मान लीजिए {a_n} धनात्मक संख्याओं की एक G.P. क | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है $\alpha = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = a_2 + a_4 + \do

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$\frac{\alpha}{\beta}$

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(A) मान लीजिए $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है $\alpha = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200}$.यह $100$ पदों वाली एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $ar$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।अतः,$\alpha = ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.दिया गया है $\beta = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = a_1 + a_3 + \dots + a_{199}$.यह $100$ पदों वाली एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।अतः,$\beta = a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.$\alpha$ को $\beta$ से विभाजित करने पर:$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})}{a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})} = r$.अतः,सार्व अनुपात $\frac{\alpha}{\beta}$ है।

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