સદિશો $\overrightarrow P = a\hat i + a\hat j + 3\hat k$ અને $\overrightarrow Q = a\hat i - 2\hat j - \hat k$ એકબીજાને લંબ છે. $a$ નું ધન મૂલ્ય કેટલું છે?

બળ $F = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k})$ એકમ અને સ્થાનાંતર $d = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k})$ એકમ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. $d$ પર $F$ નો પ્રક્ષેપ પણ શોધો.

બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ એકબીજાને કાટખૂણે હોય ત્યારે

જો સદિશો $\overrightarrow {A} = \cos\omega t\hat i + \sin\omega t\hat j$ અને $\overrightarrow {B} = \cos\frac{\omega t}{2}\hat i + \sin\frac{\omega t}{2}\hat j$ એ સમયના વિધેયો હોય,તો $t$ નું કયું મૂલ્ય છે જેના માટે તેઓ એકબીજાને લંબ હોય?

બે એકમ સદિશો $\hat{a}_{1}$ અને $\hat{a}_{2}$ એકબીજા સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલા છે. જો $|\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}|=\sqrt{3}$ હોય,તો $(\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) \cdot (2\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2})$ નું મૂલ્ય શોધો.

સદિશોનો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથેનો ગુણાકાર એટલે શું,તે ઉદાહરણ આપી સમજાવો.