Word problem -Statistics Questions in Hindi

(C) कुल आवृत्ति $N = 4 + 4 + \alpha + \beta = 8 + \alpha + \beta$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 6$ है।
$\frac{4(2) + 4(6) + \alpha(8) + \beta(9)}{8 + \alpha + \beta} = 6$
$8 + 24 + 8\alpha + 9\beta = 48 + 6\alpha + 6\beta$
$2\alpha + 3\beta = 16 \quad \dots (i)$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 6.8$ है।
$\frac{16 + 144 + 64\alpha + 81\beta}{8 + \alpha + \beta} = 42.8$
$160 + 64\alpha + 81\beta = 342.4 + 42.8\alpha + 42.8\beta$
$21.2\alpha + 38.2\beta = 182.4$
समीकरणों को हल करने पर,$\alpha = 5$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
कुल आवृत्ति $N = 15$ है।
जब $x_3$ को $8$ से बदलकर $7$ किया जाता है,तो नया योग $= 90 - (8 \times 5) + (7 \times 5) = 85$ होता है।
नया माध्य $= \frac{85}{15} = \frac{17}{3}$.

(C) माना $n = 50$ है। गलत माध्य $\bar{x} = 15$ और मानक विचलन $\sigma = 2$ है।
गलत प्रेक्षणों का योग $\sum x_i = 50 \times 15 = 750$ है।
माना गलत प्रेक्षण $x_1$ है और सही प्रेक्षण $x_1'$ है।
दिया गया है $x_1 + x_1' = 70$ और सही माध्य $\bar{x}' = 16$ है।
सही प्रेक्षणों का योग $\sum x_i' = 50 \times 16 = 800$ है।
अतः,$x_1' - x_1 = \sum x_i' - \sum x_i = 800 - 750 = 50$ है।
$x_1' + x_1 = 70$ और $x_1' - x_1 = 50$ को हल करने पर,हमें $x_1' = 60$ और $x_1 = 10$ प्राप्त होता है।
गलत प्रसरण $\sigma^2 = 4 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$ $\Rightarrow 4 = \frac{\sum x_i^2}{50} - 225$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 50 \times 229 = 11450$ है।
शेष $49$ प्रेक्षणों के वर्गों का योग: $\sum_{i=2}^{50} x_i^2 = 11450 - x_1^2 = 11450 - 100 = 11350$ है।
सही वर्गों का योग $\sum x_i'^2 = 11350 + (x_1')^2 = 11350 + 3600 = 14950$ है।
सही प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{14950}{50} - 16^2 = 299 - 256 = 43$ है।

(A) माध्य $\bar{x} = 6$ होने के कारण,$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$,जिससे $a+b = 7$ प्राप्त होता है।
प्रसरण $\sigma^{2} = 6.8$ है,अतः $\frac{(a-6)^2 + (b-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 + (10-6)^2}{5} = 6.8$.
$(a-6)^2 + (b-6)^2 + 21 = 34 \Rightarrow (a-6)^2 + (b-6)^2 = 13$.
$b = 7-a$ प्रतिस्थापित करने पर,$(a-6)^2 + (1-a)^2 = 13 \Rightarrow a^2 - 7a + 12 = 0$.
अतः $a=4, b=3$ या $a=3, b=4$ प्राप्त होता है।
माध्य विचलन $M = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|a-6| + |b-6| + 2 + 1 + 4}{5} = \frac{3 + 2 + 7}{5} = \frac{12}{5}$.
अतः $25M = 25 \times \frac{12}{5} = 60$.

(B) दिए गए आंकड़ों का माध्य $\bar{x} = 6$ है:
$\frac{4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 + x + y}{8} = 6$
$36 + x + y = 48 \Rightarrow x + y = 12$ $(1)$
दिया गया प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{9}{4}$ है:
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = \frac{9}{4}$
$\frac{4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + x^{2} + y^{2}}{8} - 36 = \frac{9}{4}$
$\frac{226 + x^{2} + y^{2}}{8} = 38.25$
$226 + x^{2} + y^{2} = 306 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 80$ $(2)$
$(1)$ से $y = 12 - x$ को $(2)$ में रखने पर:
$x^{2} + (12 - x)^{2} = 80$
$2x^{2} - 24x + 64 = 0 \Rightarrow x^{2} - 12x + 32 = 0$
$(x - 4)(x - 8) = 0$
चूंकि $x < y$,इसलिए $x = 4$ और $y = 8$ है।
$x^{4} + y^{2} = 4^{4} + 8^{2} = 256 + 64 = 320$.

(D) दिया गया है,छात्रों की संख्या $n = 7$,माध्य $\bar{x} = 62$,और प्रसरण $\sigma^2 = 20$ है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ है।
मान रखने पर: $20 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} (x_i - 62)^2$.
$\sum_{i=1}^{7} (x_i - 62)^2 = 20 \times 7 = 140$.
यदि छात्र $x_i < 50$ अंक प्राप्त करता है तो वह अनुत्तीर्ण हो जाता है। मान लीजिए $k$ छात्र अनुत्तीर्ण होते हैं। इन छात्रों के लिए,$x_i \le 49$.
यदि कोई छात्र अनुत्तीर्ण होता है,तो वर्गों के योग में न्यूनतम योगदान $(49 - 62)^2 = (-13)^2 = 169$ होगा।
चूंकि कुल योग केवल $140$ है,और $169 > 140$,इसलिए $62$ के माध्य और $20$ के प्रसरण के साथ एक भी छात्र $50$ से कम अंक प्राप्त नहीं कर सकता है।
अतः,अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या $0$ है।

(A) दी गई जानकारी: $3, 7, 12, a, 43-a$। माध्य $\bar{x} = 13$।
अवलोकनों का योग $= 3 + 7 + 12 + a + 43 - a = 65$।
माध्य $= \frac{65}{5} = 13$ (सत्यापित)।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$।
$\sigma^2 = \frac{3^2 + 7^2 + 12^2 + a^2 + (43-a)^2}{5} - 13^2$।
$\sigma^2 = \frac{2a^2 - 86a + 1206}{5}$।
प्रसरण को प्राकृतिक संख्या होने के लिए,$2a^2 - 86a + 1206$ को $5$ से विभाज्य होना चाहिए।
$2a^2 - a + 1 \equiv 0 \pmod{5}$।
$a \pmod{5}$ के मानों की जाँच करने पर,किसी भी मान के लिए यह शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$a$ के मानों की संख्या $0$ है।

(B) $5$ प्रेक्षणों का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_{i}}{5} = \frac{24}{5}$ है,अतः $\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 24$ है।
प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{5} - (\bar{x})^{2} = \frac{194}{25}$ है।
$\bar{x} = \frac{24}{5}$ रखने पर,$\frac{\sum x_{i}^{2}}{5} - \frac{576}{25} = \frac{194}{25}$ $\Rightarrow \frac{\sum x_{i}^{2}}{5} = \frac{770}{25} = \frac{154}{5}$,अतः $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2} = 154$ है।
पहले $4$ प्रेक्षणों के लिए,माध्य $\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4} = \frac{7}{2} \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 14$ है।
चूंकि $\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 24$,इसलिए $x_{5} = 24 - 14 = 10$ है।
पहले $4$ प्रेक्षणों का प्रसरण $a = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}}{4} - (\frac{7}{2})^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}}{4} - \frac{49}{4}$ है।
अतः,$\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} = 4a + 49$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2} = \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} + x_{5}^{2} = 154$ है।
मान रखने पर: $(4a + 49) + 10^{2} = 154$ है।
$4a + 49 + 100 = 154$ $\Rightarrow 4a + 149 = 154$ $\Rightarrow 4a = 5$ है।
अंत में,$4a + x_{5} = 5 + 10 = 15$ है।

(A) दिया गया है,$n = 40$,$\mu = 30$,और $\sigma = 5$.
प्रेक्षणों का योग $\sum x_i = 40 \times 30 = 1200$.
प्रसरण $\sigma^2 = 25$,इसलिए $\frac{\sum x_i^2}{40} - (30)^2 = 25$.
$\sum x_i^2 = 40 \times (900 + 25) = 40 \times 925 = 37000$.
$10$ और $12$ प्रेक्षणों को हटाने के बाद,प्रेक्षणों की नई संख्या $n' = 38$.
नया योग $\sum x_i' = 1200 - 10 - 12 = 1178$.
नया माध्य $\mu' = \frac{1178}{38} = 31$.
वर्गों का नया योग $\sum (x_i')^2 = 37000 - 10^2 - 12^2 = 37000 - 100 - 144 = 36756$.
नया प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i')^2}{n'} - (\mu')^2 = \frac{36756}{38} - (31)^2$.
$38$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $38 \sigma^2 = 36756 - 38 \times 961 = 36756 - 36518 = 238$.

(D) दिया गया है कि $n = 20$ प्रेक्षणों के लिए माध्य $\bar{x} = 15$ और प्रसरण $\sigma^{2} = 9$ है।
$\sum x_{i} = 15 \times 20 = 300$
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} \Rightarrow 9 = \frac{\sum x_{i}^{2}}{20} - 225$
$\frac{\sum x_{i}^{2}}{20} = 234 \Rightarrow \sum x_{i}^{2} = 4680$
अब,$(x_{i} + \alpha)^{2}$ का माध्य $178$ है:
$\frac{1}{20} \sum (x_{i} + \alpha)^{2} = 178$
$\sum (x_{i}^{2} + 2\alpha x_{i} + \alpha^{2}) = 178 \times 20 = 3560$
$\sum x_{i}^{2} + 2\alpha \sum x_{i} + 20\alpha^{2} = 3560$
$4680 + 2\alpha(300) + 20\alpha^{2} = 3560$
$20\alpha^{2} + 600\alpha + 1120 = 0$
$20$ से विभाजित करने पर:
$\alpha^{2} + 30\alpha + 56 = 0$
$(\alpha + 28)(\alpha + 2) = 0$
अतः,$\alpha = -28$ या $\alpha = -2$ है।
$\alpha$ का अधिकतम मान $-2$ है।
अधिकतम मान का वर्ग $(-2)^{2} = 4$ है।

(B) दिया गया है कि माध्य $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ है।
नई सूची के लिए,माध्य $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (y_1 + y_2 + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} (\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_1+x_2}{2} + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \mu$ है।
अब,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ और $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ पर विचार करें।
चूंकि $\hat{\mu} = \mu$ है,हम $\sum x_i^2$ और $\sum y_i^2$ की तुलना करते हैं।
$\sum x_i^2 - \sum y_i^2 = (x_1^2 + x_2^2) - (y_1^2 + y_2^2) = x_1^2 + x_2^2 - 2(\frac{x_1+x_2}{2})^2 = \frac{(x_1-x_2)^2}{2} \geq 0$ है।
अतः,$\sum x_i^2 \geq \sum y_i^2$,जिसका अर्थ है कि $\sigma^2 \geq \hat{\sigma}^2$,इसलिए $\sigma \geq \hat{\sigma}$ है।

(A) मूल सूची $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का माध्य $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ है।
नई सूची $y_1=0, y_2=x_2, \ldots, y_{n-1}=x_{n-1}, y_n=x_1+x_n$ है।
नई सूची का माध्य $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (0 + x_2 + x_3 + \ldots + x_{n-1} + x_1 + x_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \mu$ है।
अब,वर्गों का योग $\sum y_i^2 = 0^2 + x_2^2 + \ldots + x_{n-1}^2 + (x_1+x_n)^2$ पर विचार करें।
इसका विस्तार करने पर,$\sum y_i^2 = x_2^2 + \ldots + x_{n-1}^2 + x_1^2 + x_n^2 + 2x_1x_n = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2x_1x_n$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x_1 > 0$ और $x_n > 0$,इसलिए $2x_1x_n > 0$,अतः $\sum y_i^2 > \sum x_i^2$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ और $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\hat{\mu} = \mu$ और $\sum y_i^2 > \sum x_i^2$,इसलिए $\hat{\sigma}^2 > \sigma^2$,जिसका अर्थ है कि $\hat{\sigma} > \sigma$ है।
अतः,$\mu = \hat{\mu}$ और $\sigma < \hat{\sigma}$,जो $\sigma \leq \hat{\sigma}$ को संतुष्ट करता है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(D) कुल छात्रों की संख्या $n = 50$ है।
औसत अंक $\bar{x} = 47.5$ है।
सभी छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक $= 50 \times 47.5 = 2375$ हैं।
माना $k$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने औसत $(47.5)$ से अधिक अंक प्राप्त किए हैं। चूंकि अंक पूर्णांक हैं,इन छात्रों ने कम से कम $48$ अंक प्राप्त किए होंगे।
शेष $(50 - k)$ छात्रों ने न्यूनतम संभव अंक,जो कि $0$ है,प्राप्त किए हैं।
$k$ को अधिकतम करने के लिए,हम मानते हैं कि इन $k$ छात्रों ने औसत से अधिक न्यूनतम संभव अंक यानी $48$ प्राप्त किए हैं।
अतः,$48k + (50 - k) \times 0 \leq 2375$ है।
$48k \leq 2375$ है।
$k \leq \frac{2375}{48} \approx 49.479$ है।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $k$ का अधिकतम मान $49$ है।

(A) माना लड़कों की संख्या $B$ है और लड़कियों की संख्या $G$ है।
लड़कों के कुल अंक $= Bx$।
लड़कियों के कुल अंक $= Gy$।
कुल छात्र $= B + G$।
दिया गया है कि सभी छात्रों के औसत अंक $z$ हैं,इसलिए:
$\frac{Bx + Gy}{B + G} = z$
$Bx + Gy = z(B + G)$
$B(x - z) = G(z - y)$
$\frac{G}{B} = \frac{x - z}{z - y} = \frac{z - x}{y - z}$
हमें लड़कियों की संख्या का कुल छात्रों की संख्या से अनुपात ज्ञात करना है,जो $\frac{G}{B + G}$ है।
$\frac{G}{B + G} = \frac{1}{\frac{B}{G} + 1} = \frac{1}{\frac{z - x}{y - z} + 1} = \frac{z - x}{y - x}$.

(C) मान लीजिए कि दोनों गाँवों में लोगों की संख्या क्रमशः $x$ और $y$ है।
दिया गया है कि $x$ लोगों की औसत आय $P$ है और $y$ लोगों की औसत आय $Q$ है।
इसलिए,दोनों गाँवों में लोगों की कुल आय क्रमशः $Px$ और $Qy$ है।
$I$ आय वाला एक व्यक्ति पहले गाँव से दूसरे गाँव में जाता है।
तब,पहले गाँव में लोगों की संख्या $x-1$ और दूसरे गाँव में $y+1$ हो जाती है।
नई औसत आय $P^{\prime} = \frac{Px - I}{x-1}$ और $Q^{\prime} = \frac{Qy + I}{y+1}$ है।
यदि $P^{\prime} = P$ है,तो $Px - I = P(x-1) = Px - P$,जिसका अर्थ है $I = P$ है।
यदि $Q^{\prime} = Q$ है,तो $Qy + I = Q(y+1) = Qy + Q$,जिसका अर्थ है $I = Q$ है।
चूंकि $P \neq Q$ है,इसलिए व्यक्ति की आय $I$ ऐसी नहीं हो सकती कि $P^{\prime} = P$ और $Q^{\prime} = Q$ दोनों एक साथ हों।
अतः,$P^{\prime} = P$ और $Q^{\prime} = Q$ की स्थिति असंभव है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) मान लीजिए $S_1$ पहले समूह की कुल आय है (वेतन $< ₹ 10,000$) और $S_2$ दूसरे समूह की कुल आय है (वेतन $> ₹ 10,000$)।
दिया गया है कि $S_1 < S_2$ है।
मान लीजिए $N_1$ और $N_2$ क्रमशः पहले और दूसरे समूह में लोगों की संख्या हैं।
प्रारंभिक कुल आय $S_{total} = S_1 + S_2$ है।
परिवर्तन के बाद नई कुल आय $S'_{total} = S_1(1 + 0.05) + S_2(1 - 0.05) = 1.05 S_1 + 0.95 S_2$ है।
कुल आय में परिवर्तन $\Delta S = S'_{total} - S_{total} = (1.05 S_1 + 0.95 S_2) - (S_1 + S_2) = 0.05 S_1 - 0.05 S_2 = 0.05(S_1 - S_2)$ है।
चूंकि $S_1 < S_2$ है,इसलिए $S_1 - S_2 < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\Delta S < 0$ है।
अतः,कुल आय घटती है,और परिणामस्वरूप,सभी लोगों की औसत आय घटती है।

(C) प्रथम $n$ पूर्णांकों का योग $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
पूर्णांक $k$ को मिटाने के बाद,शेष $(n-1)$ संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2} - k$ है।
शेष संख्याओं का औसत $16$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\frac{n(n+1)}{2} - k}{n-1} = 16$
$n(n+1) - 2k = 32(n-1)$
$n^2 + n - 2k = 32n - 32$
$2k = n^2 - 31n + 32$
$k = \frac{n^2 - 31n + 32}{2}$
चूंकि $1 < k < n$,हमारे पास है:
$1 < \frac{n^2 - 31n + 32}{2} < n$
$k < n$ से: $n^2 - 31n + 32 < 2n \implies n^2 - 33n + 32 < 0 \implies (n-32)(n-1) < 0$। चूंकि $n \geq 3$,इसलिए $n < 32$ है।
$k > 1$ से: $n^2 - 31n + 32 > 2 \implies n^2 - 31n + 30 > 0 \implies (n-30)(n-1) > 0$। चूंकि $n \geq 3$,इसलिए $n > 30$ है।
अतः,$n = 31$ होना चाहिए।
$k$ के समीकरण में $n = 31$ रखने पर:
$k = \frac{31^2 - 31(31) + 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$।
इसलिए,$n + k = 31 + 16 = 47$।

(C) माना छात्रों की संख्या $n$ है। प्रारंभिक माध्य $\bar{x} = 10$ और प्रसरण $\sigma^2 = 4$ है।
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 10 \implies \sum x_i = 10n$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 4 \implies \frac{\sum x_i^2}{n} - 100 = 4 \implies \sum x_i^2 = 104n$.
जब एक छात्र के अंक $8$ से बदलकर $12$ हो जाते हैं,तो अंकों का नया योग $\sum x_i' = 10n - 8 + 12 = 10n + 4$ होता है।
नया माध्य $\frac{10n + 4}{n} = 10.2 \implies 10n + 4 = 10.2n \implies 0.2n = 4 \implies n = 20$.
अब,वर्गों का नया योग $\sum x_i'^2 = \sum x_i^2 - 8^2 + 12^2 = 104(20) - 64 + 144 = 2080 + 80 = 2160$ है।
नया प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{2160}{20} - (10.2)^2 = 108 - 104.04 = 3.96$ है।

(A) समूह $X$ का माध्य $\bar{x} = \frac{11+41}{2} = 26$ (अवयवों की संख्या $n_1 = 31$ है)।
समूह $Y$ का माध्य $\bar{y} = \frac{61+91}{2} = 76$ (अवयवों की संख्या $n_2 = 31$ है)।
संयुक्त माध्य $\mu = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2} = \frac{31(26) + 31(76)}{62} = \frac{26+76}{2} = 51$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n_1+n_2} \left( \sum_{i=1}^{31} (x_i - \mu)^2 + \sum_{j=1}^{31} (y_j - \mu)^2 \right)$.
समूह $X$ के लिए,$\sum (x_i - \mu)^2 = \sum_{i=11}^{41} (i - 51)^2 = 21855$.
इसी प्रकार,समूह $Y$ के लिए,$\sum (y_j - \mu)^2 = 21855$.
अतः,$\sigma^2 = \frac{21855 + 21855}{62} = 705$.
अंत में,$|\bar{x} + \bar{y} - \sigma^2| = |26 + 76 - 705| = 603$.

(D) माना $7$ प्रेक्षण $x_1, x_2, \ldots, x_7$ हैं। दिया गया है $\bar{x} = 8$ और $\sigma^2 = 16$.
$\frac{\sum_{i=1}^{7} x_i}{7} = 8 \Rightarrow \sum_{i=1}^{7} x_i = 56$.
यदि एक प्रेक्षण $14$ को हटा दिया जाए,तो शेष $6$ प्रेक्षणों का योग $56 - 14 = 42$ होगा।
अतः,नया माध्य $a = \frac{42}{6} = 7$.
दिया गया है $\frac{\sum_{i=1}^{7} x_i^2}{7} - (8)^2 = 16 \Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{7} = 16 + 64 = 80$.
इसलिए,$\sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 80 \times 7 = 560$.
शेष $6$ प्रेक्षणों के वर्गों का योग $560 - (14)^2 = 560 - 196 = 364$ होगा।
नया प्रसरण $b = \frac{\sum_{i=1}^{6} x_i^2}{6} - a^2 = \frac{364}{6} - (7)^2 = \frac{364}{6} - 49 = \frac{364 - 294}{6} = \frac{70}{6} = \frac{35}{3}$.
अब,$a + 3b - 5 = 7 + 3 \times (\frac{35}{3}) - 5 = 7 + 35 - 5 = 37$.

(A) माना $A = 5$ है। हम $d_i = x_i - A$ और आवश्यक योग की गणना करते हैं:
(तालिका ऊपर दी गई है)
कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 45 + \alpha$.
योग $\sum f_i d_i = 0$.
योग $\sum f_i d_i^2 = 150$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2 = 3$.
$\frac{150}{45 + \alpha} - 0 = 3$.
$150 = 3(45 + \alpha) \Rightarrow 150 = 135 + 3\alpha$.
$3\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = 5$.

(A) कक्षा $A$ के लिए: $n_1 = 100, \overline{x}_1 = 40, \sigma_1 = \alpha$. प्रसरण $\sigma_1^2 = \alpha^2$.
कक्षा $B$ के लिए: $n_2 = n, \overline{x}_2 = 55, \sigma_2 = 30-\alpha$. प्रसरण $\sigma_2^2 = (30-\alpha)^2$.
संयुक्त माध्य $\overline{x} = \frac{n_1\overline{x}_1 + n_2\overline{x}_2}{n_1+n_2} = 50$.
$\frac{100(40) + n(55)}{100+n} = 50 \implies 4000 + 55n = 5000 + 50n \implies 5n = 1000 \implies n = 200$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1+n_2}$,जहाँ $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x} = -10$ और $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x} = 5$.
$350 = \frac{100(\alpha^2 + 100) + 200((30-\alpha)^2 + 25)}{300}$.
$1050 = \alpha^2 + 100 + 2(925 - 60\alpha + \alpha^2) = 3\alpha^2 - 120\alpha + 1950$.
$3\alpha^2 - 120\alpha + 900 = 0 \implies \alpha^2 - 40\alpha + 300 = 0$.
$\alpha = 10$ या $\alpha = 30$. $\alpha = 10$ लेने पर,$\sigma_1^2 + \sigma_2^2 = 100 + 400 = 500$.

(A) माना पाँच प्रेक्षण $1, 3, 5, a, b$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 5$ है,अतः $\frac{1+3+5+a+b}{5} = 5$.
$9 + a + b = 25 \implies a + b = 16$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 8$ है,अतः $\frac{1^2+3^2+5^2+a^2+b^2}{5} - (5)^2 = 8$.
$\frac{1+9+25+a^2+b^2}{5} = 33$.
$35 + a^2 + b^2 = 165 \implies a^2 + b^2 = 130$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर,$16^2 = 130 + 2ab$.
$256 = 130 + 2ab \implies 2ab = 126 \implies ab = 63$.
$a$ और $b$ समीकरण $x^2 - 16x + 63 = 0$ के मूल हैं।
$(x-7)(x-9) = 0$,अतः शेष प्रेक्षण $7$ और $9$ हैं।
घनों का योग $7^3 + 9^3 = 343 + 729 = 1072$ है।

(C) दी गई आवृत्ति वितरण तालिका के लिए,कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 4 + 4 + \alpha + 15 + 8 + \beta + 4 + 5 = 40 + \alpha + \beta$.
योग $\sum f_i x_i = (2 \times 4) + (4 \times 4) + (6 \times \alpha) + (8 \times 15) + (10 \times 8) + (12 \times \beta) + (14 \times 4) + (16 \times 5) = 360 + 6\alpha + 12\beta$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 9$ $\Rightarrow 360 + 6\alpha + 12\beta = 9(40 + \alpha + \beta)$ $\Rightarrow 3\beta = 3\alpha$ $\Rightarrow \alpha = \beta$.
$N = 40 + 2\alpha$ प्राप्त होता है।
योग $\sum f_i x_i^2 = 3904 + 180\alpha$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 15.08$ $\Rightarrow \frac{3904 + 180\alpha}{40 + 2\alpha} - 81 = 15.08$ $\Rightarrow \alpha = 5$.
अतः $\beta = 5$.
$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta = 5^2 + 5^2 - (5 \times 5) = 25$.

(B) $8$ संख्याओं का माध्य $9$ दिया गया है:
$\frac{x + y + 52}{8} = 9 \Rightarrow x + y = 20$
प्रसरण $9.25$ दिया गया है:
$\frac{x^2 + y^2 + 504}{8} - 81 = 9.25 \Rightarrow x^2 + y^2 = 218$
$y = 20 - x$ रखने पर:
$x^2 + (20 - x)^2 = 218 \Rightarrow x^2 - 20x + 91 = 0$
$(x - 13)(x - 7) = 0$
चूँकि $x > y$,इसलिए $x = 13$ और $y = 7$ है।
अतः,$3x - 2y = 3(13) - 2(7) = 25$.

(C) दिया गया है $n = 12$,$\bar{x} = \frac{9}{2}$,और $\sigma^2 = 4$.
$\sum x = n \times \bar{x} = 12 \times \frac{9}{2} = 54$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 \implies 4 = \frac{\sum x^2}{12} - (\frac{9}{2})^2$.
$\frac{\sum x^2}{12} = 4 + \frac{81}{4} = \frac{16 + 81}{4} = \frac{97}{4}$.
$\sum x^2 = 12 \times \frac{97}{4} = 3 \times 97 = 291$.
सही योग $\sum x_{\text{new}} = 54 - (9 + 10) + (7 + 14) = 54 - 19 + 21 = 56$.
वर्गों का सही योग $\sum x_{\text{new}}^2 = 291 - (9^2 + 10^2) + (7^2 + 14^2) = 291 - (81 + 100) + (49 + 196) = 291 - 181 + 245 = 355$.
सही प्रसरण $\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{\sum x_{\text{new}}^2}{n} - (\frac{\sum x_{\text{new}}}{n})^2 = \frac{355}{12} - (\frac{56}{12})^2 = \frac{355}{12} - (\frac{14}{3})^2 = \frac{355}{12} - \frac{196}{9}$.
$\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{355 \times 3 - 196 \times 4}{36} = \frac{1065 - 784}{36} = \frac{281}{36}$.
चूँकि $m = 281$ और $n = 36$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $m + n = 281 + 36 = 317$.

(B) मान लीजिए $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$ और $B = \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5\}$ है।
दिया है,$\overline{A} = 5 \implies \sum a_i = 25$ और $\overline{B} = 8 \implies \sum b_i = 40$ है।
प्रसरण $\sigma_A^2 = 12 \implies \frac{\sum a_i^2}{5} - 5^2 = 12 \implies \sum a_i^2 = 5(37) = 185$ है।
प्रसरण $\sigma_B^2 = 20 \implies \frac{\sum b_i^2}{5} - 8^2 = 20 \implies \sum b_i^2 = 5(84) = 420$ है।
समुच्चय $C$ में $i=1$ से $5$ के लिए $a_i - 3$ और $b_i + 2$ तत्व हैं।
$C$ का माध्य,$\overline{C} = \frac{\sum (a_i - 3) + \sum (b_i + 2)}{10} = \frac{(25 - 15) + (40 + 10)}{10} = \frac{60}{10} = 6$ है।
$C$ का प्रसरण,$\sigma_C^2 = \frac{\sum (a_i - 3)^2 + \sum (b_i + 2)^2}{10} - (\overline{C})^2$ है।
$\sum (a_i - 3)^2 = \sum a_i^2 - 6\sum a_i + 45 = 185 - 6(25) + 45 = 80$ है।
$\sum (b_i + 2)^2 = \sum b_i^2 + 4\sum b_i + 20 = 420 + 4(40) + 20 = 600$ है।
$\sigma_C^2 = \frac{80 + 600}{10} - 6^2 = 68 - 36 = 32$ है।
माध्य और प्रसरण का योग $= 6 + 32 = 38$ है।

(C) दिया गया माध्य $\bar{x} = 5$ है। आवृत्तियों का योग $\sum f_i = 4 + 24 + 28 + \alpha + 8 = 64 + \alpha$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{1(4) + 3(24) + 5(28) + 7(\alpha) + 9(8)}{64 + \alpha} = 5$ है।
$\frac{4 + 72 + 140 + 7\alpha + 72}{64 + \alpha} = 5 \Rightarrow 288 + 7\alpha = 320 + 5\alpha \Rightarrow 2\alpha = 32 \Rightarrow \alpha = 16$ है।
कुल आवृत्ति $N = 64 + 16 = 80$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $m = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{4|1-5| + 24|3-5| + 28|5-5| + 16|7-5| + 8|9-5|}{80} = \frac{128}{80} = 1.6$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N} = \frac{4(1-5)^2 + 24(3-5)^2 + 28(5-5)^2 + 16(7-5)^2 + 8(9-5)^2}{80} = \frac{352}{80} = 4.4$ है।
अतः,$\frac{3\alpha}{m + \sigma^2} = \frac{3(16)}{1.6 + 4.4} = \frac{48}{6} = 8$ है।

(B) दिया गया है $n = 10$,$\bar{x} = 50$,और $\sigma = 12$.
अंकों का योग $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 50 = 500$.
सही योग $\sum x_{i, \text{correct}} = 500 - 45 - 50 + 20 + 25 = 450$.
सही माध्य $\bar{x}_{\text{correct}} = \frac{450}{10} = 45$.
प्रसरण $\sigma^2 = 144$,इसलिए $\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 144$.
$\sum x_i^2 = 10 \times (144 + 50^2) = 10 \times (144 + 2500) = 26440$.
वर्गों का सही योग $\sum x_{i, \text{correct}}^2 = 26440 - 45^2 - 50^2 + 20^2 + 25^2 = 26440 - 2025 - 2500 + 400 + 625 = 22940$.
सही प्रसरण $\sigma_{\text{correct}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{correct}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{correct}})^2 = \frac{22940}{10} - (45)^2 = 2294 - 2025 = 269$.

(A) माना गलत माध्य $\mu^{\prime}$ और मानक विचलन $\sigma^{\prime}$ है।
हमारे पास $\mu^{\prime} = \frac{\Sigma x_i}{15} = 12 \Rightarrow \Sigma x_i = 180$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,सही $\Sigma x_i = 180 - 10 + 12 = 182$ है।
$\mu = \frac{182}{15}$।
साथ ही,$\sigma^{\prime} = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{15} - (12)^2} = 3$ $\Rightarrow \frac{\Sigma x_i^2}{15} - 144 = 9$ $\Rightarrow \Sigma x_i^2 = 15 \times 153 = 2295$ है।
सही $\Sigma x_i^2 = 2295 - 10^2 + 12^2 = 2295 - 100 + 144 = 2339$ है।
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2 = \frac{2339}{15} - \left(\frac{182}{15}\right)^2$ है।
हमें $15(\mu + \mu^2 + \sigma^2)$ का मान ज्ञात करना है।
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$15(\mu + \mu^2 + \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2) = 15(\mu + \frac{\Sigma x_i^2}{15}) = 15\mu + \Sigma x_i^2$ है।
$= 15 \times \frac{182}{15} + 2339 = 182 + 2339 = 2521$।

(C) दिए गए प्रेक्षण: $125, 170, 190, 210, 230, a, b$। माध्यिका $170$ है,इसलिए हम उन्हें $125, a, b, 170, 190, 210, 230$ के रूप में व्यवस्थित करते हैं।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{|125-170| + |a-170| + |b-170| + |170-170| + |190-170| + |210-170| + |230-170|}{7} = \frac{205}{7}$।
गणना करने पर $a+b = 130$ प्राप्त होता है।
माध्य $\bar{x} = 165$ प्राप्त होता है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= 30$ है।

(A) प्रेक्षण $-3, 4, 7, -6, a, b$ हैं। $N = 6$।
माध्य $\overline{x} = \frac{-3 + 4 + 7 - 6 + a + b}{6} = 2 \implies a + b = 10$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - (\overline{x})^2 = 23$।
$\frac{9 + 16 + 49 + 36 + a^2 + b^2}{6} = 27 \implies a^2 + b^2 = 52$।
$a$ और $b$ के मान $4$ और $6$ प्राप्त होते हैं।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन = $\frac{\sum |x_i - \overline{x}|}{6} = \frac{5 + 2 + 5 + 8 + 2 + 4}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$।

(C) दिया है: $n = 20$,$\bar{x} = 10$,$S.D. = 2$.
$\Sigma x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$.
संशोधित योग $\Sigma x_i = 200 - 8 + 12 = 204$.
संशोधित माध्य $\bar{x}' = \frac{204}{20} = 10.2$.
प्रसरण $= (S.D.)^2 = 2^2 = 4$.
चूंकि प्रसरण $= \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$,इसलिए $4 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 10^2$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{20} = 104 \Rightarrow \Sigma x_i^2 = 2080$.
संशोधित $\Sigma x_i^2 = 2080 - 8^2 + 12^2 = 2080 - 64 + 144 = 2160$.
संशोधित प्रसरण $= \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{2160}{20} - (10.2)^2$.
$= 108 - 104.04 = 3.96$.
सही मानक विचलन $= \sqrt{3.96}$.

(D) दिए गए प्रेक्षण $9, 25, a, b, c$ हैं जहाँ $a < b < c$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{9 + 25 + a + b + c}{5} = 18 \implies a + b + c = 56$।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{5} = 4 \implies |9-18| + |25-18| + |a-18| + |b-18| + |c-18| = 20$।
$9 + 7 + |a-18| + |b-18| + |c-18| = 20 \implies |a-18| + |b-18| + |c-18| = 4$।
प्रसरण $= \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{5} = \frac{136}{5} \implies (9-18)^2 + (25-18)^2 + (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 136$।
$81 + 49 + (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 136 \implies (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 6$।
माना $x = a-18, y = b-18, z = c-18$ है। अतः $|x| + |y| + |z| = 4$ और $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ है।
चूँकि $a < b < c$,इसलिए $x < y < z$ है।
$x^2 + y^2 + z^2 = 6$ के लिए पूर्णांक हल $\{-1, 1, 2\}$ हैं।
$a-18 = -1 \implies a = 17$।
$b-18 = 1 \implies b = 19$।
$c-18 = 2 \implies c = 20$।
$2a + b - c = 2(17) + 19 - 20 = 33$।

(A) सबसे पहले,डेटा को $x_i$ के आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$x_i: 3, 4, 5, 8, 10, 11$
$f_i: 5, 4, 4, 2, 2, 3$
कुल आवृत्ति $N = \Sigma f_i = 5 + 4 + 4 + 2 + 2 + 3 = 20$.
$(P)$ माध्य $(\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{(3 \times 5) + (4 \times 4) + (5 \times 4) + (8 \times 2) + (10 \times 2) + (11 \times 3)}{20} = \frac{15 + 16 + 20 + 16 + 20 + 33}{20} = \frac{120}{20} = 6$.
$(Q)$ माध्यिका: चूंकि $N=20$ (सम) है,माध्यिका $10^{th}$ और $11^{th}$ अवलोकनों का औसत है। संचयी आवृत्तियाँ $5, 9, 13, 15, 17, 20$ हैं। $10^{th}$ और $11^{th}$ दोनों अवलोकन $5$ मान में आते हैं। अतः,माध्यिका $= 5$.
$(R)$ माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\Sigma f_i |x_i - 6|}{N} = \frac{5|3-6| + 4|4-6| + 4|5-6| + 2|8-6| + 2|10-6| + 3|11-6|}{20} = \frac{5(3) + 4(2) + 4(1) + 2(2) + 2(4) + 3(5)}{20} = \frac{15 + 8 + 4 + 4 + 8 + 15}{20} = \frac{54}{20} = 2.7$.
$(S)$ माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\Sigma f_i |x_i - 5|}{N} = \frac{5|3-5| + 4|4-5| + 4|5-5| + 2|8-5| + 2|10-5| + 3|11-5|}{20} = \frac{10 + 4 + 0 + 6 + 10 + 18}{20} = \frac{48}{20} = 2.4$.
मिलान: $(P) \rightarrow 3, (Q) \rightarrow 2, (R) \rightarrow 4, (S) \rightarrow 5$. सही विकल्प $(A)$ है।

(B) समूहीकृत डेटा की माध्यिका का सूत्र $\text{Median} = \ell + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h$ है।
दिया गया है: $\text{Median} = 14$,$\ell = 12$,$h = 6$,$f = 12$,और $F = 18$।
सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$14 = 12 + \left( \frac{\frac{N}{2} - 18}{12} \right) \times 6$
$14 - 12 = \left( \frac{\frac{N}{2} - 18}{2} \right)$
$2 = \frac{\frac{N}{2} - 18}{2}$
$4 = \frac{N}{2} - 18$
$22 = \frac{N}{2}$
$N = 44$।
अतः,छात्रों की कुल संख्या $44$ है।

(B) दी गई जानकारी: $6, 4, a, 8, b, 12, 10, 13$. प्रेक्षणों की संख्या $N = 8$.
माध्य $\bar{x} = \frac{6+4+a+8+b+12+10+13}{8} = 9$.
$53 + a + b = 72 \Rightarrow a + b = 19$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 9.25 = \frac{37}{4}$.
$\frac{36+16+a^2+64+b^2+144+100+169}{8} - 81 = \frac{37}{4}$.
$\frac{529 + a^2 + b^2}{8} = 81 + 9.25 = 90.25$.
$529 + a^2 + b^2 = 722 \Rightarrow a^2 + b^2 = 193$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर,$19^2 = 193 + 2ab$.
$361 = 193 + 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 168$ $\Rightarrow ab = 84$.
अतः,$a + b + ab = 19 + 84 = 103$.

(D) दिया गया है $n = 100$,गलत माध्य $\bar{x} = 40$,गलत मानक विचलन $s = 5.1$ है।
प्रेक्षणों का गलत योग $\sum x_i = 100 \times 40 = 4000$ है।
प्रेक्षणों का सही योग $\sum x_i' = 4000 - 50 + 40 = 3990$ है।
सही माध्य $\mu = \frac{3990}{100} = 39.9$ है।
गलत प्रसरण $s^2 = (5.1)^2 = 26.01$ है।
$s^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करने पर,$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 40^2$ प्राप्त होता है।
$\sum x_i^2 = 100(26.01 + 1600) = 100(1626.01) = 162601$ है।
वर्गों का सही योग $\sum x_i'^2 = 162601 - 50^2 + 40^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$ है।
सही प्रसरण $\sigma^2 = \frac{161701}{100} - (39.9)^2 = 1617.01 - 1592.01 = 25$ है।
सही मानक विचलन $\sigma = \sqrt{25} = 5$ है।
अतः,$10(\mu + \sigma) = 10(39.9 + 5) = 10(44.9) = 449$ है।

(C) आवृत्तियों का योग $N = 5 + f_1 + f_2 + 2 + 1 + 1 + 3 = 19 \implies f_1 + f_2 = 7$ है।
चूंकि माध्यिका $6$ है,$x=6$ पर संचयी आवृत्ति $N/2 = 9.5$ होनी चाहिए।
क्रमबद्ध मान: $4(5), 5(f_1), 6(1), 8(f_2), 9(2), 11(3), 12(1)$।
संचयी आवृत्तियाँ: $5, 5+f_1, 6+f_1, 6+f_1+f_2, 8+f_1+f_2, 11+f_1+f_2, 12+f_1+f_2$।
माध्यिका $6$ के लिए,$5+f_1 < 9.5$ और $6+f_1 \ge 9.5 \implies f_1 \ge 3.5$।
साथ ही,$f_1+f_2=7$। मानों की जाँच करने पर: यदि $f_1=4, f_2=3$,तो $f_1+f_2=7$।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{19} = \frac{4(5) + 5(4) + 6(1) + 8(3) + 9(2) + 11(3) + 12(1)}{19} = \frac{20+20+6+24+18+33+12}{19} = \frac{133}{19} = 7$।
$(P) \ 7f_1 + 9f_2 = 7(4) + 9(3) = 28 + 27 = 55$।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\alpha = \frac{\sum f_i |x_i - 7|}{19} = \frac{5|4-7| + 4|5-7| + 1|6-7| + 3|8-7| + 2|9-7| + 3|11-7| + 1|12-7|}{19} = \frac{15+8+1+3+4+12+5}{19} = \frac{48}{19} \implies 19\alpha = 48$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\beta = \frac{\sum f_i |x_i - 6|}{19} = \frac{5|4-6| + 4|5-6| + 1|6-6| + 3|8-6| + 2|9-6| + 3|11-6| + 1|12-6|}{19} = \frac{10+4+0+6+6+15+6}{19} = \frac{47}{19} \implies 19\beta = 47$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{19} - (\bar{x})^2 = \frac{5(16) + 4(25) + 1(36) + 3(64) + 2(81) + 3(121) + 1(144)}{19} - 49 = \frac{80+100+36+192+162+363+144}{19} - 49 = \frac{1077}{19} - 49 = \frac{1077-931}{19} = \frac{146}{19} \implies 19\sigma^2 = 146$।
अतः,$(P)\rightarrow(5), (Q)\rightarrow(3), (R)\rightarrow(2), (S)\rightarrow(1)$।

(C) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि छात्र $P, Q, R$ क्रमशः समस्या को हल करते हैं।
दी गई प्रायिकताएँ $P(E_1) = \frac{1}{2}$,$P(E_2) = \frac{1}{3}$,$P(E_3) = \frac{1}{4}$ हैं।
समस्या के किसी के द्वारा हल न होने की प्रायिकता वह है कि तीनों छात्र इसे हल करने में विफल रहते हैं।
चूंकि वे स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता है:
$P(\text{कोई हल नहीं}) = P(E_1^c) \times P(E_2^c) \times P(E_3^c)$
$P(E_1^c) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(E_2^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(E_3^c) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(\text{कोई हल नहीं}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
समस्या के हल होने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई हल नहीं})$ है।
$P(\text{हल}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(C) माना $n$ प्रेक्षणों का योग $S_n = n \bar{x}$ है।
जब तीन प्रेक्षण $n+1, n-1, 2n-1$ जोड़े जाते हैं,तो नया योग $S_{new} = n \bar{x} + (n+1) + (n-1) + (2n-1) = n \bar{x} + 4n - 1$ हो जाता है।
प्रेक्षणों की नई संख्या $n+3$ है।
दिया गया है कि माध्य समान रहता है,इसलिए:
$\bar{x} = \frac{n \bar{x} + 4n - 1}{n+3}$
दोनों पक्षों को $(n+3)$ से गुणा करने पर:
$\bar{x}(n+3) = n \bar{x} + 4n - 1$
$n \bar{x} + 3 \bar{x} = n \bar{x} + 4n - 1$
दोनों पक्षों से $n \bar{x}$ घटाने पर:
$3 \bar{x} = 4n - 1$
$4n = 3 \bar{x} + 1$
$n = \frac{3 \bar{x} + 1}{4}$

(A) संख्याओं $a, b, 8, 5, 10$ के लिए माध्य $\bar{x} = 6$ दिया गया है:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$
$a+b+23 = 30$ $\Rightarrow a+b = 7$ $\Rightarrow a = 7-b$ $(i)$
प्रसरण $\sigma^2 = 6.8$ दिया गया है:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$6.8 = \frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - 6^2$
$6.8 = \frac{a^2+b^2+64+25+100}{5} - 36$
$6.8 + 36 = \frac{a^2+b^2+189}{5}$
$42.8 \times 5 = a^2+b^2+189$
$214 = a^2+b^2+189 \Rightarrow a^2+b^2 = 25$ (ii)
$(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$(7-b)^2 + b^2 = 25$
$49 - 14b + b^2 + b^2 = 25$
$2b^2 - 14b + 24 = 0$
$b^2 - 7b + 12 = 0$
$(b-3)(b-4) = 0$
अतः,$b=3$ या $b=4$.
यदि $b=3$,तो $a=4$. यदि $b=4$,तो $a=3$. इस प्रकार,$(a, b)$ का युग्म $(3, 4)$ या $(4, 3)$ है।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{50}$ हैं।
दिया गया है कि $30$ से विचलनों का योग $50$ है,अतः:
$\sum_{i=1}^{50} (x_i - 30) = 50$
योग का विस्तार करने पर:
$\sum_{i=1}^{50} x_i - \sum_{i=1}^{50} 30 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - (50 \times 30) = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - 1500 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i = 1550$
अब,माध्य $\bar{x}$ इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{n} = \frac{1550}{50} = 31$

(C) माना अज्ञात प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $7$ प्रेक्षणों का माध्य $8$ है:
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42+x+y = 56$
$x+y = 14$ ... $(i)$
दिया गया है कि प्रसरण $16$ है:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2 = 16$
$\frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2 = 16$
$\frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7} = 16+64$
$460+x^2+y^2 = 7 \times 80 = 560$
$x^2+y^2 = 100$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$y = 14-x$. इसे $(ii)$ में रखने पर:
$x^2 + (14-x)^2 = 100$
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
$x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x-6)(x-8) = 0$
अतः,$x=6$ और $y=8$ (या इसके विपरीत)।
गुणनफल $6 \times 8 = 48$ है।

(B) माना कि दो अज्ञात प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
$5$ प्रेक्षणों का माध्य $4.4$ है,इसलिए प्रेक्षणों का योग $5 \times 4.4 = 22$ है।
$1 + 2 + 6 + x + y = 22 \Rightarrow x + y = 13$.
प्रसरण $8.24$ दिया गया है,सूत्र $\text{Variance} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1^2 + 2^2 + 6^2 + x^2 + y^2}{5} - (4.4)^2 = 8.24$.
$\frac{41 + x^2 + y^2}{5} = 27.60$.
$x^2 + y^2 = 97$.
$x^2 + (13 - x)^2 = 97$ को हल करने पर,$x^2 - 13x + 36 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $x = 4$ या $x = 9$.
अन्य दो प्रेक्षण $4$ और $9$ हैं।

(C) दिया गया है कि $n = 50$ प्रेक्षणों के लिए माध्य $\bar{x} = 16$ और प्रसरण $\sigma^2 = 256$ है।
$\text{माध्य} = \frac{\sum x_i}{n}$ $\Rightarrow 16 = \frac{\sum x_i}{50}$ $\Rightarrow \sum x_i = 800$.
$\text{प्रसरण} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \Rightarrow 256 = \frac{\sum x_i^2}{50} - (16)^2$.
$256 = \frac{\sum x_i^2}{50} - 256$ $\Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{50} = 512$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 25600$.
हमें $(x_i - 5)^2$ का माध्य ज्ञात करना है।
$\text{नया माध्य} = \frac{\sum (x_i - 5)^2}{50} = \frac{\sum (x_i^2 - 10x_i + 25)}{50}$.
$= \frac{\sum x_i^2 - 10 \sum x_i + \sum 25}{50} = \frac{25600 - 10(800) + 25(50)}{50}$.
$= \frac{25600 - 8000 + 1250}{50} = \frac{18850}{50} = 377$.

(A) माना अज्ञात प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 8$ और $n = 7$ है।
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56 \Rightarrow x + y = 14 \dots (i)$
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$80 = \frac{460 + x^2 + y^2}{7} - 64$
$560 = 460 + x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 100 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $y = 14 - x$ को $(ii)$ में रखने पर:
$x^2 + (14 - x)^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0 \Rightarrow x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x - 6)(x - 8) = 0$. अतः $x = 6$ या $x = 8$.
यदि $x = 6$ तो $y = 8$. यदि $x = 8$ तो $y = 6$.
गुणनफल $xy = 48$.
गुणनफल का वर्गमूल $\sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया है: मूल माध्य $\bar{x} = 20$,मूल मानक विचलन $\sigma = 2$ है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण $x_i$ को $y_i = p x_i - q$ में परिवर्तित किया जाता है,तो नया माध्य $\bar{y} = p \bar{x} - q$ और नया मानक विचलन $\sigma_y = |p| \sigma$ होता है।
नया माध्य मूल माध्य का आधा है: $\bar{y} = \frac{20}{2} = 10$।
अतः,$p(20) - q = 10 \implies 20p - q = 10$ $(i)$।
नया मानक विचलन मूल मानक विचलन का आधा है: $\sigma_y = \frac{2}{2} = 1$।
अतः,$|p| \times 2 = 1 \implies |p| = \frac{1}{2} \implies p = \pm \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: यदि $p = \frac{1}{2}$,तो $20(\frac{1}{2}) - q = 10 \implies 10 - q = 10 \implies q = 0$। यह $q \neq 0$ शर्त का उल्लंघन करता है।
स्थिति $2$: यदि $p = -\frac{1}{2}$,तो $20(-\frac{1}{2}) - q = 10 \implies -10 - q = 10 \implies q = -20$।
अतः,$q = -20$।

(B) माना अज्ञात संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 8$ है।
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56$
$x + y = 14$ $... (i)$
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
हम जानते हैं कि $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ होता है।
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$16 + 64 = \frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7}$
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$
$560 = 460 + x^2 + y^2$
$x^2 + y^2 = 100$ $... (ii)$
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ से,$14^2 = 100 + 2xy$ मिलता है।
$196 - 100 = 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$
अब,$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 14^2 - 4(48) = 196 - 192 = 4$
$|x-y| = \sqrt{4} = 2$.