Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Hindi

(C) माना भुजाएँ $a = 3x + 4y$,$b = 4x + 3y$ और $c = 5x + 5y$ हैं।
चूँकि $x, y > 0$,$c = 5x + 5y$ सबसे बड़ी भुजा है।
त्रिभुज के अधिककोण होने के लिए,सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग से अधिक होना चाहिए $(c^2 > a^2 + b^2)$।
$a^2 + b^2 = (3x + 4y)^2 + (4x + 3y)^2 = 25x^2 + 48xy + 25y^2$.
$c^2 = (5x + 5y)^2 = 25x^2 + 50xy + 25y^2$.
यहाँ $c^2 > a^2 + b^2$ है,इसलिए त्रिभुज अधिककोण है।

(C) वर्ग के शीर्ष मूल बिंदु $(0, 0)$ और धनात्मक अक्षों पर $5$ इकाई की भुजा लंबाई द्वारा निर्धारित होते हैं।
चूँकि भुजाएँ धनात्मक $x$ और $y$ अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए शीर्ष हैं:
$1$. मूल बिंदु: $(0, 0)$
$2$. $x$-अक्ष पर बिंदु: $(5, 0)$
$3$. $y$-अक्ष पर बिंदु: $(0, 5)$
$4$. सम्मुख शीर्ष: $(5, 5)$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(-5, -5)$ वर्ग का शीर्ष नहीं है क्योंकि वर्ग पूरी तरह से प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

(C) माना शीर्ष $O(0, 0)$,$A(2, 2\sqrt{3})$ और $B(a, b)$ हैं।
समबाहु त्रिभुज होने के कारण,भुजा की लंबाई $l = OA = \sqrt{(2-0)^2 + (2\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$ है।
अतः,$OB^2 = a^2 + b^2 = 16$ (समीकरण $1$)।
साथ ही,$AB^2 = (a-2)^2 + (b-2\sqrt{3})^2 = 16$।
इसे हल करने पर: $a^2 - 4a + 4 + b^2 - 4\sqrt{3}b + 12 = 16$।
$a^2 + b^2 = 16$ रखने पर: $16 - 4a - 4\sqrt{3}b + 16 = 16$,यानी $a + \sqrt{3}b = 4$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से $a = 4 - \sqrt{3}b$। समीकरण $1$ में रखने पर: $(4 - \sqrt{3}b)^2 + b^2 = 16$।
$16 - 8\sqrt{3}b + 3b^2 + b^2 = 16 \Rightarrow 4b^2 - 8\sqrt{3}b = 0$।
$4b(b - 2\sqrt{3}) = 0$,अतः $b = 0$ या $b = 2\sqrt{3}$।
यदि $b = 0$,तो $a = 4$। यदि $b = 2\sqrt{3}$,तो $a = -2$।
चूंकि $(a, b)$ को $(2, 2\sqrt{3})$ से अलग होना चाहिए,इसलिए सही उत्तर $(4, 0)$ है।

(C) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ और $B(x, y)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,भुजा की लंबाई $s = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$ है।
$O(0, 0)$ से $B(x, y)$ की दूरी $4$ होनी चाहिए,इसलिए $x^2 + y^2 = 16$ है।
$A(4, 0)$ से $B(x, y)$ की दूरी भी $4$ होनी चाहिए,इसलिए $(x-4)^2 + y^2 = 16$ है।
दूसरे समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 8x + 16 + y^2 = 16$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 = 16$ को समीकरण में रखने पर: $16 - 8x + 16 = 16$,जो सरल होकर $8x = 16$ यानी $x = 2$ देता है।
$x = 2$ को $x^2 + y^2 = 16$ में रखने पर: $2^2 + y^2 = 16 \implies 4 + y^2 = 16 \implies y^2 = 12 \implies y = \pm 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,तीसरा शीर्ष $(2, \pm 2\sqrt{3})$ है।

(D) $\Delta ABC$ में,शीर्ष $A \equiv (-3, 0)$,$B \equiv (4, -1)$,और $C \equiv (5, 2)$ हैं।
सबसे पहले,दूरी सूत्र का उपयोग करके आधार $BC$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$BC = \sqrt{(5 - 4)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
इसके बाद,निर्देशांक ज्यामिति के सूत्र का उपयोग करके $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
$= \frac{1}{2} |(-3)(-1 - 2) + 4(2 - 0) + 5(0 - (-1))|$
$= \frac{1}{2} |(-3)(-3) + 4(2) + 5(1)|$
$= \frac{1}{2} |9 + 8 + 5| = \frac{1}{2} |22| = 11$.
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब}$ होता है,इसलिए:
$11 = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \text{शीर्षलंब}$
$\text{शीर्षलंब} = \frac{22}{\sqrt{10}}$.

(C) माना शीर्ष $A(1, 1)$,$B(-1, -1)$ और $C(-\sqrt{3}, k)$ हैं।
समबाहु त्रिभुज के लिए,किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी समान होनी चाहिए।
$AB^2 = (-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2 = 8$.
$AC^2 = (-\sqrt{3} - 1)^2 + (k - 1)^2 = 4 + 2\sqrt{3} + (k - 1)^2$.
चूंकि $AB^2 = AC^2$,इसलिए $8 = 4 + 2\sqrt{3} + (k - 1)^2$.
$(k - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$.
अतः,$k - 1 = \pm(\sqrt{3} - 1)$.
$k = \sqrt{3}$ या $k = 2 - \sqrt{3}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $k = \sqrt{3}$ है।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिए गए मध्य-बिंदु $(2, 1)$,$(-1, -3)$ और $(4, 5)$ हैं।
$x$-निर्देशांकों के लिए: $\frac{x_1 + x_2}{2} = 2$,$\frac{x_2 + x_3}{2} = -1$,$\frac{x_3 + x_1}{2} = 4$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $x_1 + x_2 + x_3 = 5$.
प्रत्येक समीकरण को घटाने पर: $x_3 = 1$,$x_1 = 7$,$x_2 = -3$.
$y$-निर्देशांकों के लिए: $\frac{y_1 + y_2}{2} = 1$,$\frac{y_2 + y_3}{2} = -3$,$\frac{y_3 + y_1}{2} = 5$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $y_1 + y_2 + y_3 = 3$.
प्रत्येक समीकरण को घटाने पर: $y_3 = 1$,$y_1 = 9$,$y_2 = -7$.
अतः शीर्ष $(7, 9), (-3, -7)$ और $(1, 1)$ हैं।

(C) माना आयत के शीर्ष $A(2, -2)$,$B(8, 4)$,$C(5, 7)$ और $D(x, y)$ हैं।
चूंकि आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए विकर्ण $AC$ का मध्यबिंदु विकर्ण $BD$ के मध्यबिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्यबिंदु $= (\frac{2 + 5}{2}, \frac{-2 + 7}{2}) = (3.5, 2.5)$.
$BD$ का मध्यबिंदु $= (\frac{8 + x}{2}, \frac{4 + y}{2})$.
मध्यबिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{8 + x}{2} = 3.5$ $\Rightarrow 8 + x = 7$ $\Rightarrow x = -1$.
$\frac{4 + y}{2} = 2.5$ $\Rightarrow 4 + y = 5$ $\Rightarrow y = 1$.
अतः,चौथा शीर्ष $(-1, 1)$ है।

(C) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को अपने मध्य बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
माना विकर्ण $PR$ का मध्य बिंदु $M_1$ है और विकर्ण $QS$ का मध्य बिंदु $M_2$ है।
चूँकि $M_1 = M_2$,हमें प्राप्त होता है:
$PR$ का मध्य बिंदु $= (\frac{1+5}{2}, \frac{2+7}{2}) = (3, 4.5)$
$QS$ का मध्य बिंदु $= (\frac{4+a}{2}, \frac{6+b}{2})$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{4+a}{2} = 3$ $\Rightarrow 4+a = 6$ $\Rightarrow a = 2$
$\frac{6+b}{2} = 4.5$ $\Rightarrow 6+b = 9$ $\Rightarrow b = 3$
अतः,$a = 2$ और $b = 3$.

(C) माना कि दिए गए शीर्ष $A(0, -1)$ और $C(0, 3)$ हैं।
विकर्ण $AC$ की लंबाई $= \sqrt{(0-0)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$ है।
माना अन्य दो शीर्ष $B(x, y)$ और $D(x', y')$ हैं।
एक वर्ग में,विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और लंबाई में समान होते हैं।
$AC$ का मध्यबिंदु $(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}) = (0, 1)$ है।
चूंकि विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $BD$ का मध्यबिंदु भी $(0, 1)$ है।
अतः,$\frac{x+x'}{2} = 0 \Rightarrow x' = -x$ और $\frac{y+y'}{2} = 1 \Rightarrow y' = 2-y$ है।
मध्यबिंदु $(0, 1)$ से किसी भी शीर्ष की दूरी विकर्ण की लंबाई की आधी यानी $2$ है।
शीर्ष $B(x, y)$ के लिए,$(0, 1)$ से दूरी $\sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2} = 2$,इसलिए $x^2 + (y-1)^2 = 4$ है।
चूंकि $AC$ शीर्ष $y$-अक्ष पर हैं,इसलिए $BD$ रेखाखंड $x$-अक्ष के समानांतर होगा,अतः $y = 1$ है।
$y=1$ को $x^2 + (y-1)^2 = 4$ में रखने पर,$x^2 + 0 = 4$,इसलिए $x = \pm 2$ है।
अतः,अन्य दो शीर्ष $(2, 1)$ और $(-2, 1)$ हैं।

(C) माना शीर्ष $A(-2, 2)$,$B(8, -2)$ और $C(-4, -3)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB^2 = (8 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2 = 10^2 + (-4)^2 = 100 + 16 = 116$
$BC^2 = (-4 - 8)^2 + (-3 - (-2))^2 = (-12)^2 + (-1)^2 = 144 + 1 = 145$
$AC^2 = (-4 - (-2))^2 + (-3 - 2)^2 = (-2)^2 + (-5)^2 = 4 + 25 = 29$
यहाँ $AB^2 + AC^2 = 116 + 29 = 145 = BC^2$ है।
चूँकि दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।

(B) माना $A = \left( \frac{a}{\sqrt{3}}, a \right)$,$B = \left( \frac{2a}{\sqrt{3}}, 2a \right)$,और $C = \left( \frac{a}{\sqrt{3}}, 3a \right)$.
शीर्षों के बीच की दूरी के वर्गों की गणना करने पर:
$AB^2 = \left( \frac{a}{\sqrt{3}} - \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)^2 + (a - 2a)^2 = \frac{a^2}{3} + a^2 = \frac{4a^2}{3}$.
$BC^2 = \left( \frac{2a}{\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 + (2a - 3a)^2 = \frac{a^2}{3} + a^2 = \frac{4a^2}{3}$.
$AC^2 = \left( \frac{a}{\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 + (a - 3a)^2 = 4a^2$.
चूंकि $AB^2 = BC^2 = \frac{4a^2}{3}$,भुजाएं $AB$ और $BC$ समान लंबाई की हैं।
अतः,यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A(0, 8/3)$,$B(1, 3)$,और $C(82, 30)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या ये बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं,हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(3 - 30) + 1(30 - 8/3) + 82(8/3 - 3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0 + (90 - 8)/3 + 82(-1/3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |82/3 - 82/3| = 0$
चूंकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं और त्रिभुज नहीं बनाते हैं। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना शीर्ष $A(-1, 1)$,$B(0, -3)$,$C(5, 2)$ और $D(4, 6)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{17}$,$BC = \sqrt{50}$,$CD = \sqrt{17}$,$DA = \sqrt{50}$
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB = CD$ और $BC = DA$),इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
विकर्णों की जाँच करने पर:
$AC = \sqrt{37}$ और $BD = \sqrt{97}$
चूंकि विकर्ण बराबर नहीं हैं,इसलिए यह आयत या वर्ग नहीं है।
अतः,चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

(B) माना शीर्ष $A(-4, -1)$,$B(-2, -4)$,$C(4, 0)$,और $D(2, 3)$ हैं।
सबसे पहले,हम विकर्णों $AC$ और $BD$ के मध्य-बिंदुओं की जाँच करते हैं:
$AC$ का मध्य-बिंदु = $(\frac{-4+4}{2}, \frac{-1+0}{2}) = (0, -0.5)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु = $(\frac{-2+2}{2}, \frac{-4+3}{2}) = (0, -0.5)$.
चूंकि मध्य-बिंदु समान हैं,इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,हम आसन्न भुजाओं $AB$ और $AD$ की ढाल (slopes) ज्ञात करते हैं:
$AB$ की ढाल $(m_1)$ = $\frac{-4 - (-1)}{-2 - (-4)} = \frac{-3}{2}$.
$AD$ की ढाल $(m_2)$ = $\frac{3 - (-1)}{2 - (-4)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = (\frac{-3}{2}) \times (\frac{2}{3}) = -1$,इसलिए आसन्न भुजाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,यह आकृति एक आयत है।

(D) माना शीर्ष $A(0, 2)$,$B(1, 0)$ और $C(3, 1)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
चूंकि $AB = BC = \sqrt{5}$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
साथ ही,$(AB)^2 + (BC)^2 = 5 + 5 = 10$ और $(AC)^2 = 10$ है।
चूंकि $(AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2$,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

(B) माना $A = (0, 0)$,$B = (a, 0)$,और $C = \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)$ है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{a^2} = a$.
$BC = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - a \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\left( -\frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$.
$AC = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$.
चूंकि $AB = BC = AC = a$,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(D) दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें।
$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
$BC = \sqrt{(7-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.
$CD = \sqrt{(4-7)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{(-3)^2+(-4)^2} = 5$.
$AD = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.
चूंकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,यह एक समचतुर्भुज या वर्ग है।
विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(7-0)^2 + (7-0)^2} = \sqrt{49+49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$BD = \sqrt{(4-3)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.
चूंकि $AC \neq BD$,विकर्ण बराबर नहीं हैं।
इसलिए,$ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

(B) माना शीर्ष $A(0, -1), B(2, 1), C(0, 3)$ और $D(-2, 1)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(0-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-2-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(0-(-2))^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$
विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{0+16} = 4$
$BD = \sqrt{(-2-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16+0} = 4$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं $(AB=BC=CD=DA)$ और विकर्ण समान हैं $(AC=BD)$,इसलिए यह चतुर्भुज एक वर्ग है।

(A) माना शीर्ष $A(4, 0)$,$B(-1, -1)$,और $C(3, 5)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{26}$.
$AC = \sqrt{(3 - 4)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{26}$.
$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{52}$.
चूंकि $AB = AC = \sqrt{26}$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
साथ ही,$AB^2 + AC^2 = 26 + 26 = 52$ और $BC^2 = 52$ है।
चूंकि $AB^2 + AC^2 = BC^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से यह एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,त्रिभुज समद्विबाहु और समकोण है।

(B) त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$PQ = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$.
$PR = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (6 - 7)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.
$QR = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (6 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85}$.
अब,भुजाओं के वर्गों की जाँच करें:
$PQ^2 = 68$,$PR^2 = 17$,$QR^2 = 85$.
चूंकि $PQ^2 + PR^2 = 68 + 17 = 85 = QR^2$,त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
इसलिए,यह एक समकोण त्रिभुज है।

(A) माना शीर्ष $A(1, 1)$,$B(-1, -1)$ और $C(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(-\sqrt{3} + 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
चूंकि $AB = BC = CA = 2\sqrt{2}$,इसलिए सभी भुजाएं बराबर हैं।
अतः,यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि त्रिभुज के आंतरिक बिंदु किस असमिका को संतुष्ट करते हैं,हम प्रत्येक असमिका के लिए शीर्षों $(1, 3)$,$(5, 0)$ और $(-1, 2)$ की जाँच करते हैं।
$3x + 2y \ge 0$ के लिए:
$(1, 3) \implies 3(1) + 2(3) = 9 > 0$
$(5, 0) \implies 3(5) + 2(0) = 15 > 0$
$(-1, 2) \implies 3(-1) + 2(2) = 1 > 0$
चूंकि सभी शीर्ष असमिका को संतुष्ट करते हैं,इसलिए आंतरिक बिंदु भी इसे संतुष्ट करते हैं।
$2x + y - 13 \le 0$ के लिए:
$(1, 3) \implies 2(1) + 3 - 13 = -8 \le 0$
$(5, 0) \implies 2(5) + 0 - 13 = -3 \le 0$
$(-1, 2) \implies 2(-1) + 2 - 13 = -13 \le 0$
चूंकि सभी शीर्ष असमिका को संतुष्ट करते हैं,इसलिए आंतरिक बिंदु भी इसे संतुष्ट करते हैं।
$2x - 3y - 12 \le 0$ के लिए:
$(1, 3) \implies 2(1) - 3(3) - 12 = -19 \le 0$
$(5, 0) \implies 2(5) - 3(0) - 12 = -2 \le 0$
$(-1, 2) \implies 2(-1) - 3(2) - 12 = -20 \le 0$
चूंकि सभी शीर्ष असमिका को संतुष्ट करते हैं,इसलिए आंतरिक बिंदु भी इसे संतुष्ट करते हैं।
अतः,दी गई सभी असमिकाएं संतुष्ट होती हैं।

(C) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं:
$1$. $7x - 2y + 10 = 0$ और $y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y = -2$ रखने पर,$x = -2$ प्राप्त होता है। शीर्ष: $(-2, -2)$।
$2$. $7x + 2y - 10 = 0$ और $y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y = -2$ रखने पर,$x = 2$ प्राप्त होता है। शीर्ष: $(2, -2)$।
$3$. $7x - 2y + 10 = 0$ और $7x + 2y - 10 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = 0$ और $y = 5$ प्राप्त होता है। शीर्ष: $(0, 5)$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-2)(-2 - 5) + 2(5 - (-2)) + 0| = \frac{1}{2} |14 + 14| = 14 \, sq. \, units$.

(C) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं के समीकरणों को हल करते हैं:
$1$. $y = m_1x + c_1$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, c_1)$ है।
$2$. $y = m_2x + c_2$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, c_2)$ है।
$3$. $y = m_1x + c_1$ और $y = m_2x + c_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x = \frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2}$ और $y = \frac{m_1c_2 - m_2c_1}{m_1 - m_2}$ है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ का उपयोग करने पर,
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2} (c_1 - c_2)| = \frac{1}{2} \frac{(c_1 - c_2)^2}{|m_1 - m_2|}$।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |6(5 - (-2)) + (-3)(-2 - 3) + 4(3 - 5)| = 24.5$.
$\Delta PBC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |x(5 - (-2)) + (-3)(-2 - y) + 4(y - 5)| = \frac{7}{2} |x + y - 2|$.
अनुपात = $\frac{\text{Area}(\Delta PBC)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left| \frac{x + y - 2}{7} \right|$.

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\Delta ABC$ के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{49}{2}$.
$\Delta DBC$ के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = |14x - 7|$.
दिया गया है कि $\frac{\text{Area}(\Delta DBC)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{1}{2}$,इसलिए $2 \times |14x - 7| = \frac{49}{2}$.
$|14x - 7| = \frac{49}{4}$.
हल करने पर,$x = \frac{11}{8}$ या $x = -\frac{3}{8}$.
अतः,सही विकल्प $\frac{11}{8}$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $x = 0$ (y-अक्ष),$y = 0$ (x-अक्ष) और $x + 2y + 3 = 0$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिच्छेदन बिंदु निकालते हैं:
$1$. $x = 0$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$2$. $x = 0$ और $x + 2y + 3 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = 0$ रखने पर,$2y = -3$,अतः $y = -1.5$। बिंदु $(0, -1.5)$ है।
$3$. $y = 0$ और $x + 2y + 3 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y = 0$ रखने पर,$x = -3$। बिंदु $(-3, 0)$ है।
यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $|-3| = 3$ और ऊँचाई $|-1.5| = 1.5$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 3 \times 1.5 = \frac{4.5}{2} = 2.25$ वर्ग इकाई।

(A) तीन बिंदु $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ संरेख होते हैं यदि उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो,या किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की ढाल समान हो।
माना बिंदु $P(a, b)$,$Q(a', b')$ और $R(a - a', b - b')$ हैं।
$PQ$ की ढाल $m_1 = \frac{b' - b}{a' - a}$ है।
$QR$ की ढाल $m_2 = \frac{(b - b') - b'}{(a - a') - a'} = \frac{b - 2b'}{a - 2a'}$ है।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,$m_1 = m_2$:
$\frac{b' - b}{a' - a} = \frac{b - 2b'}{a - 2a'}$
$(b' - b)(a - 2a') = (b - 2b')(a' - a)$
$ab' - 2a'b' - ab + 2a'b = a'b - ab - 2a'b' + 2ab'$
$ab' + 2a'b = a'b + 2ab'$
$a'b = ab'$
अतः,$ab' = a'b$।

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
$\frac{1}{2} |a(b - 1) + 0(1 - 0) + 1(0 - b)| = 0$
$|ab - a - b| = 0$
$ab - a - b = 0$
$ab = a + b$
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $a, b \neq 0$):
$\frac{ab}{ab} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab}$
$1 = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$
अतः,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$.

(A) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(-5, 1), (p, 5)$ और $(10, 7)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |-5(5 - 7) + p(7 - 1) + 10(1 - 5)| = 0$
$|-5(-2) + p(6) + 10(-4)| = 0$
$|10 + 6p - 40| = 0$
$|6p - 30| = 0$
$6p = 30$
$p = 5$.

(D) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(k, 3), (2, k)$ और $(-k, 3)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |k(k - 3) + 2(3 - 3) + (-k)(3 - k)| = 0$
$|k(k - 3) + 0 - k(3 - k)| = 0$
$|k^2 - 3k - 3k + k^2| = 0$
$|2k^2 - 6k| = 0$
$2k(k - 3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = 3$।

(A) तीन भुजाओं के समीकरण $L_1: x = 2$,$L_2: y = -1$ और $L_3: x + 2y = 4$ हैं।
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = 2, y = -1 \implies A(2, -1)$.
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = 2, 2 + 2y = 4 \implies y = 1 \implies B(2, 1)$.
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y = -1, x - 2 = 4 \implies x = 6 \implies C(6, -1)$.
माना परिकेंद्र $O(x, y)$ है। $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = OB^2$ लेने पर: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 \implies y = 0$.
$OA^2 = OC^2$ में $y = 0$ रखने पर: $(x - 2)^2 + 1 = (x - 6)^2 + 1 \implies x = 4$.
अतः,परिकेंद्र $(4, 0)$ है।

(B) रेखाएं $x = 0$,$y = 0$ और $3x + 4y = 12$ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं जिसके शीर्ष $A(0, 0)$,$B(0, 3)$ और $C(4, 0)$ हैं।
माना शीर्ष $A(x_1, y_1) = (0, 0)$,$B(x_2, y_2) = (0, 3)$ और $C(x_3, y_3) = (4, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$a = BC = 5$,$b = AC = 4$,$c = AB = 3$
अंतःकेंद्र $(I_x, I_y)$ के निर्देशांक:
$I_x = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c} = \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5 + 4 + 3} = 1$
$I_y = \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c} = \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5 + 4 + 3} = 1$
अतः,अंतःकेंद्र $(1, 1)$ है।

(A) माना रेखाएँ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$,और $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ हैं।
रेखाओं की प्रवणता (slopes) की जाँच करने पर:
$L_1$ की प्रवणता $(m_1)$ = $4/7$.
$L_3$ की प्रवणता $(m_3)$ = $-7/4$.
चूँकि $m_1 \times m_3 = -1$ है,इसलिए रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है जहाँ समकोण $L_1$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनता है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
$4x - 7y = -10$ और $7x + 4y = 15$ को हल करने पर:
$x = 1$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(1, 2)$ है।

(B) माना शीर्ष $A(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$,$B(at_2t_3, a(t_2 + t_3))$,और $C(at_3t_1, a(t_3 + t_1))$ हैं।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{1}{t_3}$ है।
$A$ से $BC$ पर लंब का समीकरण $t_3x + y = a(t_1 + t_2 + t_1t_2t_3)$ है।
इसी प्रकार,$B$ से $AC$ पर लंब का समीकरण $t_1x + y = a(t_2 + t_3 + t_1t_2t_3)$ है।
दोनों समीकरणों को हल करने पर,$x = -a$ और $y = a(t_1 + t_2 + t_3 + t_1t_2t_3)$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(-a, a(t_1 + t_2 + t_3 + t_1t_2t_3))$ है।

(A) दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें।
$AB = \sqrt{(2a - 2a)^2 + (6a - 4a)^2} = \sqrt{0 + (2a)^2} = 2a$.
$BC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 6a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$CA = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 4a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
चूंकि $AB = BC = CA = 2a$,इसलिए त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।
प्रत्येक समबाहु त्रिभुज एक न्यूनकोण त्रिभुज होता है,क्योंकि इसके सभी कोण $60^\circ$ होते हैं।

(C) माना दिए गए विपरीत शीर्ष $A(3, 4)$ और $C(1, -1)$ हैं। $AC$ का मध्यबिंदु $M = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{4-1}{2} \right) = \left( 2, \frac{3}{2} \right)$ है।
वर्ग में,विकर्ण समान होते हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
सदिश $\vec{AC} = (-2, -5)$ है। $\vec{BD}$ सदिश $\vec{AC}$ के लंबवत होना चाहिए।
गणना करने पर,अन्य दो शीर्ष $\left( \frac{9}{2}, \frac{1}{2} \right)$ और $\left( -\frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right)$ प्राप्त होते हैं,जो विकल्प $C$ से मेल खाते हैं।

(D) शीर्ष $O$,$4x + 5y = 0$ और $7x + 2y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
चूंकि विकर्ण $11x + 7y = 9$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से नहीं गुजरता है,इसलिए यह विकर्ण $OB$ नहीं हो सकता। अतः,$11x + 7y = 9$ विकर्ण $AC$ का समीकरण है।
भुजाएँ $OA: 4x + 5y = 0$ और $OC: 7x + 2y = 0$ हैं।
$AC$ और $OA$ को हल करने पर: $A = \left(\frac{5}{3}, -\frac{4}{3}\right).$
$AC$ और $OC$ को हल करने पर: $C = \left(-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right).$
विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right)$ है।
दूसरा विकर्ण $OB$ मूल बिंदु $(0, 0)$ और $M\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right)$ से गुजरता है।
$OB$ की ढाल $m = 3$ है।
$OB$ का समीकरण $y = 3x$ अर्थात $3x - y = 0$ है। जो विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) चतुर्भुज के शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित होते हैं:
$1$. $x=0$ और $y=0$ बिंदु $B(0,0)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$. $x=0$ और $6x+y=3$ बिंदु $A(0,3)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3$. $y=0$ और $x+y=1$ बिंदु $C(1,0)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$4$. $x+y=1$ और $6x+y=3$ बिंदु $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
मूल बिंदु $B(0,0)$ से गुजरने वाला विकर्ण शीर्ष $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ से भी गुजरना चाहिए।
$(0,0)$ और $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = \frac{y_1}{x_1}x$ है।
$x_1 = \frac{2}{5}$ और $y_1 = \frac{3}{5}$ रखने पर:
$y = \frac{3/5}{2/5}x$
$y = \frac{3}{2}x$
$2y = 3x$
$3x - 2y = 0$.

(C) माना दिया गया शीर्ष $A = (3, 4)$ है।
पहले विकर्ण $d_1$ का समीकरण $x + 2y = 1$ है,जिसकी ढाल $m_1 = -\frac{1}{2}$ है।
वर्ग में,विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
इसलिए,दूसरे विकर्ण $d_2$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ होगी।
दूसरा विकर्ण शीर्ष $A(3, 4)$ से गुजरता है।
बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,दूसरे विकर्ण का समीकरण $y - 4 = 2(x - 3)$ है।
$y - 4 = 2x - 6$.
$2x - y - 2 = 0$,या $2x - y = 2$.

(B) दी गई भुजा $x + y = 2$ की ढाल $m_1 = -1$ है,जो $\theta = 135^\circ$ के झुकाव कोण के अनुरूप है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,अन्य दो भुजाएं आधार के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती हैं।
अन्य दो भुजाओं की ढाल $m = \tan(135^\circ \pm 60^\circ)$ द्वारा दी जाती है।
पहले मामले के लिए,$m = \tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}$।
दूसरे मामले के लिए,$m = \tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए,समीकरण $y - 3 = (2 \pm \sqrt{3})(x - 2)$ हैं।
अतः,एक समीकरण $y - 3 = (2 - \sqrt{3})(x - 2)$ है।

(D) माना शीर्ष $O(0, 0)$,$A(1, 0)$,$B(2, 2)$ और $C(1, 2)$ हैं।
विकर्ण $OB$ और $AC$ हैं।
विकर्ण $OB$ की ढाल $(m_1)$ = $\frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$ है।
विकर्ण $AC$ की ढाल $(m_2)$ = $\frac{2 - 0}{1 - 1} = \frac{2}{0} = \infty$ (ऊर्ध्वाधर रेखा) है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक रेखा ऊर्ध्वाधर है,इसलिए कोण $|90^\circ - 45^\circ| = 45^\circ$ होगा।
अतः,कोण $\frac{\pi}{4}$ है।

(B) माना आधार के शीर्ष $A(2a, 0)$ और $B(0, a)$ हैं।
चूंकि एक भुजा $x = 2a$ है,इसलिए तीसरा शीर्ष $C(2a, t)$ पर होगा।
समद्विबाहु त्रिभुज के लिए,$AC = BC$ लेने पर $t = \frac{5a}{2}$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{5a^2}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) मान लीजिए भुजाएँ $L_1: x - 3y = 0$,$L_2: 4x + 3y = 5$,और $L_3: 3x + y = 0$ हैं।
रेखाओं की ढाल की जाँच करें:
$L_1$ की ढाल $m_1 = 1/3$ है।
$L_3$ की ढाल $m_3 = -3$ है।
चूंकि $m_1 \times m_3 = (1/3) \times (-3) = -1$,रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ परस्पर लंबवत हैं।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
अतः,लंबकेंद्र $(0, 0)$ है।
अब,जाँच करें कि क्या रेखा $3x - 4y = 0$ बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है:
$3(0) - 4(0) = 0 - 0 = 0$।
चूंकि बिंदु $(0, 0)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए रेखा लंबकेंद्र से होकर गुजरती है।

(D) समांतर रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_1x + b_1y + d_1 = 0$ के बीच की दूरी $p_1 = \frac{|d_1 - c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}}$ है।
समांतर रेखाओं $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ और $a_2x + b_2y + d_2 = 0$ के बीच की दूरी $p_2 = \frac{|d_2 - c_2|}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ है।
दो समांतर रेखाओं के युग्मों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{p_1 p_2}{\sin \theta}$ होता है,जहाँ $\theta$ रेखाओं के बीच का कोण है।
रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के बीच का कोण $\sin \theta = \frac{|a_1b_2 - a_2b_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $p_1$,$p_2$ और $\sin \theta$ का मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{|d_1 - c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} \times \frac{|d_2 - c_2|}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \times \frac{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}{|a_1b_2 - a_2b_1|} = \frac{|(d_1 - c_1)(d_2 - c_2)|}{|a_1b_2 - a_2b_1|}$.

(A) दो समांतर रेखाओं के युग्म $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0, L_2: a_1x + b_1y + c_2 = 0$ और $M_1: a_2x + b_2y + d_1 = 0, M_2: a_2x + b_2y + d_2 = 0$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{|c_1 - c_2| |d_1 - d_2|}{|a_1b_2 - a_2b_1|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ रेखाएँ हैं:
$x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$
$x \cos \alpha + y \sin \alpha - q = 0$
$x \cos \beta + y \sin \beta - r = 0$
$x \cos \beta + y \sin \beta - s = 0$
समांतर रेखाओं के पहले युग्म के बीच की दूरी $d_1 = |p - q|$ है।
समांतर रेखाओं के दूसरे युग्म के बीच की दूरी $d_2 = |r - s|$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \alpha - \beta$ है।
हर $|(\cos \alpha)(\sin \beta) - (\cos \beta)(\sin \alpha)| = |\sin(\beta - \alpha)| = |\sin(\alpha - \beta)|$ है।
अतः,$\text{Area} = \frac{|p - q| |r - s|}{|\sin(\alpha - \beta)|} = |p - q| |r - s| |\csc(\alpha - \beta)|$.

(B) दी गई रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$ax + c = 0 \implies x = -\frac{c}{a}$.
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$by + c = 0 \implies y = -\frac{c}{b}$.
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(-\frac{c}{a}, 0)$ और $(0, -\frac{c}{b})$ हैं।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |-\frac{c}{a}| \times |-\frac{c}{b}|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \left| \frac{c^2}{ab} \right| = \frac{c^2}{2|ab|}$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
समीकरणों के युग्मों को हल करने पर:
$1$) $x + y = 4$ और $3x + y = 4$: घटाने पर $2x = 0 \implies x = 0, y = 4$। शीर्ष $A(0, 4)$।
$2$) $3x + y = 4$ और $x + 3y = 4$: हल करने पर $x = 1, y = 1$। शीर्ष $B(1, 1)$।
$3$) $x + y = 4$ और $x + 3y = 4$: घटाने पर $2y = 0 \implies y = 0, x = 4$। शीर्ष $C(4, 0)$।
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-4)^2} = 4\sqrt{2}$
चूंकि $AB = BC$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।