Mix Examples-Vectors Questions in Gujarati

(A) જ્યારે $n$ સમાન મૂલ્ય $F$ ધરાવતા બળો એક જ સમતલમાં એક બિંદુ પર એવી રીતે કાર્ય કરે છે કે ક્રમિક બળો વચ્ચેનો ખૂણો સમાન હોય,ત્યારે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{360^\circ}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 5$ અને $F = 10 \, N$ છે.
ક્રમિક બળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ છે.
સદિશ સરવાળાના બહુકોણના નિયમ મુજબ,જો એક બિંદુ પર કાર્ય કરતા સદિશોના સમૂહને બંધ બહુકોણની બાજુઓ દ્વારા ક્રમમાં દર્શાવી શકાય,તો તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
આ પાંચ સમાન બળો સમપ્રમાણ હોવાથી અને સમતલમાં સમાન રીતે વહેંચાયેલા હોવાથી,જ્યારે તેમને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે તે એક બંધ નિયમિત પંચકોણ બનાવે છે.
તેથી,પરિણામી બળ $0 \, N$ થશે.

(B) ધારો કે પરિણામી સદિશ $R$ છે. આપેલ છે કે $R \perp A$,તેથી $R$ અને $A$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
સદિશ સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,પરિણામી સદિશ $R$ એ સદિશ $A$ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$ થાય.
અહીં $\alpha = 90^\circ$ હોવાથી,$\tan 90^\circ$ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $A + B \cos \theta = 0$,તેથી $\cos \theta = -\frac{A}{B}$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ છે.
આપેલ છે કે $R = \frac{B}{2}$,તેથી $\frac{B^2}{4} = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
સમીકરણમાં $\cos \theta = -\frac{A}{B}$ મૂકતા: $\frac{B^2}{4} = A^2 + B^2 + 2AB(-\frac{A}{B}) = A^2 + B^2 - 2A^2 = B^2 - A^2$.
આને સાદું રૂપ આપતા $A^2 = B^2 - \frac{B^2}{4} = \frac{3B^2}{4}$,તેથી $A = \frac{\sqrt{3}}{2}B$ મળે.
અંતે,$\cos \theta = -\frac{A}{B} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 150^\circ$.

(C) ધારો કે સદિશો $\overrightarrow{P}$ અને $\overrightarrow{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે:
$R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha \quad \dots(1)$
જ્યારે $\overrightarrow{Q}$ ને બમણું કરીને $2\overrightarrow{Q}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R_1}$ મળે. તેના મૂલ્યનો વર્ગ:
$R_1^2 = P^2 + (2Q)^2 + 2P(2Q) \cos \alpha = P^2 + 4Q^2 + 4PQ \cos \alpha \quad \dots(2)$
આપેલ છે કે નવું પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R_1}$ એ $\overrightarrow{P}$ ને લંબ છે,તેથી સદિશ સરવાળા $\overrightarrow{R_1} = \overrightarrow{P} + 2\overrightarrow{Q}$ પરથી $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{R_1} = 0$ થાય. $\overrightarrow{P} \cdot (\overrightarrow{P} + 2\overrightarrow{Q}) = 0$ લેતા,$P^2 + 2PQ \cos \alpha = 0$,એટલે કે $2PQ \cos \alpha = -P^2 \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(3)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$R^2 = P^2 + Q^2 + (-P^2) = Q^2$
તેથી,$R = Q$.

(C) આપેલ છે $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{C}$,જેનો અર્થ છે $\overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}$.
કારણ કે $\overrightarrow{C} \perp \overrightarrow{A}$,સદિશો $\overrightarrow{C}$ અને $-\overrightarrow{A}$ એ $\overrightarrow{B}$ ને કર્ણ તરીકે લઈને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
તેથી,$B^2 = C^2 + A^2$.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{C}|$,તેથી $C = A$ મૂકતા:
$B^2 = A^2 + A^2 = 2A^2$,એટલે કે $B = \sqrt{2}A$.
સદિશ સરવાળા $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ માટે કોસાઇનનો નિયમ વાપરતા:
$C^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$C^2 = A^2$ અને $B^2 = 2A^2$ મૂકતા:
$A^2 = A^2 + 2A^2 + 2A(\sqrt{2}A) \cos \theta$.
$A^2 = 3A^2 + 2\sqrt{2}A^2 \cos \theta$.
$-2A^2 = 2\sqrt{2}A^2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{3\pi}{4} \text{ રેડિયન}$.

(D) ધારો કે બે સદિશોના મૂલ્યો $A$ અને $B$ છે.
પરિણામી સદિશનું મહત્તમ મૂલ્ય $R_{\max} = A + B = 17$ છે.
પરિણામી સદિશનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $R_{\min} = |A - B| = 7$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(A + B) + (A - B) = 17 + 7 \implies 2A = 24 \implies A = 12$.
$A = 12$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $12 + B = 17 \implies B = 5$.
જ્યારે બે સદિશો એકબીજાને લંબ હોય $(\theta = 90^\circ)$,ત્યારે તેમના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ એકમ.

(B) આપેલ છે કે $P = Q = R$.
કિસ્સો $1$: $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{R} \implies \vec{Q} = \vec{R} - \vec{P}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $Q^2 = R^2 + P^2 - 2RP \cos \theta_1$.
$P = Q = R$ હોવાથી,$P^2 = P^2 + P^2 - 2P^2 \cos \theta_1 \implies P^2 = 2P^2(1 - \cos \theta_1) \implies 1 = 2 - 2 \cos \theta_1 \implies 2 \cos \theta_1 = 1 \implies \cos \theta_1 = 1/2 \implies \theta_1 = 60^\circ$.
કિસ્સો $2$: $\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R} = \vec{0} \implies \vec{P} + \vec{R} = -\vec{Q}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $P^2 + R^2 + 2PR \cos \theta_2 = Q^2$.
$P = Q = R$ હોવાથી,$P^2 + P^2 + 2P^2 \cos \theta_2 = P^2 \implies 2P^2 + 2P^2 \cos \theta_2 = P^2 \implies 2 \cos \theta_2 = -1 \implies \cos \theta_2 = -1/2 \implies \theta_2 = 120^\circ$.
આમ,$\theta_2 = 2\theta_1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta_1 = \theta_2 / 2$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{0}$. ધારો કે $|A| = |B| = x$. તો $|C| = \sqrt{2}x$.
$\vec{A} + \vec{B} = -\vec{C}$ પરથી,બંને બાજુ વર્ગ લેતા: $A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta_1 = C^2$.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 + x^2 + 2x^2 \cos \theta_1 = (\sqrt{2}x)^2$.
$2x^2 + 2x^2 \cos \theta_1 = 2x^2 \Rightarrow 2x^2 \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \theta_1 = 90^\circ$.
હવે,$\vec{B} + \vec{C} = -\vec{A}$ ધ્યાનમાં લો. બંને બાજુ વર્ગ લેતા: $B^2 + C^2 + 2BC \cos \theta_2 = A^2$.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 + 2x^2 + 2(x)(\sqrt{2}x) \cos \theta_2 = x^2$.
$2x^2 + 2\sqrt{2}x^2 \cos \theta_2 = 0 \Rightarrow 2\sqrt{2}x^2 \cos \theta_2 = -2x^2$.
$\cos \theta_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta_2 = 135^\circ$.
$|A| = |B|$ હોવાથી,સંમિતિ મુજબ,$\vec{A}$ અને $\vec{C}$ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta_3 = 135^\circ$ થશે.
આમ,સદિશો વચ્ચેના ખૂણાઓ $90^\circ, 135^\circ, 135^\circ$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ અને $\vec{B} = 6\hat{i} + 8\hat{j}$.
મૂલ્યો $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ અને $B = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ છે.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસો: $\vec{A} \times \vec{B} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \times (6\hat{i} + 8\hat{j}) = (3 \times 8 - 4 \times 6)\hat{k} = (24 - 24)\hat{k} = 0$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $\frac{A}{B} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસો: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50$. વિકલ્પમાં $40$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશોના મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
$A = |\overrightarrow A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$B = |\overrightarrow B| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
હવે,દરેક વિકલ્પ તપાસો:
$A$: $\overrightarrow A \times \overrightarrow B = (3\hat i + 4\hat j) \times (6\hat i + 8\hat j) = (3 \times 8 - 4 \times 6)\hat k = (24 - 24)\hat k = 0$. આ સાચું છે.
$B$: $\frac{A}{B} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. વિધાન $\frac{A}{B} = \frac{1}{4}$ ખોટું છે.
$C$: $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B = (3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50$. આ સાચું છે.
$D$: $A = 5$. આ સાચું છે.
તેથી,જે વિધાન સાચું નથી તે $\frac{A}{B} = \frac{1}{4}$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,સદિશ $A$ અને $B$ ના માન (magnitudes) શોધો:
$|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$|B| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
હવે,વિધાન $(b)$ તપાસો: $\frac{|A|}{|B|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. આ સાચું છે.
આગળ,નોંધો કે $B = 2(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 2A$. કારણ કે $B$ એ $A$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી સદિશો સમાંતર છે.
સમાંતર સદિશો માટે,તેમનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે: $A \times B = 0$. આ પણ સાચું છે.
તેથી,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) જ્યારે સમાન મૂલ્ય $F$ ધરાવતા $n$ સમતલીય બળો એવી રીતે ગોઠવાયેલા હોય કે દરેક બળ અગાઉના બળ સાથે સમાન ખૂણો $\Delta\theta$ બનાવે,ત્યારે જો કુલ ખૂણો $2\pi$ નો ગુણાંક હોય તો તેઓ એક બંધ બહુકોણ બનાવે છે.
અહીં,બળોની સંખ્યા $n = 100$ છે.
ક્રમિક બળો વચ્ચેનો ખૂણો $\Delta\theta = \pi/50$ છે.
બળો દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલ કુલ ખૂણો $\theta_{total} = n \times \Delta\theta = 100 \times (\pi/50) = 2\pi$ છે.
જેથી બળો સમતલીય છે અને કુલ ખૂણો $2\pi$ હોવાથી,સદિશ સરવાળામાં આ બળો એક બંધ બહુકોણ બનાવે છે.
તેથી,આ બળોનો સદિશ સરવાળો (પરિણામી બળ) $0 \ N$ થાય છે.

(A) $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}| \implies AB \cos \theta = AB \sin \theta \implies \tan \theta = 1 \implies \theta = 45^{\circ}$ અથવા $135^{\circ}$. તેથી,$A \rightarrow p$.
$(B)$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = B^2 \implies AB \cos \theta = B^2 \implies A \cos \theta = B$. જો $A=B$ હોય,તો $\cos \theta = 1 \implies \theta = 0^{\circ}$. તેથી,$B \rightarrow q, r$.
$(C)$ $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}| \implies A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta \implies 4AB \cos \theta = 0 \implies \theta = 90^{\circ}$. તેથી,$C \rightarrow s$.
$(D)$ $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \implies AB \sin \theta = AB \implies \sin \theta = 1 \implies \theta = 90^{\circ}$. તેથી,$D \rightarrow s$.

(A) આપેલ છે: $|A| = |B| = x$ અને $\theta = 60^{\circ}$.
$(A) |A+B| = \sqrt{x^2 + x^2 + 2x^2 \cos(60^{\circ})} = \sqrt{2x^2 + 2x^2(0.5)} = \sqrt{3x^2} = \sqrt{3}x$. તેથી,$(A \rightarrow r)$.
$(B) |A-B| = \sqrt{x^2 + x^2 - 2x^2 \cos(60^{\circ})} = \sqrt{2x^2 - 2x^2(0.5)} = \sqrt{x^2} = x$. તેથી,$(B \rightarrow q)$.
$(C) A \cdot B = |A||B| \cos(60^{\circ}) = x \cdot x \cdot 0.5 = \frac{x^2}{2}$. તેથી,$(C \rightarrow s)$.
$(D) |A \times B| = |A||B| \sin(60^{\circ}) = x \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2$. તેથી,$(D \rightarrow p)$.
આમ,સાચી જોડ $(A \rightarrow r, B \rightarrow q, C \rightarrow s, D \rightarrow p)$ છે.

$(1)$ સમાન મૂલ્યના બે સદિશો માટે,પરિણામી સદિશ તેમની વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર હોય છે. જો મૂલ્યો અસમાન હોય,તો પરિણામી મોટા સદિશની નજીક હોય છે. સામાન્ય રીતે,આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં પરિણામી સદિશની દિશાને ખૂણાના દ્વિભાજક સાથે જોડવામાં આવે છે.
$(2)$ સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow A \times \overrightarrow B$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,તે $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ). તેથી,$(2)$ એ $(c)$ સાથે જોડાય છે.

(C) આપેલ છે: $\overrightarrow{ F }=2 \hat{ i }+\hat{ j }-\hat{ k }$ અને $\overrightarrow{ r }=3 \hat{ i }+2 \hat{ j }-2 \hat{ k }$.
$1$. અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ):
$\overrightarrow{ F } \cdot \overrightarrow{ r } = (2)(3) + (1)(2) + (-1)(-2) = 6 + 2 + 2 = 10$.
$2$. સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ):
$\overrightarrow{ F } \times \overrightarrow{ r } = \begin{vmatrix} \hat{ i } & \hat{ j } & \hat{ k } \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{ i }((1)(-2) - (-1)(2)) - \hat{ j }((2)(-2) - (-1)(3)) + \hat{ k }((2)(2) - (1)(3))$
$= \hat{ i }(-2 + 2) - \hat{ j }(-4 + 3) + \hat{ k }(4 - 3)$
$= 0 \hat{ i } + 1 \hat{ j } + 1 \hat{ k } = \hat{ j } + \hat{ k }$.
$3$. સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય:
$|\overrightarrow{ F } \times \overrightarrow{ r }| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
આમ,મૂલ્યો $10$ અને $\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે કણો ઉગમબિંદુથી સમાન અંતરે છે,તેથી તેમના માન સમાન છે: $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}|$.
$|\overrightarrow{A}|^2 = |\overrightarrow{B}|^2 \implies 2^2 + (3n)^2 + 2^2 = 2^2 + (-2)^2 + (4p)^2$.
$4 + 9n^2 + 4 = 4 + 4 + 16p^2 \implies 8 + 9n^2 = 8 + 16p^2 \implies 9n^2 = 16p^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$3n = \pm 4p$,તેથી $p = \pm \frac{3n}{4}$.
સદિશો કાટખૂણે હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
$(2)(2) + (3n)(-2) + (2)(4p) = 0 \implies 4 - 6n + 8p = 0$.
કિસ્સો $1$: $p = \frac{3n}{4}$ ને ડોટ ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $4 - 6n + 8(\frac{3n}{4}) = 0 \implies 4 - 6n + 6n = 0 \implies 4 = 0$ (અશક્ય).
કિસ્સો $2$: $p = -\frac{3n}{4}$ ને ડોટ ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $4 - 6n + 8(-\frac{3n}{4}) = 0 \implies 4 - 6n - 6n = 0 \implies 12n = 4 \implies n = \frac{1}{3}$.
તેથી,$n^{-1} = \frac{1}{n} = 3$.

(D) પ્રારંભિક સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{S}_1$ એ $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ ની દિશામાં છે. એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{3 \hat{i} + 4 \hat{j}}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{3 \hat{i} + 4 \hat{j}}{5}$ છે.
તેથી,$\vec{S}_1 = 30 \times \left(\frac{3 \hat{i} + 4 \hat{j}}{5}\right) = 18 \hat{i} + 24 \hat{j} \ m$.
ધારો કે બીજું સ્થાનાંતર $\vec{S}_2 = d \hat{n}$ છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ $\vec{S}_1$ ને લંબ એકમ સદિશ છે. $\vec{S}_1 = 18 \hat{i} + 24 \hat{j}$ હોવાથી,લંબ સદિશ $4 \hat{i} - 3 \hat{j}$ ના પ્રમાણમાં હશે.
તેથી,$\vec{S}_2 = k(4 \hat{i} - 3 \hat{j})$. તેનું મૂલ્ય $d = |k| \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5|k|$ છે.
કુલ સ્થાનાંતર $\vec{S}_{net} = \vec{S}_1 + \vec{S}_2 = (18 + 4k) \hat{i} + (24 - 3k) \hat{j}$.
કુલ સ્થાનાંતર $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$y$-ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$24 - 3k = 0 \implies k = 8$.
તેથી $\vec{S}_2 = 8(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) = 32 \hat{i} - 24 \hat{j}$.
તેનું મૂલ્ય $d = |\vec{S}_2| = \sqrt{32^2 + (-24)^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40 \ m$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{A}=3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}$,$\vec{B}=\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k}$,અને $\vec{C}=2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-4 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ સરવાળાનો સંબંધ ચકાસો:
$\vec{B}+\vec{C} = (\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k}) + (2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-4 \hat{k}) = 3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k} = \vec{A}$.
આમ,$\vec{A}=\vec{B}+\vec{C}$ સંતોષાય છે.
હવે,માનના વર્ગોની ગણતરી કરો:
$A^2 = |\vec{A}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$.
$B^2 = |\vec{B}|^2 = 1^2 + (-3)^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$.
$C^2 = |\vec{C}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 16 = 21$.
કિંમતો જોતા,$B^2 = 35$ અને $A^2 + C^2 = 14 + 21 = 35$.
તેથી,$B^2 = A^2 + C^2$ સંતોષાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\vec{A}=\vec{B}+\vec{C}$ અને $B^2=A^2+C^2$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{B} = B\hat{i}$ અને $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$. આપેલ છે કે $|\vec{A}| = 6$,તેથી $A_x^2 + A_y^2 = 36$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B)\hat{i} + A_y\hat{j}$ એ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $A_x + B = 0$,તેથી $A_x = -B$.
$A_x = -B$ ને મૂલ્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-B)^2 + A_y^2 = 36$,જે $A_y^2 = 36 - B^2$ આપે છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = A_y\hat{j}$ છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $|\vec{R}| = |A_y| = \sqrt{36 - B^2}$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec{R}| = 3B$,તેથી $\sqrt{36 - B^2} = 3B$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $36 - B^2 = 9B^2$,જેનું સાદું રૂપ $10B^2 = 36$ થાય છે.
આમ,$B^2 = 3.6$,તેથી $B = \sqrt{3.6}$ એકમ.

(C) પ્રથમ,$\vec{P} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = (1-1+2)\hat{i} + (1+1-2)\hat{j} + (3+4-8)\hat{k} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,$\vec{Q} = \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(4+3) + \hat{k}(1+1) = 1\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{P} \cdot \vec{Q} = (2)(1) + (0)(-7) + (-1)(2) = 2 + 0 - 2 = 0$ શોધો.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(C) સદિશો ત્રિકોણ બનાવે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે તેમનો સરવાળો શૂન્ય છે કે નહીં અથવા તેમને હેડ-ટુ-ટેલ ગોઠવી શકાય છે કે નહીં.
પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો ગણો: $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = (3+1+2) \hat{i} + (-2-3-1) \hat{j} + (1+5+4) \hat{k} = 6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 10 \hat{k} \neq 0$.
સરવાળો શૂન્ય ન હોવાથી,તેઓ બંધ લૂપ બનાવતા નથી.
વૈકલ્પિક રીતે,તપાસો કે શું કોઈ સદિશ અન્ય બેનો સરવાળો છે.
$\vec{A} + \vec{B} = 4 \hat{i} - 5 \hat{j} + 6 \hat{k} \neq \vec{C}$.
$\vec{A} + \vec{C} = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k} \neq \vec{B}$.
$\vec{B} + \vec{C} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 9 \hat{k} \neq \vec{A}$.
કોઈપણ સદિશ અન્ય બેનું પરિણામી ન હોવાથી,આ સદિશો ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.