Multiplication of Vectors Questions in Gujarati

(A) બે સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|A||B|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) ગણો: $\vec A \cdot \vec B = (3)(3) + (4)(4) + (5)(-5) = 9 + 16 - 25 = 0$.
ત્યારબાદ,સદિશોના માન (magnitudes) ગણો: $|A| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$ અને $|B| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{0}{50} = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થાય.

(B) બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: $\cos \theta = \frac{\vec F_1 \cdot \vec F_2}{|\vec F_1| |\vec F_2|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec F_1 \cdot \vec F_2 = (5 \times 10) + (10 \times -5) + (-20 \times -15) = 50 - 50 + 300 = 300$.
ત્યારબાદ,મૂલ્યોની ગણતરી કરો: $|\vec F_1| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-20)^2} = \sqrt{25 + 100 + 400} = \sqrt{525} \approx 22.91$.
$|\vec F_2| = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{100 + 25 + 225} = \sqrt{350} \approx 18.71$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો: $\cos \theta = \frac{300}{\sqrt{525} \times \sqrt{350}} = \frac{300}{\sqrt{183750}} \approx \frac{300}{428.66} \approx 0.70$.
કારણ કે $\cos 45^\circ \approx 0.707$,તેથી ખૂણો $\theta$ આશરે $45^\circ$ છે.

(C) ધારો કે બે સદિશો $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ અને $\overrightarrow{B} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}$ છે.
જ્યારે બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય,ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}) = 0$
$(2)(-4) + (3)(4) + (8)(\alpha) = 0$
$-8 + 12 + 8\alpha = 0$
$4 + 8\alpha = 0$
$8\alpha = -4$
$\alpha = -4/8 = -0.5$.

(B) આપેલ પદ એ $\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ સ્વરૂપનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો મુજબ,સદિશ $\overrightarrow{C} = (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
કારણ કે $\overrightarrow{C}$ એ $\overrightarrow{A}$ ને લંબ છે,તેથી $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{C}$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
ગાણિતિક રીતે,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$ કારણ કે સદિશ $(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ એ $\overrightarrow{A}$ ને લંબ સમતલમાં રહેલો છે.

(C) બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ (anti-commutative) હોય છે,એટલે કે $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = -(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$.
આપેલ શરત $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}$ મુજબ,આપણે સમીકરણમાં એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ ગુણધર્મ મૂકતા:
$-(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$,અથવા $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = 0$.
સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}| = |A||B| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવા માટે,$\sin \theta$ નું મૂલ્ય $0$ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$ હોય ત્યારે શક્ય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\pi$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow A \times \overrightarrow B$ નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix}$
$= \hat i(1 \times 4 - 2 \times -2) - \hat j(3 \times 4 - 2 \times 2) + \hat k(3 \times -2 - 1 \times 2)$
$= \hat i(4 + 4) - \hat j(12 - 4) + \hat k(-6 - 2)$
$= 8\hat i - 8\hat j - 8\hat k$
હવે,તેનું માન નીચે મુજબ મળે છે:
$|\overrightarrow A \times \overrightarrow B | = \sqrt{(8)^2 + (-8)^2 + (-8)^2}$
$= \sqrt{64 + 64 + 64}$
$= \sqrt{3 \times 64}$
$= 8\sqrt 3 $

(D) સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow C = \overrightarrow A \times \overrightarrow B$ નું પરિણામ એક સદિશ $\overrightarrow C$ છે જે $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
કારણ કે $\overrightarrow C$ સમતલને લંબ છે,તે તે સમતલમાં રહેલા કોઈપણ સદિશને લંબ હોય છે.
$1$. સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ $\overrightarrow C \perp \overrightarrow A$ અને $\overrightarrow C \perp \overrightarrow B$ સાચા છે.
$2$. સદિશ સરવાળો $(\overrightarrow A + \overrightarrow B)$ પણ $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ વાળા સમતલમાં જ રહેલો હોય છે,તેથી $\overrightarrow C \perp (\overrightarrow A + \overrightarrow B)$ પણ સાચું છે.
$3$. વિધાન $\overrightarrow C \perp (\overrightarrow A \times \overrightarrow B)$ નો અર્થ એ થાય કે $\overrightarrow C \perp \overrightarrow C$,જે શૂન્યતર સદિશ માટે અશક્ય છે કારણ કે કોઈ સદિશ પોતાની જાતને લંબ હોઈ શકે નહીં. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(D) બે સદિશો $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ અને $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$ નો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{F}_1 = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{F}_2 = 0\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ આપેલ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 = (2)(0) + (0)(3) + (5)(4)$.
$\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 = 0 + 0 + 20 = 20$.
આમ,અદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $20$ છે.

(C) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોય.
ધારો કે આપેલ સદિશ $\overrightarrow{F} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$ છે.
કોઈ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $\overrightarrow{F}$ ને લંબ હોય તે માટે $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{A} = 0$ થવું જોઈએ.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\overrightarrow{A} = 7\hat{k}$.
$\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{A} = (4\hat{i} - 3\hat{j}) \cdot (7\hat{k}) = 4(0) - 3(0) + 0(7) = 0$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશ $7\hat{k}$ એ $\overrightarrow{F}$ ને લંબ છે.

(D) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો સદિશો એકબીજાને કાટખૂણે હોય,તો $\theta = 90^\circ$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos 90^\circ$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ છે,તેથી અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A} = -2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) $\vec{A} \cdot \vec{B}$ શોધો:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(-4) = -2 + 6 - 4 = 0$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$ મળે છે.
તેથી,$\theta = 90^\circ$ થાય.

(C) ધારો કે $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{B} = \hat{j} + \hat{k}$ છે.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{j} + \hat{k}) = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1$ થાય છે.
તેમના માન $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ અને $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$ થાય.

(A) બે સદિશો $\overrightarrow{P}$ અને $\overrightarrow{Q}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{Q} = PQ \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{Q} = PQ$.
વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $PQ \cos \theta = PQ$ મળે છે.
બંને બાજુ $PQ$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $P, Q \neq 0$),આપણને $\cos \theta = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 0^\circ = 1$ થાય છે,તેથી ખૂણો $\theta = 0^\circ$ હોવો જોઈએ.

(C) બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}| \cos \theta$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (5\hat{i} + 5\hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 5\hat{j}) = (5 \times 5) + (5 \times -5) = 25 - 25 = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી $0 = |\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}| \cos \theta$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^\circ$.

(A) બે સદિશો લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\overrightarrow P \cdot \overrightarrow Q = 0$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow P = a\hat i + a\hat j + 3\hat k$ અને $\overrightarrow Q = a\hat i - 2\hat j - \hat k$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(a)(a) + (a)(-2) + (3)(-1) = 0$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $a^2 - 2a - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a - 3)(a + 1) = 0$.
આથી $a = 3$ અથવા $a = -1$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં $a$ નું ધન મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,$a = 3$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) બે સદિશો $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $Area = |\overrightarrow A \times \overrightarrow B|$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow A = 2\hat i + 3\hat j$ અને $\overrightarrow B = \hat i + 4\hat j$.
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = (2\hat i + 3\hat j) \times (\hat i + 4\hat j)$.
સદિશ ગુણાકારના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા $(\hat i \times \hat i = 0, \hat j \times \hat j = 0, \hat i \times \hat j = \hat k, \hat j \times \hat i = -\hat k)$:
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = 2(4)(\hat i \times \hat j) + 3(1)(\hat j \times \hat i) = 8\hat k - 3\hat k = 5\hat k$.
તેનું માન $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B| = |5\hat k| = 5$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $5 \text{ units}^2$ છે.

(D) સદિશ $\overrightarrow{F}_1$ એ ધન $X$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી તેને $\overrightarrow{F}_1 = a\hat{i}$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $a > 0$ છે.
બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર ત્યારે જ શૂન્ય થાય જો સદિશો સમરેખ (સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર) હોય.
કારણ કે $\overrightarrow{F}_1 \times \overrightarrow{F}_2 = 0$ છે,તેથી સદિશ $\overrightarrow{F}_2$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,$\overrightarrow{F}_2$ એ $k\hat{i}$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ,જ્યાં $k$ એ કોઈ પણ શૂન્યતર અદિશ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$-4\hat{i}$ એ એકમાત્ર સદિશ છે જે $X$-અક્ષને સમાંતર છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = |A||B| \sin \theta \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\vec{A} \times \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|A||B| \sin \theta = 0$.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$\sin \theta = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0^\circ$ અથવા $\theta = 180^\circ$.
તેથી,સદિશો એકબીજાને સમાંતર છે.

(B) બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ (ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી) છે,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow {A} \times \overrightarrow {B} = -(\overrightarrow {B} \times \overrightarrow {A})$.
આ દર્શાવે છે કે સદિશ $(\overrightarrow {A} \times \overrightarrow {B})$ નું મૂલ્ય સમાન છે પરંતુ તેની દિશા સદિશ $(\overrightarrow {B} \times \overrightarrow {A})$ ની વિરુદ્ધ છે.
આથી,આ બંને સદિશો એકબીજાને પ્રતિ-સમાંતર (anti-parallel) હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ અથવા $\pi$ રેડિયન થાય છે.

(B) સદિશ સરવાળો $(\overrightarrow P + \overrightarrow Q)$ એ સદિશો $\overrightarrow P$ અને $\overrightarrow Q$ દ્વારા બનતા સમતલમાં રહેલો છે.
સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) ની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $(\overrightarrow P \times \overrightarrow Q)$ એ હંમેશા $\overrightarrow P$ અને $\overrightarrow Q$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
જેથી $(\overrightarrow P + \overrightarrow Q)$ સમતલમાં છે અને $(\overrightarrow P \times \overrightarrow Q)$ સમતલને લંબ છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.

(D) ધારો કે બે સદિશોના મૂલ્યો $A = 2$ અને $B = 3$ છે. પરિણામી સદિશ $R$ નું સૂત્ર $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = 1$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2^2 + 3^2 + 2(2)(3) \cos \theta = 1^2$ મળે.
$4 + 9 + 12 \cos \theta = 1$.
$13 + 12 \cos \theta = 1$.
$12 \cos \theta = -12$,જે દર્શાવે છે કે $\cos \theta = -1$.
તેથી,$\theta = 180^\circ$.
બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 180^\circ$ હોવાથી,$\sin 180^\circ = 0$ થાય.
આમ,$|\vec{A} \times \vec{B}| = 2 \times 3 \times 0 = 0$.

(D) ધારો કે $\vec{A} = 6\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{B} = 7\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = (6)(7) + (6)(4) + (-3)(4) = 42 + 24 - 12 = 54$.
$\vec{A}$ નું માન $|\vec{A}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9$ છે.
$\vec{B}$ નું માન $|\vec{B}| = \sqrt{7^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$ છે.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos \theta = \frac{54}{9 \times 9} = \frac{54}{81} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{2}{3}$,આપણે $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (2/3)^2} = \sqrt{1 - 4/9} = \sqrt{5/9} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ શોધી શકીએ છીએ.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$.

(B) ધારો કે ઉપરની શિરોલંબ દિશા એકમ સદિશ $\hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી,$\vec{A} = A\hat{k}$.
ધારો કે ઉત્તર દિશા એકમ સદિશ $\hat{j}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી,$\vec{B} = B\hat{j}$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = (A\hat{k}) \times (B\hat{j})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$.
તેથી,$\vec{A} \times \vec{B} = AB(-\hat{i}) = -AB\hat{i}$.
અહીં એકમ સદિશ $\hat{i}$ એ પૂર્વ દિશા દર્શાવે છે,તેથી $-\hat{i}$ એ પશ્ચિમ દિશા દર્શાવે છે.
આમ,$\vec{A} \times \vec{B}$ ની દિશા પશ્ચિમ તરફ છે.

(D) ધારો કે $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{B} = \hat{i} - \hat{k}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટ (અદિશ ગુણાકાર) $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(-1) = 1$ દ્વારા મળે છે.
તેમના માન $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ અને $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B | = |\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B |$.
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$|\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \sin \theta = |\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \cos \theta$.
બંને બાજુને $|\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \cos \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\overrightarrow A, \overrightarrow B \neq 0$):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$.
આમ,$\tan 45^\circ = 1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 45^\circ$ મળે.

(A) જમણા હાથની કાર્ટેઝિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં,એકમ સદિશો $\hat i, \hat j, \hat k$ ચક્રીય ક્રમ $\hat i \times \hat j = \hat k$,$\hat j \times \hat k = \hat i$,અને $\hat k \times \hat i = \hat j$ અનુસરે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\hat j \times \hat k = \hat i$ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\hat i \cdot \hat i = 1$ ($0$ નથી).
વિકલ્પ $C$ માટે: $\hat j \times \hat j = 0$ ($1$ નથી).
વિકલ્પ $D$ માટે: $\hat k \cdot \hat j = 0$ (કારણ કે તેઓ લંબ છે,$1$ નથી).
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો સંબંધ છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec a \cdot \vec b = 0$,જેનો અર્થ છે કે સદિશ $\vec a$ એ સદિશ $\vec b$ ને લંબ છે.
આપેલ છે કે $\vec a \cdot \vec c = 0$,જેનો અર્થ છે કે સદિશ $\vec a$ એ સદિશ $\vec c$ ને લંબ છે.
સદિશ ગુણાકાર (cross product) ની વ્યાખ્યા મુજબ,$\vec b \times \vec c$ એવો સદિશ આપે છે જે $\vec b$ અને $\vec c$ બંનેને લંબ હોય છે.
આમ,$\vec a$ એ $\vec b$ અને $\vec c$ બંનેને લંબ હોવાથી,$\vec a$ એ $\vec b \times \vec c$ ને સમાંતર હશે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ છે.
અહીં $\vec{d_1} = 2\,\hat{i}$ અને $\vec{d_2} = 2\,\hat{j}$ આપેલ છે.
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (2\,\hat{i}) \times (2\,\hat{j}) = 4(\hat{i} \times \hat{j}) = 4\,\hat{k}$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4\,\hat{k}| = \frac{1}{2} \times 4 = 2\,\text{ચોરસ એકમ}$.

(C) ધારો કે $\vec A = 2\hat i + 2\hat j - \hat k$ અને $\vec B = 6\hat i - 3\hat j + 2\hat k$.
$\vec A$ અને $\vec B$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec C = \vec A \times \vec B$ દ્વારા મળે છે.
$\vec C = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat i(4 - 3) - \hat j(4 + 6) + \hat k(-6 - 12) = \hat i - 10\hat j - 18\hat k$.
એકમ સદિશ $\hat n = \frac{\vec C}{|\vec C|}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec C| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + (-18)^2} = \sqrt{1 + 100 + 324} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17}$.
તેથી,$\hat n = \frac{\hat i - 10\hat j - 18\hat k}{5\sqrt{17}}$.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $\vec{A} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{B} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે: $\text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}|$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((1)(-1) - (3)(2)) - \hat{j}((0)(-1) - (3)(1)) + \hat{k}((0)(2) - (1)(1))$
$= \hat{i}(-1 - 6) - \hat{j}(0 - 3) + \hat{k}(0 - 1)$
$= -7\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$.
હવે,મળેલા સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-7)^2 + (3)^2 + (-1)^2}$
$= \sqrt{49 + 9 + 1} = \sqrt{59}$ ચો. એકમ.

(D) અહીં આપણે સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$(\vec A + \vec B) \times (\vec A - \vec B) = \vec A \times \vec A - \vec A \times \vec B + \vec B \times \vec A - \vec B \times \vec B$
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે ($\vec A \times \vec A = 0$ અને $\vec B \times \vec B = 0$):
$= 0 - (\vec A \times \vec B) + (\vec B \times \vec A) - 0$
સદિશ ગુણાકારના ક્રમના નિયમ (anticommutative property) મુજબ $(\vec A \times \vec B = -(\vec B \times \vec A))$:
$= -(\vec A \times \vec B) + (\vec B \times \vec A) = (\vec B \times \vec A) + (\vec B \times \vec A) = 2(\vec B \times \vec A)$

(D) બે સદિશો લંબ હોય તો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec A \cdot \vec B = 0$.
આપેલ છે કે $\vec A = 5\hat i + 7\hat j - 3\hat k$ અને $\vec B = 2\hat i + 2\hat j - a\hat k$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(5\hat i + 7\hat j - 3\hat k) \cdot (2\hat i + 2\hat j - a\hat k) = 0$
$(5)(2) + (7)(2) + (-3)(-a) = 0$
$10 + 14 + 3a = 0$
$24 + 3a = 0$
$3a = -24$
$a = -8$.

(B) બે પાસપાસેના સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $\text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}|$.
ધારો કે $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{B} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2(1) - 3(-2)) - \hat{j}(1(1) - 3(3)) + \hat{k}(1(-2) - 2(3))$
$= \hat{i}(2 + 6) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(-2 - 6)$
$= 8\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}$
તેનું માન (magnitude) છે:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B| \cos 90^\circ$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ છે,તેથી અદિશ ગુણાકાર $|A||B| \times 0 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: $|\vec A \times \vec B| = \sqrt 3 (\vec A \cdot \vec B)$
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા: $AB \sin \theta = \sqrt 3 AB \cos \theta$
બંને બાજુ $AB \cos \theta$ વડે ભાગતા: $\tan \theta = \sqrt 3$
તેથી,$\theta = 60^\circ$
પરિણામી સદિશ $|\vec A + \vec B|$ નું મૂલ્ય: $|\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
$\theta = 60^\circ$ મૂકતા: $|\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos 60^\circ}$
કારણ કે $\cos 60^\circ = 1/2$ છે: $|\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1/2)}$
તેથી,$|\vec A + \vec B| = (A^2 + B^2 + AB)^{1/2}$

(C) બે સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ નો સદિશ ગુણાકાર $\vec A \times \vec B = AB \sin \theta \, \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે અને $\hat{n}$ એ $\vec A$ અને $\vec B$ ધરાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે.
જો બે સદિશો સમાંતર હોય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થાય છે.
કારણ કે $\sin(0^\circ) = 0$ છે,તેથી સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $AB \sin(0^\circ) = 0$ થાય છે.
બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર એ એક સદિશ રાશિ છે. તેથી,બે સમાંતર સદિશોના સદિશ ગુણાકારનું પરિણામ શૂન્ય સદિશ મળે છે,જેને $\vec{0}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ શોધો:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -6 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-2) - (2)(1)) - \hat{j}((3)(-2) - (2)(2)) + \hat{k}((3)(1) - (-6)(2))$
$= \hat{i}(12 - 2) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(3 + 12)$
$= 10\hat{i} + 10\hat{j} + 15\hat{k}$.
હવે,તેનું માન $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ શોધો:
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{10^2 + 10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 100 + 225} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17}$.
તેથી,$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 5\sqrt{17} = \frac{5}{2}\sqrt{17}$ ચો. એકમ.

(D) સદિશ $\vec{A}$ નો સદિશ $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\vec{A}_{\text{along } B} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} \right) \hat{B} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|^2} \right) \vec{B}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = (3\hat{i} + \hat{j}) \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}) = (3)(0) + (1)(1) + (0)(2) = 1$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{B}$ ના માનનો વર્ગ $|\vec{B}|^2 = (0)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$ મેળવો.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\vec{A}_{\text{along } B} = \frac{1}{5} (\hat{j} + 2\hat{k})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = |A||B| \sin(\theta) \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,તો $\sin(\theta) = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0^\circ$ અથવા $\theta = 180^\circ$.
આનો અર્થ એ છે કે બંને સદિશો સમરેખ (સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર) હોવા જોઈએ.
આપેલ છે કે $\vec{F_1}$ એ ધન $X$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{F_1} = c\hat{i}$ જ્યાં $c > 0$.
$\vec{F_2}$ ને $\vec{F_1}$ સાથે સમરેખ થવા માટે,તે કોઈપણ અદિશ $k$ માટે $k\hat{i}$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો જોતા,વિકલ્પ $D$ એ $-4\hat{i}$ છે,જે $X$-અક્ષને સમાંતર (પ્રતિ-સમાંતર) છે.
તેથી,સદિશ ગુણાકાર $\vec{F_1} \times \vec{F_2} = (c\hat{i}) \times (-4\hat{i}) = -4c(\hat{i} \times \hat{i}) = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$,જે સૂચવે છે કે $\vec{A}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર છે $(\vec{A} \parallel \vec{B})$.
આપેલ છે કે $\vec{B} \times \vec{C} = \vec{0}$,જે સૂચવે છે કે $\vec{B}$ એ $\vec{C}$ ને સમાંતર છે $(\vec{B} \parallel \vec{C})$.
આમ,$\vec{A}$ અને $\vec{C}$ બંને એક જ સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\vec{A}$ એ $\vec{C}$ ને સમાંતર થાય $(\vec{A} \parallel \vec{C})$.
તેથી,$\vec{A}$ અને $\vec{C}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ છે.

(A) સદિશ $\vec{a}$ ની દિશામાં સદિશ $\vec{r}$ નો ઘટક એ $\vec{r}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
આ એક સદિશ રાશિ છે જેને પ્રક્ષેપ સદિશ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$\vec{r}$ નો $\vec{a}$ પરના પ્રક્ષેપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{ઘટક} = (\vec{r} \cdot \hat{a}) \hat{a}$
એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{a}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$\text{ઘટક} = \left( \vec{r} \cdot \frac{\vec{a}}{a} \right) \frac{\vec{a}}{a}$
$\text{ઘટક} = \frac{(\vec{r} \cdot \vec{a}) \vec{a}}{a^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ છે.
અહીં $\vec{d_1} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(12 - (-2)) + \hat{k}(-9 - 1) = -2\hat{i} - 14\hat{j} - 10\hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન (magnitude) શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 196 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
છેલ્લે,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) ધારો કે $\vec{C} = \vec{B} \times \vec{A}$.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશ $\vec{C}$ એ $\vec{B}$ અને $\vec{A}$ બંનેને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{C} \cdot \vec{A} = 0$,કારણ કે બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર હંમેશા શૂન્ય થાય છે.
આમ,$(\vec{B} \times \vec{A}) \cdot \vec{A} = 0$.

(D) ધારો કે $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર (dot product) ગણતા: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(-3) + (3)(0) + (1)(6) = -6 + 0 + 6 = 0$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\cos\theta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^\circ$ થાય.

(B) ધારો કે શિરોલંબ ઉપરની દિશા એકમ સદિશ $\hat{k}$ દ્વારા અને ઉત્તર દિશા એકમ સદિશ $\hat{j}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,$\vec{A} = A\hat{k}$ અને $\vec{B} = B\hat{j}$ થાય.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = (A\hat{k}) \times (B\hat{j})$ દ્વારા મળે છે.
એકમ સદિશોના સદિશ ગુણાકારના નિયમો મુજબ,$\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ થાય.
તેથી,$\vec{A} \times \vec{B} = -AB\hat{i}$ મળે.
એકમ સદિશ $-\hat{i}$ પશ્ચિમ દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે. તેથી,સદિશ ગુણાકાર પશ્ચિમ દિશામાં છે.

(B) સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n}$ ને $\hat{n} = \frac{\vec{P} \times \vec{Q}}{|\vec{P} \times \vec{Q}|}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec{P} \times \vec{Q}| = PQ \sin \theta$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\hat{n} = \frac{\vec{P} \times \vec{Q}}{PQ \sin \theta}$ મળે છે.
કારણ કે $\hat{P} = \frac{\vec{P}}{P}$ અને $\hat{Q} = \frac{\vec{Q}}{Q}$ હોવાથી,આપણે આ પદને $\hat{n} = \frac{\vec{P}}{P} \times \frac{\vec{Q}}{Q} \cdot \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\hat{P} \times \hat{Q}}{\sin \theta}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.

(C) $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 \times 2 - 0 \times 1) - \hat{j}(3 \times 2 - 0 \times 0) + \hat{k}(3 \times 1 - 1 \times 0) = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{7} = \frac{2}{7}\hat{i} - \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{3}{7}\hat{k}$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ $(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ છે.
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) + \vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$.
પદ $\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ એ સદિશો $\vec{A}, \vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ત્રિગુણક છે. અહીં બે સદિશો સમાન હોવાથી,બનતા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ શૂન્ય થાય,તેથી $\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = 0$.
તે જ રીતે,$\vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ એ સદિશો $\vec{B}, \vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ત્રિગુણક છે. બે સદિશો સમાન હોવાથી,$\vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = 0$.
તેથી,કુલ મૂલ્ય $0 + 0 = 0$ થાય છે.

(D) બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ (anti-commutative) છે,એટલે કે $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$.
આપેલ શરત $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{A}$ માં એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ ગુણધર્મ મૂકતા:
$-(\vec{B} \times \vec{A}) = \vec{B} \times \vec{A}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2(\vec{B} \times \vec{A}) = 0$,તેથી $\vec{B} \times \vec{A} = 0$.
સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec{B} \times \vec{A}| = |B||A| \sin(\theta) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$\sin(\theta) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$.
જોકે,સદિશ ગુણાકાર માટે $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{A}$ સમાનતા સંતોષવા માટે,બંને બાજુ શૂન્ય સદિશ હોવા જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સદિશો સમાંતર $(\theta = 0)$ અથવા પ્રતિ-સમાંતર $(\theta = \pi)$ હોય. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\pi$ એ સાચો વિકલ્પ છે.