कथन $1$: प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\frac{n^2 - 1}{3}$ है।
कथन $2$: प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $n^2$ है और प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\frac{n(4n^2 - 1)}{3}$ है।

$15$ अवलोकनों $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{15}$ वाले डेटा में,$\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 3600$ और $\sum_{i=1}^{15} x_i = 175$ दिया गया है। यदि एक अवलोकन $20$ का मान गलत पाया गया और उसे उसके सही मान $40$ से बदल दिया गया,तो उस डेटा का सही प्रसरण (variance) क्या होगा?

निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य,प्रसरण और मानक विचलन की गणना कीजिए।

वर्ग	$30-40$	$40-50$	$50-60$	$60-70$	$70-80$	$80-90$	$90-100$
बारंबारता $({f_i})$	$3$	$7$	$12$	$15$	$8$	$3$	$2$

$15$ प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः $8$ और $3$ पाया गया। पुनः जाँच करने पर पाया गया कि प्रेक्षणों में $20$ को गलती से $5$ पढ़ लिया गया था। तो,सही प्रसरण किसके बराबर है?

$20$ प्रेक्षणों का प्रसरण $5$ है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को $3$ से गुणा किया जाता है और फिर प्रत्येक संख्या में $8$ जोड़ा जाता है,तो परिणामी प्रेक्षणों का प्रसरण क्या होगा?

एक परीक्षण को पूरा करने में लिए गए समय के कुछ डेटा का माध्य और मानक विचलन निम्नलिखित परिणामों के साथ गणना की गई है:
अवलोकनों की संख्या $= 25$,माध्य $= 18.2 \text{ सेकंड}$,मानक विचलन $= 3.25 \text{ सेकंड}$.
इसके अलावा,$15$ अवलोकनों का एक और सेट $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}$ (सेकंड में) अब उपलब्ध है और हमारे पास $\sum_{i=1}^{15} x_{i} = 279$ और $\sum_{i=1}^{15} x_{i}^{2} = 5524$ है। सभी $40$ अवलोकनों के आधार पर मानक विचलन की गणना करें।