यदि a, b, c, d और p अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ | vedclass

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Question

(B) दी गई असमिका: $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2(ab + bc + cd)p + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ $(i)$हम बाईं ओर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$(a^2p^2 - 2

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$G.P.$

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(B) दी गई असमिका: $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2(ab + bc + cd)p + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ $(i)$हम बाईं ओर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bcp + c^2) + (c^2p^2 - 2cdp + d^2) \le 0$यह सरल होकर बनता है:$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$ $(ii)$चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग $0$ या उससे कम तभी हो सकता है जब प्रत्येक वर्ग पद $0$ हो:$(ap - b)^2 = 0, (bp - c)^2 = 0, (cp - d)^2 = 0$इसका अर्थ है:$ap = b, bp = c, cp = d$अतः:$\frac{b}{a} = p, \frac{c}{b} = p, \frac{d}{c} = p$चूंकि क्रमिक पदों का अनुपात स्थिर $(p)$ है,इसलिए अनुक्रम $a, b, c, d$ एक $G.P.$ में है।

यदि $a, b, c, d$ और $p$ अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2(ab + bc + cd)p + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$,तो $a, b, c, d$ किसमें हैं?

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यदि $a, b, c$ और $d$ $G.P.$ में हैं,तो सिद्ध कीजिए कि:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}+d^{2})=(ab+bc+cd)^{2}$

यदि $a, b, c, d$ और $p$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$,तो

यदि समीकरण $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ के मूल गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं,तो $\frac{b^3}{a^3}$ का मान क्या होगा?

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