Word problem -Statistics Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $n$ प्रेक्षणों का माध्य $\bar{x}$ है।
अतः,प्रेक्षणों का योग $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n \bar{x}$ है।
जब प्रेक्षण $x_{q}$ को $x_{q}^{\prime}$ से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो प्रेक्षणों का नया योग:
$\sum x_{new} = \sum x - x_{q} + x_{q}^{\prime} = n \bar{x} - x_{q} + x_{q}^{\prime}$ होगा।
नया माध्य $\bar{x}^{\prime}$ इस प्रकार होगा:
$\bar{x}^{\prime} = \frac{\sum x_{new}}{n} = \frac{n \bar{x} - x_{q} + x_{q}^{\prime}}{n}$.

(D) $10$ प्रेक्षण $x_1, x_2, \ldots, x_9, \alpha$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 10$ है,अतः $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i + \alpha}{10} = 10 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i + \alpha = 100$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 2$ है,अतः $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \alpha^2}{10} - (10)^2 = 2 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i^2 + \alpha^2 = 1020$.
जब $\alpha$ को $\beta$ से बदला जाता है,तो नया माध्य $10.1$ हो जाता है,अतः $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i + \beta}{10} = 10.1 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i + \beta = 101$.
इन समीकरणों को घटाने पर,$\beta - \alpha = 1 \Rightarrow \beta = \alpha + 1$.
नया प्रसरण $1.99$ है,अतः $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \beta^2}{10} - (10.1)^2 = 1.99$.
$\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \beta^2 = 1040$.
पहले प्रसरण समीकरण को घटाने पर,$\beta^2 - \alpha^2 = 20$.
चूंकि $\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = 20$ और $\beta - \alpha = 1$,इसलिए $\alpha + \beta = 20$.

(D) वर्ग चिह्न $(x_i)$ $6, 10, 14, 18$ हैं। बारंबारताएँ $(f_i)$ $3, \lambda, 4, 7$ हैं। कुल बारंबारता $N = 14+\lambda$ है।
माध्य $\mu = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{3(6) + 10\lambda + 4(14) + 7(18)}{14+\lambda} = \frac{200+10\lambda}{14+\lambda}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \mu^2 = 19$.
$\sum f_i x_i^2 = 3160 + 100\lambda$ प्राप्त होता है।
समीकरण को हल करने पर $\lambda = 6$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 6$ रखने पर,$\mu = \frac{260}{20} = 13$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + \mu = 6 + 13 = 19$.

(A) $8$ संख्याओं का माध्य $\frac{7}{2}$ दिया गया है।
संख्याओं का योग $= -10 - 7 - 1 + x + y + 9 + 2 + 16 = x + y + 9$.
$\frac{x + y + 9}{8} = \frac{7}{2}$ $\Rightarrow x + y + 9 = 28$ $\Rightarrow x + y = 19$ . . . $(1)$
प्रसरण $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = \frac{293}{4}$.
$\frac{(-10)^2 + (-7)^2 + (-1)^2 + x^2 + y^2 + 9^2 + 2^2 + 16^2}{8} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{293}{4}$.
$\frac{491 + x^2 + y^2}{8} = \frac{342}{4} = 85.5$.
$x^2 + y^2 = 193$ . . . $(2)$
$(1)$ से $y = 19 - x$ को $(2)$ में रखने पर:
$x^2 + (19 - x)^2 = 193$ $\Rightarrow 2x^2 - 38x + 168 = 0$ $\Rightarrow x^2 - 19x + 84 = 0$.
$(x - 12)(x - 7) = 0$. अतः $x = 12, y = 7$.
$4$ संख्याएँ $12, 7, 20, 5$ हैं।
माध्य $= \frac{12 + 7 + 20 + 5}{4} = \frac{44}{4} = 11$.

(D) माना $n$ प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_n$ हैं।
दिया है: माध्य $\bar{x} = 8$ और प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
$n$ प्रेक्षणों के लिए: $\sum_{i=1}^n x_i = 8n$ और $\frac{\sum x_i^2}{n} - (8)^2 = 16 \implies \sum x_i^2 = 80n$।
माना प्रथम $(n-1)$ प्रेक्षणों का योग $S_{n-1} = 48$ और वर्गों का योग $Q_{n-1} = 496$ है।
$n$-वां प्रेक्षण $x_n = \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^{n-1} x_i = 8n - 48$ है।
साथ ही, $x_n^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 = 80n - 496$ है।
$x_n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $(8n - 48)^2 = 80n - 496$।
$64n^2 - 768n + 2304 = 80n - 496$।
$64n^2 - 848n + 2800 = 0$।
$16$ से भाग देने पर: $4n^2 - 53n + 175 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(4n - 25)(n - 7) = 0$।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए $n = 7$ है।

(C) आंकड़ों का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
मध्य-मान $(x_i)$: $7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5$.
कुल बारंबारता $\sum f_i = 2 + k + 28 + 54 + (k + 1) + 5 = 90 + 2k$.
$f_i x_i$ का योग = $(2 \times 7.5) + (k \times 12.5) + (28 \times 17.5) + (54 \times 22.5) + ((k + 1) \times 27.5) + (5 \times 32.5) = 15 + 12.5k + 490 + 1215 + 27.5k + 27.5 + 162.5 = 1910 + 40k$.
दिया गया है $\bar{x} = 21$,इसलिए $\frac{1910 + 40k}{90 + 2k} = 21$.
$1910 + 40k = 21(90 + 2k) \Rightarrow 1910 + 40k = 1890 + 42k$.
$2k = 20 \Rightarrow k = 10$.
दिए गए समीकरणों में $k = 10$ का परीक्षण करने पर:
$A) 2(10)^2 - 23(10) - 10 = 200 - 230 - 10 = -40 \neq 0$.
$B) 4(10)^2 - 35(10) + 24 = 400 - 350 + 24 = 74 \neq 0$.
$C) 2(10)^2 - 19(10) - 10 = 200 - 190 - 10 = 0$.
$D) 2(10)^2 - 35(10) + 98 = 200 - 350 + 98 = -52 \neq 0$.
अतः,$k = 10$ समीकरण $2x^2 - 19x - 10 = 0$ का एक मूल है।

(B) $9$ संख्याओं का योग $21+8+17+a+51+103+b+13+67 = 280+a+b$ है।
माध्य $40$ दिया गया है,इसलिए $(280+a+b)/9 = 40$,जिसका अर्थ है $280+a+b = 360$,यानी $a+b = 80$.
संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $8, 13, 17, 21, b, a, 51, 67, 103$ (चूंकि $a > b$ और माध्यिका $21$ है,इसलिए $5^{th}$ पद $21$ होना चाहिए)।
अतः,$b = 21$. इस मान को $a+b = 80$ में रखने पर,$a = 80 - 21 = 59$ प्राप्त होता है।
माध्यिका $(21)$ के सापेक्ष माध्य विचलन की जाँच करने पर: $\frac{1}{9} (|8-21| + |13-21| + |17-21| + |21-21| + |21-21| + |59-21| + |51-21| + |67-21| + |103-21|) = \frac{1}{9} (13+8+4+0+0+38+30+46+82) = \frac{221}{9} \approx 24.55$.
प्रश्न में दिया गया माध्य विचलन $26$ है,जो गणना के करीब है। अतः $2a = 2 \times 59 = 118$. सबसे निकटतम विकल्प $117$ है।

(C) अवलोकनों के पहले समूह के लिए: $n_1 = 4$,$\bar{x}_1 = 1$,और $\sigma_1^2 = 13$ है।
सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए,$\frac{\sum x_1^2}{4} - (1)^2 = 13$,जिससे $\sum x_1^2 = 4(14) = 56$ प्राप्त होता है।
अवलोकनों के दूसरे समूह के लिए: $n_2 = 6$,$\bar{x}_2 = 2$,और $\sigma_2^2 = 1$ है।
इसी प्रकार,$\frac{\sum x_2^2}{6} - (2)^2 = 1$,जिससे $\sum x_2^2 = 6(5) = 30$ प्राप्त होता है।
अब,संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{4(1) + 6(2)}{4 + 6} = \frac{16}{10} = 1.6$ है।
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_1^2 + x_2^2)}{n_1 + n_2} - (\bar{x})^2 = \frac{56 + 30}{10} - (1.6)^2 = 8.6 - 2.56 = 6.04$ है।

(B) दिए गए अवलोकन: $2, 4, \alpha, 8, \beta, 12, 14$। अवलोकनों की संख्या $n = 7$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+4+\alpha+8+\beta+12+14}{7} = 8$.
$40 + \alpha + \beta = 56 \Rightarrow \alpha + \beta = 16$ (समीकरण $1$)।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 16$.
$\frac{4 + 16 + \alpha^2 + 64 + \beta^2 + 144 + 196}{7} - 8^2 = 16$.
$\frac{424 + \alpha^2 + \beta^2}{7} = 16 + 64 = 80$.
$424 + \alpha^2 + \beta^2 = 560 \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 136$ (समीकरण $2$)।
$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर,$16^2 = 136 + 2\alpha\beta$.
$256 - 136 = 2\alpha\beta \Rightarrow 2\alpha\beta = 120 \Rightarrow \alpha\beta = 60$.
चूंकि $\alpha + \beta = 16$ और $\alpha\beta = 60$ है,इसलिए मान $\alpha = 6$ और $\beta = 10$ हैं (क्योंकि $\alpha < \beta$)।
आवश्यक द्विघात समीकरण के मूल $3\alpha + 2 = 3(6) + 2 = 20$ और $2\beta + 1 = 2(10) + 1 = 21$ हैं।
मूलों का योग $= 20 + 21 = 41$.
मूलों का गुणनफल $= 20 \times 21 = 420$.
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है,जो $x^2 - 41x + 420 = 0$ है।