प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के लिए माध्य और प् | vedclass

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Question

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:माध्य $= \frac{	ext{सभी प्रेक्षणों का योग}}{	ext{प्रेक्षणों की संख्या}} = \fr

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माध्य $= \frac{n+1}{2}$,प्रसरण $= \frac{n^2-1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:माध्य $= \frac{	ext{सभी प्रेक्षणों का योग}}{	ext{प्रेक्षणों की संख्या}} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$.सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए:$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ight] - \left( \frac{n+1}{2} ight)^2$$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$$\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$$\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12}$$\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n+2 - 3n-3]}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$अतः,माध्य $\frac{n+1}{2}$ है और प्रसरण $\frac{n^2-1}{12}$ है।

$X$	$5$	$6$	$7$	$8$	$10$
आवृत्ति	$3$	$7$	$4$	$2$	$4$

आकार $(x_i)$	$3.5$	$4.5$	$5.5$	$6.5$	$7.5$	$8.5$	$9.5$
आवृत्ति $(f_i)$	$3$	$7$	$22$	$60$	$85$	$32$	$8$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

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निम्नलिखित आवृत्ति वितरण के लिए प्रसरण ज्ञात कीजिए:
$X$ $5$ $6$ $7$ $8$ $10$
आवृत्ति $3$ $7$ $4$ $2$ $4$

निम्नलिखित डेटा का प्रसरण ज्ञात कीजिए:

आकार $(x_i)$ $3.5$ $4.5$ $5.5$ $6.5$ $7.5$ $8.5$ $9.5$

आवृत्ति $(f_i)$ $3$ $7$ $22$ $60$ $85$ $32$ $8$

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