Word problem -Statistics Questions in Hindi

(B) माना अज्ञात संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 8$ है।
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56$
$x + y = 14$ $... (i)$
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
हम जानते हैं कि $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ होता है।
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$16 + 64 = \frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7}$
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$
$560 = 460 + x^2 + y^2$
$x^2 + y^2 = 100$ $... (ii)$
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ से,$14^2 = 100 + 2xy$ मिलता है।
$196 - 100 = 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$
अब,$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 14^2 - 4(48) = 196 - 192 = 4$
$|x-y| = \sqrt{4} = 2$.

(B) कुल छात्रों की संख्या $N = 20$ है।
बारंबारताओं का योग $\Sigma f_i = (x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $(x^2+2x+1) + 2x - 5 + x^2 - 3x + x = 20$।
$2x^2 + 2x - 4 = 20$ $\Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 = 0$ $\Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x+4)(x-3) = 0$।
चूंकि $x \in R^{+} \cup \{0\}$,इसलिए $x = 3$ है।
अब,$x=3$ के लिए बारंबारता की गणना करें:
अंक $2$: $(3+1)^2 = 16$।
अंक $3$: $2(3)-5 = 1$।
अंक $5$: $3^2-3(3) = 0$।
अंक $7$: $3$।
योग: $16+1+0+3 = 20$। सही है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{2(16) + 3(1) + 5(0) + 7(3)}{20} = \frac{32 + 3 + 0 + 21}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$।

(C) दिया गया है,$\text{Mean} = 5$ और $\text{S.D.} = 2$।
डेटा $3, 5, 7, a, b$ के लिए जहाँ $n=5$ है:
$\text{Mean} = \frac{3+5+7+a+b}{5} = 5$
$\Rightarrow 15+a+b = 25$
$\Rightarrow a+b = 10$ ... $(i)$
प्रसरण (Variance) के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\text{Var} = \text{S.D.}^2 = 2^2 = 4$:
$\text{Var} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{Mean})^2$
$4 = \frac{3^2+5^2+7^2+a^2+b^2}{5} - 5^2$
$4 = \frac{9+25+49+a^2+b^2}{5} - 25$
$29 = \frac{83+a^2+b^2}{5}$
$145 = 83 + a^2 + b^2$
$a^2 + b^2 = 62$ ... $(ii)$
हम जानते हैं कि $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$।
$10^2 = 62 + 2ab$
$100 - 62 = 2ab$
$38 = 2ab \Rightarrow ab = 19$।
$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 10x + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $n_1 = 5, \sigma_1^2 = 4, \overline{x}_1 = 2$ और $n_2 = 5, \sigma_2^2 = 5, \overline{x}_2 = 4$.
संयुक्त माध्य $\overline{x}_c = \frac{n_1\overline{x}_1 + n_2\overline{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{5 + 5} = \frac{30}{10} = 3$.
विचलन की गणना: $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x}_c = 2 - 3 = -1$ और $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x}_c = 4 - 3 = 1$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
मान रखने पर: $\sigma^2 = \frac{5(4 + (-1)^2) + 5(5 + 1^2)}{5 + 5} = \frac{5(5) + 5(6)}{10} = \frac{25 + 30}{10} = \frac{55}{10} = \frac{11}{2}$.

(C) माना कि पाँच प्रेक्षण $1, 2, 6, a,$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि माध्य $\bar{x} = 4$ और $n = 5$ है।
$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 6 + a + b}{5} = 4$
$9 + a + b = 20 \implies a + b = 11 \implies b = 11 - a$ ... $(1)$
दिया गया है कि प्रसरण $\sigma^2 = 5.2$ है।
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 5.2$
$\frac{(1-4)^2 + (2-4)^2 + (6-4)^2 + (a-4)^2 + (b-4)^2}{5} = 5.2$
$(-3)^2 + (-2)^2 + (2)^2 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$9 + 4 + 4 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$17 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$(a-4)^2 + (b-4)^2 = 9$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ में $b = 11 - a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(a-4)^2 + (11 - a - 4)^2 = 9$
$(a-4)^2 + (7 - a)^2 = 9$
$(a^2 - 8a + 16) + (49 - 14a + a^2) = 9$
$2a^2 - 22a + 65 = 9$
$2a^2 - 22a + 56 = 0$
$a^2 - 11a + 28 = 0$
$(a-4)(a-7) = 0$
अतः,$a = 4$ या $a = 7$ है।
यदि $a = 4$ है,तो $b = 11 - 4 = 7$ है।
यदि $a = 7$ है,तो $b = 11 - 7 = 4$ है।
इस प्रकार,अन्य दो प्रेक्षण $4$ और $7$ हैं।

(B) दिया गया है: माध्य $\bar{x} = 16$ और मानक विचलन $\sigma = 16$ है।
माना $y_i = x_i - 5$ है।
नए प्रेक्षणों $y_i$ का माध्य $\bar{y} = \bar{x} - 5 = 16 - 5 = 11$ होगा।
जब प्रत्येक प्रेक्षण से एक स्थिरांक घटाया जाता है तो मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $\sigma_y = 16$ है।
हम जानते हैं कि $\sigma_y^2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - (\bar{y})^2$ होता है।
मान रखने पर: $16^2 = \frac{\sum (x_i-5)^2}{50} - 11^2$।
$256 = \frac{\sum (x_i-5)^2}{50} - 121$।
$\frac{\sum (x_i-5)^2}{50} = 256 + 121 = 377$।
अतः,$(x_i-5)^2$ का माध्य $377$ है।

(C) दिया है $n=50$,$\bar{x}=16$,और $\sigma_x^2=256$.
सूत्र $\sigma_x^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करने पर,$256 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 16^2$.
$256 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 256 \implies \frac{1}{50} \sum x_i^2 = 512 \implies \sum x_i^2 = 25600$.
हमें $(x_i-5)^2$ का माध्य ज्ञात करना है,जो $\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} (x_i-5)^2$ है।
योग का विस्तार करने पर: $\sum (x_i^2 - 10x_i + 25) = \sum x_i^2 - 10 \sum x_i + \sum 25$.
चूंकि $\bar{x} = \frac{1}{50} \sum x_i = 16$,इसलिए $\sum x_i = 50 \times 16 = 800$.
अतः,$\sum (x_i-5)^2 = 25600 - 10(800) + 50(25) = 25600 - 8000 + 1250 = 18850$.
अभीष्ट माध्य $= \frac{18850}{50} = 377$.

(A) विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र है: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\bar{x}$ माध्य है।
प्रथम वितरण के लिए: $60 = \frac{21}{\bar{x}_1} \times 100 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{2100}{60} = 35$.
द्वितीय वितरण के लिए: $70 = \frac{16}{\bar{x}_2} \times 100 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{1600}{70} \approx 22.86$.
अतः,माध्य $35$ और $22.86$ हैं।

(A) विचरण गुणांक $( CV )$ का सूत्र इस प्रकार है:
$ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 $
जहाँ $ \sigma $ मानक विचलन है और $ \bar{x} $ समांतर माध्य है।
यहाँ $ CV = 60 $ और $ \sigma = 24 $ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$ 60 = \frac{24}{\bar{x}} \times 100 $
$ 60 = \frac{2400}{\bar{x}} $
$ \bar{x} = \frac{2400}{60} $
$ \bar{x} = 40 $
अतः,समांतर माध्य $ 40 $ है।

(D) माना $n_1 = 15$,$\bar{x} = 2$,और $\sigma_x^2 = 4$ है। अवलोकनों का योग $\sum x_i = n_1 \bar{x} = 15 \times 2 = 30$ है। वर्गों का योग $\sum x_i^2 = n_1(\sigma_x^2 + \bar{x}^2) = 15(4 + 2^2) = 15(8) = 120$ है।
माना $n_2 = 10$,$\bar{y} = 2$,और $\sigma_y^2 = 5$ है। अवलोकनों का योग $\sum y_i = n_2 \bar{y} = 10 \times 2 = 20$ है। वर्गों का योग $\sum y_i^2 = n_2(\sigma_y^2 + \bar{y}^2) = 10(5 + 2^2) = 10(9) = 90$ है।
कुल $N = n_1 + n_2 = 25$ अवलोकनों के लिए,संयुक्त माध्य $\bar{z} = \frac{\sum x_i + \sum y_i}{n_1 + n_2} = \frac{30 + 20}{25} = \frac{50}{25} = 2$ है।
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{n_1 + n_2} - \bar{z}^2 = \frac{120 + 90}{25} - 2^2 = \frac{210}{25} - 4 = 8.4 - 4 = 4.4$ है।

(B) दिया गया है $\sum_{i=1}^{11}(x_i-4)=22$.
$11$ से भाग देने पर,हमें $\bar{x}-4 = \frac{22}{11} = 2$ प्राप्त होता है,अतः $\bar{x} = \alpha = 6$.
अब,प्रसरण $\beta = \frac{1}{n} \sum (x_i-\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\bar{x}=6$,हमारे पास $x_i-\bar{x} = x_i-6 = (x_i-4)-2$ है।
अतः,$\sum (x_i-6)^2 = \sum ((x_i-4)-2)^2 = \sum (x_i-4)^2 - 4\sum (x_i-4) + \sum 4$.
मान रखने पर: $154 - 4(22) + 11(4) = 154 - 88 + 44 = 110$.
अतः,$\beta = \frac{110}{11} = 10$.
मूल $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ और $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ हैं।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मूलों का योग $= \frac{3}{5} + \frac{5}{3} = \frac{34}{15}$.
मूलों का गुणनफल $= \frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$.
समीकरण $x^2 - \frac{34}{15}x + 1 = 0$ है,जो $15x^2 - 34x + 15 = 0$ में सरल हो जाता है।

(A) आंकड़ों का परिसर (range) उच्चतम मान और न्यूनतम मान के बीच का अंतर होता है।
दिए गए आंकड़े: $35, 12, 21, 24, 15, 7, 16, 12, 30, 32, 13, 17$.
उच्चतम मान = $35$.
न्यूनतम मान = $7$.
परिसर = $\text{उच्चतम मान} - \text{न्यूनतम मान} = 35 - 7 = 28$.

(C) कुल आवृत्ति $120$ दी गई है। अतः,$17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 120$.
$f_1 + f_2 + 68 = 120 \implies f_1 + f_2 = 52$ (समीकरण $1$).
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $10, 30, 50, 70, 90$ हैं।
माध्य $\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 50$ है।
$\frac{17(10) + f_1(30) + 32(50) + f_2(70) + 19(90)}{120} = 50$.
$170 + 30f_1 + 1600 + 70f_2 + 1710 = 6000$.
$30f_1 + 70f_2 + 3480 = 6000$.
$30f_1 + 70f_2 = 2520 \implies 3f_1 + 7f_2 = 252$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ से,$f_1 = 52 - f_2$. समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(52 - f_2) + 7f_2 = 252$.
$156 - 3f_2 + 7f_2 = 252$.
$4f_2 = 96 \implies f_2 = 24$.
अतः $f_1 = 52 - 24 = 28$.

(D) कुल वेतन बिल की गणना श्रमिकों की संख्या और औसत दैनिक वेतन के गुणनफल के रूप में की जाती है।
मिल $A$ के लिए:
कुल वेतन बिल $= 500 \times 186 = 93000$.
मिल $B$ के लिए:
कुल वेतन बिल $= 600 \times 175 = 105000$.
दोनों की तुलना करने पर,$105000 > 93000$.
अतः,मिल $B$ का वेतन बिल मिल $A$ से अधिक है।

(B) लड़कों की संख्या $= 25$
लड़कों के अंकों का माध्य $= 61$
लड़कियों की संख्या $= 35$
लड़कियों के अंकों का माध्य $= 58$
सभी $60$ छात्रों का कुल माध्य $= \frac{61 \times 25 + 35 \times 58}{60}$
$= \frac{1525 + 2030}{60} = \frac{3555}{60} = 59.25$

(A) माना कक्षा में लड़कों और लड़कियों की संख्या क्रमशः $m$ और $n$ है। दी गई जानकारी के अनुसार:
लड़कों के कुल अंक $= 40m$
लड़कियों के कुल अंक $= 45n$
लड़कों और लड़कियों के संयुक्त कुल अंक $= 42(m + n)$
कुल अंकों को बराबर करने पर:
$40m + 45n = 42(m + n)$
$40m + 45n = 42m + 42n$
$3n = 2m$
$\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$
कक्षा में लड़कों का प्रतिशत है:
$\frac{m}{m + n} \times 100 = \frac{3}{3 + 2} \times 100$
$= \frac{3}{5} \times 100 = 60 \%$
अतः,लड़कों का प्रतिशत $60 \%$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है.

(A) विचरण गुणांक $(CV)$ को $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\bar{x}$ समांतर माध्य है।
प्रथम बंटन के लिए: $60 = \frac{21}{\bar{x}_1} \times 100 \implies \bar{x}_1 = \frac{2100}{60} = 35$.
द्वितीय बंटन के लिए: $70 = \frac{16}{\bar{x}_2} \times 100 \implies \bar{x}_2 = \frac{1600}{70} \approx 22.857$.
अतः,समांतर माध्य $35$ और लगभग $22.85$ हैं।

(A) सुसंगतता (consistency) को विचरण गुणांक $(CV)$ द्वारा मापा जाता है। कम $CV$ अधिक सुसंगतता का संकेत देता है।
बल्लेबाज $A$,$B$ की तुलना में अधिक सुसंगत है,इसलिए $CV_{A} < CV_{B}$।
इसका अर्थ है $\frac{\sigma_{A}}{\bar{x}} < \frac{\sigma_{B}}{\bar{y}}$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}} < \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sigma_{A}, \sigma_{B}, \bar{x}, \bar{y} > 0$,इसलिए $0 < \frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}} < \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$।
$A$ के अधिक रन बनाने वाले होने के लिए,$\bar{x} > \bar{y}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{\bar{x}}{\bar{y}} > 1$।

(A) माना अन्य दो प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 4.4$ है,अतः $\frac{1+2+6+x+y}{5} = 4.4$ $\Rightarrow 9+x+y = 22$ $\Rightarrow x+y = 13 \dots (i)$.
प्रसरण $\sigma^2 = 8.24$ है,अतः $\frac{1}{5}(1^2+2^2+6^2+x^2+y^2) - (4.4)^2 = 8.24$.
$\frac{41+x^2+y^2}{5} = 27.6 \Rightarrow x^2+y^2 = 97 \dots (ii)$.
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ का उपयोग करने पर,$169 = 97+2xy \Rightarrow xy = 36$.
समीकरण $t^2 - 13t + 36 = 0$ को हल करने पर,$(t-9)(t-4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अन्य दो प्रेक्षण $9$ और $4$ हैं।

(D) व्यंजक $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ माध्य से विचलन के वर्गों का योग दर्शाता है।
यदि यह योग लगभग शून्य है,तो इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक व्यक्तिगत प्रेक्षण $x_i$ माध्य $\bar{x}$ के बहुत करीब होना चाहिए।
परिणामस्वरूप,प्रसरण (variance),जो इस योग के समानुपाती होता है,बहुत छोटा है,जो यह दर्शाता है कि माध्य के चारों ओर डेटा बिंदुओं के विक्षेपण की डिग्री कम है।

(A) चूंकि दिए गए आंकड़ों का माध्य और माध्यिका अलग-अलग मान ले सकते हैं,इसलिए माध्य से माध्य विचलन और माध्यिका से माध्य विचलन हमेशा बराबर नहीं होते हैं।

(C) समुच्चय $A$ के लिए: $\text{माध्य} = \frac{\sum x_i}{5} = 2 \Rightarrow \sum x_i = 10$.
प्रसरण $= \frac{1}{5} \sum x_i^2 - (\text{माध्य})^2 = 4$ $\Rightarrow \frac{1}{5} \sum x_i^2 - 4 = 4$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 40$.
समुच्चय $B$ के लिए: $\text{माध्य} = \frac{\sum y_i}{5} = 4 \Rightarrow \sum y_i = 20$.
प्रसरण $= \frac{1}{5} \sum y_i^2 - (\text{माध्य})^2 = 5$ $\Rightarrow \frac{1}{5} \sum y_i^2 - 16 = 5$ $\Rightarrow \sum y_i^2 = 105$.
$A \cup B$ के लिए: कुल अवयव $N = 10$.
संयुक्त माध्य $\bar{X} = \frac{\sum x_i + \sum y_i}{10} = \frac{10 + 20}{10} = 3$.
संयुक्त प्रसरण $= \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{10} - (\bar{X})^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2 = 14.5 - 9 = 5.5$.

(C) दी गई संख्याओं का समूह: $2, 3, 2x, 11$ है। अवलोकनों की संख्या $n = 4$ है। मानक विचलन $(SD)$ $3.5 = \frac{7}{2}$ है।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 2x + 11}{4} = \frac{16 + 2x}{4} = \frac{8 + x}{2}$।
प्रसरण $(V)$ का मान $V = (SD)^2 = (3.5)^2 = 12.25$ है।
प्रसरण का सूत्र $V = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ है।
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + (2x)^2 + 11^2 = 4 + 9 + 4x^2 + 121 = 134 + 4x^2$।
$12.25 = \frac{134 + 4x^2}{4} - \left(\frac{8 + x}{2}\right)^2$।
$12.25 = \frac{134 + 4x^2 - 64 - 16x - x^2}{4}$।
$49 = 3x^2 - 16x + 70$।
$3x^2 - 16x + 21 = 0$।
द्विघात समीकरण $3x^2 - 9x - 7x + 21 = 0$ को हल करने पर:
$3x(x - 3) - 7(x - 3) = 0$।
$(3x - 7)(x - 3) = 0$।
अतः,$x = 3$ या $x = \frac{7}{3}$।

(C) आंकड़ों का परिसर अधिकतम मान और न्यूनतम मान के बीच का अंतर होता है।
दिए गए आंकड़े: $15, 14, k, 25, 30, 35$.
परिसर $= 23$.
स्थिति $1$: यदि $35$ अधिकतम मान है,तो न्यूनतम मान $35 - 23 = 12$ होना चाहिए।
यदि $k = 12$ है,तो आंकड़े $12, 14, 15, 25, 30, 35$ हो जाते हैं। परिसर $35 - 12 = 23$ है। यह एक मान्य स्थिति है।
स्थिति $2$: यदि $k$ अधिकतम मान है,तो $k - 14 = 23$,जिससे $k = 37$ प्राप्त होता है।
चूंकि हम $k$ का न्यूनतम धनात्मक मान ज्ञात कर रहे हैं,$12$ और $37$ की तुलना करने पर,न्यूनतम धनात्मक मान $12$ है।

(B) दिए गए अवलोकन $20, 28, 40, 12, 30, 15, 50$ हैं।
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम डेटा सेट में अधिकतम और न्यूनतम मानों की पहचान करते हैं।
अधिकतम मान $= 50$।
न्यूनतम मान $= 12$।
परिसर $= \text{अधिकतम मान} - \text{न्यूनतम मान}$।
परिसर $= 50 - 12 = 38$।

(C) दिया गया है कि $n=100$,$\bar{x}_1=40$,और $\sigma_1=15$ है।
अवलोकनों का योग $\sum x_i = n \times \bar{x}_1 = 100 \times 40 = 4000$ है।
सही योग $\sum x_i^{\prime} = 4000 - 30 - 60 + 40 + 50 = 4000$ है।
अतः,सही माध्य $\bar{x}_2 = \frac{4000}{100} = 40$ है।
इसलिए,$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$ है।
अब,$\sigma_1^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x}_1)^2$ $\Rightarrow 225 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 182500$ है।
वर्गों का सही योग $\sum x_i^{\prime 2} = 182500 - 30^2 - 60^2 + 40^2 + 50^2 = 182100$ है।
सही प्रसरण $\sigma_2^2 = \frac{182100}{100} - (40)^2 = 1821 - 1600 = 221$ है।
चूँकि $\sigma_1^2 = 225$ और $\sigma_2^2 = 221$,इसलिए $\sigma_1^2 > \sigma_2^2$,जिसका अर्थ है कि $\sigma_1 > \sigma_2$ है।
अतः,$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$ और $\sigma_1 > \sigma_2$ है।

(C) माना पाँच प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं। दिया है $x_1=1, x_2=3, x_3=4$। अन्य दो को $a$ और $b$ मानें।
माध्य $\bar{x} = \frac{1+3+4+a+b}{5} = 4 \implies 8+a+b = 20 \implies a+b = 12$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 4$।
$\frac{1^2+3^2+4^2+a^2+b^2}{5} - 16 = 4 \implies \frac{26+a^2+b^2}{5} = 20$।
$26+a^2+b^2 = 100 \implies a^2+b^2 = 74$।
हम जानते हैं कि $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$।
$12^2 = 74+2ab \implies 144 = 74+2ab$।
$2ab = 70 \implies ab = 35$।

(A) समांतर माध्य $\frac{a + b + 8 + 5 + 10}{5} = 6$ है।
$a + b + 23 = 30$,इसलिए $a + b = 7$ है।
प्रसरण $\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = 6.8$ है।
$\frac{a^2 + b^2 + 64 + 25 + 100}{5} - 36 = 6.8$.
$\frac{a^2 + b^2 + 189}{5} = 42.8$.
$a^2 + b^2 + 189 = 214$,इसलिए $a^2 + b^2 = 25$ है।
चूंकि $a + b = 7$,इसलिए $b = 7 - a$ है।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a^2 + (7 - a)^2 = 25$.
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$.
$2a^2 - 14a + 24 = 0$.
$a^2 - 7a + 12 = 0$.
$(a - 3)(a - 4) = 0$.
अतः,$a = 3$ या $a = 4$ है।
यदि $a = 3$,तो $b = 4$ है। यदि $a = 4$,तो $b = 3$ है।
क्रमित युग्म $(a, b)$ का मान $(3, 4)$ या $(4, 3)$ हो सकता है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$(3, 4)$ सही उत्तर है।

(C) विचरण गुणांक $(CV)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\bar{x}$ माध्य है।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
मध्य बिंदु $(x_i)$: $35, 45, 55, 65, 75, 85$
आवृत्तियाँ $(f_i)$: $17, 28, 21, 15, 13, 6$
कुल आवृत्ति $(N = \sum f_i)$ = $100$
$(f_i x_i)$ का योग: $5470$
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{5470}{100} = 54.7$
दिया गया मानक विचलन $(\sigma)$ = $14.72$
$CV = \frac{14.72}{54.7} \times 100 \approx 26.91$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) प्रथम $n$ सम प्राकृत संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2n$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2(1+2+\dots+n)}{n} = \frac{2 \times n(n+1)}{2n} = n+1$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (2i)^2 - (n+1)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\sigma^2 = \frac{4}{n} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (n+1)^2 = \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - (n+1)^2$.
$\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{4n+2-3n-3}{3} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{3} = \frac{n^2-1}{3}$.
अतः,कथन-$I$ असत्य है।
$n=20$ के लिए,माध्य $20+1 = 21$ है।
प्रसरण $\frac{20^2-1}{3} = \frac{399}{3} = 133$ है।
अंतर $133 - 21 = 112$ है।
अतः,कथन-$II$ सत्य है।

(D) दिया गया है कि माध्य से विचलनों के वर्गों का योग $n\bar{x}^2$ है।
विचलनों के वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = n\bar{x}^2$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $\sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2) = n\bar{x}^2$।
यह सरल होकर $\sum x_i^2 - 2\bar{x}\sum x_i + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$ हो जाता है।
चूँकि $\sum x_i = n\bar{x}$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sum x_i^2 - 2\bar{x}(n\bar{x}) + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$।
$\sum x_i^2 - 2n\bar{x}^2 + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$।
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$।
अतः,$\sum_{i=1}^n x_i^2 = 2n\bar{x}^2$।

(D) सबसे पहले,हम माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{4(1) + 24(3) + 28(5) + 16(7) + 8(9)}{4 + 24 + 28 + 16 + 8} = \frac{400}{80} = 5$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $m = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{128}{80} = \frac{8}{5} = 1.6$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - (\bar{x})^2 = \frac{2352}{80} - 25 = 29.4 - 25 = 4.4 = \frac{22}{5}$ है।
अंत में,$m + \sigma^2 = \frac{8}{5} + \frac{22}{5} = \frac{30}{5} = 6$ है।

(D) दिया है: $n_1 = 20, \bar{x}_1 = 25, \sigma_1^2 = 9$ और $n_2 = 30, \bar{x}_2 = 10, \sigma_2^2 = 16$.
संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{20 \times 25 + 30 \times 10}{20 + 30} = \frac{500 + 300}{50} = \frac{800}{50} = 16$.
माना $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 25 - 16 = 9$ और $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 10 - 16 = -6$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
$\sigma^2 = \frac{20(9 + 9^2) + 30(16 + (-6)^2)}{20 + 30} = \frac{20(9 + 81) + 30(16 + 36)}{50} = \frac{20(90) + 30(52)}{50} = \frac{1800 + 1560}{50} = \frac{3360}{50} = 67.2$.

(D) हमें दिया गया है कि $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$ और $\sum_{i=1}^n x_i = 80$ है।
हम जानते हैं कि प्रसरण (variance) हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2 \geq 0$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{400}{n} - \left(\frac{80}{n}\right)^2 \geq 0$
$\frac{400}{n} - \frac{6400}{n^2} \geq 0$
$n^2$ से गुणा करने पर (चूंकि $n > 0$):
$400n - 6400 \geq 0$
$400n \geq 6400$
$n \geq 16$।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $16$ है।

(A) दिए गए प्रेक्षण: $2, 3, 5, 8, 12$
माध्य $\bar{x} = \frac{2+3+5+8+12}{5} = \frac{30}{5} = 6$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(2-6)^2 + (3-6)^2 + (5-6)^2 + (8-6)^2 + (12-6)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{16 + 9 + 1 + 4 + 36}{5} = \frac{66}{5} = 13.2$
आँकड़ों $2, 3, 5, 8, 12$ की माध्यिका $m = 5$ है।
माध्यिका से माध्य विचलन $M = \frac{\sum |x_i - m|}{n} = \frac{|2-5| + |3-5| + |5-5| + |8-5| + |12-5|}{5}$
$M = \frac{3 + 2 + 0 + 3 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$
अतः,$\sigma^2 - M = 13.2 - 3 = 10.2$.

(D) दिया गया है: $n = 100$,$\bar{x} = 40$,$\sigma = 5.1$.
हम जानते हैं कि $\text{प्रसरण} = \sigma^2 = (5.1)^2 = 26.01$.
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ है।
मान रखने पर: $26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (40)^2$.
$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$.
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 1626.01$.
$\sum x_i^2 = 162601$ (यह वर्गों का गलत योग है)।
वर्गों का सही योग ज्ञात करने के लिए,हम गलत प्रेक्षण के वर्ग को घटाएंगे और सही प्रेक्षण के वर्ग को जोड़ेंगे:
$\text{सही } \sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2$.
$\text{सही } \sum x_i^2 = 162601 - 2500 + 1600$.
$\text{सही } \sum x_i^2 = 161701$.

(C) दिया गया है कि $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ऋणात्मक संख्याएँ हैं जो आरोही क्रम में हैं।
पहले पद $x_1$ और अंतिम पद $x_n$ के चिह्न बदलने पर,नया क्रम $-x_1, x_2, \ldots, -x_n$ हो जाता है।
यहाँ सबसे बड़ा मान $-x_1$ है और सबसे छोटा मान $x_2$ है।
अतः,परिसर $= (-x_1) - x_2 = |x_1| - x_2$.

(A) कथन $(I)$: परिसर अधिकतम और न्यूनतम अवलोकनों के बीच का अंतर है। चूंकि मध्यवर्ती अवलोकन अधिकतम या न्यूनतम मानों को प्रभावित नहीं करते हैं,इसलिए परिसर अपरिवर्तित रहता है। अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
कथन $(II)$: माध्य विचलन का एक प्रसिद्ध गुण यह है कि यह माध्यिका के सापेक्ष गणना करने पर न्यूनतम होता है। अतः,कथन $(II)$ सत्य है।
कथन $(III)$: वर्गीकृत डेटा के लिए,परिसर सबसे बड़े वर्ग की ऊपरी सीमा और सबसे छोटे वर्ग की निचली सीमा के बीच का अंतर होता है। दिए गए कथन में इन्हें उलट दिया गया है,इसलिए यह असत्य है।
अतः,कथन $I$ और $II$ सत्य हैं लेकिन कथन $III$ असत्य है।

(C) दिया गया डेटा $50, 70, 60, B, 20, 40$ है। परिसर अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर होता है,जो $65$ दिया गया है।
स्थिति $1$: यदि $B$ अधिकतम मान है,तो $B - 20 = 65$,जिसका अर्थ है $B = 85$।
स्थिति $2$: यदि $B$ न्यूनतम मान है,तो $70 - B = 65$,जिसका अर्थ है $B = 5$।
$B$ के संभावित मान $85$ और $5$ हैं।
इन मानों का निरपेक्ष अंतर $|85 - 5| = 80$ है।

(A) विचरण गुणांक $(CV)$ को $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समूह $A$ को समूह $B$ से अधिक सुसंगत होने के लिए,$A$ का विचरण गुणांक $B$ के विचरण गुणांक से कम होना चाहिए।
अतः,$CV_A < CV_B$।
मान रखने पर,$\frac{\sigma_A}{\bar{x}} < \frac{\sigma_B}{\bar{y}}$।
यहाँ $\sigma_A = 2$ और $\sigma_B = 3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2}{\bar{x}} < \frac{3}{\bar{y}}$।
असमिका को $\frac{\bar{y}}{\bar{x}}$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\bar{y}}{\bar{x}} < \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रथम पाँच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
माध्य $(\bar{x}) = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $(\alpha) = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|2-5.6| + |3-5.6| + |5-5.6| + |7-5.6| + |11-5.6|}{5} = \frac{3.6 + 2.6 + 0.6 + 1.4 + 5.4}{5} = \frac{13.6}{5} = 2.72$.
प्रसरण $(\beta) = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2}{5} - (5.6)^2 = \frac{4 + 9 + 25 + 49 + 121}{5} - 31.36 = \frac{208}{5} - 31.36 = 41.6 - 31.36 = 10.24$.
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (2.72, 10.24)$ है।

(B) दिया गया है,$n = 100$,$\bar{x} = 40$,और $\sigma = 5.1$.
मानक विचलन का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ है।
मान रखने पर: $(5.1)^2 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (40)^2$.
$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$.
$\sum x_i^2 = (26.01 + 1600) \times 100 = 162601$.
इस योग में गलत प्रेक्षण $50$ शामिल है। सही योग प्राप्त करने के लिए,हम गलत मान का वर्ग घटाएंगे और सही मान का वर्ग जोड़ेंगे:
सही $\sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2$.
सही $\sum x_i^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$.

(B) मान लीजिए $n_1 = 50$,$\bar{x}_1 = 10$,और $\sigma_1 = 2$ पहले समूह के पैरामीटर हैं। मान लीजिए $n_2 = 50$,$\bar{x}_2$,और $\sigma_2$ दूसरे समूह के पैरामीटर हैं। कुल प्रेक्षणों की संख्या $N = 100$ है,जिसका माध्य $\bar{x} = 8$ और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{10.5}$ है।
सबसे पहले,दूसरे समूह का माध्य ज्ञात करें:
$\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} \implies 8 = \frac{50(10) + 50(\bar{x}_2)}{100} \implies 800 = 500 + 50\bar{x}_2 \implies \bar{x}_2 = 6$.
इसके बाद,संयुक्त प्रसरण (variance) के सूत्र का उपयोग करें:
$\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$,जहाँ $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 10 - 8 = 2$ और $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 6 - 8 = -2$.
$10.5 = \frac{50(2^2 + 2^2) + 50(\sigma_2^2 + (-2)^2)}{100}$
$10.5 = \frac{50(8) + 50(\sigma_2^2 + 4)}{100} = \frac{400 + 50\sigma_2^2 + 200}{100}$
$1050 = 600 + 50\sigma_2^2$
$50\sigma_2^2 = 450 \implies \sigma_2^2 = 9 \implies \sigma_2 = 3$.

(C) $(a) \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}) = \sum x_i - \sum \bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$. अतः,$(a)-(iii)$.
$(b) \text{ प्रसरण } (\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$,जो माध्य से विचलनों के वर्गों का माध्य है। अतः,$(b)-(v)$.
$(c) \text{ माध्य विचलन} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - A|$,जहाँ $A$ केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है। अतः,$(c)-(iv)$.
$(d) \text{ विचरण गुणांक} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,जिसका उपयोग दो श्रेणियों की समरूपता की तुलना करने के लिए किया जाता है। अतः,$(d)-(ii)$.
अतः,सही मिलान $a-(iii), b-(v), c-(iv), d-(ii)$ है।

(D) माना $\bar{x}_1$ और $\bar{x}_2$ दो बंटनों के माध्य हैं और $\sigma_1^2$ और $\sigma_2^2$ उनके प्रसरण हैं।
दिया है $\sigma_1^2 = 144$ और $\sigma_2^2 = 64$,इसलिए $\sigma_1 = 12$ और $\sigma_2 = 8$ है।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है।
प्रथम बंटन के लिए: $\frac{12}{\bar{x}_1} \times 100 = 40 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{1200}{40} = 30$ है।
द्वितीय बंटन के लिए: $\frac{8}{\bar{x}_2} \times 100 = 20 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{800}{20} = 40$ है।
समांतर माध्यों का माध्य $\frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{30 + 40}{2} = \frac{70}{2} = 35$ है।

(D) माना $\bar{x}_1$ और $\bar{x}_2$ दो बंटनों के माध्य हैं और $\sigma_1^2$ और $\sigma_2^2$ उनके प्रसरण हैं।
दिया है $\sigma_1^2 = 144$ और $\sigma_2^2 = 64$।
अतः,$\sigma_1 = \sqrt{144} = 12$ और $\sigma_2 = \sqrt{64} = 8$।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है।
प्रथम बंटन के लिए: $\frac{12}{\bar{x}_1} \times 100 = 40 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{1200}{40} = 30$।
द्वितीय बंटन के लिए: $\frac{8}{\bar{x}_2} \times 100 = 20 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{800}{20} = 40$।
उनके समांतर माध्यों का माध्य $\frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{30 + 40}{2} = \frac{70}{2} = 35$ है।

(D) दिया गया डेटा $1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ है। अवलोकनों की संख्या $n = 9$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{1+3+5+7+11+13+17+19+23}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
माध्य से माध्य विचलन $M = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|1-11| + |3-11| + |5-11| + |7-11| + |11-11| + |13-11| + |17-11| + |19-11| + |23-11|}{9} = \frac{10+8+6+4+0+2+6+8+12}{9} = \frac{56}{9}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(-10)^2 + (-8)^2 + (-6)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 2^2 + 6^2 + 8^2 + 12^2}{9} = \frac{100 + 64 + 36 + 16 + 0 + 4 + 36 + 64 + 144}{9} = \frac{464}{9}$.
अब,$3(\sigma^2 - M) = 3 \left( \frac{464}{9} - \frac{56}{9} \right) = 3 \left( \frac{408}{9} \right) = \frac{408}{3} = 136$.

(A) मान लीजिए कि दोनों वितरणों का समान माध्य $\bar{x}$ है।
दिया गया है कि $A$ और $B$ के लिए विचरण गुणांक $(CV)$ क्रमशः $6$ और $2$ हैं।
विचरण गुणांक का सूत्र $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है।
वितरण $A$ के लिए: $\frac{\sigma_A}{\bar{x}} \times 100 = 6 \implies \bar{x} = \frac{100 \sigma_A}{6}$.
वितरण $B$ के लिए: $\frac{\sigma_B}{\bar{x}} \times 100 = 2 \implies \bar{x} = \frac{100 \sigma_B}{2}$.
$\bar{x}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{100 \sigma_A}{6} = \frac{100 \sigma_B}{2}$.
$\frac{\sigma_A}{6} = \frac{\sigma_B}{2}$.
$\sigma_A = \frac{6}{2} \sigma_B$.
$\sigma_A = 3 \sigma_B$.

(C) माना कि खतरे के स्तर को बढ़ाने के लिए शहर की जनसंख्या का न्यूनतम प्रतिशत जो बीमार पड़ना चाहिए,वह $x \%$ है।
यह दिया गया है कि एक बीमार व्यक्ति के $ICU$ में भर्ती होने की संभावना $10 \%$ है।
इसलिए,शहर के किसी भी व्यक्ति के $ICU$ में भर्ती होने की संभावना $10 \% \text{ of } x \%$ है।
हमें दिया गया है कि यदि यह संभावना $5 \%$ से अधिक हो जाती है तो खतरे का स्तर बढ़ा दिया जाता है।
अतः,हम समीकरण बनाते हैं: $\frac{10}{100} \times x = 5$.
$x$ के लिए हल करने पर: $0.1x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{0.1} = 50$.
इस प्रकार,खतरे के स्तर को बढ़ाने के लिए जनसंख्या का कम से कम $50 \%$ बीमार पड़ना चाहिए।
अतः,विकल्प $C$ सही है.