(x - 1)(x - frac{1}{2})(x - frac{1}{2^2}) dot | vedclass

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Question

(A) माना $P(x) = (x - 1)(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2^2}) \dots (x - \frac{1}{2^{49}})$.यह $50$ घात का बहुपद है।$x^{50}$ का गुणांक $1$ है।$x^{49}$

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$-2(1 - \frac{1}{2^{50}})$

Vedclass · Answer

(A) माना $P(x) = (x - 1)(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2^2}) \dots (x - \frac{1}{2^{49}})$.यह $50$ घात का बहुपद है।$x^{50}$ का गुणांक $1$ है।$x^{49}$ का गुणांक प्रत्येक गुणनखंड के अचर पदों के योग को $-1$ से गुणा करने पर प्राप्त होता है,जो $-(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{49}})$ है।यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 1$,$r = \frac{1}{2}$,और $n = 50$ पद हैं।योग $S_{50} = \frac{1(1 - (1/2)^{50})}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^{50}})$ है।अतः,$x^{49}$ का गुणांक $-2(1 - \frac{1}{2^{50}})$ है।

$(x - 1)(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2^2}) \dots (x - \frac{1}{2^{49}})$ के विस्तार में $x^{49}$ का गुणांक क्या है?

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