Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Hindi

(A) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$ax - y = -2$
$x + ay = -3$
रैखिक समीकरण निकाय $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ का अद्वितीय हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
यहाँ,$a_1 = a$,$b_1 = -1$,$a_2 = 1$,और $b_2 = a$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{a}{1} \neq \frac{-1}{a}$
$a^2 \neq -1$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या $a$ के लिए $a^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $a^2$ कभी भी $-1$ के बराबर नहीं हो सकता है।
अतः,शर्त $a^2 \neq -1$ सभी वास्तविक संख्याओं $a$ के लिए संतुष्ट होती है।
इस प्रकार,$a$ के मानों का समुच्चय $R$ है।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1) = (-7, 8)$ और $(x_2, y_2) = (5, 2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 8}{5 - (-7)} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए,बिंदु $(-7, 8)$ के लिए:
$y - 8 = -\frac{1}{2}(x - (-7))$
$2(y - 8) = -(x + 7)$
$2y - 16 = -x - 7$
$x + 2y - 9 = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दी गई रेखा $3x+y=3$ की ढाल $m_1 = -3$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना होगा।
अतः,$m_2 = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$।
$(2,2)$ से गुजरने वाली और $m_2 = \frac{1}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$3y - 6 = x - 2$,जो सरल होकर $x - 3y = -4$ हो जाता है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखते हैं:
$0 - 3y = -4 \Rightarrow y = \frac{4}{3}$।
अतः,$y$-अंतःखंड $\frac{4}{3}$ है।

(A) $ax + by + c = 0$ के समांतर रेखा का समीकरण $ax + by + k = 0$ के रूप में होता है।
दी गई रेखा $3x - 4y + 2 = 0$ है,इसलिए समांतर रेखा $3x - 4y + k = 0$ होगी।
चूंकि यह रेखा बिंदु $(-2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $x = -2$ और $y = 3$ रखने पर:
$3(-2) - 4(3) + k = 0$
$-6 - 12 + k = 0$
$-18 + k = 0$
$k = 18$
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $3x - 4y + 18 = 0$ है।

(D) रेखा का दिया गया समीकरण $3 \cos \theta \cdot x + 4 \sin \theta \cdot y = 12$ है।
$12$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{x}{4 / \cos \theta} + \frac{y}{3 / \sin \theta} = 1$.
यह रेखा निर्देशांक अक्षों को $A\left(\frac{4}{\cos \theta}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{3}{\sin \theta}\right)$ पर काटती है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल है:
$\Delta = \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \left| \frac{4}{\cos \theta} \right| \times \left| \frac{3}{\sin \theta} \right| = \frac{6}{|\sin \theta \cos \theta|} = \frac{12}{|\sin 2 \theta|}$.
क्षेत्रफल को न्यूनतम होने के लिए,$|\sin 2 \theta|$ को अधिकतम होना चाहिए। चूँकि $|\sin 2 \theta|$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए न्यूनतम क्षेत्रफल:
$\Delta_{\min} = \frac{12}{1} = 12$.

(B) दी गई रेखा $x + 6y = 5$ है,जिसे $y = -\frac{1}{6}x + \frac{5}{6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{1}{6}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/6} = 6$.
$(-1, -3)$ से गुजरने वाली और $m = 6$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - (-3) = 6(x - (-1))$
$y + 3 = 6(x + 1)$
$y + 3 = 6x + 6$
$6x - y = -3$.
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $y = 0$ रखते हैं:
$6x - 0 = -3$
$6x = -3$
$x = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.

(B) $(7, 17)$ और $(15, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$ है।
दी गई रेखा $2x - 3y + 17 = 0$ है,जिसे $y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_2 = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि दोनों रेखाएं परस्पर लंब हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,अर्थात $m_1 \cdot m_2 = -1$.
मान रखने पर,$\left(\frac{\beta - 17}{8}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(B) माना $X$ और $Y$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $a$ हैं। अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ है,जो $x + y = a$ या $y = -x + a$ में सरल हो जाता है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि ढाल $m = \tan \theta$ है,इसलिए $\tan \theta = -1$ है।
चूंकि $\tan \theta$ ऋणात्मक है,इसलिए कोण $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\theta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $6x - 7y + 8 + \lambda(3x - y + 5) = 0$ है।
$x$ और $y$ के पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(6 + 3\lambda)x - (7 + \lambda)y + (8 + 5\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा के $y$-अक्ष के समांतर होने के लिए,$y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए और $x$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए।
$y$ के गुणांक को शून्य रखने पर:
$-(7 + \lambda) = 0$
$\lambda + 7 = 0$
$\lambda = -7$।
$\lambda = -7$ के लिए $x$ के गुणांक की जाँच करने पर:
$6 + 3(-7) = 6 - 21 = -15 \neq 0$।
अतः,रेखा $x = \text{अचर}$ के रूप में है,जो $y$-अक्ष के समांतर है।

(C) दी गई रेखा $3x+y=3$ है।
इसे $y=mx+c$ रूप में लिखने पर,$y=-3x+3$ प्राप्त होता है।
अतः,इस रेखा की ढाल $m_1 = -3$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना होगा।
अतः,$-3 \times m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = 1/3$।
$(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y-y_1) = m(x-x_1)$ होता है।
$(x_1, y_1) = (2,2)$ और $m = 1/3$ रखने पर:
$y-2 = 1/3(x-2)$
$y-2 = x/3 - 2/3$
$y = x/3 - 2/3 + 2$
$y = x/3 + 4/3$।
$y$-अंतःखंड $x=0$ होने पर $y$ का मान है,जो $4/3$ है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण: $y = 3x - 1$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m_1 = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \cdot m_2 = -1$ की शर्त को पूरा करना होगा।
अतः,$3 \cdot m_2 = -1$,जिससे $m_2 = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ होता है।
$(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $m = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(y - 2) = -\frac{1}{3}(x - 1)$।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$3(y - 2) = -(x - 1) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x + 3y - 7 = 0$।

(D) चूंकि $S$,$QR$ का मध्य बिंदु है,इसके निर्देशांक $S = \left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$ हैं।
माध्यिका $PS$ की ढाल $m = \frac{1-2}{\frac{13}{2}-2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ है।
$PS$ के समानांतर रेखा की ढाल भी $m = -\frac{2}{9}$ होगी।
$(1, -1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(B) बिंदु $A(-1, -1)$ और $B(2, 1)$ हैं। रेखा $AB$ का समीकरण $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y + 1 = \frac{1 - (-1)}{2 - (-1)}(x - (-1)) \Rightarrow y + 1 = \frac{2}{3}(x + 1)$।
यह $3y + 3 = 2x + 2$,या $2x - 3y - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए कि रेखा $AB$,$C(3, 4)$ और $D(1, 2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $\lambda: 1$ के अनुपात में बिंदु $P$ पर विभाजित करती है। विभाजन सूत्र के अनुसार $P$ के निर्देशांक $P = \left(\frac{3 + \lambda}{1 + \lambda}, \frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda}\right)$ हैं।
चूंकि बिंदु $P$ रेखा $2x - 3y - 1 = 0$ पर स्थित है,हम $P$ के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left(\frac{3 + \lambda}{1 + \lambda}\right) - 3\left(\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda}\right) - 1 = 0$।
$(1 + \lambda)$ से गुणा करने पर,$2(3 + \lambda) - 3(4 + 2\lambda) - (1 + \lambda) = 0$।
$6 + 2\lambda - 12 - 6\lambda - 1 - \lambda = 0$।
$-5\lambda - 7 = 0 \Rightarrow \lambda = -7/5$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि रेखा रेखाखंड को $7: 5$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करती है।

(C) माना बिंदु $P(a, 8)$,$A(2, 5)$ और $B(4, -1)$ हैं।
चूँकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए रेखाखंड $PA$ की ढाल और रेखाखंड $AB$ की ढाल समान होगी।
$PA$ की ढाल $\frac{8 - 5}{a - 2} = \frac{3}{a - 2}$ है।
$AB$ की ढाल $\frac{-1 - 5}{4 - 2} = \frac{-6}{2} = -3$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{3}{a - 2} = -3$.
$3 = -3(a - 2) \Rightarrow 3 = -3a + 6$.
$3a = 6 - 3$ $\Rightarrow 3a = 3$ $\Rightarrow a = 1$.

(D) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
रेखा निर्देशांक अक्षों को क्रमशः $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर काटती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक:
$\left(\frac{3 \times 0 + 2 \times a}{3 + 2}, \frac{3 \times b + 2 \times 0}{3 + 2}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3b}{5}\right)$.
चूंकि यह बिंदु $(2, -1)$ है:
$\frac{2a}{5} = 2 \Rightarrow a = 5$
$\frac{3b}{5} = -1 \Rightarrow b = -\frac{5}{3}$.
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$\frac{x}{5} + \frac{y}{-5/3} = 1$
$\frac{x}{5} - \frac{3y}{5} = 1$
$x - 3y = 5$
$x - 3y - 5 = 0$.

(B) शीर्ष $A$ रेखाओं $x+y=1$ और $2x+3y=6$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन्हें हल करने पर,हमें $x = -3$ और $y = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$A(-3, 4)$ और $O\left(\frac{3}{7}, \frac{22}{7}\right)$।
$A(-3, 4)$ और $O\left(\frac{3}{7}, \frac{22}{7}\right)$ से गुजरने वाली रेखा $OA$ का समीकरण:
$y - 4 = \frac{\frac{22}{7} - 4}{\frac{3}{7} - (-3)}(x + 3)$
$y - 4 = -\frac{1}{4}(x + 3)$
$x + 4y = 13$।
रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ का अभिलंब रूप प्राप्त करने के लिए $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{17}}x + \frac{4}{\sqrt{17}}y = \frac{13}{\sqrt{17}}$।
यहाँ,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}}$,इसलिए $\tan \alpha = 4$,जिसका अर्थ है $\alpha = \tan^{-1}(4)$।

(C) रेखा का समीकरण $12x - 5y + 13 = 0$ है,जिसे $12x - 5y = -13$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-12x + 5y = 13$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$ से विभाजित करने पर,हमें रेखा का अभिलंब रूप प्राप्त होता है:
$-\frac{12}{13}x + \frac{5}{13}y = 1$.
अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$ और $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ है।
चूँकि $\cos \alpha < 0$ और $\sin \alpha > 0$ है,इसलिए कोण $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हम जानते हैं कि $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$।
अतः,$\alpha = \pi - \operatorname{Tan}^{-1} \frac{5}{12}$।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $(\alpha+1)x + \alpha y + \alpha - 1 = 0$ है।
$\alpha$ के गुणांकों को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\alpha(x + y + 1) + (x - 1) = 0$।
इस रेखा के सभी $\alpha$ के लिए एक निश्चित बिंदु $(h, k)$ से गुजरने के लिए,$\alpha$ का गुणांक और अचर पद स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए:
$x + y + 1 = 0$ और $x - 1 = 0$।
$x - 1 = 0$ से,हमें $x = h = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ को $x + y + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 + y + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = k = -2$।
अतः,निश्चित बिंदु $(1, -2)$ है।
अंत में,$h^2 + k^2 = (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$।

(C) अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ है।
चूँकि रेखा $(a \cos \alpha, b \sin \alpha)$ और $(a \cos \beta, b \sin \beta)$ से गुजरती है,इसलिए:
$\frac{a \cos \alpha}{p} + \frac{b \sin \alpha}{q} = 1$ $(i)$
$\frac{a \cos \beta}{p} + \frac{b \sin \beta}{q} = 1$ (ii)
इन समीकरणों को हल करने पर,$\frac{a^2}{p^2} + \frac{b^2}{q^2} = \sec^2 \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा $5x - 2y = 10$ है।
दोनों पक्षों को $10$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{5x}{10} - \frac{2y}{10} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1$ हो जाता है।
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ के साथ तुलना करने पर,अंतःखंड $a = 2$ और $b = -5$ हैं।
अंतःखंडों के वर्गों का योग $a^2 + b^2 = 2^2 + (-5)^2$ है।
$= 4 + 25 = 29$.

(D) निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड काटने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ होता है,जिसे $x + y = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा $(-5, 6)$ से गुजरती है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$-5 + 6 = a$
$a = 1$
$a$ का मान समीकरण में वापस रखने पर,हमें $x + y = 1$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा की ढाल $m = \tan \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta = 150^{\circ}$ है।
$m = \tan 150^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
बिंदु $(-1, -1)$ और $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$y - (-1) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - (-1))$
$y + 1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x + 1)$
$\sqrt{3}(y + 1) = -(x + 1)$
$\sqrt{3}y + \sqrt{3} = -x - 1$
$x + \sqrt{3}y + \sqrt{3} + 1 = 0$
अतः,समीकरण $x + \sqrt{3}y + (\sqrt{3} + 1) = 0$ है।

(A) $A(-5,-4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x+5}{\cos \theta} = \frac{y+4}{\sin \theta} = r$ मानिए।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(-5+r\cos \theta, -4+r\sin \theta)$ है।
$x+3y+2=0$ पर बिंदु $B$ के लिए:
$(-5+r_1\cos \theta) + 3(-4+r_1\sin \theta) + 2 = 0$ $\Rightarrow r_1(\cos \theta + 3\sin \theta) = 15$ $\Rightarrow \frac{15}{r_1} = \cos \theta + 3\sin \theta \dots (i)$.
$2x+y+4=0$ पर बिंदु $C$ के लिए:
$2(-5+r_2\cos \theta) + (-4+r_2\sin \theta) + 4 = 0$ $\Rightarrow r_2(2\cos \theta + \sin \theta) = 10$ $\Rightarrow \frac{10}{r_2} = 2\cos \theta + \sin \theta \dots (ii)$.
$x-y-5=0$ पर बिंदु $D$ के लिए:
$(-5+r_3\cos \theta) - (-4+r_3\sin \theta) - 5 = 0$ $\Rightarrow r_3(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ $\Rightarrow \frac{6}{r_3} = \cos \theta - \sin \theta \dots (iii)$.
दिया है $\left(\frac{15}{AB}\right)^2 + \left(\frac{10}{AC}\right)^2 = \left(\frac{6}{AD}\right)^2$,अतः:
$(\cos \theta + 3\sin \theta)^2 + (2\cos \theta + \sin \theta)^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2$.
$4\cos^2 \theta + 9\sin^2 \theta + 12\sin \theta \cos \theta = 0$.
$(2\cos \theta + 3\sin \theta)^2 = 0 \Rightarrow \tan \theta = -\frac{2}{3}$.
रेखा $L$ का समीकरण $2x + 3y + 22 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली और $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - 2) = 1(x - 1)$ है,जो $x - y + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $Q$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:
$x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = x + 1$
$3x + 4y + 5 = 0$
दूसरे समीकरण में $y = x + 1$ रखने पर:
$3x + 4(x + 1) + 5 = 0$
$3x + 4x + 4 + 5 = 0$
$7x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{7}$
तब $y = -\frac{9}{7} + 1 = -\frac{2}{7}$।
अतः,$Q = \left(-\frac{9}{7}, -\frac{2}{7}\right)$।
दूरी सूत्र का उपयोग करके $PQ$ की लंबाई:
$PQ = \sqrt{\left(1 - (-\frac{9}{7})\right)^2 + \left(2 - (-\frac{2}{7})\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\left(\frac{16}{7}\right)^2 + \left(\frac{16}{7}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{2 \times \left(\frac{16}{7}\right)^2} = \frac{16\sqrt{2}}{7}$ इकाई।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $px - qy = r$ है।
चूंकि रेखा $x$-अक्ष को $(a, 0)$ पर काटती है,हम समीकरण में $x = a$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(a) - q(0) = r$ $\Rightarrow pa = r$ $\Rightarrow a = \frac{r}{p}$.
चूंकि रेखा $y$-अक्ष को $(0, b)$ पर काटती है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = b$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(0) - q(b) = r$ $\Rightarrow -qb = r$ $\Rightarrow b = -\frac{r}{q}$.
अतः,$(a + b)$ का मान है:
$a + b = \frac{r}{p} - \frac{r}{q} = \frac{rq - rp}{pq} = \frac{r(q - p)}{pq}$.

(D) दी गई रेखा $2x + y - 7 = 0$ है,जिसका ढाल $m_1 = -2$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा पर लंब है,इसलिए इसका ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m_2 = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$।
बिंदु $(5, 3)$ का उपयोग करते हुए बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ से:
$y - 3 = \frac{1}{2}(x - 5)$
$2(y - 3) = x - 5$
$2y - 6 = x - 5$
$2y - x - 1 = 0$।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) माना रेखा का $y$-अंतःखंड $a$ है। तब $x$-अंतःखंड $2a$ होगा।
रेखा के अंतःखंड रूप के समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{x}{2a} + \frac{y}{a} = 1$।
चूंकि रेखा बिंदु $(2,3)$ से गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{2}{2a} + \frac{3}{a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{3}{a} = 1$
$\frac{4}{a} = 1 \Rightarrow a = 4$।
$a=4$ को अंतःखंड रूप में वापस रखने पर:
$\frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1$
$8$ से गुणा करने पर,हमें $x + 2y = 8$ प्राप्त होता है,या $x + 2y - 8 = 0$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) रेखाओं $y=ax$ और $y=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{2}{a}, 2\right)$ है।
रेखाओं $y=ax$ और $y=6$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B\left(\frac{6}{a}, 6\right)$ है।
रेखाखंड $AB$ की लंबाई दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$AB = \sqrt{\left(\frac{6}{a} - \frac{2}{a}\right)^2 + (6 - 2)^2} < 5$
$\sqrt{\left(\frac{4}{a}\right)^2 + 4^2} < 5$
$\sqrt{\frac{16}{a^2} + 16} < 5$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{16}{a^2} + 16 < 25$
$\frac{16}{a^2} < 9$
$a^2 > \frac{16}{9}$
वर्गमूल लेने पर,हमें $|a| > \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a < -\frac{4}{3}$ या $a > \frac{4}{3}$।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) माना निर्देशांक अक्षों के साथ त्रिभुज बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |ab| = 12$ है,इसलिए $|ab| = 24$ है।
चूंकि रेखा $(2,3)$ से गुजरती है,हमारे पास $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ है,जिसका अर्थ है $2b + 3a = ab$।
स्थिति $1$: $ab = 24$। तब $3a + 2b = 24$। $b = \frac{24-3a}{2}$ को $ab=24$ में रखने पर $3a^2 - 24a + 48 = 0$ प्राप्त होता है,जो $a=4, b=6$ देता है ($1$ हल)।
स्थिति $2$: $ab = -24$। तब $3a + 2b = -24$। इससे $a^2 + 8a - 16 = 0$ समीकरण मिलता है,जिसके $2$ वास्तविक हल मिलते हैं।
स्थिति $3$: $ab = -24$ और $3a + 2b = 24$। इससे $a^2 - 8a - 16 = 0$ समीकरण मिलता है,जिसके $2$ वास्तविक हल मिलते हैं।
कुल $3$ रेखाएं संभव हैं।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा का सममित रूप में समीकरण,यदि $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ झुकाव $\theta$ है,तो वह इस प्रकार है:
$\frac{x-x_1}{\cos \theta} = \frac{y-y_1}{\sin \theta} = r$
दिया गया है $(x_1, y_1) = (-1, 3)$ और $\theta = 120^{\circ}$,इसलिए:
$\cos 120^{\circ} = -1/2$ और $\sin 120^{\circ} = \sqrt{3}/2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x - (-1)}{-1/2} = \frac{y - 3}{\sqrt{3}/2} = r$
$\frac{x+1}{-1/2} = \frac{y-3}{\sqrt{3}/2} = r$

(A) $y$-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण $x = k$ के रूप में होता है। चूँकि यह $(5, -6)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $x = 5$ है।
$x$-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण $y = k$ के रूप में होता है। चूँकि यह $(5, -6)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $y = -6$ है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x = 5$ और $y = -6$ हैं।

(B) माना बिंदु $A(4, -3)$,$B(1, 1)$,और $C(2, 3)$ हैं।
रेखा $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{3-1}{2-1} = 2$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $BC$ पर लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{1}{2}$ होगी।
बिंदु $(4, -3)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$2y + 6 = -x + 4$
$x + 2y = -2$
दोनों पक्षों को $-2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{-2} + \frac{y}{-1} = 1$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(4,3)$ से गुजरती है,$\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1$ है।
अंतःखंडों का योग $a + b = 14$ है,इसलिए $b = 14 - a$।
मान रखने पर: $\frac{4}{a} + \frac{3}{14 - a} = 1$।
हल करने पर $a^2 - 15a + 56 = 0$ प्राप्त होता है।
$(a - 7)(a - 8) = 0$।
यदि $a = 7$ तो $b = 7$,समीकरण $x + y = 7$ है।
यदि $a = 8$ तो $b = 6$,समीकरण $3x + 4y = 24$ है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $P(a, b)$,$3x + 2y = 13$ पर स्थित है,इसलिए $3a + 2b = 13$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है कि बिंदु $Q(b, a)$,$4x - y = 5$ पर स्थित है,इसलिए $4b - a = 5$,जिसका अर्थ है $a = 4b - 5$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(4b - 5) + 2b = 13$
$12b - 15 + 2b = 13$
$14b = 28 \implies b = 2$.
$b = 2$ को समीकरण $2$ में रखने पर:
$a = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$.
अतः,$P = (3, 2)$ और $Q = (2, 3)$.
रेखा $PQ$ की ढाल $m = \frac{3 - 2}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1$.
बिंदु $(3, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण:
$y - 2 = -1(x - 3)$
$y - 2 = -x + 3$
$x + y = 5$.

(A) दी गई रेखा का समीकरण $\sqrt{3} \sin \theta + 2 \cos \theta = \frac{4}{r}$ है,जिसे $\sqrt{3} r \sin \theta + 2 r \cos \theta = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करके कार्तीय निर्देशांक में बदलने पर,हमें $2x + \sqrt{3} y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
इसके लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होगी।
ध्रुवीय निर्देशांक $\left(-1, \frac{\pi}{2}\right)$ कार्तीय निर्देशांक $(0, -1)$ के अनुरूप है।
$(0, -1)$ से गुजरने वाली और $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - (-1) = \frac{\sqrt{3}}{2}(x - 0)$ है।
$y + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} x \Rightarrow \sqrt{3} x - 2y = 2$.
$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{3} r \cos \theta - 2 r \sin \theta = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा $x \cos \theta - y \sin \theta = a$ है।
इसकी ढाल $m' = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta$ है।
इस पर लंब रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m'} = -\tan \theta$ होगी।
बिंदु $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ से गुजरने वाली और $m = -\tan \theta$ ढाल वाली रेखा का समीकरण है:
$y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$
$y - a \sin^3 \theta = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a \cos^3 \theta)$
$y \cos \theta - a \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + a \cos^3 \theta \sin \theta$
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta$
$2$ से गुणा करने पर:
$2x \sin \theta + 2y \cos \theta = a \sin 2\theta$.

(C) माना बिंदु $A(2, k)$,$B(3, 7)$,$C(-2, 1)$ और $D(3, 0)$ हैं।
चूंकि रेखा $AB$,रेखा $CD$ के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए,अर्थात $m_{AB} = m_{CD}$।
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
$m_{AB} = \frac{7 - k}{3 - 2} = \frac{7 - k}{1} = 7 - k$.
$m_{CD} = \frac{0 - 1}{3 - (-2)} = \frac{-1}{3 + 2} = \frac{-1}{5}$.
ढालों की तुलना करने पर: $7 - k = \frac{-1}{5}$.
$35 - 5k = -1$.
$5k = 36$.
$k = \frac{36}{5}$.

(A) $P(3,4)$ से गुजरने वाली और $\theta = \frac{\pi}{6}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण प्राचल रूप में: $\frac{x-3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y-4}{\sin(\pi/6)} = r$ है,जहाँ $r$ दूरी $PQ$ है।
अतः,$x = 3 + r \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $y = 4 + \frac{r}{2}$।
चूंकि $Q$,$12x+5y+10=0$ पर स्थित है,मान रखने पर:
$12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$
$r = \frac{66}{6\sqrt{3} + 2.5} = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$।

(C) रेखा $x - y = 5$ की ढाल $m = 1$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $P(1, 1)$ से गुजरती है और $x - y = 5$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ है,जो $y = x$ या $x - y = 0$ में सरल हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$x - y = 0$
$x + 3y = 2$
दूसरे समीकरण में $x = y$ प्रतिस्थापित करने पर: $y + 3y = 2 \implies 4y = 2 \implies y = 0.5$।
अतः,$x = 0.5$। बिंदु $Q$ $(0.5, 0.5)$ है।
$PQ$ खंड की लंबाई $\sqrt{(1 - 0.5)^2 + (1 - 0.5)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$PQ$ की लंबाई का दोगुना $2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(A) रेखा $x-y-2=0$ है,जिसका ढाल $m=1$ है,अतः $\theta = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$P(6,4)$ से $r=4$ दूरी पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक $(x \pm r \cos \theta, y \pm r \sin \theta)$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$A$ के लिए,$(\alpha, \beta) = (6 + 2\sqrt{2}, 4 + 2\sqrt{2})$ है।
$B$ के लिए,$(\gamma, \delta) = (6 - 2\sqrt{2}, 4 - 2\sqrt{2})$ है।
अब,$\alpha^2 + \beta^2 = 68 + 40\sqrt{2}$ और $\gamma^2 + \delta^2 = 68 - 40\sqrt{2}$ है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 = 136$।

(A) रेखा $L$ बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरती है और इसका झुकाव कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
$P$ से $r = 4$ दूरी पर स्थित बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक $(x_1 + r \cos \theta, y_1 + r \sin \theta)$ और $(x_1 - r \cos \theta, y_1 - r \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$A = (1 + 4 \cos 60^{\circ}, 2 + 4 \sin 60^{\circ}) = (3, 2 + 2\sqrt{3})$.
$B = (1 - 4 \cos 60^{\circ}, 2 - 4 \sin 60^{\circ}) = (-1, 2 - 2\sqrt{3})$.
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |(3)(2 - 2\sqrt{3}) - (-1)(2 + 2\sqrt{3})| = \frac{1}{2} |8 - 4\sqrt{3}| = 4 - 2\sqrt{3}$.

(D) $P(3,4)$ से गुजरने वाली और $30^{\circ}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{\cos 30^{\circ}} = \frac{y-4}{\sin 30^{\circ}} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q = (3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ है।
चूंकि $Q$,$12x + 5y + 10 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$.
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$.
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$.
लंबाई $PQ = |r| = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$.

(A) माना दिया गया बिंदु $P(1, 2)$ है और बाहरी बिंदु $Q(3, 1)$ है।
हमें $P$ से गुजरने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात करना है जिसकी $Q$ से लंबवत दूरी अधिकतम हो।
बिंदु $Q$ से $P$ से गुजरने वाली रेखा की लंबवत दूरी हमेशा $PQ$ की दूरी से कम या उसके बराबर होती है।
अधिकतम दूरी तब प्राप्त होती है जब रेखा $P$ बिंदु पर $PQ$ रेखाखंड के लंबवत हो।
माना रेखा $L$ है। चूँकि $L \perp PQ$,रेखा $L$ की ढाल $PQ$ की ढाल की ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी।
$PQ$ की ढाल $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = \frac{-1}{2}$।
अतः,रेखा $L$ की ढाल $m = -(\frac{1}{-1/2}) = 2$ होगी।
$(1, 2)$ से गुजरने वाली और $2$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 2 = 2(x - 1)$
$y - 2 = 2x - 2$
$y = 2x$.

(D) माना रेखा $3x - 4y + 1 = 0$ पर स्थित बिंदु $A(x, y)$,बिंदु $P(3, 2)$ से $5$ इकाई की दूरी पर है।
बिंदु $(3, 2)$ से गुजरने वाली और $\theta$ झुकाव वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ है।
$r = \pm 5$ के लिए,$x = 3 \pm 5 \cos \theta$ और $y = 2 \pm 5 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह बिंदु रेखा $3x - 4y + 1 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(3 \pm 5 \cos \theta) - 4(2 \pm 5 \sin \theta) + 1 = 0$
$9 \pm 15 \cos \theta - 8 \mp 20 \sin \theta + 1 = 0$
रेखा $3x - 4y + 1 = 0$ की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{4}$।
इससे $\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $x = 3 \pm 5 \cos \theta$ और $y = 2 \pm 5 \sin \theta$ में रखने पर:
धनात्मक चिह्न के लिए: $x = 3 + 5(\frac{4}{5}) = 7$ और $y = 2 + 5(\frac{3}{5}) = 5$।
ऋणात्मक चिह्न के लिए: $x = 3 - 5(\frac{4}{5}) = -1$ और $y = 2 - 5(\frac{3}{5}) = -1$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(7, 5)$ और $(-1, -1)$ हैं।

(B) रेखाओं $L_1, L_2, L_3$ का $x+y=1$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\frac{1}{1+m_a}, \frac{m_a}{1+m_a})$,$B(\frac{1}{1+m_b}, \frac{m_b}{1+m_b})$,और $C(\frac{1}{1+m_c}, \frac{m_c}{1+m_c})$ हैं।
चूँकि $AB=BC$,इसलिए $AB^2=BC^2$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$AB^2 = \frac{2(m_a-m_b)^2}{(1+m_a)^2(1+m_b)^2}$ और $BC^2 = \frac{2(m_b-m_c)^2}{(1+m_b)^2(1+m_c)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{(m_a-m_b)^2}{(1+m_a)^2} = \frac{(m_b-m_c)^2}{(1+m_c)^2}$।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{m_a-m_b}{1+m_a} = \frac{m_b-m_c}{1+m_c}$।
सरल करने पर,$2(1+m_a)(1+m_c)=(1+m_b)(2+m_a+m_c)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{k_1}{k_2} = \lambda$ (मान लीजिए)।
इसका अर्थ है कि $a_1 = \lambda a_2$,$b_1 = \lambda b_2$,और $k_1 = \lambda k_2$ है।
अतः,समीकरण $p = 0$ को $\lambda a_2 x + \lambda b_2 y + \lambda k_2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो सरल होकर $\lambda(a_2 x + b_2 y + k_2) = 0$ यानी $\lambda q = 0$ हो जाता है।
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसका अर्थ है कि $p = 0$ और $q = 0$ एक ही सीधी रेखा को दर्शाते हैं।
वक्र का समीकरण $p + c q = 0$ है।
$p = \lambda q$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda q + c q = 0$ प्राप्त होता है,जो $(\lambda + c) q = 0$ है।
यह किसी भी स्थिरांक $c$ (जहाँ $\lambda + c \neq 0$) के लिए $q = 0$ (या $p = 0$) के समान ही सीधी रेखा को दर्शाता है।

(A) दी गई रेखाएँ $2x + 3y = 6$ और $2x + 3y = 8$ हैं।
$X$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ रखें:
$2x + 3y = 6$ के लिए,$2x = 6 \Rightarrow x = 3$. अतः,$A = (3, 0)$.
$2x + 3y = 8$ के लिए,$2x = 8 \Rightarrow x = 4$. अतः,$B = (4, 0)$.
रेखा $L$ बिंदु $(2, 2)$ से होकर गुजरती है और $X$-अक्ष को $C(x_1, 0)$ पर काटती है।
दिया गया है कि $A, B$ और $C$ के $x$-निर्देशांक समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $3, 4, x_1$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$2(4) = 3 + x_1$ $\Rightarrow 8 = 3 + x_1$ $\Rightarrow x_1 = 5$.
इसलिए,बिंदु $C$ का मान $(5, 0)$ है।
बिंदु $(2, 2)$ और $(5, 0)$ से होकर जाने वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 0 = \frac{2 - 0}{2 - 5}(x - 5)$
$y = \frac{2}{-3}(x - 5)$
$-3y = 2x - 10$
$2x + 3y = 10$

(D) रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ अभिलंब द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $p = 10$ दिया गया है।
अभिलंब ऋणात्मक $X$-अक्ष के साथ ऋणात्मक दिशा (घड़ी की दिशा) में $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है।
ऋणात्मक $X$-अक्ष $\pi$ कोण के अनुरूप है।
अतः $\alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर:
$x \cos(\frac{3\pi}{4}) + y \sin(\frac{3\pi}{4}) = 10$
$x(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + y(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 10$
$-x + y = 10\sqrt{2}$
$x - y + 10\sqrt{2} = 0$.