Multiplication of Vectors Questions in Gujarati

(A) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$.
અહીં $\vec{d_1} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -4 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(-5 - 9) + \hat{k}(10 - (-12)) = -2\hat{i} + 14\hat{j} + 22\hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 14^2 + 22^2} = \sqrt{4 + 196 + 484} = \sqrt{684}$.
વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{684} = \sqrt{36 \times 19} = 6\sqrt{19}$.
છેલ્લે,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 6\sqrt{19} = 3\sqrt{19} = \sqrt{171} \text{ unit}^2$ થાય.

(B) સદિશ $\vec A$ નો સદિશ $\vec B$ પરનો પ્રક્ષેપ એ $\vec B$ ની દિશામાં $\vec A$ નો અદિશ ઘટક છે.
ગાણિતિક રીતે,આ $\vec A$ નો $\vec B$ ના એકમ સદિશ સાથેનો અદિશ ગુણાકાર છે.
પ્રક્ષેપ $= |\vec A| \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec A \cdot \vec B = |\vec A| |\vec B| \cos \theta$,તેથી $|\vec A| \cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|\vec B|}$.
એકમ સદિશ $\hat B = \frac{\vec B}{|\vec B|}$ હોવાથી,પ્રક્ષેપ $\vec A \cdot \hat B$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\hat{A}$ એ એકમ સદિશ છે,તેથી તેનું માન અચળ છે,એટલે કે $|\hat{A}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\hat{A}|^2 = \hat{A} \cdot \hat{A} = 1$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{d}{dt}(\hat{A} \cdot \hat{A}) = \frac{d}{dt}(1)$.
ડોટ પ્રોડક્ટ માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d\hat{A}}{dt} \cdot \hat{A} + \hat{A} \cdot \frac{d\hat{A}}{dt} = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી આ સમીકરણ $2(\hat{A} \cdot \frac{d\hat{A}}{dt}) = 0$ માં પરિણમે છે.
આમ,$\hat{A} \cdot \frac{d\hat{A}}{dt} = 0$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $|F_1| = |F_2| = F$ અને $|F_1 \cdot F_2| = |F_1 \times F_2|$.
અદિશ ગુણાકાર અને સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ: $F^2 \cos \theta = F^2 \sin \theta$.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $|F_1 + F_2| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $|F_1 + F_2| = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos 45^{\circ}}$.
$|F_1 + F_2| = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} = \sqrt{2F^2 + F^2 \sqrt{2}}$.
$|F_1 + F_2| = F \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

(D) બે સદિશો એકબીજાને લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\vec P \cdot \vec Q = 0$.
અહીં $\vec P = a\hat i + a\hat j + 3\hat k$ અને $\vec Q = a\hat i - 2\hat j - \hat k$ આપેલ છે.
$(a\hat i + a\hat j + 3\hat k) \cdot (a\hat i - 2\hat j - \hat k) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(a)(a) + (a)(-2) + (3)(-1) = 0$.
$a^2 - 2a - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $a^2 - 3a + a - 3 = 0$.
$a(a - 3) + 1(a - 3) = 0$.
$(a - 3)(a + 1) = 0$.
આથી $a = 3$ અથવા $a = -1$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં $a$ નું ધન મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,$a = 3$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ નિત્યસમ $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\hat{i} \times (\hat{i} \times \vec{a}) = \hat{i}(\hat{i} \cdot \vec{a}) - \vec{a}(\hat{i} \cdot \hat{i}) = \hat{i}a_x - \vec{a}$
$\hat{j} \times (\hat{j} \times \vec{a}) = \hat{j}(\hat{j} \cdot \vec{a}) - \vec{a}(\hat{j} \cdot \hat{j}) = \hat{j}a_y - \vec{a}$
$\hat{k} \times (\hat{k} \times \vec{a}) = \hat{k}(\hat{k} \cdot \vec{a}) - \vec{a}(\hat{k} \cdot \hat{k}) = \hat{k}a_z - \vec{a}$
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$(\hat{i}a_x + \hat{j}a_y + \hat{k}a_z) - 3\vec{a}$
કારણ કે $\vec{a} = \hat{i}a_x + \hat{j}a_y + \hat{k}a_z$,તેથી પદ આ મુજબ થશે:
$\vec{a} - 3\vec{a} = -2\vec{a}$.

(B) બે સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|\vec A| |\vec B|}$ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec A \cdot \vec B = (2)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 2 + 0 + 1 = 3$.
ત્યારબાદ,માનની ગણતરી કરો: $|\vec A| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ અને $|\vec B| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો: $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 30^o$ થાય.

(A) ધારો કે એકમ સદિશો $\hat{i}$ (પૂર્વ) અને $\hat{j}$ (ઉત્તર) છે. તેથી,$A = A\hat{i}$ અને $B = B\hat{j}$.
$(A) (A+B) = A\hat{i} + B\hat{j}$,જે ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે. તેથી,$(A) \rightarrow (p)$.
$(B) (A-B) = A\hat{i} - B\hat{j}$,જે દક્ષિણ-પૂર્વ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે. આ સ્તંભ $II$ માં આપેલ નથી,તેથી $(B) \rightarrow (s)$.
$(C) (A \times B) = (A\hat{i}) \times (B\hat{j}) = AB(\hat{i} \times \hat{j}) = AB\hat{k}$,જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ નિર્દેશ કરે છે. તેથી,$(C) \rightarrow (q)$.
$(D) (A \times B) \times (A \times B) = 0$,કારણ કે કોઈપણ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે. આ સ્તંભ $II$ માં આપેલ નથી,તેથી $(D) \rightarrow (s)$.
તેથી,સાચી જોડ $(A \rightarrow p, B \rightarrow s, C \rightarrow q, D \rightarrow s)$ છે.

(B) કોઈપણ સદિશ $\vec{A}$ નો શૂન્ય સદિશ $\vec{0}$ સાથેનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) $\vec{A} \times \vec{0} = \vec{0}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર કરવાથી પરિણામ પણ એક સદિશ જ મળે છે,તેથી $\vec{A} \times 0$ નું પરિણામ એક શૂન્ય સદિશ છે,જેને $\vec{0}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ શૂન્ય સદિશ છે.

(N/A) $F$ અને $d$ નો અદિશ ગુણાકાર $F \cdot d = F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F \cdot d = (3)(5) + (4)(4) + (-5)(3) = 15 + 16 - 15 = 16$ એકમ.
તેમના મૂલ્યો $F = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$ એકમ અને $d = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}$ એકમ છે.
$F \cdot d = F d \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$16 = \sqrt{50} \cdot \sqrt{50} \cdot \cos \theta$.
$16 = 50 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{16}{50} = 0.32$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0.32)$.
$d$ પર $F$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{F \cdot d}{|d|} = \frac{16}{\sqrt{50}} = \frac{16}{5\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{10} = 1.6\sqrt{2}$ એકમ થાય.

(N/A) સદિશોના ગુણાકારના બે પ્રકારો છે:
$(i)$ અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ):
જો બે સદિશ રાશિઓનો ગુણાકાર અદિશ મળે,તો તે ગુણાકારને અદિશ ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે. આ ગુણાકારને ડોટ પ્રોડક્ટ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = AB \cos \theta$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના મૂલ્યો છે અને $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$(ii)$ સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ):
જો બે સદિશ રાશિઓનો ગુણાકાર સદિશ મળે,તો તે ગુણાકારને સદિશ ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારને બે સદિશોની વચ્ચે ક્રોસની નિશાની $(\times)$ મૂકીને દર્શાવવામાં આવે છે,તેથી તેને સદિશોનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ પણ કહેવામાં આવે છે.
જો $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો તેનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta \hat{n} = AB \sin \theta \hat{n}$ છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ દ્વારા બનતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે.

(N/A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ગુણાકાર નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = AB \cos \theta$ ... $(1)$
જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ભૌમિતિક રીતે,આ ગુણાકાર એક સદિશના માન અને બીજા સદિશના પ્રથમ સદિશ પરના પ્રક્ષેપના ગુણાકારને દર્શાવે છે.
$\vec{B}$ નો $\vec{A}$ પરનો પ્રક્ષેપ ધ્યાનમાં લો:
$1$. $\vec{B}$ ના શીર્ષમાંથી $\vec{A}$ ને સમાવતી રેખા પર લંબ દોરો,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $M$ બિંદુએ મળે છે.
$2$. લંબાઈ $OM$ એ $\vec{B}$ નો $\vec{A}$ પરનો પ્રક્ષેપ દર્શાવે છે,જે $B \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. આ કિંમતને અદિશ ગુણાકારના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = A (B \cos \theta) = A (OM)$
આમ,અદિશ ગુણાકાર એ $\vec{A}$ નું માન અને $\vec{A}$ ની દિશામાં $\vec{B}$ ના ઘટક (પ્રક્ષેપ) નો ગુણાકાર છે.
તે જ રીતે,તેને $\vec{B}$ નું માન અને $\vec{B}$ ની દિશામાં $\vec{A}$ ના ઘટકનો ગુણાકાર $(B \times A \cos \theta)$ તરીકે પણ સમજી શકાય છે.

(N/A) ધારો કે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બે સદિશો છે જેની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$
અદિશ મૂલ્યો $A$ અને $B$ નો ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળતો હોવાથી $(AB = BA)$,આપણે લખી શકીએ:
$AB \cos \theta = BA \cos \theta$
વ્યાખ્યા મુજબ,$BA \cos \theta$ એ $\vec{B}$ અને $\vec{A}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે:
$BA \cos \theta = \vec{B} \cdot \vec{A}$
તેથી,$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$.
આ સાબિત કરે છે કે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે.

(N/A) આકૃતિ મુજબ,ધારો કે $\overrightarrow{OP} = \vec{A}$,$\overrightarrow{OQ} = \vec{B}$,અને $\overrightarrow{QR} = \vec{C}$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QR} = \vec{B} + \vec{C}$ થાય.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C})$ ને $\vec{A}$ ના માન અને $\vec{A}$ ની દિશામાં $(\vec{B} + \vec{C})$ ના પ્રક્ષેપના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,$\vec{A}$ પર $\vec{B}$ નો પ્રક્ષેપ $OM$ છે અને $\vec{A}$ પર $\vec{C}$ નો પ્રક્ષેપ $MN$ છે.
તેથી,$\vec{A}$ પર $(\vec{B} + \vec{C})$ નો પ્રક્ષેપ $ON = OM + MN$ થાય.
હવે,$\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = |\vec{A}| (ON) = |\vec{A}| (OM + MN)$.
$= |\vec{A}| (OM) + |\vec{A}| (MN)$.
કારણ કે $|\vec{A}| (OM) = \vec{A} \cdot \vec{B}$ અને $|\vec{A}| (MN) = \vec{A} \cdot \vec{C}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$.
આમ,સાબિત થાય છે કે અદિશ ગુણાકાર વિભાજનના નિયમનું પાલન કરે છે.

(N/A) ધારો કે $\overrightarrow{A}$ એક સદિશ છે. સદિશ $\overrightarrow{A}$ નો તેની પોતાની સાથેનો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} = |\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{A}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સદિશ અને તેની પોતાની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ હોવાથી,$\cos 0^{\circ} = 1$ થાય છે.
તેથી,$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} = |\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{A}| (1) = |\overrightarrow{A}|^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A}}$ મળે છે.
આમ,સદિશનું માન એ સદિશના તેની પોતાની સાથેના અદિશ ગુણાકારના વર્ગમૂળ જેટલું હોય છે.

(A) જો બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) સૂત્ર $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્રમાં $\theta = 90^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos 90^{\circ}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ છે,તેથી અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \times 0 = 0$ થાય છે.
આમ,બે પરસ્પર લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $0$ છે.

અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (-2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k})$
$= (3)(-2) + (-4)(1) + (5)(-3)$
$= -6 - 4 - 15 = -25$
સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & 5 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-4)(-3) - (5)(1)) - \hat{j}((3)(-3) - (5)(-2)) + \hat{k}((3)(1) - (-4)(-2))$
$= \hat{i}(12 - 5) - \hat{j}(-9 + 10) + \hat{k}(3 - 8)$
$= 7 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}$

(N/A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને ત્રિકોણની બાજુઓ $\vec{OK}$ અને $\vec{OM}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે $\theta$ ખૂણે નમેલા છે.
$\Delta OMN$ માં,જ્યાં $MN$ એ $M$ થી $OK$ પરનો લંબ છે,આપણી પાસે છે:
$\sin \theta = \frac{MN}{OM} = \frac{MN}{|\vec{b}|}$
$MN = |\vec{b}| \sin \theta$
$\Delta OMK$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OK \times MN$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$
કારણ કે સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,આપણે આને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારના માનનું અડધું છે.

(N/A) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ તેના પાયાના ક્ષેત્રફળ અને તેની ઊંચાઈના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ધારો કે સમાંતરબાજુ ફલકની ત્રણ પાસપાસેની ધાર દર્શાવતા સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ છે.
સમાંતરબાજુ ફલકનો પાયો સદિશો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા બને છે. આ પાયાનું ક્ષેત્રફળ ક્રોસ પ્રોડક્ટના મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Area = |\vec{b} \times \vec{c}|$.
સદિશ $\vec{b} \times \vec{c}$ ની દિશા પાયાને લંબ હોય છે,એટલે કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
સમાંતરબાજુ ફલકની ઊંચાઈ $h$ એ સદિશ $\vec{a}$ નો લંબ સદિશ $\vec{n} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ ની દિશા પરનો પ્રક્ષેપ છે.
આમ,$h = |\vec{a} \cdot \hat{n}| = \left| \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \right|$.
ઘનફળ $V$ એ $V = Area \times h = |\vec{b} \times \vec{c}| \times \left| \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \right| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ એ સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ દર્શાવે છે.

(N/A) કોઈ સદિશ $\vec{A}$ નો ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $\lambda$ સાથે ગુણાકાર કરવાથી મળતો નવો સદિશ $\lambda \vec{A}$ નું મૂલ્ય મૂળ સદિશ $\vec{A}$ ના મૂલ્ય કરતા $\lambda$ ગણું થાય છે અને તેની દિશા $\vec{A}$ ની દિશામાં જ રહે છે.
$|\lambda \vec{A}| = \lambda |\vec{A}|$ (જ્યાં $\lambda > 0$)
ઉદાહરણ તરીકે,જો $\vec{A}$ ને $2$ વડે ગુણવામાં આવે,તો પરિણામી સદિશ $2\vec{A}$ એ $\vec{A}$ ની દિશામાં જ હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $|\vec{A}|$ કરતા બમણું હોય છે,જે આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.
કોઈ સદિશ $\vec{A}$ નો ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યા $\lambda$ સાથે ગુણાકાર કરવાથી મળતો સદિશ $\lambda \vec{A}$ ની દિશા મૂળ સદિશ $\vec{A}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $|\lambda|$ ગણું હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$\vec{A}$ ને $-1$ અને $-1.5$ વડે ગુણતા મળતા સદિશો આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવ્યા છે.
ગુણક $\lambda$ એ ભૌતિક પરિમાણ ધરાવતી અદિશ રાશિ પણ હોઈ શકે છે. આવા કિસ્સામાં,પરિણામી સદિશ $\lambda \vec{A}$ નું પરિમાણ એ $\lambda$ અને $\vec{A}$ ના પરિમાણોનો ગુણાકાર હોય છે. દાખલા તરીકે,અચળ વેગ સદિશ $\vec{v}$ નો સમયગાળા $t$ સાથે ગુણાકાર કરવાથી સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{v}t$ મળે છે.
$\vec{v}$ ના પરિમાણ = $[LT^{-1}] = m/s$
$\vec{v}t$ ના પરિમાણ = $[LT^{-1}] \cdot [T] = [L] = m$

(A) જ્યારે સદિશ $\vec{A}$ ને અદિશ $\lambda$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે મળતો સદિશ $\vec{B} = \lambda \vec{A}$ થાય છે.
જો $\lambda > 0$ હોય,તો નવા સદિશનું મૂલ્ય $|\lambda| |\vec{A}|$ થાય છે અને દિશા $\vec{A}$ જેવી જ રહે છે.
જો $\lambda < 0$ હોય,તો નવા સદિશનું મૂલ્ય $|\lambda| |\vec{A}|$ થાય છે અને દિશા $\vec{A}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં થઈ જાય છે.

(A) સદિશ ગુણાકાર $\vec{V} = \vec{B} \times \vec{C}$ એવો સદિશ આપે છે જે $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{V}$ એવો સદિશ આપે છે જે $\vec{A}$ અને $\vec{V}$ બંનેને લંબ હોય છે.
કારણ કે $\vec{V}$ એ $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ના સમતલને લંબ છે,તેથી $\vec{V}$ ને લંબ હોય તેવો કોઈપણ સદિશ $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ના સમતલમાં જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})$ એ $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ના સમતલમાં આવેલું છે અને તે $\vec{A}$ ને લંબ છે.

(N/A) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ એ અનુક્રમે $X, Y$ અને $Z$ અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશો છે.
$(i)$ સમાંતર એકમ સદિશો માટે:
$\hat{i} \cdot \hat{i} = |\hat{i}| |\hat{i}| \cos 0^{\circ} = (1)(1)(1) = 1$
તે જ રીતે,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$ અને $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$.
$(ii)$ લંબ એકમ સદિશો માટે:
$\hat{i} \cdot \hat{j} = |\hat{i}| |\hat{j}| \cos 90^{\circ} = (1)(1)(0) = 0$
તે જ રીતે,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$ અને $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$.
આમ,અદિશ ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
$\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$
$\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$

(N/A) ધારો કે બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ને કાર્તેઝિયન ઘટકોમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\overrightarrow{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}$
$\overrightarrow{B} = B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}$
તેથી,અદિશ ગુણાકાર:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}) \cdot (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k})$
વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
$= A_{x} B_{x}(\hat{i} \cdot \hat{i}) + A_{x} B_{y}(\hat{i} \cdot \hat{j}) + A_{x} B_{z}(\hat{i} \cdot \hat{k}) + A_{y} B_{x}(\hat{j} \cdot \hat{i}) + A_{y} B_{y}(\hat{j} \cdot \hat{j}) + A_{y} B_{z}(\hat{j} \cdot \hat{k}) + A_{z} B_{x}(\hat{k} \cdot \hat{i}) + A_{z} B_{y}(\hat{k} \cdot \hat{j}) + A_{z} B_{z}(\hat{k} \cdot \hat{k})$
એકમ સદિશોના ગુણધર્મો મુજબ: $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{i} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}$

જો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = AB \cos \theta$
$\cos \theta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}|} = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{AB}$
તેથી,ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{AB} \right)$
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,જ્યાં $\overrightarrow{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ અને $\overrightarrow{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$ હોય,ત્યારે આ સમીકરણ નીચે મુજબ થાય છે:
$\cos \theta = \frac{A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}}$

(N/A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) એ બંને સદિશોના માન અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ ના કોસાઇનના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$,જ્યાં $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના માન છે,અને $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે $(0 \le \theta \le \pi)$.
અદિશ ગુણાકારનું પરિણામ એક અદિશ રાશિ છે.

(N/A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ગુણાકાર (અથવા ડોટ પ્રોડક્ટ) તેમના માન અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ ના કોસાઇનના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$.
કોઈ સદિશ $\vec{A}$ નું માન અદિશ ગુણાકાર પરથી મેળવવા માટે,આપણે સદિશનો તેની પોતાની સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લઈએ છીએ: $\vec{A} \cdot \vec{A} = A A \cos(0^\circ) = A^2$. આમ,માન $A = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}}$ થાય છે.
અદિશ ગુણાકાર એ અદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું માત્ર માન હોય છે પરંતુ કોઈ દિશા હોતી નથી. તેથી,તેને કોઈ દિશા હોતી નથી.

(N/A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) $\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય તે માટે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B| \cos(90^{\circ})$ મળે છે.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ થાય છે.
આમ,બે શૂન્યતર સદિશો પરસ્પર લંબ હોય તે માટેની આવશ્યક શરત એ છે કે તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.

(A) બે સદિશો $\overrightarrow{A} = A_x\widehat{i} + A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}$ અને $\overrightarrow{B} = B_x\widehat{i} + B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\overrightarrow{A} = 2\widehat{i} - 2\widehat{j} + 0\widehat{k}$ અને $\overrightarrow{B} = 0\widehat{i} + 0\widehat{j} + 2\widehat{k}$ આપેલ છે.
ઘટકોની કિંમત મૂકતા: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(0) + (-2)(0) + (0)(2)$.
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0 + 0 + 0 = 0$.

(A) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
અહીં $\vec{A} = (2, -3, 1)$ અને $\vec{B} = (3, 4, n)$ આપેલ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2)(3) + (-3)(4) + (1)(n) = 0$.
$6 - 12 + n = 0$.
$-6 + n = 0$.
તેથી,$n = 6$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{P} \perp \vec{Q}$,તેથી બંને સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
આપેલા ઘટકોને મૂકતા: $(k, 2, 3) \cdot (0, 3, k) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(k \times 0) + (2 \times 3) + (3 \times k) = 0$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $0 + 6 + 3k = 0$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $3k = -6$,જેનું પરિણામ $k = -2$ મળે છે.

(N/A) વ્યાખ્યા: બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો સદિશ ગુણાકાર અથવા ક્રોસ પ્રોડક્ટ એ એક નવો સદિશ $\vec{c}$ છે,જેનું મૂલ્ય બંને સદિશોના માન અને તેમની વચ્ચેના નાના ખૂણાના સાઈન (sine) ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
જો બે સદિશોનો ગુણાકાર પરિણામી સદિશ રાશિ આપે,તો આ ગુણાકારને સદિશ ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે. ધારો કે બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \hat{n} = ab \sin \theta \hat{n}$ થાય,જ્યાં $|\vec{a}| = a$ અને $|\vec{b}| = b$ છે.
અહીં,$\hat{n}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા બનતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે.
આ ગુણાકારને ક્રોસ $(\times)$ પ્રોડક્ટ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
જો $\vec{a} \times \vec{b}$ ને $\vec{c}$ વડે દર્શાવવામાં આવે,તો $\vec{c} = ab \sin \theta \hat{n}$ થાય.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $c = ab \sin \theta$ છે.
સદિશ $\vec{c}$ ની દિશા $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને લંબ હોય છે અને તેની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

(N/A) $(1)$ સદિશ ગુણાકાર એ એન્ટિકોમ્યુટેટિવ (ક્રમનો વિરોધી) છે: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$. તે ક્રમનો નિયમ પાળતું નથી.
$(2)$ સદિશ ગુણાકાર સરવાળા પર વિભાજનનો નિયમ પાળે છે: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{c})$.
$(3)$ બે સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર સદિશો માટે,સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે: $\vec{a} \times \vec{a} = |a||a| \sin(0^{\circ}) \hat{n} = \vec{0}$.
$(4)$ બે લંબ સદિશો માટે,સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |a||b| \sin(90^{\circ}) = |a||b|$.
$(5)$ બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર એ સ્યુડોવેક્ટર (અક્ષીય સદિશ) છે. પરાવર્તન હેઠળ,સદિશ ગુણાકારની નિશાની બદલાતી નથી કારણ કે બંને સદિશોની નિશાની બદલાય છે: $(-\vec{a}) \times (-\vec{b}) = \vec{a} \times \vec{b}$.
$(6)$ કાર્ટેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં એકમ સદિશો માટે: $\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0}$ અને $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.

(N/A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર (અથવા ક્રોસ પ્રોડક્ટ) એ સદિશ $\vec{C}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \hat{n}$.
અહીં,$A$ અને $B$ એ અનુક્રમે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના મૂલ્યો છે,$\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે $(0^\circ \le \theta \le 180^\circ)$,અને $\hat{n}$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે.
$\hat{n}$ ની દિશા જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

(N/A) જમણા હાથના સ્ક્રૂનો નિયમ એ બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) ની દિશા નક્કી કરવા માટે વપરાતો નિયમ છે.
$1$. કલ્પના કરો કે એક જમણા હાથનો સ્ક્રૂ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના છેદબિંદુ પર મૂકવામાં આવ્યો છે,જેની ધરી બંને સદિશો ધરાવતા સમતલને લંબ છે.
$2$. સ્ક્રૂને પ્રથમ સદિશ $\vec{A}$ ની દિશામાંથી બીજા સદિશ $\vec{B}$ ની દિશામાં તેમની વચ્ચેના નાના ખૂણા દ્વારા ફેરવો.
$3$. સ્ક્રૂ જે દિશામાં આગળ વધે છે તે પરિણામી સદિશ $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$ ની દિશા દર્શાવે છે.
$4$. જો સ્ક્રૂ આગળ વધે,તો દિશા સમતલની બહારની તરફ હોય છે; જો તે પાછળ જાય,તો દિશા સમતલની અંદરની તરફ હોય છે.

(A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો સદિશો સમાંતર હોય,તો $\theta = 0^\circ$,તેથી $\sin 0^\circ = 0$ થાય.
જો સદિશો પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો $\theta = 180^\circ$,તેથી $\sin 180^\circ = 0$ થાય.
બંને કિસ્સાઓમાં,સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = 0$ થાય છે.

બે સદિશોનો ગુણાકાર બે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) અને સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ).
$1$. અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. $\cos \theta = \cos(-\theta)$ હોવાથી,અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$.
$2$. સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ધરાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે જે જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$3$. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\vec{A} \times \vec{B}$ ની દિશા $\vec{B} \times \vec{A}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે.
$4$. તેથી,$\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$.
$5$. દિશા બદલાતી હોવાથી,સદિશ ગુણાકાર એ પ્રતિ-ક્રમવિનિમયી (anti-commutative) છે,ક્રમવિનિમયી નથી.

(B) કણનું રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ એ $\vec{p} = m\vec{v}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $\vec{v}$ એ વેગ સદિશ છે.
$m$ એ અદિશ હોવાથી,$\vec{p}$ હંમેશા $\vec{v}$ ની દિશામાં જ હોય છે.
જો બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ હોય તો તે સમાંતર કહેવાય છે.
બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = |A||B| \sin(\theta) \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v}$ અને $\vec{p}$ માટે,ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે,તેથી $\sin(0^\circ) = 0$.
તેથી,$\vec{v} \times \vec{p} = |v||p| \sin(0^\circ) \hat{n} = 0$.
આ સાબિત કરે છે કે કોઈપણ કણ માટે,તેના વેગ અને વેગમાનનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે કારણ કે તેઓ એક જ રેખા પર હોય છે.

(A) આપેલ છે કે $|A| = 2$ અને $|B| = 4$. ડોટ ગુણાકારનું સૂત્ર $\vec A \cdot \vec B = |A||B| \cos \theta = 8 \cos \theta$ છે.
$(a) \vec A \cdot \vec B = 0 \implies 8 \cos \theta = 0 \implies \cos \theta = 0 \implies \theta = 90^\circ$. જે $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
$(b) \vec A \cdot \vec B = 8 \implies 8 \cos \theta = 8 \implies \cos \theta = 1 \implies \theta = 0^\circ$. જે $(i)$ સાથે જોડાય છે.
$(c) \vec A \cdot \vec B = 4 \implies 8 \cos \theta = 4 \implies \cos \theta = 1/2 \implies \theta = 60^\circ$. જે $(iv)$ સાથે જોડાય છે.
$(d) \vec A \cdot \vec B = -8 \implies 8 \cos \theta = -8 \implies \cos \theta = -1 \implies \theta = 180^\circ$. જે $(iii)$ સાથે જોડાય છે.

(A-IV, B-III, C-I, D-II) આપેલ છે કે $|\vec{A}| = 2$ અને $|\vec{B}| = 4$. સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta = 8 \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a) |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \sin \theta = 0 \implies \sin \theta = 0 \implies \theta = 0^{\circ}$. જે $(iv)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(b) |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \sin \theta = 8 \implies \sin \theta = 1 \implies \theta = 90^{\circ}$. જે $(iii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(c) |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \sin \theta = 4 \implies \sin \theta = 1/2 \implies \theta = 30^{\circ}$. જે $(i)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(d) |\vec{A} \times \vec{B}| = 8 \sin \theta = 4\sqrt{2} \implies \sin \theta = 1/\sqrt{2} \implies \theta = 45^{\circ}$. જે $(ii)$ સાથે બંધ બેસે છે.

(C) બે સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ (anti-commutative) હોય છે,એટલે કે $\overrightarrow{ P } \times \overrightarrow{ Q } = -(\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P })$.
આપેલ શરત $\overrightarrow{ P } \times \overrightarrow{ Q } = \overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }$ મુજબ,આપણે એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$-(\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }) = \overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2(\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }) = 0$,તેથી $\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P } = 0$.
ક્રોસ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }| = PQ \sin \theta = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં $P$ અને $Q$ શૂન્યતર સદિશો હોવાથી,$\sin \theta = 0$ થાય.
$0^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$ ની મર્યાદામાં,$\theta = 180^{\circ}$ માટે $\sin \theta = 0$ થાય છે (કારણ કે $0^{\circ}$ અને $360^{\circ}$ નો સમાવેશ થતો નથી).
તેથી,$\theta$ નું મૂલ્ય $180^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$ છે.
અદિશ અને સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા: $AB \cos \theta = AB \sin \theta$.
બંને બાજુ $AB$ વડે ભાગતા ($A, B \neq 0$ ધારીને),આપણને $\cos \theta = \sin \theta$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
સદિશ તફાવતનું માન $|\vec{A} - \vec{B}|$ એ સૂત્ર $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos 45^{\circ}}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી પદ $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{A^{2} + B^{2} - \sqrt{2}AB}$ બને છે.

(A) આપેલ સદિશો $A = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$,$B = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $C = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સદિશ $X = \alpha A + \beta B = \alpha(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + \beta(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$.
$X$ ને સાદું રૂપ આપતા,$X = (\alpha + \beta)\hat{i} + (\alpha - \beta)\hat{j} + (-2\alpha + \beta)\hat{k}$ મળે.
કારણ કે $X$ એ $C$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $X \cdot C = 0$.
$(\alpha + \beta)(2) + (\alpha - \beta)(-3) + (-2\alpha + \beta)(4) = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2\alpha + 2\beta - 3\alpha + 3\beta - 8\alpha + 4\beta = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $(2 - 3 - 8)\alpha + (2 + 3 + 4)\beta = 0$.
$-9\alpha + 9\beta = 0$.
$-9\alpha = -9\beta$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \beta$.
તેથી,ગુણોત્તર $\alpha : \beta = 1 : 1$ થાય.

(B) સદિશ $\vec{A}$ નો સદિશ $\vec{B}$ પરનો પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Proj}_{\vec{B}} \vec{A} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} \right) \hat{B}$,જ્યાં $\hat{B}$ એ $\vec{B}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 1 + 1 = 2$.
ત્યારબાદ,$\vec{B}$ નું માન શોધો: $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
હવે,એકમ સદિશ $\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$.
અંતે,આ કિંમતોને પ્રક્ષેપના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Proj}_{\vec{B}} \vec{A} = \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{j}$.

(D) કણ $P$ ની ગતિની દિશા સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે. તેથી,એકમ સદિશ $\hat{v}_1 = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{A} \times \vec{B} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$\hat{v}_1 = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
કણ $Q$ ની ગતિની દિશા સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{C}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે. તેથી,$\hat{v}_2 = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{|\vec{A} \times \vec{C}|}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{A} \times \vec{C} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{j}) = 2\hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{A} \times \vec{C}| = 2$ છે.
તેથી,$\hat{v}_2 = \pm \hat{k}$.
$\hat{v}_1$ અને $\hat{v}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = |\hat{v}_1 \cdot \hat{v}_2| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
આને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{A}| = c$,જ્યાં $c$ એ શૂન્યતર અચળાંક છે.
કોઈપણ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\vec{A} \times \vec{A} = |\vec{A}| |\vec{A}| \sin(\theta) \hat{n}$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશ અને તેની પોતાની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સદિશ અને તેની પોતાની વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ હોવાથી,$\theta = 0^{\circ}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\vec{A} \times \vec{A} = |\vec{A}|^2 \sin(0^{\circ}) \hat{n}$.
$\sin(0^{\circ}) = 0$ હોવાથી,પદ $\vec{A} \times \vec{A} = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{A} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \; m$ અને $\overrightarrow{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \; m$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{A}$ નો સદિશ $\overrightarrow{B}$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ઘટક} = \overrightarrow{A} \cdot \hat{B} = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}$ શોધો:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(1) + (3)(2) + (-1)(2) = 2 + 6 - 2 = 6$.
ત્યારબાદ,સદિશ $\overrightarrow{B}$ નું મૂલ્ય શોધો:
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
છેલ્લે,ઘટકનું મૂલ્ય શોધો:
$\text{ઘટક} = \frac{6}{3} = 2 \; m$.

(C) સદિશ $\vec{A}$ નો સદિશ $\vec{B}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપ શૂન્ય છે,તેથી $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
ધારો કે $\vec{A} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$ અને $\vec{B} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$.
ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $(2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}) = 0$.
$(2)(1) + (4)(2) + (-2)(\alpha) = 0$.
$2 + 8 - 2\alpha = 0$.
$10 - 2\alpha = 0$.
$2\alpha = 10$.
$\alpha = 5$.

(D) આપેલ સમીકરણ $F = (\hat{n} \cdot F) \hat{n} + G$ પરથી,આપણે $G$ ને $G = F - (\hat{n} \cdot F) \hat{n}$ તરીકે લખી શકીએ.
સદિશ ત્રિગુણનફળના નિત્યસમ $A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(\hat{n} \times F) \times \hat{n}$ ની ગણતરી કરીએ.
નોંધો કે $(\hat{n} \times F) \times \hat{n} = -\hat{n} \times (\hat{n} \times F)$ થાય છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા: $-\hat{n} \times (\hat{n} \times F) = -[\hat{n}(\hat{n} \cdot F) - F(\hat{n} \cdot \hat{n})]$.
અહીં $\hat{n}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$\hat{n} \cdot \hat{n} = 1$ થાય.
તેથી,$-\hat{n}(\hat{n} \cdot F) + F(1) = F - (\hat{n} \cdot F) \hat{n}$.
આ પરિણામને $G$ ના સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $G = (\hat{n} \times F) \times \hat{n}$ મળે છે.

(D) બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ (anticommutative) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{M} \times \vec{N} = -(\vec{N} \times \vec{M})$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(\vec{M} \times \vec{N})$ અને સદિશ $(\vec{N} \times \vec{M})$ એકબીજાની બિલકુલ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
કારણ કે આ સદિશો પ્રતિ-સમાંતર (antiparallel) છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.