Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $cx^2+bx+a=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha = \operatorname{cosec} \theta$ અને $\beta = \cot \theta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{c}$ અને $\alpha \beta = \frac{a}{c}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$,જેનો અર્થ થાય છે $\alpha^2 - \beta^2 = 1$.
આને $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$,તેથી $\alpha - \beta = \pm \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$1 = \left(-\frac{b}{c}\right) \left(\pm \sqrt{\frac{b^2}{c^2} - \frac{4a}{c}}\right)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 = \frac{b^2}{c^2} \left(\frac{b^2 - 4ac}{c^2}\right)$.
$1 = \frac{b^2(b^2 - 4ac)}{c^4}$.
તેથી,$b^2(b^2 - 4ac) = c^4$.

(D) ધારો કે $\alpha, \beta$ એ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ છે અને $\gamma, \delta$ એ $x^2+bx+a=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta = -a, \alpha\beta = b$
$\gamma+\delta = -b, \gamma\delta = a$
આપેલ છે કે બીજ વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે:
$|\alpha-\beta| = |\gamma-\delta|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\alpha-\beta)^2 = (\gamma-\delta)^2$
$(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (\gamma+\delta)^2 - 4\gamma\delta$
$(-a)^2 - 4b = (-b)^2 - 4a$
$a^2 - 4b = b^2 - 4a$
$a^2 - b^2 + 4a - 4b = 0$
$(a-b)(a+b) + 4(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b+4) = 0$
અહીં $a \neq b$ હોવાથી,$a-b \neq 0$ થાય.
તેથી,$a+b+4 = 0$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-10x-8=0$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2 - 10\alpha - 8 = 0 \implies \alpha^2 - 8 = 10\alpha$
$\beta^2 - 10\beta - 8 = 0 \implies \beta^2 - 8 = 10\beta$
આપણે $\frac{a_{10}-8a_8}{5a_9}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ મૂકતા:
$\frac{(\alpha^{10}-\beta^{10}) - 8(\alpha^8-\beta^8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{(\alpha^{10}-8\alpha^8) - (\beta^{10}-8\beta^8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2-8) - \beta^8(\beta^2-8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$\alpha^2-8=10\alpha$ અને $\beta^2-8=10\beta$ સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\alpha^8(10\alpha) - \beta^8(10\beta)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{10\alpha^9 - 10\beta^9}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{10(\alpha^9-\beta^9)}{5(\alpha^9-\beta^9)} = 2$.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^n$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$.
આપણે પદાવલિ $E = (ac^n)^{1/(n+1)} + (a^nc)^{1/(n+1)}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$c = a\alpha^{n+1}$ મૂકતા:
$E = (a(a\alpha^{n+1})^n)^{1/(n+1)} + (a^n(a\alpha^{n+1}))^{1/(n+1)}$
$E = (a^{n+1} \alpha^{n(n+1)})^{1/(n+1)} + (a^{n+1} \alpha^{n+1})^{1/(n+1)}$
$E = a\alpha^n + a\alpha$
$E = a(\alpha^n + \alpha)$
$\alpha^n + \alpha = -\frac{b}{a}$ મૂકતા:
$E = a(-\frac{b}{a}) = -b$.

(A) આપેલ છે $\frac{x_1^5+x_2^5}{x_1^3+x_2^3} = \frac{11}{3}$.
નિત્યસમ $a^5+b^5 = (a^2+b^2)(a^3+b^3) - a^2b^2(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(x_1^2+x_2^2)(x_1^3+x_2^3) - x_1^2x_2^2(x_1+x_2)}{x_1^3+x_2^3} = \frac{11}{3}$
$(x_1^2+x_2^2) - \frac{x_1^2x_2^2(x_1+x_2)}{(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)} = \frac{11}{3}$
અહીં $x_1^2+x_2^2 = 5$ હોવાથી,$5 - \frac{x_1^2x_2^2}{5-x_1x_2} = \frac{11}{3}$ મળે.
ધારો કે $x_1x_2 = t$. તો $5 - \frac{t^2}{5-t} = \frac{11}{3}$.
$3(25 - 5t - t^2) = 55 - 11t \Rightarrow 3t^2 + 4t - 20 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = 2$ અથવા $t = -10/3$ મળે.
જો $t = 2$ હોય,તો $(x_1+x_2)^2 = x_1^2+x_2^2 + 2x_1x_2 = 5 + 2(2) = 9$,તેથી $x_1+x_2 = \pm 3$.
જો $t = -10/3$ હોય,તો $(x_1+x_2)^2 = 5 + 2(-10/3) = -5/3 < 0$,જે વાસ્તવિક બીજ માટે શક્ય નથી.
આમ,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 \pm 3x + 2 = 0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $a x^2+b x+c=0$ ના બીજ છે.
ધારો કે નવા સમીકરણના બીજ $t = \sqrt{5} \alpha$ અને $t = \sqrt{5} \beta$ છે.
તેથી $\alpha = \frac{t}{\sqrt{5}}$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$a(\frac{t}{\sqrt{5}})^2 + b(\frac{t}{\sqrt{5}}) + c = 0$
$\frac{a t^2}{5} + \frac{b t}{\sqrt{5}} + c = 0$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ગુણતા:
$a t^2 + 5 \frac{b t}{\sqrt{5}} + 5 c = 0$
$a t^2 + \sqrt{5} b t + 5 c = 0$
$t$ ને $x$ વડે બદલતા,માંગેલ સમીકરણ $a x^2 + \sqrt{5} b x + 5 c = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
આપેલ છે કે $\alpha+\beta=11$ અને $\alpha^2+\beta^2=61$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા: $(11)^2 = 61 + 2\alpha\beta$.
$121 = 61 + 2\alpha\beta$ $\Rightarrow 2\alpha\beta = 60$ $\Rightarrow \alpha\beta = 30$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - 11x + 30 = 0$.

(D) આપેલ છે કે,$\alpha$ અને $\beta$ એ $2x^2 + 6x + k = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = -\frac{6}{2} = -3$ અને $\alpha\beta = \frac{k}{2}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{(-3)^2 - 2(k/2)}{k/2} = \frac{9 - k}{k/2} = \frac{18 - 2k}{k} = \frac{18}{k} - 2$.
$k < 0$ હોવાથી,ધારો કે $f(k) = \frac{18}{k} - 2$.
જેમ $k$ વધુ ઋણ થાય (એટલે કે $k \to -\infty$),તેમ $\frac{18}{k} \to 0$,તેથી $f(k) \to -2$.
$k < 0$ માટે,પદાવલિ $\frac{18}{k} - 2$ હંમેશા $-2$ કરતા નાની હોય છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $\left[\frac{18}{k} - 2\right]$ ની $k < 0$ માટે મહત્તમ કિંમત $-2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\tan 30^{\circ}$ અને $\tan 15^{\circ}$ એ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ}-30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
બીજનો સરવાળો: $-a = \tan 30^{\circ} + \tan 15^{\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}$.
તેથી,$a = -\frac{4}{3+\sqrt{3}}$.
બીજનો ગુણાકાર: $b = \tan 30^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}$.
હવે,$1+a-b = 1 - \frac{4}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}-4-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = 0$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $11 x^2 + 12 x - 13 = 0$ છે।
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = -\frac{12}{11}$ અને $\alpha \beta = -\frac{13}{11}$ મળે.
આપણે $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2 \beta^2}$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta}{(\alpha \beta)^2} = \frac{(-\frac{12}{11})^2 - 2(-\frac{13}{11})}{(-\frac{13}{11})^2}$.
$= \frac{\frac{144}{121} + \frac{26}{11}}{\frac{169}{121}} = \frac{\frac{144 + 286}{121}}{\frac{169}{121}} = \frac{430}{169}$.
$\frac{430}{169} \approx 2.544$.
આમ,કિંમત આશરે $2.54$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $i x^2 - 2(i + 1) x + (2 - i) = 0$.
ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપણને એક બીજ $\alpha = 2 - i$ આપેલ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = \frac{c}{a}$ થાય.
અહીં,$a = i$ અને $c = 2 - i$ છે.
તેથી,$(2 - i) \times \beta = \frac{2 - i}{i}$.
બંને બાજુ $(2 - i)$ વડે ભાગતા,આપણને $\beta = \frac{1}{i}$ મળે.
અંશ અને છેદને $i$ વડે ગુણતા,$\beta = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$ મળે.
આમ,બીજું બીજ $-i$ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = 2x^3 + mx^2 - 13x + n$.
$2$ અને $3$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ હોવાથી,$f(2) = 0$ અને $f(3) = 0$ થાય.
$f(2) = 0$ માટે: $2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0$ $\Rightarrow 16 + 4m - 26 + n = 0$ $\Rightarrow 4m + n = 10 \dots (i)$.
$f(3) = 0$ માટે: $2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0$ $\Rightarrow 54 + 9m - 39 + n = 0$ $\Rightarrow 9m + n = -15 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10$ $\Rightarrow 5m = -25$ $\Rightarrow m = -5$.
$m = -5$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા: $4(-5) + n = 10$ $\Rightarrow -20 + n = 10$ $\Rightarrow n = 30$.
આમ,$m = -5$ અને $n = 30$ મળે છે.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ: $9x^3 + 112x^2 - 120x + a = 0$.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = 12$ આપેલ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $-\frac{D}{A}$ થાય છે.
અહીં,$A = 9$ અને $D = a$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-\frac{a}{9} = 12$.
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા: $-a = 12 \times 9 = 108$.
તેથી,$a = -108$.

(NONE) સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6=0$ માટે,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$\alpha\beta\gamma = 6$
આપણે $\Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2 + 3\alpha\beta\gamma$.
તેથી,$\Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2 = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma$.
કિંમતો મૂકતા:
$= (6)(11) - 3(6) = 66 - 18 = 48$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+4x-19=0$ ના બીજ છે.
કારણ કે $\alpha$ એ બીજ છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$\alpha^3 + 4\alpha - 19 = 0$
$\Rightarrow \alpha^3 = 19 - 4\alpha$
બંને બાજુ $(19 - 4\alpha)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\alpha^3}{19 - 4\alpha} = 1$
તે જ રીતે,$\beta$ અને $\gamma$ પણ સમાન સમીકરણના બીજ હોવાથી:
$\frac{\beta^3}{19 - 4\beta} = 1$
$\frac{\gamma^3}{19 - 4\gamma} = 1$
આ ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\alpha^3}{19-4\alpha} + \frac{\beta^3}{19-4\beta} + \frac{\gamma^3}{19-4\gamma} = 1 + 1 + 1 = 3$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2-bx}{ax-c} = \frac{m-1}{m+1}$
ગુણાકાર કરતા: $(x^2-bx)(m+1) = (m-1)(ax-c)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2(m+1) - bx(m+1) = ax(m-1) - c(m-1)$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^2(m+1) - x(b(m+1) + a(m-1)) + c(m-1) = 0$
ધારો કે બીજ $p$ અને $-p$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-\frac{B}{A}$ થાય છે.
બીજનો સરવાળો $p + (-p) = 0$ હોવાથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$b(m+1) + a(m-1) = 0$
$bm + b + am - a = 0$
$m(a+b) = a-b$
તેથી,$m = \frac{a-b}{a+b}$

(B) આપેલ બહુપદી સમીકરણ: $x^4-3x^2+6x-12=0$ ... $(i)$
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=0, c=-3, d=6, e=-12$ મળે છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 0$.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = -\delta$,$\alpha+\delta+\gamma = -\beta$,$\alpha+\beta+\delta = -\gamma$,અને $\delta+\beta+\gamma = -\alpha$.
વળી,$\Sigma \alpha\beta\gamma = -6$ અને $\alpha\beta\gamma\delta = -12$.
આ કિંમતો મૂકતા: $-(\frac{1}{\delta} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\alpha}) = -(\frac{\Sigma \alpha\beta\gamma}{\alpha\beta\gamma\delta}) = -(\frac{-6}{-12}) = -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+px+q=0$ છે ... $(i)$
$ax^2+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=p, c=q$ મળે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $\alpha = \beta^2$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -p \Rightarrow \beta^2 + \beta = -p$ ... (ii)
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = q$ $\Rightarrow \beta^2 \cdot \beta = q$ $\Rightarrow \beta^3 = q$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) ની બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(\beta^2 + \beta)^3 = (-p)^3$
$\beta^6 + \beta^3 + 3\beta^2 \cdot \beta(\beta^2 + \beta) = -p^3$
$\beta^3 = q$ અને $\beta^2 + \beta = -p$ મુકતા:
$(q)^2 + q + 3q(-p) = -p^3$
$q^2 + q - 3pq = -p^3$
$p^3 - 3pq = -q^2 - q$
$p(p^2 - 3q) = -q(q+1)$
$p(3q - p^2) = q(q+1)$

(B) આપેલ છે કે,$\alpha, \beta$ અને $\gamma$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-3x^2+x+5=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 3$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -5$
હવે,$y = \Sigma \alpha^2 + \alpha \beta \gamma = (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) + \alpha \beta \gamma$.
નિત્યસમ $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = (3)^2 - 2(1) + (-5) = 9 - 2 - 5 = 2$.
$y=2$ હોવાથી,આપણે ચકાસીએ કે કયું સમીકરણ $y=2$ દ્વારા સંતોષાય છે:
વિકલ્પ $B$ માટે: $y^3-y^2-y-2 = (2)^3 - (2)^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$.
આમ,$y=2$ એ સમીકરણ $y^3-y^2-y-2=0$ નું સમાધાન કરે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + ax + c = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{a}{a} = -1$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
બીજનો ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$ આપેલ છે.
આપણે $\sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ શોધવાનું છે.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha \beta}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-1}{\sqrt{\frac{c}{a}}} = -\sqrt{\frac{a}{c}}$.
વિકલ્પો મુજબ ધન કિંમત લેતા,જવાબ $\sqrt{\frac{a}{c}}$ મળે છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $\alpha+\beta=1$ અને $\alpha^2+\beta^2=13$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1^2 = 13 + 2\alpha\beta$.
$1 = 13 + 2\alpha\beta$ $\Rightarrow 2\alpha\beta = -12$ $\Rightarrow \alpha\beta = -6$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (1)x + (-6) = 0 \Rightarrow x^2-x-6=0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ છે.
અહીં બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ એકમના કાલ્પનિક ઘનમૂળ છે,એટલે કે $\omega$ અને $\omega^2$.
તેથી,$\alpha^3 = 1$ અને $\beta^3 = 1$.
સમીકરણ પરથી,$\alpha + \beta = -1$ અને $\alpha \beta = 1$.
આપણે $\alpha^4 + \beta^4$ શોધવાનું છે.
$\alpha^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha = 1 \cdot \alpha = \alpha$.
તે જ રીતે,$\beta^4 = \beta^3 \cdot \beta = 1 \cdot \beta = \beta$.
તેથી,$\alpha^4 + \beta^4 = \alpha + \beta$.
$\alpha + \beta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\alpha^4 + \beta^4 = -1$ મળે છે.

(B) ધારો કે બહુપદી $f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 24$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
જેના બીજ $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ હોય તેવું સમીકરણ મેળવવા માટે,મૂળ સમીકરણ $f(x) = 0$ માં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{1}{x}$ મૂકતા.
$\left(\frac{1}{x}\right)^3 - 9\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 26\left(\frac{1}{x}\right) - 24 = 0$.
આખા સમીકરણને $-x^3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$-1 + 9x - 26x^2 + 24x^3 = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $24x^3 - 26x^2 + 9x - 1 = 0$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $p x^2 + q x + r = 0$ ના બીજ છે. $p, q, r$ એ $AP$ માં હોવાથી,$2q = p + r$ થાય.
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$ પરથી,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = 4$ મળે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ અને $\alpha \beta = \frac{r}{p}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{-q/p}{r/p} = -\frac{q}{r} = 4$,તેથી $q = -4r$.
$p + r = 2q$ હોવાથી,$p + r = 2(-4r) = -8r$,જેનો અર્થ છે કે $p = -9r$.
હવે,$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{D}}{|p|} = \frac{\sqrt{q^2 - 4pr}}{|p|}$.
$q = -4r$ અને $p = -9r$ મૂકતા:
$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{(-4r)^2 - 4(-9r)(r)}}{|-9r|} = \frac{\sqrt{16r^2 + 36r^2}}{9|r|} = \frac{\sqrt{52r^2}}{9|r|} = \frac{2|r|\sqrt{13}}{9|r|} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+p x+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = -p$ અને $\alpha \beta = q$ મળે.
$\alpha^3+\beta^3$ માટે:
$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha \beta+\beta^2) = (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3 \alpha \beta] = (-p)[(-p)^2-3 q] = -p(p^2-3 q) = 3 p q-p^3$.
$\alpha^4+\alpha^2 \beta^2+\beta^4$ માટે:
$\alpha^4+\alpha^2 \beta^2+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - \alpha^2 \beta^2 = [(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta]^2 - (\alpha \beta)^2 = [(-p)^2-2 q]^2 - q^2 = (p^2-2 q)^2 - q^2$.
નિત્યસમ $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(p^2-2 q-q)(p^2-2 q+q) = (p^2-3 q)(p^2-q)$ મળે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+3x^3-6x^2+2x-4=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ અને $\frac{1}{\delta}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ મેળવવા માટે,મૂળ સમીકરણમાં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{1}{x}$ મૂકતા:
$(\frac{1}{x})^4 + 3(\frac{1}{x})^3 - 6(\frac{1}{x})^2 + 2(\frac{1}{x}) - 4 = 0$
આખા સમીકરણને $x^4$ વડે ગુણતા:
$1 + 3x - 6x^2 + 2x^3 - 4x^4 = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$-4x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 3x - 1 = 0$

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
ધારો કે $y = x^2$,તેથી $x = \sqrt{y}$.
મૂળ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(\sqrt{y})^3 - 6(\sqrt{y})^2 + 11\sqrt{y} - 6 = 0$.
$y\sqrt{y} - 6y + 11\sqrt{y} - 6 = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $\sqrt{y}(y+11) = 6(y+1)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y(y+11)^2 = 36(y+1)^2$.
$y(y^2 + 22y + 121) = 36(y^2 + 2y + 1)$.
$y^3 + 22y^2 + 121y = 36y^2 + 72y + 36$.
$y^3 - 14y^2 + 49y - 36 = 0$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,માંગેલ સમીકરણ $x^3-14x^2+49x-36=0$ મળે છે.

(A) આપેલ ઘન સમીકરણ $3x^3 - 9x^2 + 5x - 7 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -9$,$c = 5$ અને $d = -7$ મળે છે.
ઘન સમીકરણ માટે બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-9}{3} = \frac{9}{3} = 3$ મળે છે.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma$ ની કિંમત $3$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{2\alpha}{3-4\alpha}$. તેથી $2\alpha = 3y - 4\alpha y$,જે સૂચવે છે કે $\alpha(2+4y) = 3y$,તેથી $\alpha = \frac{3y}{2+4y}$.
કારણ કે $\alpha$ એ $x^2+7x+3=0$ નું બીજ છે,આપણે $\alpha$ ની કિંમત મૂકીએ:
$(\frac{3y}{2+4y})^2 + 7(\frac{3y}{2+4y}) + 3 = 0$.
$(2+4y)^2 = 16y^2+16y+4$ વડે ગુણતા:
$9y^2 + 21y(2+4y) + 3(16y^2+16y+4) = 0$.
$9y^2 + 42y + 84y^2 + 48y^2 + 48y + 12 = 0$.
$141y^2 + 90y + 12 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $47y^2 + 30y + 4 = 0$.
$ax^2+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=47, b=30, c=4$ મળે છે. $GCD(47, 30, 4) = 1$ હોવાથી,આ કિંમતો માન્ય છે.
તેથી,$a+b+c = 47+30+4 = 81$.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-ax^2+bx-c=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
આપણે $\Sigma \alpha^2(\beta+\gamma)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha+\beta+\gamma = a$ હોવાથી,$\beta+\gamma = a-\alpha$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\Sigma \alpha^2(a-\alpha) = a\Sigma \alpha^2 - \Sigma \alpha^3$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Sigma \alpha^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = a^2-2b$.
વળી,ત્રિઘાત સમીકરણ માટે ઘનનો સરવાળો $\Sigma \alpha^3$ નીચે મુજબ મળે:
$\Sigma \alpha^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\Sigma \alpha^2 - \Sigma \alpha\beta)$
$\Sigma \alpha^3 = a(a^2-2b-b) + 3c = a^3-3ab+3c$.
હવે,આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a(a^2-2b) - (a^3-3ab+3c) = a^3-2ab-a^3+3ab-3c = ab-3c$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6=0$ છે.
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x-1)(x-2)(x-3)=0$ મળે છે.
તેથી,બીજ $\alpha=1, \beta=2, \gamma=3$ છે.
હવે,નવા બીજની ગણતરી કરીએ:
$\alpha' = \alpha^2+\beta^2 = 1^2+2^2 = 5$
$\beta' = \beta^2+\gamma^2 = 2^2+3^2 = 13$
$\gamma' = \gamma^2+\alpha^2 = 3^2+1^2 = 10$
જરૂરી સમીકરણ $x^3 - (\alpha'+\beta'+\gamma')x^2 + (\alpha'\beta'+\beta'\gamma'+\gamma'\alpha')x - \alpha'\beta'\gamma' = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો: $5+13+10 = 28$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $(5 \times 13) + (13 \times 10) + (10 \times 5) = 65 + 130 + 50 = 245$.
બીજનો ગુણાકાર: $5 \times 13 \times 10 = 650$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^3 - 28x^2 + 245x - 650 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+4kx+12e^{3\log k}-1=0$ છે.
$e^{\log a} = a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$e^{3\log k} = e^{\log k^3} = k^3$ મળે.
આમ,સમીકરણ $x^2+4kx+12k^3-1=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,ગુણાકાર $12k^3-1$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $323$ આપેલ હોવાથી,$12k^3-1 = 323$.
$12k^3 = 324$ $\Rightarrow k^3 = 27$ $\Rightarrow k = 3$.
બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -4k$ છે.
$k=3$ મૂકતા,બીજનો સરવાળો $-4(3) = -12$ મળે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-4x+5=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,આપણને મળે છે $\alpha+\beta=4$ અને $\alpha\beta=5$.
ધારો કે નવા બીજ $S_1 = \alpha^2+\beta$ અને $S_2 = \alpha+\beta^2$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો:
$S_1+S_2 = (\alpha^2+\beta)+(\alpha+\beta^2) = (\alpha^2+\beta^2)+(\alpha+\beta)$
$= ((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta)+(\alpha+\beta)$
$= (4^2-2(5))+4 = (16-10)+4 = 6+4 = 10$.
નવા બીજનો ગુણાકાર:
$S_1 \times S_2 = (\alpha^2+\beta)(\alpha+\beta^2) = \alpha^3+\alpha^2\beta^2+\alpha\beta+\beta^3$
$= (\alpha^3+\beta^3)+(\alpha\beta)^2+\alpha\beta$
$= ((\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta))+(\alpha\beta)^2+\alpha\beta$
$= (4^3-3(5)(4))+(5)^2+5$
$= (64-60)+25+5 = 4+30 = 34$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-(S_1+S_2)x+(S_1 \times S_2) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2-10x+34=0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
સમીકરણ $ax^2-bx(x-1)+c(x-1)^2=0$ ને $(x-1)^2$ વડે ભાગતા:
$a(\frac{x}{x-1})^2 - b(\frac{x}{x-1}) + c = 0$.
ધારો કે $y = \frac{x}{x-1}$,તો $ay^2 - by + c = 0$.
આ સમીકરણના બીજ $y = \alpha$ અને $y = \beta$ મળે.
તેથી,$\frac{x}{x-1} = \alpha \implies x = \frac{\alpha}{\alpha-1}$ અને $\frac{x}{x-1} = \beta \implies x = \frac{\beta}{\beta-1}$.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે,ભૌમિતિક મધ્યક ($G$.$M$.) $= \sqrt{ab} = 2$,તેથી $ab = 4$ (સમીકરણ $i$).
હાર્મોનિક મધ્યક ($H$.$M$.) $= \frac{2ab}{a+b} = -\frac{8}{5}$.
$H$.$M$. ના સૂત્રમાં $ab = 4$ મૂકતા:
$\frac{2(4)}{a+b} = -\frac{8}{5} \implies \frac{8}{a+b} = -\frac{8}{5} \implies a+b = -5$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $2a$ અને $2b$ છે.
બીજનો સરવાળો $= 2a + 2b = 2(a+b) = 2(-5) = -10$.
બીજનો ગુણાકાર $= (2a)(2b) = 4ab = 4(4) = 16$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$x^2 - (-10)x + 16 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 10x + 16 = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ $x^2+px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\tan \alpha + \tan \beta = -p$ અને $\tan \alpha \tan \beta = q$.
ધારો કે $E = \sin^2(\alpha+\beta) + p\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha+\beta) + q\cos^2(\alpha+\beta)$.
પદાવલિને $\cos^2(\alpha+\beta)$ વડે ભાગતા,$E = \cos^2(\alpha+\beta) [\tan^2(\alpha+\beta) + p\tan(\alpha+\beta) + q]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-p}{1-q} = \frac{p}{q-1}$.
આ કિંમત કૌંસમાં મૂકતા: $\tan^2(\alpha+\beta) + p\tan(\alpha+\beta) + q = \frac{p^2}{(q-1)^2} + p(\frac{p}{q-1}) + q = \frac{q((q-1)^2 + p^2)}{(q-1)^2}$.
હવે,$\cos^2(\alpha+\beta) = \frac{1}{1+\tan^2(\alpha+\beta)} = \frac{(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2}$.
તેથી,$E = \frac{(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2} \times \frac{q((q-1)^2 + p^2)}{(q-1)^2} = q$.

(B) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-7x^2+0x+36=0$ ના બીજ $\alpha, 2\alpha,$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + 2\alpha + \beta = 7 \implies 3\alpha + \beta = 7 \implies \beta = 7 - 3\alpha$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha(2\alpha) + 2\alpha\beta + \beta\alpha = 0 \implies 2\alpha^2 + 3\alpha\beta = 0$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$\alpha$ વડે ભાગતા: $2\alpha + 3\beta = 0$.
$\beta = 7 - 3\alpha$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $2\alpha + 3(7 - 3\alpha) = 0$.
$2\alpha + 21 - 9\alpha = 0 \implies -7\alpha = -21 \implies \alpha = 3$.
તેથી બીજ $\alpha = 3$ અને $2\alpha = 6$ મળે.
આ બે બીજનો સરવાળો $3 + 6 = 9$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ છે.
ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ આ સમીકરણના બીજો છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
બીજો વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $HM = 4$,તેથી:
$\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$
$\alpha+\beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \times \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(C) આપેલ છે કે,$\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2-2x+4=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha+\beta = 2$ ...$(i)$
$\alpha\beta = 4$ ...$(ii)$
હવે,આપણે $\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2)^3 + (\beta^2)^3$ લખી શકીએ.
વૈકલ્પિક રીતે,નોંધો કે $x^2-2x+4=0$ ના બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$ છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$1 \pm \sqrt{3}i = 2(\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{\pm i\pi/3}$ છે.
આમ,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ અને $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ છે.
તેથી,$\alpha^6 = (2e^{i\pi/3})^6 = 2^6 e^{i2\pi} = 64(1) = 64$.
તે જ રીતે,$\beta^6 = (2e^{-i\pi/3})^6 = 2^6 e^{-i2\pi} = 64(1) = 64$.
તેથી,$\alpha^6+\beta^6 = 64+64 = 128$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $m:n$ ગુણોત્તરમાં હોય તેની શરત $mnb^2 = ac(m+n)^2$ છે.
$(i)$ જો $\alpha = \beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $1:1$ છે. સૂત્રમાં $m=1, n=1$ મૂકતા: $(1)(1)b^2 = ac(1+1)^2 \Rightarrow b^2 = 4ac$. જે $(E)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(ii)$ જો $\alpha = 2\beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $2:1$ છે. $m=2, n=1$ મૂકતા: $(2)(1)b^2 = ac(2+1)^2 \Rightarrow 2b^2 = 9ac$. જે $(B)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(iii)$ જો $\alpha = 3\beta$ હોય,તો ગુણોત્તર $3:1$ છે. $m=3, n=1$ મૂકતા: $(3)(1)b^2 = ac(3+1)^2 \Rightarrow 3b^2 = 16ac$. જે $(D)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(iv)$ જો $\alpha = \beta^2$ હોય,તો $\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$. $\alpha = \beta^2$ મૂકતા,આપણને $\beta^2 + \beta = -b/a$ અને $\beta^3 = c/a$ મળે. તેથી $\beta = (c/a)^{1/3}$. આને $\beta^2 + \beta = -b/a$ માં મૂકતા: $(c/a)^{2/3} + (c/a)^{1/3} = -b/a$. $a$ વડે ગુણતા: $a(c/a)^{2/3} + a(c/a)^{1/3} = -b \Rightarrow (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$. જે $(A)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $(i)-E, (ii)-B, (iii)-D, (iv)-A$ છે.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^3-13x^2+15x+189=0$ ના બીજ $\alpha, \alpha+2$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1) \alpha + (\alpha+2) + \beta = 13 \implies 2\alpha + \beta = 11 \implies \beta = 11 - 2\alpha$
$2) \alpha(\alpha+2) + (\alpha+2)\beta + \alpha\beta = 15$
$3) \alpha(\alpha+2)\beta = -189$
ત્રીજા સમીકરણમાં $\beta = 11 - 2\alpha$ મૂકતા:
$\alpha(\alpha+2)(11-2\alpha) = -189$
$\alpha = 7$ લેતા,સમીકરણ સંતોષાય છે.
તેથી,બીજ $-3, 7, 9$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3 - 10x^2 + 7x + 8 = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha + \beta + \gamma = 10$ ($A$-$5$)
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 7$
$\alpha\beta\gamma = -8$
હવે,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = (10)^2 - 2(7) = 100 - 14 = 86$ ($B$-$3$)
આગળ,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{7}{-8} = -\frac{7}{8}$ ($C$-$2$)
છેલ્લે,$\frac{\alpha}{\beta\gamma} + \frac{\beta}{\gamma\alpha} + \frac{\gamma}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}{\alpha\beta\gamma} = \frac{86}{-8} = -\frac{43}{4}$ ($D$-$1$)
આમ,સાચી જોડ $A-5, B-3, C-2, D-1$ છે.