Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण $4x - 3y = 6$ है।
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में बदलने के लिए,दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4x}{6} - \frac{3y}{6} = \frac{6}{6}$
$\frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 1$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x}{(\frac{3}{2})} + \frac{y}{(-2)} = 1$
इसे मानक अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $x$-अंतःखंड $a = \frac{3}{2}$ और $y$-अंतःखंड $b = -2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $3y + 2 = 0$ है।
इसे $3y = -2$ या $y = -\frac{2}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ होता है,जहाँ $a$ $x$-अंतःखंड है और $b$ $y$-अंतःखंड है।
चूँकि समीकरण $y = -\frac{2}{3}$ $x$-अक्ष के समांतर एक क्षैतिज रेखा को दर्शाता है,यह $x$-अक्ष को कभी नहीं काटता है।
अतः,$x$-अंतःखंड का अस्तित्व नहीं है और $y$-अंतःखंड $-\frac{2}{3}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $y-2=0$ है।
इसे $0 \cdot x + 1 \cdot y = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे अभिलंब रूप $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ में बदलने के लिए,हम $\sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ से विभाजित करते हैं।
इससे हमें $0 \cdot x + 1 \cdot y = 2$ प्राप्त होता है।
इसे $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\cos \omega = 0$ और $\sin \omega = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = 90^{\circ}$।
अतः,लंबवत दूरी $p = 2$ और कोण $\omega = 90^{\circ}$ है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $3x - 4y + 2 = 0$ है।
रेखा का ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ होता है।
दिए गए समीकरण को फिर से लिखने पर: $4y = 3x + 2$,जिससे $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,दी गई रेखा की ढाल $(m)$ $\frac{3}{4}$ है।
चूंकि समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है,इसलिए अभीष्ट रेखा की ढाल भी $m = \frac{3}{4}$ होगी।
बिंदु $(-2, 3)$ के लिए बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$(y - 3) = \frac{3}{4}(x - (-2))$
$4(y - 3) = 3(x + 2)$
$4y - 12 = 3x + 6$
$3x - 4y + 18 = 0$.

(A) दी गई रेखा का समीकरण $x-7y+5=0$ है।
इसे $y=mx+c$ के रूप में लिखने पर,$7y=x+5$ या $y=\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः,दी गई रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1}{7}$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1/7} = -7$ होगी।
$m$ ढाल और $d$ $x$-अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $y=m(x-d)$ होता है।
$m=-7$ और $d=3$ रखने पर,$y=-7(x-3)$ प्राप्त होता है।
$y = -7x + 21$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$7x+y=21$ प्राप्त होता है।

(N/A) दी गई रेखा $Ax + By + C = 0$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर,$By = -Ax - C$,अर्थात $y = (\frac{-A}{B})x + (\frac{-C}{B})$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m = \frac{-A}{B}$ है।
चूंकि समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है,इसलिए अभीष्ट रेखा की ढाल भी $m = \frac{-A}{B}$ होगी।
रेखा के बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,$(x_{1}, y_{1})$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_{1} = m(x - x_{1})$ है।
$m = \frac{-A}{B}$ प्रतिस्थापित करने पर,$y - y_{1} = (\frac{-A}{B})(x - x_{1})$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $B$ से गुणा करने पर,$B(y - y_{1}) = -A(x - x_{1})$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$A(x - x_{1}) + B(y - y_{1}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $A(x - x_{1}) + B(y - y_{1}) = 0$ है।

(C) दी गई रेखा का समीकरण $(k-3)x - (4-k^2)y + k^2 - 7k + 6 = 0$ है।
यदि कोई रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,तो उसकी ढाल (slope) $0$ होनी चाहिए।
समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में लिखने पर:
$(4-k^2)y = (k-3)x + (k^2 - 7k + 6)$
$y = \frac{k-3}{4-k^2}x + \frac{k^2 - 7k + 6}{4-k^2}$.
रेखा के $x$-अक्ष के समांतर होने के लिए,ढाल $m = \frac{k-3}{4-k^2} = 0$ होनी चाहिए।
इसका अर्थ है $k-3 = 0$,अर्थात $k = 3$।
यहाँ $y$ का गुणांक शून्य नहीं है,अतः $k = 3$ सही उत्तर है।

(C) दी गई रेखा का समीकरण $(k-3) x - (4-k^2) y + k^2 - 7k + 6 = 0$ है।
यदि कोई रेखा $y$-अक्ष के समांतर है,तो वह $x = c$ के रूप की एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।
इसके लिए $y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए और $x$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए।
$y$ के गुणांक को शून्य रखने पर: $-(4-k^2) = 0$ $\Rightarrow 4-k^2 = 0$ $\Rightarrow k^2 = 4$ $\Rightarrow k = \pm 2$।
अब,$x$ के गुणांक की जाँच करने पर:
यदि $k = 2$ है,तो $x$ का गुणांक $(2-3) = -1 \neq 0$ है।
यदि $k = -2$ है,तो $x$ का गुणांक $(-2-3) = -5 \neq 0$ है।
अतः,$k$ का मान $\pm 2$ है।

(C) रेखा का दिया गया समीकरण $(k-3) x - (4-k^2) y + k^2 - 7k + 6 = 0$ है।
यदि रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,तो यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$(k-3)(0) - (4-k^2)(0) + k^2 - 7k + 6 = 0$
$k^2 - 7k + 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$k^2 - 6k - k + 6 = 0$
$k(k-6) - 1(k-6) = 0$
$(k-6)(k-1) = 0$
अतः,$k = 1$ या $k = 6$।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ है।
इस समीकरण को $-\sqrt{3} x - y = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{1}{2} y = 1$.
इसकी तुलना अभिलंब रूप $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ से करने पर:
$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin \theta = -\frac{1}{2}$,और $p = 1$ है।
चूंकि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$.
अतः,$\theta = \frac{7 \pi}{6}$ और $p = 1$ है।

माना कि रेखा द्वारा अक्षों पर काटे गए अंतःखंड $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि
$a+b=1$ $(1)$
$ab=-6$ $(2)$
$(1)$ से,$b = 1-a$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a(1-a) = -6$
$a - a^2 = -6$
$a^2 - a - 6 = 0$
$(a-3)(a+2) = 0$
अतः,$a=3$ या $a=-2$ है।
यदि $a=3$,तो $b=1-3=-2$ है।
यदि $a=-2$,तो $b=1-(-2)=3$ है।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
स्थिति $I$: $a=3, b=-2$
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1 \implies -2x + 3y = -6 \implies 2x - 3y = 6$.
स्थिति $II$: $a=-2, b=3$
$\frac{x}{-2} + \frac{y}{3} = 1 \implies -3x + 2y = 6 \implies 3x - 2y = -6$.
अतः,रेखाओं के अभीष्ट समीकरण $2x - 3y = 6$ और $3x - 2y = -6$ हैं।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ है।
$12$ से गुणा करने पर,$3x + 2y = 12$,या $3x + 2y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{3}{2}$ है।
इस रेखा पर लंब रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{(-3/2)} = \frac{2}{3}$ होगी।
दी गई रेखा $y-$ अक्ष को जहाँ काटती है,वहाँ $x = 0$ होता है।
$\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ में $x = 0$ रखने पर,$\frac{y}{6} = 1$ प्राप्त होता है,अतः $y = 6$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 6)$ है।
ढाल $m_2 = \frac{2}{3}$ और बिंदु $(0, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$y - 6 = \frac{2}{3}(x - 0)$.
$3(y - 6) = 2x$.
$3y - 18 = 2x$.
$2x - 3y + 18 = 0$.

(A) माना अक्षों पर समान अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ है,जिसे $x + y = a$ के रूप में लिखा जा सकता है ......$(1)$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को हल करें:
$4x + 7y = 3$ ......$(2)$
$2x - 3y = -1$ ......$(3)$
समीकरण $(3)$ को $2$ से गुणा करने पर,$4x - 6y = -2$ प्राप्त होता है ......$(4)$.
समीकरण $(2)$ से $(4)$ घटाने पर,$13y = 5$ प्राप्त होता है,अतः $y = \frac{5}{13}$.
$y = \frac{5}{13}$ को $(3)$ में रखने पर,$2x - 3(\frac{5}{13}) = -1 \Rightarrow 2x = \frac{15}{13} - 1 = \frac{2}{13}$,अतः $x = \frac{1}{13}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{1}{13}, \frac{5}{13})$ है।
चूंकि रेखा $x + y = a$,बिंदु $(\frac{1}{13}, \frac{5}{13})$ से होकर गुजरती है,इसलिए $\frac{1}{13} + \frac{5}{13} = a$,जिससे $a = \frac{6}{13}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में $a$ का मान रखने पर,$x + y = \frac{6}{13}$,अर्थात $13x + 13y = 6$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि रेखा $x + y = 4$,बिंदुओं $A(-1, 1)$ और $B(5, 7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में बिंदु $P(x, y)$ पर विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{k(5) + 1(-1)}{k + 1}, \frac{k(7) + 1(1)}{k + 1} \right) = \left( \frac{5k - 1}{k + 1}, \frac{7k + 1}{k + 1} \right)$
चूंकि $P$ रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{5k - 1}{k + 1} + \frac{7k + 1}{k + 1} = 4$
$\frac{5k - 1 + 7k + 1}{k + 1} = 4$
$\frac{12k}{k + 1} = 4$
$12k = 4(k + 1)$
$12k = 4k + 4$
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $k: 1$ का मान $1: 2$ है।

(A) माना $(-1, 2)$ से होकर जाने वाली रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। इस रेखा पर $(-1, 2)$ से $r = 3$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, y) = (-1 + r \cos \theta, 2 + r \sin \theta)$ हैं।
चूंकि $r = 3$,बिंदु $(-1 + 3 \cos \theta, 2 + 3 \sin \theta)$ है।
यह बिंदु रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए:
$(-1 + 3 \cos \theta) + (2 + 3 \sin \theta) = 4$
$1 + 3(\cos \theta + \sin \theta) = 4$
$3(\cos \theta + \sin \theta) = 3$
$\cos \theta + \sin \theta = 1$
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos(\theta - 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ}$
$\theta - 45^{\circ} = \pm 45^{\circ}$
स्थिति $1$: $\theta - 45^{\circ} = 45^{\circ} \Rightarrow \theta = 90^{\circ}$.
स्थिति $2$: $\theta - 45^{\circ} = -45^{\circ} \Rightarrow \theta = 0^{\circ}$.
अतः,अभीष्ट दिशाएँ $x$-अक्ष के साथ $0^{\circ}$ या $90^{\circ}$ हैं।

(B) माना बिंदु $A$ $(1, k)$ है। आपतित किरण रेखा $x=1$ के अभिलंब के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है। चित्र के अनुसार,यह क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
आपतित किरण की ढाल $m_1 = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
समीकरण: $y - 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 2) \implies y = -\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$।
$x=1$ के लिए,$y = -\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$। अतः $A = (1, 3\sqrt{3})$।
परावर्तित किरण क्षैतिज के साथ $-60^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\sqrt{3}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - \sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 1) \implies y = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
विकल्प $B$ $(3, -\sqrt{3})$ के लिए: $y = -\sqrt{3}(3) + 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}$। जो सही है।

(B) दी गई रेखाएँ $3x + 4y = 9$ और $y = mx + 1$ हैं।
दूसरे समीकरण से $y$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$(3 + 4m)x = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ को पूर्णांक होने के लिए,$(3 + 4m)$ को $5$ का भाजक होना चाहिए। $5$ के भाजक $\{1, -1, 5, -5\}$ हैं।
स्थिति $1$: $3 + 4m = 1$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -0.5$ (पूर्णांक नहीं)
स्थिति $2$: $3 + 4m = -1$ $\Rightarrow 4m = -4$ $\Rightarrow m = -1$ (पूर्णांक है)
स्थिति $3$: $3 + 4m = 5$ $\Rightarrow 4m = 2$ $\Rightarrow m = 0.5$ (पूर्णांक नहीं)
स्थिति $4$: $3 + 4m = -5$ $\Rightarrow 4m = -8$ $\Rightarrow m = -2$ (पूर्णांक है)
$m$ के पूर्णांक मान $\{-1, -2\}$ हैं।
अतः,$m$ के पूर्णांक मानों की संख्या $2$ है।

(D) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः $x$ और $y$ अंतःखंड हैं।
अंतःखंडों के व्युत्क्रमों का समांतर माध्य $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{1}{4}$ दिया गया है।
इसका अर्थ है $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$।
चूंकि रेखा $(x, y)$ से गुजरती है,हमारे पास $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
यदि हम बिंदु $(2, 2)$ का परीक्षण करें,तो हमें $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} = 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा हमेशा बिंदु $(2, 2)$ से गुजरती है।
चूंकि पत्थर $B$ बिंदु $(2, 2)$ पर है,इसलिए केवल पत्थर $B$ आदमी के रास्ते पर है।

(D) मान लीजिए $B = (0, a)$ है। $\triangle OAB$ में $\angle OBA = 60^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(60^{\circ}) = \frac{OA}{OB} = \frac{OA}{a}$। अतः,$OA = a\sqrt{3}$। तो $A = (a\sqrt{3}, 0)$ है।
चूँकि $\triangle OAD$ एक समबाहु त्रिभुज है,शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3a}{2})$ होंगे।
बिंदु $D(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3a}{2})$ और $B(0, a)$ से गुजरने वाली रेखा $DB$ की ढाल:
$m = \frac{\frac{3a}{2} - a}{\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया है कि रेखाएँ $ax + 9y = 5$ और $4x + by = 3$ समांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल (slopes) समान होनी चाहिए।
रेखा $ax + 9y = 5$ के लिए,ढाल $m_1 = -\frac{a}{9}$ है।
रेखा $4x + by = 3$ के लिए,ढाल $m_2 = -\frac{4}{b}$ है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,$m_1 = m_2$,जिसका अर्थ है $-\frac{a}{9} = -\frac{4}{b}$,इसलिए $ab = 36$ है।
हमें $a + b$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है जहाँ $a, b > 0$ है।
अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हुए:
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$
$ab = 36$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{36}$
$\frac{a + b}{2} \geq 6$
$a + b \geq 12$.
अतः,$a + b$ का न्यूनतम संभव मान $12$ है।

(B) दिया गया है कि $AHKF$,$FKDE$,और $HBCK$ इकाई वर्ग हैं। प्रत्येक वर्ग की भुजा की लंबाई $1$ है।
निर्देशांक पद्धति में $K$ को मूलबिंदु $(0,0)$ मानने पर,बिंदु $A(-1,1)$,$B(-1,-1)$,$F(0,1)$,और $D(1,0)$ प्राप्त होते हैं।
रेखा $AD$ का समीकरण $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ और रेखा $BF$ का समीकरण $y = 2x + 1$ है।
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $X$ के निर्देशांक $(-\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$ हैं।
$\triangle ABF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$।
$\triangle AXF$ में,आधार $AF = 1$ है और ऊंचाई $X$ से $AF$ की लंबवत दूरी $|1 - \frac{3}{5}| = \frac{2}{5}$ है।
$\triangle AXF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$।
अतः,अभीष्ट अनुपात $\frac{1/5}{1} = \frac{1}{5}$ है।

(A) रेखा का अंतःखंड रूप में समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $\alpha$ मूल बिंदु से डाले गए लंब द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ लंब $y$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{6}$ का कोण बनाता है,इसलिए यह $x$-अक्ष के साथ $\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाएगा।
अतः,समीकरण $x \cos \frac{\pi}{3} + y \sin \frac{\pi}{3} = p$ होगा,जो $\frac{x}{2} + \frac{y \sqrt{3}}{2} = p$ या $\frac{x}{2p} + \frac{y}{2p/\sqrt{3}} = 1$ में बदल जाता है।
तुलना करने पर,$a = 2p$ और $b = \frac{2p}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} ab = \frac{98}{3} \sqrt{3}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} (2p) \left( \frac{2p}{\sqrt{3}} \right) = \frac{98}{3} \sqrt{3} \implies \frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{98\sqrt{3}}{3} \implies 2p^2 = 98 \implies p^2 = 49$.
अब,$a^2 - b^2 = 4p^2 - \frac{4p^2}{3} = \frac{8p^2}{3}$.
$p^2 = 49$ रखने पर: $a^2 - b^2 = \frac{8 \cdot 49}{3} = \frac{392}{3}$.

(A) प्रारंभिक रेखा $A(9,0)$ से गुजरती है और $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
जब रेखा को $A$ के परितः घड़ी की दिशा में $15^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो नया कोण $\theta = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}$ हो जाता है।
नई रेखा की ढाल $m = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ है।
बिंदु $(9,0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - 9)$ है।
इसे $x + \frac{y}{\sqrt{3}-2} = 9$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक रेखा $PQ$ है जिसकी ढाल $\tan \alpha$ है। घड़ी की दिशा में $\frac{\alpha}{2}$ कोण से घुमाने के बाद,नई रेखा $PR$ का झुकाव कोण $\alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$ होगा।
नई रेखा $PR$ की ढाल $2-\sqrt{3}$ दी गई है,इसलिए $\tan(\frac{\alpha}{2}) = 2-\sqrt{3} = \tan 15^{\circ}$ है।
अतः,$\frac{\alpha}{2} = 15^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 30^{\circ}$।
बिंदु $P(a, 0)$ से गुजरने वाली और $m = 2-\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा $PR$ का समीकरण $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - a)$ है,जिसे सरल करने पर $(2-\sqrt{3})x - y - a(2-\sqrt{3}) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $\frac{1}{\sqrt{2}}$ दी गई है।
दूरी सूत्र $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{|-a(2-\sqrt{3})|}{\sqrt{(2-\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
हर का सरलीकरण: $\sqrt{4 + 3 - 4\sqrt{3} + 1} = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$।
अतः,$|a| = \sqrt{3}+1$।
$a^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$।
अब,$3a^2 \tan^2 \alpha - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) \tan^2 30^{\circ} - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{3} - 2\sqrt{3} = 4+2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4$।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूंकि $P(-4, 1)$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-4 = \frac{1(0) + 2(a)}{1+2} \implies -4 = \frac{2a}{3} \implies a = -6$.
$1 = \frac{1(b) + 2(0)}{1+2} \implies 1 = \frac{b}{3} \implies b = 3$.
अतः,अंतःखंड $a = -6$ और $b = 3$ हैं।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$\frac{x}{-6} + \frac{y}{3} = 1$.
$-6$ से गुणा करने पर,$x - 2y = -6$,या $x - 2y + 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: $(4, -5)$ और $(-2, 9)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु $M$ ज्ञात करें।
$M = (\frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-5 + 9}{2}) = (1, 2)$.
चरण $2$: $(-3, 6)$ और $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ ज्ञात करें।
$m = \frac{2 - 6}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1$.
चरण $3$: झुकाव $\theta$ ज्ञात करें।
$m = \tan(\theta) = -1$,इसलिए $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(B) मान लीजिए कि रेखा के $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $b$ और $a$ हैं। बिंदु $A(0, a)$ और $B(b, 0)$ हैं।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |ab| = 12 \implies |ab| = 24$.
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{2}{b} + \frac{3}{a} = 1$.
$ab = 24$ से,$b = \frac{24}{a}$.
समीकरण में $b$ का मान रखने पर: $\frac{2}{24/a} + \frac{3}{a} = 1 \implies \frac{2a}{24} + \frac{3}{a} = 1 \implies \frac{a}{12} + \frac{3}{a} = 1$.
$12a$ से गुणा करने पर: $a^2 + 36 = 12a \implies a^2 - 12a + 36 = 0 \implies (a-6)^2 = 0 \implies a = 6$.
तब $b = \frac{24}{6} = 4$.
रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ है।
$12$ से गुणा करने पर: $3x + 2y = 12$.

(C) $S$,$QR$ का मध्यबिंदु है $= \left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$.
$PS$ की ढाल $= \frac{2-1}{2-\frac{13}{2}} = \frac{1}{-\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$.
रेखा $PS$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{2}{9}$ है।
बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$ है।
$9(y + 1) = -2(x - 1)$ $\Rightarrow 9y + 9 = -2x + 2$ $\Rightarrow 2x + 9y + 7 = 0$.
$X$-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2}$.
$Y$-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $9y + 7 = 0 \Rightarrow y = -\frac{7}{9}$.
अतः,अंतःखंड $-\frac{7}{2}$ और $-\frac{7}{9}$ हैं।

(A) चूंकि बिंदु $A(5, k)$,$B(-3, 1)$ और $C(-7, -2)$ संरेख हैं,इसलिए $AB$ की ढाल $BC$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
$AB$ की ढाल $= \frac{1 - k}{-3 - 5} = \frac{1 - k}{-8}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{-2 - 1}{-7 - (-3)} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{1 - k}{-8} = \frac{3}{4}$.
दोनों पक्षों को $-8$ से गुणा करने पर: $1 - k = \frac{3}{4} \times (-8)$.
$1 - k = -6$.
$k = 1 + 6 = 7$.

(A) यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित रेखाखंडों के ढाल (slopes) की जांच कर सकते हैं।
$AB$ का ढाल $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$।
$BC$ का ढाल $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$।
चूंकि $AB$ का ढाल $BC$ के ढाल के बराबर है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अब,$CD$ का ढाल जांचें $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (जहाँ $a \neq 1, a \neq 0$)।
चूंकि $BC$ का ढाल $CD$ के ढाल के बराबर है,इसलिए बिंदु $B, C$ और $D$ भी संरेख हैं।
चूंकि सभी बिंदु $\frac{b}{a}$ ढाल वाली एक ही रेखा पर स्थित हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C$ और $D$ संरेख हैं।

(B) रेखा के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
दिया गया है कि रेखा $(1, 3)$ बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए:
$\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1$.
हमें $b = 3a$ दिया गया है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{a} + \frac{3}{3a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = 1$
$\frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2$.
चूंकि $b = 3a$ है,इसलिए $b = 3(2) = 6$ प्राप्त होता है।
$a = 2$ और $b = 6$ को अंतःखंड रूप में रखने पर:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{6} = 1$.
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$3x + y = 6$.

(B) रेखा $L$ मूल बिंदु से गुजरती है और $Y$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
इसका अर्थ है कि रेखा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाती है।
रेखा का ढाल $m = \tan(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$m = \tan(120^{\circ}) = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan(60^{\circ}) = -\sqrt{3}$.

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1) = \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ और $(x_2, y_2) = (1, 3)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{1 - (-1/2)} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$
बिंदु $(1, 3)$ का उपयोग करके रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के रूप में:
$y - 3 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3y - 9 = 4x - 4$
$4x - 3y + 5 = 0$
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$4x - 3(0) + 5 = 0$
$4x = -5$
$x = -\frac{5}{4}$
अतः,$x$-अंतःखंड $-\frac{5}{4}$ है।

(C) रेखा की ढाल $m = \tan(90^\circ + \alpha) = -\cot \alpha = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ है।
बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$(y - p \sin \alpha) = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}(x - p \cos \alpha)$
$y \sin \alpha - p \sin^2 \alpha = -x \cos \alpha + p \cos^2 \alpha$
$x \cos \alpha + y \sin \alpha = p(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$
चूंकि $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,इसलिए समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।

(D) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से रेखा पर लंब की लंबाई है और $\alpha$ लंब द्वारा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $p = 4$ और $\alpha = 30^{\circ}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 4$
$x \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + y \left(\frac{1}{2}\right) = 4$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{3} x + y = 8$

(A) रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि रेखा $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2 \sqrt{2}$ इकाई का अंतःखंड बनाती है,इसलिए $y$-अंतःखंड $c = -2 \sqrt{2}$ है।
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ का उपयोग करने पर:
$y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x - 2 \sqrt{2}$
पूरे समीकरण को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{2}y = -x - 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + \sqrt{2}y + 4 = 0$.

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1) = (1, 4)$ और $(x_2, y_2) = (-5, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ है।
मान रखने पर: $\frac{y - 4}{1 - 4} = \frac{x - 1}{-5 - 1}$.
$\frac{y - 4}{-3} = \frac{x - 1}{-6}$.
$2(y - 4) = x - 1$ $\Rightarrow 2y - 8 = x - 1$ $\Rightarrow x - 2y + 7 = 0$ ...$(1)$.
दूसरी रेखा का समीकरण: $4x + 3y - 5 = 0$ ...$(2)$.
$(1)$ से,$x = 2y - 7$. इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$4(2y - 7) + 3y - 5 = 0$.
$8y - 28 + 3y - 5 = 0$.
$11y - 33 = 0 \Rightarrow y = 3$.
$y = 3$ का मान $x = 2y - 7$ में रखने पर: $x = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1$.
अतः,प्रतिच्छेद बिंदु $(-1, 3)$ है।

(B) माना $A \equiv (a, 0)$ और $B \equiv (0, b)$ है।
माना $P \equiv (5, 6)$ वह बिंदु है जो रेखाखंड $AB$ को $3: 1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$5 = \frac{3 \times 0 + 1 \times a}{3 + 1}$ $\Rightarrow 5 = \frac{a}{4}$ $\Rightarrow a = 20$.
$6 = \frac{3 \times b + 1 \times 0}{3 + 1}$ $\Rightarrow 6 = \frac{3b}{4}$ $\Rightarrow 3b = 24$ $\Rightarrow b = 8$.
अतः,$X$-अंतःखंड $20$ है और $Y$-अंतःखंड $8$ है।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x}{20} + \frac{y}{8} = 1$ प्राप्त होता है।
$40$ से गुणा करने पर,$2x + 5y = 40$ प्राप्त होता है।

(C) माना $a$ और $b$ रेखा द्वारा अक्षों पर बनाए गए अंतःखंड हैं।
हमें दिया गया है कि $a + b = 8$ और $ab = 15$ है।
द्विघात समीकरण $t^2 - 8t + 15 = 0$ को हल करने पर,हमें $(t - 3)(t - 5) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(a, b) = (3, 5)$ या $(5, 3)$ है।
रेखा के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
स्थिति $1$: जब $a = 3$ और $b = 5$ है,तो समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ है,जो $5x + 3y - 15 = 0$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $2$: जब $a = 5$ और $b = 3$ है,तो समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1$ है,जो $3x + 5y - 15 = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $5x + 3y - 15 = 0$ और $3x + 5y - 15 = 0$ हैं।

(B) माना कि रेखा $x$-अक्ष को $(h, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, k)$ पर काटती है।
चूंकि $(a, -2a)$ रेखाखंड का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{h + 0}{2} = a \Rightarrow h = 2a$
$\frac{0 + k}{2} = -2a \Rightarrow k = -4a$
रेखा के अंतःखंड रूप के समीकरण $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{-4a} = 1$
$4a$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x - y = 4a$
अतः,रेखा का समीकरण $2x - y = 4a$ है।

(A) बिंदुओं $(2, 3)$ और $(1, -2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{-2-3}{1-2} = \frac{-5}{-1} = 5$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{1}{5}$ होगी।
बिंदु $(7, -4)$ का उपयोग करते हुए रेखा का समीकरण:
$y - (-4) = -\frac{1}{5}(x - 7)$
$5(y + 4) = -(x - 7)$
$5y + 20 = -x + 7$
$x + 5y + 13 = 0$.

(B) दी गई रेखा $x - 2y = 4$ है,जिसे $2y = x - 4$ या $y = \frac{1}{2}x - 2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ की शर्त को पूरा करना होगा। अतः,$m_2 = -2$.
$A(6, 1)$ से गुजरने वाली और $m_2 = -2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ है।
मान रखने पर,$y - 1 = -2(x - 6)$.
$y - 1 = -2x + 12$.
$2x + y = 13$.
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $2x + y = 13$ में $x = 0$ रखते हैं।
$2(0) + y = 13 \Rightarrow y = 13$.
अतः,रेखा का $y$-अंतःखंड $13$ है।

(D) $1$. $M$ के निर्देशांक ज्ञात करें: रेखा $x-y-2=0$,$X$-अक्ष को वहाँ काटती है जहाँ $y=0$ है। $y=0$ रखने पर,$x=2$ प्राप्त होता है। अतः,$M = (2,0)$.
$2$. मूल रेखा $MN$ की ढाल ज्ञात करें: समीकरण $x-y-2=0$ को $y=x-2$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ ढाल $m_1 = 1$ है,जो $45^{\circ}$ के कोण के अनुरूप है।
$3$. नई ढाल ज्ञात करें: रेखा को $45^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाने पर,नया कोण $\theta_2 = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ होगा।
$4$. नई रेखा का समीकरण ज्ञात करें: $M(2,0)$ से गुजरने वाली और $90^{\circ}$ के कोण पर स्थित रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। अतः,इसका समीकरण $x=2$ है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $2x - 3y + 17 = 0$ है,जिसे $y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2}{3}$ है।
$(7, 17)$ और $(15, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$ है।
चूंकि दोनों रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{2}{3} \times \frac{\beta - 17}{8} = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(C) रेखा के अभिलंब रूप का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ होता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ लंब द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $p = 5$ और $\alpha = 210^{\circ}$ दिया गया है।
समीकरण में मान रखने पर:
$x \cos(210^{\circ}) + y \sin(210^{\circ}) = 5$
चूँकि $\cos(210^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(210^{\circ}) = -\frac{1}{2}$,
$x(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(-\frac{1}{2}) = 5$
दोनों पक्षों को $-2$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}x + y = -10$
$\sqrt{3}x + y + 10 = 0$

(A) दी गई रेखा $2x - 3y + 5 = 0$ है।
इस रेखा के लंबवत किसी भी रेखा का समीकरण $3x + 2y + \lambda = 0$ के रूप में होगा।
चूँकि रेखा धनात्मक $Y$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड बनाती है,यह बिंदु $(0, 3)$ से होकर गुजरती है।
$x = 0$ और $y = 3$ को $3x + 2y + \lambda = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(0) + 2(3) + \lambda = 0$
$6 + \lambda = 0$
$\lambda = -6$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x + 2y - 6 = 0$ है।

(B) रेखा $AB$ की प्रवणता (slope) $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ है।
चूंकि $m = \tan \theta = 1$,इसलिए झुकाव का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
जब रेखा को बिंदु $A$ के परितः वामावर्त दिशा में $15^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो नया झुकाव कोण $\theta' = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ हो जाता है।
नई रेखा की प्रवणता $m' = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि रेखा बिंदु $A(2,0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए रेखा का समीकरण $(y - 0) = \sqrt{3}(x - 2)$ होगा।
इसे सरल करने पर $y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) यह रेखा दूसरे चतुर्थांश में निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है। इसलिए,यह रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $135^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अतः,रेखा की ढाल $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ है।
रेखा बिंदु $(-3, 1)$ से गुजरती है।
बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,रेखा का समीकरण है:
$(y - y_1) = m(x - x_1)$
$(y - 1) = -1(x - (-3))$
$y - 1 = -1(x + 3)$
$y - 1 = -x - 3$
$x + y + 2 = 0$

(C) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ होता है।
यहाँ,मूल बिंदु से लंबवत दूरी $p = 7$ और कोण $\alpha = 120^{\circ}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x \cos 120^{\circ} + y \sin 120^{\circ} = 7$
चूँकि $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$ और $\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$x(-\frac{1}{2}) + y(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 7$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$-x + \sqrt{3}y = 14$
पदों को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x - \sqrt{3}y + 14 = 0$

(B) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ होता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंब की लंबाई है और $\alpha$ लंब द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
दिया गया है $p = 2 \sqrt{2}$ और $\alpha = 135^{\circ}$।
अतः रेखा का समीकरण $x \cos(135^{\circ}) + y \sin(135^{\circ}) = 2 \sqrt{2}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cos(135^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(135^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$x \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2 \sqrt{2}$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-x + y = 4$
या $x - y + 4 = 0$।