Word problem -Statistics Questions in Hindi

(A) दिया है: $\sigma_{x}^{2} = 4$ और $\sigma_{y}^{2} = 5$,जहाँ $n_1 = 5$ और $n_2 = 5$ है।
माध्य $\bar{x} = 2$ और $\bar{y} = 4$ है।
सूत्र $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करने पर:
$\Sigma x_i^2 = n(\sigma_x^2 + \bar{x}^2) = 5(4 + 2^2) = 5(8) = 40$.
$\Sigma y_i^2 = n(\sigma_y^2 + \bar{y}^2) = 5(5 + 4^2) = 5(21) = 105$.
संयुक्त माध्य $\bar{z} = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{10} = \frac{30}{10} = 3$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma_z^2 = \frac{\Sigma x_i^2 + \Sigma y_i^2}{n_1 + n_2} - (\bar{z})^2$.
$\sigma_z^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2$.
$\sigma_z^2 = \frac{145}{10} - 9 = 14.5 - 9 = 5.5 = \frac{11}{2}$.

(A) दिया गया है कि $16$ अवलोकनों का माध्य $16$ है,अतः अवलोकनों का योग:
$\sum_{i=1}^{16} x_i = 16 \times 16 = 256$.
$16$ मान वाले अवलोकन को हटाने और $3, 4, 5$ मान वाले तीन नए अवलोकन जोड़ने के बाद,अवलोकनों का नया योग:
$\text{नया योग} = 256 - 16 + 3 + 4 + 5 = 252$.
अवलोकनों की नई संख्या $16 - 1 + 3 = 18$ है।
नया माध्य:
$\text{नया माध्य} = \frac{252}{18} = 14$.

(C) संयुक्त माध्य का सूत्र $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ है।
दिया गया है,$\bar{x} = 500$,$\bar{x}_1 = 510$,$\bar{x}_2 = 460$.
मान लीजिए कि कुल कर्मचारियों की संख्या $100$ है,जहाँ $n_1$ पुरुष कर्मचारियों की संख्या है और $n_2$ महिला कर्मचारियों की संख्या है।
अतः,$n_2 = 100 - n_1$.
सूत्र में मान रखने पर:
$500 = \frac{510n_1 + 460(100 - n_1)}{100}$
$50000 = 510n_1 + 46000 - 460n_1$
$50000 - 46000 = 50n_1$
$4000 = 50n_1$
$n_1 = \frac{4000}{50} = 80$.
अतः,कारखाने में पुरुष कर्मचारियों का प्रतिशत $80\%$ है।

(B) प्रथम समुच्चय के लिए: $n_1 = 5$,$\bar{x}_1 = 8$,$\sigma_1^2 = 18$.
द्वितीय समुच्चय के लिए: $n_2 = 3$,$\bar{x}_2 = 8$,$\sigma_2^2 = 24$.
संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{5 \times 8 + 3 \times 8}{5 + 3} = \frac{64}{8} = 8$.
चूँकि $\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = \bar{x} = 8$,इसलिए विचलन $D_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 0$ और $D_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 0$ हैं।
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + D_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + D_2^2)}{n_1 + n_2}$.
मान रखने पर: $\sigma^2 = \frac{5(18 + 0^2) + 3(24 + 0^2)}{5 + 3} = \frac{90 + 72}{8} = \frac{162}{8} = 20.25$.

(B) माना दो अज्ञात प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $5$ प्रेक्षणों का माध्य $4.4$ है,इसलिए:
$\frac{1 + 2 + 6 + x + y}{5} = 4.4$
$9 + x + y = 22$
$x + y = 13$ ..... $(i)$
दिया गया है कि प्रसरण $8.24$ है,हम सूत्र $\text{Variance} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2$ का उपयोग करते हैं:
$8.24 = \frac{1^2 + 2^2 + 6^2 + x^2 + y^2}{5} - (4.4)^2$
$8.24 = \frac{1 + 4 + 36 + x^2 + y^2}{5} - 19.36$
$27.6 = \frac{41 + x^2 + y^2}{5}$
$x^2 + y^2 = 97$ ..... $(ii)$
$(i)$ से,$y = 13 - x$. $(ii)$ में रखने पर:
$x^2 + (13 - x)^2 = 97$
$2x^2 - 26x + 72 = 0$
$x^2 - 13x + 36 = 0$
$(x - 9)(x - 4) = 0$
अतः,$x = 9$ या $x = 4$. इसलिए प्रेक्षण $4$ और $9$ हैं।

(B) दो समूहों के लिए संयुक्त प्रसरण $\sigma^{2}$ का सूत्र:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1} \sigma_{1}^{2} + n_{2} \sigma_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{n_{1} n_{2}}{(n_{1} + n_{2})^{2}} (\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2})^{2}$
यहाँ $n_{1} = 6, \bar{x}_{1} = 11, \sigma_{1}^{2} = 24$ और $n_{2} = 3, \bar{x}_{2} = 14, \sigma_{2}^{2} = 36$ है:
$\sigma^{2} = \frac{6 \times 24 + 3 \times 36}{6 + 3} + \frac{6 \times 3}{(6 + 3)^{2}} (11 - 14)^{2}$
$\sigma^{2} = \frac{144 + 108}{9} + \frac{18}{81} \times 9 = 28 + 2 = 30$

(C) $w_i$ का माध्य $\bar{w} = l \bar{y} + k$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\bar{y} = 48$ और $\bar{w} = 55$,इसलिए $55 = 48l + k$ $(i)$.
$w_i$ का मानक विचलन $\sigma_w = |l| \sigma_y$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\sigma_y = 12$ और $\sigma_w = 15$,इसलिए $15 = |l| \times 12$.
अतः,$|l| = \frac{15}{12} = 1.25$.
यदि $l$ धनात्मक है,तो $l = 1.25$.
समीकरण $(i)$ में $l = 1.25$ रखने पर:
$55 = 48(1.25) + k$
$55 = 60 + k$
$k = 55 - 60 = -5$.
अतः,$l = 1.25$ और $k = -5$.

(B) माना कि $10$ पद $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ हैं।
दिया गया है कि माध्य $\frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = 3$ है,जिसका अर्थ है कि $\sum_{i=1}^{10} x_i = 30$.
जब पहले पद में $1$,दूसरे में $2$ और $i$-वें पद में $i$ की वृद्धि की जाती है,तो पदों का नया योग:
$\sum_{i=1}^{10} (x_i + i) = \sum_{i=1}^{10} x_i + \sum_{i=1}^{10} i$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sum_{i=1}^{10} i = \frac{10 \times 11}{2} = 55$ प्राप्त होता है।
नया योग $= 30 + 55 = 85$.
नया माध्य $\frac{85}{10} = \frac{17}{2}$ है।

(B) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{30}$ हैं। माध्य $\bar{x} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} x_i = 75$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को $\lambda$ से गुणा किया जाता है और $25$ घटाया जाता है,तो नए प्रेक्षण $y_i = \lambda x_i - 25$ होते हैं।
नया माध्य $\bar{y} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} (\lambda x_i - 25) = 75\lambda - 25$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,माध्य समान रहता है,इसलिए $75\lambda - 25 = 75$ है।
$75\lambda = 100$.
$\lambda = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}$.

(C) माना $25$ शिक्षकों की आयु का योग $S$ है।
दिया गया है कि औसत आयु $40 \text{ वर्ष}$ है,इसलिए:
$\frac{S}{25} = 40 \Rightarrow S = 1000$.
माना नए शिक्षक की आयु $A$ है।
$60 \text{ वर्ष}$ के शिक्षक की सेवानिवृत्ति और नए शिक्षक की नियुक्ति के बाद,आयु का नया योग $S - 60 + A$ है।
नई औसत आयु $39 \text{ वर्ष}$ है,इसलिए:
$\frac{S - 60 + A}{25} = 39$
$1000 - 60 + A = 39 \times 25$
$940 + A = 975$
$A = 975 - 940 = 35$.
अतः,नए नियुक्त शिक्षक की आयु $35 \text{ वर्ष}$ है।

(C) मान लीजिए कि रात की पाली के कर्मचारी का औसत वेतन $x$ है।
कुल कर्मचारियों की संख्या $70 + 30 = 100$ है।
दिन की पाली के कर्मचारियों के वेतन का योग $70 \times 54 = 3780$ है।
सभी कर्मचारियों के वेतन का योग $100 \times 60 = 6000$ है।
रात की पाली के कर्मचारियों के वेतन का योग $30 \times x$ है।
हमें समीकरण प्राप्त होता है: $3780 + 30x = 6000$.
$30x = 6000 - 3780 = 2220$.
$x = \frac{2220}{30} = 74$.
अतः,रात की पाली के कर्मचारियों का औसत वेतन $Rs. 74$ है।

(A) मान लीजिए कि $2n$ अलग अवलोकन $x_1 < x_2 < ... < x_{2n}$ हैं।
चूंकि $2n$ अवलोकन हैं,माध्यिका $n$ वें और $(n+1)$ वें अवलोकन का औसत है।
माध्यिका से नीचे $n$ अवलोकन हैं (अर्थात $x_1, ..., x_n$) और माध्यिका से ऊपर $n$ अवलोकन हैं (अर्थात $x_{n+1}, ..., x_{2n}$)।
मूल अवलोकनों का योग $S = \sum_{i=1}^{2n} x_i$ है।
नया योग $S'$ पहले $n$ अवलोकनों में $5$ जोड़कर और शेष $n$ अवलोकनों में से $3$ घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$S' = \sum_{i=1}^{n} (x_i + 5) + \sum_{i=n+1}^{2n} (x_i - 3)$
$S' = \sum_{i=1}^{n} x_i + 5n + \sum_{i=n+1}^{2n} x_i - 3n$
$S' = \sum_{i=1}^{2n} x_i + 2n = S + 2n$.
नया माध्य $M' = \frac{S'}{2n} = \frac{S + 2n}{2n} = \frac{S}{2n} + 1$ है।
चूंकि मूल माध्य $M = \frac{S}{2n}$ है,इसलिए नया माध्य $M' = M + 1$ है।
अतः,माध्य $1$ बढ़ जाता है।

(B) दिया गया है $d_i = -x_i - a$.
कथन $I$: प्रेक्षणों के एक समूह का प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन और स्केल फैक्टर $-1$ के तहत अपरिवर्तित रहता है। विशेष रूप से,यदि $y_i = c x_i + k$ है,तो $\text{Var}(y) = c^2 \text{Var}(x)$ होता है। यहाँ,$c = -1$ और $k = -a$ है। अतः,$\text{Var}(d) = (-1)^2 \sigma^2 = \sigma^2$ है। इसलिए,कथन $I$ सही है।
कथन $II$: $d_i$ का माध्य $\bar{d} = \frac{1}{n} \sum (-x_i - a) = -\bar{x} - a$ है। यह सही है।
बहुलक के लिए,यदि $M$,$x_i$ का बहुलक है,तो $d_i = -x_i - a$ का बहुलक $-M - a$ होगा। यह भी सही है।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(A) दिया गया है,प्रेक्षणों की संख्या $n = 20$ और गलत माध्य $\bar{x}_{incorrect} = 40$ है।
प्रेक्षणों का गलत योग $= n \times \bar{x}_{incorrect} = 20 \times 40 = 800$।
प्रेक्षणों का सही योग $= \text{गलत योग} - \text{गलत मान} + \text{सही मान} = 800 - 33 + 53 = 820$।
सही माध्य $= \frac{\text{सही योग}}{n} = \frac{820}{20} = 41$।

(D) दी गई शर्त $0 < y < x < 2y$ के अनुसार,संख्याओं का क्रम इस प्रकार है:
चूंकि $y < x$ और $x < 2y$,इसलिए $x - y < y < x < 2x + y$ होगा।
चार संख्याओं की माध्यिका दो मध्य पदों का औसत है:
$\text{माध्यिका} = \frac{y + x}{2} = 10 \Rightarrow x + y = 20 \quad (i)$
परिसर सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का अंतर है:
$\text{परिसर} = (2x + y) - (x - y) = x + 2y = 28 \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(x + 2y) - (x + y) = 28 - 20 \Rightarrow y = 8$.
$y = 8$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$x + 8 = 20 \Rightarrow x = 12$.
चार संख्याएँ $(12 - 8), 8, 12, (2(12) + 8)$ अर्थात $4, 8, 12, 32$ हैं।
माध्य $= \frac{4 + 8 + 12 + 32}{4} = \frac{56}{4} = 14$.

(D) बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है। यहाँ बहुलक $140$ है,जो $100-150$ वर्ग में आता है,इसलिए बहुलक वर्ग $100-150$ है।
बहुलक का सूत्र:
$Mode = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
जहाँ:
$L = 100$,$f_1 = 37$,$f_0 = 33$,$f_2 = b$,$h = 50$
मान रखने पर:
$140 = 100 + \left( \frac{37 - 33}{2(37) - 33 - b} \right) \times 50$
$40 = \frac{200}{41 - b}$
$41 - b = 5$
$b = 36$

(A) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्यक का सूत्र है:
$M = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times C$
जहाँ:
$l = 20$ (माध्यक वर्ग की निचली सीमा)
$N = 100$ (कुल अवलोकनों की संख्या)
$F = 45$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता)
$C = 30 - 20 = 10$ (माध्यक वर्ग की चौड़ाई)
$M = 25$ (माध्यक)
$f$ माध्यक वर्ग की बारंबारता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$25 = 20 + \left( \frac{\frac{100}{2} - 45}{f} \right) \times 10$
$25 - 20 = \left( \frac{50 - 45}{f} \right) \times 10$
$5 = \frac{5}{f} \times 10$
$5 = \frac{50}{f}$
$f = \frac{50}{5} = 10$

(B) माना कि पाँच प्रेक्षण $1, 3, 8, x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\mu = 5$ है,अतः $\frac{1 + 3 + 8 + x + y}{5} = 5$.
$12 + x + y = 25 \Rightarrow x + y = 13$ (समीकरण $1$)।
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 9.20$ है,सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2$ का उपयोग करने पर:
$9.2 = \frac{1^2 + 3^2 + 8^2 + x^2 + y^2}{5} - 5^2$.
$9.2 = \frac{1 + 9 + 64 + x^2 + y^2}{5} - 25$.
$34.2 = \frac{74 + x^2 + y^2}{5} \Rightarrow 171 = 74 + x^2 + y^2$.
$x^2 + y^2 = 97$ (समीकरण $2$)।
हम जानते हैं कि $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$,अतः $13^2 = 97 + 2xy$.
$169 - 97 = 2xy$ $\Rightarrow 72 = 2xy$ $\Rightarrow xy = 36$.
$x + y = 13$ और $xy = 36$ को हल करने पर,द्विघात समीकरण $t^2 - 13t + 36 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $(t - 4)(t - 9) = 0$ हैं।
अतः,दो प्रेक्षण $4$ और $9$ हैं।
इसलिए अनुपात $\frac{4}{9}$ या $\frac{9}{4}$ है।

(A) माना पाँच प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं। दिया है $n = 5$,$\bar{x} = 4$,और $\sigma^2 = 5.2$.
प्रेक्षणों का योग: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 5 \times 4 = 20$.
दिया है $x_1 = 3, x_2 = 4, x_3 = 4$,अतः $3 + 4 + 4 + x_4 + x_5 = 20$,जिससे $x_4 + x_5 = 9$ $(i)$.
प्रसरण का सूत्र: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$5.2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 4^2$ $\Rightarrow 5.2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 16$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 5 \times 21.2 = 106$.
वर्गों का योग: $3^2 + 4^2 + 4^2 + x_4^2 + x_5^2 = 106$ $\Rightarrow 9 + 16 + 16 + x_4^2 + x_5^2 = 106$ $\Rightarrow x_4^2 + x_5^2 = 65$ $(ii)$.
हम जानते हैं कि $(x_4 - x_5)^2 = 2(x_4^2 + x_5^2) - (x_4 + x_5)^2$.
$(x_4 - x_5)^2 = 2(65) - (9)^2 = 130 - 81 = 49$.
अतः,$|x_4 - x_5| = \sqrt{49} = 7$.

(D) माना $7$ प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 8$,इसलिए $\sum_{i=1}^{7} x_i = 7 \times 8 = 56$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 16$,हम सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हैं।
$16 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} x_i^2 - 8^2$.
$16 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} x_i^2 - 64 \Rightarrow \sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 7 \times 80 = 560$.
दिए गए $5$ प्रेक्षण $2, 4, 10, 12, 14$ हैं। माना शेष दो $x_6$ और $x_7$ हैं।
$5$ प्रेक्षणों का योग: $2 + 4 + 10 + 12 + 14 = 42$.
$x_6 + x_7 = 56 - 42 = 14$.
$5$ प्रेक्षणों के वर्गों का योग: $2^2 + 4^2 + 10^2 + 12^2 + 14^2 = 4 + 16 + 100 + 144 + 196 = 460$.
$x_6^2 + x_7^2 = 560 - 460 = 100$.
हम जानते हैं कि $(x_6 + x_7)^2 = x_6^2 + x_7^2 + 2x_6x_7$.
$14^2 = 100 + 2x_6x_7$.
$196 = 100 + 2x_6x_7$ $\Rightarrow 2x_6x_7 = 96$ $\Rightarrow x_6x_7 = 48$.

(C) $8$ संख्याओं का माध्य $10$ है:
$\frac{3+7+9+12+13+20+x+y}{8} = 10$
$64+x+y = 80$
$x+y = 16$ (समीकरण $1$)
प्रसरण $25$ है:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = 25$
$\frac{3^2+7^2+9^2+12^2+13^2+20^2+x^2+y^2}{8} - 10^2 = 25$
$\frac{9+49+81+144+169+400+x^2+y^2}{8} = 125$
$852+x^2+y^2 = 1000$
$x^2+y^2 = 148$ (समीकरण $2$)
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ का उपयोग करने पर:
$16^2 = 148 + 2xy$
$256 = 148 + 2xy$
$2xy = 108$
$xy = 54$

(A) दिया गया है $n = 20$,$\text{माध्य} = 10$,और $\text{प्रसरण} = 4$।
$\frac{\sum x_i}{20} = 10 \implies \sum x_i = 200$।
$\frac{\sum x_i^2}{20} - (10)^2 = 4 \implies \frac{\sum x_i^2}{20} = 104 \implies \sum x_i^2 = 2080$।
प्रेक्षणों का सही योग $= 200 - 9 + 11 = 202$।
सही माध्य $= \frac{202}{20} = 10.1$।
वर्गों का सही योग $= 2080 - 9^2 + 11^2 = 2080 - 81 + 121 = 2120$।
सही प्रसरण $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = \frac{2120}{20} - (10.1)^2$।
$= 106 - 102.01 = 3.99$।

विचरण गुणांक $(C.V.)$ का सूत्र $C.V. = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है,जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\bar{x}$ समांतर माध्य है।
प्रथम बंटन के लिए:
$C.V._{1} = 60$,$\sigma_{1} = 21$
$60 = \frac{21}{\bar{x}_{1}} \times 100$
$\bar{x}_{1} = \frac{21 \times 100}{60} = 35$
द्वितीय बंटन के लिए:
$C.V._{2} = 70$,$\sigma_{2} = 16$
$70 = \frac{16}{\bar{x}_{2}} \times 100$
$\bar{x}_{2} = \frac{16 \times 100}{70} \approx 22.86$
अतः,समांतर माध्य क्रमशः $35$ और $22.86$ हैं।

(B) एक फर्म द्वारा भुगतान किया गया कुल मासिक वेतन,औसत मासिक वेतन और वेतन भोगियों की संख्या के गुणनफल के रूप में गणना की जाती है।
फर्म $A$ के लिए:
कुल राशि $= 5253 \times 586 = 3,078,258$.
फर्म $B$ के लिए:
कुल राशि $= 5253 \times 648 = 3,403,944$.
दोनों की तुलना करने पर,$3,403,944 > 3,078,258$.
इसलिए,फर्म $B$ मासिक वेतन के रूप में अधिक कुल राशि का भुगतान करती है।

(A) माना अन्य दो प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
$5$ प्रेक्षणों का योग $5 \times 4.4 = 22$ है।
अतः,$1 + 2 + 6 + x + y = 22$,जिससे $x + y = 13$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ है।
$8.24 = \frac{1^2 + 2^2 + 6^2 + x^2 + y^2}{5} - (4.4)^2$.
$8.24 = \frac{1 + 4 + 36 + x^2 + y^2}{5} - 19.36$.
$8.24 + 19.36 = \frac{41 + x^2 + y^2}{5}$.
$27.6 = \frac{41 + x^2 + y^2}{5} \implies 138 = 41 + x^2 + y^2 \implies x^2 + y^2 = 97$ (समीकरण $2$)।
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ से,$13^2 = 97 + 2xy$.
$169 = 97 + 2xy \implies 2xy = 72 \implies xy = 36$.
चूंकि $x + y = 13$ और $xy = 36$,$x$ और $y$ समीकरण $t^2 - 13t + 36 = 0$ के मूल हैं।
$(t - 9)(t - 4) = 0$,अतः $t = 9$ या $t = 4$ है।
अन्य दो प्रेक्षण $4$ और $9$ हैं।

(A) दिया गया है कि प्रेक्षणों की संख्या $(n) = 100$ है।
गलत माध्य $(\bar{x}) = 40$ है।
गलत मानक विचलन $(\sigma) = 5.1$ है।
हम जानते हैं कि $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ होता है।
$40 = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i \implies \sum_{i=1}^{100} x_i = 4000$ है।
प्रेक्षणों का गलत योग $= 4000$ है।
प्रेक्षणों का सही योग $= 4000 - 50 + 40 = 3990$ है।
सही माध्य $= \frac{3990}{100} = 39.9$ है।
साथ ही,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2}$ होता है।
$5.1 = \sqrt{\frac{1}{100} \sum x_i^2 - (40)^2}$ है।
$26.01 = \frac{1}{100} \sum x_i^2 - 1600$ है।
गलत $\sum x_i^2 = 100(26.01 + 1600) = 162601$ है।
सही $\sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$ है।
सही मानक विचलन $= \sqrt{\frac{161701}{100} - (39.9)^2} = \sqrt{1617.01 - 1592.01} = \sqrt{25} = 5$ है।

(A) माना शेष दो प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
आठ प्रेक्षणों का योग $8 \times 9 = 72$ है।
छह दिए गए प्रेक्षणों का योग $6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 = 60$ है।
अतः,$x + y = 72 - 60 = 12$ ........... $(1)$
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ है।
$9.25 = \frac{1}{8} (6^2 + 7^2 + 10^2 + 12^2 + 12^2 + 13^2 + x^2 + y^2) - 9^2$.
$9.25 + 81 = \frac{1}{8} (36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + x^2 + y^2)$.
$90.25 \times 8 = 642 + x^2 + y^2$.
$722 = 642 + x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 80$ ........... $(2)$
$(1)$ से,$(x + y)^2 = 144 \Rightarrow x^2 + y^2 + 2xy = 144$.
$80 + 2xy = 144$ $\Rightarrow 2xy = 64$ $\Rightarrow xy = 32$.
चूंकि $x + y = 12$ और $xy = 32$,द्विघात समीकरण $t^2 - 12t + 32 = 0$ को हल करने पर।
$(t - 8)(t - 4) = 0$.
अतः,शेष दो प्रेक्षण $4$ और $8$ हैं।

(A) माना कि शेष दो प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
प्रेक्षण $2, 4, 10, 12, 14, x, y$ हैं।
माध्य,$\bar{x} = \frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$.
$\Rightarrow 42 + x + y = 56$ $\Rightarrow x + y = 14$ (समीकरण $1$).
प्रसरण,$\sigma^2 = 16 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$.
$16 = \frac{2^2 + 4^2 + 10^2 + 12^2 + 14^2 + x^2 + y^2}{7} - 8^2$.
$16 + 64 = \frac{4 + 16 + 100 + 144 + 196 + x^2 + y^2}{7}$.
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$.
$560 = 460 + x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 100$ (समीकरण $2$).
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ से,$14^2 = 100 + 2xy$.
$196 = 100 + 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$.
चूँकि $x+y = 14$ और $xy = 48$,द्विघात समीकरण $t^2 - 14t + 48 = 0$ को हल करने पर.
$(t-6)(t-8) = 0 \Rightarrow t = 6, 8$.
अतः,शेष दो प्रेक्षण $6$ और $8$ हैं।

(A) प्रेक्षणों की संख्या $(n) = 20$.
गलत माध्य $(\bar{x}) = 10$.
गलत मानक विचलन $(\sigma) = 2$.
$\sum x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$.
सही योग $= 200 - 8 = 192$.
सही माध्य $= \frac{192}{19} \approx 10.105$.
गलत $\sum x_i^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2) = 20(2^2 + 10^2) = 20(4 + 100) = 2080$.
सही $\sum x_i^2 = 2080 - 8^2 = 2080 - 64 = 2016$.
सही मानक विचलन $= \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2} = \sqrt{\frac{2016}{19} - (10.105)^2} = \sqrt{106.105 - 102.111} = \sqrt{3.994} \approx 2.00$.

(B) दिया गया है $n = 20$,गलत माध्य $\bar{x} = 10$,गलत मानक विचलन $\sigma = 2$.
प्रेक्षणों का गलत योग $\sum x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$.
प्रेक्षणों का सही योग $= 200 - 8 + 12 = 204$.
सही माध्य $= \frac{204}{20} = 10.2$.
सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए,$2^2 = \frac{1}{20} \sum x_i^2 - 10^2$.
$4 = \frac{1}{20} \sum x_i^2 - 100 \Rightarrow \sum x_i^2 = 20 \times 104 = 2080$.
सही $\sum x_i^2 = 2080 - 8^2 + 12^2 = 2080 - 64 + 144 = 2160$.
सही मानक विचलन $= \sqrt{\frac{2160}{20} - (10.2)^2} = \sqrt{108 - 104.04} = \sqrt{3.96} \approx 1.9899$.

(B) दिया गया है $n = 100$,$\bar{x} = 20$,$\sigma = 3$.
प्रेक्षणों का योग $\sum x_i = 100 \times 20 = 2000$.
प्रेक्षणों के वर्गों का योग $\sum x_i^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2) = 100(3^2 + 20^2) = 100(9 + 400) = 40900$.
गलत प्रेक्षण $21, 21, 18$ हैं। योग $= 60$. वर्गों का योग $= 21^2 + 21^2 + 18^2 = 441 + 441 + 324 = 1206$.
नया $n = 100 - 3 = 97$.
नया योग $\sum x_i' = 2000 - 60 = 1940$.
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{1940}{97} = 20$.
वर्गों का नया योग $\sum x_i'^2 = 40900 - 1206 = 39694$.
नया प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n'} - (\bar{x}')^2 = \frac{39694}{97} - 20^2 = 409.216 - 400 = 9.216$.
नया मानक विचलन $\sigma' = \sqrt{9.216} \approx 3.036$.

(N/A) माना कि प्रेक्षणों के दो समूह $x_{i}$ $(i=1, 2, \ldots, n_{1})$ और $y_{j}$ $(j=1, 2, \ldots, n_{2})$ हैं।
संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{n_{1}\bar{x}_{1} + n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ है।
संयुक्त समूह का प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{1}{n_{1}+n_{2}} [\sum (x_{i}-\bar{x})^{2} + \sum (y_{j}-\bar{x})^{2}]$ है।
सर्वसमिका $\sum (x_{i}-\bar{x})^{2} = n_{1}s_{1}^{2} + n_{1}d_{1}^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $d_{1} = \bar{x}_{1}-\bar{x}$ है।
इसी प्रकार,$\sum (y_{j}-\bar{x})^{2} = n_{2}s_{2}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}$,जहाँ $d_{2} = \bar{x}_{2}-\bar{x}$ है।
$d_{1} = \frac{n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})}{n_{1}+n_{2}}$ और $d_{2} = \frac{n_{1}(\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1})}{n_{1}+n_{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1}s_{1}^{2} + n_{2}s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}} + \frac{n_{1}d_{1}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}$।
$\frac{n_{1}d_{1}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}$ पद को सरल करने पर $\frac{n_{1}n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$SD = \sqrt{\frac{n_{1}s_{1}^{2}+n_{2}s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$।

(D) दिया गया है,$n_{1}=20, \sigma_{1}=5, \bar{x}_{1}=17$ और $n_{2}=20, \sigma_{2}=5, \bar{x}_{2}=22$.
हम जानते हैं कि संयुक्त मानक विचलन $\sigma$ इस प्रकार है:
$\sigma=\sqrt{\frac{n_{1} \sigma_{1}^{2}+n_{2} \sigma_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$
मान रखने पर:
$\sigma=\sqrt{\frac{20 \times(5)^{2}+20 \times(5)^{2}}{20+20}+\frac{20 \times 20(17-22)^{2}}{(20+20)^{2}}}$
$\sigma=\sqrt{\frac{500+500}{40}+\frac{400 \times (-5)^{2}}{40^{2}}}$
$\sigma=\sqrt{\frac{1000}{40}+\frac{400 \times 25}{1600}}$
$\sigma=\sqrt{25+\frac{10000}{1600}}$
$\sigma=\sqrt{25+6.25} = \sqrt{31.25} \approx 5.59$

(N/A) आवृत्तियों का योग:
$(x-2) + x + x^2 + (x+1)^2 + 2x + (x+1) = 60$
$2x^2 + 7x - 60 = 0$
$(2x+15)(x-4) = 0$
चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$x=4$ है।
$x=4$ के लिए आवृत्ति तालिका:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & f_i & d_i=x_i-3 & f_i d_i & f_i d_i^2 \\ \hline 0 & 2 & -3 & -6 & 18 \\ \hline 1 & 4 & -2 & -8 & 16 \\ \hline 2 & 16 & -1 & -16 & 16 \\ \hline 3 & 25 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 4 & 8 & 1 & 8 & 8 \\ \hline 5 & 5 & 2 & 10 & 20 \\ \hline \text{कुल} & \Sigma f_i=60 & & \Sigma f_i d_i=-12 & \Sigma f_i d_i^2=78 \\ \hline \end{array}$
माध्य $= A + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 3 + (\frac{-12}{60}) = 2.8$
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma f_i d_i^2}{\Sigma f_i} - (\frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i})^2} = \sqrt{1.3 - 0.04} = \sqrt{1.26} \approx 1.12$

दिया गया है: $n_{1}=60, \bar{x}_{1}=650, s_{1}=8$ और $n_{2}=80, \bar{x}_{2}=660, s_{2}=7$.
संयुक्त मानक विचलन $\sigma$ के लिए सूत्र:
$\sigma = \sqrt{\frac{n_{1} s_{1}^{2} + n_{2} s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1} + n_{2})^{2}}}$
मान रखने पर:
$\sigma = \sqrt{\frac{60(8)^{2} + 80(7)^{2}}{60 + 80} + \frac{60 \times 80(650 - 660)^{2}}{(60 + 80)^{2}}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{60(64) + 80(49)}{140} + \frac{4800(-10)^{2}}{(140)^{2}}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{3840 + 3920}{140} + \frac{480000}{19600}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{7760}{140} + \frac{4800}{196}} = \sqrt{55.428 + 24.489} = \sqrt{79.917} \approx 8.94$ घंटे।

दिया गया है,$n=100, \bar{x}=40$ और $\sigma=10$.
$\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 100 \times 40 = 4000$.
संशोधित $\Sigma x_{i} = 4000 - 30 - 70 + 3 + 27 = 3930$.
संशोधित माध्य $\bar{x}_{\text{new}} = \frac{3930}{100} = 39.3$.
हम जानते हैं कि $\sigma^{2} = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2}$.
$100 = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{100} - (40)^{2} \Rightarrow \Sigma x_{i}^{2} = 100(100 + 1600) = 170000$.
संशोधित $\Sigma x_{i}^{2} = 170000 - (30)^{2} - (70)^{2} + (3)^{2} + (27)^{2} = 170000 - 900 - 4900 + 9 + 729 = 164938$.
संशोधित $\sigma_{\text{new}} = \sqrt{\frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x}_{\text{new}})^{2}} = \sqrt{\frac{164938}{100} - (39.3)^{2}}$.
$= \sqrt{1649.38 - 1544.49} = \sqrt{104.89} \approx 10.24$.

(N/A) दिया गया है $n=10, \bar{x}=45$ और $\sigma^{2}=16$.
$\bar{x} = \frac{\Sigma x_{i}}{n} = 45 \Rightarrow \Sigma x_{i} = 450$.
संशोधित $\Sigma x_{i} = 450 - 52 + 25 = 423$.
संशोधित माध्य $\bar{x} = \frac{423}{10} = 42.3$.
$\sigma^{2} = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2}$ का उपयोग करने पर:
$16 = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{10} - (45)^{2} \Rightarrow \Sigma x_{i}^{2} = 10(16 + 2025) = 20410$.
संशोधित $\Sigma x_{i}^{2} = 20410 - (52)^{2} + (25)^{2} = 20410 - 2704 + 625 = 18331$.
संशोधित $\sigma^{2} = \frac{18331}{10} - (42.3)^{2} = 1833.1 - 1789.29 = 43.81$.

(A) माना शेष दो प्रेक्षण $a$ और $b$ हैं।
$8$ प्रेक्षणों के लिए माध्य $\bar{x} = 10$ दिया गया है:
$\frac{5+7+10+12+14+15+a+b}{8} = 10$
$63 + a + b = 80 \Rightarrow a + b = 17 \quad (1)$
प्रसरण $\sigma^2 = 13.5$ दिया गया है:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$13.5 = \frac{5^2+7^2+10^2+12^2+14^2+15^2+a^2+b^2}{8} - 10^2$
$113.5 = \frac{25+49+100+144+196+225+a^2+b^2}{8}$
$908 = 739 + a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 169 \quad (2)$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ से,$17^2 = 169 + 2ab$ $\Rightarrow 289 = 169 + 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 120$ $\Rightarrow ab = 60$.
अब,$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 17^2 - 4(60) = 289 - 240 = 49$.
अतः,$|a-b| = \sqrt{49} = 7$.

(B) दिए गए आँकड़ों $3, 5, 7, a, b$ के लिए माध्य $\bar{x} = 5$ है।
$\frac{3+5+7+a+b}{5} = 5$ $\Rightarrow 15+a+b = 25$ $\Rightarrow a+b = 10$.
दिया गया मानक विचलन $\sigma = 2$ है।
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = 4$.
$\frac{3^{2}+5^{2}+7^{2}+a^{2}+b^{2}}{5} - 5^{2} = 4$.
$\frac{9+25+49+a^{2}+b^{2}}{5} = 29$.
$83+a^{2}+b^{2} = 145 \Rightarrow a^{2}+b^{2} = 62$.
हम जानते हैं कि $(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$.
$10^{2} = 62+2ab$ $\Rightarrow 100-62 = 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 38$ $\Rightarrow ab = 19$.
$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^{2} - (a+b)x + ab = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - 10x + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $25$ शिक्षकों की आयु का योग $\sum x_i$ है।
दिया गया है,$\frac{\sum x_i}{25} = 40$,अतः $\sum x_i = 1000$ है।
माना नए नियुक्त शिक्षक की आयु $N$ है।
$60$ वर्ष के शिक्षक की सेवानिवृत्ति और नए शिक्षक की नियुक्ति के बाद,आयु का नया योग $\sum x_i - 60 + N$ है।
अब $25$ शिक्षकों की औसत आयु $39$ वर्ष है।
$\frac{1000 - 60 + N}{25} = 39$
$940 + N = 39 \times 25$
$940 + N = 975$
$N = 975 - 940 = 35$ है।
अतः,नए नियुक्त शिक्षक की आयु $35$ वर्ष है।

(C) दो समूहों के संयुक्त प्रसरण $\sigma^{2}$ का सूत्र:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1}\sigma_{1}^{2} + n_{2}\sigma_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{n_{1}n_{2}}{(n_{1} + n_{2})^{2}}(\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2})^{2}$
दिए गए मान:
$n_{1} = 10, n_{2} = n, \sigma_{1}^{2} = 2, \sigma_{2}^{2} = 1$
$\bar{x}_{1} = 2, \bar{x}_{2} = 3, \sigma^{2} = \frac{17}{9}$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{17}{9} = \frac{10(2) + n(1)}{10 + n} + \frac{10n}{(10 + n)^{2}}(2 - 3)^{2}$
$\frac{17}{9} = \frac{20 + n}{10 + n} + \frac{10n}{(10 + n)^{2}}$
सरल करने पर:
$17(10 + n)^{2} = 9[(20 + n)(10 + n) + 10n]$
$8n^{2} - 20n - 100 = 0$
$2n^{2} - 5n - 25 = 0$
$(2n + 5)(n - 5) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 5$.

(B) माना संख्याएँ $x_1, x_2, \ldots, x_{2n}$ और $y_1, y_2, \ldots, y_n$ हैं।
पहली $2n$ संख्याओं का माध्य $\bar{x} = 6$ है,इसलिए $\sum x_i = 12n$.
शेष $n$ संख्याओं का माध्य $\bar{y} = 3$ है,इसलिए $\sum y_i = 3n$.
कुल माध्य $\bar{X} = \frac{12n + 3n}{3n} = 5$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{3n} - (\bar{X})^2 = 4$.
$4 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{3n} - 25 \implies \sum x_i^2 + \sum y_i^2 = 87n$.
नए समूह में,संख्याएँ $(x_i + 1)$ और $(y_i - 1)$ हैं।
नया माध्य $\bar{X}' = \frac{\sum (x_i + 1) + \sum (y_i - 1)}{3n} = \frac{12n + 2n + 3n - n}{3n} = \frac{16n}{3n} = \frac{16}{3}$.
नया प्रसरण $k = \frac{\sum (x_i + 1)^2 + \sum (y_i - 1)^2}{3n} - (\bar{X}')^2$.
$k = \frac{\sum x_i^2 + 2\sum x_i + 2n + \sum y_i^2 - 2\sum y_i + n}{3n} - (\frac{16}{3})^2$.
$k = \frac{87n + 2(12n) + 2n - 2(3n) + n}{3n} - \frac{256}{9} = \frac{108n}{3n} - \frac{256}{9} = 36 - \frac{256}{9} = \frac{324 - 256}{9} = \frac{68}{9}$.
अतः,$9k = 68$.

(D) दिया गया है: $n = 20$,$\bar{x} = 10$,$\sigma = 2.5$।
प्रेक्षणों का गलत योग: $\Sigma x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$।
प्रेक्षणों का सही योग: $\Sigma x_i = 200 - 25 + 35 = 210$।
सही माध्य $\alpha = \frac{210}{20} = 10.5$।
वर्गों का गलत योग: $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \implies (2.5)^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 10^2$।
$6.25 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 100 \implies \Sigma x_i^2 = 20 \times 106.25 = 2125$।
वर्गों का सही योग: $\Sigma x_i^2 = 2125 - 25^2 + 35^2 = 2125 - 625 + 1225 = 2725$।
सही प्रसरण $\beta = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\alpha)^2 = \frac{2725}{20} - (10.5)^2 = 136.25 - 110.25 = 26$।
अतः,$(\alpha, \beta) = (10.5, 26)$।

(C) $3, 7, x, y$ का माध्य $5$ है:
$\frac{3+7+x+y}{4} = 5$ $\Rightarrow 10+x+y = 20$ $\Rightarrow x+y = 10$
प्रसरण $10$ है:
$\frac{3^2+7^2+x^2+y^2}{4} - (5)^2 = 10$
$\frac{9+49+x^2+y^2}{4} = 35$ $\Rightarrow 58+x^2+y^2 = 140$ $\Rightarrow x^2+y^2 = 82$
$x+y=10$ और $x^2+y^2=82$ से,
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ $\Rightarrow 100 = 82+2xy$ $\Rightarrow xy = 9$.
$x=9$ और $y=1$ प्राप्त होता है (चूंकि $x>y$).
चार संख्याएँ $21, 9, 10, 8$ हैं।
उनका माध्य $\frac{21+9+10+8}{4} = \frac{48}{4} = 12$ है।

(B) मान लीजिए $n_1 = 20$ (लड़के) और $n_2 = 30$ (लड़कियां)। कुल उम्मीदवार $N = 50$ हैं।
दिया गया है: $\bar{x}_b = 12$,$\sigma_b^2 = 2$,$\sigma_g^2 = 2$,और संयुक्त माध्य $\bar{x} = 15$ है।
सबसे पहले,लड़कियों के औसत अंक $(\mu = \bar{x}_g)$ ज्ञात करें:
$N \bar{x} = n_1 \bar{x}_b + n_2 \bar{x}_g$
$50 \times 15 = 20 \times 12 + 30 \times \bar{x}_g$
$750 = 240 + 30 \bar{x}_g$
$30 \bar{x}_g = 510 \Rightarrow \bar{x}_g = 17 = \mu$.
अब,संयुक्त प्रसरण $\sigma^2$ की गणना करें:
$\sigma^2 = \frac{n_1 \sigma_b^2 + n_2 \sigma_g^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} (\bar{x}_b - \bar{x}_g)^2$
$\sigma^2 = \frac{20 \times 2 + 30 \times 2}{50} + \frac{20 \times 30}{50^2} (12 - 17)^2$
$\sigma^2 = \frac{100}{50} + \frac{600}{2500} (-5)^2$
$\sigma^2 = 2 + \frac{6}{25} \times 25 = 2 + 6 = 8$.
अंत में,$\mu + \sigma^2 = 17 + 8 = 25$।

(C) माना $7$ प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, 6, 8$ हैं।
माध्य $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i + 6 + 8}{7} = 8$ है।
$\sum_{i=1}^{5} x_i + 14 = 56 \Rightarrow \sum_{i=1}^{5} x_i = 42$.
प्रसरण $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 6^2 + 8^2}{7} - (8)^2 = 16$ है।
$\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 36 + 64}{7} = 16 + 64 = 80$.
$\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 100 = 560 \Rightarrow \sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 460$.
अब,शेष $5$ प्रेक्षणों का प्रसरण $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2}{5} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5}\right)^2$ है।
$= \frac{460}{5} - \left(\frac{42}{5}\right)^2 = 92 - \frac{1764}{25} = \frac{2300 - 1764}{25} = \frac{536}{25}$.

(A) माना $6$ प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ हैं। दिया गया है $x_1=2, x_2=4, x_3=5, x_4=7$। माना $x_5=a$ और $x_6=b$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+4+5+7+a+b}{6} = 6.5$.
$18+a+b = 39$ $\Rightarrow a+b = 21$ $\Rightarrow b = 21-a$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 10.25$.
$\frac{2^2+4^2+5^2+7^2+a^2+b^2}{6} - (6.5)^2 = 10.25$.
$\frac{4+16+25+49+a^2+b^2}{6} = 10.25 + 42.25 = 52.5$.
$94 + a^2 + b^2 = 315 \Rightarrow a^2 + b^2 = 221$.
$b = 21-a$ प्रतिस्थापित करने पर: $a^2 + (21-a)^2 = 221$.
$a^2 + 441 - 42a + a^2 = 221$.
$2a^2 - 42a + 220 = 0 \Rightarrow a^2 - 21a + 110 = 0$.
$(a-10)(a-11) = 0$.
अतः,शेष दो प्रेक्षण $10$ और $11$ हैं।

(D) $6$ प्रेक्षणों के लिए माध्य $\bar{x} = 10$ दिया गया है:
$\frac{7+10+11+15+a+b}{6} = 10$
$43+a+b = 60 \Rightarrow a+b = 17 \quad (i)$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{20}{3}$ दिया गया है:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$\frac{20}{3} = \frac{7^2+10^2+11^2+15^2+a^2+b^2}{6} - 10^2$
$\frac{20}{3} + 100 = \frac{495+a^2+b^2}{6}$
$640 = 495 + a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 145 \quad (ii)$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर:
$17^2 = 145 + 2ab$ $\Rightarrow 289 = 145 + 2ab$ $\Rightarrow ab = 72$
अब,$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 289 - 288 = 1$
$|a-b| = 1$

(B) कुल आवृत्ति $N = \sum f = 584$ दी गई है,इसलिए $\alpha + 110 + 54 + 30 + \beta = 584$,जो सरल होकर $\alpha + \beta + 194 = 584$ यानी $\alpha + \beta = 390$ हो जाता है।
माध्यिका $45$ है,जो वर्ग अंतराल $40-50$ में स्थित है। अतः,निचली सीमा $\ell = 40$,वर्ग का आकार $h = 10$,माध्यिका वर्ग की आवृत्ति $f = 30$,और माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति $c = \alpha + 164$ है।
माध्यिका का सूत्र $Median = \ell + \left[\frac{\frac{N}{2} - c}{f}\right] \times h$ है।
मान रखने पर: $45 = 40 + \left[\frac{292 - (\alpha + 164)}{30}\right] \times 10$.
$5 = \frac{128 - \alpha}{3}$.
$15 = 128 - \alpha$,जिससे $\alpha = 113$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha + \beta = 390$,इसलिए $\beta = 390 - 113 = 277$ है।
अतः,$|\alpha - \beta| = |113 - 277| = |-164| = 164$.

(C) दिया गया है $n_{1} = 100$,$\bar{x}_{1} = 15$,$\sigma_{1} = 3$.
कुल वस्तुएं $n = 250$,संयुक्त माध्य $\bar{x} = 15.6$,संयुक्त प्रसरण $\sigma^{2} = 13.44$.
चूंकि $n = n_{1} + n_{2}$,इसलिए $n_{2} = 250 - 100 = 150$.
संयुक्त माध्य सूत्र $\bar{x} = \frac{n_{1}\bar{x}_{1} + n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ का उपयोग करने पर:
$15.6 = \frac{100(15) + 150(\bar{x}_{2})}{250}$ $\Rightarrow 3900 = 1500 + 150\bar{x}_{2}$ $\Rightarrow 150\bar{x}_{2} = 2400$ $\Rightarrow \bar{x}_{2} = 16$.
संयुक्त प्रसरण सूत्र $\sigma^{2} = \frac{n_{1}(\sigma_{1}^{2} + d_{1}^{2}) + n_{2}(\sigma_{2}^{2} + d_{2}^{2})}{n_{1} + n_{2}}$ का उपयोग करने पर,जहां $d_{1} = \bar{x}_{1} - \bar{x} = 15 - 15.6 = -0.6$ और $d_{2} = \bar{x}_{2} - \bar{x} = 16 - 15.6 = 0.4$:
$13.44 = \frac{100(3^{2} + (-0.6)^{2}) + 150(\sigma_{2}^{2} + (0.4)^{2})}{250}$.
$13.44 \times 250 = 100(9 + 0.36) + 150(\sigma_{2}^{2} + 0.16)$.
$3360 = 936 + 150\sigma_{2}^{2} + 24$.
$3360 = 960 + 150\sigma_{2}^{2}$ $\Rightarrow 2400 = 150\sigma_{2}^{2}$ $\Rightarrow \sigma_{2}^{2} = 16$.
अतः,$\sigma_{2} = 4$.