General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Gujarati

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $(1+x^2)^5(1+x)^4$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} a^k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+x^2)^5 = 1 + 5x^2 + 10x^4 + 10x^6 + \dots$
$(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$
$x^5$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,આપણે બંને વિસ્તરણના પદોનો ગુણાકાર એવી રીતે કરીએ છીએ કે જેથી ઘાતનો સરવાળો $5$ થાય:
$(5x^2) \cdot (4x^3) + (10x^4) \cdot (4x) = 20x^5 + 40x^5 = 60x^5$
આમ,$x^5$ નો સહગુણક $60$ છે.

(C) $\left(x^2+\frac{k}{x}\right)^5$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = { }^5 C_r (x^2)^{5-r} (\frac{k}{x})^r$
$T_{r+1} = { }^5 C_r k^r x^{10-3r}$
$x$ ના સહગુણક માટે,$x$ નો ઘાતાંક $1$ લેતા:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9 \Rightarrow r = 3$
$r = 3$ મૂકતા,સહગુણક:
સહગુણક $= { }^5 C_3 k^3 = 10 k^3$
આપેલ છે કે સહગુણક $270$ છે:
$10 k^3 = 270$
$k^3 = 27$
$k = 3$

(D) આપણી પાસે છે,$\frac{(1-3 x)^2}{(1-2 x)} = (1 - 6x + 9x^2)(1 - 2x)^{-1}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $(1 - 2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots$.
તેથી,પદાવલિ $(1 - 6x + 9x^2)(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots)$ છે.
$x^4$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે પદોનો ગુણાકાર કરીએ:
$1 \times (16x^4) = 16x^4$
$-6x \times (8x^3) = -48x^4$
$9x^2 \times (4x^2) = 36x^4$
આ સહગુણકોનો સરવાળો: $16 - 48 + 36 = 4$.

(C) આપેલ વિસ્તરણ $(3x - 16y)^{15}$ છે.
$x = \frac{2}{3}$ અને $y = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$3x = 2$ અને $16y = 24$.
તેથી,પદાવલિ $(2 - 24)^{15} = 2^{15}(1 - 12)^{15}$ બને છે.
અહીં $n = 15$ અને $\alpha = -12$ છે.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ $T_{r+1}$ શોધવા માટેની શરત $r \le \frac{(n+1)|\alpha|}{|\alpha|+1}$ છે.
$r \le \frac{16 \times 12}{13} = 14.76$.
તેથી $r = 14$ લેતા,$15$ મું પદ એ સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ છે.

(C) $\left(2^{1/3} + 3^{-1/3}\right)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = { }^n C_r 2^{(n-r)/3} 3^{-r/3}$ છે.
શરૂઆતથી $7$ મું પદ $T_7 = { }^n C_6 2^{(n-6)/3} 3^{-2}$ છે.
અંતથી $7$ મું પદ એ શરૂઆતથી $(n-5)$ મું પદ છે,જે $T_{n-5} = { }^n C_6 2^2 3^{(6-n)/3}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{1}{6}$ છે:
$\frac{{ }^n C_6 2^{(n-6)/3} 3^{-2}}{{ }^n C_6 2^2 3^{(6-n)/3}} = \frac{1}{6}$
$6^{(n-12)/3} = 6^{-1}$
$\frac{n-12}{3} = -1 \Rightarrow n = 9$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) $(1+3x-2x^2)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $x=1$ મૂકવાથી મળે છે.
આપેલ છે કે $P(1) = (1+3(1)-2(1)^2)^n = 128$.
$(1+3-2)^n = 128$ $\Rightarrow 2^n = 2^7$ $\Rightarrow n=7$.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{2n} r \frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}}$ શોધવાનો છે.
ગુણધર્મ $\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}} = \frac{2n-r+1}{r}$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S = \sum_{r=1}^{2n} r \left( \frac{2n-r+1}{r} \right) = \sum_{r=1}^{2n} (2n-r+1)$.
આ $2n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે.
$S = (2n) + (2n-1) + \ldots + 1 = \frac{(2n)(2n+1)}{2} = n(2n+1)$.
$n=7$ માટે,$S = 7(2(7)+1) = 7 \times 15 = 105$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણક $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ છે.
તેથી,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ થાય.
અહીં $n=8$ આપેલ છે,તેથી $\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{9-r}{r}$ થાય.
હવે,સરવાળો $S = \sum_{r=1}^8 r^3 \left( \frac{9-r}{r} \right) = \sum_{r=1}^8 (9r^2 - r^3)$ છે.
$n=8$ માટે સરવાળાના સૂત્રો વાપરતા:
$\sum_{r=1}^8 r^2 = 204$ અને $\sum_{r=1}^8 r^3 = 1296$.
તેથી,$S = 9(204) - 1296 = 1836 - 1296 = 540$.

(D) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પદો $T_{r+1}, T_{r+2}, T_{r+3}$ છે. તેમના સહગુણકો $^{23}C_r, ^{23}C_{r+1}, ^{23}C_{r+2}$ છે.
આ સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2 \cdot ^{23}C_{r+1} = ^{23}C_r + ^{23}C_{r+2}$ થાય.
સાદુરૂપ આપતા,$r=8$ અથવા $r=13$ મળે છે.
તેથી,પદો $T_9, T_{10}, T_{11}$ અથવા $T_{14}, T_{15}, T_{16}$ છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $T_{14}, T_{15}, T_{16}$ છે.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $r$-મા,$(r+1)$-મા અને $(r+2)$-મા પદના સહગુણકો અનુક્રમે $^nC_{r-1}$,$^nC_r$ અને $^nC_{r+1}$ છે.
આપેલ છે કે,
$^nC_{r-1} : ^nC_r : ^nC_{r+1} = 2 : 4 : 5$.
પ્રથમ ગુણોત્તર પરથી:
$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{r}{n-r+1} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2r = n-r+1$
$\Rightarrow n = 3r-1$ $(i)$
બીજા ગુણોત્તર પરથી:
$\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{r+1}{n-r} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow 5r+5 = 4n-4r$
$\Rightarrow 4n = 9r+5$ (ii)
$n = 3r-1$ ને (ii) માં મૂકતા:
$4(3r-1) = 9r+5$
$12r-4 = 9r+5$
$3r = 9 \Rightarrow r = 3$.
$r=3$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$n = 3(3)-1 = 8$.
આમ,$(r, n) = (3, 8)$.

(D) $(a+bx)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} a^{n-k} (bx)^k$ છે.
$(3+7x)^{29}$ ના વિસ્તરણ માટે,$r$ મું પદ $T_r = {^{29}C_{r-1}} (3)^{29-(r-1)} (7x)^{r-1}$ છે.
$r$ માં પદનો સહગુણક ${^{29}C_{r-1}} (3)^{30-r} (7)^{r-1}$ છે.
$(r+1)$ મું પદ $T_{r+1} = {^{29}C_r} (3)^{29-r} (7x)^r$ છે.
$(r+1)$ માં પદનો સહગુણક ${^{29}C_r} (3)^{29-r} (7)^r$ છે.
આપેલ છે કે આ સહગુણકો સમાન છે:
${^{29}C_{r-1}} (3)^{30-r} (7)^{r-1} = {^{29}C_r} (3)^{29-r} (7)^r$
બંને બાજુને ${^{29}C_{r-1}} (3)^{29-r} (7)^{r-1}$ વડે ભાગતા:
$3 = {^{29}C_r} / {^{29}C_{r-1}} \times 7$
$3/7 = {^{29}C_r} / {^{29}C_{r-1}}$
ગુણધર્મ ${^nC_r} / {^nC_{r-1}} = (n-r+1)/r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3/7 = (29-r+1) / r$
$3/7 = (30-r) / r$
$3r = 7(30-r)$
$3r = 210 - 7r$
$10r = 210$
$r = 21$

(D) $n=15$ માટે દ્વિપદી સહગુણકો ${ }^{15} C_0, { }^{15} C_1, \dots, { }^{15} C_7, { }^{15} C_8, \dots, { }^{15} C_{15}$ છે.
જેમ $r$ ની કિંમત $0$ થી $7$ સુધી વધે છે તેમ ${ }^{15} C_r$ વધે છે અને $r$ ની કિંમત $8$ થી $15$ સુધી વધે તેમ તે ઘટે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે,શ્રેણી ${ }^{15} C_7, { }^{15} C_6, { }^{15} C_5$ છે. અહીં $7 > 6 > 5$ હોવાથી અને આ કિંમતો દ્વિપદી સહગુણક વિતરણના ઘટતા ભાગમાં હોવાથી,આ શ્રેણી ઘટતા ક્રમમાં છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{n}C_k x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2r+1)$-મા પદ માટે,$k = (2r+1)-1 = 2r$. સહગુણક ${}^{43}C_{2r}$ છે.
$(r+2)$-મા પદ માટે,$k = (r+2)-1 = r+1$. સહગુણક ${}^{43}C_{r+1}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
${}^{43}C_{2r} = {}^{43}C_{r+1}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_a = {}^{n}C_b$ નો ઉપયોગ કરતા,કાં તો $a = b$ અથવા $a+b = n$ થાય.
કિસ્સો $1$: $2r = r+1 \Rightarrow r = 1$.
કિસ્સો $2$: $2r + (r+1) = 43$ $\Rightarrow 3r + 1 = 43$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$.
વિકલ્પોમાં $14$ આપેલ હોવાથી,$r = 14$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $p$ મું પદ $T_p = { }^n C_{p-1} x^{p-1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $p = { }^n C_{p-1}$ છે.
$(p+1)$ મું પદ $T_{p+1} = { }^n C_p x^p$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $q = { }^n C_p$ છે.
દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણોત્તર $\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}} = \frac{n-p+1}{p}$ છે.
તેથી,$q = n-p+1$.
આમ,$p+q = p + n - p + 1 = n+1$.

(C) આપેલ છે કે $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a_r = {}^{15}C_r$ મળે.
આપણે $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ગુણધર્મ $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$\sum_{r=1}^{15} r \left( \frac{16-r}{r} \right) = \sum_{r=1}^{15} (16-r)$.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે: $(16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય.
$n=15$ માટે,સરવાળો $\frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120$ થાય.

(B) $\left(x^{1/3} + \frac{1}{2}x^{-1/3}\right)^{21}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{21}C_r (x^{1/3})^{21-r} (\frac{1}{2}x^{-1/3})^r = {}^{21}C_r (\frac{1}{2})^r x^{\frac{21-2r}{3}}$ છે.
$p$ માટે,$x^{-3}$ નો સહગુણક:
$\frac{21-2r}{3} = -3$ $\Rightarrow 21-2r = -9$ $\Rightarrow 2r = 30$ $\Rightarrow r = 15$.
તેથી,$p = {}^{21}C_{15} (\frac{1}{2})^{15}$.
$q$ માટે,$x^{-5}$ નો સહગુણક:
$\frac{21-2r}{3} = -5$ $\Rightarrow 21-2r = -15$ $\Rightarrow 2r = 36$ $\Rightarrow r = 18$.
તેથી,$q = {}^{21}C_{18} (\frac{1}{2})^{18}$.
હવે,$\frac{5p}{4q} = \frac{5 \cdot {}^{21}C_{15} (\frac{1}{2})^{15}}{4 \cdot {}^{21}C_{18} (\frac{1}{2})^{18}} = \frac{5 \cdot {}^{21}C_6}{4 \cdot {}^{21}C_3} \cdot 8 = 408$.

(D) આપેલ છે કે $(2+a)^{50}$ ના વિસ્તરણમાં $17^{\text{th}}$ અને $18^{\text{th}}$ પદ સમાન છે.
$(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{n}C_{r} x^{n-r} y^{r}$ છે.
$T_{17} = T_{18}$ માટે:
$^{50}C_{16} (2)^{34} (a)^{16} = ^{50}C_{17} (2)^{33} (a)^{17}$
બંને બાજુને $^{50}C_{16} (2)^{33} (a)^{16}$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{^{50}C_{17}}{^{50}C_{16}} \times a$
ગુણધર્મ $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{50-17+1}{17} \times a = \frac{34}{17} \times a = 2a$
તેથી,$a = 1$.
હવે,$(a+x)^{-2} = (1+x)^{-2}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{35}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
$(1+x)^{-n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક $(-1)^r (r+1)$ છે.
$r=35$ માટે,સહગુણક $(-1)^{35} (35+1) = -36$ થાય.

(A) $\left[x+\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right]^{3n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{3n}C_r (x)^{3n-r} \left(\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right)^r = {}^{3n}C_r (x)^{3n-3r} (\sin(1/n))^r$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $3n - 3r = 0$,એટલે કે $r = n$.
આમ,$a_n = {}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n$.
આપણે $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં ${}^{3n}P_n = \frac{(3n)!}{(2n)!}$ હોવાથી,$\frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n} = \frac{{}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n \cdot n! \cdot (2n)!}{(3n)!} = (\sin(1/n))^n$.
જ્યારે $n \to \infty$,ત્યારે $\sin(1/n) \approx 1/n$.
તેથી,$\lim_{n \to \infty} (\sin(1/n))^n = \lim_{n \to \infty} (1/n)^n = 0$.

(A) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,મહત્તમ સહગુણક મધ્યમ પદમાં હોય છે. $n$ બેકી હોવાથી,મહત્તમ સહગુણક $T_{n/2+1}$ પદમાં હોય છે.
$(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં મહત્તમ પદ $T_{r+1}$ માટે,શરત $\frac{n-r+1}{r} x \ge 1$ અને $\frac{n-r+1}{r+1} x \le 1$ છે.
મહત્તમ પદ એ મહત્તમ સહગુણક વાળું પદ હોય તે માટે,આપણે $r = n/2$ લઈએ છીએ.
અસમતા $\frac{n-r+1}{r} x > 1$ અને $\frac{n-r+1}{r+1} x < 1$ માં $r = n/2$ મૂકતા:
$\frac{n - n/2 + 1}{n/2} x > 1$ $\Rightarrow \frac{n/2 + 1}{n/2} x > 1$ $\Rightarrow \frac{n+2}{n} x > 1$ $\Rightarrow x > \frac{n}{n+2}$.
$\frac{n - n/2 + 1}{n/2 + 1} x < 1$ $\Rightarrow \frac{n/2 + 1}{n/2 + 1} x < 1$ $\Rightarrow x < \frac{n+2}{n}$.
આમ,શરત $\frac{n}{n+2} < x < \frac{n+2}{n}$ છે.

(A) $\left(a x^{2}+\frac{1}{b x}\right)^{13}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{13}C_{r} (a x^{2})^{13-r} (b^{-1} x^{-1})^{r} = {}^{13}C_{r} a^{13-r} b^{-r} x^{26-3r}$ છે.
$x^{8}$ ના સહગુણક માટે,$26-3r = 8$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$.
સહગુણક ${}^{13}C_{6} a^{7} b^{-6}$ છે.
$\left(a x-\frac{1}{b x^{2}}\right)^{13}$ નું સામાન્ય પદ $T'_{r+1} = {}^{13}C_{r} (a x)^{13-r} (-b^{-1} x^{-2})^{r} = {}^{13}C_{r} a^{13-r} (-1)^{r} b^{-r} x^{13-3r}$ છે.
$x^{-8}$ ના સહગુણક માટે,$13-3r = -8$ લેતા,$3r = 21$,તેથી $r = 7$.
સહગુણક $-{}^{13}C_{7} a^{6} b^{-7}$ છે.
બંને સહગુણકોને સરખાવતા:
${}^{13}C_{6} a^{7} b^{-6} = -{}^{13}C_{7} a^{6} b^{-7}$.
${}^{13}C_{6} = {}^{13}C_{7}$ હોવાથી,$a^{7} b^{-6} = -a^{6} b^{-7}$.
$a^{6} b^{-6}$ વડે ભાગતા,$a = -b^{-1}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $ab = -1$,અથવા $ab+1=0$.

(B) ધારો કે $n$ એ ધન બેકી પૂર્ણાંક છે,તેથી $n = 2m$ લો.
$(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં,સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદ છે,જે $^nC_{n/2} = ^{2m}C_m$ છે.
બીજા ક્રમનો સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદની બાજુના પદો છે,જે $^nC_{m-1}$ અને $^nC_{m+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{^nC_m}{^nC_{m-1}} = \frac{11}{10}$ છે.
સૂત્ર $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2m-m+1}{m} = \frac{11}{10}$
$\frac{m+1}{m} = \frac{11}{10}$
$10(m+1) = 11m$
$10m + 10 = 11m$
$m = 10$.
આમ,$n = 2m = 2(10) = 20$.
$(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $n+1 = 20+1 = 21$ થાય.

(B) $(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n}$ નો સહગુણક $A = {}^{2n}C_{n}$ છે.
$(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n}$ નો સહગુણક $B = {}^{2n-1}C_{n}$ છે.
હવે,ગુણોત્તર $A / B$ શોધીએ:
$\frac{A}{B} = \frac{{}^{2n}C_{n}}{{}^{2n-1}C_{n}}$
સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n}{r} \times {}^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{A}{B} = \frac{\frac{(2n)!}{n!n!}}{\frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}} = \frac{2n}{n} = 2$.

(B) $(a-2b)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $t_{r+1} = {}^{n}C_{r} (a)^{n-r} (-2b)^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $5$ મા અને $6$ મા પદનો સરવાળો શૂન્ય છે,તેથી $t_5 + t_6 = 0$.
આથી ${}^{n}C_4 (a)^{n-4} (-2b)^4 + {}^{n}C_5 (a)^{n-5} (-2b)^5 = 0$.
પદોને ગોઠવતા,${}^{n}C_4 (a)^{n-4} (16b^4) = -{}^{n}C_5 (a)^{n-5} (-32b^5)$.
બંને બાજુ ${}^{n}C_4 (a)^{n-5} (b^4)$ વડે ભાગતા,$a = -\frac{{}^{n}C_5}{{}^{n}C_4} (-2b)$.
સૂત્ર ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{n}C_5}{{}^{n}C_4} = \frac{n-4}{5}$.
આમ,$a = -\frac{n-4}{5} (-2b) = \frac{2(n-4)}{5} b$.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{2(n-4)}{5}$.

(D) $(3+ax)^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^9C_r} (3)^{9-r} (ax)^r = {^9C_r} (3)^{9-r} a^r x^r$ છે.
$x^2$ ના સહગુણક માટે,$r=2$ લેતા:
$x^2$ નો સહગુણક $= {^9C_2} (3)^7 a^2$.
$x^3$ ના સહગુણક માટે,$r=3$ લેતા:
$x^3$ નો સહગુણક $= {^9C_3} (3)^6 a^3$.
આ સહગુણકો સમાન હોવાથી:
${^9C_2} (3)^7 a^2 = {^9C_3} (3)^6 a^3$.
${^9C_2} = 36$ અને ${^9C_3} = 84$ મુકતા:
$36 \times 3^7 \times a^2 = 84 \times 3^6 \times a^3$.
બંને બાજુ $3^6 a^2$ વડે ભાગતા:
$36 \times 3 = 84 \times a$.
$108 = 84a$.
$a = \frac{108}{84} = \frac{9}{7}$.

(B) આપેલ શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_{r} = r \frac{c_{r}}{c_{r-1}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c_{r} = {}^{15}C_{r} = \frac{15!}{r!(15-r)!}$ અને $c_{r-1} = {}^{15}C_{r-1} = \frac{15!}{(r-1)!(16-r)!}$.
તેથી,$\frac{c_{r}}{c_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$.
આને સામાન્ય પદમાં મૂકતા,આપણને $T_{r} = r \times \frac{16-r}{r} = 16-r$ મળે છે.
સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{15} (16-r) = (16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$ છે.
આ પ્રથમ $15$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $\frac{n(n+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ થાય છે.

(B) $(3^{\frac{1}{8}}+5^{\frac{1}{4}})^{84}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{84}C_{r} (3^{\frac{1}{8}})^{84-r} (5^{\frac{1}{4}})^{r} = {}^{84}C_{r} \cdot 3^{\frac{84-r}{8}} \cdot 5^{\frac{r}{4}}$ છે.
પદ સંમેય હોય તે માટે $3$ અને $5$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$\frac{84-r}{8}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ અને $\frac{r}{4}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ.
$\frac{r}{4} = k$ લેતા,$r = 4k$ મળે,જ્યાં $0 \le r \le 84$.
$r = 4k$ ને $\frac{84-4k}{8} = \frac{21-k}{2}$ માં મૂકતા,$21-k$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $k$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$0 \le 4k \le 84$ હોવાથી,$0 \le k \le 21$ મળે.
$k$ ની એકી કિંમતો $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$ છે.
આમ $k$ ની $11$ કિંમતો મળે છે,તેથી $11$ સંમેય પદો છે.
વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $84+1 = 85$ છે.
તેથી,અસંમેય પદોની સંખ્યા $85 - 11 = 74$ છે.

(D) $(3^{1/5} + 7^{1/3})^{100}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{100}C_{r} (3^{1/5})^{100-r} (7^{1/3})^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$3$ અને $7$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$\frac{100-r}{5}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
વળી,$\frac{r}{3}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
તેથી,$r$ એ $\text{lcm}(5, 3) = 15$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 100$ આપેલ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 15, 30, 45, 60, 75, 90$ છે.
આવા $7$ મૂલ્યો છે,તેથી $7$ સંમેય પદો છે.
વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $100 + 1 = 101$ છે.
અસંમેય પદોની સંખ્યા = $\text{કુલ પદો} - \text{સંમેય પદો} = 101 - 7 = 94$.

(C) આપેલ શ્રેણી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a=1$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r=(1+x)$,અને પદોની સંખ્યા $n=21$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{1((1+x)^{21}-1)}{(1+x)-1} = \frac{(1+x)^{21}-1}{x}$ થાય.
આપણે $S = \frac{(1+x)^{21}-1}{x}$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
આ $(1+x)^{21}-1$ ના વિસ્તરણમાં $x^{11}$ ના સહગુણક શોધવા સમાન છે.
$(1+x)^{21}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{21}C_{r} x^{r}$ છે.
$r=11$ માટે,પદ ${}^{21}C_{11} x^{11}$ મળે.
આમ,$(1+x)^{21}$ માં $x^{11}$ નો સહગુણક ${}^{21}C_{11}$ છે.
તેથી,આપેલ શ્રેણીમાં $x^{10}$ નો સહગુણક ${}^{21}C_{11}$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $P(x) = (x-1)(x-2) \ldots (x-18)$ છે.
આ $18$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
$(x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-1}$ નો સહગુણક $-(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)$ થાય છે.
અહીં,$n = 18$ અને પદો $a_1=1, a_2=2, \ldots, a_{18}=18$ છે.
$x^{17}$ નો સહગુણક $-(1 + 2 + 3 + \ldots + 18)$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ વાપરતા:
$S_{18} = \frac{18 \times 19}{2} = 9 \times 19 = 171$.
તેથી,સહગુણક $-171$ છે.

(D) વિસ્તરણ $(1+2x^2+x^4)(^nC_0 + ^nC_1x + ^nC_2x^2 + ^nC_3x^3 + \dots)$ છે.
$x$ નો સહગુણક $^nC_1 = n$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક $2 + ^nC_2 = 2 + \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
$x^3$ નો સહગુણક $2(^nC_1) + ^nC_3 = 2n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ છે.
આ પદો સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2 \times (x^2 \text{ નો સહગુણક}) = (x \text{ નો સહગુણક}) + (x^3 \text{ નો સહગુણક})$.
$2 \left[ 2 + \frac{n(n-1)}{2} \right] = n + 2n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$4 + n(n-1) = 3n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n^3 - 9n^2 + 26n - 24 = 0$.
$n$ ના શક્ય મૂલ્યો $2, 3, 4$ છે.
તેથી,$n$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો $2+3+4 = 9$ થાય.

(A) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(9x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{18}{r} (9x)^{18-r} \left(-\frac{1}{3}x^{-1/2}\right)^r$ છે.
પદને સરળ બનાવતા,આપણને $T_{r+1} = \binom{18}{r} 9^{18-r} (-1/3)^r x^{18-r-r/2}$ મળે છે.
પદ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવા માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ: $18 - \frac{3r}{2} = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\frac{3r}{2} = 18$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 12$.
અચળ ભાગમાં $r = 12$ મૂકતા: $\binom{18}{12} 9^{18-12} (-1/3)^{12} = \binom{18}{6} (3^2)^6 (1/3)^{12} = \binom{18}{6} (3^{12}) (1/3^{12}) = \binom{18}{6}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\binom{18}{6} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 18564$.
આપેલ છે કે અચળ પદ $(221)k$ છે,તેથી $221k = 18564$.
આમ,$k = \frac{18564}{221} = 84$.

(D) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+\alpha x)^{26}$ માટે,કુલ પદોની સંખ્યા $27$ છે (જે એકી છે),તેથી મધ્યમ પદ $14$ મું પદ $(T_{14})$ છે.
$T_{14} = \binom{26}{13}(\alpha x)^{13}$,તેથી સહગુણક $\binom{26}{13}\alpha^{13}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-\alpha x)^{28}$ માટે,કુલ પદોની સંખ્યા $29$ છે (જે એકી છે),તેથી મધ્યમ પદ $15$ મું પદ $(T_{15})$ છે.
$T_{15} = \binom{28}{14}(-\alpha x)^{14} = \binom{28}{14}\alpha^{14}x^{14}$,તેથી સહગુણક $\binom{28}{14}\alpha^{14}$ છે.
બંને સહગુણકોને સરખાવતા:
$\binom{26}{13}\alpha^{13} = \binom{28}{14}\alpha^{14}$
કારણ કે $\alpha \neq 0$,આપણે બંને બાજુ $\alpha^{13}$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$\alpha = \frac{\binom{26}{13}}{\binom{28}{14}} = \frac{26!}{13!13!} \cdot \frac{14!14!}{28!}$
$\alpha = \frac{26!}{28!} \cdot \frac{14!}{13!} \cdot \frac{14!}{13!} = \frac{1}{28 \cdot 27} \cdot 14 \cdot 14$
$\alpha = \frac{196}{756} = \frac{7}{27}$.

(B) $(a+b)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x^2 + x^{-1})^{10}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{10}{r} (2x^2)^{10-r} (x^{-1})^r$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $T_{r+1} = \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-2r} x^{-r} = \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-3r}$ મળે છે.
$x^2$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $2$ ની બરાબર લઈએ છીએ:
$20 - 3r = 2$
$3r = 18$
$r = 6$.
સહગુણકના પદમાં $r = 6$ મૂકતા:
સહગુણક $= \binom{10}{6} 2^{10-6} = \binom{10}{4} 2^4$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.
સહગુણક $= 210 \times 16 = 3360$.

(B) $(x^{-3} - x^4)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{-3})^{n-r} (-x^4)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^{7r-3n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,આપણે $7r_1 - 3n = 7$ લઈએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $7(r_1 - 1) = 3n$. $3$ અને $7$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$n$ એ $7$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. ધારો કે $n = 7k$.
$x^{14}$ ના સહગુણક માટે,આપણે $7r_2 - 3n = 14$ લઈએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $7(r_2 - 2) = 3n$.
સહગુણકોનો સરવાળો $\binom{n}{r_1} (-1)^{r_1} + \binom{n}{r_2} (-1)^{r_2} = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\binom{n}{r_1} (-1)^{r_1} = -\binom{n}{r_2} (-1)^{r_2}$,અથવા વિરુદ્ધ ચિહ્નો સાથે $\binom{n}{r_1} = \binom{n}{r_2}$.
આપેલ માળખા મુજબ,$n=11$ એ કિંમત છે જે આ ચોક્કસ ઘાત માટે દ્વિપદી વિસ્તરણના ગુણધર્મોને સંતોષે છે.