Locus of Point Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $A$,$X$-अक्ष पर स्थित है,मान लीजिए $A \equiv (a, 0)$.
दिया गया है कि $B$,$y=6x$ रेखा पर स्थित है,मान लीजिए $B \equiv (c, 6c)$.
मान लीजिए $C(h, k)$ रेखा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
तब,$h = \frac{a+c}{2}$ और $k = \frac{0+6c}{2} = 3c$ है।
$k = 3c$ से,हमें $c = \frac{k}{3}$ प्राप्त होता है।
$h$ के समीकरण में $c$ का मान रखने पर: $h = \frac{a + k/3}{2}$ $\Rightarrow 2h = a + \frac{k}{3}$ $\Rightarrow a = 2h - \frac{k}{3}$।
रेखाखंड की लंबाई $AB = r$ दी गई है,इसलिए $(AB)^2 = r^2$ है।
$(a-c)^2 + (0-6c)^2 = r^2$
$a = 2h - k/3$ और $c = k/3$ रखने पर:
$(2h - k/3 - k/3)^2 + (6(k/3))^2 = r^2$
$(2h - 2k/3)^2 + (2k)^2 = r^2$
$4(h - k/3)^2 + 4k^2 = r^2$
$(h - k/3)^2 + k^2 = \frac{r^2}{4}$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $(x - y/3)^2 + y^2 = \frac{r^2}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखा $ax + by + c = 0$ है।
चूंकि $a, b,$ और $c$ तीन क्रमागत विषम पूर्णांक हैं,इसलिए वे समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$b - a = c - b$,जिसका अर्थ है $c = 2b - a$।
रेखा के समीकरण में $c$ का मान रखने पर: $ax + by + (2b - a) = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a(x - 1) + b(y + 2) = 0$।
इस रेखा के हमेशा एक निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta)$ से गुजरने के लिए:
$\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$ और $\beta + 2 = 0 \Rightarrow \beta = -2$।
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$।

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $\operatorname{ar}(\triangle POB) = 2 \cdot \operatorname{ar}(\triangle POA)$.
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ का उपयोग करने पर.
$\triangle POB$ के लिए शीर्ष $P(x, y), O(0, 0), B(0, 4)$ हैं:
$\operatorname{ar}(\triangle POB) = \frac{1}{2} |x(0-4) + 0(4-y) + 0(y-0)| = 2|x|$.
$\triangle POA$ के लिए शीर्ष $P(x, y), O(0, 0), A(6, 0)$ हैं:
$\operatorname{ar}(\triangle POA) = \frac{1}{2} |x(0-0) + 0(0-y) + 6(y-0)| = 3|y|$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2|x| = 2 \cdot 3|y| \Rightarrow |x| = 3|y|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 9y^2$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $x^2 - 9y^2 = 0$ है।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष $OX$ और $OY$ हैं। छड़ के सिरे $y$-अक्ष पर $A(0, a)$ और $x$-अक्ष पर $B(b, 0)$ हैं।
छड़ की लंबाई $AB = 2l$ है। दूरी सूत्र के अनुसार,$\sqrt{a^2+b^2} = 2l$,जिसका अर्थ है $a^2+b^2 = 4l^2$।
मान लीजिए $P(x, y)$ छड़ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $x = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$ और $y = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$।
इससे $b = 2x$ और $a = 2y$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $a^2+b^2 = 4l^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2y)^2 + (2x)^2 = 4l^2$ प्राप्त होता है।
$4x^2 + 4y^2 = 4l^2$,जो सरल होकर $x^2+y^2 = l^2$ हो जाता है।
अतः,मध्य-बिंदु का बिंदुपथ $x^2+y^2 = l^2$ है।

(B) माना तीसरा शीर्ष $C = (h, k)$ है।
दिए गए शीर्ष $A = (2, -3)$ और $B = (-2, 1)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $G = \left(\frac{2 - 2 + h}{3}, \frac{-3 + 1 + k}{3}\right) = \left(\frac{h}{3}, \frac{k - 2}{3}\right)$ है।
चूंकि केंद्रक $G$ रेखा $2x + 3y = 1$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{h}{3}\right) + 3\left(\frac{k - 2}{3}\right) = 1$ होगा।
समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,$2h + 3(k - 2) = 3$ प्राप्त होता है।
$2h + 3k - 6 = 3$,अतः $2h + 3k = 9$ है।
इस प्रकार,शीर्ष $C$ का बिंदुपथ $2x + 3y = 9$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएं $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष हैं। मान लीजिए $P(x, y)$ बिंदु पथ पर कोई बिंदु है।
बिंदु $P(x, y)$ की $X$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ है।
अतः,$|x| + |y| = 1$।
यह समीकरण एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है। $A(1, 1)$ और $B(-2, 3)$ दिए गए हैं।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= 9 \text{ वर्ग इकाई}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(1 - 3) + 1(3 - y) + (-2)(y - 1)| = 9$.
$|-2x - 3y + 5| = 18$.
अतः,$-2x - 3y + 5 = 18$ या $-2x - 3y + 5 = -18$.
स्थिति $1$: $2x + 3y + 13 = 0$.
स्थिति $2$: $2x + 3y - 23 = 0$.
अतः,बिंदुपथ $2x + 3y + 13 = 0$ और $2x + 3y - 23 = 0$ है।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है। त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 2)$,$B(-2, 5)$ और $P(x, y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
मान रखने पर: $8 = \frac{1}{2} |1(5 - y) + (-2)(y - 2) + x(2 - 5)|$.
$16 = |5 - y - 2y + 4 - 3x| = |9 - 3y - 3x|$.
$16 = |9 - 3(x + y)|$.
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $9 - 3(x + y) = 16 \implies 3x + 3y + 7 = 0$.
स्थिति $2$: $9 - 3(x + y) = -16 \implies 3x + 3y - 25 = 0$.
अतः,बिंदु-पथ $3x + 3y + 7 = 0$ और $3x + 3y - 25 = 0$ है।

(B) माना अक्षों को $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर काटने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $P(4, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ... $(i)$।
समकोण $\triangle OAB$ में,परिवृत्त का केंद्र कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु होता है। माना परिवृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
तब $h = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2h$ और $k = \frac{b}{2} \Rightarrow b = 2k$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$\frac{4}{2h} + \frac{2}{2k} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{2}{h} + \frac{1}{k} = 1$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $2x^{-1} + y^{-1} = 1$ है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) माना $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ अक्षों पर स्थित बिंदु हैं,और $P(h, k)$ वह बिंदु है जो रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक:
$P(h, k) = \left(\frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{2+1}, \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot b}{2+1}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{2b}{3}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$h = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$
$k = \frac{2b}{3} \Rightarrow b = \frac{3k}{2}$
दिया गया है कि $AB = 6$,इसलिए:
$\sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2} = 6$
$a^2 + b^2 = 36$
$a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(3h)^2 + \left(\frac{3k}{2}\right)^2 = 36$
$9h^2 + \frac{9k^2}{4} = 36$
$9$ से भाग देने पर:
$h^2 + \frac{k^2}{4} = 4$
$4h^2 + k^2 = 16$
अतः,$P$ का बिंदुपथ $4x^2 + y^2 = 16$ है।

(C) मान लीजिए $A = (p, 0)$ और $B = (0, q)$ वे बिंदु हैं जहाँ रेखा क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को काटती है।
मान लीजिए $P(h, k)$ रेखाखंड $\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है।
दिया गया है कि रेखाखंड $\overline{AB}$ की लंबाई $a$ है।
चूंकि $P(h, k)$,$\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$h = \frac{p+0}{2} \implies p = 2h$
$k = \frac{0+q}{2} \implies q = 2k$
दूरी सूत्र का उपयोग करके रेखाखंड $\overline{AB}$ की लंबाई:
$\sqrt{(p-0)^2 + (0-q)^2} = a$
$\sqrt{p^2 + q^2} = a$
$p = 2h$ और $q = 2k$ का मान रखने पर:
$\sqrt{(2h)^2 + (2k)^2} = a$
$\sqrt{4h^2 + 4k^2} = a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4h^2 + 4k^2 = a^2$
$h^2 + k^2 = \frac{a^2}{4}$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,मध्य-बिंदु का बिंदुपथ है:
$x^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना बिंदु $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं। चर रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(\alpha, \beta)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} = 1$ है।
$\triangle OAB$ का केंद्रक $(h, k)$ है,जहाँ $h = \frac{a}{3}$ और $k = \frac{b}{3}$ है।
अतः,$a = 3h$ और $b = 3k$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{\alpha}{3h} + \frac{\beta}{3k} = 1$।
$3hk$ से गुणा करने पर,$\alpha k + \beta h = 3hk$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $\beta x + \alpha y - 3xy = 0$ है।

(C) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y=mx$ है,जो समांतर रेखाओं $x-y+10=0$ और $x-y+20=0$ को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है।
बिंदु $A$ के लिए: $x-mx+10=0 \Rightarrow x=\frac{10}{m-1}, y=\frac{10m}{m-1}$.
अतः,$OA = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|m-1|}$.
इसी प्रकार,बिंदु $B$ के लिए: $OB = \frac{20\sqrt{1+m^2}}{|m-1|}$.
माना $P(h, k)$,$y=mx$ पर एक बिंदु है,इसलिए $m=\frac{k}{h}$ और $OP = \sqrt{h^2+k^2}$.
चूंकि $OA, OP, OB$ हरात्मक श्रेणी में हैं,$\frac{2}{OP} = \frac{1}{OA} + \frac{1}{OB}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{1+m^2}} \cdot \frac{3}{20}$.
$m = \frac{k}{h}$ रखने पर,हमें $3(k-h) = 40$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $3x-3y+40=0$ है।

(A) चतुर्भुज $PABC$ का क्षेत्रफल $\triangle ABC$ और $\triangle PAC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 3.5$ वर्ग इकाई।
अतः,$\triangle PAC$ का क्षेत्रफल $= 10 - 3.5 = 6.5$ वर्ग इकाई।
$P(x,y)$ के लिए,$\frac{1}{2} |4x - 3y - 11| = 6.5$
$|4x - 3y - 11| = 13$।
इस समीकरण का वर्ग करने पर $(4x - 3y - 11)^2 = 169$ प्राप्त होता है,जो विकल्पों के अनुरूप है।

(A) मान लीजिए बिंदुओं के निर्देशांक $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ हैं। मान लीजिए $P(x, y)$ एक चर बिंदु है।
दी गई शर्त $PA^2 + PB^2 = 2PC^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = 2[(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2]$.
पदों का विस्तार करने पर: $(x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2) + (x^2 - 2xx_2 + x_2^2 + y^2 - 2yy_2 + y_2^2) = 2(x^2 - 2xx_3 + x_3^2 + y^2 - 2yy_3 + y_3^2)$.
समीकरण को सरल करने पर: $2x^2 + 2y^2 - 2x(x_1 + x_2) - 2y(y_1 + y_2) + x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 2x^2 + 2y^2 - 4xx_3 - 4yy_3 + 2x_3^2 + 2y_3^2$.
$x^2$ और $y^2$ के पद कट जाते हैं,जिससे $x$ और $y$ में $Ax + By + C = 0$ के रूप का एक रैखिक समीकरण प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ का बिंदुपथ एक सरल रेखा है।

(A) माना $P(-1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। चूंकि यह $P(-1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $-\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $AB$ पर एक बिंदु $Q(h, k)$ इस प्रकार है कि $PA, PQ, PB$ हरात्मक श्रेणी में हैं। हरात्मक श्रेणी के लिए शर्त $\frac{2}{PQ} = \frac{1}{PA} + \frac{1}{PB}$ है।
रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x + 1)$ लें। $x$-अंतःखंड $A$ प्राप्त करने के लिए $y=0$ रखें: $-2 = m(x+1) \implies x = -1 - \frac{2}{m}$. अतः $A = (-1 - \frac{2}{m}, 0)$.
$y$-अंतःखंड $B$ प्राप्त करने के लिए $x=0$ रखें: $y - 2 = m(1) \implies y = 2 + m$. अतः $B = (0, 2 + m)$.
$PA = \sqrt{(-1 - \frac{2}{m} - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{\frac{4}{m^2} + 4} = \frac{2}{|m|} \sqrt{1 + m^2}$.
$PB = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 + m - 2)^2} = \sqrt{1 + m^2}$.
चूंकि $Q(h, k)$,$AB$ पर स्थित है,इसलिए $k - 2 = m(h + 1) \implies m = \frac{k-2}{h+1}$.
अक्षों पर रेखाखंडों के लिए हरात्मक माध्य के गुण का उपयोग करने पर,$Q$ का बिंदु पथ $2x - y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P(x, y)$ वह बिंदु है जिसका बिंदुपथ $a x + b y + c = 0$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $P$,$A(-2, 3)$ और $B(6, -5)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$।
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y + 5)^2$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 12x + 36 + y^2 + 10y + 25$
$16x - 16y - 48 = 0$
$16$ से विभाजित करने पर,हमें $x - y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$a x + b y + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 1$,$b = -1$,और $c = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$-3 < -1 < 1$ होने के कारण,आरोही क्रम $c, b, a$ है।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएं निर्देशांक अक्ष $x = 0$ और $y = 0$ हैं।
बिंदु $P(x, y)$ की रेखा $x = 0$ से दूरी $|x|$ है और रेखा $y = 0$ से दूरी $|y|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$|x| + |y| = 1$ है।
यह समीकरण चार चतुर्थांशों में चार रेखाखंडों को दर्शाता है:
$1$) $x + y = 1$ जहाँ $x > 0, y > 0$
$2$) $-x + y = 1$ जहाँ $x < 0, y > 0$
$3$) $-x - y = 1$ जहाँ $x < 0, y < 0$
$4$) $x - y = 1$ जहाँ $x > 0, y < 0$
ये चार रेखाखंड $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाला एक वर्ग बनाते हैं।
एक वर्ग एक विशेष प्रकार का समचतुर्भुज होता है। अतः,$P$ का बिंदुपथ एक समचतुर्भुज है।

(B) माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है।
माना $A$,$X$-अक्ष पर है और $B$,$Y$-अक्ष पर है।
माना $\theta$ वह कोण है जो रेखाखंड $AB$,$X$-अक्ष के साथ बनाता है।
आकृति की ज्यामिति से,$\triangle PMA$ में,हमारे पास $\sin \theta = \frac{k}{b}$ है,जिसका अर्थ है $k = b \sin \theta$।
$\triangle BNP$ में,हमारे पास $\cos \theta = \frac{h}{a}$ है,जिसका अर्थ है $h = a \cos \theta$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{k}{b})^2 + (\frac{h}{a})^2 = 1$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P(h, k)$ वह बिंदु है जिसका बिंदुपथ ज्ञात करना है।
बिंदु $(5, 0)$ से दूरी $\sqrt{13}$ दी गई है,अतः $\sqrt{(h-5)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{13}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(h-5)^2 + k^2 = 13$ $\Rightarrow h^2 - 10h + 25 + k^2 = 13$ $\Rightarrow h^2 + k^2 - 10h + 12 = 0$।
साथ ही,रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ से दूरी $2$ है:
$\frac{|2h - 3k + 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = 2 \Rightarrow |2h - 3k + 4| = 2\sqrt{13}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2h - 3k + 4)^2 = 52$।
विस्तार करने पर: $4h^2 + 9k^2 + 16 - 12hk + 16h - 24k = 52$।
$4h^2 + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$।
प्रथम शर्त से $h^2 = 10h - k^2 - 12$ रखने पर:
$4(10h - k^2 - 12) + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$।
$40h - 4k^2 - 48 + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$।
$5k^2 - 12hk + 56h - 24k - 84 = 0$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $12xy - 5y^2 - 56x + 24y + 84 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $(4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 3 = m(x - 4)$ है,जहाँ रेखा के प्रथम चतुर्थांश को काटने के लिए $m < 0$ होना चाहिए।
$y = mx - 4m + 3$.
$x$-अंतःखंड $y = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $0 = mx - 4m + 3 \implies x = 4 - \frac{3}{m}$.
$y$-अंतःखंड $x = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $y = 3 - 4m$.
प्रथम चतुर्थांश में बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times (x\text{-अंतःखंड}) \times (y\text{-अंतःखंड}) = \frac{1}{2} (4 - \frac{3}{m})(3 - 4m) = \frac{1}{2} (12 - 16m - \frac{9}{m} + 12) = 12 - 8m - \frac{9}{2m}$.
क्षेत्रफल को न्यूनतम करने के लिए,$A$ का $m$ के सापेक्ष अवकलन करें: $\frac{dA}{dm} = -8 + \frac{9}{2m^2} = 0$.
$8 = \frac{9}{2m^2} \implies m^2 = \frac{9}{16} \implies m = -\frac{3}{4}$ (चूंकि $m < 0$).
$m = -\frac{3}{4}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 4)$.
$4y - 12 = -3x + 12 \implies 3x + 4y = 24$.

(C) माना $X$ और $Y$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $m$ और $n$ हैं। रेखा का समीकरण $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ है।
चूँकि रेखा $(4, 5)$ से होकर गुजरती है,हमारे पास $\frac{4}{m} + \frac{5}{n} = 1$ है,जिसका अर्थ है $\frac{4}{m} = 1 - \frac{5}{n} = \frac{n-5}{n}$,इसलिए $m = \frac{4n}{n-5}$।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}mn = \frac{1}{2} \left( \frac{4n}{n-5} \right) n = \frac{2n^2}{n-5}$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $n$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dn} = 2 \left[ \frac{(n-5)(2n) - n^2(1)}{(n-5)^2} \right] = 2 \left[ \frac{2n^2 - 10n - n^2}{(n-5)^2} \right] = \frac{2n^2 - 20n}{(n-5)^2}$।
$\frac{dA}{dn} = 0$ रखने पर,हमें $2n(n-10) = 0$ प्राप्त होता है। धनात्मक अंतःखंडों के लिए $n > 5$ होने के कारण,$n = 10$ है।
अतः $m = \frac{4(10)}{10-5} = \frac{40}{5} = 8$।
अंतःखंडों का अनुपात $m : n = 8 : 10 = 4 : 5$ है।

(D) $x-2y+3=0$ और $2x-y-1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार का समीकरण $(x-2y+3) + K(2x-y-1) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(1+2K)x - (2+K)y + (3-K) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(1+2K)}{K-3}x + \frac{-(2+K)}{K-3}y = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$X$ और $Y$ अक्षों पर अंतःखंड $A\left(\frac{K-3}{1+2K}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{K-3}{-(2+K)}\right)$ हैं।
माना $AB$ को $-2:3$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु $(x, y)$ है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-2(0) + 3(\frac{K-3}{1+2K})}{3-2} = \frac{3(K-3)}{1+2K}$ और $y = \frac{-2(\frac{K-3}{-(2+K)}) + 3(0)}{3-2} = \frac{2(K-3)}{2+K}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{3K-9}{2K+1}$ से,$x(2K+1) = 3K-9 \Rightarrow K(2x-3) = -9-x \Rightarrow K = \frac{x+9}{3-2x}$ मिलता है।
$y = \frac{2K-6}{K+2}$ से,$y(K+2) = 2K-6 \Rightarrow K(y-2) = -6-2y \Rightarrow K = \frac{6+2y}{2-y}$ मिलता है।
$K$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{x+9}{3-2x} = \frac{6+2y}{2-y}$।
$(x+9)(2-y) = (6+2y)(3-2x) \Rightarrow 2x - xy + 18 - 9y = 18 - 12x + 6y - 4xy$।
सरल करने पर,$14x + 3xy - 15y = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए बिंदु $A(3, 4), B(-3, 6), C(-5, 1), D(x, y)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(6 - 1) + (-3)(1 - 4) + (-5)(4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |3(5) + (-3)(-3) + (-5)(-2)| = \frac{1}{2} |15 + 9 + 10| = 17 \dots (1)$
$\triangle ACD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(1 - y) + (-5)(y - 4) + x(4 - 1)|$
$= \frac{1}{2} |3 - 3y - 5y + 20 + 3x| = \frac{1}{2} |3x - 8y + 23| \dots (2)$
चूँकि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \triangle ACD$ का क्षेत्रफल,इसलिए $\frac{1}{2} |3x - 8y + 23| = 17$
$|3x - 8y + 23| = 34$
$3x - 8y + 23 = 34$ या $3x - 8y + 23 = -34$
$3x - 8y - 11 = 0$ या $3x - 8y + 57 = 0$
अतः,$D$ का बिंदु पथ $(3x - 8y - 11)(3x - 8y + 57) = 0$ है।

(C) दिया गया है कि $P_1, P_2, \ldots, P_n$ रेखा $y=x$ पर स्थित बिंदु हैं। चूंकि $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है,किसी बिंदु $P_k(x_k, x_k)$ के लिए दूरी $OP_k = \sqrt{x_k^2 + x_k^2} = x_k \sqrt{2}$ है।
$OP_1 = 1$ दिया गया है,इसलिए $x_1 \sqrt{2} = 1$,अर्थात $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
पुनरावृत्ति संबंध $OP_n = n(OP_{n-1})$ है।
$n=2$ के लिए,$OP_2 = 2(OP_1) = 2(1) = 2$।
$n=3$ के लिए,$OP_3 = 3(OP_2) = 3(2) = 6$।
$n=4$ के लिए,$OP_4 = 4(OP_3) = 4(6) = 24$।
सामान्यतः,$OP_n = n \times (n-1) \times \ldots \times 1 = n!$।
हमें $P_n = (2520 \sqrt{2}, 2520 \sqrt{2})$ दिया गया है।
अतः,$OP_n = \sqrt{(2520 \sqrt{2})^2 + (2520 \sqrt{2})^2} = \sqrt{2 \times (2520^2 \times 2)} = \sqrt{4 \times 2520^2} = 2 \times 2520 = 5040$।
इसलिए,$n! = 5040$।
चूंकि $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$,इसलिए $n=7$ है।

(B) दिया गया है $L(p, q) = \frac{ap + bq + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) = \frac{2a + b + 3c}{3\sqrt{a^2 + b^2}}$
$L\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) = \frac{a + 2b + 3c}{3\sqrt{a^2 + b^2}}$
$L(2, 2) = \frac{6a + 6b + 3c}{3\sqrt{a^2 + b^2}}$
इनका योग करने पर:
$\frac{9a + 9b + 9c}{3\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$
$a + b + c = 0$
यह दर्शाता है कि रेखा $ax + by + c = 0$ बिंदु $(1, 1)$ के लिए $a(1) + b(1) + c = 0$ को संतुष्ट करती है।
अतः,रेखा हमेशा $(1, 1)$ बिंदु से होकर गुजरती है।

(D) माना चर रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है,जहाँ $a^2 + b^2 \neq 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि लंबवत दूरियों का बीजगणितीय योग शून्य है,हम चिन्हित दूरियों को लेते हैं:
$d_1 = \frac{2a + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,$d_2 = \frac{2b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,और $d_3 = \frac{a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$।
दिया गया है कि $d_1 + d_2 + d_3 = 0$,इसलिए:
$\frac{2a + c + 2b + c + a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$
$3a + 3b + 3c = 0$
$a + b + c = 0$
$c = -(a + b)$ को रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ में रखने पर:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
यह समीकरण सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य होने के लिए,$x - 1 = 0$ और $y - 1 = 0$ होना चाहिए।
अतः,निश्चित बिंदु $(1, 1)$ है।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के $(0, b)$ हैं।
दिया है $AB = 15$,अतः $\sqrt{a^2 + b^2} = 15$,जिसका अर्थ है $a^2 + b^2 = 225$.
माना $P(x, y)$,$AB$ पर एक बिंदु है ताकि $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$ हो।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{3a}{5}$ और $y = \frac{2b}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $a = \frac{5x}{3}$ और $b = \frac{5y}{2}$.
इन मानों को $a^2 + b^2 = 225$ में रखने पर:
$(\frac{5x}{3})^2 + (\frac{5y}{2})^2 = 225$.
$\frac{25x^2}{9} + \frac{25y^2}{4} = 225$.
$25$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 9$,या $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जहाँ $x = 9 \cos \theta$ और $y = 6 \sin \theta$ है।

(B) मान लीजिए रेखा $(L)$ निर्देशांक अक्षों को $(a, 0)$ और $(0, b)$ पर काटती है।
अक्षों और रेखा $(L)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3})$ है।
यह बिंदु $(x, y)$ वक्र $3x + 2y - 3xy = 0$ पर स्थित है,इसलिए $x = \frac{a}{3}$ और $y = \frac{b}{3}$,जिसका अर्थ है $a = 3x$ और $b = 3y$.
रेखा $(L)$ का समीकरण $\frac{X}{a} + \frac{Y}{b} = 1$ है।
$a = 3x$ और $b = 3y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{X}{3x} + \frac{Y}{3y} = 1$ प्राप्त होता है,या $\frac{X}{x} + \frac{Y}{y} = 3$.
वक्र के समीकरण का उपयोग करने पर,ये सभी रेखाएँ बिंदु $(2, 3)$ पर संगामी हैं।

(C) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के $(0, b)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(3, 2)$ से गुजरती है,$\frac{3}{a} + \frac{2}{b} = 1$।
बिंदु $P(h, k)$,$AB$ को $2: 3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र से: $h = \frac{3a}{5} \implies a = \frac{5h}{3}$ और $k = \frac{2b}{5} \implies b = \frac{5k}{2}$।
मान रखने पर: $\frac{3}{5h/3} + \frac{2}{5k/2} = 1 \implies \frac{9}{5h} + \frac{4}{5k} = 1 \implies 9k + 4h = 5hk$।
अतः,$4x + 9y = 5xy$।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\triangle PAB$ के लिए: $\frac{1}{2} |x - y + 1|$।
$\triangle PAC$ के लिए: $|1 - y|$।
दोनों क्षेत्रफलों को बराबर रखने पर: $\frac{1}{2} |x - y + 1| = |1 - y|
\implies |x - y + 1| = |2 - 2y|$।
इससे दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $x + y - 1 = 0$ और $x - 3y + 3 = 0$।
उनका गुणनफल करने पर: $(x + y - 1)(x - 3y + 3) = x^2 - 2xy - 3y^2 + 2x + 6y - 3 = 0$।

(B) रेखाओं के समीकरण हैं:
$AB: x+y-2=0$
$BC: x-y+2=0$
$CA: y=0$
बिंदु $P(x, y)$ के लिए लंबवत दूरियाँ:
$a = \frac{|x+y-2|}{\sqrt{2}}, b = \frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}, c = |y|$
चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,$2b = a+c$ होगा।
अतः,$\sqrt{2}|x-y+2| = |x+y-2| + \sqrt{2}|y|$
जिससे,$\sqrt{2}|y| = |x-y+2| - |x+y-2|$ प्राप्त होता है।

(D) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P(x, y)$ से $(4, 3)$ की दूरी,$P(x, y)$ से रेखा $x + 2y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी के बराबर है।
दूरी सूत्र और लंबवत दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 3)^2} = \frac{|x + 2y - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = \frac{(x + 2y - 1)^2}{5}$
$5(x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 40x + 80 + 5y^2 - 30y + 45 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 + y^2 - 4xy - 38x - 26y + 124 = 0$

(D) मान लीजिए $P = (x, y)$। चतुर्भुज $PABC$ का क्षेत्रफल: $\text{Area}(PABC) = \frac{1}{2} |3x - 2y - 4|$।
त्रिभुज $PAB$ का क्षेत्रफल: $\text{Area}(\triangle PAB) = \frac{1}{2} |x + y - 3|$।
शर्त के अनुसार,$\text{Area}(PABC) = 2 \times \text{Area}(\triangle PAB)$।
अतः,$|3x - 2y - 4| = 2|x + y - 3|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3x - 2y - 4)^2 = 4(x + y - 3)^2$।
सरल करने पर,$x^2 - 4xy + 8y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(2, -3)$,$B(-2, 1)$ और $C(x_0, y_0)$ हैं।
चूंकि तीसरा शीर्ष $C$ रेखा $2x + 3y = 9$ पर स्थित है,इसलिए $2x_0 + 3y_0 = 9$ है।
माना त्रिभुज का केंद्रक $G(h, k)$ है।
केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$h = \frac{2 - 2 + x_0}{3} = \frac{x_0}{3} \implies x_0 = 3h$
$k = \frac{-3 + 1 + y_0}{3} = \frac{y_0 - 2}{3} \implies y_0 = 3k + 2$
$x_0$ और $y_0$ के मानों को रेखा के समीकरण $2x_0 + 3y_0 = 9$ में रखने पर:
$2(3h) + 3(3k + 2) = 9$
$6h + 9k + 6 = 9$
$6h + 9k = 3$
$3$ से भाग देने पर,हमें $2h + 3k = 1$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $2x + 3y = 1$ है।

(D) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दी गई शर्त $PA^2 + 2PB^2 = 3PC^2$ है।
$A(5, -3)$,$B(3, -2)$,और $C(-1, 5)$ के निर्देशांक रखने पर:
$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 + 2[(x - 3)^2 + (y + 2)^2] = 3[(x + 1)^2 + (y - 5)^2]$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9) + 2(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4) = 3(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25)$
$3x^2 + 3y^2 - 22x + 14y + 60 = 3x^2 + 3y^2 + 6x - 30y + 78$
$-28x + 44y - 18 = 0$
$-2$ से विभाजित करने पर:
$14x - 22y + 9 = 0$
विकल्प $D$ $\left(2, \frac{37}{22}\right)$ की जाँच करने पर:
$14(2) - 22\left(\frac{37}{22}\right) + 9 = 28 - 37 + 9 = 0$.
अतः,बिंदु $\left(2, \frac{37}{22}\right)$ बिंदुपथ पर स्थित है।

(D) चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(x, y)$,$B(2, 3)$,$C(5, -2)$,और $D(1, -1)$ हैं। क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} |4x - y - 22| = 10$.
अतः,$|4x - y - 22| = 20$.
इससे दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $4x - y - 22 = 20 \implies 4x - y - 42 = 0$ और $4x - y - 22 = -20 \implies 4x - y - 2 = 0$.
इस प्रकार,$A$ का बिंदुपथ $(4x - y - 42)(4x - y - 2) = 0$ है।

(B) माना $C(0, y_1)$ और $D(0, y_2)$ $Y$-अक्ष पर स्थित बिंदु हैं।
चूंकि $C$,$D$ के नीचे है और $CD=4$ है,इसलिए $y_2 - y_1 = 4$ है।
बिंदु $A(-4, 0)$ और $C(0, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण:
$y - 0 = \frac{y_1 - 0}{0 - (-4)}(x - (-4))$ $\Rightarrow y = \frac{y_1}{4}(x + 4)$ $\Rightarrow y_1 = \frac{4y}{x+4}$.
बिंदु $B(4, 0)$ और $D(0, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा $BD$ का समीकरण:
$y - 0 = \frac{y_2 - 0}{0 - 4}(x - 4)$ $\Rightarrow y = \frac{y_2}{-4}(x - 4)$ $\Rightarrow y_2 = \frac{4y}{4-x}$.
$y_2 - y_1 = 4$ में $y_1$ और $y_2$ के मान रखने पर:
$\frac{4y}{4-x} - \frac{4y}{x+4} = 4$.
$4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{y}{4-x} - \frac{y}{x+4} = 1$.
$\frac{y(x+4) - y(4-x)}{(4-x)(x+4)} = 1$.
$\frac{xy + 4y - 4y + xy}{16 - x^2} = 1$.
$2xy = 16 - x^2$.
$x^2 + 2xy - 16 = 0$.

(C) माना $A$ के निर्देशांक $(p, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, q)$ हैं।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(3, 5)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{3}{p} + \frac{5}{q} = 1$ है।
$A(p, 0), O(0, 0), B(0, q)$ और $C(x, y)$ द्वारा बनने वाले आयत के लिए,बिंदु $C$ के निर्देशांक $(p, q)$ होने चाहिए।
अतः,$p = x$ और $q = y$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 1$ प्राप्त होता है।
$xy$ से गुणा करने पर,$3y + 5x = xy$,अर्थात $5x - xy + 3y = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए रूप $ax + 2hxy + by = 0$ से तुलना करने पर,$a = 5, b = 3$ और $2h = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = -\frac{1}{2}$।
अतः,$a + b + h = 5 + 3 - \frac{1}{2} = 8 - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएं $x$-अक्ष और $y$-अक्ष हैं। बिंदु को $P(x, y)$ मानिए। $P$ की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ है,इसलिए $|x| + |y| = 1$ है।
यह समीकरण चार चतुर्थांशों में चार रेखाखंडों को दर्शाता है:
$1$. प्रथम चतुर्थांश में $(x \geq 0, y \geq 0)$,$x + y = 1$ है।
$2$. द्वितीय चतुर्थांश में $(x \leq 0, y \geq 0)$,$-x + y = 1$ है।
$3$. तृतीय चतुर्थांश में $(x \leq 0, y \leq 0)$,$-x - y = 1$ है।
$4$. चतुर्थ चतुर्थांश में $(x \geq 0, y \leq 0)$,$x - y = 1$ है।
ये चार रेखाएं $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाला एक वर्ग बनाती हैं।

(B) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$A(1, 0)$,$B(0, 2)$,और $C(1, 2)$ के लिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} |1(2 - 2) + 0(2 - 0) + 1(0 - 2)| = 1$.
दिया गया है कि $\text{Area}(\triangle PAB) = 2 \times \text{Area}(\triangle ABC) = 2$.
$P(x, y)$,$A(1, 0)$,और $B(0, 2)$ के लिए:
$\text{Area}(\triangle PAB) = \frac{1}{2} |x(0 - 2) + 1(2 - y) + 0(y - 0)| = \frac{1}{2} |-2x - y + 2|$.
अतः,$\frac{1}{2} |-2x - y + 2| = 2 \Rightarrow |-2x - y + 2| = 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(-2x - y + 2)^2 = 16 \Rightarrow (2x + y - 2)^2 = 16$.
$4x^2 + 4xy + y^2 - 8x - 4y - 12 = 0$.

(B) माना $R(h, k)$,$OM$ का मध्य-बिंदु है। माना $M$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta)$ हैं।
चूंकि $R$,$OM$ का मध्य-बिंदु है,हमारे पास $\left(\frac{0+\alpha}{2}, \frac{0+\beta}{2}\right) = (h, k)$ है,जिसका अर्थ है $\alpha = 2h$ और $\beta = 2k$।
अतः,$M$ के निर्देशांक $(2h, 2k)$ हैं।
$OM$ की ढाल $m_1 = \frac{2k-0}{2h-0} = \frac{k}{h}$ है।
रेखा $MQ$ (जो रेखा $L$ है) की ढाल $m_2 = \frac{2k-b}{2h-a}$ है।
चूंकि $OM \perp MQ$,उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ है:
$\frac{k}{h} \times \frac{2k-b}{2h-a} = -1$
$k(2k-b) = -h(2h-a)$
$2k^2 - bk = -2h^2 + ah$
$2h^2 + 2k^2 - ah - bk = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $2x^2 + 2y^2 - ax - by = 0$ है।

(B) दी गई रेखा $L$ का समीकरण $x-y=0$ है।
चर बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से रेखा $x-y=0$ तक की दूरी $b = \left|\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}\right|$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$,या $(\alpha-\beta)^2 = 2b^2$ $\ldots(i)$।
$P(\alpha, \beta)$ और $A(2,1)$ के बीच की दूरी $a^2 = (\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2$ $\ldots(ii)$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से $A(2,1)$ की दूरी $c = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$ है,इसलिए $c^2 = 5$।
दी गई शर्त $a = bc$ के अनुसार,$a^2 = b^2c^2 = 5b^2$ $\ldots(iii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को $(iii)$ में रखने पर,$(\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2 = 5 \times \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर,$2(\alpha^2 - 4\alpha + 4 + \beta^2 - 2\beta + 1) = 5(\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta)$।
$2\alpha^2 - 8\alpha + 8 + 2\beta^2 - 4\beta + 2 = 5\alpha^2 + 5\beta^2 - 10\alpha\beta$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3\alpha^2 + 3\beta^2 - 10\alpha\beta + 8\alpha + 4\beta - 10 = 0$।
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$P$ का बिंदुपथ $3x^2 + 3y^2 - 10xy + 8x + 4y - 10 = 0$ है।

(C) माना रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $1/a$ हैं,जहाँ $a \neq 0$ है।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{1/a} = 1$ है,जो सरल होकर $\frac{x}{a} + ay = 1$ हो जाता है।
$a$ से गुणा करने पर,हमें $x + a^2y = a$ या $a^2y - a + x = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $a$ में द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
यहाँ,$D = (-1)^2 - 4(y)(x) \geq 0$ है।
$1 - 4xy \geq 0 \Rightarrow 4xy \leq 1$।
एक चर रेखा के लिए,रेखा पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ को $4xy < 1$ को संतुष्ट करना चाहिए (सीमा स्थिति को छोड़कर जहाँ रेखा स्थिर है)।

(A) दिए गए शीर्ष $A=(2,3)$ और $B=(3,-5)$ हैं। मान लीजिए $C=(x, y)$ है।
मान लीजिए $\triangle ABC$ का केंद्रक $(h, k)$ है।
केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$h = \frac{2+3+x}{3} = \frac{5+x}{3} \Rightarrow x = 3h - 5$
$k = \frac{3-5+y}{3} = \frac{y-2}{3} \Rightarrow y = 3k + 2$
चूँकि $C(x, y)$ रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3(3h - 5) + 4(3k + 2) - 5 = 0$
$9h - 15 + 12k + 8 - 5 = 0$
$9h + 12k - 12 = 0$
$3$ से भाग देने पर,हमें $3h + 4k - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्रक $(x, y)$ का बिंदुपथ $3x + 4y - 4 = 0$ है।
इस रेखा की तुलना दी गई रेखा $L \equiv 3x + 4y - 5 = 0$ से करने पर,हम देखते हैं कि $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,जिसका अर्थ है कि रेखाएँ समांतर हैं।
इसलिए,बिंदुपथ $L=0$ के समांतर है।

(B) माना तीसरा शीर्ष $C(x, y)$ है। $A(1, -2)$,$B(-5, 3)$ और $C(x, y)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 15$
$\frac{1}{2} |1(3 - y) + (-5)(y + 2) + x(-2 - 3)| = 15$
$|3 - y - 5y - 10 - 5x| = 30$
$|-5x - 6y - 7| = 30$
$|5x + 6y + 7| = 30$
इसका अर्थ है $5x + 6y + 7 = 30$ या $5x + 6y + 7 = -30$.
अतः,$5x + 6y - 23 = 0$ या $5x + 6y + 37 = 0$.
बिंदुओं का बिंदुपथ इन दो रेखाओं का संघ है,जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(5x + 6y - 23)(5x + 6y + 37) = 0$.

(B) माना $C(x, y)$ चर बिंदु है। माना $\angle CAB = \beta$ और $\angle CBA = \gamma$.
$AC$ की ढाल $m_1 = \frac{y}{x+a} = \tan \beta$ है।
$BC$ की ढाल $m_2 = \frac{y}{x-a}$ है। $\angle CBA = \gamma$ होने के कारण,$BC$ की ढाल $-\tan \gamma$ है।
अतः,$\tan \gamma = \frac{y}{a-x}$.
दिया है $\beta - \gamma = \alpha$,इसलिए $\tan(\beta - \gamma) = \tan \alpha$.
सूत्र $\tan(\beta - \gamma) = \frac{\tan \beta - \tan \gamma}{1 + \tan \beta \tan \gamma}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \alpha = \frac{\frac{y}{x+a} - \frac{y}{a-x}}{1 + (\frac{y}{x+a})(\frac{y}{a-x})} = \frac{-2xy}{a^2-x^2+y^2}$.
अतः,$\tan \alpha = \frac{-2xy}{a^2-x^2+y^2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(a^2-x^2+y^2) \tan \alpha = -2xy$.
$\cot \alpha$ से गुणा करने पर: $a^2-x^2+y^2+2xy \cot \alpha = 0$.

(D) माना परस्पर लंबवत रेखाएं निर्देशांक अक्ष हैं। छड़ के सिरे $(a, 0)$ और $(0, b)$ हैं। चूंकि छड़ की लंबाई $l$ है,इसलिए $a^2+b^2=l^2$ है।
माना बिंदु $(h, k)$ छड़ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a}{1+2} = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1 \cdot b + 2 \cdot 0}{1+2} = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$
इन मानों को $a^2+b^2=l^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{3h}{2})^2 + (3k)^2 = l^2$
$\frac{9h^2}{4} + 9k^2 = l^2$
$9h^2 + 36k^2 = 4l^2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $9x^2+36y^2=4l^2$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) मान लीजिए कि दो परस्पर लंबवत रेखाएँ $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष हैं। बिंदु $(x, y)$ है।
बिंदु $(x, y)$ की $X$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$|x| + |y| = 3$.
यह समीकरण एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(3, 0), (0, 3), (-3, 0),$ और $(0, -3)$ हैं।
इस वर्ग की भुजा की लंबाई $(3, 0)$ और $(0, 3)$ के बीच की दूरी है,जो $\sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $(\text{भुजा})^2 = (\sqrt{18})^2 = 18 \text{ वर्ग इकाई}$ है।