 \rho_1}{\frac{4}{3} \pi G R_2 \rho_2} = \frac{R_1 \rho_1}{R_2 \rho_2}$.
इस प्रकार,अनुपात $R_1 \rho_1 : R_2 \rho_2$ है।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
पृथ्वी के लिए,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$ है।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = 2M_e$ और त्रिज्या $R_p = 2R_e$ है।
इन मानों को ग्रह के गुरुत्वीय त्वरण $g_p$ के सूत्र में रखने पर:
$g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2}$
$g_p = \frac{2GM_e}{4R_e^2}$
$g_p = \frac{1}{2} \left( \frac{GM_e}{R_e^2} \right)$
चूंकि $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$,इसलिए हमें $g_p = \frac{g_e}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण का आधा होगा।

(N/A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान का एक पिंड पृथ्वी के केंद्र से होकर गुजरने वाली सुरंग में बिंदु $P$ पर है। पृथ्वी के केंद्र से बिंदु $P$ की दूरी $y$ है। शेल प्रमेय के अनुसार,केंद्र से $y$ दूरी पर स्थित पिंड पर गुरुत्वाकर्षण बल केवल $y$ त्रिज्या वाले गोले के भीतर निहित पृथ्वी के द्रव्यमान के कारण होता है।
इस आंतरिक गोले का द्रव्यमान $M' = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi y^3$ है,जहाँ $\rho$ पृथ्वी का घनत्व है। चूँकि $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}$,इसलिए $M' = M \left( \frac{y^3}{R^3} \right)$ प्राप्त होता है।
पिंड पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = -\frac{G M' m}{y^2} = -\frac{G M m y^3}{R^3 y^2} = -\left( \frac{G M m}{R^3} \right) y$ है।
चूँकि $g = \frac{G M}{R^2}$,हम लिख सकते हैं कि $F = -\left( \frac{mg}{R} \right) y$.
यह बल $F = -ky$ के रूप का है,जहाँ $k = \frac{mg}{R}$ एक स्थिरांक है। चूँकि प्रत्यानयन बल विस्थापन $y$ के सीधे आनुपातिक है और केंद्र की ओर निर्देशित है,इसलिए पिंड सरल आवर्त गति करता है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$ है,जहाँ $\phi$ अक्षांश है।
जैसे-जैसे हम भूमध्य रेखा $(\phi = 0^\circ)$ से ध्रुवों $(\phi = 90^\circ)$ की ओर बढ़ते हैं,$\cos^2 \phi$ का मान घटता है।
परिणामस्वरूप,पद $\omega^2 R \cos^2 \phi$ घट जाता है,जिससे प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $(g')$ बढ़ जाता है।
अतः,$g$ का मान भूमध्य रेखा पर न्यूनतम और ध्रुवों पर अधिकतम होता है।

(A) ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_{p})$ का मान $g_{p} = G M / R^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
भूमध्य रेखा पर,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $(g_{e})$ का मान $g_{e} = g - R_{e} \omega^{2}$ होता है,जहाँ $R_{e}$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $\omega$ पृथ्वी के घूर्णन की कोणीय गति है।
ध्रुवों और भूमध्य रेखा के बीच $g$ के मान में अंतर $\Delta g = g_{p} - g_{e}$ है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta g = g - (g - R_{e} \omega^{2})$.
अतः,$\Delta g = R_{e} \omega^{2}$।

(C) पृथ्वी ध्रुवों पर थोड़ी चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है।
सूत्र $g = \frac{GM}{R_e^2}$ के अनुसार,गुरुत्वीय त्वरण त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R_e^2})$।
चूंकि ध्रुवों पर त्रिज्या $(R_p)$ भूमध्य रेखा की त्रिज्या $(R_e)$ से कम है,इसलिए ध्रुवों पर $g$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है $(g_p > g_e)$।

(N/A) पृथ्वी पर $g$ का मान ध्रुवों (poles) पर अधिकतम होता है।
कारण:
$(i)$ भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ थोड़ी कम है। सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ के अनुसार,त्रिज्या कम होने से $g$ का मान बढ़ जाता है।
$(ii)$ पृथ्वी के घूर्णन के कारण उत्पन्न होने वाला अपकेंद्री बल (centrifugal force) ध्रुवों पर शून्य होता है,इसलिए वहां गुरुत्वीय त्वरण में कोई कमी नहीं आती है।

(B) अक्षांश $\lambda$ पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ है,जहाँ $g$ घूर्णन के बिना गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$\omega^2 R \cos^2 \lambda$ पद के कारण,पृथ्वी के घूर्णन से प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण में कमी आती है।
यह प्रभाव ध्रुवों पर शून्य (जहाँ $\lambda = 90^\circ$) और भूमध्य रेखा पर अधिकतम (जहाँ $\lambda = 0^\circ$) होता है।

(A) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - R\omega^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ पृथ्वी के स्थिर होने पर गुरुत्वीय त्वरण है,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $\omega$ पृथ्वी की कोणीय गति है।
यदि पृथ्वी अपना घूर्णन बंद कर देती है,तो $\omega = 0$ हो जाता है।
इसलिए,$g$ का नया मान $g' = g$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि भूमध्य रेखा पर $g$ का मान $R\omega^2$ के बराबर बढ़ जाता है।

(A) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
ग्राफ से,हम देखते हैं कि सतहों पर,$g_1 = g_3 > g_2$ है।
$g_1 = g_3$ के लिए,हमारे पास $\frac{GM_1}{R_1^2} = \frac{GM_3}{R_3^2}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{M_1}{R_1^2} = \frac{M_3}{R_3^2}$।
चूँकि $R_1 < R_3$,इसलिए $R_1^2 < R_3^2$ है,और इस प्रकार $M_1 < M_3$ प्राप्त होता है।
अब,$g_1$ और $g_2$ की तुलना करने पर,$g_1 > g_2$ है,इसलिए $\frac{GM_1}{R_1^2} > \frac{GM_2}{R_2^2}$ होता है।
ग्राफ को देखते हुए,$R_1 < R_2$ और $g_1 > g_2$ है,जिससे $M_1 > M_2$ प्राप्त होता है।
इन परिणामों को संयोजित करने पर,हमें $M_3 > M_1 > M_2$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे एक छोटे अंतरिक्ष यान के अंदर,गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ का मान पूरे आंतरिक भाग में प्रभावी रूप से स्थिर रहता है,और अंतरिक्ष यात्री मुक्त पतन के कारण भारहीनता का अनुभव करता है।
यदि पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष स्टेशन का आकार बड़ा है,तो स्टेशन के आयामों में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में भिन्नता (ज्वारीय बल) महत्वपूर्ण हो जाती है। ऐसे मामले में,अंतरिक्ष यान के अंदर का अंतरिक्ष यात्री असमान गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करेगा और गुरुत्वाकर्षण की उपस्थिति का पता लगा सकता है।

(A) असत्य। $G$ (सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक) एक अदिश राशि है।
$(b)$ सत्य। $g = \frac{GM}{r^2}$ सूत्र न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम से प्राप्त होता है और यह सभी गोलाकार खगोलीय पिंडों के लिए लागू होता है।
$(c)$ असत्य। भूमध्य रेखा पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g - R\omega^2$ द्वारा दिया जाता है। यदि पृथ्वी घूमना बंद कर देती है,तो $\omega = 0$ हो जाता है,इसलिए $g' = g$ होगा। चूंकि $g > (g - R\omega^2)$,इसलिए भूमध्य रेखा पर $g$ का मान वास्तव में बढ़ जाएगा।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1)$ ध्रुवों पर $g$ का मान अधिकतम होता है क्योंकि ध्रुवों पर पृथ्वी की त्रिज्या $R$ न्यूनतम होती है $(R_{pole} < R_{equator})$।
$(2)$ भूमध्य रेखा पर $g$ का मान न्यूनतम होता है क्योंकि भूमध्य रेखा पर पृथ्वी की त्रिज्या $R$ अधिकतम होती है।
$(3)$ पृथ्वी के केंद्र पर $g$ का मान शून्य होता है क्योंकि जैसे-जैसे $r \to 0$ होता है,$r$ त्रिज्या के गोले के भीतर घिरा पृथ्वी का द्रव्यमान शून्य हो जाता है।
अतः,सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-a)$ है।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का सूत्र $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
चूँकि $h = R$ दिया गया है,हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$g_h = \frac{GM}{(R+R)^2} = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2}$.
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,हम लिख सकते हैं कि $g_h = \frac{1}{4} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{g}{4}$.
अतः,$h = R$ की ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g/4$ होगा।

(A) 'छोटे' और 'विस्तारित' का गुणात्मक अर्थ वस्तु के आयामों पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के परिवर्तन पर निर्भर करता है।
यदि वस्तु की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई या आयाम पृथ्वी की त्रिज्या $(R_e \approx 6400 \ km)$ की तुलना में बहुत छोटे हैं,तो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को एकसमान माना जाता है और वस्तु को 'छोटा' कहा जाता है। इस स्थिति में,गुरुत्व केंद्र द्रव्यमान केंद्र के साथ संपाती होता है।
यदि वस्तु के आयाम इतने बड़े हैं कि $g$ में परिवर्तन महत्वपूर्ण हो जाता है,तो वस्तु को 'विस्तारित' कहा जाता है। इस स्थिति में,गुरुत्व केंद्र द्रव्यमान केंद्र के साथ संपाती नहीं भी हो सकता है।
$(1)$ एक इमारत और एक तालाब को 'छोटे' पिंड माना जाता है क्योंकि उनका ऊर्ध्वाधर विस्तार $R_e$ की तुलना में नगण्य है। अतः,इनके लिए गुरुत्व केंद्र द्रव्यमान केंद्र के साथ संपाती होता है।
$(2)$ एक गहरी झील और एक पर्वत 'विस्तारित' पिंडों के उदाहरण हैं क्योंकि उनका ऊर्ध्वाधर विस्तार इतना महत्वपूर्ण है कि $g$ में परिवर्तन को अनदेखा नहीं किया जा सकता है। अतः,इनके लिए गुरुत्व केंद्र द्रव्यमान केंद्र के साथ संपाती नहीं भी हो सकता है।

(A) माना $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
सतह से $h$ गहराई पर,पिंड को आकर्षित करने वाला प्रभावी द्रव्यमान $M_1$ त्रिज्या $(R-h)$ के गोले का द्रव्यमान है।
$M_1 = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \cdot \frac{4}{3} \pi (R-h)^3 = M \frac{(R-h)^3}{R^3}$.
$h$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_P = \frac{G M_1}{(R-h)^2} = \frac{G M (R-h)^3}{R^3 (R-h)^2} = \frac{G M (R-h)}{R^3}$.
सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_Q = \frac{G M}{(R+h)^2}$.
यह दिया गया है कि दोनों बिंदुओं पर भार समान है,इसलिए $g_P = g_Q$.
$\frac{G M (R-h)}{R^3} = \frac{G M}{(R+h)^2}$.
$(R-h)(R+h)^2 = R^3$.
$(R-h)(R^2 + 2Rh + h^2) = R^3$.
$R^3 + 2R^2h + Rh^2 - hR^2 - 2Rh^2 - h^3 = R^3$.
$R^2h - Rh^2 - h^3 = 0$.
$h$ से विभाजित करने पर ($h \neq 0$ के लिए): $R^2 - Rh - h^2 = 0$.
$h^2 + Rh - R^2 = 0$.
द्विघात सूत्र $h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$h = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4(1)(-R^2)}}{2} = \frac{-R \pm \sqrt{5R^2}}{2}$.
चूँकि $h > 0$,हम धनात्मक मान लेंगे: $h = \frac{\sqrt{5}R - R}{2}$.

(D) भूमध्य रेखा पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $(g_e)$ का सूत्र $g_e = g - R\omega^2$ है,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है।
ध्रुवों से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_h)$ का सूत्र $g_h = g(1 - \frac{2h}{R}) = g - \frac{2gh}{R}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों स्थानों पर भार समान है,इसलिए प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण समान होना चाहिए: $g_e = g_h$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $g - R\omega^2 = g - \frac{2gh}{R}$.
समीकरण को सरल करने पर: $R\omega^2 = \frac{2gh}{R}$.
$h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{R^2\omega^2}{2g}$.

(D) $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_{h} = \frac{GM}{(R+h)^{2}}$ होता है।
यहाँ $h = \frac{R}{2}$ दिया गया है,इसलिए $g_{1} = \frac{GM}{(R + R/2)^{2}} = \frac{GM}{(3R/2)^{2}} = \frac{4GM}{9R^{2}} \ldots(1)$
$d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_{d} = g(1 - \frac{d}{R}) = \frac{GM}{R^{2}}(1 - \frac{d}{R}) = \frac{GM(R-d)}{R^{3}} \ldots(2)$
चूँकि $g_{1} = g_{d}$ है,समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{4GM}{9R^{2}} = \frac{GM(R-d)}{R^{3}}$
$\frac{4}{9} = \frac{R-d}{R}$
$\frac{4}{9} = 1 - \frac{d}{R}$
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

(C) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$g' = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
प्रश्न के अनुसार,गहराई $d$ पर त्वरण का मान सतह के मान का $\frac{1}{n}$ गुना है:
$g' = \frac{g}{n}$
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{g}{n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = R \left(\frac{n-1}{n}\right)$

(B) $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g^{\prime} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_{e}})^2}$
यहाँ $h = \frac{R_{e}}{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$g^{\prime} = \frac{g}{(1 + \frac{R_{e}/2}{R_{e}})^2} = \frac{g}{(1 + \frac{1}{2})^2} = \frac{g}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{4g}{9} \dots(i)$
पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $w = mg = 63 \ N \dots(ii)$
$h = \frac{R_{e}}{2}$ ऊँचाई पर पिंड का भार $w^{\prime} = mg^{\prime} = m(\frac{4g}{9}) = \frac{4}{9}mg \dots(iii)$
समीकरण $(ii)$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$w^{\prime} = \frac{4}{9} \times 63 = 4 \times 7 = 28 \ N$

(A) पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2} \approx 9.8 \, m/s^2$ है।
पृथ्वी के घूर्णन को ध्यान में रखते हुए मुक्त पतन का त्वरण $(g_{\text{eff}})$ का सूत्र $g_{\text{eff}} = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$ है। भूमध्य रेखा के निकट $(\phi = 0)$,यह $g_{\text{eff}} = g - \omega^2 R$ हो जाता है।
गुरुत्वीय त्वरण और मुक्त पतन के त्वरण के बीच का अंतर $\Delta g = g - g_{\text{eff}} = \omega^2 R$ है।
यहाँ $R = 6347 \times 10^3 \, m$ और पृथ्वी का कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,जहाँ $T = 24 \times 3600 \, s$ है।
$\Delta g = \left(\frac{2\pi}{86400}\right)^2 \times 6347 \times 10^3$.
$\Delta g = \left(\frac{6.283}{86400}\right)^2 \times 6347000 \approx (7.27 \times 10^{-5})^2 \times 6347000$.
$\Delta g \approx 5.285 \times 10^{-9} \times 6347000 \approx 0.0335 \, m/s^2 \approx 0.0340 \, m/s^2$.

(C) पृथ्वी के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g' = \frac{G M r}{R^3}$
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M}{R^2} \approx 9.8\, m/s^2$ होता है।
इस सूत्र में $g$ का मान रखने पर:
$g' = g \times \frac{r}{R}$
दिए गए मान:
$g = 9.8\, m/s^2$
$r = 2000\, km$
$R = 6400\, km$
गणना करने पर:
$g' = 9.8 \times \frac{2000}{6400}$
$g' = 9.8 \times \frac{20}{64}$
$g' = 9.8 \times 0.3125$
$g' = 3.0625\, m/s^2$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $3.06\, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(D) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है,इसलिए $g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $\rho_p = \rho_e$ और $G_p = 2G_e$ दिया गया है।
गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_p}{g_e} = \frac{\frac{4}{3} \pi G_p \rho_p R_p}{\frac{4}{3} \pi G_e \rho_e R_e}$ होगा।
यदि त्रिज्या समान $(R_p = R_e)$ मानी जाए,तो $\frac{g_p}{g_e} = \frac{G_p}{G_e} = \frac{2G_e}{G_e} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(D) भूमध्य रेखा पर वस्तुओं के तैरने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल के बराबर होना चाहिए।
$mg = m \omega^2 R$
जहाँ $\omega$ पृथ्वी की कोणीय गति है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$
दिन की अवधि $T$,$T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$
दिया गया है $g = 10 \, m/s^2$ और $R = 6400 \times 10^3 \, m$:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6400 \times 10^3}{10}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{640000}$
$T = 6.28 \times 800 = 5024 \, s$
अवधि को मिनटों में बदलने के लिए:
$T_{\text{min}} = \frac{5024}{60} \approx 83.73 \, \text{minutes}$
निकटतम पूर्णांक में,अवधि लगभग $84 \, \text{minutes}$ है।

(B) ध्रुवों पर वस्तु का भार $W_p = mg = 49 \, N$ है।
चूंकि $g = 9.8 \, m/s^2$ है,इसलिए वस्तु का द्रव्यमान $m = \frac{49}{9.8} = 5 \, kg$ है।
भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_e = g - R\omega^2$ होता है,जहाँ $\omega$ पृथ्वी की कोणीय गति है।
कोणीय गति $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T = 24 \times 3600 \, s$ है।
$R\omega^2 = R \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = 6.4 \times 10^6 \times \left(\frac{2 \times 3.14}{86400}\right)^2 \approx 0.0337 \, m/s^2$।
भूमध्य रेखा पर भार $W_e = m(g - R\omega^2) = 5 \times (9.8 - 0.0337) = 5 \times 9.7663 = 48.8315 \, N$ है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,भार $48.83 \, N$ प्राप्त होता है।

(C) माना $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। बिंदु $A$ पृथ्वी के अंदर केंद्र $O$ से $r$ दूरी पर है। बिंदु $C$ सतह $B$ से $h = 3200 \text{ km} = R/2$ की ऊँचाई पर है।
बिंदु $A$ (पृथ्वी के अंदर) पर गुरुत्वीय त्वरण $g_A = \frac{G M r}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $C$ (पृथ्वी के बाहर) पर गुरुत्वीय त्वरण $g_C = \frac{G M}{(R + h)^2} = \frac{G M}{(R + R/2)^2} = \frac{G M}{(3R/2)^2} = \frac{4 G M}{9 R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $g_A = g_C$,इसलिए हम समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{G M r}{R^3} = \frac{4 G M}{9 R^2}$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{4 R}{9}$.
अतः,$OA = r = \frac{4 R}{9}$.
दूरी $AB = R - r = R - \frac{4 R}{9} = \frac{5 R}{9}$.
इसलिए,अनुपात $OA : AB = \frac{4 R}{9} : \frac{5 R}{9} = 4 : 5$.
चूँकि अनुपात $x : y = 4 : 5$ है,इसलिए $x$ का मान $4$ है।

(D) पृथ्वी की सतह से $r$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{up} = \frac{g}{(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह से $r$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{down} = g(1 - \frac{r}{R_{E}})$ द्वारा दिया जाता है।
गहराई $r$ और ऊँचाई $r$ पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात:
$\frac{g_{down}}{g_{up}} = \frac{g(1 - \frac{r}{R_{E}})}{\frac{g}{(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}}} = (1 - \frac{r}{R_{E}})(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}$.
इस व्यंजक का विस्तार करने पर:
$= (1 - \frac{r}{R_{E}})(1 + \frac{2r}{R_{E}} + \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}})$
$= 1 + \frac{2r}{R_{E}} + \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r}{R_{E}} - \frac{2r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r^{3}}{R_{E}^{3}}$
$= 1 + \frac{r}{R_{E}} - \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r^{3}}{R_{E}^{3}}$.

(D) दिया गया है कि ग्रह का घनत्व पृथ्वी के घनत्व के बराबर है,$\rho_p = \rho_e$.
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ होता है,इसलिए हमारे पास $\frac{M_p}{R_p^3} = \frac{M_e}{R_e^3}$ है।
इसका अर्थ है $\frac{R_p}{R_e} = \left(\frac{M_p}{M_e}\right)^{1/3}$.
$M_p = 2 M_e$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R_p}{R_e} = 2^{1/3}$ प्राप्त होता है।
वस्तु का भार $W = mg = m \frac{GM}{R^2}$ होता है।
अतः,$\frac{W_p}{W_e} = \frac{M_p}{M_e} \left(\frac{R_e}{R_p}\right)^2$.
मान रखने पर,$\frac{W_p}{W_e} = 2 \times \left(\frac{1}{2^{1/3}}\right)^2 = 2 \times 2^{-2/3} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
इस प्रकार,$W_p = 2^{1/3} W$.

(B) ऊँचाई $h$ पर किसी पिंड का भार $W' = m g'$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ है।
यह दिया गया है कि ऊँचाई $h$ पर भार सतह पर भार का $\frac{1}{3}$ है,इसलिए $m g' = \frac{1}{3} m g$,जिसका अर्थ है $g' = \frac{g}{3}$।
$g'$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = \frac{g}{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{R}{R+h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R+h = R\sqrt{3}$,इसलिए $h = R(\sqrt{3} - 1)$।
$R = 6400 \, km$ और $\sqrt{3} = 1.732$ के मान रखने पर,$h = 6400 \times (1.732 - 1) = 6400 \times 0.732$।
$h = 4684.8 \, km \approx 4685 \, km$।

(D) माना $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। पृथ्वी का व्यास $2R$ है।
दिया गया है कि सतह से ऊपर बिंदु $P$ की ऊँचाई $h$,पृथ्वी के व्यास के बराबर है,इसलिए $h = 2R$।
पृथ्वी के केंद्र से बिंदु $P$ की दूरी $r = R + h = R + 2R = 3R$ है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM}{r^2}$ है।
समीकरण में $r = 3R$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g' = \frac{GM}{(3R)^2} = \frac{GM}{9R^2}$।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,हम लिख सकते हैं:
$g' = \frac{1}{9} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{g}{9}$।

(D) घूर्णन करती पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $(g')$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण $(g)$ और अभिकेंद्री त्वरण $(rw^2)$ का सदिश योग है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण का परिमाण $g' = \sqrt{g^2 + (rw^2)^2 - 2g(rw^2)\cos\theta}$ है,जहाँ $\theta$ अक्षांश है।
जैसे-जैसे हम ध्रुवों से भूमध्य रेखा की ओर बढ़ते हैं,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण का परिमाण बदलता है क्योंकि अभिकेंद्री घटक अक्षांश $\theta$ के साथ बदलता है।
इसके अलावा,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण की दिशा हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर नहीं होती है,सिवाय ध्रुवों और भूमध्य रेखा के।
इसलिए,अभिकथन $A$ असत्य है क्योंकि परिमाण बदलता है और दिशा हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर नहीं होती है।
कारण $R$ बताता है कि भूमध्य रेखा पर,गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण की दिशा पृथ्वी के केंद्र की ओर होती है। यह सत्य है क्योंकि भूमध्य रेखा पर,अभिकेंद्री त्वरण $(rw^2)$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है,और गुरुत्वाकर्षण त्वरण $(g)$ त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर निर्देशित होता है। उनका परिणामी,प्रभावी त्वरण $(g')$,भी पृथ्वी के केंद्र की ओर त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर निर्देशित होता है।
अतः,$A$ असत्य है लेकिन $R$ सत्य है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $(r)$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(r \leq R)$: $g = \frac{GMr}{R^3}$. यहाँ,$g$ दूरी $r$ के सीधे समानुपाती है $(g \propto r)$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. पृथ्वी के बाहर $(r \geq R)$: $g = \frac{GM}{r^2}$. यहाँ,$g$ दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है $(g \propto 1/r^2)$,जो एक परवलयिक वक्र को दर्शाता है।
अतः,ग्राफ $r = R$ तक एक रैखिक वृद्धि और $r > R$ के लिए एक गैर-रैखिक गिरावट दिखाता है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।