प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के लिए माध्य और प् | vedclass

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Question

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:माध्य $= \frac{	ext{सभी प्रेक्षणों का योग}}{	ext{प्रेक्षणों की संख्या}} = \fr

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माध्य $= \frac{n+1}{2}$,प्रसरण $= \frac{n^2-1}{12}$

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(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:माध्य $= \frac{	ext{सभी प्रेक्षणों का योग}}{	ext{प्रेक्षणों की संख्या}} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$.सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए:$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ight] - \left( \frac{n+1}{2} ight)^2$$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$$\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$$\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12}$$\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n+2 - 3n-3]}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$अतः,माध्य $\frac{n+1}{2}$ है और प्रसरण $\frac{n^2-1}{12}$ है।

	भौतिकी	रसायन विज्ञान	गणित	जीव विज्ञान
माध्य	$20$	$25$	$23$	$27$
मानक विचलन	$3$	$2$	$4$	$5$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

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