Resolution of a Vector into Rectangular Components Questions in Gujarati

(D) કોઈ ચોક્કસ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા સદિશ $\vec{F}$ નો તે અક્ષ પરનો ઘટક $F \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બળ $F = 5\, N$ એ શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta = 60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_v = F \cos 60^\circ$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $F_v = 5 \times \frac{1}{2} = 2.5\, N$ મળે છે.
આમ,શિરોલંબ ઘટક $2.5\, N$ છે.

(B) સદિશ $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ આપેલ છે.
અહીં,$x$-ઘટક $A_x = 2$ અને $y$-ઘટક $A_y = 3$ છે.
સદિશ $\vec{A}$ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{A_x}{A_y}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan \theta = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(2/3)$ થાય.

(C) આપેલ સદિશ $\vec{R} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$XY$ સમતલમાં સદિશની લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે ફક્ત સદિશના $x$ અને $y$ ઘટકોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$x$-ઘટક $R_x = 3$ છે અને $y$-ઘટક $R_y = 1$ છે.
$XY$ સમતલમાં લંબાઈનું સૂત્ર $\sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

(B) આપેલ સદિશ $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
આને $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A_x = 1$ અને $A_y = 1$ મળે છે.
સદિશ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{A_y}{A_x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \frac{1}{1} = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\tan 45^\circ = 1$,તેથી ખૂણો $\theta = 45^\circ$ થાય.

(C) એક સદિશને બે કે તેથી વધુ સદિશોમાં એવી રીતે વિભાજિત કરવાની પ્રક્રિયા કે જેથી તેમનો સદિશ સરવાળો મૂળ સદિશ જેટલો થાય,તેને સદિશનું વિભાજન કહેવામાં આવે છે.
કોઈપણ સદિશ $\vec{A}$ ને $\vec{A_1}, \vec{A_2}, \dots, \vec{A_n}$ જેવા કોઈપણ સંખ્યાના સદિશોના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જેથી $\vec{A} = \vec{A_1} + \vec{A_2} + \dots + \vec{A_n}$ થાય.
આ ઘટક સદિશો એકબીજાને લંબ અથવા સમાંતર હોવા જરૂરી નથી.
તેથી,કોઈપણ સદિશને બે અથવા ત્રણ સ્વેચ્છ સદિશો દ્વારા બદલી શકાય છે જે મૂળ સદિશને તેમનું પરિણામી ધરાવે છે.

(A) આપેલ છે: $v_y = 20$ અને $v_x = 10$.
વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = 10 \hat{i} + 20 \hat{j}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ ($X$-અક્ષ) સાથે ગતિની દિશા $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{20}{10} = 2$
તેથી,ખૂણો $\theta$ છે:
$\theta = \tan^{-1}(2)$.

(B) આપેલ છે કે,$F_x = 5 \, N$ અને $F_y = 5 \, N$.
પરિણામી બળ $F$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, N$.
$X$-અક્ષ સાથેની દિશા $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{5}{5} = 1$.
તેથી,$\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = \pi/4$ રેડિયન (અથવા $45^\circ$) થાય.
આમ,પરિણામી બળનું મૂલ્ય $5\sqrt{2} \, N$ અને દિશા $\pi/4$ છે.

(A) આપેલ છે કે ત્રણ સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય છે,એટલે કે $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 0$.
આકૃતિ પરથી,$\vec{OA}$ નીચેની તરફ $10 \, N$ ના મૂલ્ય સાથે કાર્ય કરે છે.
$\vec{OC}$ ના શિરોલંબ ઘટકને સંતુલિત કરવા માટે,$\vec{OC}$ નો શિરોલંબ ઘટક $\vec{OA}$ ના મૂલ્ય જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\theta = 45^\circ$ એ $\vec{OC}$ દ્વારા સમક્ષિતિજ અક્ષ $OD$ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
$\vec{OC}$ નો શિરોલંબ ઘટક $OC \sin(45^\circ) = OA = 10 \, N$ છે.
તેથી,$OC = \frac{10}{\sin(45^\circ)} = \frac{10}{1/\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \, N$.
$\vec{OC}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $OC \cos(45^\circ) = (10\sqrt{2}) \times (1/\sqrt{2}) = 10 \, N$ છે.
સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,$\vec{OC}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $\vec{OB}$ દ્વારા સંતુલિત થવો જોઈએ.
આમ,$OB = 10 \, N$.
તેથી,મૂલ્યો $OB = 10 \, N$ અને $OC = 10\sqrt{2} \, N$ છે.

(A) દ્વિ-પરિમાણીય સમતલમાં રહેલા સદિશને બે પરસ્પર લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે,જે સામાન્ય રીતે $x$ અને $y$ અક્ષો પર હોય છે.
જોકે સદિશને વિવિધ દિશાઓમાં ગમે તેટલા ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે,પરંતુ સમતલમાં પ્રમાણિત વિભાજનમાં બરાબર $2$ લંબ ઘટકો હોય છે.
તેથી,સમતલમાં લંબ ઘટકોની મહત્તમ સંખ્યા $2$ છે.

(C) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તેમનો ડોટ (અદિશ) ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
ધારો કે $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j}$ છે.
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ હોવાથી,$(A \cos \theta)(B_x) + (A \sin \theta)(B_y) = 0$ મળે.
આથી $B_x \cos \theta = -B_y \sin \theta$,અથવા $\frac{B_x}{B_y} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ થાય.
તેથી,આપણે $B_x = B \sin \theta$ અને $B_y = -B \cos \theta$ લઈ શકીએ.
આમ,$\vec{B} = \hat{i} B \sin \theta - \hat{j} B \cos \theta$ મળે.

(A) આપેલ છે: સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = 40 \ N$,ખૂણો $\theta = 60^\circ$.
સમક્ષિતિજ ઘટકનું સૂત્ર $F_x = F \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $40 = F \cos 60^\circ = F \times (1/2)$.
તેથી,બળનું મૂલ્ય $F = 40 \times 2 = 80 \ N$ મળે.
શિરોલંબ ઘટકનું સૂત્ર $F_y = F \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F_y = 80 \sin 60^\circ = 80 \times (\sqrt{3}/2) = 40\sqrt{3} \ N$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$F_y = 40 \times 1.732 = 69.28 \ N$ મળે.

(B) આપેલ સદિશ $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2} \hat{k}$ છે.
$Z$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{k}$ છે,તેથી $\vec{B} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ લેતા.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(0) + (1)(0) + (\sqrt{2})(1) = \sqrt{2}$.
ત્યારબાદ,$\vec{A}$ નું માન શોધો: $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
$\vec{B}$ નું માન $|\vec{B}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2 \times 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$.

(B) ધારો કે સદિશો $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \dots$ છે,જેના $x$-ઘટકો $A_x, B_x, C_x, \dots$ અને મૂલ્યો $A, B, C, \dots$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \dots$ છે.
પરિણામીનો $x$-ઘટક $R_x = A_x + B_x + C_x + \dots$ થાય.
આમ,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
કોઈપણ સદિશનો $x$-ઘટક હંમેશા તેના મૂલ્ય કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય છે $(A_x \le A)$,તેથી $x$-ઘટકોનો સરવાળો $R_x = \sum A_x \le \sum A$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $R_x$ હંમેશા સદિશોના મૂલ્યોના સરવાળા કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય છે.
તેથી,$R_x$ એ મૂલ્યોના સરવાળા કરતા ઓછો હોઈ શકે છે (વિધાન $(b)$ સાચું છે).
જોકે,$R_x$ એ મૂલ્યોના સરવાળા કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં,તેથી વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
$R_x$ એ મૂલ્યોના સરવાળા જેટલો જ હોય તે જરૂરી નથી (વિધાન $(d)$ ખોટું છે).
આમ,વિધાન $(a)$ અને $(b)$ સાચા છે.

(A) સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{A} = 50(\cos 45^{\circ} \hat{i} + \sin 45^{\circ} \hat{j}) = 50(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
$\vec{B} = 50(\cos 135^{\circ} \hat{i} + \sin 135^{\circ} \hat{j}) = 50(-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
$\vec{C} = 50(\cos 315^{\circ} \hat{i} + \sin 315^{\circ} \hat{j}) = 50(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 50(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{i} + 50(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j}$
$\vec{R} = 50(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય:
$|\vec{R}| = \sqrt{(50/\sqrt{2})^2 + (50/\sqrt{2})^2} = \sqrt{1250 + 1250} = \sqrt{2500} = 50 \text{ units}$.

(B) ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક સદિશને ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો: $x$-અક્ષ,$y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષ પરના ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
આ ઘટકોને લંબચોરસ ઘટકો (rectangular components) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આપણો ભૌતિક અવકાશ ત્રિ-પરિમાણીય હોવાથી,એક સદિશના મહત્તમ $3$ લંબચોરસ ઘટકો હોઈ શકે છે.

(D) એક સદિશને વિવિધ દિશાઓમાં અનંત સંખ્યાના ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
જોકે આપણે સામાન્ય રીતે $3D$ કાર્ટેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં સદિશને $3$ પરસ્પર લંબ (ઓર્થોગોનલ) ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ,પરંતુ ગાણિતિક રીતે,એક સદિશને કોઈપણ દિશામાં ગમે તેટલી સંખ્યાના ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

(D) ધારો કે સદિશ $\vec{r}$ છે અને તેનું મૂલ્ય $r$ છે.
આપેલ છે કે $Y$-અક્ષ પરનો ઘટક $r_y = 10$ એકમ છે.
$X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
$Y$-અક્ષ પરનો ઘટક $r_y = r \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $10 = r \sin(30^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,તેથી $10 = r \times 0.5$.
આમ,$r = \frac{10}{0.5} = 20$ એકમ.

(D) ધારો કે $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{b}$ ની દિશામાં $\vec{a}$ નો ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\vec{a}_{\text{parallel}} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(1) + (4)(1) = 3 + 4 = 7$.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ ના માનનો વર્ગ શોધો: $|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 = 2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\vec{a}_{\text{parallel}} = \left( \frac{7}{2} \right) (\hat{i} + \hat{j})$.
આમ,સાચો ઘટક $\frac{7}{2}(\hat{i} + \hat{j})$ છે.

(D) $xy$-સમતલ પર સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ નો પ્રક્ષેપ $\vec{r}_{xy} = x\hat{i} + y\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સદિશ $\vec{r} = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ માટે,$xy$-સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ $\vec{r}_{xy} = 3\hat{i} + 1\hat{j}$ છે.
આ પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $|\vec{r}_{xy}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ થાય.

(D) શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા બળ $\vec{F}$ નો શિરોલંબ ઘટક $F_y = F \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$F = 5 \, N$ અને $\theta = 60^\circ$ આપેલ છે.
તેથી,શિરોલંબ ઘટક $F_y = 5 \cos 60^\circ$ થશે.
$\cos 60^\circ = 0.5$ હોવાથી,$F_y = 5 \times 0.5 = 2.5 \, N$ મળે.

(A) ધારો કે સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $x$,$y$ અને $z$ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે સદિશ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta = \gamma$.
સદિશના દિક-કોસાઇન (direction cosines) સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નું પાલન કરે છે.
$\alpha = \beta = \gamma$ મૂકતા,આપણને $3 \cos^2 \alpha = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના ઘટકો $A_x = A \cos \alpha$,$A_y = A \cos \beta$ અને $A_z = A \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$A_x = A_y = A_z = A \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{A}{\sqrt{3}}$.

(B) ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જે કણનો પથ $x$-અક્ષ સાથે બનાવે છે.
આપેલ યામ $(x, y) = (\sqrt{3}, 3)$ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\tan \theta = \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$.

(B) ધારો કે $AC = b$ અને $AB = c$. બળો $F_1 = 1/b$ એ $AC$ ની દિશામાં અને $F_2 = 1/c$ એ $AB$ ની દિશામાં લાગે છે.
$\angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \sqrt{\frac{b^2 + c^2}{b^2 c^2}}$
$\Delta ABC$ માં,$BC^2 = b^2 + c^2$,તેથી $F_{\text{net}} = \frac{\sqrt{BC^2}}{bc} = \frac{BC}{bc}$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times b \times c = \frac{1}{2} \times BC \times AD$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $AD$ એ કર્ણ $BC$ પરનો વેધ છે.
તેથી,$bc = BC \times AD$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{BC}{bc} = \frac{1}{AD}$.
આમ,$F_{\text{net}} = \frac{1}{AD}$.

(B) ધારો કે બળો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પરિણામી બળ $R$ એ સદિશ સરવાળો $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ ની દિશામાં $R$ નો ઘટક $P + Q \cos \theta$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઘટક $Q$ જેટલો છે.
તેથી,$P + Q \cos \theta = Q$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $Q \cos \theta = Q - P$ મળે છે.
આમ,$\cos \theta = \frac{Q - P}{Q} = 1 - \frac{P}{Q}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \theta = 1 - 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \frac{P}{Q}$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા,$-2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) = -\frac{P}{Q}$ મળે છે.
તેથી,$\sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{P}{2Q}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \left(\frac{P}{2Q}\right)^{1/2}$ મળે છે.
અંતે,ખૂણો $\theta = 2 \sin^{-1} \left(\frac{P}{2Q}\right)^{1/2}$ થાય છે.

(B) સદિશ $\vec{A} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$ આપેલ છે.
$x-y$ સમતલમાં સદિશનો ઘટક તેના $x$ અને $y$ ઘટકોનું પરિણામી છે,જે $\sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ મળે છે.
$z$-અક્ષ પરનો ઘટક $A_z = 10$ છે.
$x-y$ સમતલ પરના ઘટકનું માન અને $z$-અક્ષ પરના ઘટકનો ગુણોત્તર $\frac{5}{10} = 0.5$ થાય છે.

(C) સદિશ $P = P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}$ એ $z$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\gamma$ માટેનું સૂત્ર $\cos \gamma = \frac{P_z}{|P|}$ છે.
અહીં $P = 6 \hat{i} + 4 \sqrt{2} \hat{j} + 4 \sqrt{2} \hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ $P$ નું માન $|P| = \sqrt{(6)^2 + (4 \sqrt{2})^2 + (4 \sqrt{2})^2}$ થાય.
$|P| = \sqrt{36 + (16 \times 2) + (16 \times 2)} = \sqrt{36 + 32 + 32} = \sqrt{100} = 10$.
$z$-ઘટક $P_z = 4 \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$\cos \gamma = \frac{4 \sqrt{2}}{10} = \frac{2 \sqrt{2}}{5}$.
આમ,$\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{5}\right)$.

(D) બળ $F = 5 \ N$ એ શિરોલંબ દિશા સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા સદિશ $F$ નો શિરોલંબ ઘટક $F_V = F \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F_V = 5 \times \cos 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$,તેથી:
$F_V = 5 \times 0.5 = 2.5 \ N$.
આમ,શિરોલંબ ઘટક $2.5 \ N$ છે.

(A) માણસ પૂર્વથી ઉત્તર તરફ $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે $d = 20\,m$ અંતર કાપે છે.
પૂર્વ દિશામાં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતર સદિશનો સમક્ષિતિજ ઘટક ગણીશું.
સમક્ષિતિજ ઘટક $d_x = d \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $d_x = 20 \cos(60^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,તેથી $d_x = 20 \times 0.5 = 10\,m$ મળે છે.
આમ,માણસે પૂર્વ દિશામાં $10\,m$ અંતર કાપ્યું છે.

(A) સદિશ $\vec{A} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$ નું માન $|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
ધારો કે $\alpha, \beta, \text{ અને } \gamma$ એ સદિશ દ્વારા $x, y, \text{ અને } z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણાઓ છે.
દિગ્કોસાઇન (direction cosines) નીચે મુજબ મળે છે: $\cos \alpha = \frac{A_x}{|\vec{A}|}, \cos \beta = \frac{A_y}{|\vec{A}|}, \text{ અને } \cos \gamma = \frac{A_z}{|\vec{A}|}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \alpha = \frac{3}{7}, \cos \beta = \frac{6}{7}, \text{ અને } \cos \gamma = \frac{2}{7}$.
તેથી,ખૂણાઓ $\alpha = \cos^{-1}(\frac{3}{7}), \beta = \cos^{-1}(\frac{6}{7}), \text{ અને } \gamma = \cos^{-1}(\frac{2}{7})$ છે.

(C) આકૃતિ પરથી,બળ $\vec{F}$ ચોથા ચરણમાં ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta = -45^{\circ}$ છે.
બળના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$F_x = F \cos(-45^{\circ}) = 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2}$
$F_y = F \sin(-45^{\circ}) = 100 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -50\sqrt{2}$
આમ,એકમ સદિશ સંકેતમાં બળ:
$\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} = 50\sqrt{2} \hat{i} - 50\sqrt{2} \hat{j} = 50\sqrt{2}(\hat{i} - \hat{j})$

(N/A) ધારો કે $\vec{P} = \hat{i} + \hat{j}$. તેનું મૂલ્ય $|\vec{P}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે. તેની દિશા $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \tan^{-1}(1/1) = 45^{\circ}$ છે.
ધારો કે $\vec{Q} = \hat{i} - \hat{j}$. તેનું મૂલ્ય $|\vec{Q}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે. તેની દિશા $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \tan^{-1}(-1/1) = -45^{\circ}$ છે.
સદિશ $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ નો સદિશ $\vec{V}$ ની દિશામાં ઘટક શોધવા માટે,આપણે $\text{Component} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{V}}{|\vec{V}|} \right) \hat{V}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\vec{V}_1 = \hat{i} + \hat{j}$ માટે,$|\vec{V}_1| = \sqrt{2}$. એકમ સદિશ $\hat{u}_1 = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે.
ઘટક $= (\vec{A} \cdot \hat{u}_1) \hat{u}_1 = \left( \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j})}{\sqrt{2}} \right) \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} = \left( \frac{2+3}{2} \right) (\hat{i} + \hat{j}) = 2.5(\hat{i} + \hat{j})$.
$\vec{V}_2 = \hat{i} - \hat{j}$ માટે,$|\vec{V}_2| = \sqrt{2}$. એકમ સદિશ $\hat{u}_2 = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે.
ઘટક $= (\vec{A} \cdot \hat{u}_2) \hat{u}_2 = \left( \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (\hat{i} - \hat{j})}{\sqrt{2}} \right) \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} = \left( \frac{2-3}{2} \right) (\hat{i} - \hat{j}) = -0.5(\hat{i} - \hat{j})$.

(N/A) આકૃતિ $(a)$ માં,$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ એ સમતલીય અને સમાંતર ન હોય તેવા સદિશો છે.
આપણે સદિશ $\vec{R}$ ને $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરવા માંગીએ છીએ.
ધારો કે $\vec{OQ}$ એ $\vec{R}$ દર્શાવે છે.
આકૃતિ $(b)$ માં,$O$ માંથી $\vec{A}$ ને સમાંતર રેખા દોરો અને $Q$ માંથી $\vec{B}$ ને સમાંતર બીજી રેખા દોરો. આ બંને રેખાઓ બિંદુ $P$ પર છેદે છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણની રીત મુજબ:
$\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ}$
અહીં,$\vec{OP} \parallel \vec{A}$ હોવાથી,$\vec{OP} = \lambda \vec{A}$ લખી શકાય.
અને $\vec{PQ} \parallel \vec{B}$ હોવાથી,$\vec{PQ} = \mu \vec{B}$ લખી શકાય.
(અહીં,$\lambda$ અને $\mu$ એ અદિશ અચળાંકો છે).
તેથી,$\vec{R} = \lambda \vec{A} + \mu \vec{B}$.
આમ,$\vec{R}$ ને $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ની દિશામાં તેના ઘટકોના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $O$-$XY$ દ્વિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિનો વિચાર કરો.
ધારો કે બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{A}$ છે.
$P$ માંથી $X$-અક્ષ પર લંબ દોરતા $OM$ મળે છે,જ્યાં $\vec{OM} = \vec{A}_x = A_x \hat{i}$ એ $\vec{A}$ નો $X$-ઘટક છે.
$P$ માંથી $Y$-અક્ષ પર લંબ દોરતા $ON$ મળે છે,જ્યાં $\vec{ON} = \vec{A}_y = A_y \hat{j}$ એ $\vec{A}$ નો $Y$-ઘટક છે,જ્યાં $A_x$ અને $A_y$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
આકૃતિ પરથી,સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{A} = \vec{A}_x + \vec{A}_y$
$\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$
ધારો કે $\vec{A}$ એ $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OMP$ માં:
$\cos \theta = \frac{A_x}{A} \implies A_x = A \cos \theta$
$\sin \theta = \frac{A_y}{A} \implies A_y = A \sin \theta$
આ સમીકરણો પરથી કહી શકાય કે ખૂણા $\theta$ ના આધારે ઘટકો ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.
સદિશોને સમતલમાં બે રીતે દર્શાવી શકાય છે:
$(i)$ તેના મૂલ્ય અને દિશા દ્વારા.
$(ii)$ તેના ઘટકો ($X$ અને $Y$ ઘટકો) દ્વારા.

(B) વેક્ટરનું વિભાજન એ એક વેક્ટરને ચોક્કસ દિશાઓમાં (સામાન્ય રીતે $x$ અને $y$ જેવા લંબ અક્ષો પર) બે કે તેથી વધુ ઘટકોમાં વિભાજિત કરવાની પ્રક્રિયા છે.
આ તકનીક મુખ્યત્વે વેક્ટરના સરવાળા અને બાદબાકીને સરળ બનાવવા માટે જરૂરી છે.
વેક્ટર્સને તેમના લંબ ઘટકોમાં વિભાજીત કરીને,આપણે તેમના સંબંધિત $x$ અને $y$ ઘટકોનો સરવાળો કે બાદબાકી કરીને તેમને બીજગણિતીય રીતે ઉમેરી કે બાદ કરી શકીએ છીએ,જે દરેક ક્રિયા માટે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ અથવા ત્રિકોણનો નિયમ વાપરવા કરતાં ઘણું સરળ છે.

(A) ધારો કે કુલ કાપેલું અંતર $d = 500 \,m$ છે જે સમક્ષિતિજ રન-વે સાથે $\theta = 60^o$ ના ખૂણે છે.
અંતરનો સમક્ષિતિજ ઘટક $d_x = d \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d_x = 500 \cos(60^o) = 500 \times (1/2) = 250 \,m$.
અંતરનો શિરોલંબ ઘટક $d_y = d \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d_y = 500 \sin(60^o) = 500 \times (\sqrt{3}/2) = 250 \sqrt{3} \,m$.
તેથી,સમક્ષિતિજ અંતર $250 \,m$ છે અને શિરોલંબ અંતર $250 \sqrt{3} \,m$ છે.

(N/A) ના. ધારો કે એક સદિશ $\vec{A}$ ના દ્વિ-પરિમાણીય સમતલમાં લંબ ઘટકો $A_x$ અને $A_y$ છે.
આ ઘટકો નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$A_x = A \cos \theta$
$A_y = A \sin \theta$
જ્યાં $A$ એ સદિશનું મૂલ્ય છે અને $\theta$ એ $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ બંનેનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,ઘટકો $A_x$ અને $A_y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $A$ જેટલું જ હોઈ શકે (જ્યારે $\theta = 0^\circ$ અથવા $90^\circ$ હોય).
ગાણિતિક રીતે,$|\cos \theta| \le 1$ અને $|\sin \theta| \le 1$ હોવાથી,$|A_x| \le |A|$ અને $|A_y| \le |A|$ થાય.
તેથી,લંબ ઘટકનું મૂલ્ય ક્યારેય મૂળ સદિશના મૂલ્ય કરતાં વધી શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ એ સદિશ $\overrightarrow{A}$ અને અનુક્રમે $x, y$ અને $z$-અક્ષો વચ્ચેના ખૂણા છે.
સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના $x, y$ અને $z$-અક્ષો પરના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$A_{x} = A \cos \alpha$
$A_{y} = A \cos \beta$
$A_{z} = A \cos \gamma$
સામાન્ય રીતે,સદિશ $\overrightarrow{A}$ ને તેના ઘટકોના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$\overrightarrow{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}$
સદિશ $\overrightarrow{A}$ નું માન નીચે મુજબ મળે છે:
$|\overrightarrow{A}| = A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}}$
તે જ રીતે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$
જ્યાં $x, y$ અને $z$ એ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$-અક્ષો પરના $\vec{r}$ ના ઘટકો છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નું માન:
$|\vec{r}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

(A) ધારો કે બળ $\overrightarrow{P}$ બિંદુ $A$ પર નીચેની તરફ શિરોલંબ દિશામાં લગાડવામાં આવે છે. આપણે આ બળને સળિયા $AB$ અને $AC$ ની દિશામાં વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.
ધારો કે $\overrightarrow{F_{AB}}$ અને $\overrightarrow{F_{AC}}$ એ બળ $\overrightarrow{P}$ ના અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ની દિશામાં ઘટકો છે.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{P} = \overrightarrow{F_{AB}} + \overrightarrow{F_{AC}}$.
આકૃતિ પરથી,શિરોલંબ બળ $\overrightarrow{P}$ અને સળિયા $AC$ વચ્ચેનો ખૂણો $35^{\circ}$ છે.
સળિયા $AC$ ની દિશામાં બળ $\overrightarrow{P}$ નો ઘટક $P \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ સદિશ અને સળિયા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$AC$ ની દિશામાં ઘટકનું મૂલ્ય $x = 100 \cos(35^{\circ}) \; N$ છે.
આપેલ છે કે $\cos(35^{\circ}) = 0.819$.
$x = 100 \times 0.819 = 81.9 \; N$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $x = 82$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક સદિશનું મૂલ્ય $\lambda$ છે.
$\overrightarrow{ OA } = \lambda (\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}) = \lambda (\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j})$
$\overrightarrow{ OB } = \lambda (\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j}) = \lambda (\frac{1}{2} \hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j})$
$\overrightarrow{ OC } = \lambda (\cos 45^{\circ} (-\hat{i}) + \sin 45^{\circ} \hat{j}) = \lambda (-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
હવે,$\overrightarrow{ R } = \overrightarrow{ OA } + \overrightarrow{ OB } - \overrightarrow{ OC }$ ની ગણતરી કરીએ.
$\overrightarrow{ R } = \lambda [(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) \hat{i} + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j}]$
$\overrightarrow{ R } = \lambda [(\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{2}}{2}) \hat{i} + (\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}) \hat{j}]$
$x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{R_y}{R_x}$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \frac{\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{2}}{2}} = \frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
તેથી,$\theta = \tan ^{-1} \frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.

(A) પરિણામી બળ શોધવા માટે,દરેક બળને તેના $x$ અને $y$ ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ:
$F_x = 10 \cos 30^\circ + 20 \sin 30^\circ + 20 \cos 45^\circ - 15 \cos 45^\circ - 15 \sin 60^\circ$
$F_x = 10(0.85) + 20(0.5) + 20(0.7) - 15(0.7) - 15(0.85) = 8.5 + 10 + 14 - 10.5 - 12.75 = 9.25 \text{ N}$
$F_y = 10 \sin 30^\circ + 20 \cos 30^\circ + 15 \cos 60^\circ - 20 \sin 45^\circ - 15 \sin 45^\circ$
$F_y = 10(0.5) + 20(0.85) + 15(0.5) - 20(0.7) - 15(0.7) = 5 + 17 + 7.5 - 14 - 10.5 = 5 \text{ N}$
આમ,પરિણામી બળ $9.25 \hat{i} + 5 \hat{j} \text{ N}$ છે.

(D) વ્યક્તિનું સ્થાનાંતર સદિશ $r = 3.18 \,km$ છે જે પૂર્વથી ઉત્તર તરફ $\theta = 25.0^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
ઉત્તર દિશામાં અને ત્યારબાદ પૂર્વ દિશામાં ચાલીને સમાન સ્થાને પહોંચવા માટે,આપણે સ્થાનાંતર સદિશના લંબ ઘટકો મેળવવા પડશે.
પૂર્વ દિશા (x-અક્ષ) તરફનો ઘટક $x = r \cos \theta = 3.18 \times \cos 25.0^{\circ} \approx 3.18 \times 0.9063 = 2.88 \,km$ છે.
ઉત્તર દિશા (y-અક્ષ) તરફનો ઘટક $y = r \sin \theta = 3.18 \times \sin 25.0^{\circ} \approx 3.18 \times 0.4226 = 1.34 \,km$ છે.
તેથી,તે જ સ્થાને પહોંચવા માટે વ્યક્તિએ $1.34 \,km$ ઉત્તર તરફ અને $2.88 \,km$ પૂર્વ તરફ ચાલવું પડશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) આપેલ છે કે,સ્થાનાંતર સદિશનું માન $|\vec{d}| = 4$ અને $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
સદિશ $\vec{d}$ ના લંબચોરસ ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$d_x = |\vec{d}| \cos \theta$
$d_y = |\vec{d}| \sin \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$d_x = 4 \cos 30^{\circ} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
$d_y = 4 \sin 30^{\circ} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$
આમ,લંબચોરસ ઘટકો $2\sqrt{3}$ અને $2$ છે.

(D) $10 \, N$ ના મૂલ્ય ધરાવતા સદિશ માટે,તેના લંબ ઘટકો $F_x$ અને $F_y$ હોય,તો તે $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$ શરતનું પાલન કરે,જેનો અર્થ છે કે $F^2 = F_x^2 + F_y^2 = 10^2 = 100$.
દરેક વિકલ્પ તપાસતા:
$A$: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. (શક્ય છે)
$B$: $7^2 + (\sqrt{51})^2 = 49 + 51 = 100$. (શક્ય છે)
$C$: $(6\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{7})^2 = (36 \times 2) + (4 \times 7) = 72 + 28 = 100$. (શક્ય છે)
$D$: $9^2 + 1^2 = 81 + 1 = 82 \neq 100$. (શક્ય નથી)
તેથી,$9 \, N$ અને $1 \, N$ ની જોડી લંબ ઘટકો હોઈ શકે નહીં.

(D) ધારો કે સદિશ $\vec{A}$ છે. $y$-ઘટક $A_y = A \cos 30^{\circ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A_y = 2 \sqrt{3}$,તેથી:
$A \cos 30^{\circ} = 2 \sqrt{3}$
$A \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \sqrt{3}$
$A = 4$
હવે,$x$-ઘટક $A_x = A \sin 30^{\circ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A_x = 4 \times \sin 30^{\circ} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
આમ,$x$-ઘટકનું મૂલ્ય $2$ છે.

(D) ધારો કે સદિશ $\overrightarrow{OP}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં છે,$\overrightarrow{OP} = A \hat{i}$.
સદિશ $\overrightarrow{OQ}$ એ $\overrightarrow{OP}$ થી $90^\circ$ ના ખૂણે છે,તેથી $\overrightarrow{OQ} = A \hat{j}$.
સદિશ $\overrightarrow{OR}$ એ $x$-અક્ષની નીચે $45^\circ$ ના ખૂણે છે,તેથી $\overrightarrow{OR} = A \cos(45^\circ) \hat{i} - A \sin(45^\circ) \hat{j} = \frac{A}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{A}{\sqrt{2}} \hat{j}$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} = (A + \frac{A}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (A - \frac{A}{\sqrt{2}}) \hat{j}$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{R}| = \sqrt{(A + \frac{A}{\sqrt{2}})^2 + (A - \frac{A}{\sqrt{2}})^2}$.
$|\vec{R}| = \sqrt{A^2(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + A^2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = A \sqrt{(1 + \frac{1}{2} + \sqrt{2}) + (1 + \frac{1}{2} - \sqrt{2})} = A \sqrt{1 + 0.5 + 1 + 0.5} = A \sqrt{3}$.
$A \sqrt{3}$ ની સરખામણી $A \sqrt{x}$ સાથે કરતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) સદિશ $\vec{A} = \sqrt{3} \hat{i} - \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
આને $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A_x = \sqrt{3}$ અને $A_y = -1$ મળે છે.
સદિશ ધન $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{A_y}{A_x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
કારણ કે $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\tan(-30^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
આમ,$\theta = -30^{\circ}$.

(D) $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે લાગતા બળ $F$ ના ઘટકો $F_{x} = F \cos \theta$ અને $F_{y} = F \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$F_{x} = F \cos 30^{\circ} = F \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} F$.
$F_{y} = F \sin 30^{\circ} = F \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} F$.
આમ,$X$ અને $Y$ ઘટકો અનુક્રમે $\frac{\sqrt{3}}{2} F$ અને $\frac{1}{2} F$ છે.

(A) સદિશ $\vec{r}$ નો $x$-અક્ષ પરનો ઘટક $r_x = r \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશ $\vec{r}$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ઘટક $r_x$ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે તે માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,સદિશ $\vec{r}$ નો $x$-અક્ષ પરનો ઘટક ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે સદિશ $\vec{r}$ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં હોય.

(B) બળ $F$ માટે જેના લંબચોરસ ઘટકો $F_x$ અને $F_y$ છે,તેમનો સંબંધ $F^2 = F_x^2 + F_y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે પરિણામી બળ $F = 40 \ N$ અને એક ઘટક $F_x = 20 \sqrt{3} \ N$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(40)^2 = (20 \sqrt{3})^2 + F_y^2$
$1600 = (400 \times 3) + F_y^2$
$1600 = 1200 + F_y^2$
$F_y^2 = 1600 - 1200 = 400$
$F_y = \sqrt{400} = 20 \ N$.
આમ,બીજો લંબચોરસ ઘટક $20 \ N$ છે.

(B) પ્રારંભિક સદિશ $\vec{A} = 4\hat{i} + 10\hat{j}$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{A}| = \sqrt{(4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \,m$ છે.
જ્યારે સદિશને ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું માન અચળ રહે છે.
ધારો કે નવો સદિશ $\vec{A}' = 8\hat{i} + n\hat{j}$ છે, જ્યાં $x$-ઘટક બમણો $(4 \times 2 = 8)$ થાય છે.
માન સમાન હોવાથી, $|\vec{A}'| = |\vec{A}|$.
$\sqrt{8^2 + n^2} = \sqrt{116}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $64 + n^2 = 116$ મળે છે.
$n^2 = 116 - 64 = 52$.
$n = \sqrt{52} \approx 7.21 \,m$.
આમ, નવો $y$-ઘટક આશરે $7.2 \,m$ છે.