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Mix Examples-Fluid Mechanics and Surface Tension Questions in Hindi
Class 11 Physics · Fluid Mechanics and Surface Tension · Mix Examples-Fluid Mechanics and Surface Tension
142+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 49 of 142 questions in Hindi
51
DifficultMCQ
एक समान मीटर स्केल को उसके $20 \ cm$ के निशान पर सहारा दिया गया है। $10 \ cm$ के निशान से लटकाया गया एक पिंड स्केल को क्षैतिज रखता है। हालाँकि,यदि पिंड को पूरी तरह से पानी में डुबो दिया जाए तो स्केल असंतुलित हो जाता है। संतुलन वापस पाने के लिए पिंड को $8 \ cm$ के निशान पर स्थानांतरित किया जाता है। इसलिए,पिंड के पदार्थ का विशिष्ट गुरुत्व (specific gravity) है:
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$4$
Solution
(B) मान लीजिए $M$ मीटर स्केल का द्रव्यमान है और $m$ पिंड का द्रव्यमान है। समान मीटर स्केल का द्रव्यमान केंद्र $50 \ cm$ के निशान पर है। धुरी $P$,$20 \ cm$ के निशान पर है।
स्थिति $1$: पिंड $10 \ cm$ के निशान पर है। धुरी से पिंड की दूरी $20 \ cm - 10 \ cm = 10 \ cm$ है। धुरी से स्केल के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $50 \ cm - 20 \ cm = 30 \ cm$ है। घूर्णी संतुलन के लिए,धुरी के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$Mg \times 30 = mg \times 10$
$30M = 10m \Rightarrow m = 3M$
स्थिति $2$: पिंड को पानी में डुबोया जाता है और $8 \ cm$ के निशान पर स्थानांतरित किया जाता है। धुरी से पिंड की दूरी $20 \ cm - 8 \ cm = 12 \ cm$ है। उत्प्लावन बल $F_b$ ऊपर की ओर $8 \ cm$ के निशान पर कार्य करता है। पिंड का भार $mg$ नीचे की ओर $8 \ cm$ के निशान पर कार्य करता है। $8 \ cm$ के निशान पर प्रभावी नीचे की ओर बल $(mg - F_b)$ है।
संतुलन के लिए:
$Mg \times 30 = (mg - F_b) \times 12$
$30Mg = 12mg - 12F_b$
चूंकि $F_b = V \rho_w g = (m / \rho) \rho_w g = m g / \rho_r$,जहां $\rho_r$ विशिष्ट गुरुत्व है:
$30Mg = 12mg - 12(mg / \rho_r)$
$m = 3M$ प्रतिस्थापित करने पर:
$30Mg = 12(3M)g - 12(3M)g / \rho_r$
$30 = 36 - 36 / \rho_r$
$36 / \rho_r = 6$
$\rho_r = 36 / 6 = 6$
स्थिति $1$: पिंड $10 \ cm$ के निशान पर है। धुरी से पिंड की दूरी $20 \ cm - 10 \ cm = 10 \ cm$ है। धुरी से स्केल के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $50 \ cm - 20 \ cm = 30 \ cm$ है। घूर्णी संतुलन के लिए,धुरी के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$Mg \times 30 = mg \times 10$
$30M = 10m \Rightarrow m = 3M$
स्थिति $2$: पिंड को पानी में डुबोया जाता है और $8 \ cm$ के निशान पर स्थानांतरित किया जाता है। धुरी से पिंड की दूरी $20 \ cm - 8 \ cm = 12 \ cm$ है। उत्प्लावन बल $F_b$ ऊपर की ओर $8 \ cm$ के निशान पर कार्य करता है। पिंड का भार $mg$ नीचे की ओर $8 \ cm$ के निशान पर कार्य करता है। $8 \ cm$ के निशान पर प्रभावी नीचे की ओर बल $(mg - F_b)$ है।
संतुलन के लिए:
$Mg \times 30 = (mg - F_b) \times 12$
$30Mg = 12mg - 12F_b$
चूंकि $F_b = V \rho_w g = (m / \rho) \rho_w g = m g / \rho_r$,जहां $\rho_r$ विशिष्ट गुरुत्व है:
$30Mg = 12mg - 12(mg / \rho_r)$
$m = 3M$ प्रतिस्थापित करने पर:
$30Mg = 12(3M)g - 12(3M)g / \rho_r$
$30 = 36 - 36 / \rho_r$
$36 / \rho_r = 6$
$\rho_r = 36 / 6 = 6$
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DifficultMCQ
दिखाए गए $H$-आकार के उपकरण में एक आदर्श असंपीड्य द्रव है और इसके आयाम चित्र में दिखाए गए हैं। नलियों का व्यास $h$ और $R$ की तुलना में छोटा है। उपकरण को चित्र में दिखाए अनुसार एक सममित ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक स्थिर कोणीय वेग $\omega$ से घुमाया जाता है। बिंदु $A$ पर दबाव कितना है?
A
$P_0 + \rho gh$
B
$P_0 + \rho gh + \frac{\rho R^2 \omega^2}{2}$
C
$P_0 + \rho gh - \frac{\rho R^2 \omega^2}{2}$
D
$P_0 - \rho gh - \frac{\rho R^2 \omega^2}{2}$
Solution
(C) मान लीजिए कि $h$ ऊंचाई के द्रव के ऊर्ध्वाधर स्तंभ के निचले बिंदु $B$ पर दबाव $P_B$ है। चूंकि स्तंभ का ऊपरी भाग वायुमंडल के लिए खुला है,इसलिए $P_B = P_0 + \rho gh$,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
अब,नली के क्षैतिज खंड पर विचार करें जो $A$ से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर कोणीय वेग $\omega$ से घूम रहा है। बिंदु $A$ अक्ष से $r = 0$ की दूरी पर है और बिंदु $B$ अक्ष से $r = R$ की दूरी पर है।
घूमते हुए द्रव में दबाव में परिवर्तन $dP = \rho \omega^2 r dr$ द्वारा दिया जाता है। $A$ से $B$ तक समाकलन करने पर:
$P_B - P_A = \int_0^R \rho \omega^2 r dr = \frac{\rho \omega^2 R^2}{2}$.
इसलिए,$P_A = P_B - \frac{\rho \omega^2 R^2}{2}$.
$P_B$ का मान रखने पर,हमें $P_A = P_0 + \rho gh - \frac{\rho \omega^2 R^2}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,नली के क्षैतिज खंड पर विचार करें जो $A$ से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर कोणीय वेग $\omega$ से घूम रहा है। बिंदु $A$ अक्ष से $r = 0$ की दूरी पर है और बिंदु $B$ अक्ष से $r = R$ की दूरी पर है।
घूमते हुए द्रव में दबाव में परिवर्तन $dP = \rho \omega^2 r dr$ द्वारा दिया जाता है। $A$ से $B$ तक समाकलन करने पर:
$P_B - P_A = \int_0^R \rho \omega^2 r dr = \frac{\rho \omega^2 R^2}{2}$.
इसलिए,$P_A = P_B - \frac{\rho \omega^2 R^2}{2}$.
$P_B$ का मान रखने पर,हमें $P_A = P_0 + \rho gh - \frac{\rho \omega^2 R^2}{2}$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
एक रेज़र-ब्लेड एक गिलास में भरे पानी की सतह पर तैरती है। जब गिलास को धीरे से हिलाया जाता है,तो रेज़र-ब्लेड डूब जाती है। गलत कथन को चिह्नित करें।
A
विस्थापित पानी का आयतन ब्लेड के अपने आयतन से कम होता है।
B
जब रेज़र-ब्लेड डूब जाती है,तो पानी की ऊँचाई कम हो जाती है।
C
पानी से अधिक घनत्व वाली तैरती हुई वस्तु के लिए,उसका वजन उसके नीचे के पानी के संपीड़ित बलों द्वारा संतुलित होता है।
D
रेज़र-ब्लेड का वजन रेज़र-ब्लेड द्वारा घेरे गए आयतन और पृष्ठ तनाव से प्रभावित कुछ अतिरिक्त क्षेत्र के कारण विस्थापित पानी के वजन के बराबर होता है।
Solution
(A) जब एक रेज़र-ब्लेड पानी पर तैरती है,तो यह उत्प्लावन बल (आर्किमिडीज का सिद्धांत) और पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाले बल द्वारा समर्थित होती है।
चूंकि ब्लेड का घनत्व पानी से अधिक होता है,इसलिए इसे सामान्यतः डूब जाना चाहिए।
हालाँकि,पृष्ठ तनाव पानी की सतह पर एक 'गड्ढा' बनाता है,जो प्रभावी रूप से ब्लेड के वास्तविक आयतन से अधिक पानी को विस्थापित करता है।
जब गिलास को हिलाया जाता है,तो पृष्ठ तनाव का प्रभाव टूट जाता है और ब्लेड डूब जाती है।
कथन $A$ गलत है क्योंकि,तैरते समय,विस्थापित पानी का प्रभावी आयतन (पृष्ठ तनाव के प्रभाव सहित) ब्लेड के वजन को संतुलित करने के लिए आवश्यक आयतन के बराबर होता है।
कथन $B$ सही है क्योंकि जब ब्लेड डूब जाती है तो वह उस पानी की तुलना में कम पानी विस्थापित करती है जब वह पृष्ठ तनाव द्वारा समर्थित होकर तैर रही थी।
कथन $C$ सही है क्योंकि यह समर्थन की क्रियाविधि का वर्णन करता है।
कथन $D$ सही है क्योंकि यह तैरती हुई ब्लेड के लिए संतुलन की स्थिति को समझाता है।
चूंकि ब्लेड का घनत्व पानी से अधिक होता है,इसलिए इसे सामान्यतः डूब जाना चाहिए।
हालाँकि,पृष्ठ तनाव पानी की सतह पर एक 'गड्ढा' बनाता है,जो प्रभावी रूप से ब्लेड के वास्तविक आयतन से अधिक पानी को विस्थापित करता है।
जब गिलास को हिलाया जाता है,तो पृष्ठ तनाव का प्रभाव टूट जाता है और ब्लेड डूब जाती है।
कथन $A$ गलत है क्योंकि,तैरते समय,विस्थापित पानी का प्रभावी आयतन (पृष्ठ तनाव के प्रभाव सहित) ब्लेड के वजन को संतुलित करने के लिए आवश्यक आयतन के बराबर होता है।
कथन $B$ सही है क्योंकि जब ब्लेड डूब जाती है तो वह उस पानी की तुलना में कम पानी विस्थापित करती है जब वह पृष्ठ तनाव द्वारा समर्थित होकर तैर रही थी।
कथन $C$ सही है क्योंकि यह समर्थन की क्रियाविधि का वर्णन करता है।
कथन $D$ सही है क्योंकि यह तैरती हुई ब्लेड के लिए संतुलन की स्थिति को समझाता है।
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DifficultMCQ
एक छोटी और समान अनुप्रस्थ काट वाली $U$-ट्यूब में $4H$ कुल लंबाई का पानी भरा है। जब वाल्व $K$ बंद होता है,तो बाईं और दाईं ओर के पानी के स्तंभों के बीच ऊंचाई का अंतर $H$ होता है। वाल्व को अचानक खोल दिया जाता है,और पानी बाईं से दाईं ओर बहता है। घर्षण को नजरअंदाज करें। जब बाईं और दाईं ओर के पानी के स्तंभों की ऊंचाई समान हो जाती है,तो पानी की गति क्या होगी?
A
$\frac{1}{4}\sqrt{gH}$
B
$\sqrt{\frac{gH}{8}}$
C
$\frac{1}{2}\sqrt{gH}$
D
$\sqrt{\frac{gH}{2}}$
Solution
(B) मान लीजिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है और पानी का घनत्व $\rho$ है। पानी के स्तंभ की कुल लंबाई $L = 4H$ है। पानी का द्रव्यमान $m = \rho A L = 4\rho AH$ है।
प्रारंभ में,बायां स्तंभ औसत स्तर से $H/2$ ऊंचाई पर है और दायां स्तंभ औसत स्तर से $H/2$ नीचे है। विस्थापित पानी के द्रव्यमान के कारण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन होता है। $V = A(H/2)$ आयतन का पानी बाईं ओर से दाईं ओर जाता है। इस आयतन का द्रव्यमान केंद्र $H/2$ की दूरी तक नीचे गिरता है। स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = -(\rho A (H/2)) g (H/2) = -\rho A g H^2 / 4$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर है:
$|\Delta U| = \frac{1}{2} m v^2$
$\rho A g H^2 / 4 = \frac{1}{2} (4 \rho A H) v^2$
$\rho A g H^2 / 4 = 2 \rho A H v^2$
$v^2 = \frac{gH}{8}$
$v = \sqrt{\frac{gH}{8}}$
प्रारंभ में,बायां स्तंभ औसत स्तर से $H/2$ ऊंचाई पर है और दायां स्तंभ औसत स्तर से $H/2$ नीचे है। विस्थापित पानी के द्रव्यमान के कारण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन होता है। $V = A(H/2)$ आयतन का पानी बाईं ओर से दाईं ओर जाता है। इस आयतन का द्रव्यमान केंद्र $H/2$ की दूरी तक नीचे गिरता है। स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = -(\rho A (H/2)) g (H/2) = -\rho A g H^2 / 4$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर है:
$|\Delta U| = \frac{1}{2} m v^2$
$\rho A g H^2 / 4 = \frac{1}{2} (4 \rho A H) v^2$
$\rho A g H^2 / 4 = 2 \rho A H v^2$
$v^2 = \frac{gH}{8}$
$v = \sqrt{\frac{gH}{8}}$
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AdvancedMCQ
एक पतली ऊर्ध्वाधर समान लकड़ी की छड़ को शीर्ष पर धुरी (pivot) पर रखा गया है और चित्रानुसार पानी में डुबोया गया है। कंटेनर को धीरे-धीरे ऊपर उठाया जाता है। एक निश्चित क्षण पर,संतुलन अस्थिर हो जाता है। यदि पानी का घनत्व लकड़ी के घनत्व का $9/5$ गुना है,तो उस क्षण पर छड़ की कुल लंबाई और छड़ की डूबी हुई लंबाई का अनुपात क्या है?
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$6$
Solution
(B) माना $L$ छड़ की कुल लंबाई है,$A$ इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\rho_w$ तथा $\rho_r$ क्रमशः पानी और छड़ के घनत्व हैं। दिया गया है $\rho_w = \frac{9}{5} \rho_r$। माना $x$ छड़ की डूबी हुई लंबाई है।
छड़ का भार उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी से $L/2$ की दूरी पर है। उत्प्लावन बल $F_B$ डूबे हुए भाग के केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी से $(L - x/2)$ की दूरी पर है।
छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए,गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $\tau_g = (\rho_r A L g) \frac{L}{2} \sin \theta$ है।
उत्प्लावन बल के कारण टॉर्क $\tau_B = F_B (L - x/2) \sin \theta$ है,जहाँ $F_B = \rho_w (A x) g$ है।
संतुलन तब अस्थिर होता है जब नेट रिस्टोरिंग टॉर्क शून्य या नकारात्मक हो जाता है। स्थिरता के लिए शर्त यह है कि रिस्टोरिंग टॉर्क (गुरुत्वाकर्षण) अस्थिर करने वाले टॉर्क (उत्प्लावन) से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
$(\rho_r A L g) \frac{L}{2} \sin \theta = (\rho_w A x g) (L - x/2) \sin \theta$
$\rho_r L^2 / 2 = \rho_w x (L - x/2)$
$\rho_w = \frac{9}{5} \rho_r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\rho_r L^2 / 2 = \frac{9}{5} \rho_r x (L - x/2)$
$L^2 / 2 = \frac{9}{5} (Lx - x^2/2)$
$5L^2 = 18Lx - 9x^2$
$9x^2 - 18Lx + 5L^2 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{18L \pm \sqrt{324L^2 - 180L^2}}{18} = \frac{18L \pm \sqrt{144L^2}}{18} = \frac{18L \pm 12L}{18}$
$x = \frac{30L}{18} = \frac{5}{3}L$ (संभव नहीं है क्योंकि $x < L$) या $x = \frac{6L}{18} = \frac{L}{3}$।
अतः,$x = L/3$,जिसका अर्थ है कि $L/x = 3$।
छड़ का भार उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी से $L/2$ की दूरी पर है। उत्प्लावन बल $F_B$ डूबे हुए भाग के केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी से $(L - x/2)$ की दूरी पर है।
छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए,गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $\tau_g = (\rho_r A L g) \frac{L}{2} \sin \theta$ है।
उत्प्लावन बल के कारण टॉर्क $\tau_B = F_B (L - x/2) \sin \theta$ है,जहाँ $F_B = \rho_w (A x) g$ है।
संतुलन तब अस्थिर होता है जब नेट रिस्टोरिंग टॉर्क शून्य या नकारात्मक हो जाता है। स्थिरता के लिए शर्त यह है कि रिस्टोरिंग टॉर्क (गुरुत्वाकर्षण) अस्थिर करने वाले टॉर्क (उत्प्लावन) से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
$(\rho_r A L g) \frac{L}{2} \sin \theta = (\rho_w A x g) (L - x/2) \sin \theta$
$\rho_r L^2 / 2 = \rho_w x (L - x/2)$
$\rho_w = \frac{9}{5} \rho_r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\rho_r L^2 / 2 = \frac{9}{5} \rho_r x (L - x/2)$
$L^2 / 2 = \frac{9}{5} (Lx - x^2/2)$
$5L^2 = 18Lx - 9x^2$
$9x^2 - 18Lx + 5L^2 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{18L \pm \sqrt{324L^2 - 180L^2}}{18} = \frac{18L \pm \sqrt{144L^2}}{18} = \frac{18L \pm 12L}{18}$
$x = \frac{30L}{18} = \frac{5}{3}L$ (संभव नहीं है क्योंकि $x < L$) या $x = \frac{6L}{18} = \frac{L}{3}$।
अतः,$x = L/3$,जिसका अर्थ है कि $L/x = 3$।
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MediumMCQ
$4 \ cm$ त्रिज्या और $10 \ cm$ ऊंचाई का एक बेलन दो द्रवों में डूबा हुआ है,जैसा कि दिखाया गया है। तेल का विशिष्ट गुरुत्व $0.5$ है। बेलन का $2 \ cm$ भाग हवा में है। $INCORRECT$ (गलत) कथन का चयन करें। वायुमंडलीय दबाव की उपेक्षा करें।
A
बेलन पर तेल द्वारा लगाया गया बल शून्य है.
B
बेलन पर पानी द्वारा लगाया गया बल $0.96 \pi \ N$ है.
C
पानी और तेल दोनों द्वारा लगाया गया बल $1.14 \pi \ N$ है.
D
यदि बेलन को थोड़ा विस्थापित किया जाए,तो दोलन की आवृत्ति तेल के घनत्व पर निर्भर नहीं करती है.
Solution
(A) बेलन की त्रिज्या $r = 4 \ cm = 0.04 \ m$ और ऊंचाई $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.04)^2 = 0.0016 \pi \ m^2$ है।
$1$. तेल द्वारा लगाया गया बल: तेल बेलन की पार्श्व दीवारों पर दबाव डालता है। समरूपता के कारण शुद्ध क्षैतिज बल शून्य है। हालाँकि,तेल द्वारा लगाया गया ऊर्ध्वाधर बल उत्प्लावन बल है,जो $F_{oil} = \rho_{oil} V_{sub, oil} g$ है। यहाँ,$\rho_{oil} = 500 \ kg/m^3$ और $V_{sub, oil} = A \times 0.04 = 0.000064 \pi \ m^3$ है। अतः,$F_{oil} = 500 \times 0.000064 \pi \times 10 = 0.32 \pi \ N$ है। इसलिए,कथन $A$ गलत है।
$2$. पानी द्वारा लगाया गया बल: पानी उत्प्लावन बल $F_{water} = \rho_{water} V_{sub, water} g$ लगाता है। पानी में डूबी हुई ऊंचाई $10 - 2 - 4 = 4 \ cm = 0.04 \ m$ है। अतः,$F_{water} = 1000 \times 0.000064 \pi \times 10 = 0.64 \pi \ N$ है। बेलन के तल पर दबाव $P = (\rho_{oil} g h_{oil} + \rho_{water} g h_{water})$ है। कुल ऊपर की ओर बल $F_{total} = P \times A = (200 + 400) \times 0.0016 \pi = 0.96 \pi \ N$ है। कथन $B$ सही है।
$1$. तेल द्वारा लगाया गया बल: तेल बेलन की पार्श्व दीवारों पर दबाव डालता है। समरूपता के कारण शुद्ध क्षैतिज बल शून्य है। हालाँकि,तेल द्वारा लगाया गया ऊर्ध्वाधर बल उत्प्लावन बल है,जो $F_{oil} = \rho_{oil} V_{sub, oil} g$ है। यहाँ,$\rho_{oil} = 500 \ kg/m^3$ और $V_{sub, oil} = A \times 0.04 = 0.000064 \pi \ m^3$ है। अतः,$F_{oil} = 500 \times 0.000064 \pi \times 10 = 0.32 \pi \ N$ है। इसलिए,कथन $A$ गलत है।
$2$. पानी द्वारा लगाया गया बल: पानी उत्प्लावन बल $F_{water} = \rho_{water} V_{sub, water} g$ लगाता है। पानी में डूबी हुई ऊंचाई $10 - 2 - 4 = 4 \ cm = 0.04 \ m$ है। अतः,$F_{water} = 1000 \times 0.000064 \pi \times 10 = 0.64 \pi \ N$ है। बेलन के तल पर दबाव $P = (\rho_{oil} g h_{oil} + \rho_{water} g h_{water})$ है। कुल ऊपर की ओर बल $F_{total} = P \times A = (200 + 400) \times 0.0016 \pi = 0.96 \pi \ N$ है। कथन $B$ सही है।
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DifficultMCQ
.......... $m/s$ की गति पर,पानी का वेग शीर्ष (velocity head) $40\, cm$ $Hg$ के दाब शीर्ष (pressure head) के बराबर होता है।
A
$10.3$
B
$2.8$
C
$5.6$
D
$8.4$
Solution
(A) वेग शीर्ष $\frac{v^2}{2g}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया दाब शीर्ष $h = 40\, cm$ $Hg$ है।
$Hg$ शीर्ष को पानी के शीर्ष में बदलने पर: $h_{water} = h_{Hg} \times \frac{\rho_{Hg}}{\rho_{water}} = 40\, cm \times 13.6 = 544\, cm = 5.44\, m$.
वेग शीर्ष को दाब शीर्ष के बराबर रखने पर: $\frac{v^2}{2g} = 5.44\, m$.
$v^2 = 2 \times 9.8 \times 5.44 = 106.624$.
$v = \sqrt{106.624} \approx 10.32\, m/s$.
दिया गया दाब शीर्ष $h = 40\, cm$ $Hg$ है।
$Hg$ शीर्ष को पानी के शीर्ष में बदलने पर: $h_{water} = h_{Hg} \times \frac{\rho_{Hg}}{\rho_{water}} = 40\, cm \times 13.6 = 544\, cm = 5.44\, m$.
वेग शीर्ष को दाब शीर्ष के बराबर रखने पर: $\frac{v^2}{2g} = 5.44\, m$.
$v^2 = 2 \times 9.8 \times 5.44 = 106.624$.
$v = \sqrt{106.624} \approx 10.32\, m/s$.
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DifficultMCQ
एक तरल पदार्थ को एक बेलनाकार बर्तन में रखा गया है जो अपनी धुरी पर घूमता है। तरल किनारों पर ऊपर उठ जाता है। यदि बर्तन की त्रिज्या $0.05\,m$ है और घूर्णन की गति $2\,rev/s$ है,तो बर्तन के केंद्र और उसके किनारों पर तरल की ऊंचाई में अंतर .............. $cm$ होगा $(\pi^2 = 10)$।
A
$3$
B
$2$
C
$1.5$
D
$2/3$
Solution
(B) घूर्णन करते बेलनाकार बर्तन में तरल की ऊंचाई का अंतर $h$ सूत्र $h = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$,जहाँ $f = 2\,rev/s$ है।
अतः,$\omega = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi\,rad/s$ है।
त्रिज्या $r = 0.05\,m$ है।
$g = 10\,m/s^2$ और $\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर:
$h = \frac{(4\pi)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10} = \frac{16 \times \pi^2 \times 0.0025}{20}$ है।
$\pi^2 = 10$ रखने पर:
$h = \frac{16 \times 10 \times 0.0025}{20} = \frac{160 \times 0.0025}{20} = 8 \times 0.0025 = 0.02\,m$ है।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.02\,m = 2\,cm$।
यहाँ,कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$,जहाँ $f = 2\,rev/s$ है।
अतः,$\omega = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi\,rad/s$ है।
त्रिज्या $r = 0.05\,m$ है।
$g = 10\,m/s^2$ और $\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर:
$h = \frac{(4\pi)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10} = \frac{16 \times \pi^2 \times 0.0025}{20}$ है।
$\pi^2 = 10$ रखने पर:
$h = \frac{16 \times 10 \times 0.0025}{20} = \frac{160 \times 0.0025}{20} = 8 \times 0.0025 = 0.02\,m$ है।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.02\,m = 2\,cm$।
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MediumMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार एक तरल से भरे कंटेनर को एक चिकने नत समतल (inclined plane) पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है। नत समतल की लंबाई पर्याप्त है। मान लीजिए कि तरल अंततः संतुलन की स्थिति में आ जाता है। तरल की अंतिम सतह क्षैतिज के साथ ...... $^o$ का कोण बनाती है।
A
$60$
B
$45$
C
$30$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) एक चिकने नत समतल पर नीचे की ओर फिसलते हुए कंटेनर का त्वरण $a = g \sin \theta$ है। यहाँ $\theta = 30^o$ दिया गया है,इसलिए $a = g \sin 30^o = g/2$ होगा।
कंटेनर के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (non-inertial frame) में,सतह पर स्थित तरल के कण पर नत समतल के ऊपर की ओर एक छद्म बल (pseudo-force) $ma$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$ होता है।
तरल की सतह क्षैतिज के साथ जो कोण $\alpha$ बनाती है,वह सूत्र $\tan \alpha = \frac{a \cos \theta}{g - a \sin \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$a = g \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \alpha = \frac{(g \sin \theta) \cos \theta}{g - (g \sin \theta) \sin \theta} = \frac{g \sin \theta \cos \theta}{g(1 - \sin^2 \theta)} = \frac{\sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta} = \tan \theta$.
अतः,$\alpha = \theta = 30^o$ होगा।
कंटेनर के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (non-inertial frame) में,सतह पर स्थित तरल के कण पर नत समतल के ऊपर की ओर एक छद्म बल (pseudo-force) $ma$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$ होता है।
तरल की सतह क्षैतिज के साथ जो कोण $\alpha$ बनाती है,वह सूत्र $\tan \alpha = \frac{a \cos \theta}{g - a \sin \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$a = g \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \alpha = \frac{(g \sin \theta) \cos \theta}{g - (g \sin \theta) \sin \theta} = \frac{g \sin \theta \cos \theta}{g(1 - \sin^2 \theta)} = \frac{\sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta} = \tan \theta$.
अतः,$\alpha = \theta = 30^o$ होगा।
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DifficultMCQ
जब $r$ त्रिज्या का एक हवा का बुलबुला झील की तली से सतह पर आता है,तो उसकी त्रिज्या $\frac{5r}{4}$ हो जाती है। वायुमंडलीय दबाव को $10 \ m$ पानी के स्तंभ के बराबर मानते हुए,झील की गहराई लगभग ....... $m$ होगी (पृष्ठ तनाव और तापमान के प्रभाव को अनदेखा करें)।
A
$10.5$
B
$8.7$
C
$11.2$
D
$9.5$
Solution
(D) माना झील की गहराई $h$ है। झील की तली पर दबाव $P_1 = P_{atm} + \rho gh$ है,जहाँ $P_{atm} = \rho g(10)$ है।
अतः,$P_1 = \rho g(10 + h)$।
सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = \rho g(10)$ है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$,यह मानते हुए कि तापमान स्थिर है।
$\rho g(10 + h) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g(10) \cdot \frac{4}{3} \pi \left( \frac{5r}{4} \right)^3$.
$(10 + h) = 10 \cdot \frac{125}{64}$.
$10 + h = \frac{1250}{64} = 19.53$.
$h = 19.53 - 10 = 9.53 \ m$.
निकटतम मान लेने पर,गहराई $9.5 \ m$ प्राप्त होती है।
अतः,$P_1 = \rho g(10 + h)$।
सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = \rho g(10)$ है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$,यह मानते हुए कि तापमान स्थिर है।
$\rho g(10 + h) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g(10) \cdot \frac{4}{3} \pi \left( \frac{5r}{4} \right)^3$.
$(10 + h) = 10 \cdot \frac{125}{64}$.
$10 + h = \frac{1250}{64} = 19.53$.
$h = 19.53 - 10 = 9.53 \ m$.
निकटतम मान लेने पर,गहराई $9.5 \ m$ प्राप्त होती है।
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DifficultMCQ
$r$ त्रिज्या की बड़ी संख्या में बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं। एक इंजीनियर एक ऐसी मशीन डिजाइन करता है कि इस प्रक्रिया में मुक्त ऊर्जा बूंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाए। बूंद का वेग है ($T=$ पृष्ठ तनाव,$\rho =$ घनत्व)
A
${\left[ {\frac{T}{\rho }\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \right)} \right]^{1/2}}$
B
${\left[ {\frac{6T}{\rho }\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \right)} \right]^{1/2}}$
C
${\left[ {\frac{3T}{\rho }\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \right)} \right]^{1/2}}$
D
${\left[ {\frac{2T}{\rho }\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \right)} \right]^{1/2}}$
Solution
(B) जब छोटी बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = n(4\pi r^2) - 4\pi R^2$ होता है। आयतन संरक्षित रहने के कारण,$n(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $n = \frac{R^3}{r^3}$।
मुक्त ऊर्जा $\Delta E = T \times \Delta A = T(n 4\pi r^2 - 4\pi R^2) = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह ऊर्जा बड़ी बूंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $\frac{1}{2} M v^2 = \Delta E$।
यहाँ,$M = \rho \times \text{आयतन} = \rho (\frac{4}{3}\pi R^3)$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} (\frac{4}{3}\pi R^3 \rho) v^2 = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$।
सरल करने पर: $\frac{2}{3} \pi R^3 \rho v^2 = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$।
$v^2 = \frac{4 \times 3}{2} \frac{T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R}) = \frac{6T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$।
अतः,$v = {\left[ {\frac{{6T}}{\rho }\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}$।
मुक्त ऊर्जा $\Delta E = T \times \Delta A = T(n 4\pi r^2 - 4\pi R^2) = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह ऊर्जा बड़ी बूंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $\frac{1}{2} M v^2 = \Delta E$।
यहाँ,$M = \rho \times \text{आयतन} = \rho (\frac{4}{3}\pi R^3)$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} (\frac{4}{3}\pi R^3 \rho) v^2 = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$।
सरल करने पर: $\frac{2}{3} \pi R^3 \rho v^2 = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$।
$v^2 = \frac{4 \times 3}{2} \frac{T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R}) = \frac{6T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$।
अतः,$v = {\left[ {\frac{{6T}}{\rho }\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}$।
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DifficultMCQ
$\rho$ घनत्व वाला एक द्रव $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले एक होज़ पाइप से $v$ क्षैतिज गति के साथ बाहर निकल रहा है और एक जाली (mesh) से टकराता है। $50\%$ द्रव बिना किसी प्रभाव के जाली से गुजर जाता है। $25\%$ अपना सारा संवेग खो देता है और $25\%$ उसी गति के साथ वापस आ जाता है। जाली पर परिणामी दबाव होगा
A
$\frac{1}{4} \rho v^2$
B
$\frac{3}{4} \rho v^2$
C
$\frac{1}{2} \rho v^2$
D
$\rho v^2$
Solution
(B) माना द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ है। जाली पर लगाया गया बल द्रव के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$50\%$ द्रव जो गुजर जाता है उसके लिए: $\Delta p = 0$,इसलिए $F_1 = 0$।
$25\%$ द्रव जो अपना सारा संवेग खो देता है उसके लिए: $\Delta p = (0.25 \frac{dm}{dt})v - 0 = 0.25 \rho A v^2$।
$25\%$ द्रव जो वापस उछल जाता है उसके लिए: $\Delta p = (0.25 \frac{dm}{dt})v - (0.25 \frac{dm}{dt})(-v) = 0.5 \rho A v^2$।
कुल बल $F = F_1 + F_2 + F_3 = 0 + 0.25 \rho A v^2 + 0.5 \rho A v^2 = 0.75 \rho A v^2 = \frac{3}{4} \rho A v^2$।
दबाव $P = \frac{F}{A} = \frac{3}{4} \rho v^2$।
$50\%$ द्रव जो गुजर जाता है उसके लिए: $\Delta p = 0$,इसलिए $F_1 = 0$।
$25\%$ द्रव जो अपना सारा संवेग खो देता है उसके लिए: $\Delta p = (0.25 \frac{dm}{dt})v - 0 = 0.25 \rho A v^2$।
$25\%$ द्रव जो वापस उछल जाता है उसके लिए: $\Delta p = (0.25 \frac{dm}{dt})v - (0.25 \frac{dm}{dt})(-v) = 0.5 \rho A v^2$।
कुल बल $F = F_1 + F_2 + F_3 = 0 + 0.25 \rho A v^2 + 0.5 \rho A v^2 = 0.75 \rho A v^2 = \frac{3}{4} \rho A v^2$।
दबाव $P = \frac{F}{A} = \frac{3}{4} \rho v^2$।
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MediumMCQ
एक लंबा बेलनाकार पात्र द्रव से आधा भरा हुआ है। जब पात्र को उसकी अपनी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घुमाया जाता है,तो द्रव दीवार के पास ऊपर उठ जाता है। यदि पात्र की त्रिज्या $5 \, cm$ है और इसकी घूर्णन गति $2$ चक्कर प्रति सेकंड है,तो केंद्र और किनारों के बीच ऊंचाइयों में अंतर,$cm$ में,होगा
A
$2.0$
B
$0.1$
C
$0.4$
D
$1.2$
Solution
(A) घूर्णन करते हुए बेलन में द्रव की मुक्त सतह का आकार परवलयाकार होता है,जो समीकरण $y = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $y$ केंद्र और $r$ त्रिज्या पर दीवार के बीच ऊंचाई का अंतर है।
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 5 \, cm = 0.05 \, m$
घूर्णन आवृत्ति $f = 2 \, rev/s$
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \, rad/s$
गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$y = \frac{(4 \pi)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10}$
$y = \frac{16 \times \pi^2 \times 0.0025}{20}$
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{16 \times 10 \times 0.0025}{20} = \frac{0.4}{20} = 0.02 \, m = 2 \, cm$.
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 5 \, cm = 0.05 \, m$
घूर्णन आवृत्ति $f = 2 \, rev/s$
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \, rad/s$
गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$y = \frac{(4 \pi)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10}$
$y = \frac{16 \times \pi^2 \times 0.0025}{20}$
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{16 \times 10 \times 0.0025}{20} = \frac{0.4}{20} = 0.02 \, m = 2 \, cm$.
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MediumMCQ
दो समान बेलनाकार बर्तन जिनके आधार एक ही स्तर पर हैं, प्रत्येक में $d$ घनत्व वाला द्रव भरा है। एक बर्तन में द्रव की ऊँचाई $h_1$ है और दूसरे बर्तन में $h_2$ है। प्रत्येक आधार का क्षेत्रफल $A$ है। जब दोनों बर्तनों को जोड़ा जाता है, तो स्तरों को समान करने में गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य क्या होगा?
A
$(h_1 - h_2)gd$
B
$(h_1 - h_2)gAd$
C
$\frac{1}{2}(h_1 - h_2)^2gAd$
D
$\frac{1}{4}(h_1 - h_2)^2gAd$
Solution
(D) गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य द्रव प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर होता है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = (m_1 g \frac{h_1}{2}) + (m_2 g \frac{h_2}{2}) = (A h_1 d g \frac{h_1}{2}) + (A h_2 d g \frac{h_2}{2}) = \frac{Adg}{2}(h_1^2 + h_2^2)$.
जब जोड़ा जाता है, तो दोनों बर्तनों में अंतिम ऊँचाई $h_{avg} = \frac{h_1 + h_2}{2}$ होगी।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = 2 \times (A h_{avg} d g \frac{h_{avg}}{2}) = A d g h_{avg}^2 = Adg (\frac{h_1 + h_2}{2})^2$.
किया गया कार्य $W = U_i - U_f = \frac{Adg}{2}(h_1^2 + h_2^2) - Adg \frac{(h_1 + h_2)^2}{4}$.
$W = \frac{Adg}{4} [2(h_1^2 + h_2^2) - (h_1^2 + h_2^2 + 2h_1h_2)] = \frac{Adg}{4} (h_1^2 + h_2^2 - 2h_1h_2) = \frac{1}{4} Adg (h_1 - h_2)^2$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = (m_1 g \frac{h_1}{2}) + (m_2 g \frac{h_2}{2}) = (A h_1 d g \frac{h_1}{2}) + (A h_2 d g \frac{h_2}{2}) = \frac{Adg}{2}(h_1^2 + h_2^2)$.
जब जोड़ा जाता है, तो दोनों बर्तनों में अंतिम ऊँचाई $h_{avg} = \frac{h_1 + h_2}{2}$ होगी।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = 2 \times (A h_{avg} d g \frac{h_{avg}}{2}) = A d g h_{avg}^2 = Adg (\frac{h_1 + h_2}{2})^2$.
किया गया कार्य $W = U_i - U_f = \frac{Adg}{2}(h_1^2 + h_2^2) - Adg \frac{(h_1 + h_2)^2}{4}$.
$W = \frac{Adg}{4} [2(h_1^2 + h_2^2) - (h_1^2 + h_2^2 + 2h_1h_2)] = \frac{Adg}{4} (h_1^2 + h_2^2 - 2h_1h_2) = \frac{1}{4} Adg (h_1 - h_2)^2$.
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MediumMCQ
पानी से भरा एक पात्र एक सीधी क्षैतिज रेखा पर दाईं ओर एकसमान चाल से गति कर रहा है। निम्नलिखित में से कौन सा आरेख द्रव की सतह को दर्शाता है?
A
$(i)$
B
$(ii)$
C
$(iii)$
D
$(iv)$
Solution
(A) जब द्रव से भरा कोई पात्र एकसमान वेग (सीधी रेखा में एकसमान चाल) से गति करता है,तो उसका त्वरण शून्य $(a = 0)$ होता है।
पात्र के निर्देश तंत्र में,द्रव पर कोई छद्म बल (pseudo force) कार्य नहीं करता है क्योंकि यह एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र है।
चूंकि द्रव के कणों पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है (जो नीचे की ओर कार्य करता है),इसलिए द्रव की मुक्त सतह को गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण के लंबवत रहना चाहिए।
इसलिए,द्रव की सतह क्षैतिज रहती है,ठीक वैसे ही जैसे वह तब होती जब पात्र स्थिर होता।
आरेख $(i)$ एक क्षैतिज द्रव सतह को दर्शाता है,जो इस स्थिति के अनुरूप है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।
पात्र के निर्देश तंत्र में,द्रव पर कोई छद्म बल (pseudo force) कार्य नहीं करता है क्योंकि यह एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र है।
चूंकि द्रव के कणों पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है (जो नीचे की ओर कार्य करता है),इसलिए द्रव की मुक्त सतह को गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण के लंबवत रहना चाहिए।
इसलिए,द्रव की सतह क्षैतिज रहती है,ठीक वैसे ही जैसे वह तब होती जब पात्र स्थिर होता।
आरेख $(i)$ एक क्षैतिज द्रव सतह को दर्शाता है,जो इस स्थिति के अनुरूप है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।
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EasyMCQ
एक द्रव को एक बंद पात्र में रखा गया है। यदि द्रव की सतह के ऊपर एक छोटे छेद वाली कांच की प्लेट (नगण्य द्रव्यमान) रखी जाती है,तो पात्र में द्रव का वाष्प दाब होगा
A
कांच की प्लेट हटाए जाने की स्थिति की तुलना में अधिक
B
कांच की प्लेट हटाए जाने की स्थिति के समान
C
कांच की प्लेट हटाए जाने की स्थिति की तुलना में कम
D
अनुमानित नहीं किया जा सकता
Solution
(B) किसी द्रव का वाष्प दाब $(V.P.)$ एक अभिलाक्षणिक गुण है जो केवल द्रव के तापमान और द्रव की प्रकृति पर निर्भर करता है।
यह वाष्प अवस्था के संपर्क में आने वाले द्रव के पृष्ठीय क्षेत्रफल या सतह पर तैरने वाली किसी भी निष्क्रिय वस्तु (जैसे कांच की प्लेट) पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि निकाय का तापमान स्थिर रहता है,इसलिए वाष्प दाब समान रहेगा चाहे कांच की प्लेट मौजूद हो या हटा दी गई हो।
यह वाष्प अवस्था के संपर्क में आने वाले द्रव के पृष्ठीय क्षेत्रफल या सतह पर तैरने वाली किसी भी निष्क्रिय वस्तु (जैसे कांच की प्लेट) पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि निकाय का तापमान स्थिर रहता है,इसलिए वाष्प दाब समान रहेगा चाहे कांच की प्लेट मौजूद हो या हटा दी गई हो।
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MediumMCQ
निम्नलिखित दो कथनों $A$ और $B$ पर विचार करें और दिए गए उत्तरों में से सही विकल्प की पहचान करें।
$A :$ एक छोटी तरल बूंद के अंदर का अतिरिक्त दबाव एक बड़ी बूंद की तुलना में अधिक होता है।
$B :$ जैसे-जैसे हवाई जहाज रनवे पर तेजी से चलता है,उसके पंखों की ऊपरी सतह पर दबाव अधिक होता है और निचली सतह पर कम होता है।
$A :$ एक छोटी तरल बूंद के अंदर का अतिरिक्त दबाव एक बड़ी बूंद की तुलना में अधिक होता है।
$B :$ जैसे-जैसे हवाई जहाज रनवे पर तेजी से चलता है,उसके पंखों की ऊपरी सतह पर दबाव अधिक होता है और निचली सतह पर कम होता है।
A
$A$ और $B$ दोनों सत्य हैं
B
$A$ सत्य है लेकिन $B$ असत्य है
C
$A$ असत्य है लेकिन $B$ सत्य है
D
$A$ और $B$ दोनों असत्य हैं
Solution
(B) कथन $A$ सत्य है। तरल बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बूंद की त्रिज्या है। चूँकि $P \propto \frac{1}{R}$,अतिरिक्त दबाव त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसलिए,एक छोटी बूंद में बड़ी बूंद की तुलना में अधिक अतिरिक्त दबाव होता है।
कथन $B$ असत्य है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,हवाई जहाज के पंख का आकार इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि हवा निचली सतह की तुलना में ऊपरी सतह पर तेजी से बहती है। उच्च गति के कारण ऊपरी सतह पर दबाव कम और निचली सतह पर दबाव अधिक होता है,जो लिफ्ट बल उत्पन्न करता है। इस प्रकार,ऊपरी सतह पर दबाव वास्तव में कम और निचली सतह पर अधिक होता है।
कथन $B$ असत्य है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,हवाई जहाज के पंख का आकार इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि हवा निचली सतह की तुलना में ऊपरी सतह पर तेजी से बहती है। उच्च गति के कारण ऊपरी सतह पर दबाव कम और निचली सतह पर दबाव अधिक होता है,जो लिफ्ट बल उत्पन्न करता है। इस प्रकार,ऊपरी सतह पर दबाव वास्तव में कम और निचली सतह पर अधिक होता है।
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MediumMCQ
$Assertion :$ एक पतली स्टेनलेस स्टील की सुई स्थिर पानी की सतह पर तैर सकती है।
$Reason :$ कोई भी वस्तु तब तैरती है जब उत्प्लावन बल (buoyancy force) वस्तु के भार को संतुलित करता है।
$Reason :$ कोई भी वस्तु तब तैरती है जब उत्प्लावन बल (buoyancy force) वस्तु के भार को संतुलित करता है।
A
यदि $Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं और $Reason$ का $Assertion$ के लिए सही स्पष्टीकरण है।
B
यदि $Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं लेकिन $Reason$ का $Assertion$ के लिए सही स्पष्टीकरण नहीं है।
C
यदि $Assertion$ सही है लेकिन $Reason$ गलत है।
D
यदि $Assertion$ और $Reason$ दोनों गलत हैं।
Solution
(B) $Assertion$ सही है क्योंकि पानी की सतह के पृष्ठ तनाव (surface tension) के कारण एक पतली स्टेनलेस स्टील की सुई स्थिर पानी पर तैर सकती है।
$Reason$ भी भौतिकी में एक सही कथन है,क्योंकि कोई वस्तु तब तैरती है जब उत्प्लावन बल उसके भार के बराबर होता है (आर्किमिडीज का सिद्धांत)।
हालाँकि,$Reason$ का $Assertion$ के लिए सही स्पष्टीकरण नहीं है। सुई उत्प्लावन बल के कारण नहीं,बल्कि पृष्ठ तनाव बल के कारण तैरती है जो सुई के भार को संतुलित करता है।
इसलिए,दोनों सही हैं,लेकिन $Reason$ का $Assertion$ की व्याख्या नहीं करता है।
$Reason$ भी भौतिकी में एक सही कथन है,क्योंकि कोई वस्तु तब तैरती है जब उत्प्लावन बल उसके भार के बराबर होता है (आर्किमिडीज का सिद्धांत)।
हालाँकि,$Reason$ का $Assertion$ के लिए सही स्पष्टीकरण नहीं है। सुई उत्प्लावन बल के कारण नहीं,बल्कि पृष्ठ तनाव बल के कारण तैरती है जो सुई के भार को संतुलित करता है।
इसलिए,दोनों सही हैं,लेकिन $Reason$ का $Assertion$ की व्याख्या नहीं करता है।
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Medium
प्रत्येक कथन के साथ दी गई सूची से शब्द(शब्दों) का उपयोग करके रिक्त स्थान भरें:
$(a)$ द्रवों का पृष्ठ तनाव सामान्यतः तापमान के साथ . . . (बढ़ता है / घटता है)
$(b)$ गैसों की श्यानता तापमान के साथ . . .,जबकि द्रवों की श्यानता तापमान के साथ . . . (बढ़ती है / घटती है)
$(c)$ दृढ़ता गुणांक वाले ठोसों के लिए,अपरूपण बल . . . के समानुपाती होता है,जबकि द्रवों के लिए यह . . . के समानुपाती होता है (अपरूपण विकृति / अपरूपण विकृति की दर)
$(d)$ स्थिर प्रवाह में किसी द्रव के लिए,संकीर्ण मार्ग पर प्रवाह की गति में वृद्धि . . . का पालन करती है (द्रव्यमान संरक्षण / बरनौली का सिद्धांत)
$(e)$ विंड टनल में विमान के मॉडल के लिए,विक्षोभ (टर्बुलेंस) वास्तविक विमान की तुलना में . . . गति पर होता है (अधिक / कम)
$(a)$ द्रवों का पृष्ठ तनाव सामान्यतः तापमान के साथ . . . (बढ़ता है / घटता है)
$(b)$ गैसों की श्यानता तापमान के साथ . . .,जबकि द्रवों की श्यानता तापमान के साथ . . . (बढ़ती है / घटती है)
$(c)$ दृढ़ता गुणांक वाले ठोसों के लिए,अपरूपण बल . . . के समानुपाती होता है,जबकि द्रवों के लिए यह . . . के समानुपाती होता है (अपरूपण विकृति / अपरूपण विकृति की दर)
$(d)$ स्थिर प्रवाह में किसी द्रव के लिए,संकीर्ण मार्ग पर प्रवाह की गति में वृद्धि . . . का पालन करती है (द्रव्यमान संरक्षण / बरनौली का सिद्धांत)
$(e)$ विंड टनल में विमान के मॉडल के लिए,विक्षोभ (टर्बुलेंस) वास्तविक विमान की तुलना में . . . गति पर होता है (अधिक / कम)
Solution
(A) घटता है: द्रव का पृष्ठ तनाव तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$(b)$ बढ़ती है; घटती है: गैसों की श्यानता तापमान के साथ बढ़ती है क्योंकि आणविक टक्करें बढ़ जाती हैं,जबकि द्रवों की श्यानता तापमान के साथ घटती है क्योंकि ससंजक बल कम हो जाते हैं।
$(c)$ अपरूपण विकृति; अपरूपण विकृति की दर: ठोसों के लिए,अपरूपण बल अपरूपण विकृति के समानुपाती होता है (हुक का नियम),जबकि द्रवों के लिए यह अपरूपण विकृति की दर के समानुपाती होता है (न्यूटन का श्यानता का नियम)।
$(d)$ द्रव्यमान संरक्षण: संकीर्ण मार्ग पर प्रवाह की गति में वृद्धि सांतत्य समीकरण का परिणाम है,जो द्रव्यमान संरक्षण पर आधारित है।
$(e)$ अधिक: विंड टनल में मॉडल के लिए,अभिलक्षणिक लंबाई कम होती है,इसलिए वास्तविक विमान के समान रेनॉल्ड्स संख्या बनाए रखने के लिए,प्रवाह की गति अधिक होनी चाहिए।
$(b)$ बढ़ती है; घटती है: गैसों की श्यानता तापमान के साथ बढ़ती है क्योंकि आणविक टक्करें बढ़ जाती हैं,जबकि द्रवों की श्यानता तापमान के साथ घटती है क्योंकि ससंजक बल कम हो जाते हैं।
$(c)$ अपरूपण विकृति; अपरूपण विकृति की दर: ठोसों के लिए,अपरूपण बल अपरूपण विकृति के समानुपाती होता है (हुक का नियम),जबकि द्रवों के लिए यह अपरूपण विकृति की दर के समानुपाती होता है (न्यूटन का श्यानता का नियम)।
$(d)$ द्रव्यमान संरक्षण: संकीर्ण मार्ग पर प्रवाह की गति में वृद्धि सांतत्य समीकरण का परिणाम है,जो द्रव्यमान संरक्षण पर आधारित है।
$(e)$ अधिक: विंड टनल में मॉडल के लिए,अभिलक्षणिक लंबाई कम होती है,इसलिए वास्तविक विमान के समान रेनॉल्ड्स संख्या बनाए रखने के लिए,प्रवाह की गति अधिक होनी चाहिए।
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Medium
समझाइए कि क्यों:
$(a)$ कागज के एक टुकड़े को क्षैतिज रखने के लिए,आपको उसके नीचे नहीं,बल्कि ऊपर फूंक मारनी चाहिए।
$(b)$ जब हम अपनी उंगलियों से पानी के नल को बंद करने की कोशिश करते हैं,तो हमारी उंगलियों के बीच के अंतराल से पानी की तेज बौछारें निकलती हैं।
$(c)$ इंजेक्शन लगाते समय डॉक्टर द्वारा लगाए गए अंगूठे के दबाव की तुलना में सिरिंज की सुई का आकार प्रवाह दर को बेहतर ढंग से नियंत्रित करता है।
$(d)$ किसी बर्तन में बने छोटे छेद से बाहर निकलने वाला तरल बर्तन पर पीछे की ओर धक्का (thrust) लगाता है।
$(a)$ कागज के एक टुकड़े को क्षैतिज रखने के लिए,आपको उसके नीचे नहीं,बल्कि ऊपर फूंक मारनी चाहिए।
$(b)$ जब हम अपनी उंगलियों से पानी के नल को बंद करने की कोशिश करते हैं,तो हमारी उंगलियों के बीच के अंतराल से पानी की तेज बौछारें निकलती हैं।
$(c)$ इंजेक्शन लगाते समय डॉक्टर द्वारा लगाए गए अंगूठे के दबाव की तुलना में सिरिंज की सुई का आकार प्रवाह दर को बेहतर ढंग से नियंत्रित करता है।
$(d)$ किसी बर्तन में बने छोटे छेद से बाहर निकलने वाला तरल बर्तन पर पीछे की ओर धक्का (thrust) लगाता है।
Solution
(N/A) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,जैसे-जैसे तरल का वेग बढ़ता है,उसका दबाव कम हो जाता है। कागज के ऊपर फूंक मारने से उसके ऊपर हवा का वेग बढ़ जाता है,जिससे नीचे की तुलना में ऊपर का दबाव कम हो जाता है,जो कागज को क्षैतिज रखने के लिए ऊपर की ओर बल (lift) पैदा करता है।
$(b)$ सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_1v_1 = A_2v_2$ (क्षेत्रफल $\times$ वेग = नियत)। जब हम अपनी उंगलियों से नल को आंशिक रूप से बंद करते हैं,तो खुले हिस्से का क्षेत्रफल कम हो जाता है,जिससे पानी का वेग काफी बढ़ जाता है,जिसके परिणामस्वरूप पानी की तेज बौछारें निकलती हैं।
$(c)$ प्रवाह दर सांतत्य समीकरण द्वारा नियंत्रित होती है। सिरिंज बैरल की तुलना में सुई का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल बहुत छोटा होता है। सुई के व्यास में थोड़ा सा बदलाव भी प्रवाह वेग को काफी प्रभावित करता है,जो इसे अंगूठे के दबाव की तुलना में प्रवाह दर को नियंत्रित करने में अधिक प्रभावी कारक बनाता है।
$(d)$ जैसे ही तरल उच्च वेग के साथ छेद से बाहर निकलता है,वह संवेग (momentum) ले जाता है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रणाली के कुल संवेग को शून्य रखने के लिए,बर्तन पर समान और विपरीत संवेग कार्य करता है,जिसके परिणामस्वरूप बर्तन पर पीछे की ओर धक्का लगता है।
$(b)$ सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_1v_1 = A_2v_2$ (क्षेत्रफल $\times$ वेग = नियत)। जब हम अपनी उंगलियों से नल को आंशिक रूप से बंद करते हैं,तो खुले हिस्से का क्षेत्रफल कम हो जाता है,जिससे पानी का वेग काफी बढ़ जाता है,जिसके परिणामस्वरूप पानी की तेज बौछारें निकलती हैं।
$(c)$ प्रवाह दर सांतत्य समीकरण द्वारा नियंत्रित होती है। सिरिंज बैरल की तुलना में सुई का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल बहुत छोटा होता है। सुई के व्यास में थोड़ा सा बदलाव भी प्रवाह वेग को काफी प्रभावित करता है,जो इसे अंगूठे के दबाव की तुलना में प्रवाह दर को नियंत्रित करने में अधिक प्रभावी कारक बनाता है।
$(d)$ जैसे ही तरल उच्च वेग के साथ छेद से बाहर निकलता है,वह संवेग (momentum) ले जाता है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रणाली के कुल संवेग को शून्य रखने के लिए,बर्तन पर समान और विपरीत संवेग कार्य करता है,जिसके परिणामस्वरूप बर्तन पर पीछे की ओर धक्का लगता है।
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MediumMCQ
$1.0 \; m^{2}$ के वर्गाकार आधार वाली एक टंकी को बीच में एक ऊर्ध्वाधर विभाजन द्वारा दो भागों में विभाजित किया गया है। विभाजन के निचले हिस्से में $20 \; cm^{2}$ क्षेत्रफल का एक छोटा कब्जेदार दरवाजा है। टंकी के एक भाग में पानी और दूसरे भाग में एक एसिड (सापेक्ष घनत्व $1.7$) को $4.0 \; m$ की ऊँचाई तक भरा गया है। दरवाजे को बंद रखने के लिए आवश्यक बल ($N$ में) की गणना करें।
A
$72.36$
B
$46.32$
C
$68.24$
D
$54.88$
Solution
(D) टंकी के आधार का क्षेत्रफल $A = 1.0 \; m^{2}$ है।
कब्जेदार दरवाजे का क्षेत्रफल $a = 20 \; cm^{2} = 20 \times 10^{-4} \; m^{2}$ है।
पानी का घनत्व $\rho_{1} = 10^{3} \; kg/m^{3}$ है।
एसिड का घनत्व $\rho_{2} = 1.7 \times 10^{3} \; kg/m^{3}$ है।
दोनों तरल स्तंभों की ऊँचाई $h = 4.0 \; m$ है।
तली पर पानी के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P_{1} = h \rho_{1} g = 4 \times 10^{3} \times 9.8 = 3.92 \times 10^{4} \; Pa$ है।
तली पर एसिड के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P_{2} = h \rho_{2} g = 4 \times 1.7 \times 10^{3} \times 9.8 = 6.664 \times 10^{4} \; Pa$ है।
दोनों स्तंभों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = P_{2} - P_{1} = (6.664 - 3.92) \times 10^{4} = 2.744 \times 10^{4} \; Pa$ है।
दरवाजे को बंद रखने के लिए आवश्यक बल $F = \Delta P \times a = 2.744 \times 10^{4} \times 20 \times 10^{-4} = 54.88 \; N$ है।
कब्जेदार दरवाजे का क्षेत्रफल $a = 20 \; cm^{2} = 20 \times 10^{-4} \; m^{2}$ है।
पानी का घनत्व $\rho_{1} = 10^{3} \; kg/m^{3}$ है।
एसिड का घनत्व $\rho_{2} = 1.7 \times 10^{3} \; kg/m^{3}$ है।
दोनों तरल स्तंभों की ऊँचाई $h = 4.0 \; m$ है।
तली पर पानी के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P_{1} = h \rho_{1} g = 4 \times 10^{3} \times 9.8 = 3.92 \times 10^{4} \; Pa$ है।
तली पर एसिड के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P_{2} = h \rho_{2} g = 4 \times 1.7 \times 10^{3} \times 9.8 = 6.664 \times 10^{4} \; Pa$ है।
दोनों स्तंभों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = P_{2} - P_{1} = (6.664 - 3.92) \times 10^{4} = 2.744 \times 10^{4} \; Pa$ है।
दरवाजे को बंद रखने के लिए आवश्यक बल $F = \Delta P \times a = 2.744 \times 10^{4} \times 20 \times 10^{-4} = 54.88 \; N$ है।
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Difficult
$(a)$ यह ज्ञात है कि हवा का घनत्व $\rho$ ऊँचाई $y$ के साथ $\rho = \rho_{0} e^{-y / y_{0}}$ के रूप में घटता है,जहाँ $\rho_{0} = 1.25 \; kg \, m^{-3}$ समुद्र तल पर घनत्व है,और $y_{0}$ एक स्थिरांक है। घनत्व में इस परिवर्तन को वायुमंडल का नियम कहा जाता है। यह मानते हुए कि वायुमंडल का तापमान स्थिर रहता है (समतापीय स्थितियाँ),इस नियम को प्राप्त करें। यह भी मान लें कि $g$ का मान स्थिर रहता है।
$(b)$ $1425 \; m^{3}$ आयतन वाले एक बड़े $He$ गुब्बारे का उपयोग $400 \; kg$ के पेलोड को उठाने के लिए किया जाता है। मान लें कि गुब्बारा ऊपर उठते समय अपनी त्रिज्या स्थिर रखता है। यह कितनी ऊँचाई तक ऊपर उठता है?
[$y_{0} = 8000 \; m$ और $\rho_{He} = 0.18 \; kg \, m^{-3}$ लें]
$(b)$ $1425 \; m^{3}$ आयतन वाले एक बड़े $He$ गुब्बारे का उपयोग $400 \; kg$ के पेलोड को उठाने के लिए किया जाता है। मान लें कि गुब्बारा ऊपर उठते समय अपनी त्रिज्या स्थिर रखता है। यह कितनी ऊँचाई तक ऊपर उठता है?
[$y_{0} = 8000 \; m$ और $\rho_{He} = 0.18 \; kg \, m^{-3}$ लें]
Solution
(N/A) मान लीजिए ऊँचाई $y$ पर दबाव $P$ है। ऊँचाई में छोटे परिवर्तन $dy$ के लिए दबाव में परिवर्तन $dP = -\rho g dy$ है।
चूँकि वायुमंडल समतापीय है,$PV = nRT$,जिसका अर्थ है $P = \frac{\rho RT}{M}$,जहाँ $M$ हवा का मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$\rho = \frac{PM}{RT}$। इसे दबाव समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dP = -\frac{PM}{RT} g dy$,या $\frac{dP}{P} = -\frac{Mg}{RT} dy$।
$y=0$ (जहाँ $P=P_{0}$) से $y$ (जहाँ $P=P$) तक समाकलन करने पर: $\ln(\frac{P}{P_{0}}) = -\frac{Mg}{RT} y$।
इसलिए,$P = P_{0} e^{-y/y_{0}}$,जहाँ $y_{0} = \frac{RT}{Mg}$ है। स्थिर तापमान पर $\rho \propto P$ होने के कारण,$\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}}$।
$(b)$ गुब्बारा तब तक ऊपर उठता है जब तक उसका घनत्व $\rho$ आसपास की हवा के घनत्व के बराबर न हो जाए।
गुब्बारे प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M_{total} = m_{payload} + m_{He} = 400 + (1425 \times 0.18) = 400 + 256.5 = 656.5 \; kg$।
गुब्बारे का घनत्व $\rho = \frac{M_{total}}{V} = \frac{656.5}{1425} \approx 0.4607 \; kg \, m^{-3}$।
वायुमंडल के नियम का उपयोग करते हुए: $\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}} \implies 0.4607 = 1.25 e^{-y/8000}$।
$\ln(\frac{0.4607}{1.25}) = -\frac{y}{8000} \implies \ln(0.36856) = -\frac{y}{8000}$।
$-0.998 \approx -\frac{y}{8000} \implies y \approx 8000 \; m = 8 \; km$।
चूँकि वायुमंडल समतापीय है,$PV = nRT$,जिसका अर्थ है $P = \frac{\rho RT}{M}$,जहाँ $M$ हवा का मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$\rho = \frac{PM}{RT}$। इसे दबाव समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dP = -\frac{PM}{RT} g dy$,या $\frac{dP}{P} = -\frac{Mg}{RT} dy$।
$y=0$ (जहाँ $P=P_{0}$) से $y$ (जहाँ $P=P$) तक समाकलन करने पर: $\ln(\frac{P}{P_{0}}) = -\frac{Mg}{RT} y$।
इसलिए,$P = P_{0} e^{-y/y_{0}}$,जहाँ $y_{0} = \frac{RT}{Mg}$ है। स्थिर तापमान पर $\rho \propto P$ होने के कारण,$\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}}$।
$(b)$ गुब्बारा तब तक ऊपर उठता है जब तक उसका घनत्व $\rho$ आसपास की हवा के घनत्व के बराबर न हो जाए।
गुब्बारे प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M_{total} = m_{payload} + m_{He} = 400 + (1425 \times 0.18) = 400 + 256.5 = 656.5 \; kg$।
गुब्बारे का घनत्व $\rho = \frac{M_{total}}{V} = \frac{656.5}{1425} \approx 0.4607 \; kg \, m^{-3}$।
वायुमंडल के नियम का उपयोग करते हुए: $\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}} \implies 0.4607 = 1.25 e^{-y/8000}$।
$\ln(\frac{0.4607}{1.25}) = -\frac{y}{8000} \implies \ln(0.36856) = -\frac{y}{8000}$।
$-0.998 \approx -\frac{y}{8000} \implies y \approx 8000 \; m = 8 \; km$।
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Medium
द्रव और गैस दोनों तरल (fluids) हैं; उनके बीच अंतर स्पष्ट कीजिए और बताइए कि उनमें कौन सा गुण समान है?
Solution
(N/A) द्रव और गैस दोनों को तरल के रूप में वर्गीकृत किया गया है। उनके बीच के मूलभूत अंतर इस प्रकार हैं:
$1$. द्रव सामान्यतः असंपीड्य (incompressible) माने जाते हैं,जबकि गैसें अत्यधिक संपीड्य (compressible) होती हैं।
$2$. द्रव का आयतन निश्चित होता है और इसकी एक मुक्त सतह होती है,जबकि गैस अपने पात्र के पूरे आयतन को भर लेती है और इसकी कोई मुक्त सतह नहीं होती है।
उनके बीच का सामान्य गुण यह है कि दोनों आसानी से प्रवाहित हो सकते हैं और अपरूपण प्रतिबल (shear stress) के प्रति बहुत कम प्रतिरोध प्रदान करते हैं।
$1$. द्रव सामान्यतः असंपीड्य (incompressible) माने जाते हैं,जबकि गैसें अत्यधिक संपीड्य (compressible) होती हैं।
$2$. द्रव का आयतन निश्चित होता है और इसकी एक मुक्त सतह होती है,जबकि गैस अपने पात्र के पूरे आयतन को भर लेती है और इसकी कोई मुक्त सतह नहीं होती है।
उनके बीच का सामान्य गुण यह है कि दोनों आसानी से प्रवाहित हो सकते हैं और अपरूपण प्रतिबल (shear stress) के प्रति बहुत कम प्रतिरोध प्रदान करते हैं।
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Easy
द्रव यांत्रिकी (fluid mechanics) के दो भाग लिखिए और उनमें किसका अध्ययन किया जाता है?
Solution
(N/A) $(1)$ द्रव स्थैतिकी (Fluid Statics): द्रव यांत्रिकी की इस शाखा में,स्थिर द्रव पर कार्य करने वाले बलों और दबावों का अध्ययन किया जाता है।
$(2)$ द्रव गतिकी (Fluid Dynamics): द्रव यांत्रिकी की इस शाखा में,द्रव पर कार्य करने वाले बलों के परिणामस्वरूप द्रव की गति और उससे संबंधित गुणों का अध्ययन किया जाता है।
$(2)$ द्रव गतिकी (Fluid Dynamics): द्रव यांत्रिकी की इस शाखा में,द्रव पर कार्य करने वाले बलों के परिणामस्वरूप द्रव की गति और उससे संबंधित गुणों का अध्ययन किया जाता है।
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Medium
द्रव स्थैतिकी (Fluid statics) क्या है? या द्रव यांत्रिकी (Fluid mechanics) क्या है?
Solution
(N/A) द्रव यांत्रिकी भौतिकी की वह शाखा है जो स्थिर और गतिमान तरल पदार्थों (द्रवों और गैसों) के व्यवहार से संबंधित है। इसे मुख्य रूप से दो शाखाओं में विभाजित किया गया है:
$1$. द्रव स्थैतिकी (Fluid Statics): यह स्थिर तरल पदार्थों का अध्ययन है। यह संतुलन में तरल पदार्थों के गुणों पर केंद्रित है,जैसे कि दबाव वितरण और उत्प्लावकता,जहाँ तरल कणों के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है।
$2$. द्रव गतिकी (Fluid Dynamics): यह गतिमान तरल पदार्थों का अध्ययन है। यह तरल पदार्थों पर कार्य करने वाले बलों और परिणामी प्रवाह पैटर्न से संबंधित है,जिसमें श्यानता (viscosity),विक्षोभ (turbulence) और बर्नौली के सिद्धांत जैसी अवधारणाएं शामिल हैं।
$1$. द्रव स्थैतिकी (Fluid Statics): यह स्थिर तरल पदार्थों का अध्ययन है। यह संतुलन में तरल पदार्थों के गुणों पर केंद्रित है,जैसे कि दबाव वितरण और उत्प्लावकता,जहाँ तरल कणों के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है।
$2$. द्रव गतिकी (Fluid Dynamics): यह गतिमान तरल पदार्थों का अध्ययन है। यह तरल पदार्थों पर कार्य करने वाले बलों और परिणामी प्रवाह पैटर्न से संबंधित है,जिसमें श्यानता (viscosity),विक्षोभ (turbulence) और बर्नौली के सिद्धांत जैसी अवधारणाएं शामिल हैं।
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Medium
डायनेमिक लिफ्ट (Dynamic lift) क्या है?
Solution
(N/A) डायनेमिक लिफ्ट वह बल है जो किसी वस्तु,जैसे कि हवाई जहाज के पंख,हाइड्रोफॉइल या घूमती हुई गेंद पर,तरल में उसकी गति के कारण कार्य करता है।
यह तब होता है जब कोई वस्तु किसी तरल (जैसे हवा या पानी) के माध्यम से चलती है और अपने आकार,अभिविन्यास या घूर्णन (मैग्नस प्रभाव) के कारण दबाव में अंतर का अनुभव करती है।
क्रिकेट,टेनिस,बेसबॉल या गोल्फ जैसे कई खेलों में,डायनेमिक लिफ्ट तब देखी जाती है जब एक घूमती हुई गेंद अपने अपेक्षित परवलयिक प्रक्षेपवक्र से विचलित हो जाती है,जो उसके स्पिन और आसपास की हवा के बीच परस्पर क्रिया के कारण होता है।
यह तब होता है जब कोई वस्तु किसी तरल (जैसे हवा या पानी) के माध्यम से चलती है और अपने आकार,अभिविन्यास या घूर्णन (मैग्नस प्रभाव) के कारण दबाव में अंतर का अनुभव करती है।
क्रिकेट,टेनिस,बेसबॉल या गोल्फ जैसे कई खेलों में,डायनेमिक लिफ्ट तब देखी जाती है जब एक घूमती हुई गेंद अपने अपेक्षित परवलयिक प्रक्षेपवक्र से विचलित हो जाती है,जो उसके स्पिन और आसपास की हवा के बीच परस्पर क्रिया के कारण होता है।
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EasyMCQ
बर्फ पर स्केटिंग करना क्यों संभव है?
A
बर्फ के उच्च घर्षण के कारण।
B
दबाव के तहत पानी की एक पतली परत बनने के कारण।
C
बर्फ के कम तापमान के कारण।
D
बर्फ की सतह की कठोरता के कारण।
Solution
(B) बर्फ पर स्केटिंग 'रीजेलेशन' (Regelation) की घटना के कारण संभव है।
जब कोई स्केटर बर्फ पर खड़ा होता है,तो ब्लेड के छोटे सतह क्षेत्र के कारण बर्फ की सतह पर स्केट द्वारा लगाया गया दबाव बहुत अधिक होता है।
पानी के फेज डायग्राम के अनुसार,दबाव में वृद्धि से बर्फ का गलनांक (melting point) कम हो जाता है।
परिणामस्वरूप,स्केट ब्लेड के ठीक नीचे की बर्फ पिघलकर पानी की एक पतली परत बन जाती है,जो स्नेहक (lubricant) के रूप में कार्य करती है।
यह घर्षण को काफी कम कर देता है,जिससे स्केटर सतह पर आसानी से फिसल सकता है।
एक बार दबाव हट जाने के बाद,पानी फिर से बर्फ में जम जाता है।
जब कोई स्केटर बर्फ पर खड़ा होता है,तो ब्लेड के छोटे सतह क्षेत्र के कारण बर्फ की सतह पर स्केट द्वारा लगाया गया दबाव बहुत अधिक होता है।
पानी के फेज डायग्राम के अनुसार,दबाव में वृद्धि से बर्फ का गलनांक (melting point) कम हो जाता है।
परिणामस्वरूप,स्केट ब्लेड के ठीक नीचे की बर्फ पिघलकर पानी की एक पतली परत बन जाती है,जो स्नेहक (lubricant) के रूप में कार्य करती है।
यह घर्षण को काफी कम कर देता है,जिससे स्केटर सतह पर आसानी से फिसल सकता है।
एक बार दबाव हट जाने के बाद,पानी फिर से बर्फ में जम जाता है।
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EasyMCQ
द्रव क्यों बह सकते हैं?
A
क्योंकि अंतर-आणविक बल बहुत मजबूत होते हैं।
B
क्योंकि अंतर-आणविक बल कमजोर होते हैं और अणु एक-दूसरे के ऊपर से फिसल सकते हैं।
C
क्योंकि अणु एक कठोर संरचना में स्थिर होते हैं।
D
क्योंकि अणुओं की गतिज ऊर्जा शून्य होती है।
Solution
(B) द्रव इसलिए बह सकते हैं क्योंकि उनके अणुओं के बीच के अंतर-आणविक बल ठोस पदार्थों की तुलना में कमजोर होते हैं।
यह अणुओं को एक-दूसरे के ऊपर से फिसलने की अनुमति देता है,जिससे तरलता का गुण प्राप्त होता है।
ठोस पदार्थों के विपरीत,जहाँ अणु एक निश्चित स्थिति में जकड़े होते हैं,द्रव के अणुओं के पास कमजोर आकर्षण बलों को पार करने के लिए पर्याप्त गतिज ऊर्जा होती है,जो उन्हें पात्र का आकार लेने में सक्षम बनाती है।
यह अणुओं को एक-दूसरे के ऊपर से फिसलने की अनुमति देता है,जिससे तरलता का गुण प्राप्त होता है।
ठोस पदार्थों के विपरीत,जहाँ अणु एक निश्चित स्थिति में जकड़े होते हैं,द्रव के अणुओं के पास कमजोर आकर्षण बलों को पार करने के लिए पर्याप्त गतिज ऊर्जा होती है,जो उन्हें पात्र का आकार लेने में सक्षम बनाती है।
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Medium
टर्बुलेंस (अशांत प्रवाह) की सीमाएं और उपयोग बताइए।
Solution
(N/A) टर्बुलेंस गतिज ऊर्जा का क्षय करता है,जो आमतौर पर ऊष्मा के रूप में होता है।
रेसिंग कारों और विमानों को टर्बुलेंस को कम करने के लिए सटीकता के साथ इंजीनियर किया जाता है।
दूसरी ओर,टर्बुलेंस कभी-कभी वांछनीय भी होता है। टर्बुलेंस मिश्रण को बढ़ावा देता है और द्रव्यमान,संवेग और ऊर्जा के स्थानांतरण की दर को बढ़ाता है।
किचन मिक्सर के ब्लेड टर्बुलेंट प्रवाह उत्पन्न करते हैं,जो गाढ़े मिल्कशेक तैयार करने और अंडों को एक समान बनावट में फेंटने में मदद करते हैं।
रेसिंग कारों और विमानों को टर्बुलेंस को कम करने के लिए सटीकता के साथ इंजीनियर किया जाता है।
दूसरी ओर,टर्बुलेंस कभी-कभी वांछनीय भी होता है। टर्बुलेंस मिश्रण को बढ़ावा देता है और द्रव्यमान,संवेग और ऊर्जा के स्थानांतरण की दर को बढ़ाता है।
किचन मिक्सर के ब्लेड टर्बुलेंट प्रवाह उत्पन्न करते हैं,जो गाढ़े मिल्कशेक तैयार करने और अंडों को एक समान बनावट में फेंटने में मदद करते हैं।
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Medium
टर्बुलेंस (अशांत प्रवाह) के उपयोग लिखिए।
Solution
(N/A) टर्बुलेंस तरल की एक जटिल गति है जो दबाव और प्रवाह वेग में अराजक परिवर्तनों द्वारा पहचानी जाती है। हालांकि इंजीनियरिंग में ड्रैग बढ़ने के कारण इसे अक्सर एक बाधा माना जाता है,लेकिन इसके कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं:
$1$. मिश्रण: टर्बुलेंस तरल पदार्थों को मिलाने में अत्यधिक प्रभावी है,जैसे कि रासायनिक रिएक्टरों में या वायुमंडल में,जहाँ यह प्रदूषकों को फैलाने में मदद करता है।
$2$. ऊष्मा स्थानांतरण: टर्बुलेंट प्रवाह एक तरल और ठोस सतह के बीच ऊष्मा स्थानांतरण की दर को काफी बढ़ा देता है,जो हीट एक्सचेंजर्स,रेडिएटर और कूलिंग सिस्टम में आवश्यक है।
$3$. दहन: आंतरिक दहन इंजन और गैस टर्बाइन में,टर्बुलेंस का उपयोग ईंधन और हवा को तेजी से मिलाने के लिए किया जाता है,जिससे कुशल और पूर्ण दहन सुनिश्चित होता है।
$4$. एयरोडायनामिक्स: कुछ मामलों में,जैसे कि गोल्फ बॉल की सतह पर,नियंत्रित टर्बुलेंस (डिम्पल के माध्यम से) का उपयोग प्रवाह पृथक्करण में देरी करके ड्रैग को कम करने के लिए किया जाता है।
$1$. मिश्रण: टर्बुलेंस तरल पदार्थों को मिलाने में अत्यधिक प्रभावी है,जैसे कि रासायनिक रिएक्टरों में या वायुमंडल में,जहाँ यह प्रदूषकों को फैलाने में मदद करता है।
$2$. ऊष्मा स्थानांतरण: टर्बुलेंट प्रवाह एक तरल और ठोस सतह के बीच ऊष्मा स्थानांतरण की दर को काफी बढ़ा देता है,जो हीट एक्सचेंजर्स,रेडिएटर और कूलिंग सिस्टम में आवश्यक है।
$3$. दहन: आंतरिक दहन इंजन और गैस टर्बाइन में,टर्बुलेंस का उपयोग ईंधन और हवा को तेजी से मिलाने के लिए किया जाता है,जिससे कुशल और पूर्ण दहन सुनिश्चित होता है।
$4$. एयरोडायनामिक्स: कुछ मामलों में,जैसे कि गोल्फ बॉल की सतह पर,नियंत्रित टर्बुलेंस (डिम्पल के माध्यम से) का उपयोग प्रवाह पृथक्करण में देरी करके ड्रैग को कम करने के लिए किया जाता है।
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Medium
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(i)$ यदि द्रव के अणुओं के बीच ससंजक बल, प्लेट के अणुओं के बीच आसंजक बल से अधिक है, तो प्राप्त संपर्क कोण ...... (न्यूनकोण/अधिककोण) होता है और मुक्त सतह का आकार ...... (अवतल/उत्तल) होता है।
$(ii)$ यदि द्रव के अणुओं के बीच ससंजक बल, प्लेट के अणुओं के बीच आसंजक बल से कम है, तो प्राप्त संपर्क कोण ...... (न्यूनकोण/अधिककोण) होता है और मुक्त सतह का आकार ...... (अवतल/उत्तल) होता है।
$(iii)$ .......... (अवतल/उत्तल) आकार वाली द्रव की सतह पर अधिक दबाव डाला जाता है।
$(i)$ यदि द्रव के अणुओं के बीच ससंजक बल, प्लेट के अणुओं के बीच आसंजक बल से अधिक है, तो प्राप्त संपर्क कोण ...... (न्यूनकोण/अधिककोण) होता है और मुक्त सतह का आकार ...... (अवतल/उत्तल) होता है।
$(ii)$ यदि द्रव के अणुओं के बीच ससंजक बल, प्लेट के अणुओं के बीच आसंजक बल से कम है, तो प्राप्त संपर्क कोण ...... (न्यूनकोण/अधिककोण) होता है और मुक्त सतह का आकार ...... (अवतल/उत्तल) होता है।
$(iii)$ .......... (अवतल/उत्तल) आकार वाली द्रव की सतह पर अधिक दबाव डाला जाता है।
Solution
(D) $(i)$ जब ससंजक बल $ > $ आसंजक बल होता है, तो द्रव सतह को गीला नहीं करता है। संपर्क कोण अधिककोण $( > 90^{\circ})$ होता है और मेनिस्कस उत्तल होता है।
$(ii)$ जब ससंजक बल $ < $ आसंजक बल होता है, तो द्रव सतह को गीला करता है। संपर्क कोण न्यूनकोण $( < 90^{\circ})$ होता है और मेनिस्कस अवतल होता है।
$(iii)$ पृष्ठ तनाव के कारण, अवतल पक्ष पर दबाव हमेशा उत्तल पक्ष पर दबाव से अधिक होता है। इसलिए, द्रव की अवतल सतह पर अधिक दबाव डाला जाता है।
$(ii)$ जब ससंजक बल $ < $ आसंजक बल होता है, तो द्रव सतह को गीला करता है। संपर्क कोण न्यूनकोण $( < 90^{\circ})$ होता है और मेनिस्कस अवतल होता है।
$(iii)$ पृष्ठ तनाव के कारण, अवतल पक्ष पर दबाव हमेशा उत्तल पक्ष पर दबाव से अधिक होता है। इसलिए, द्रव की अवतल सतह पर अधिक दबाव डाला जाता है।
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समझाइए कि बंदूक की गोलियां बेलनाकार आकार की क्यों होती हैं?
Solution
(N/A) एक घूमता हुआ बेलन अपने घूर्णन अक्ष की दिशा में सीधे पथ पर गति करता है। इस समरूपता के कारण,मैग्नस प्रभाव (जो तरल पदार्थ में गतिमान घूमने वाली वस्तु पर पार्श्व बल लगाता है) प्रभावी रूप से निष्प्रभावी या संतुलित हो जाता है,जिससे गोली अपने निर्धारित पथ से विचलित नहीं होती है। इसी कारण से,बंदूक की गोलियों को बेलनाकार आकार में बनाया जाता है।
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बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(i)$ असंपीड्य (incompressible) प्रवाह में,द्रव का घनत्व समय और स्थान के साथ बदलता है।
$(ii)$ अश्यान (non-viscous) प्रवाह एक धारा रेखीय प्रवाह (streamline flow) हो सकता है।
$(iii)$ स्थायी प्रवाह (steady flow) में,प्रत्येक बिंदु पर द्रव का वेग समय के साथ समान रहता है।
$(i)$ असंपीड्य (incompressible) प्रवाह में,द्रव का घनत्व समय और स्थान के साथ बदलता है।
$(ii)$ अश्यान (non-viscous) प्रवाह एक धारा रेखीय प्रवाह (streamline flow) हो सकता है।
$(iii)$ स्थायी प्रवाह (steady flow) में,प्रत्येक बिंदु पर द्रव का वेग समय के साथ समान रहता है।
Solution
(A) $(i)$ असत्य। असंपीड्य प्रवाह में,द्रव का घनत्व $\rho$ पूरे प्रवाह के दौरान स्थिर रहता है।
$(ii)$ असत्य। अश्यान द्रव के लिए श्यानता गुणांक $\eta = 0$ होता है। रेनॉल्ड्स संख्या के सूत्र $R_{e} = \frac{\rho v D}{\eta}$ से,जैसे-जैसे $\eta \to 0$ होता है,$R_{e} \to \infty$ हो जाता है। इस प्रकार का प्रवाह आमतौर पर विक्षुब्ध (turbulent) होता है और यह धारा रेखीय प्रवाह नहीं हो सकता है।
$(iii)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,स्थायी प्रवाह में,अंतरिक्ष में किसी भी दिए गए बिंदु पर द्रव के कणों का वेग समय के साथ नहीं बदलता है।
$(ii)$ असत्य। अश्यान द्रव के लिए श्यानता गुणांक $\eta = 0$ होता है। रेनॉल्ड्स संख्या के सूत्र $R_{e} = \frac{\rho v D}{\eta}$ से,जैसे-जैसे $\eta \to 0$ होता है,$R_{e} \to \infty$ हो जाता है। इस प्रकार का प्रवाह आमतौर पर विक्षुब्ध (turbulent) होता है और यह धारा रेखीय प्रवाह नहीं हो सकता है।
$(iii)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,स्थायी प्रवाह में,अंतरिक्ष में किसी भी दिए गए बिंदु पर द्रव के कणों का वेग समय के साथ नहीं बदलता है।
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बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(i)$ बर्नौली समीकरण को ऊर्जा संरक्षण का एक कथन माना जा सकता है।
$(ii)$ पानी की बूंद और रेनकोट की सामग्री के बीच संपर्क कोण न्यून कोण होता है।
$(iii)$ तरल की दो क्रमिक परतों के बीच खुरदरेपन की अनुपस्थिति ही श्यानता (viscosity) है।
$(i)$ बर्नौली समीकरण को ऊर्जा संरक्षण का एक कथन माना जा सकता है।
$(ii)$ पानी की बूंद और रेनकोट की सामग्री के बीच संपर्क कोण न्यून कोण होता है।
$(iii)$ तरल की दो क्रमिक परतों के बीच खुरदरेपन की अनुपस्थिति ही श्यानता (viscosity) है।
Solution
(N/A) $(i)$ सत्य। बर्नौली समीकरण कार्य-ऊर्जा प्रमेय से प्राप्त होता है,जो असंपीड्य,अश्यान और स्थिर प्रवाह के लिए ऊर्जा संरक्षण का प्रतिनिधित्व करता है।
$(ii)$ असत्य। रेनकोट हाइड्रोफोबिक सामग्रियों से बने होते हैं ताकि वे पानी को दूर रख सकें। पानी और हाइड्रोफोबिक सतह के बीच संपर्क कोण अधिक कोण ($90^{\circ}$ से अधिक) होता है,जो पानी को कपड़े को गीला करने से रोकता है।
$(iii)$ असत्य। श्यानता वास्तव में अलग-अलग वेग से गति करने वाली तरल की निकटवर्ती परतों के बीच आंतरिक घर्षण या प्रवाह के प्रतिरोध का माप है। आंतरिक घर्षण की उपस्थिति,न कि इसकी अनुपस्थिति,श्यानता को परिभाषित करती है।
$(ii)$ असत्य। रेनकोट हाइड्रोफोबिक सामग्रियों से बने होते हैं ताकि वे पानी को दूर रख सकें। पानी और हाइड्रोफोबिक सतह के बीच संपर्क कोण अधिक कोण ($90^{\circ}$ से अधिक) होता है,जो पानी को कपड़े को गीला करने से रोकता है।
$(iii)$ असत्य। श्यानता वास्तव में अलग-अलग वेग से गति करने वाली तरल की निकटवर्ती परतों के बीच आंतरिक घर्षण या प्रवाह के प्रतिरोध का माप है। आंतरिक घर्षण की उपस्थिति,न कि इसकी अनुपस्थिति,श्यानता को परिभाषित करती है।
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बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(i)$ यदि किसी वस्तु का भार द्रव के उत्प्लावन बल (buoyant force) से अधिक है,तो वह वस्तु द्रव की सतह पर तैरती है।
$(ii)$ नदी की गहराई (तली) पर पानी का वेग हमेशा धीमा होता है।
$(iii)$ द्रव का तापमान बढ़ने पर संपर्क कोण (angle of contact) बढ़ता है।
$(i)$ यदि किसी वस्तु का भार द्रव के उत्प्लावन बल (buoyant force) से अधिक है,तो वह वस्तु द्रव की सतह पर तैरती है।
$(ii)$ नदी की गहराई (तली) पर पानी का वेग हमेशा धीमा होता है।
$(iii)$ द्रव का तापमान बढ़ने पर संपर्क कोण (angle of contact) बढ़ता है।
Solution
(N/A) $(i)$ असत्य। यदि वस्तु का भार उत्प्लावन बल से अधिक है,तो वस्तु द्रव में डूब जाएगी।
$(ii)$ सत्य। पानी की श्यानता (viscosity) और नदी की तली के बीच घर्षण के कारण,पानी का वेग तली पर सबसे कम और सतह के पास सबसे अधिक होता है।
$(iii)$ असत्य। सामान्यतः द्रव का तापमान बढ़ने पर संपर्क कोण घटता है क्योंकि तापमान बढ़ने से द्रव का पृष्ठ तनाव (surface tension) कम हो जाता है।
$(ii)$ सत्य। पानी की श्यानता (viscosity) और नदी की तली के बीच घर्षण के कारण,पानी का वेग तली पर सबसे कम और सतह के पास सबसे अधिक होता है।
$(iii)$ असत्य। सामान्यतः द्रव का तापमान बढ़ने पर संपर्क कोण घटता है क्योंकि तापमान बढ़ने से द्रव का पृष्ठ तनाव (surface tension) कम हो जाता है।
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रिक्त स्थान भरें:
$(i)$ ...... प्रवाह में प्रवाह रेखाएँ और स्ट्रीमलाइन एक-दूसरे के संपाती होते हैं।
$(ii)$ पानी की सतह से $h$ ऊँचाई पर नीचे बने छेद से बाहर आने वाले पानी के क्षैतिज वेग का सूत्र ...... है।
$(iii)$ $1 \ Pa = ...... \ dyne/cm^{2}$
$(iv)$ पानी की दो समानांतर परतों का सापेक्ष वेग $6 \ cm/s$ है। यदि दो परतों के बीच की लंबवत दूरी $0.1 \ mm$ है,तो वेग प्रवणता (velocity gradient) ...... होगी।
$(i)$ ...... प्रवाह में प्रवाह रेखाएँ और स्ट्रीमलाइन एक-दूसरे के संपाती होते हैं।
$(ii)$ पानी की सतह से $h$ ऊँचाई पर नीचे बने छेद से बाहर आने वाले पानी के क्षैतिज वेग का सूत्र ...... है।
$(iii)$ $1 \ Pa = ...... \ dyne/cm^{2}$
$(iv)$ पानी की दो समानांतर परतों का सापेक्ष वेग $6 \ cm/s$ है। यदि दो परतों के बीच की लंबवत दूरी $0.1 \ mm$ है,तो वेग प्रवणता (velocity gradient) ...... होगी।
Solution
(N/A) $(i)$ स्थिर (steady) प्रवाह में,कण का पथ (प्रवाह रेखा) और स्ट्रीमलाइन एक-दूसरे के संपाती होते हैं।
$(ii)$ टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$(iii)$ चूँकि $1 \ Pa = 1 \ N/m^{2} = 10^{5} \ dyne / 10^{4} \ cm^{2} = 10 \ dyne/cm^{2}$।
$(iv)$ वेग प्रवणता $= \frac{dv}{dx} = \frac{6 \ cm/s}{0.1 \ mm} = \frac{6 \ cm/s}{0.01 \ cm} = 600 \ s^{-1}$।
$(ii)$ टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$(iii)$ चूँकि $1 \ Pa = 1 \ N/m^{2} = 10^{5} \ dyne / 10^{4} \ cm^{2} = 10 \ dyne/cm^{2}$।
$(iv)$ वेग प्रवणता $= \frac{dv}{dx} = \frac{6 \ cm/s}{0.1 \ mm} = \frac{6 \ cm/s}{0.01 \ cm} = 600 \ s^{-1}$।
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रिक्त स्थान भरें:
$(i)$ क्रांतिक ताप पर जल का पृष्ठ तनाव ...... होता है।
$(ii)$ बर्नौली का समीकरण ...... के संरक्षण पर आधारित है।
$(iii)$ यदि पानी की $1$ बड़ी बूंद $8$ छोटी बूंदों में विभाजित होती है,तो ऊर्जा ...... होगी।
$(iv)$ जब इमारत के ऊपर से तेज हवा गुजरती है,तो इमारत पर कार्य करने वाला बल ...... दिशा में होता है।
$(i)$ क्रांतिक ताप पर जल का पृष्ठ तनाव ...... होता है।
$(ii)$ बर्नौली का समीकरण ...... के संरक्षण पर आधारित है।
$(iii)$ यदि पानी की $1$ बड़ी बूंद $8$ छोटी बूंदों में विभाजित होती है,तो ऊर्जा ...... होगी।
$(iv)$ जब इमारत के ऊपर से तेज हवा गुजरती है,तो इमारत पर कार्य करने वाला बल ...... दिशा में होता है।
Solution
(A) $(i)$ क्रांतिक ताप पर,द्रव और वाष्प के बीच का अंतर समाप्त हो जाता है,इसलिए पृष्ठ तनाव $0$ होता है।
$(ii)$ बर्नौली का समीकरण कार्य-ऊर्जा प्रमेय से प्राप्त होता है,जो ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।
$(iii)$ जब एक बड़ी बूंद छोटी बूंदों में विभाजित होती है,तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ जाता है। चूंकि पृष्ठ ऊर्जा पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती होती है $(U = T \cdot A)$,इसलिए ऊर्जा अवशोषित होती है।
$(iv)$ बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,छत के ऊपर से तेज हवा गुजरने से वहां दबाव कम हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप ऊपर की ओर एक उत्थापक बल (lift force) कार्य करता है।
$(ii)$ बर्नौली का समीकरण कार्य-ऊर्जा प्रमेय से प्राप्त होता है,जो ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।
$(iii)$ जब एक बड़ी बूंद छोटी बूंदों में विभाजित होती है,तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ जाता है। चूंकि पृष्ठ ऊर्जा पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती होती है $(U = T \cdot A)$,इसलिए ऊर्जा अवशोषित होती है।
$(iv)$ बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,छत के ऊपर से तेज हवा गुजरने से वहां दबाव कम हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप ऊपर की ओर एक उत्थापक बल (lift force) कार्य करता है।
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EasyMCQ
स्तंभ-$I$ में विभिन्न प्रक्रियाएं दी गई हैं और स्तंभ-$II$ में उनके कारण दिए गए हैं। उनका उचित मिलान करें।
| स्तंभ-$I$ | स्तंभ-$II$ |
|---|---|
| $(a)$ वर्षा की बूंदें स्थिर वेग के साथ नीचे की ओर गति करती हैं। | $(i)$ श्यान द्रव |
| $(b)$ हवा में ऊंचाई पर तैरते बादल। | $(ii)$ श्यानता |
| $(iii)$ कम घनत्व |
A
$(a-ii), (b-iii)$
B
$(a-i), (b-ii)$
C
$(a-i), (b-iii)$
D
$(a-iii), (b-ii)$
Solution
(A) वायुमंडल में नीचे गिरती वर्षा की बूंदें एक सीमांत वेग (terminal velocity) प्राप्त कर लेती हैं क्योंकि हवा का श्यान घर्षण बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है। यह श्यानता के गुण के कारण होता है। अतः,$(a-ii)$।
$(b)$ बादल ऊंचाई पर तैरते हैं क्योंकि उनका घनत्व आसपास की हवा के घनत्व से कम होता है,जिससे वे उत्प्लावन बल के कारण हवा में बने रहते हैं। अतः,$(b-iii)$।
इसलिए,सही मिलान $(a-ii), (b-iii)$ है।
$(b)$ बादल ऊंचाई पर तैरते हैं क्योंकि उनका घनत्व आसपास की हवा के घनत्व से कम होता है,जिससे वे उत्प्लावन बल के कारण हवा में बने रहते हैं। अतः,$(b-iii)$।
इसलिए,सही मिलान $(a-ii), (b-iii)$ है।
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DifficultMCQ
एक बेलनाकार पात्र जिसमें द्रव भरा है,उसे उसकी अक्ष के परितः घुमाया जाता है ताकि द्रव उसकी भुजाओं पर ऊपर उठ जाए जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पात्र का व्यास $10 \, cm$ है और घूर्णन की कोणीय चाल $\omega \, rad \, s^{-1}$ है। पात्र के केंद्र और भुजा पर द्रव की ऊँचाई में अंतर,$h$ ($cm$ में) होगा
A
$\frac{25 \omega^{2}}{2 g}$
B
$\frac{2 \omega^{2}}{5 g}$
C
$\frac{5 \omega^{2}}{2 g}$
D
$\frac{2 \omega^{2}}{25 g}$
Solution
(A) घूर्णन करते द्रव की सतह $z = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ समीकरण द्वारा परिभाषित पैराबोलाइड का आकार लेती है।
यहाँ,पात्र का व्यास $10 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $R = 5 \, cm$ है।
केंद्र $(r=0)$ और भुजा $(r=R)$ के बीच ऊँचाई का अंतर $h$ इस प्रकार है:
$h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$
$R = 5 \, cm$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h = \frac{\omega^2 (5)^2}{2g} = \frac{25 \omega^2}{2g}$.
यहाँ,पात्र का व्यास $10 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $R = 5 \, cm$ है।
केंद्र $(r=0)$ और भुजा $(r=R)$ के बीच ऊँचाई का अंतर $h$ इस प्रकार है:
$h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$
$R = 5 \, cm$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h = \frac{\omega^2 (5)^2}{2g} = \frac{25 \omega^2}{2g}$.
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DifficultMCQ
दो समान बेलनाकार पात्र जमीन पर रखे गए हैं और प्रत्येक में $d$ घनत्व वाला समान द्रव भरा है। दोनों पात्रों के आधार का क्षेत्रफल $S$ है,लेकिन एक पात्र में द्रव की ऊँचाई $x_{1}$ है और दूसरे में $x_{2}$ है। जब दोनों बेलनों को तली के बहुत करीब नगण्य आयतन वाले पाइप से जोड़ा जाता है,तो द्रव एक पात्र से दूसरे पात्र में तब तक बहता है जब तक कि वह एक नई ऊँचाई पर संतुलन में न आ जाए। इस प्रक्रिया में निकाय की ऊर्जा में परिवर्तन है
A
$gdS(x_{2}+x_{1})^{2}$
B
$\frac{3}{4} gdS(x_{2}-x_{1})^{2}$
C
$\frac{1}{4} gdS(x_{2}-x_{1})^{2}$
D
$gdS(x_{2}^{2}+x_{1}^{2})$
Solution
(C) निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा दोनों पात्रों में द्रव की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है:
$U_{i} = (dSx_{1})g \cdot \frac{x_{1}}{2} + (dSx_{2})g \cdot \frac{x_{2}}{2} = \frac{dSg}{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$
आयतन संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,द्रव का कुल आयतन स्थिर रहता है:
$Sx_{1} + Sx_{2} = S(x_{f} + x_{f}) = 2Sx_{f}$
$x_{f} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$
निकाय की अंतिम स्थितिज ऊर्जा है:
$U_{f} = 2 \times (dSx_{f})g \cdot \frac{x_{f}}{2} = dSgx_{f}^{2} = dSg \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)^{2}$
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_{f} - U_{i}$ है:
$\Delta U = dSg \left[ \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)^{2} - \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{2} \right]$
$\Delta U = dSg \left[ \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2}}{4} - \frac{2x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2}}{4} \right]$
$\Delta U = dSg \left[ \frac{2x_{1}x_{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}{4} \right] = -\frac{dSg}{4}(x_{1} - x_{2})^{2}$
ऊर्जा में परिवर्तन का परिमाण $\frac{1}{4} gdS(x_{2} - x_{1})^{2}$ है।
$U_{i} = (dSx_{1})g \cdot \frac{x_{1}}{2} + (dSx_{2})g \cdot \frac{x_{2}}{2} = \frac{dSg}{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$
आयतन संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,द्रव का कुल आयतन स्थिर रहता है:
$Sx_{1} + Sx_{2} = S(x_{f} + x_{f}) = 2Sx_{f}$
$x_{f} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$
निकाय की अंतिम स्थितिज ऊर्जा है:
$U_{f} = 2 \times (dSx_{f})g \cdot \frac{x_{f}}{2} = dSgx_{f}^{2} = dSg \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)^{2}$
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_{f} - U_{i}$ है:
$\Delta U = dSg \left[ \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)^{2} - \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{2} \right]$
$\Delta U = dSg \left[ \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2}}{4} - \frac{2x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2}}{4} \right]$
$\Delta U = dSg \left[ \frac{2x_{1}x_{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}{4} \right] = -\frac{dSg}{4}(x_{1} - x_{2})^{2}$
ऊर्जा में परिवर्तन का परिमाण $\frac{1}{4} gdS(x_{2} - x_{1})^{2}$ है।
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DifficultMCQ
$16\,cm^{2}$ के समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले दो बेलनाकार पात्रों में क्रमशः $100\,cm$ और $150\,cm$ ऊंचाई तक पानी भरा है। पात्रों को आपस में जोड़ा जाता है ताकि उनमें पानी का स्तर समान हो जाए। इस प्रक्रिया के दौरान गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $......J$ है। [पानी का घनत्व $= 10^{3}\,kg/m^{3}$ और $g = 10\,m/s^{2}$ लें]
A
$0.25$
B
$1$
C
$8$
D
$12$
Solution
(B) प्रारंभिक ऊंचाइयां $h_{1} = 1.0\,m$ और $h_{2} = 1.5\,m$ हैं। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 16\,cm^{2} = 16 \times 10^{-4}\,m^{2}$ है।
जब उन्हें जोड़ा जाता है,तो दोनों पात्रों में अंतिम ऊंचाई $h$ प्रारंभिक ऊंचाइयों का औसत होगी: $h = \frac{h_{1} + h_{2}}{2} = \frac{1.0 + 1.5}{2} = 1.25\,m$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर होता है: $W = U_{i} - U_{f}$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_{i} = (m_{1}g \frac{h_{1}}{2}) + (m_{2}g \frac{h_{2}}{2}) = \rho A h_{1} g \frac{h_{1}}{2} + \rho A h_{2} g \frac{h_{2}}{2} = \frac{\rho A g}{2} (h_{1}^{2} + h_{2}^{2})$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_{f} = (m_{1}+m_{2})g \frac{h}{2} = (2 \rho A h) g \frac{h}{2} = \rho A g h^{2} = \rho A g (\frac{h_{1}+h_{2}}{2})^{2}$.
$W = \frac{\rho A g}{2} [h_{1}^{2} + h_{2}^{2} - 2(\frac{h_{1}+h_{2}}{2})^{2}] = \frac{\rho A g}{4} [2h_{1}^{2} + 2h_{2}^{2} - (h_{1}+h_{2})^{2}] = \frac{\rho A g}{4} (h_{1}-h_{2})^{2}$.
मान रखने पर: $W = \frac{10^{3} \times 16 \times 10^{-4} \times 10}{4} (1.5 - 1.0)^{2} = \frac{16}{4} (0.5)^{2} = 4 \times 0.25 = 1\,J$.
जब उन्हें जोड़ा जाता है,तो दोनों पात्रों में अंतिम ऊंचाई $h$ प्रारंभिक ऊंचाइयों का औसत होगी: $h = \frac{h_{1} + h_{2}}{2} = \frac{1.0 + 1.5}{2} = 1.25\,m$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर होता है: $W = U_{i} - U_{f}$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_{i} = (m_{1}g \frac{h_{1}}{2}) + (m_{2}g \frac{h_{2}}{2}) = \rho A h_{1} g \frac{h_{1}}{2} + \rho A h_{2} g \frac{h_{2}}{2} = \frac{\rho A g}{2} (h_{1}^{2} + h_{2}^{2})$.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_{f} = (m_{1}+m_{2})g \frac{h}{2} = (2 \rho A h) g \frac{h}{2} = \rho A g h^{2} = \rho A g (\frac{h_{1}+h_{2}}{2})^{2}$.
$W = \frac{\rho A g}{2} [h_{1}^{2} + h_{2}^{2} - 2(\frac{h_{1}+h_{2}}{2})^{2}] = \frac{\rho A g}{4} [2h_{1}^{2} + 2h_{2}^{2} - (h_{1}+h_{2})^{2}] = \frac{\rho A g}{4} (h_{1}-h_{2})^{2}$.
मान रखने पर: $W = \frac{10^{3} \times 16 \times 10^{-4} \times 10}{4} (1.5 - 1.0)^{2} = \frac{16}{4} (0.5)^{2} = 4 \times 0.25 = 1\,J$.
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AdvancedMCQ
$\rho$ घनत्व वाले पानी में $R$ त्रिज्या का एक बुलबुला $v$ गति से समान रूप से फैल रहा है। यह देखते हुए कि पानी असंपीड्य (incompressible) है,धकेले जा रहे पानी की गतिज ऊर्जा क्या है?
A
शून्य
B
$2 \pi \rho R^{3} v^{2}$
C
$2 \pi \rho R^{3} v^{2} / 3$
D
$4 \pi \rho R^{3} v^{2} / 3$
Solution
(B) मान लीजिए कि $R$ त्रिज्या का एक बुलबुला इस तरह फैलता है कि उसकी सतह $v$ गति से चलती है। पानी में $x$ त्रिज्या $(x \ge R)$ और $dx$ मोटाई वाले एक गोलाकार कवच पर विचार करें।
पानी के असंपीड्य होने के कारण,किसी भी गोलाकार सतह से आयतन प्रवाह दर स्थिर होनी चाहिए।
बुलबुले की सतह पर (त्रिज्या $R$),प्रवाह दर $4 \pi R^{2} v$ है।
केंद्र से $x$ दूरी पर,प्रवाह दर $4 \pi x^{2} v_{x}$ है,जहाँ $v_{x}$ दूरी $x$ पर पानी का वेग है।
इन दोनों को बराबर करने पर,$4 \pi x^{2} v_{x} = 4 \pi R^{2} v$,जिससे $v_{x} = \frac{R^{2} v}{x^{2}}$ प्राप्त होता है।
$dx$ मोटाई वाले गोलाकार कवच का द्रव्यमान $dm = \rho (4 \pi x^{2} dx)$ है।
इस कवच की गतिज ऊर्जा $dK = \frac{1}{2} dm v_{x}^{2} = \frac{1}{2} (4 \pi x^{2} \rho dx) \left( \frac{R^{2} v}{x^{2}} \right)^{2}$ है।
सरल करने पर,$dK = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \frac{dx}{x^{2}}$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K$ का मान $x = R$ से $x = \infty$ तक समाकलन करने पर प्राप्त होगा:
$K = \int_{R}^{\infty} 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \frac{dx}{x^{2}} = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{R}^{\infty} = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \left( 0 - (-\frac{1}{R}) \right) = 2 \pi \rho R^{3} v^{2}$.
पानी के असंपीड्य होने के कारण,किसी भी गोलाकार सतह से आयतन प्रवाह दर स्थिर होनी चाहिए।
बुलबुले की सतह पर (त्रिज्या $R$),प्रवाह दर $4 \pi R^{2} v$ है।
केंद्र से $x$ दूरी पर,प्रवाह दर $4 \pi x^{2} v_{x}$ है,जहाँ $v_{x}$ दूरी $x$ पर पानी का वेग है।
इन दोनों को बराबर करने पर,$4 \pi x^{2} v_{x} = 4 \pi R^{2} v$,जिससे $v_{x} = \frac{R^{2} v}{x^{2}}$ प्राप्त होता है।
$dx$ मोटाई वाले गोलाकार कवच का द्रव्यमान $dm = \rho (4 \pi x^{2} dx)$ है।
इस कवच की गतिज ऊर्जा $dK = \frac{1}{2} dm v_{x}^{2} = \frac{1}{2} (4 \pi x^{2} \rho dx) \left( \frac{R^{2} v}{x^{2}} \right)^{2}$ है।
सरल करने पर,$dK = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \frac{dx}{x^{2}}$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K$ का मान $x = R$ से $x = \infty$ तक समाकलन करने पर प्राप्त होगा:
$K = \int_{R}^{\infty} 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \frac{dx}{x^{2}} = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{R}^{\infty} = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \left( 0 - (-\frac{1}{R}) \right) = 2 \pi \rho R^{3} v^{2}$.
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DifficultMCQ
हम बर्फ को दबाकर उसके गोले बनाने में सक्षम हैं,इसका कारण है
A
पानी का असामान्य व्यवहार
B
बर्फ की उच्च गुप्त ऊष्मा
C
पानी की उच्च विशिष्ट ऊष्मा
D
बर्फ का कम गलनांक
Solution
(A) सही उत्तर $A$ है।
जब हम बर्फ पर दबाव डालते हैं,तो ठोस बर्फ तरल में पिघल जाती है क्योंकि दबाव बढ़ने के साथ बर्फ का गलनांक कम हो जाता है। यह घटना पानी के असामान्य व्यवहार के कारण होती है,जहाँ पानी अपने ठोस रूप (बर्फ) में तरल रूप की तुलना में कम घना होता है।
चूंकि तरल पानी बर्फ के समान द्रव्यमान की तुलना में कम जगह घेरता है,इसलिए दबाव डालने से संतुलन तरल अवस्था की ओर स्थानांतरित हो जाता है। जब हम दबाव छोड़ते हैं,तो पिघला हुआ पानी फिर से जम जाता है,जिससे बर्फ के क्रिस्टल आपस में जुड़कर एक गोला बन जाते हैं।
जब हम बर्फ पर दबाव डालते हैं,तो ठोस बर्फ तरल में पिघल जाती है क्योंकि दबाव बढ़ने के साथ बर्फ का गलनांक कम हो जाता है। यह घटना पानी के असामान्य व्यवहार के कारण होती है,जहाँ पानी अपने ठोस रूप (बर्फ) में तरल रूप की तुलना में कम घना होता है।
चूंकि तरल पानी बर्फ के समान द्रव्यमान की तुलना में कम जगह घेरता है,इसलिए दबाव डालने से संतुलन तरल अवस्था की ओर स्थानांतरित हो जाता है। जब हम दबाव छोड़ते हैं,तो पिघला हुआ पानी फिर से जम जाता है,जिससे बर्फ के क्रिस्टल आपस में जुड़कर एक गोला बन जाते हैं।
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AdvancedMCQ
कार्मन रेखा एक सैद्धांतिक निर्माण है जो पृथ्वी के वायुमंडल को बाहरी अंतरिक्ष से अलग करता है। इसे उस ऊँचाई के रूप में परिभाषित किया गया है जिस पर ध्रुवीय उपग्रह की गति $(8 \, km/s)$ पर उड़ने वाले विमान पर लगने वाला लिफ्ट बल उसके वजन के बराबर होता है। $30 \, m^2$ के विंग क्षेत्र और $7500 \, kg$ द्रव्यमान वाले एक लड़ाकू विमान को लेते हुए,जमीन से ऊपर कार्मन रेखा की ऊँचाई .............. $km$ की सीमा में होगी। (मान लें कि जमीन से $h$ ऊँचाई पर हवा का घनत्व $\rho(h) = 1.2 e^{-h/10} \, kg/m^3$ है,जहाँ $h$ $km$ में है और लिफ्ट बल $\frac{1}{2} \rho v^2 A$ है,जहाँ $v$ विमान की गति है और $A$ उसका विंग क्षेत्र है।)
A
$25-50$
B
$75-100$
C
$125-150$
D
$175-200$
Solution
(B) संतुलन के लिए,लिफ्ट बल विमान के वजन के बराबर होना चाहिए:
$mg = \frac{1}{2} \rho v^2 A$
दिया गया है:
$m = 7500 \, kg$
$v = 8 \, km/s = 8000 \, m/s$
$A = 30 \, m^2$
$\rho(h) = 1.2 e^{-h/10} \, kg/m^3$ (जहाँ $h$ $km$ में है)
$g \approx 9.8 \, m/s^2$
संतुलन समीकरण में मान रखने पर:
$7500 \times 9.8 = \frac{1}{2} \times (1.2 e^{-h/10}) \times (8000)^2 \times 30$
$73500 = 0.6 \times e^{-h/10} \times 64 \times 10^6 \times 30$
$73500 = 1152 \times 10^6 \times e^{-h/10}$
$e^{-h/10} = \frac{73500}{1152 \times 10^6} \approx 6.38 \times 10^{-5}$
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-h/10 = \ln(6.38 \times 10^{-5})$
$-h/10 \approx -9.66$
$h \approx 96.6 \, km$
यह मान $75-100 \, km$ की सीमा में आता है।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ है।
$mg = \frac{1}{2} \rho v^2 A$
दिया गया है:
$m = 7500 \, kg$
$v = 8 \, km/s = 8000 \, m/s$
$A = 30 \, m^2$
$\rho(h) = 1.2 e^{-h/10} \, kg/m^3$ (जहाँ $h$ $km$ में है)
$g \approx 9.8 \, m/s^2$
संतुलन समीकरण में मान रखने पर:
$7500 \times 9.8 = \frac{1}{2} \times (1.2 e^{-h/10}) \times (8000)^2 \times 30$
$73500 = 0.6 \times e^{-h/10} \times 64 \times 10^6 \times 30$
$73500 = 1152 \times 10^6 \times e^{-h/10}$
$e^{-h/10} = \frac{73500}{1152 \times 10^6} \approx 6.38 \times 10^{-5}$
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-h/10 = \ln(6.38 \times 10^{-5})$
$-h/10 \approx -9.66$
$h \approx 96.6 \, km$
यह मान $75-100 \, km$ की सीमा में आता है।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा एक आदर्श तरल का गुण नहीं है?
A
तरल प्रवाह अघूर्णी (irrotational) है
B
तरल प्रवाह धारा रेखीय (streamline) है
C
तरल असंपीड्य (incompressible) है
D
तरल श्यान (viscous) है
Solution
(D) सही उत्तर $D$ है।
एक आदर्श तरल को निम्नलिखित गुणों द्वारा परिभाषित किया जाता है:
$1$. यह अश्यान (non-viscous) होता है (अर्थात,इसकी श्यानता शून्य होती है)।
$2$. यह असंपीड्य (incompressible) होता है (अर्थात,इसका घनत्व स्थिर रहता है)।
$3$. इसका प्रवाह स्थिर (धारा रेखीय) होता है।
$4$. इसका प्रवाह अघूर्णी होता है।
चूंकि एक आदर्श तरल अश्यान होता है,इसलिए यह कथन कि यह श्यान है,गलत है।
एक आदर्श तरल को निम्नलिखित गुणों द्वारा परिभाषित किया जाता है:
$1$. यह अश्यान (non-viscous) होता है (अर्थात,इसकी श्यानता शून्य होती है)।
$2$. यह असंपीड्य (incompressible) होता है (अर्थात,इसका घनत्व स्थिर रहता है)।
$3$. इसका प्रवाह स्थिर (धारा रेखीय) होता है।
$4$. इसका प्रवाह अघूर्णी होता है।
चूंकि एक आदर्श तरल अश्यान होता है,इसलिए यह कथन कि यह श्यान है,गलत है।
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MediumMCQ
एक हवा का बुलबुला झील की तली से सतह तक ऊपर आता है। यदि इसकी त्रिज्या $200 \%$ बढ़ जाती है और वायुमंडलीय दबाव $H$ ऊंचाई के पानी के स्तंभ के बराबर है,तो झील की गहराई ..... $H$ है।
A
$21$
B
$8$
C
$9$
D
$26$
Solution
(D) मान लीजिए कि तली पर हवा के बुलबुले की प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है।
सतह पर अंतिम त्रिज्या $r_2 = r + 200\% \text{ of } r = r + 2r = 3r$ है।
मान लीजिए कि झील की गहराई $h$ है। वायुमंडलीय दबाव $P_{atm} = \rho g H$ दिया गया है।
झील की तली पर दबाव $P_1 = P_{atm} + \rho g h = \rho g H + \rho g h = \rho g(H + h)$ है।
सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = \rho g H$ है।
यह मानते हुए कि तापमान स्थिर रहता है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
चूंकि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है,इसलिए हमें मिलता है:
$\rho g(H + h) \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g H \times \frac{4}{3} \pi (3r)^3$
$(H + h) r^3 = H \times 27r^3$
$H + h = 27H$
$h = 26H$.
अतः,झील की गहराई $26H$ है।
सतह पर अंतिम त्रिज्या $r_2 = r + 200\% \text{ of } r = r + 2r = 3r$ है।
मान लीजिए कि झील की गहराई $h$ है। वायुमंडलीय दबाव $P_{atm} = \rho g H$ दिया गया है।
झील की तली पर दबाव $P_1 = P_{atm} + \rho g h = \rho g H + \rho g h = \rho g(H + h)$ है।
सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = \rho g H$ है।
यह मानते हुए कि तापमान स्थिर रहता है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
चूंकि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है,इसलिए हमें मिलता है:
$\rho g(H + h) \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g H \times \frac{4}{3} \pi (3r)^3$
$(H + h) r^3 = H \times 27r^3$
$H + h = 27H$
$h = 26H$.
अतः,झील की गहराई $26H$ है।
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MediumMCQ
एक पात्र जिसमें द्रव भरा है,क्षैतिज दिशा में $19.6 \, m/s^2$ के निरंतर त्वरण से गति कर रहा है। पानी की मुक्त सतह क्षैतिज के साथ कितने कोण पर झुकेगी ..........
A
$\tan^{-1}[1/2]$
B
$\sin^{-1}[1/\sqrt{3}]$
C
$\tan^{-1}[\sqrt{2}]$
D
$\sin^{-1}[2/\sqrt{5}]$
Solution
(D) जब द्रव से भरा एक पात्र $a$ त्वरण के साथ क्षैतिज रूप से त्वरित होता है,तो द्रव की मुक्त सतह क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर झुक जाती है।
द्रव के कण पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म-त्वरण $a$ (पात्र के फ्रेम में पीछे की ओर) का सदिश योग होता है।
मुक्त सतह द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
दिया गया है:
$a = 19.6 \, m/s^2$
$g = 9.8 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{19.6}{9.8} = 2$
इसे $\sin \theta$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ का उपयोग करते हैं:
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left[\frac{2}{\sqrt{5}}\right]$।
द्रव के कण पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म-त्वरण $a$ (पात्र के फ्रेम में पीछे की ओर) का सदिश योग होता है।
मुक्त सतह द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
दिया गया है:
$a = 19.6 \, m/s^2$
$g = 9.8 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{19.6}{9.8} = 2$
इसे $\sin \theta$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ का उपयोग करते हैं:
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left[\frac{2}{\sqrt{5}}\right]$।
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MediumMCQ
एक मछली द्वारा झील में $h$ गहराई पर $V_0$ आयतन का एक हवा का बुलबुला छोड़ा जाता है। बुलबुला सतह पर ऊपर आता है। मान लीजिए कि तापमान स्थिर है और झील के ऊपर मानक वायुमंडलीय दबाव $P$ है। सतह को छूने से ठीक पहले बुलबुले का आयतन क्या होगा? (पानी का घनत्व $\rho$ है):
A
$V_0$
B
$V_0(\rho g h / P)$
C
$\frac{V_0}{1 + \frac{\rho g h}{P}}$
D
$V_0(1 + \frac{\rho g h}{P})$
Solution
(D) बॉयल के नियम के अनुसार, स्थिर तापमान के लिए, दबाव और आयतन का गुणनफल स्थिर रहता है $(PV = \text{constant})$।
$h$ गहराई पर, बुलबुले पर कुल दबाव $P_1 = P + \rho g h$ है और इसका आयतन $V_1 = V_0$ है।
सतह पर, दबाव $P_2 = P$ है, और मान लीजिए कि आयतन $V_2$ है।
समीकरण $P_1 V_1 = P_2 V_2$ लागू करने पर:
$(P + \rho g h) V_0 = P V_2$
$V_2 = V_0 \frac{P + \rho g h}{P}$
$V_2 = V_0 (1 + \frac{\rho g h}{P})$।
$h$ गहराई पर, बुलबुले पर कुल दबाव $P_1 = P + \rho g h$ है और इसका आयतन $V_1 = V_0$ है।
सतह पर, दबाव $P_2 = P$ है, और मान लीजिए कि आयतन $V_2$ है।
समीकरण $P_1 V_1 = P_2 V_2$ लागू करने पर:
$(P + \rho g h) V_0 = P V_2$
$V_2 = V_0 \frac{P + \rho g h}{P}$
$V_2 = V_0 (1 + \frac{\rho g h}{P})$।
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MediumMCQ
$1\,cm^3$ आयतन का एक हवा का बुलबुला $40\,m$ गहरे झील की तली से $12^{\circ}C$ तापमान पर सतह पर आता है। वायुमंडलीय दबाव $1 \times 10^5\,Pa$ है,पानी का घनत्व $1000\,kg/m^3$ है और $g = 10\,m/s^2$ है। $40\,m$ की गहराई पर और सतह पर पानी के तापमान में कोई अंतर नहीं है। जब बुलबुला सतह पर पहुँचता है तो उसका आयतन $..........\,cm^3$ होगा। ($,cm^3$ में)
A
$5$
B
$2$
C
$4$
D
$3$
Solution
(A) दिया गया है:
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1\,cm^3$
गहराई $h = 40\,m$
वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 1 \times 10^5\,Pa$
पानी का घनत्व $\rho = 1000\,kg/m^3$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
तापमान स्थिर है।
झील की तली पर दबाव इस प्रकार है:
$P_1 = P_0 + \rho gh$
$P_1 = 1 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 40) = 1 \times 10^5 + 4 \times 10^5 = 5 \times 10^5\,Pa$
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं:
$P_1 V_1 = P_0 V_2$
$5 \times 10^5 \times 1 = 1 \times 10^5 \times V_2$
$V_2 = 5\,cm^3$
अतः,जब हवा का बुलबुला सतह पर पहुँचता है तो उसका आयतन $5\,cm^3$ होगा।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1\,cm^3$
गहराई $h = 40\,m$
वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 1 \times 10^5\,Pa$
पानी का घनत्व $\rho = 1000\,kg/m^3$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
तापमान स्थिर है।
झील की तली पर दबाव इस प्रकार है:
$P_1 = P_0 + \rho gh$
$P_1 = 1 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 40) = 1 \times 10^5 + 4 \times 10^5 = 5 \times 10^5\,Pa$
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं:
$P_1 V_1 = P_0 V_2$
$5 \times 10^5 \times 1 = 1 \times 10^5 \times V_2$
$V_2 = 5\,cm^3$
अतः,जब हवा का बुलबुला सतह पर पहुँचता है तो उसका आयतन $5\,cm^3$ होगा।
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View SolutionFluid Mechanics and Surface Tension — Mix Examples-Fluid Mechanics and Surface Tension · Frequently Asked Questions
1Are these Fluid Mechanics and Surface Tension questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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