Locus of Point Questions in Hindi

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= 1$ है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 1$ का उपयोग करने पर।
बिंदुओं $P(x, y), A(-1, 2), B(1, -2)$ को रखने पर:
$\frac{1}{2} |x(2 - (-2)) + (-1)(-2 - y) + 1(y - 2)| = 1$
$\frac{1}{2} |4x + 2 + y + y - 2| = 1$
$\frac{1}{2} |4x + 2y| = 1$
$|2x + y| = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(2x + y)^2 = 1^2$
$4x^2 + 4xy + y^2 = 1$.

(C) माना $P(x, y)$,$A=(5,3)$,$B=(3,-2)$ है।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(3 - (-2)) - y(5 - 3) + 1(5(-2) - 3(3))| = 9$.
$\frac{1}{2} |5x - 2y - 19| = 9$.
$|5x - 2y - 19| = 18$.
$5x - 2y - 19 = 18$ या $5x - 2y - 19 = -18$.
$5x - 2y = 37$ या $5x - 2y = 1$.
ये समीकरण समान ढाल $m = \frac{5}{2}$ वाली दो रेखाओं को दर्शाते हैं,जो समांतर रेखाएँ हैं।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$ और $L_2: 9x + 12y + 7 = 0$ हैं।
सबसे पहले,$L_2$ को $3$ से विभाजित करने पर: $3x + 4y + \frac{7}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि दोनों समीकरणों में $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु का बिंदुपथ एक तीसरी रेखा होती है जो उन दोनों के ठीक बीच में स्थित होती है।
अतः,बिंदुपथ एक सरल रेखा है।

(B) मान लीजिए कि दो परस्पर लंबवत रेखाएं $x$-अक्ष और $y$-अक्ष हैं। बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
बिंदु की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $5$ है,इसलिए $|x| + |y| = 5$ है।
यह समीकरण एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(5, 0), (0, 5), (-5, 0),$ और $(0, -5)$ हैं।
इस वर्ग के विकर्ण की लंबाई $(5, 0)$ और $(0, 5)$ के बीच की दूरी है,जो $\sqrt{(5-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
विकर्ण $d$ वाले वर्ग का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} d^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (5\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया ध्रुवीय समीकरण: $\theta = \tan^{-1} 2$
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan \theta = 2$
हम जानते हैं कि कार्तीय निर्देशांक में,$\tan \theta = \frac{y}{x}$
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{y}{x} = 2$
अतः,कार्तीय रूप है: $y = 2x$

(D) रेखाओं के परिवार का समीकरण $ax + by + c = 0$ और शर्त $4a^2 + 9b^2 - c^2 - 12ab = 0$ दी गई है।
शर्त को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $4a^2 - 12ab + 9b^2 = c^2$,जो $(2a - 3b)^2 = c^2$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $c = \pm(2a - 3b)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $c = 2a - 3b$. इसे रेखा के समीकरण में रखने पर: $ax + by + (2a - 3b) = 0 \implies a(x + 2) + b(y - 3) = 0$.
यह रेखा निश्चित बिंदु $(-2, 3)$ से गुजरती है।
स्थिति $2$: $c = -(2a - 3b) = -2a + 3b$. इसे रेखा के समीकरण में रखने पर: $ax + by + (-2a + 3b) = 0 \implies a(x - 2) + b(y + 3) = 0$.
यह रेखा निश्चित बिंदु $(2, -3)$ से गुजरती है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$(2, -3)$ और $(-2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा शर्त को पूरा करती है।

(D) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। मूल बिंदु से दूरी $c$ होने के कारण,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}$। वृत्त का केंद्र $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) = (x, y)$ है। अतः $a=2x, b=2y$। मान रखने पर,$\frac{1}{4x^2} + \frac{1}{4y^2} = \frac{1}{c^2}$।

(B) माना केंद्रक $(x, y)$ है। केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$(x, y) = \left(\frac{a + a \cos t + b \sin t}{3}, \frac{0 + a \sin t - b \cos t}{3}\right)$
इसका अर्थ है:
$3x = a + a \cos t + b \sin t \Rightarrow 3x - a = a \cos t + b \sin t$
$3y = a \sin t - b \cos t$
इन दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x - a)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$
$9x^2 + a^2 - 6ax + 9y^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$9x^2 + 9y^2 - 6ax + a^2 = a^2 + b^2$
$9x^2 + 9y^2 - 6ax = b^2$
दिए गए बिंदुपथ $9x^2 + 9y^2 - 6x = 49$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$ और $b^2 = 49$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 7$।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{1} + \frac{y}{7} = 1$ है।
अंतःखंड $x = 1$ और $y = 7$ हैं।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 1 \times 7 = \frac{7}{2}$ है।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं,जहाँ $a, b > 0$ है।
$(a, 0)$ और $(0, b)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(4, 9)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} + \frac{9}{b} = 1$ है।
हमें $S = a + b$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
समीकरण $\frac{4}{a} + \frac{9}{b} = 1$ से,$b = \frac{9a}{a-4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S(a) = a + \frac{9a}{a-4}$ है।
न्यूनतम मान के लिए,$a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $S'(a) = 1 - \frac{36}{(a-4)^2}$ प्राप्त होता है।
$S'(a) = 0$ रखने पर,$(a-4)^2 = 36$,जिससे $a-4 = 6$ (चूंकि $a > 4$),जो $a = 10$ देता है।
तब $b = \frac{9(10)}{10-4} = 15$ होगा।
न्यूनतम मान $S = a + b = 10 + 15 = 25$ है।

(A, D) कुल उड़ान का समय $T = 12 \text{ सेकंड}$ दिया गया है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $t = \frac{T}{2} = 6 \text{ सेकंड}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
समीकरण $v = u - gt$ का उपयोग करने पर,जहाँ $g = 32 \text{ ft/sec}^2$:
$0 = u - (32)(6) \Rightarrow u = 192 \text{ ft/sec}$.
अधिकतम ऊँचाई $H = ut - \frac{1}{2}gt^2$:
$H = (192)(6) - \frac{1}{2}(32)(6)^2 = 1152 - 576 = 576 \text{ ft}$.
अतः,प्रक्षेपण का वेग $192 \text{ ft/sec}$ है और अधिकतम ऊँचाई $576 \text{ ft}$ है।
विकल्प $A$ और $D$ दोनों सही हैं।

(C) माना शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए $AB = AC$,जिसका अर्थ है $AB^2 = AC^2$.
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 7)^2$.
सरल करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 14y + 49$.
हमें $8y - 6x = 43$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $A = (2, -3)$ और $B = (-2, 1)$ हैं,तो $\Delta ABC$ का केंद्रक $G$ होगा:
$G = \left( \frac{2 - 2 + x}{3}, \frac{-3 + 1 + y}{3} \right) = \left( \frac{x}{3}, \frac{y - 2}{3} \right)$.
यह दिया गया है कि केंद्रक रेखा $2x + 3y = 1$ पर स्थित है,इसलिए हम $G$ के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left( \frac{x}{3} \right) + 3\left( \frac{y - 2}{3} \right) = 1$.
हर को हटाने के लिए $3$ से गुणा करने पर:
$2x + 3(y - 2) = 3$.
$2x + 3y - 6 = 3$.
$2x + 3y = 9$.
अतः,बिंदु $C$ का बिंदु पथ $2x + 3y = 9$ है।

(B) बिंदु $P(x, y)$ की $A(8, 0)$ और $B(0, 12)$ से दूरियों का योग तब न्यूनतम होता है जब $P$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित हो।
$(8, 0)$ और $(0, 12)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{8} + \frac{y}{12} = 1$ है।
$24$ से गुणा करने पर,$3x + 2y = 24$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ और $y$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं $(x, y \in \mathbb{N})$,हम रेखाखंड पर पूर्णांक हल की जाँच करते हैं।
यदि $x = 2$,तो $3(2) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 18$ $\Rightarrow y = 9$।
यदि $x = 4$,तो $3(4) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 12$ $\Rightarrow y = 6$।
यदि $x = 6$,तो $3(6) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 6$ $\Rightarrow y = 3$।
ये बिंदु $(2, 9), (4, 6), (6, 3)$ सभी $S$ में हैं।
अतः,ऐसे $3$ बिंदु हैं।

(D) माना चर रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है,जहाँ $a^2 + b^2 = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = ax_1 + by_1 + c$ द्वारा दी जाती है।
बिंदुओं $(2,0)$,$(0,2)$ और $(1,1)$ से दूरियों का बीजगणितीय योग शून्य है:
$(2a + 0b + c) + (0a + 2b + c) + (1a + 1b + c) = 0$
$3a + 3b + 3c = 0$
$a + b + c = 0$
रेखा के समीकरण में $c = -(a + b)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
यह समीकरण सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य है यदि $x - 1 = 0$ और $y - 1 = 0$ हो।
अतः,रेखा हमेशा निश्चित बिंदु $(1,1)$ से होकर गुजरती है।

(C) रेखा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{-5 - 0}{0 - 7} = \frac{5}{7}$ है।
चूंकि $PQ \perp AB$,रेखा $PQ$ की ढाल $m_{PQ} = -\frac{7}{5}$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $y - 0 = -\frac{7}{5}(x - a)$ है,जो $7x + 5y = 7a$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $Q(0, b)$,$PQ$ पर स्थित है,$5b = 7a$,इसलिए $b = \frac{7a}{5}$ है।
$R(h, k)$,$AQ$ और $BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$A(7, 0)$ और $Q(0, b)$ से गुजरने वाली रेखा $AQ$ का समीकरण $\frac{x}{7} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$B(0, -5)$ और $P(a, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $BP$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{-5} = 1$ है।
चूंकि $R(h, k)$ दोनों रेखाओं पर स्थित है:
$(1)$ $\frac{h}{7} + \frac{k}{b} = 1$ $\Rightarrow \frac{h}{7} + \frac{5k}{7a} = 1$ $\Rightarrow ah + 5k = 7a$ $\Rightarrow a(7 - h) = 5k$ $\Rightarrow a = \frac{5k}{7 - h}$।
$(2)$ $\frac{h}{a} - \frac{k}{5} = 1$ $\Rightarrow 5h - ak = 5a$ $\Rightarrow 5h = a(k + 5)$ $\Rightarrow a = \frac{5h}{k + 5}$।
$a$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{5k}{7 - h} = \frac{5h}{k + 5}$ $\Rightarrow k(k + 5) = h(7 - h)$ $\Rightarrow k^2 + 5k = 7h - h^2$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $h^2 + k^2 - 7h + 5k = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 7x + 5y = 0$ है।

(B) के निर्देशांक $(0,4)$ और $B$ के निर्देशांक $(2t, 0)$ हैं।
$AB$ का मध्यबिंदु $L$,$\left(\frac{0+2t}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (t, 2)$ है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{0-4}{2t-0} = -\frac{2}{t}$ है।
$AB$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = \frac{t}{2}$ है।
$L(t, 2)$ से गुजरने वाले लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 2 = \frac{t}{2}(x - t)$ है।
$M$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $y - 2 = \frac{t}{2}(0 - t) \Rightarrow y = 2 - \frac{t^2}{2} = \frac{4-t^2}{2}$।
अतः,$M$ के निर्देशांक $\left(0, \frac{4-t^2}{2}\right)$ हैं।
मान लीजिए $N(h, k)$,$LM$ का मध्यबिंदु है। तो $h = \frac{t+0}{2} = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2h$।
$k = \frac{2 + \frac{4-t^2}{2}}{2} = \frac{4+4-t^2}{4} = \frac{8-t^2}{4} = 2 - \frac{t^2}{4}$।
$k$ के समीकरण में $t = 2h$ प्रतिस्थापित करने पर: $k = 2 - \frac{(2h)^2}{4} = 2 - \frac{4h^2}{4} = 2 - h^2$।
इस प्रकार,$N(x, y)$ का बिंदु पथ $y = 2 - x^2$ है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(C) दिया गया समीकरण $\sin ^2 x + \sin ^2 y = 1$ है।
सर्वसमिका $\sin ^2 y = 1 - \sin ^2 x = \cos ^2 x$ का उपयोग करने पर।
इससे $\sin y = \pm \cos x$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\sin y = \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$।
इसका व्यापक हल $y = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{2} - x)$ है,जो $\pm 1$ ढाल वाली रेखाओं को दर्शाता है।
स्थिति $2$: $\sin y = -\cos x = \sin(x - \frac{\pi}{2})$।
इसका व्यापक हल $y = n\pi + (-1)^n(x - \frac{\pi}{2})$ है,जो भी $\pm 1$ ढाल वाली रेखाओं को दर्शाता है।
चूंकि $n$ कोई भी पूर्णांक हो सकता है,इसलिए ऐसी अनंत रेखाएं प्राप्त होती हैं।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष,$x=0$ और $y=0$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $P(x, y)$ है।
बिंदु $P$ की रेखा $x=0$ से दूरी $|x|$ है और रेखा $y=0$ से दूरी $|y|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ इकाई है,इसलिए $|x| + |y| = 1$।
यह समीकरण एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ हैं।

(A) मान लीजिए $B = (2\alpha, 0)$ है।
चूंकि $A = (0, 4)$,$AB$ का मध्यबिंदु $M = (\alpha, 2)$ है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{0-4}{2\alpha-0} = -\frac{2}{\alpha}$ है।
$AB$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{MR} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{\alpha}{2}$ है।
$M(\alpha, 2)$ से गुजरने वाली और $\frac{\alpha}{2}$ ढाल वाली रेखा $MR$ का समीकरण $y-2 = \frac{\alpha}{2}(x-\alpha)$ है।
$R$ ज्ञात करने के लिए,$x=0$ रखें: $y-2 = \frac{\alpha}{2}(0-\alpha) \Rightarrow y = 2 - \frac{\alpha^{2}}{2}$।
अतः,$R = (0, 2 - \frac{\alpha^{2}}{2})$ है।
मान लीजिए $P(x, y)$ $MR$ का मध्यबिंदु है। तब $x = \frac{\alpha+0}{2} = \frac{\alpha}{2}$ और $y = \frac{2 + (2 - \alpha^{2}/2)}{2} = 2 - \frac{\alpha^{2}}{4}$ है।
$x = \frac{\alpha}{2}$ से,हमें $\alpha = 2x$ प्राप्त होता है।
$y$ के समीकरण में $\alpha = 2x$ रखने पर: $y = 2 - \frac{(2x)^{2}}{4} = 2 - x^{2}$।
इस प्रकार,$y+x^{2}=2$।

(B) माना $AB$ का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है।
माना $A = (\alpha, -\alpha)$ और $B = (\beta, \beta)$ है।
तब,मध्य-बिंदु $(h, k) = \left(\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\beta-\alpha}{2}\right)$ है।
अतः,$\alpha+\beta = 2h$ और $\beta-\alpha = 2k$ है।
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{2} + (-\alpha)^{2}} \sqrt{\beta^{2} + \beta^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2\alpha^{2}} \sqrt{2\beta^{2}} = |\alpha\beta| = C$ है।
इस प्रकार,$\alpha^{2}\beta^{2} = C^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $(\beta+\alpha)^{2} - (\beta-\alpha)^{2} = 4\alpha\beta$ होता है।
अतः,$4\alpha\beta = (2h)^{2} - (2k)^{2} = 4(h^{2}-k^{2})$,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = h^{2}-k^{2}$।
इसे $\alpha^{2}\beta^{2} = C^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(h^{2}-k^{2})^{2} = C^{2}$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $(x^{2}-y^{2})^{2} = C^{2}$ है।

(B) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ है।
चूंकि रेखा एक निश्चित बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ से होकर गुजरती है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{x_{1}}{a}+\frac{y_{1}}{b}=1$
चूंकि $OAPB$ एक आयत है,इसलिए $P$ के निर्देशांक $(a, b)$ होंगे।
$a$ को $x$ और $b$ को $y$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदुपथ है:
$\frac{x_{1}}{x}+\frac{y_{1}}{y}=1$

(A) माना $P(\alpha, \beta)$ दिया गया स्थिर बिंदु है और $O(0, 0)$ मूल बिंदु है।
माना $Q(x, y)$ मूल बिंदु $O$ से $P$ से गुजरने वाली चर रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है।
चूंकि $OQ \perp PQ$,इसलिए $\angle OQP = 90^{\circ}$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $Q$ उस वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास $OP$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $O(0, 0)$ और $P(\alpha, \beta)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-0)(x-\alpha) + (y-0)(y-\beta) = 0$
$x(x-\alpha) + y(y-\beta) = 0$
$x^{2} - \alpha x + y^{2} - \beta y = 0$
अतः,बिंदुपथ $x^{2} + y^{2} - \alpha x - \beta y = 0$ है।

(A) रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{-3} = 1$ है,जो $3x - 5y = 15$ में सरल हो जाता है।
चूंकि रेखा $PQ$,$AB$ के लंबवत है,इसलिए इसका समीकरण $5x + 3y = \lambda$ के रूप में है।
$P$ के निर्देशांक $(\frac{\lambda}{5}, 0)$ हैं और $Q$ के निर्देशांक $(0, \frac{\lambda}{3})$ हैं।
$A(5,0)$ और $Q(0, \frac{\lambda}{3})$ से गुजरने वाली रेखा $AQ$ का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{\lambda/3} = 1$ है,जिससे $\frac{x}{5} + \frac{3y}{\lambda} = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3y}(1 - \frac{x}{5})$।
$B(0,-3)$ और $P(\frac{\lambda}{5}, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $BP$ का समीकरण $\frac{x}{\lambda/5} + \frac{y}{-3} = 1$ है,जिससे $\frac{5x}{\lambda} - \frac{y}{3} = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{5x}(\frac{y}{3} + 1)$।
$\frac{1}{\lambda}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{3y}(1 - \frac{x}{5}) = \frac{1}{5x}(\frac{y}{3} + 1)$
$5x(1 - \frac{x}{5}) = 3y(\frac{y}{3} + 1)$
$5x - x^{2} = y^{2} + 3y$
$x^{2} + y^{2} - 5x + 3y = 0$।

(A) $P(h, k)$ से गुजरने वाली और $X$-अक्ष के समानांतर रेखा $y=k$ है।
$y=k$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(k, k)$ है।
$y=k$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(2-k, k)$ है।
$y=x$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, 1)$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)| = h^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{2} |1(k-k) + k(k-1) + (2-k)(1-k)| = h^2$
$\frac{1}{2} |0 + k^2 - k + 2 - 2k - k + k^2| = h^2$
$\frac{1}{2} |2k^2 - 4k + 2| = h^2$
$|k^2 - 2k + 1| = h^2$
$(k-1)^2 = h^2$
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,$k-1 = \pm h$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$y-1 = \pm x$ मिलता है।
अतः,$x = y-1$ या $x = -(y-1)$।

(B) दोनों अक्षों पर $2a$ अंतःखंड वाली रेखा $AB$ का समीकरण अंतःखंड रूप में: $\frac{x}{2a} + \frac{y}{2a} = 1$,जो $x + y = 2a$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए रेखा $AB$ पर स्थित किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2h, 2k)$ हैं।
चूंकि $P$ रेखा $x + y = 2a$ पर स्थित है,इसलिए $2h + 2k = 2a$,जो $h + k = a$ में सरल हो जाता है।
अक्षों पर लंब $PR$ और $PS$ खींचे गए हैं,इसलिए $R$ के निर्देशांक $(2h, 0)$ और $S$ के निर्देशांक $(0, 2k)$ हैं।
$RS$ का मध्य-बिंदु $(\frac{2h+0}{2}, \frac{0+2k}{2}) = (h, k)$ है।
मान लीजिए मध्य-बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं,इसलिए $x = h$ और $y = k$ है।
इन मानों को $h + k = a$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x + y = a$ प्राप्त होता है।
अतः,$RS$ के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ $x + y = a$ है।

(D) दी गई सरल रेखाओं के समीकरण हैं:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = K$ $(1)$
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{K}$ $(2)$
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$(\frac{x}{a} + \frac{y}{b})(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = K \times \frac{1}{K}$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है। अतः,बिंदु-पथ एक अतिपरवलय है।

(A) मान लीजिए $R$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ होता है।
दिए गए शीर्षों $P(2, -3), Q(-2, 1)$ और $R(h, k)$ के लिए,केंद्रक $\left(\frac{2 - 2 + h}{3}, \frac{-3 + 1 + k}{3}\right) = \left(\frac{h}{3}, \frac{k - 2}{3}\right)$ होगा।
चूंकि केंद्रक रेखा $2x + 3y = 1$ पर स्थित है,इसलिए यह निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करेंगे:
$2\left(\frac{h}{3}\right) + 3\left(\frac{k - 2}{3}\right) = 1$
$3$ से गुणा करने पर:
$2h + 3(k - 2) = 3$
$2h + 3k - 6 = 3$
$2h + 3k = 9$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$R$ का बिंदुपथ $2x + 3y = 9$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाएँ $x+2y=4$ $(i)$ और $2x+y=4$ (ii) हैं।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ प्राप्त होता है।
इस बिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ मानिए।
चूंकि यह $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ से होकर गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{3a} + \frac{4}{3b} = 1$,जो सरल होकर $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{4}$ (iii) हो जाता है।
$AB$ का मध्य-बिंदु $(h, k)$ मानिए। तब $h = \frac{a}{2}$ और $k = \frac{b}{2}$,अर्थात $a = 2h$ और $b = 2k$।
इन मानों को समीकरण (iii) में रखने पर,$\frac{1}{2h} + \frac{1}{2k} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$2hk$ से गुणा करने पर,$k + h = \frac{3}{2}hk$,या $2(h+k) = 3hk$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $2(x+y) = 3xy$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta) y = a \sin \theta$ $(1)$
$x \sin \theta - (1 + \cos \theta) y = -a \sin \theta$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(1 - \cos \theta + 1 + \cos \theta) y = a \sin \theta + a \sin \theta$
$2y = 2a \sin \theta \implies y = a \sin \theta$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2x \sin \theta + (1 - \cos \theta - 1 - \cos \theta) y = 0$
$2x \sin \theta - 2y \cos \theta = 0$
$x \sin \theta = y \cos \theta$
$y = a \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x \sin \theta = (a \sin \theta) \cos \theta$
$x = a \cos \theta$
अब,$x^2 + y^2 = (a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2$
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = a^2$ है।

(C) मान लीजिए कि दो परस्पर लंबवत रेखाएं निर्देशांक अक्ष $x = 0$ और $y = 0$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
रेखा $x = 0$ से $P$ की दूरी $|x|$ है और रेखा $y = 0$ से $P$ की दूरी $|y|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ है,इसलिए $|x| + |y| = 1$ है।
यह समीकरण $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाला एक वर्ग निरूपित करता है।
चूंकि वर्ग समचतुर्भुज का एक विशेष प्रकार है और विकल्पों में वर्ग नहीं दिया गया है,इसलिए प्रश्न में त्रुटि हो सकती है। यदि दूरियों के वर्गों का योग स्थिर होता,तो यह एक वृत्त होता। लेकिन $|x| + |y| = 1$ के लिए बिंदु पथ एक वर्ग ही होता है।

(B) $x^{3}-y x^{2}+x-y=0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$x^{2}(x-y)+1(x-y)=0$
$(x^{2}+1)(x-y)=0$
चूंकि $x^{2}+1=0$ के लिए $x$ का कोई वास्तविक हल नहीं है,इसलिए केवल वास्तविक बिंदु पथ निम्न द्वारा दिया जाता है:
$x-y=0$
$x=y$
अतः,यह समीकरण एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$3tx - 2y + 6t = 0$ $(i)$
$3x + 2ty - 6 = 0$ $(ii)$
$(i)$ से,$3t(x+2) = 2y \Rightarrow t = \frac{2y}{3(x+2)}$.
$t$ का मान $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 2\left(\frac{2y}{3(x+2)}\right)y - 6 = 0$
$3x(3(x+2)) + 4y^{2} - 6(3(x+2)) = 0$
$9x(x+2) + 4y^{2} - 18(x+2) = 0$
$9x^{2} + 18x + 4y^{2} - 18x - 36 = 0$
$9x^{2} + 4y^{2} = 36$
$36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(C) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।
वक्र पर किसी भी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(x, y) = (a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ लें।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$ और $\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ है।
$(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$ है।
सरल करने पर,$y \cos \theta - a \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + a \cos^3 \theta \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a \sin \theta \cos \theta$ है।
$a \sin \theta \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{a \cos \theta} + \frac{y}{a \sin \theta} = 1$ मिलता है।
$x$-अंतःखंड $a \cos \theta$ है और $y$-अंतःखंड $a \sin \theta$ है।
अंतःखंडित भाग की लंबाई $\sqrt{(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = a$ है।
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसलिए अंतःखंडित भाग की लंबाई स्थिर है।

(B) दी गई रेखाएँ $4x + 3y = 1$ और $3x + 4y = 1$ हैं। इन्हें हल करने पर,हमें $x = 1/7$ और $y = 1/7$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1/7, 1/7)$ है।
माना $A(1/7, 1/7)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 1/7 = m(x - 1/7)$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $P$ (जहाँ $y=0$) पर और $y$-अक्ष को $Q$ (जहाँ $x=0$) पर मिलती है।
$P$ के लिए,$-1/7 = m(x_1 - 1/7) \implies x_1 = 1/7 - 1/(7m) = (m-1)/(7m)$। अतः $P = ((m-1)/(7m), 0)$।
$Q$ के लिए,$y_1 - 1/7 = m(-1/7) \implies y_1 = (1-m)/7$। अतः $Q = (0, (1-m)/7)$।
माना $(h, k)$ रेखा $PQ$ का मध्य बिंदु है। तब $h = (m-1)/(14m)$ और $k = (1-m)/14$ होगा।
$k = (1-m)/14$ से,$14k = 1-m$,अतः $m = 1-14k$।
$m$ का मान $h = (m-1)/(14m)$ में रखने पर,$h = (1-14k-1)/(14(1-14k)) = -14k/(14(1-14k)) = -k/(1-14k)$।
इस प्रकार,$h(1-14k) = -k \implies h - 14hk = -k \implies h + k = 14hk$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x + y = 14xy$ या $x + y - 14xy = 0$ है।