Multiplication of Vectors Questions in Gujarati

(C) $1$. બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$ સાચું છે.
$2$. સદિશ સરવાળો ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$ સાચું છે.
$3$. બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) પ્રતિ-ક્રમી (anticommutative) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$.
$4$. તેથી,વિધાન $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{A}$ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે કે સદિશ $(\hat{a} + 2\hat{b})$ અને $(5\hat{a} - 4\hat{b})$ એકબીજાને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય.
$(\hat{a} + 2\hat{b}) \cdot (5\hat{a} - 4\hat{b}) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$5(\hat{a} \cdot \hat{a}) - 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 10(\hat{b} \cdot \hat{a}) - 8(\hat{b} \cdot \hat{b}) = 0$
અહીં $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$ અને $\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$ થાય. વળી,$\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{a}$ છે.
$5(1) + 6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 8(1) = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 3 = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 3$
$\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}||\hat{b}| \cos \theta$ અને $|\hat{a}| = |\hat{b}| = 1$ હોવાથી:
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^\circ$

(C) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ના મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $\text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 2 - 0 \times 1) - \hat{j}(3 \times 2 - 0 \times 0) + \hat{k}(3 \times 1 - 1 \times 0)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(6) + \hat{k}(3) = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું મૂલ્ય શોધીએ:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(2)^2 + (-6)^2 + (3)^2}$
$= \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $7$ એકમ છે.

(A) બે પરસ્પર લંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય છે.
આપેલ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
$(4\hat{i} + n\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(4 \times 2) + (n \times 3) + (-2 \times 1) = 0$.
$8 + 3n - 2 = 0$.
$6 + 3n = 0$.
$3n = -6$.
$n = -2$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A}$ એ $\vec{B}$ ને લંબ છે $(\vec{A} \perp \vec{B})$.
આપેલ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{C} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A}$ એ $\vec{C}$ ને લંબ છે $(\vec{A} \perp \vec{C})$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{B} \times \vec{C}$ એવો સદિશ આપે છે જે $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ બંને ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{A}$ એ $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ બંનેને લંબ હોવાથી,તે $\vec{B} \times \vec{C}$ સદિશને સમાંતર હોવો જોઈએ.

(D) આપણે કાર્ટેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં એકમ સદિશોના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) + \hat{j} \cdot (\hat{k} \times \hat{i}) + \hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) = \hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k}$.
કારણ કે એકમ સદિશનો પોતાની સાથેનો અદિશ ગુણાકાર $1$ થાય છે (એટલે કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$):
$1 + 1 + 1 = 3$.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{3} \vec{A} \cdot \vec{B}$.
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$AB \sin \theta = \sqrt{3} AB \cos \theta$ થાય.
બંને બાજુ $AB \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan \theta = \sqrt{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^\circ$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 60^\circ$ અને $\cos 60^\circ = 1/2$ મૂકતા,આપણને $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1/2)} = (A^2 + B^2 + AB)^{1/2}$ મળે છે.

(B) જ્યારે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો હોય,ત્યારે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -4 & 3 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-4)(-1) - (3)(-2)) - \hat{j}((5)(-1) - (3)(3)) + \hat{k}((5)(-2) - (-4)(3))$
$= \hat{i}(4 + 6) - \hat{j}(-5 - 9) + \hat{k}(-10 + 12)$
$= 10\hat{i} + 14\hat{j} + 2\hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન (magnitude) શોધો:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{10^2 + 14^2 + 2^2} = \sqrt{100 + 196 + 4} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
છેલ્લે,ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}| = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

(C) બે સદિશો $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ અને $\vec{B} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}$ પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
ઘટકોની કિંમત મૂકતા:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}) = 0$
$(2)(-4) + (3)(4) + (8)(\alpha) = 0$
$-8 + 12 + 8\alpha = 0$
$4 + 8\alpha = 0$
$8\alpha = -4$
$\alpha = -\frac{4}{8} = -0.5$.

(D) ધારો કે $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-1)) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 - 3) = 7\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 9 + 25} = \sqrt{83}$.
તેથી,એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{83}} (7\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k})$ થશે.

(A) ત્રણ સદિશો એક જ સમતલમાં હોય તે માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર (scalar triple product) શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = 0$
આપેલા ઘટકોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 5 & y & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2y - 2) - 2(10 - (-1)) - 2(10 - (-y)) = 0$
$2(2y - 2) - 2(11) - 2(10 + y) = 0$
$4y - 4 - 22 - 20 - 2y = 0$
$2y - 46 = 0$
$2y = 46$
$y = 23$

(B) ત્રણ સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમાંતરફલકનું કદ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$.
આ સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયકના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું છે:
$V = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |1(4 \times 3 - 0 \times 1) - 0 + 0| = |1(12) - 0 + 0| = 12$.
આમ,સમાંતરફલકનું કદ $12$ ઘન એકમ છે.

(B) ધારો કે $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ સદિશ શોધવા માટે,આપણે તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$ ગણીએ.
$\vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(1 - (-1)) = -2\hat{i} + 2\hat{k}$.
$\vec{C}$ નું મૂલ્ય $|\vec{C}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{C}}{|\vec{C}|} = \pm \frac{-2\hat{i} + 2\hat{k}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $\frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \times \vec{A} = \vec{V}$.
$\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{C}$ પરથી,$\vec{A} \times \vec{B} - \vec{B} \times \vec{C} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A} \times \vec{B} + \vec{C} \times \vec{B} = 0$.
આથી $(\vec{A} + \vec{C}) \times \vec{B} = 0$ મળે.
તે જ રીતે,$\vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \times \vec{A}$ પરથી $(\vec{B} + \vec{A}) \times \vec{C} = 0$ મળે.
અને $\vec{C} \times \vec{A} = \vec{A} \times \vec{B}$ પરથી $(\vec{C} + \vec{B}) \times \vec{A} = 0$ મળે.
આ સમીકરણો સૂચવે છે કે સદિશો $(\vec{A} + \vec{B})$,$(\vec{B} + \vec{C})$,અને $(\vec{C} + \vec{A})$ અનુક્રમે $\vec{C}$,$\vec{A}$,અને $\vec{B}$ ને સમાંતર છે.
જો $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{S}$ હોય,તો $\vec{A} + \vec{B} = \vec{S} - \vec{C}$. આ કિંમત ક્રોસ પ્રોડક્ટના સંબંધોમાં મૂકતા,સમાનતા જળવાઈ રહે તે માટે એકમાત્ર શક્ય ઉકેલ $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ છે.

(D) બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(4) + (4)(2) + (4)(-4) = 8 + 8 - 16 = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી $\cos \theta = 0$ મળે છે.
આથી,$\theta = \cos^{-1}(0) = 90^o$.

(C) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય તો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
અહીં $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{B} = -4\hat{i} - 6\hat{j} + \lambda\hat{k}$ આપેલ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2)(-4) + (3)(-6) + (-1)(\lambda) = 0$.
$-8 - 18 - \lambda = 0$.
$-26 - \lambda = 0$.
તેથી,$\lambda = -26$.

(B) સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow A \times \overrightarrow B$ નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix}$
$= \hat i(1 \times 4 - 2 \times -2) - \hat j(3 \times 4 - 2 \times 2) + \hat k(3 \times -2 - 1 \times 2)$
$= \hat i(4 + 4) - \hat j(12 - 4) + \hat k(-6 - 2)$
$= 8\hat i - 8\hat j - 8\hat k$
હવે,માન $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B | = \sqrt{(8)^2 + (-8)^2 + (-8)^2}$ શોધો.
$= \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{3 \times 64} = 8\sqrt{3}$.

(C) $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat n = \pm \frac{\overrightarrow A \times \overrightarrow B}{|\overrightarrow A \times \overrightarrow B|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow A \times \overrightarrow B$ શોધો:
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat i(4 - (-4)) - \hat j(12 - 4) + \hat k(-6 - 2) = 8\hat i - 8\hat j - 8\hat k$.
હવે,તેનું માન $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B|$ શોધો:
$|\overrightarrow A \times \overrightarrow B| = \sqrt{8^2 + (-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
આમ,એકમ સદિશ $\hat n = \pm \frac{8\hat i - 8\hat j - 8\hat k}{8\sqrt{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat i - \hat j - \hat k)$.
તેથી,વિકલ્પ $(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(D) બે સદિશો $\overrightarrow {A}$ અને $\overrightarrow {B}$ એકબીજાને લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = 0$.
આપેલ છે $\overrightarrow {A} = \cos \omega t \hat i + \sin \omega t \hat j$ અને $\overrightarrow {B} = \cos \frac{\omega t}{2} \hat i + \sin \frac{\omega t}{2} \hat j$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = (\cos \omega t \hat i + \sin \omega t \hat j) \cdot (\cos \frac{\omega t}{2} \hat i + \sin \frac{\omega t}{2} \hat j)$
$= \cos \omega t \cos \frac{\omega t}{2} + \sin \omega t \sin \frac{\omega t}{2}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = \cos(\omega t - \frac{\omega t}{2}) = \cos(\frac{\omega t}{2})$
સદિશો લંબ હોવાથી,$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = 0$,તેથી:
$\cos(\frac{\omega t}{2}) = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી:
$\frac{\omega t}{2} = \frac{\pi}{2}$
$t = \frac{\pi}{\omega}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $|\vec A \times \vec B| = \sqrt{3}(\vec A \cdot \vec B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec A \times \vec B| = AB \sin \theta$ છે અને અદિશ ગુણાકાર $\vec A \cdot \vec B = AB \cos \theta$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$AB \sin \theta = \sqrt{3} AB \cos \theta$.
બંને બાજુને $AB \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sqrt{3}$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ$.

(C) બે સદિશો $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\cos \theta = \frac{\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B}{|\overrightarrow A| |\overrightarrow B|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B = (2)(4) + (4)(2) + (4)(-4) = 8 + 8 - 16 = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી $\cos \theta = 0$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ$.

(B) સદિશ $\overrightarrow{A}$ નો સદિશ $\overrightarrow{B}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}$ શોધો:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(-1) + (3)(3) + (-1)(4) = -2 + 9 - 4 = 3$.
ત્યારબાદ,સદિશ $\overrightarrow{B}$ નું માન શોધો:
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}$.
છેલ્લે,પ્રક્ષેપની કિંમત મેળવો:
$\text{Projection} = \frac{3}{\sqrt{26}}$.

(C) $\overrightarrow {A}$ અને $\overrightarrow {B}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat n = \pm \frac{\overrightarrow {A} \times \overrightarrow {B}}{|\overrightarrow {A} \times \overrightarrow {B}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો સદિશ ગુણાકાર $8\hat i - 8\hat j - 8\hat k$ મળે,તો એકમ સદિશ $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat i - \hat j - \hat k)$ થાય.
તેથી,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ શરત: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}|$.
અદિશ ગુણાકાર અને સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ: $AB \cos \theta = AB \sin \theta$.
બંને બાજુ $AB \cos \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $A, B \neq 0$),આપણને $\tan \theta = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^\circ$.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ નું મૂલ્ય $|\overrightarrow{C}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 45^\circ$ અને $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$|\overrightarrow{C}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$.
$|\overrightarrow{C}| = \sqrt{A^2 + B^2 + \sqrt{2} AB}$.

(C) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \; \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે.
આ વ્યાખ્યા પરથી,આપણે એકમ સદિશ $\hat{n}$ ને આ રીતે અલગ કરી શકીએ છીએ:
$\hat{n} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{AB \sin \theta}$.
કારણ કે $|\vec{A}| = A$ અને $|\vec{B}| = B$ છે,તેથી આ પદ $\frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta}$ બને છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને પાસપાસેની બાજુઓ તરીકે લેતા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(2 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(3) + \hat{k}(1) = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન (magnitude) શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
અંતે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) બે સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો સંબંધ નક્કી કરવા માટે,આપણે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $\vec A \cdot \vec B$ શોધીએ છીએ.
જો $\vec A \cdot \vec B = 0$ હોય,તો સદિશો પરસ્પર લંબ હોય છે.
આપેલ છે કે $\vec A = -2\widehat i + 1\widehat j + 3\widehat k$ અને $\vec B = 7\widehat i + 5\widehat j + 3\widehat k$.
$\vec A \cdot \vec B = (-2)(7) + (1)(5) + (3)(3)$
$\vec A \cdot \vec B = -14 + 5 + 9$
$\vec A \cdot \vec B = -14 + 14 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો પરસ્પર લંબ છે.

(D) ધારો કે $\vec D = \vec A + \vec B$.
$\vec D = (2\hat i + \hat j - \hat k) + (\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = 3\hat i + 3\hat j + 2\hat k$.
આપણને $\vec C = 6\hat i - 2\hat j - 6\hat k$ આપેલ છે.
બે સદિશો $\vec D$ અને $\vec C$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec D \cdot \vec C}{|\vec D| |\vec C|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec D \cdot \vec C = (3)(6) + (3)(-2) + (2)(-6) = 18 - 6 - 12 = 0$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,બંને સદિશો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,ખૂણો $\theta = 90^o$ થશે.

(B) $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$.
$\vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 2) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(2 - (-2)) = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{C}$ નું માન $|\vec{C}| = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{C} = \frac{\vec{C}}{|\vec{C}|} = \frac{-2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{21}}$ થાય.

(A) જમણા હાથની કાર્ટેઝિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં,એકમ સદિશો $\hat{i}, \hat{j}, \text{ અને } \hat{k}$ ચક્રીય ક્રમનું પાલન કરે છે:
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે કારણ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
વિકલ્પ $(B)$ ખોટો છે કારણ કે લંબ એકમ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે $(\hat{k} \cdot \hat{i} = 0)$.
વિકલ્પ $(C)$ ખોટો છે કારણ કે એકમ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો ડોટ ગુણાકાર એક થાય છે $(\hat{i} \cdot \hat{i} = 1)$.
વિકલ્પ $(D)$ ખોટો છે કારણ કે સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ થાય છે $(\hat{j} \times \hat{j} = \vec{0})$.

(D) સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશ $\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
તેથી,$\overrightarrow{A}$ નો $(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})$ સાથેનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) = 0$
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{C} + \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{D} = 0$
સદિશ $\vec{V}$ નો $\vec{A}$ ની દિશામાં ઘટક $\frac{\vec{V} \cdot \vec{A}}{|A|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$|A| \times (\overrightarrow{A} \text{ ની દિશામાં } \overrightarrow{C} \text{ નો ઘટક}) + |A| \times (\overrightarrow{A} \text{ ની દિશામાં } \overrightarrow{D} \text{ નો ઘટક}) = 0$
$|A|$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\overrightarrow{A} \neq 0$):
$\overrightarrow{A}$ ની દિશામાં $\overrightarrow{C}$ નો ઘટક = $-$ $\overrightarrow{A}$ ની દિશામાં $\overrightarrow{D}$ નો ઘટક.

(A) આપેલ છે: $|A|=2, |B|=5$ અને $|A \times B|=8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|A \times B| = |A| |B| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $8 = (2)(5) \sin \theta$.
$8 = 10 \sin \theta \implies \sin \theta = 8/10 = 4/5$.
કારણ કે ખૂણો $\theta$ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \theta$ ધન હોવો જોઈએ.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5$ નો ઉપયોગ કરતા.
અદિશ ગુણાકાર $A \cdot B = |A| |B| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $A \cdot B = (2)(5)(3/5) = 10 \times (3/5) = 6$.

(B) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે: $\text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}|$.
આપેલ છે કે $\text{Area} = \frac{AB}{2}$,તેથી $|\vec{A} \times \vec{B}| = \frac{AB}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી: $AB \sin \theta = \frac{AB}{2}$.
બંને બાજુ $AB$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin \theta = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$ અથવા $\theta = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન.

(A) સદિશ $\overrightarrow{A}$ નો સદિશ $\overrightarrow{B}$ પરનો ઘટક (પ્રક્ષેપ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{Component} = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(1) + (3)(1) = 2 + 3 = 5$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\overrightarrow{B}$ નું મૂલ્ય શોધો,જે $|\overrightarrow{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
અંતે,ડોટ પ્રોડક્ટને મૂલ્ય વડે ભાગતા: $\text{Component} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સદિશ ગુણાકારનું માન એ અદિશ ગુણાકાર કરતાં $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ગણું છે:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \frac{1}{\sqrt{3}} (\vec{A} \cdot \vec{B})$
$AB \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} AB \cos \theta$
બંને બાજુને $AB \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
રેડિયનમાં ફેરવતા: $\theta = 30^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{6}$.

(A) બે સદિશો $A$ અને $B$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $\text{Area} = |A \times B|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $A \times B$ શોધો:
$A \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 0 & 12 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((1)(-2) - (-3)(12)) - \hat{j}((2)(-2) - (-3)(0)) + \hat{k}((2)(12) - (1)(0))$
$= \hat{i}(-2 + 36) - \hat{j}(-4 - 0) + \hat{k}(24 - 0)$
$= 34\hat{i} + 4\hat{j} + 24\hat{k}$
હવે,પરિણામી સદિશનું માન શોધો:
$|A \times B| = \sqrt{(34)^2 + (4)^2 + (24)^2}$
$= \sqrt{1156 + 16 + 576}$
$= \sqrt{1748}$
$\approx 41.8$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ક્ષેત્રફળ આશરે $42$ થાય છે,જે વિકલ્પ $A$ $(43)$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) સદિશ $A$ અને $B$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n}$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\hat{n} = \pm \frac{A \times B}{|A \times B|}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $A \times B$ શોધો:
$A \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -2 & -3 \\ 2 & 4 & 6 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-12 - (-12)) - \hat{j}(-18 - (-6)) + \hat{k}(-12 - (-4))$
$= \hat{i}(0) - \hat{j}(-12) + \hat{k}(-8) = 12 \hat{j} - 8 \hat{k}$.
ત્યારબાદ,તેનું માન $|A \times B|$ શોધો:
$|A \times B| = \sqrt{12^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = \sqrt{16 \times 13} = 4\sqrt{13}$.
હવે,એકમ સદિશ શોધો:
$\hat{n} = \frac{12 \hat{j} - 8 \hat{k}}{4\sqrt{13}} = \frac{3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{13}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec A = \hat i + \hat j$ અને $\vec B = 2\hat i - \hat j$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec A \cdot \vec B = (1)(2) + (1)(-1) = 2 - 1 = 1$ મેળવો.
ધારો કે સમતલીય સદિશ $\vec C = a\hat i + b\hat j$ છે.
શરત $\vec A \cdot \vec C = \vec A \cdot \vec B$ પરથી: $(1)(a) + (1)(b) = 1 \implies a + b = 1 \quad (i)$.
શરત $\vec B \cdot \vec C = \vec A \cdot \vec B$ પરથી: $(2)(a) + (-1)(b) = 1 \implies 2a - b = 1 \quad (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $(a + b) + (2a - b) = 1 + 1 \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a = \frac{2}{3}$ મૂકતા: $\frac{2}{3} + b = 1 \implies b = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
આમ,$\vec C = \frac{2}{3}\hat i + \frac{1}{3}\hat j$.
સદિશ $\vec C$ નું માન $|\vec C| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$ થાય.

(C) આપેલ છે: $|\vec{A}_1| = 3$,$|\vec{A}_2| = 5$,અને $|\vec{A}_1 + \vec{A}_2| = 5$.
ગુણધર્મ $|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$
$25 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$
$30 \cos \theta = -9 \implies \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = |\vec{A}_1||\vec{A}_2| \cos \theta = 3 \times 5 \times (-9/30) = -4.5$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરીએ:
$(2\vec{A}_1 + 3\vec{A}_2) \cdot (3\vec{A}_1 - 2\vec{A}_2) = 6|\vec{A}_1|^2 - 4\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 + 9\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 - 6|\vec{A}_2|^2$
$= 6|\vec{A}_1|^2 + 5(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) - 6|\vec{A}_2|^2$
$= 6(3^2) + 5(-4.5) - 6(5^2)$
$= 6(9) - 22.5 - 6(25)$
$= 54 - 22.5 - 150 = -118.5$.

(A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો અદિશ ગુણાકાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$.
અહીં આપેલા મૂલ્યો $A = 3$ અને $B = 5$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^o$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 3 \times 5 \times \cos(60^o)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^o) = 0.5$,તેથી:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 15 \times 0.5 = 7.5$.

(D) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
ધારો કે $\vec{F} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 16 - 9 = 7 \neq 0$.
$(B)$ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (6 \hat{i}) = 24 \neq 0$.
$(C)$ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (7 \hat{k}) = 0$. અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આ સદિશ લંબ છે.
$(D)$ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 12 - 12 = 0$. અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આ સદિશ પણ લંબ છે.
નોંધ: વિકલ્પ $(C)$ અને $(D)$ બંને $\vec{F}$ ને લંબ છે. સામાન્ય રીતે,$(D)$ એ $xy$-સમતલમાં રહેલો સદિશ છે જે $\vec{F}$ ને લંબ છે.

(A) બે સદિશો $\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j}$ નો સદિશ ગુણાકાર ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{A} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{A} \times \vec{B} = (2\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{i} + 2\hat{j})$
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2\hat{i} \times \hat{i} + 2\hat{i} \times 2\hat{j} + \hat{j} \times \hat{i} + \hat{j} \times 2\hat{j}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{j} = 0$,તેમજ $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$= 0 + 4(\hat{k}) + (-\hat{k}) + 0$
$= 3\hat{k}$

(C) સદિશ $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં સદિશ ઘટક પ્રક્ષેપ સદિશના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\vec{a}_{\text{proj}} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$.
અહીં $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(1) = 2 + 3 = 5$.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ ના માનનો વર્ગ શોધો: $|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (1)^2 = 2$.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{a}_{\text{proj}} = \left( \frac{5}{2} \right) (\hat{i} + \hat{j})$.
આમ,સદિશ ઘટક $\frac{5}{2}(\hat{i} + \hat{j})$ છે.

(B) આપેલ છે: $|\vec{A}_1| = 2$,$|\vec{A}_2| = 3$ અને $|\vec{A}_1 + \vec{A}_2| = 3$.
ત્રીજા સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $|\vec{A}_1 + \vec{A}_2|^2 = 3^2 = 9$.
$|\vec{A}_1|^2 + |\vec{A}_2|^2 + 2(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) = 9$.
$2^2 + 3^2 + 2(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) = 9 \implies 4 + 9 + 2(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) = 9 \implies 2(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) = -4 \implies \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = -2$.
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(\vec{A}_1 + 2\vec{A}_2) \times (3\vec{A}_1 - 4\vec{A}_2) = 3(\vec{A}_1 \times \vec{A}_1) - 4(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2) + 6(\vec{A}_2 \times \vec{A}_1) - 8(\vec{A}_2 \times \vec{A}_2)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{A} \times \vec{A} = 0$ અને $\vec{A}_2 \times \vec{A}_1 = -(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2)$,તેથી:
$0 - 4(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2) - 6(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2) - 0 = -10(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2)$.
આપણે માન મેળવવું છે: $|-10(\vec{A}_1 \times \vec{A}_2)| = 10 |\vec{A}_1| |\vec{A}_2| \sin \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = |\vec{A}_1| |\vec{A}_2| \cos \theta = -2 \implies (2)(3) \cos \theta = -2 \implies \cos \theta = -1/3$.
તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-1/3)^2} = \sqrt{8/9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
માન $= 10 \times 2 \times 3 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 40\sqrt{2} \approx 56.56$. પ્રશ્નના વિકલ્પોને જોતા,ગણતરી મુજબ નજીકનો વિકલ્પ $60$ છે.

(C) સદિશ $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ એ સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ દ્વારા બનતા સમતલમાં રહેલો છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશ $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
જેથી $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ના સમતલમાં હોવાથી,સદિશ $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ એ $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,$(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ અને $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ થાય છે.

(A) બે સદિશો લંબ હોય જો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
આપેલ છે $A = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j}$ અને $B = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j}$.
ડોટ ગુણાકાર $A \cdot B = (a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j}) \cdot (a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j}) = a_1 a_2 + b_1 b_2$.
લંબ સદિશો માટે,$A \cdot B = 0$,તેથી $a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a_1 a_2 = -b_1 b_2$,અથવા $\frac{a_1}{b_1} = -\frac{b_2}{a_2}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ લેતા:
$(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) \cdot (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = 0$
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A}) = 0$
સદિશો એકમ માન ધરાવે છે,તેથી $|\vec{A}| = |\vec{B}| = |\vec{C}| = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A}) = 0$
$3 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A}) = 0$
$2(\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A}) = -3$
$\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{A} = -1.5$

(D) જો બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોય,તો તે સદિશો એકબીજાને લંબ હોય છે.
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
$(2\hat{i} + 2\hat{j} - x\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) = 0$
$(2)(2) + (2)(-1) + (-x)(-3) = 0$
$4 - 2 + 3x = 0$
$2 + 3x = 0$
$3x = -2$
$x = -2/3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{A} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (4)(-3) + (3)(2) + (1)(6) = -12 + 6 + 6 = 0$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $a + b + c = 0$ છે.
આપણે લખી શકીએ કે $a + c = -b$.
બંને બાજુ $b$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા:
$(a + c) \times b = -b \times b$.
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી $(b \times b = 0)$,આપણને મળે છે:
$(a \times b) + (c \times b) = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$a \times b = -(c \times b)$.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $-(c \times b) = b \times c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \times b = b \times c$.