Mix Examples-Fluid Mechanics and Surface Tension Questions in Hindi

(B) कथन $(I)$ गलत है क्योंकि गैसों की श्यानता सामान्यतः द्रवों की तुलना में बहुत कम होती है। गैसों में श्यानता आणविक टक्करों द्वारा संवेग के स्थानांतरण के कारण उत्पन्न होती है,जबकि द्रवों में यह अणुओं के बीच ससंजक बलों (cohesive forces) के कारण उत्पन्न होती है।
कथन $(II)$ सही है क्योंकि अघुलनशील अशुद्धियों (जैसे धूल या कुछ तेल) की उपस्थिति सतह पर ससंजक बलों को कम कर देती है,जिससे द्रव का पृष्ठ तनाव कम हो जाता है।

(D) कथन $I$ के लिए: जब द्रव स्थिर होता है $(v_1=v_2=0)$,तो $h_1$ और $h_2$ ऊंचाइयों पर स्थित दो बिंदुओं के बीच दाबांतर हाइड्रोस्टेटिक दबाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P_1-P_2=\rho g(h_2-h_1)$। अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $II$ के लिए: क्षैतिज वेंचुरी ट्यूब के लिए बर्नौली का समीकरण लागू करने पर $(h_1=h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$
मैनोमीटर से,दाबांतर $P_1 - P_2 = \rho gh$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\rho gh = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$,जो सरल होकर $2gh = v_2^2 - v_1^2$ देता है।
चूंकि कथन में $2gh = v_1^2 - v_2^2$ दिया गया है,इसलिए यह गलत है।
अतः,कथन $I$ सही है लेकिन कथन $II$ गलत है।

(B) $STATEMENT-1$ सत्य है। जब पानी लंबवत ऊपर की ओर बहता है,तो गुरुत्वाकर्षण गति के विपरीत कार्य करता है,जिससे वेग कम हो जाता है। सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ के अनुसार,जैसे-जैसे वेग $v$ घटता है,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ बढ़ना चाहिए,जिससे धारा फैल जाती है। जब इसे लंबवत नीचे रखा जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण पानी को त्वरित करता है,जिससे वेग बढ़ता है और धारा संकरी हो जाती है।
$STATEMENT-2$ सत्य है। सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ असंपीड्य तरल के लिए द्रव्यमान संरक्षण का सीधा परिणाम है,जो बताता है कि आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$ क्षेत्रफल और वेग के बीच संबंध को समझाता है,लेकिन $STATEMENT-1$ में धारा का फैलना या संकरा होना मुख्य रूप से गुरुत्वाकर्षण के कारण वेग में परिवर्तन के कारण होता है,न कि केवल सांतत्य समीकरण के कारण। इसलिए,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ में वर्णित घटना की सीधी व्याख्या नहीं है।

(B) वायुमंडलीय दबाव $P_0$ के तहत केशिका में द्रव का चढ़ना $h_0$ इस प्रकार है:
$h_0 = \frac{2 T \cos \theta}{\rho g r} = \frac{2 \times 0.075 \times 1}{10^3 \times 10 \times 10^{-4}} = 0.15 \,m = 15 \,cm$
जब हवा को उसके मूल आयतन $V_0$ से $\frac{100}{101} V_0$ तक समतापीय रूप से संपीड़ित किया जाता है,तो पात्र के अंदर नया दबाव $P$ होगा:
$P_0 V_0 = P \left( \frac{100}{101} V_0 \right) \Rightarrow P = \frac{101}{100} P_0 = 1.01 P_0$
केशिका के अंदर द्रव की सतह पर दबाव का संतुलन:
$P_0 - \frac{2 T \cos \theta}{r} + \rho g h = P$
$P = 1.01 P_0$ और $\frac{2 T \cos \theta}{r} = \rho g h_0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P_0 - \rho g h_0 + \rho g h = 1.01 P_0$
$\rho g h = 0.01 P_0 + \rho g h_0$
$h = h_0 + \frac{0.01 P_0}{\rho g} = 0.15 \,m + \frac{0.01 \times 10^5}{10^3 \times 10} = 0.15 \,m + 0.1 \,m = 0.25 \,m = 25 \,cm$

(A) आदर्श गैस के लिए स्थिर दबाव पर,$\rho_a T_a = \rho T$.
मान रखने पर: $1.2 \times 300 = \rho \times 360 \implies \rho = 1 \ kg \ m^{-3}$.
$(1)$ बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए: $V = \sqrt{\frac{2(\rho_a - \rho)g(H+h)}{\rho}} = \sqrt{\frac{2(1.2 - 1) \times 10 \times (1 + 9)}{1}} = \sqrt{40} \approx 6.32 \ m \ s^{-1}$.
द्रव्यमान प्रवाह दर $Q_m = \rho A V = 1 \times \frac{\pi (0.1)^2}{4} \times \sqrt{40} \approx 0.0608 \ kg \ s^{-1} = 60.80 \ g \ s^{-1}$.
$(2)$ जब बंद किया जाता है,तो दबाव अंतर $\Delta P = (\rho_a - \rho) g(H+h) = (1.2 - 1) \times 10 \times 10 = 20 \ N \ m^{-2}$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $60.80$ और $30$ है।

(A) माना $A$ बर्तन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $L = 500 \ mm = 0.5 \ m$ बर्तन की कुल ऊँचाई है।
शुरू में,पानी $H$ ऊँचाई तक भरा है। पानी के ऊपर हवा का आयतन $V_0 = A(L - H)$ है,जो वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 10^5 \ N/m^2$ पर है।
जब छिद्र खोला जाता है,तो पानी तब तक बाहर निकलता है जब तक कि नीचे के छिद्र पर दबाव वायुमंडलीय दबाव $P_0$ के बराबर न हो जाए। माना पानी के स्तंभ की अंतिम ऊँचाई $h = 200 \ mm = 0.2 \ m$ है।
पानी के ऊपर फंसी हवा का दबाव $P$,$P + \rho gh = P_0$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 10^5 - (1000)(10)(0.2) = 10^5 - 2000 = 98000 \ N/m^2 = 98 \times 10^3 \ N/m^2$.
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,$P_0 V_0 = P V_f$,जहाँ $V_f = A(L - h)$ हवा का अंतिम आयतन है।
$10^5 \times A(0.5 - H) = 98 \times 10^3 \times A(0.5 - 0.2)$.
$100(0.5 - H) = 98(0.3)$.
$0.5 - H = 0.294$.
$H = 0.5 - 0.294 = 0.206 \ m = 206 \ mm$.
पानी के स्तर में हुई गिरावट $H - h = 206 \ mm - 200 \ mm = 6 \ mm$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक गोले का आयतन $V$ है।
गोले $A$ के संतुलन के लिए:
$A$ पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $V d_F g$,नीचे की ओर भार $V d_A g$ और नीचे की ओर डोरी में तनाव $T$ हैं।
$V d_F g = V d_A g + T$
$T = V g (d_F - d_A)$
चूंकि डोरी में तनाव $T > 0$ होना चाहिए,इसलिए $d_F > d_A$ या $d_A < d_F$ होना चाहिए।
गोले $B$ के संतुलन के लिए:
$B$ पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $V d_F g$,नीचे की ओर भार $V d_B g$ और ऊपर की ओर डोरी में तनाव $T$ हैं।
$T + V d_F g = V d_B g$
$T = V g (d_B - d_F)$
चूंकि डोरी में तनाव $T > 0$ होना चाहिए,इसलिए $d_B > d_F$ होना चाहिए।
तनाव $T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$V g (d_F - d_A) = V g (d_B - d_F)$
$d_F - d_A = d_B - d_F$
$d_A + d_B = 2 d_F$
इस प्रकार,इस संतुलन के अस्तित्व के लिए शर्तें $(A)$,$(B)$ और $(C)$ तीनों का संतुष्ट होना आवश्यक है।

(B) केशिका उन्नयन $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g R}$ द्वारा दिया जाता है।
$T_1$ $(\theta = 0^{\circ})$ के लिए: $h_1 = \frac{2 \times 0.075 \times \cos 0^{\circ}}{1000 \times 10 \times 0.2 \times 10^{-3}} = 0.075 \ m = 7.5 \ cm$.
$T_2$ $(\theta = 60^{\circ})$ के लिए: $h_2 = \frac{2 \times 0.075 \times \cos 60^{\circ}}{1000 \times 10 \times 0.2 \times 10^{-3}} = 0.0375 \ m = 3.75 \ cm$.
$(1)$ चूंकि संपर्क कोण अलग हैं,इसलिए मेनिस्कस का आकार और उसमें निहित पानी का वजन दोनों स्थितियों में अलग होगा। अतः,सुधार अलग-अलग होगा। कथन $(1)$ सही है।
$(2)$ स्थिति $I$ में,$T_1$ नीचे है। पानी $7.5 \ cm$ तक ऊपर उठता है। यदि जोड़ $5 \ cm$ पर है,तो पानी जोड़ को पार करता है। लेकिन $T_2$ में दबाव संतुलन के लिए ऊंचाई $h'$ ऐसी होनी चाहिए कि $\rho g(5 \times 10^{-2} + h') = \frac{2T \cos 60^{\circ}}{R}$। इससे $h' = 3.75 - 5 = -1.25 \ cm$ प्राप्त होता है। चूंकि $h' < 0$,पानी $T_2$ में आगे नहीं बढ़ सकता। यह जोड़ पर ही रहता है। कथन $(2)$ गलत है।
$(3)$ स्थिति $I$ में,यदि जोड़ $8 \ cm$ पर है,तो पानी $T_1$ में अपनी अधिकतम ऊंचाई $7.5 \ cm$ तक उठता है। चूंकि $7.5 \ cm < 8 \ cm$,यह जोड़ तक नहीं पहुंचता है। कथन $(3)$ सही है।
$(4)$ स्थिति $II$ में,$T_2$ नीचे है। पानी $T_2$ में अपनी अधिकतम ऊंचाई $3.75 \ cm$ तक उठता है। चूंकि $3.75 \ cm < 5 \ cm$,यह जोड़ तक नहीं पहुंचता है। कथन $(4)$ सही है।

(A) नली के फ्रेम में,प्रभावी त्वरण गुरुत्वाकर्षण $\vec{g}$ और छद्म-त्वरण $-\vec{a}$ का सदिश योग है।
प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$ है।
नली के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्षों पर घटकों को हल करने पर:
$g_{eff, x} = a \cos \theta = a / \sqrt{2}$ (बिंदु $2$ की ओर निर्देशित क्षैतिज घटक)
$g_{eff, y} = g - a \sin \theta = g - a / \sqrt{2}$ (नीचे की ओर निर्देशित ऊर्ध्वाधर घटक)
आधार पर बिंदु $1$ और $2$ के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = P_1 - P_2 = \rho \cdot g_{eff, x} \cdot d$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_1 - P_2 = \rho (a / \sqrt{2}) d$ है।
इसलिए,$\beta = (P_1 - P_2) / (\rho g d) = a / (g \sqrt{2})$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $(A)$ है।

(D) $1.$ सांतत्य समीकरण (equation of continuity) का उपयोग करते हुए,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,जहाँ $A_1$ और $A_2$ क्रमशः पिस्टन और नोजल के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल हैं।
दिया है $r_1 = 20 \ mm$ और $r_2 = 1 \ mm$.
$A_1 = \pi r_1^2 = \pi (20)^2 = 400 \pi \ mm^2$ और $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (1)^2 = 1 \pi \ mm^2$.
अतः,$A_1 = 400 A_2$.
दिया है $v_1 = 5 \ mm \ s^{-1}$.
$400 \times 5 = 1 \times v_2 \Rightarrow v_2 = 2000 \ mm \ s^{-1} = 2 \ m \ s^{-1}$.
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।
$2.$ नोजल के मुख और कंटेनर में तरल की सतह पर बरनौली के सिद्धांत को लागू करने पर:
$P_0 = P_{nozzle} + \frac{1}{2} \rho_a v_a^2$ (जहाँ $P_{nozzle}$ नोजल पर दबाव है)।
साथ ही,तरल को $h$ ऊँचाई तक उठने के लिए,$P_0 = P_{nozzle} + \rho_{\ell} g h$.
दबाव के अंतर को बराबर करने पर,$\frac{1}{2} \rho_a v_a^2 = \rho_{\ell} g h$.
दी गई ऊँचाई $h$ के लिए,तरल का वेग $v_{\ell}$ दबाव के अंतर से संबंधित है। प्रवाह की दर हवा की धारा के वेग के समानुपाती होती है। दबाव संतुलन से,$v_a \propto \sqrt{\frac{\rho_{\ell}}{\rho_a}}$। हालाँकि,प्रश्न स्प्रे किए गए तरल की दर के बारे में पूछता है,जो हवा के प्रवाह द्वारा बनाए गए दबाव में गिरावट पर निर्भर करता है। दबाव में गिरावट $\Delta P = \frac{1}{2} \rho_a v_a^2$ है। तरल प्रवाह की दर $\sqrt{\Delta P / \rho_{\ell}} = \sqrt{\frac{\rho_a v_a^2}{2 \rho_{\ell}}} \propto \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho_{\ell}}}$ के समानुपाती है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ है।

(C) $1$. गेंद को धीरे-धीरे धकेलने में किया गया कार्य: $W_{\text{ext}} = (F_B - mg)d$. आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 4.5 \times 10^{-6} \times \frac{22}{7} \text{ m}^3$. उत्प्लावन बल $F_B = \rho V g = 4.5 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \text{ N}$. भार $mg = \frac{22}{7} \times 10^{-2} \text{ N}$. $W_{\text{ext}} = (4.5 - 1) \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 0.077 \text{ J}$. विकल्प $(A)$ सही है।
$2$. श्यान बल की उपेक्षा करते हुए,कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार: $W_{\text{ext}} = \frac{1}{2}mv^2$. $\frac{1}{2} \times (\frac{22}{7} \times 10^{-3}) v^2 = 0.077$. $v^2 = 49$,इसलिए $v = 7 \text{ m/s}$. विकल्प $(B)$ सही है।
$3$. ऊँचाई $H = \frac{v^2}{2g} = 2.45 \text{ m}$. विकल्प $(C)$ गलत है।
$4$. शुद्ध बल $F_{\text{net}} = F_B - mg = 0.11 \text{ N}$. अधिकतम श्यान बल $F_v = 6 \pi \eta r v = 1.98 \times 10^{-3} \text{ N}$. अनुपात $= \frac{0.11}{1.98 \times 10^{-3}} = \frac{500}{9}$. विकल्प $(D)$ सही है।

(B) कथन-$I$ सही है: तापमान बढ़ने के साथ तरल पदार्थों की श्यानता (viscosity) कम हो जाती है। चूंकि गर्म पानी की श्यानता ठंडे पानी से कम होती है,इसलिए यह तेजी से बहता है।
कथन-$II$ गलत है: साबुन एक सर्फेक्टेंट (surfactant) के रूप में कार्य करता है,जो पानी के पृष्ठ तनाव को कम कर देता है। इसलिए,साबुन के पानी का पृष्ठ तनाव ताजे पानी की तुलना में कम होता है।
अतः,कथन-$I$ सही है लेकिन कथन-$II$ गलत है।

(B) कथन $A$ गलत है क्योंकि पृष्ठ तनाव सतह पर मौजूद अणुओं की आंतरिक भाग के अणुओं की तुलना में अतिरिक्त ऊर्जा के कारण उत्पन्न होता है, न कि इसके विपरीत।
कथन $B$ गलत है क्योंकि तापमान बढ़ने पर तरल पदार्थों की श्यानता कम हो जाती है।
कथन $C$ सही है क्योंकि गैसों में तापमान बढ़ने पर आणविक टकराव बढ़ने के कारण श्यानता बढ़ जाती है।
कथन $D$ सही है क्योंकि रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ यह निर्धारित करती है कि प्रवाह लैमिनर है या टर्बुलेंट।
कथन $E$ सही है क्योंकि यदि दो स्ट्रीमलाइन एक-दूसरे को काटती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर तरल कण के पास दो अलग-अलग वेग होंगे, जो स्थिर प्रवाह में भौतिक रूप से असंभव है।
इसलिए, कथन $C, D,$ और $E$ सही हैं।

(D) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य निकाय की स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर होता है,$W = U_i - U_f$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = U_1 + U_2 = (m_1 g h_{cm1}) + (m_2 g h_{cm2})$.
यहाँ $A = 2 \ m^2$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है।
$U_i = (\rho A \times 10) g \times (10/2) + (\rho A \times 6) g \times (6/2) = \rho Ag (50 + 18) = 68 \rho Ag$.
जब पात्रों को जोड़ा जाता है,तो पानी का स्तर दोनों पात्रों में समान होकर $h = (10 + 6) / 2 = 8 \ m$ हो जाता है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = (\rho A \times 8) g \times (8/2) + (\rho A \times 8) g \times (8/2) = \rho Ag (32 + 32) = 64 \rho Ag$.
किया गया कार्य $W = U_i - U_f = 68 \rho Ag - 64 \rho Ag = 4 \rho Ag$.
$W = 4 \times 10^3 \times 2 \times 10 = 8 \times 10^4 \ J$.

(C) पृष्ठ तनाव के कारण गुब्बारे के अंदर का दबाव $P = \frac{2S}{R}$ है।
बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,बाहर निकलने वाली गैस का वेग $v = \sqrt{\frac{2P}{\rho}} = \sqrt{\frac{4S}{\rho R}} = 2S^{1/2} \rho^{-1/2} R^{-1/2}$ है।
दिया गया है कि $\psi(r) \propto r^\alpha$,$v \propto R^{-1/2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = -1/2$ प्राप्त होता है।
आयतन में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -A \cdot v$ है।
चूंकि $V = \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $\frac{dV}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt}$।
अतः,$4\pi R^2 \frac{dR}{dt} = -A \cdot k \cdot S^{1/2} \rho^{-1/2} R^{-1/2}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$R^{5/2} dR = -C \cdot S^{1/2} \rho^{-1/2} A dt$।
$R$ से $0$ और $0$ से $T$ तक समाकलन करने पर: $\int_0^R R^{5/2} dR = \int_0^T C' S^{1/2} \rho^{-1/2} A dt$।
$\frac{2}{7} R^{7/2} = C' S^{1/2} \rho^{-1/2} A T$।
इस प्रकार,$T \propto S^{-1/2} A^{-1} \rho^{1/2} R^{7/2}$।
$T \propto S^a A^\beta \rho^\gamma R^\delta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -1/2, \alpha = -1/2, \beta = -1, \gamma = 1/2, \delta = 7/2$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है:
$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 27r^3 \Rightarrow R = 3r$. (कथन $D$ सही है।)
बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$P_{\text{small}} = \frac{2T}{r}$ और $P_{\text{big}} = \frac{2T}{R} = \frac{2T}{3r} = \frac{1}{3} P_{\text{small}}$. (कथन $A$ गलत है।)
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $U_i = 27 \times (4 \pi r^2 T) = 108 \pi r^2 T$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $U_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (3r)^2 T = 36 \pi r^2 T$.
चूंकि $U_f < U_i$,पृष्ठ ऊर्जा कम हो जाती है। (कथन $B$ सही है।)
मुक्त हुई ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 108 \pi r^2 T - 36 \pi r^2 T = 72 \pi r^2 T$. (कथन $C$ सही है।)
अतः,कथन $B, C$ और $D$ सही हैं।

(C) हाइड्रोलिक लिफ्ट तरल पदार्थों में दाब के संचरण के सिद्धांत पर कार्य करती है,जिसे पास्कल के नियम द्वारा परिभाषित किया गया है। अतः,$A \rightarrow Q$.
$(B)$ रेजर ब्लेड पानी पर पृष्ठ तनाव के कारण तैरती है,जो ब्लेड के वजन को सहारा देता है। अतः,$B \rightarrow R$.
$(C)$ बांध के तल पर पानी की गहराई अधिक होने के कारण दाब अधिक होता है $(P = \rho gh)$,इसलिए इस दाब को सहन करने के लिए बांध को नीचे से मोटा बनाया जाता है। अतः,$C \rightarrow S$.
$(D)$ जहाज समुद्र में तैरता है क्योंकि उस पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल विस्थापित पानी के वजन के बराबर होता है,जिसे आर्किमिडीज के सिद्धांत द्वारा समझाया गया है। अतः,$D \rightarrow P$.
अतः,सही मिलान $A \rightarrow Q, B \rightarrow R, C \rightarrow S, D \rightarrow P$ है।

(C) $r$ त्रिज्या की एक तरल बूंद जो आधी डूबी हुई तैर रही है, उस पर कार्य करने वाले बलों में बूंद का भार नीचे की ओर, उत्प्लावन बल ऊपर की ओर और संपर्क वृत्त की परिधि पर पृष्ठ तनाव बल ऊपर की ओर कार्य करता है।
बूंद का भार $W = V \rho g = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g$.
उत्प्लावन बल $F_B = V_{submerged} d g = (\frac{2}{3} \pi r^3) d g$.
पृष्ठ तनाव बल $F_T = (2 \pi r) T$.
बलों को संतुलित करने पर: $F_T + F_B = W$.
$(2 \pi r) T + (\frac{2}{3} \pi r^3) d g = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g$.
$(2 \pi r) T = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g - (\frac{2}{3} \pi r^3) d g$.
$(2 \pi r) T = (\frac{2}{3} \pi r^3) (2 Q - d) g$.
$T = \frac{1}{3} r^2 (2 Q - d) g$.
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 Q - d)}$.
$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 Q - d)}}$.
व्यास $D = 2r = 2 \sqrt{\frac{3 T}{g(2 Q - d)}} = \sqrt{\frac{4 \times 3 T}{g(2 Q - d)}} = \sqrt{\frac{12 T}{g(2 Q - d)}}$.

(A) ड्रम के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित द्रव के एक छोटे तत्व पर विचार करें जो $\omega$ कोणीय वेग से घूम रहा है।
$dm$ द्रव्यमान के इस तत्व के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल $dF = (dm) \omega^2 r$ है।
यह बल दबाव प्रवणता द्वारा प्रदान किया जाता है: $dP \cdot A = (dm) \omega^2 r$,जहाँ $dm = d \cdot A \cdot dr$ है।
$dm$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $dP \cdot A = (d \cdot A \cdot dr) \omega^2 r$.
सरल करने पर,हमें $dP = d \cdot \omega^2 r \cdot dr$ प्राप्त होता है।
केंद्र पर कुल दबाव वृद्धि ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करते हैं:
$\Delta P = \int_{0}^{R} d \cdot \omega^2 r \cdot dr = d \cdot \omega^2 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R}$.
$\Delta P = \frac{d \omega^2 R^2}{2}$.

(D) जब द्रव से भरे बेलनाकार पात्र को उसकी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः $\omega$ कोणीय गति से घुमाया जाता है,तो अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित द्रव के कण $v = r\omega$ के रेखीय वेग से घूमते हैं।
घूर्णन निर्देश तंत्र में बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करने पर,अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर प्रभावी दाब $P(r) = P_0 + \frac{1}{2}\rho r^2 \omega^2$ होता है,जहाँ $P_0$ केंद्र $(r=0)$ पर दाब है।
पात्र की कोर पर,$r = R$ है,इसलिए दाब $P_R = P_0 + \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$ होगा।
कोर और केंद्र के बीच दाब का अंतर $\Delta P = P_R - P_0 = \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$ है।
यह दाब अंतर द्रव स्तंभ की ऊँचाई के अंतर $h$ के कारण उत्पन्न हाइड्रोस्टेटिक दाब अंतर द्वारा संतुलित होता है,जो $\Delta P = \rho g h$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\rho g h = \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$।
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{R^2 \omega^2}{2g}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए सतह पर दबाव $P_1$ है और तली पर दबाव $P_2$ है। दिया गया है कि सतह पर दबाव $h$ मीटर पारे के स्तंभ के बराबर है, इसलिए $P_1 = h \rho g$ (जहाँ $\rho$ पानी के सापेक्ष पारे का घनत्व है)।
चूंकि तापमान स्थिर रहता है, हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है। व्यास दोगुना होने पर त्रिज्या भी दोगुनी हो जाती है, इसलिए $V_2 = 8 V_1$।
तली पर दबाव $P_2 = P_1 + H \rho_w g$ है, जहाँ $H$ झील की गहराई है।
मान रखने पर: $P_1 V_1 = (P_1 + H \rho_w g) (8 V_1)$।
$P_1 = 8 P_1 + 8 H \rho_w g$।
$H = 7 h \rho$।

(C) बूंद के संतुलन में रहने के लिए,नीचे की ओर लगने वाला बल (भार) ऊपर की ओर लगने वाले उत्प्लावन बल और संपर्क वृत्त की परिधि पर कार्य करने वाले पृष्ठ तनाव बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
बूंद का भार = $W = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g$
उत्प्लावन बल = $F_B = \text{डूबा हुआ आयतन} \times d \times g = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) dg = \frac{2}{3}\pi r^3 dg$
पृष्ठ तनाव बल = $F_T = T \times 2\pi r$
बलों को संतुलित करने पर: $W = F_B + F_T$
$\frac{4}{3}\pi r^3 \rho g = \frac{2}{3}\pi r^3 dg + 2\pi rT$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2\pi rT = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g - \frac{2}{3}\pi r^3 dg$
$2\pi rT = \frac{2}{3}\pi r^3 g (2\rho - d)$
$T = \frac{1}{3} r^2 g (2\rho - d)$
$r^2 = \frac{3T}{g(2\rho - d)}$
$r = \sqrt{\frac{3T}{g(2\rho - d)}}$
व्यास $D = 2r = 2\sqrt{\frac{3T}{g(2\rho - d)}} = \sqrt{\frac{12T}{g(2\rho - d)}}$.

(C) मान लीजिए झील की गहराई $h$ है और तली पर बुलबुले की त्रिज्या $r$ है।
तली पर दबाव $P_1 = P_0 + h \rho g$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
दिया गया है कि $P_0 = H \rho g$,इसलिए $P_1 = H \rho g + h \rho g = (H + h) \rho g$।
तली पर आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
सतह पर दबाव $P_2 = P_0 = H \rho g$ है और त्रिज्या $2r$ है।
सतह पर आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$:
$(H + h) \rho g \times \frac{4}{3} \pi r^3 = H \rho g \times 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$।
समान पदों को काटने पर: $H + h = 8H$।
अतः,$h = 7H$।

(D) बूंद निम्नलिखित बलों के प्रभाव में संतुलन में है:
बूंद का भार,$W = Mg = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ (नीचे की ओर)।
उत्प्लावन बल = विस्थापित द्रव का भार = $\frac{2}{3} \pi r^3 d g$ (ऊपर की ओर)।
पृष्ठ तनाव के कारण बल,$F = 2 \pi r T$ (ऊपर की ओर)।
संतुलन के लिए,नीचे की ओर लगने वाला बल ऊपर की ओर लगने वाले बलों के योग के बराबर होना चाहिए:
$Mg = F + F_{t}$
$F = Mg - F_{t}$
$2 \pi r T = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g - \frac{2}{3} \pi r^3 d g$
$2 \pi r T = \frac{2}{3} \pi r^3 (2 \rho - d) g$
$T = \frac{1}{3} r^2 (2 \rho - d) g$
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 \rho - d)}$
$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 \rho - d)}}$
व्यास $D = 2r = 2 \sqrt{\frac{3 T}{g(2 \rho - d)}} = \sqrt{\frac{12 T}{g(2 \rho - d)}}$.

(C) पृष्ठ तनाव के कारण साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दाब $p = \frac{4S}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है और $R$ त्रिज्या है।
दिया गया है कि स्थिर-विद्युत दाब $p = \frac{\sigma^2}{2 \varepsilon_0}$ है।
प्रश्न के अनुसार,पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दाब स्थिर-विद्युत दाब के बराबर है:
$\frac{4S}{R} = \frac{\sigma^2}{2 \varepsilon_0}$
$S$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$S = \frac{\sigma^2 R}{8 \varepsilon_0} \quad \dots (i)$
दिए गए मान: $\sigma = 20 \ \mu C \ m^{-2} = 20 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$,$R = 0.2 \ mm = 0.2 \times 10^{-3} \ m$,और $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 \ N^{-1} \ m^{-2}$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$S = \frac{(20 \times 10^{-6})^2 \times (0.2 \times 10^{-3})}{8 \times 8.85 \times 10^{-12}}$
$S = \frac{400 \times 10^{-12} \times 0.2 \times 10^{-3}}{70.8 \times 10^{-12}}$
$S = \frac{80 \times 10^{-15}}{70.8 \times 10^{-12}} \approx 1.13 \times 10^{-3} \ N \ m^{-1} = 11.3 \times 10^{-4} \ N \ m^{-1}$.

(B) रीजेलेशन (Regelation) एक भौतिक घटना है जिसमें दाब लगाने पर पानी का हिमांक कम हो जाता है। जब दाब हटा दिया जाता है,तो पानी फिर से जम जाता है। यही कारण है कि बर्फ को दबाकर विभिन्न आकृतियों में ढाला जा सकता है,क्योंकि दाब के तहत बर्फ पिघल जाती है और दाब हटने पर फिर से जम जाती है।

(C) कथन $A$: द्रवों में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अंतर-आणविक आकर्षण बल कम हो जाते हैं,जिससे श्यानता में कमी आती है। गैसों में,श्यानता मुख्य रूप से आणविक टक्करों के कारण होती है। तापमान बढ़ने पर अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग (rms velocity) बढ़ जाता है,जिससे टक्करें अधिक होती हैं और श्यानता बढ़ जाती है।
कथन $B$: पानी तैलीय कांच को नहीं भिगोता है क्योंकि पानी और तेल के बीच का आसंजक बल (adhesive force),पानी के अणुओं के ससंजक बल से कम होता है।
कथन $C$: एक द्रव ठोस सतह को तभी भिगोता है जब संपर्क कोण न्यून ($90^{\circ}$ से कम) हो। यदि संपर्क कोण $90^{\circ}$ से अधिक है,तो द्रव सतह को नहीं भिगोता है।
अतः,कथन $A$ सही है,जबकि कथन $B$ और $C$ गलत हैं।

(C) जब बर्फ के दो टुकड़ों को एक-दूसरे के विरुद्ध दबाया जाता है,तो संपर्क सतह पर दबाव बढ़ जाता है। पानी के फेज डायग्राम के अनुसार,दबाव बढ़ने पर बर्फ का गलनांक कम हो जाता है। इसके कारण संपर्क सतह पर बर्फ पिघलकर पानी बन जाती है। जब दबाव हटा लिया जाता है,तो पानी फिर से जम जाता है,जिससे दोनों टुकड़े जुड़कर एक एकल टुकड़ा बन जाते हैं। इस घटना को 'रीजेलेशन' (Regelation) कहा जाता है।

(B) मान लीजिए कि झील की गहराई $d$ है और तली पर बुलबुले का आयतन $V$ है। सतह पर इसका आयतन $5V$ हो जाता है।
बॉयल के नियम के अनुसार, चूंकि तापमान स्थिर है, $P_1 V_1 = P_2 V_2$ होगा।
तली पर, दबाव $P_1$ वायुमंडलीय दबाव और $d$ गहराई के जल स्तंभ के कारण दबाव का योग है: $P_1 = P_{atm} + \rho g d = \rho g H + \rho g d = \rho g(H + d)$।
सतह पर, दबाव $P_2$ वायुमंडलीय दबाव के बराबर है: $P_2 = P_{atm} = \rho g H$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\rho g(H + d) \times V = \rho g H \times 5V$।
दोनों पक्षों को $\rho g V$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $H + d = 5H$।
अतः, $d = 5H - H = 4H$।

(C) बूंद के संतुलन में रहने के लिए,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ऊपर की ओर कार्य करने वाले उत्प्लावन बल और पृष्ठ तनाव बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
बूंद का भार = $\frac{4}{3} \pi r^3 d g$.
उत्प्लावन बल (ऊपर की ओर) = विस्थापित द्रव का भार = $\frac{2}{3} \pi r^3 \rho g$ (क्योंकि यह आधी डूबी हुई है)।
पृष्ठ तनाव बल (ऊपर की ओर) = $T \times (2 \pi r)$.
बलों को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi r^3 d g = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho g + 2 \pi r T$.
$\pi r$ से भाग देने पर: $\frac{4}{3} r^2 d g = \frac{2}{3} r^2 \rho g + 2 T$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $r^2 g (\frac{4}{3} d - \frac{2}{3} \rho) = 2 T$.
$r^2 g (\frac{2}{3} (2 d - \rho)) = 2 T$.
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 d - \rho)}$.
अतः,$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 d - \rho)}}$.

(A) जब द्रव से भरे बेलनाकार पात्र को उसकी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः कोणीय वेग $\omega$ से घुमाया जाता है, तो द्रव की सतह परवलयाकार (paraboloid) आकार ले लेती है।
मान लीजिए $r$ पात्र की त्रिज्या है और $h$ केंद्र और भुजाओं पर द्रव के स्तर के बीच ऊँचाई का अंतर है।
अक्ष से $r$ दूरी पर सतह पर स्थित द्रव के एक कण के लिए, घूर्णन फ्रेम में कार्य करने वाले बल अभिकेंद्री बल $(m r \omega^2)$ और गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ हैं।
द्रव की सतह का ढाल $\frac{dh}{dr} = \frac{r \omega^2}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका $r=0$ से $r=R$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^h dh = \int_0^R \frac{\omega^2}{g} r dr$
$h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$
दिया गया है $R = 0.05 \,m$, $\omega = 10 \,rad \,s^{-1}$, और $g = 10 \,m \,s^{-2}$:
$h = \frac{(10)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10}$
$h = \frac{100 \times 0.0025}{20} = \frac{0.25}{20} = 0.0125 \,m$
$h = 125 \times 10^{-4} \,m$.

(A) स्टोक्स का नियम श्यान तरल पदार्थ में गति करने वाली गोलाकार वस्तुओं पर लगने वाले श्यान खिंचाव बल (viscous drag force) का वर्णन करता है,जो आमतौर पर कम रेनॉल्ड्स संख्या पर होता है।
अशांत प्रवाह (Turbulence) प्रवाह की एक ऐसी स्थिति है जो दबाव और प्रवाह वेग में अराजक परिवर्तनों द्वारा पहचानी जाती है,जो अक्सर रेनॉल्ड्स संख्या के उच्च मानों से जुड़ी होती है।
बर्नौली का सिद्धांत बताता है कि एक असंपीड्य,गैर-श्यान तरल के स्थिर प्रवाह के लिए,तरल की गति में वृद्धि के साथ दबाव में कमी या तरल की स्थितिज ऊर्जा में कमी होती है।
पास्कल का नियम बताता है कि एक सीमित असंपीड्य तरल में किसी भी बिंदु पर लगाया गया दबाव परिवर्तन पूरे तरल में समान रूप से प्रसारित होता है। इस सिद्धांत का एक सामान्य अनुप्रयोग हाइड्रोलिक लिफ्ट है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 3 \ mm^3$,गहराई $h = 5 \ m$.
सतह पर दबाव $P_2 = 1 \ atm = 10^5 \ Pa$.
तल पर दबाव $P_1 = P_{atm} + \rho g h$.
घनत्व को $SI$ इकाइयों में बदलने पर: $\rho = 1 \ g/cm^3 = 1000 \ kg/m^3$.
$P_1 = 10^5 + (1000 \times 9.8 \times 5) = 10^5 + 49000 = 1.49 \times 10^5 \ Pa$.
चूंकि तापमान स्थिर है,बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$V_2 = \frac{P_1 V_1}{P_2} = \frac{1.49 \times 10^5 \times 3}{10^5} = 1.49 \times 3 = 4.47 \ mm^3$.
निकटतम मान लेने पर,$V_2 \approx 4.5 \ mm^3$.

(C) दिया गया है, नदी का वेग, $v = 2 \,m/s$.
पानी का घनत्व, $\rho = 1.2 \,g/cc$.
$1 \,m^3$ पानी का द्रव्यमान ज्ञात करने के लिए:
$\rho = 1.2 \,g/cm^3 = 1.2 \times \frac{10^{-3} \,kg}{(10^{-2} \,m)^3} = 1.2 \times 10^3 \,kg/m^3$.
अतः, $1 \,m^3$ पानी का द्रव्यमान $m = 1.2 \times 10^3 \,kg$ है।
गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^3 \,kg) \times (2 \,m/s)^2$.
$K = 0.5 \times 1.2 \times 10^3 \times 4$.
$K = 2.4 \times 10^3 \,J = 2.4 \,kJ$.

(C) मान लीजिए पानी का घनत्व $\rho$ है,पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है और पानी का वेग $v$ है।
प्रति सेकंड प्रवाहित पानी का द्रव्यमान $m = A v \rho$ द्वारा दिया जाता है ...$(i)$।
इस पानी को पहुंचाने के लिए आवश्यक शक्ति $P$,पानी की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर के बराबर होती है:
$P = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (A v \rho) v^2 = \frac{1}{2} A \rho v^3$ ...(ii)।
यदि हम उसी समय में $n$-गुना द्रव्यमान पहुंचाना चाहते हैं,तो नई द्रव्यमान प्रवाह दर $m' = n m$ होगी।
चूंकि $m = A v \rho$,इसलिए $n (A v \rho) = A v' \rho$,जिसका अर्थ है $v' = n v$।
आवश्यक नई शक्ति $P' = \frac{1}{2} A \rho (v')^3$ है।
नई शक्ति और मूल शक्ति का अनुपात लेने पर:
$\frac{P'}{P} = \frac{\frac{1}{2} A \rho (n v)^3}{\frac{1}{2} A \rho v^3} = n^3$।
अतः,शक्ति को $n^3$-गुना बढ़ाया जाना चाहिए।

(D) जब $U$-ट्यूब को दाईं ओर '$f$' त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है,तो तरल पर विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo-force) कार्य करता है।
मान लीजिए कि तरल की सतह का क्षैतिज के साथ कोण $\theta$ है।
तरल पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण गुरुत्वीय त्वरण '$g$' (नीचे की ओर) और छद्म त्वरण '$f$' (बाईं ओर) का सदिश योग है।
कोण $\theta$ का टेंजेंट क्षैतिज त्वरण और ऊर्ध्वाधर त्वरण के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{f}{g}$
$U$-ट्यूब की ज्यामिति से,जहाँ '$h$' ऊँचाई का अंतर है और '$a$' दो भुजाओं के बीच की क्षैतिज दूरी है:
$\tan \theta = \frac{h}{a}$
$\tan \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{a} = \frac{f}{g}$
अतः,ऊँचाई का अंतर है:
$h = \frac{f a}{g}$

(D) माना बूंद का द्रव्यमान $m$ है।
बूंद का भार $W = mg$ है,जो नीचे की दिशा में कार्य करता है।
नल के मुख पर बूंद पर कार्य करने वाला पृष्ठ तनाव बल $F_s = \sigma \cdot 2\pi R$ है,जहाँ $R$ नल के मुख की त्रिज्या है। यह बल ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
पानी की बूंद तब अलग होगी जब बूंद का भार पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाले ऊपर के बल से अधिक हो जाए:
$mg > \sigma \cdot 2\pi R$
चूंकि गोलाकार बूंद का द्रव्यमान $m = V \cdot \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ है,जहाँ $r$ बूंद की त्रिज्या है,हम इस मान को असमानता में रखते हैं:
$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g > \sigma \cdot 2\pi R$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r^3 > \frac{2\pi R \sigma \cdot 3}{4\pi \rho g}$
$r^3 > \frac{3 R \sigma}{2 \rho g}$
$r > \left( \frac{3 R \sigma}{2 \rho g} \right)^{1/3}$
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,कोई भी विकल्प $A$,$B$ या $C$ प्राप्त समीकरण से मेल नहीं खाता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है,नोजल का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \frac{5}{\sqrt{21}} \times 10^{-3} \text{ m}^2$.
आयतन प्रवाह दर $Q = \frac{1 \text{ m}^3}{10 \text{ s}} = 0.1 \text{ m}^3/\text{s}$.
पानी का वेग $v = \frac{Q}{A} = \frac{0.1}{\frac{5}{\sqrt{21}} \times 10^{-3}} = \frac{10^{-1} \times \sqrt{21}}{5 \times 10^{-3}} = 20\sqrt{21} \text{ m/s}$.
जब पानी एक कठोर दीवार से टकराता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। तापमान में अधिकतम संभव वृद्धि $\Delta T$ ऊर्जा संतुलन समीकरण द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{2}mv^2 = ms\Delta T$.
यहाँ,$s$ पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता है $= 4.2 \times 10^3 \text{ J/(kg} \cdot ^{\circ}\text{C)}$.
अतः,$\Delta T = \frac{v^2}{2s} = \frac{(20\sqrt{21})^2}{2 \times 4.2 \times 10^3}$.
$\Delta T = \frac{400 \times 21}{8.4 \times 10^3} = \frac{8400}{8400} = 1^{\circ} \text{C}$.

(D) पास्कल के नियम के अनुसार,स्थिर द्रव में किसी भी बिंदु पर दाब सभी दिशाओं में समान होता है।
द्रव का दाब द्रव के भीतर प्रत्येक बिंदु पर मौजूद होता है,न कि केवल सीमाओं पर या संपर्क में आने वाली ठोस सतहों पर। इसलिए,कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$ के संबंध में,द्रव की सतह पर स्थित अणुओं के पास आंतरिक भाग में स्थित अणुओं की तुलना में कम पड़ोसी अणु होते हैं,जिससे एक शुद्ध अंदर की ओर बल कार्य करता है। इसके परिणामस्वरूप सतह के अणुओं की स्थितिज ऊर्जा आंतरिक अणुओं की तुलना में अधिक होती है,जो पृष्ठ तनाव का भौतिक कारण है। इसलिए,कथन $II$ सत्य है।