Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} + \lambda x - 1 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{\lambda}{3}$ અને $\alpha\beta = -\frac{1}{3}$ છે.
બીજના વ્યસ્તના વર્ગોનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha^{2}} + \frac{1}{\beta^{2}} = 15$ આપેલ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^{2}} = 15$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(-\lambda/3)^{2} - 2(-1/3)}{(-1/3)^{2}} = 15$.
$\frac{\lambda^{2}/9 + 2/3}{1/9} = 15 \implies \lambda^{2} + 6 = 15 \implies \lambda^{2} = 9$.
હવે,$6(\alpha^{3} + \beta^{3})^{2}$ ની ગણતરી કરીએ.
$\alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^{2} - 3\alpha\beta) = (-\frac{\lambda}{3})(\frac{\lambda^{2}}{9} + 1)$.
$\lambda^{2} = 9$ હોવાથી,$\alpha^{3} + \beta^{3} = (-\frac{\lambda}{3})(1 + 1) = -\frac{2\lambda}{3}$.
તેથી $6(\alpha^{3} + \beta^{3})^{2} = 6(-\frac{2\lambda}{3})^{2} = 6(\frac{4 \times 9}{9}) = 24$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{4}-3x^{3}-2x^{2}+3x-9=0$ છે.
અવયવ પાડતા $(x^{2}+3)(x^{2}-3x-3)=0$ મળે છે.
$x^{2}+3=0$ ના બીજ $i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$ છે,જેના ઘનનો સરવાળો $0$ થાય છે.
$x^{2}-3x-3=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ માટે $\alpha+\beta=3$ અને $\alpha\beta=-3$ છે.
બીજના ઘનનો સરવાળો $(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 27-3(-3)(3) = 54$ થાય છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)$ છે. એક બીજ $-1$ હોવાથી,ધારો કે $\alpha = -1$. તેથી $f(x) = a(x + 1)(x - \beta)$.
આપેલ છે કે $f(-2) + f(3) = 0$.
$f(-2) = a(-2 + 1)(-2 - \beta) = a(-1)(-2 - \beta) = a(2 + \beta)$.
$f(3) = a(3 + 1)(3 - \beta) = a(4)(3 - \beta) = a(12 - 4\beta)$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $a(2 + \beta + 12 - 4\beta) = 0$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$14 - 3\beta = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $\beta = \frac{14}{3}$.
આમ,બીજ $-1$ અને $\frac{14}{3}$ છે.
બીજનો સરવાળો $-1 + \frac{14}{3} = \frac{-3 + 14}{3} = \frac{11}{3}$ થાય.

(C) સમીકરણ $x^{2}-8ax+2a=0$ માટે,બીજ $p$ અને $r$ છે. તેથી,$p+r=8a$ અને $pr=2a$.
તેથી $\frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{p+r}{pr} = \frac{8a}{2a} = 4$.
સમીકરણ $x^{2}+12bx+6b=0$ માટે,બીજ $q$ અને $s$ છે. તેથી,$q+s=-12b$ અને $qs=6b$.
તેથી $\frac{1}{q}+\frac{1}{s} = \frac{q+s}{qs} = \frac{-12b}{6b} = -2$.
ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}, \frac{1}{s}$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તેથી $\frac{1}{q} = \frac{1}{p}+d$,$\frac{1}{r} = \frac{1}{p}+2d$,અને $\frac{1}{s} = \frac{1}{p}+3d$.
આપણને મળે છે $\frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{2}{p}+2d = 4$,તેથી $\frac{1}{p}+d = 2$. એટલે કે $\frac{1}{q} = 2$.
આપણને મળે છે $\frac{1}{q}+\frac{1}{s} = \frac{2}{q}+2d = -2$,તેથી $\frac{1}{q}+d = -1$.
$\frac{1}{q}=2$ હોવાથી,$2+d=-1$,એટલે કે $d=-3$.
તેથી $\frac{1}{p} = \frac{1}{q}-d = 2-(-3) = 5$,એટલે કે $p = \frac{1}{5}$.
$pr=2a$ હોવાથી,$r = \frac{2a}{p} = 10a$.
વળી $\frac{1}{r} = \frac{1}{p}+2d = 5+2(-3) = -1$,એટલે કે $r = -1$.
તેથી $10a = -1$,જે $a = -\frac{1}{10}$ આપે છે,તેથી $a^{-1} = -10$.
વળી $\frac{1}{s} = \frac{1}{q}+2d = 2+2(-3) = -4$,એટલે કે $s = -\frac{1}{4}$.
$qs=6b$ હોવાથી,$q = \frac{1}{2}$,તેથી $b = \frac{qs}{6} = \frac{(1/2)(-1/4)}{6} = -\frac{1}{48}$,તેથી $b^{-1} = -48$.
અંતે,$a^{-1}-b^{-1} = -10 - (-48) = 38$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+(3-a)x+(1-2a)=0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = -(3-a) = a-3$ અને $\alpha\beta = 1-2a$ મળે.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$f(a) = (a-3)^{2} - 2(1-2a)$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$f(a) = a^{2} - 6a + 9 - 2 + 4a = a^{2} - 2a + 7$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(a) = (a^{2} - 2a + 1) + 6 = (a-1)^{2} + 6$.
કારણ કે $(a-1)^{2} \geq 0$,તેથી $f(a)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $6$ છે જ્યારે $a=1$ હોય.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-\left(5+3^{\sqrt{\log _{3} 5}}-5^{\sqrt{\log _{5} 3}}\right)x+3\left(3^{\left(\log _{3} 5\right)^{\frac{1}{3}}}-5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}}-1\right)=0$.
સહગુણકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$3^{\sqrt{\log _{3} 5}} = 5^{\sqrt{\log _{5} 3}}$.
તેથી,$x$ નો સહગુણક $-(5 + 5^{\sqrt{\log _{5} 3}} - 5^{\sqrt{\log _{5} 3}}) = -5$ થાય.
તે જ રીતે,અચળ પદ $3(5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}} - 5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}} - 1) = -3$ થાય.
સમીકરણ $x^{2}-5x-3=0$ બને છે.
અહીં $\alpha+\beta=5$ અને $\alpha\beta=-3$.
નવા બીજ $\frac{-2}{\beta}$ અને $\frac{-2}{\alpha}$ છે.
ધારો કે $t = \frac{-2}{\alpha}$,તો $\alpha = \frac{-2}{t}$.
$x^{2}-5x-3=0$ માં કિંમત મૂકતા:
$(\frac{-2}{t})^{2} - 5(\frac{-2}{t}) - 3 = 0 \Rightarrow \frac{4}{t^{2}} + \frac{10}{t} - 3 = 0$.
$t^{2}$ વડે ગુણતા: $4 + 10t - 3t^{2} = 0 \Rightarrow 3t^{2}-10t-4=0$.
તેથી,માંગેલ સમીકરણ $3x^{2}-10x-4=0$ છે.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3+ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $a, b, c$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$a+b+c = -a \implies 2a+b+c = 0$ $(i)$
$ab+bc+ca = b$ (ii)
$abc = -c \implies ab = -1$ (કારણ કે $c \neq 0$) (iii)
(iii) પરથી,$b = -\frac{1}{a}$.
$b$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $2a - \frac{1}{a} + c = 0 \implies c = \frac{1}{a} - 2a$.
$b$ અને $c$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$ab + c(a+b) = b$
$-1 + (\frac{1}{a} - 2a)(a - \frac{1}{a}) = -\frac{1}{a}$
$-1 + (1 - \frac{1}{a^2} - 2a^2 + 2) = -\frac{1}{a}$
$2 - \frac{1}{a^2} - 2a^2 = -\frac{1}{a}$
$a^2$ વડે ગુણતા: $2a^2 - 1 - 2a^4 = -a$
$2a^4 - 2a^2 - a + 1 = 0$
$(a-1)(2a^3+2a^2-1) = 0$.
$a=1$ માટે,$b=-1, c=-1$. બીજ $1, -1, -1$ મળે છે. ચકાસણી: $x^3+x^2-x-1=0 \implies (x-1)(x+1)^2=0$. બીજ $1, -1, -1$ છે. આ સાચું છે.
$2a^3+2a^2-1=0$ માટે,એક વાસ્તવિક બીજ $a \approx 0.589$ મળે છે. આ બીજી માન્ય ત્રિપુટી $(a, b, c)$ આપે છે.
આમ,આવી બરાબર બે ત્રિપુટીઓ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^6 - 2x^5 + x^3 + x^2 - x - 1$ અને $g(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1$.
$f(x)$ ને $g(x)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = (x^2 - x)g(x) + (2x^2 - 2x - 1)$.
કારણ કે $a, b, c, d$ એ $g(x) = 0$ ના બીજ છે,તેથી $g(a) = g(b) = g(c) = g(d) = 0$.
આમ,$f(a) = 2a^2 - 2a - 1$,$f(b) = 2b^2 - 2b - 1$,$f(c) = 2c^2 - 2c - 1$,અને $f(d) = 2d^2 - 2d - 1$.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\sum f(a) = 2\sum a^2 - 2\sum a - 4$.
$g(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1 = 0$ માટે,વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\sum a = 1$ અને $\sum ab = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum a^2 = (\sum a)^2 - 2\sum ab = (1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\sum f(a) = 2(3) - 2(1) - 4 = 6 - 2 - 4 = 0$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^3 - 27x + k = 0$. ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. $x^2$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = 0$ થાય. જો બે બીજ ભિન્ન પૂર્ણાંકો હોય,તો ત્રીજું બીજ પણ પૂર્ણાંક જ હોય.
ધારો કે બીજ $x_1, x_2, x_3$ છે. તો $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ અને $x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -27$.
$x_3 = -(x_1 + x_2)$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x_1 x_2 - (x_1 + x_2)^2 = -27$,જેનું સાદું રૂપ $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = 27$ થાય.
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે. આપણે પૂર્ણાંક ઉકેલો $(x_1, x_2)$ શોધીએ.
જો $x_1 = 3$ હોય,તો $x_2^2 + 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2+6)(x_2-3) = 0$. તેથી $x_2 = 3$ અથવા $x_2 = -6$. આ કિસ્સામાં $k = 54$.
જો $x_1 = -3$ હોય,તો $x_2^2 - 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2-6)(x_2+3) = 0$. તેથી $x_2 = 6$ અથવા $x_2 = -3$. આ કિસ્સામાં $k = -54$.
આમ,$k$ ના $2$ શક્ય મૂલ્યો મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $p(x)=ax^2+bx+c$ જ્યાં $a, b, c > 0$ અને $2b=a+c$ છે,એટલે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$\alpha, \beta$ એ $p(x)=0$ ના પૂર્ણાંક બીજ છે. તેથી $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
$b = \frac{a+c}{2}$ હોવાથી,$\alpha+\beta = -\frac{a+c}{2a} = -\frac{1}{2} - \frac{c}{2a}$.
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ મૂકતા,$\alpha+\beta = -\frac{1}{2} - \frac{\alpha\beta}{2} \Rightarrow \alpha\beta + 2\alpha + 2\beta = -1$.
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા: $(\alpha+2)(\beta+2) = 3$.
પૂર્ણાંક ઉકેલો માટે $(\alpha+2, \beta+2)$ ની શક્ય જોડીઓ $(-1, -3)$ છે,જેનાથી $\alpha=-3, \beta=-5$ મળે.
તેથી $\alpha+\beta+\alpha\beta = -3-5+15 = 7$.

(C) ધારો કે સમીકરણ $x^2+bx+a=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે $\alpha+\beta = -b$ અને $\alpha\beta = a$ છે.
આપેલ છે કે સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ પ્રથમ સમીકરણના બીજ કરતા $1$ વધારે છે,તેથી બીજ $(\alpha+1)$ અને $(\beta+1)$ છે.
બીજા સમીકરણ માટે બીજના ગુણધર્મો પરથી:
$(\alpha+1)+(\beta+1) = -a \implies \alpha+\beta+2 = -a$.
$\alpha+\beta = -b$ મૂકતા,આપણને $-b+2 = -a$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a-b = -2$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
તેવી જ રીતે,$(\alpha+1)(\beta+1) = b \implies \alpha\beta + \alpha+\beta + 1 = b$.
$\alpha\beta = a$ અને $\alpha+\beta = -b$ મૂકતા,આપણને $a-b+1 = b$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a-2b = -1$ (સમીકરણ $2$) થાય છે.
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(a-b) - (a-2b) = -2 - (-1) \implies b = -1$.
$b = -1$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a - (-1) = -2 \implies a+1 = -2 \implies a = -3$.
તેથી,$a+b = -3 + (-1) = -4$.

(C) સમીકરણ $14 x^2-31 x+3 \lambda=0$ માટે,$\alpha+\beta=\frac{31}{14}$ અને $\alpha \beta=\frac{3 \lambda}{14}$ છે.
સમીકરણ $35 x^2-53 x+4 \lambda=0$ માટે,$\alpha+\gamma=\frac{53}{35}$ અને $\alpha \gamma=\frac{4 \lambda}{35}$ છે.
$\alpha$ માટેના બે સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha+\beta)-(\alpha+\gamma) = \frac{31}{14}-\frac{53}{35} \Rightarrow \beta-\gamma = \frac{7}{10}$.
$\alpha \beta = \frac{3 \lambda}{14}$ અને $\alpha \gamma = \frac{4 \lambda}{35}$ પરથી,$\frac{\beta}{\gamma} = \frac{15}{8}$,તેથી $\beta = \frac{15}{8} \gamma$.
$\beta-\gamma = \frac{7}{10}$ માં $\beta$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{7}{8} \gamma = \frac{7}{10} \Rightarrow \gamma = \frac{4}{5}$.
તેથી $\beta = \frac{3}{2}$ અને $\alpha = \frac{5}{7}$ મળે.
હવે,$\lambda = 5$.
જરૂરી સમીકરણના બીજ $x_1 = \frac{10}{7}$ અને $x_2 = \frac{25}{7}$ છે.
બીજનો સરવાળો: $x_1+x_2 = 5$.
બીજનો ગુણાકાર: $x_1 x_2 = \frac{250}{49}$.
માટે,જરૂરી સમીકરણ $49 x^2 - 245 x + 250 = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-x-1=0$ માટે,બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ $\alpha^2 = \alpha + 1$ અને $\beta^2 = \beta + 1$ નું પાલન કરે છે.
આપેલ છે કે $S_n = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n$.
$S_{n-1} + S_{n-2} = (2023 \alpha^{n-1} + 2024 \beta^{n-1}) + (2023 \alpha^{n-2} + 2024 \beta^{n-2})$ લો.
$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha + 1) + 2024 \beta^{n-2}(\beta + 1)$.
કારણ કે $\alpha + 1 = \alpha^2$ અને $\beta + 1 = \beta^2$,તેથી:
$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha^2) + 2024 \beta^{n-2}(\beta^2) = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n = S_n$.
આમ,$S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$.
$n=12$ લેતા,આપણને $S_{12} = S_{11} + S_{10}$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2+qx-r=0$ છે. $p, q, r$ એ $G$.$P$. ના ક્રમિક પદો હોવાથી,$q=pk$ અને $r=pk^2$ લેતા.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $px^2+pkx-pk^2=0$.
$p$ વડે ભાગતા: $x^2+kx-k^2=0$.
બીજ $\alpha, \beta$ માટે,$\alpha+\beta = -k$ અને $\alpha\beta = -k^2$.
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-k}{-k^2} = \frac{1}{k} = \frac{3}{4}$,એટલે કે $k = \frac{4}{3}$.
$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (-k)^2 - 4(-k^2) = 5k^2$.
$k = \frac{4}{3}$ મૂકતા: $(\alpha-\beta)^2 = 5 \times (\frac{4}{3})^2 = 5 \times \frac{16}{9} = \frac{80}{9}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + bx + 1 = 0$ ના બીજ $2$ અને $6$ છે.
બીજનો સરવાળો: $2 + 6 = 8 = -\frac{b}{a} \implies b = -8a$.
બીજનો ગુણાકાર: $2 \times 6 = 12 = \frac{1}{a} \implies a = \frac{1}{12}$.
$a$ ની કિંમત $b = -8a$ માં મૂકતા: $b = -8 \times \frac{1}{12} = -\frac{2}{3}$.
હવે,નવા બીજ શોધીએ:
બીજ $1 = \frac{1}{2a + b} = \frac{1}{2(\frac{1}{12}) - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{6} - \frac{4}{6}} = \frac{1}{-\frac{3}{6}} = -2$.
બીજ $2 = \frac{1}{6a + b} = \frac{1}{6(\frac{1}{12}) - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{2}{3}} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -6$.
$-2$ અને $-6$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x + 2)(x + 6) = 0$ છે.
$x^2 + 8x + 12 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 + \sqrt{2}x - 8 = 0$ ના બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha - 8 = 0 \implies \alpha^2 + \sqrt{2}\alpha = 8$
$\beta^2 + \sqrt{2}\beta - 8 = 0 \implies \beta^2 + \sqrt{2}\beta = 8$
આપણે પદાવલિનું મૂલ્ય શોધવાનું છે:
$E = \frac{U_{10} + \sqrt{2}U_9}{2U_8} = \frac{(\alpha^{10} + \beta^{10}) + \sqrt{2}(\alpha^9 + \beta^9)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
અંશને ગોઠવતા:
$E = \frac{\alpha^8(\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha) + \beta^8(\beta^2 + \sqrt{2}\beta)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
$\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha = 8$ અને $\beta^2 + \sqrt{2}\beta = 8$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{\alpha^8(8) + \beta^8(8)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
$E = \frac{8(\alpha^8 + \beta^8)}{2(\alpha^8 + \beta^8)} = \frac{8}{2} = 4$

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2+2 \sqrt{2} x-1=0$
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = -2 \sqrt{2}$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = -1$
$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha \beta = (-2 \sqrt{2})^2 - 2(-1) = 8+2 = 10$
$\alpha^4+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha \beta)^2 = (10)^2 - 2(-1)^2 = 100-2 = 98$
$\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2+\beta^2)(\alpha^4 - \alpha^2 \beta^2 + \beta^4) = (10)(98 - (-1)^2) = 10(97) = 970$
નવા સમીકરણના બીજ $98$ અને $\frac{1}{10}(970) = 97$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો: $98+97 = 195$
નવા બીજનો ગુણાકાર: $98 \times 97 = 9506$
માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 195x + 9506 = 0$ છે.

(B) સમીકરણ $x^2 - \sqrt{2}x - \sqrt{3} = 0$ માટે,બીજ $\alpha$ અને $\beta$ નીચે મુજબ સંબંધ ધરાવે છે:
$P_{n+2} = \sqrt{2}P_{n+1} + \sqrt{3}P_n$
$n=10$ માટે,$P_{12} = \sqrt{2}P_{11} + \sqrt{3}P_{10}$
$n=9$ માટે,$P_{11} = \sqrt{2}P_{10} + \sqrt{3}P_9 \Rightarrow \sqrt{3}P_9 = P_{11} - \sqrt{2}P_{10}$
આપેલ પદાવલિમાં કિંમતો મુકતા:
$E = (11\sqrt{3} - 10\sqrt{2})P_{10} + (11\sqrt{2} + 10)P_{11} - 11(\sqrt{2}P_{11} + \sqrt{3}P_{10})$
$E = 10(P_{11} - \sqrt{2}P_{10}) = 10(\sqrt{3}P_9) = 10\sqrt{3}P_9$.

(B, D) $(1)$ Since $\alpha$ and $\beta$ are roots of $x^2-x-1=0$,we have $\alpha^2 = \alpha+1$ and $\beta^2 = \beta+1$.
Multiplying by $\alpha^{n-2}$ and $\beta^{n-2}$ respectively: $\alpha^n = \alpha^{n-1} + \alpha^{n-2}$ and $\beta^n = \beta^{n-1} + \beta^{n-2}$.
Multiplying by $p$ and $q$ and adding: $p\alpha^n + q\beta^n = (p\alpha^{n-1} + q\beta^{n-1}) + (p\alpha^{n-2} + q\beta^{n-2})$.
Thus,$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$. For $n=12$,$a_{12} = a_{11} + a_{10}$. Option $B$ is correct.
$(2)$ We have $a_0 = p+q$,$a_1 = p\alpha + q\beta$,$a_2 = p\alpha^2 + q\beta^2 = p(\alpha+1) + q(\beta+1) = a_1 + a_0$,$a_3 = a_2 + a_1 = 2a_1 + a_0$,$a_4 = a_3 + a_2 = 3a_1 + 2a_0$.
Given $a_4 = 3(p\alpha + q\beta) + 2(p+q) = 28$.
Since $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ and $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$,$3p(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) + 3q(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) + 2p + 2q = 28$.
$\frac{3p+3p\sqrt{5}+3q-3q\sqrt{5}}{2} + 2p + 2q = 28$.
$(3.5p + 3.5q) + \frac{3\sqrt{5}}{2}(p-q) = 28$.
Since $28$ is rational,$p-q=0 \Rightarrow p=q$.
$7p = 28 \Rightarrow p=4, q=4$.
Then $p+2q = 4 + 2(4) = 12$. Option $D$ is correct.

(B) આપેલ છે કે $\alpha+\beta = -p$ અને $\alpha^3+\beta^3 = q$.
નિત્યસમ $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$q = (-p)^3 - 3\alpha\beta(-p) = -p^3 + 3p\alpha\beta$.
તેથી,$3p\alpha\beta = p^3+q$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha\beta = \frac{p^3+q}{3p}$.
$\frac{\alpha}{\beta}$ અને $\frac{\beta}{\alpha}$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha})x + 1 = 0$ છે.
આ $x^2 - (\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta})x + 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
કારણ કે $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-p)^2 - 2(\frac{p^3+q}{3p}) = p^2 - \frac{2(p^3+q)}{3p} = \frac{3p^3 - 2p^3 - 2q}{3p} = \frac{p^3-2q}{3p}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 - (\frac{(p^3-2q)/3p}{(p^3+q)/3p})x + 1 = 0$.
$x^2 - (\frac{p^3-2q}{p^3+q})x + 1 = 0$.
$(p^3+q)$ વડે ગુણતા,આપણને $(p^3+q)x^2 - (p^3-2q)x + (p^3+q) = 0$ મળે છે.

(C) જેમ કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2-6x-2=0$ ના બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2-6\alpha-2=0 \implies \alpha^2 = 6\alpha + 2$
$\beta^2-6\beta-2=0 \implies \beta^2 = 6\beta + 2$
આપેલ છે કે $a_n = \alpha^n - \beta^n$,તેથી $a_{10} = \alpha^{10} - \beta^{10}$ અને $a_8 = \alpha^8 - \beta^8$.
બીજના સમીકરણોને અનુક્રમે $\alpha^8$ અને $\beta^8$ વડે ગુણતા:
$\alpha^{10} = 6\alpha^9 + 2\alpha^8$
$\beta^{10} = 6\beta^9 + 2\beta^8$
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$a_{10} = \alpha^{10} - \beta^{10} = 6(\alpha^9 - \beta^9) + 2(\alpha^8 - \beta^8)$
$a_{10} = 6a_9 + 2a_8$
પદોને ગોઠવતા:
$a_{10} - 2a_8 = 6a_9$
$2a_9$ વડે ભાગતા:
$\frac{a_{10}-2a_8}{2a_9} = \frac{6a_9}{2a_9} = 3$

(A) આપેલ $x^2-x-1=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે. તેથી $\alpha+\beta=1$ અને $\alpha\beta=-1$.
$a_n = \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$.
$(1)$ માટે: $a_{n+2} = a_{n+1}+a_n$. તેથી $\sum_{i=1}^n a_i = a_{n+2}-a_2 = a_{n+2}-1$. વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$(2)$ માટે: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} = \frac{10}{89}$. વિધાન $(2)$ સાચું છે.
$(4)$ માટે: $b_n = a_{n-1}+a_{n+1} = \alpha^n+\beta^n$. વિધાન $(4)$ સાચું છે.
આમ,વિકલ્પો $1, 2, 4$ સાચા છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-ax-b=0$ માટે,બીજ $\alpha, \beta$ એ $\alpha+\beta=a$ અને $\alpha\beta=-b$ નું પાલન કરે છે.
$P_n = \alpha^n - \beta^n$ હોવાથી,આપણને પુનરાવર્તિત સંબંધ $P_n = aP_{n-1} + bP_{n-2}$ મળે છે.
$P_6 = aP_5 + bP_4$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $45\sqrt{7}i = a(11\sqrt{7}i) + b(-3\sqrt{7}i)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $11a - 3b = 45$ થાય છે.
$P_5 = aP_4 + bP_3$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $11\sqrt{7}i = a(-3\sqrt{7}i) + b(-5\sqrt{7}i)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $-3a - 5b = 11$ થાય છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $a=3$ અને $b=-4$ મળે છે.
આપણે $|\alpha^4+\beta^4|$ શોધવાનું છે. નોંધો કે $(\alpha^4+\beta^4)^2 = (\alpha^4-\beta^4)^2 + 4\alpha^4\beta^4 = P_4^2 + 4(\alpha\beta)^4$.
કિંમતો મૂકતા,$P_4^2 = (-3\sqrt{7}i)^2 = 9 \times 7 \times (-1) = -63$.
વળી,$4(\alpha\beta)^4 = 4(-b)^4 = 4(-(-4))^4 = 4(256) = 1024$.
આમ,$(\alpha^4+\beta^4)^2 = -63 + 1024 = 961$.
તેથી,$|\alpha^4+\beta^4| = \sqrt{961} = 31$.

(A) આપેલ છે કે પ્રથમ $11$ પદોનો સરવાળો $S_{11} = 88$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{3}{2}$ છે.
સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$88 = \frac{11}{2}(2a + 10 \times \frac{3}{2})$
$8 = \frac{1}{2}(2a + 15) \implies 16 = 2a + 15 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.
$10$ મું અને $11$ મું પદ:
$T_{10} = a + 9d = \frac{1}{2} + 9(\frac{3}{2}) = 14$.
$T_{11} = a + 10d = \frac{1}{2} + 10(\frac{3}{2}) = \frac{31}{2}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\frac{p}{3} = T_{10} + T_{11} = 14 + \frac{31}{2} = \frac{59}{2} \implies p = \frac{177}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{q}{3} = T_{10} \times T_{11} = 14 \times \frac{31}{2} = 217 \implies q = 651$.
$q - 2p = 651 - 2(\frac{177}{2}) = 651 - 177 = 474$.

(B) આપેલ છે કે $P_n = \alpha^n + \beta^n$. આપણે જોઈએ છીએ કે $P_{10} = P_9 + P_8$ $(123 = 76 + 47)$.
આ સૂચવે છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 1 = 0$ ના બીજ છે.
આ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 1$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -1$ છે.
આપણે $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ શોધવાનું છે.
નવા બીજનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ છે.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ છે.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-1)x + (-1) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x - 1 = 0$ થાય છે.

(C) સમીકરણ $x^2+\sqrt{3}x-16=0$ માટે,$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$P_n+\sqrt{3}P_{n-1}-16P_{n-2}=0$ મળે.
$n=25$ માટે,$P_{25}+\sqrt{3}P_{24}=16P_{23}$ મળે.
તેથી,$\frac{P_{25}+\sqrt{3}P_{24}}{2P_{23}} = \frac{16P_{23}}{2P_{23}} = 8$.
સમીકરણ $x^2+3x-1=0$ માટે,$\gamma^2-1=-3\gamma$ અને $\delta^2-1=-3\delta$ મળે.
તેથી $Q_{25}-Q_{23} = \gamma^{23}(\gamma^2-1)+\delta^{23}(\delta^2-1) = -3(\gamma^{24}+\delta^{24}) = -3Q_{24}$.
તેથી,$\frac{Q_{25}-Q_{23}}{Q_{24}} = -3$.
અંતે,$8-3=5$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = bx^2 + cx + d$.
તેથી $f(x+1) = b(x+1)^2 + c(x+1) + d = b(x^2 + 2x + 1) + cx + c + d = bx^2 + 2bx + b + cx + c + d$.
હવે,$f(x+1) - f(x) = (bx^2 + 2bx + b + cx + c + d) - (bx^2 + cx + d) = 2bx + b + c$.
આપણને નિત્યસમ $f(x+1) - f(x) = 8x + 3$ આપેલ છે.
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$2b = 8 \implies b = 4$.
$b + c = 3 \implies 4 + c = 3 \implies c = -1$.
આમ,કિંમતો $b = 4$ અને $c = -1$ છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^2-(a-2)x-a+1=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha + \beta = a-2$
$\alpha \beta = -a+1$
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S = (a-2)^2 - 2(-a+1)$
$S = a^2 - 4a + 4 + 2a - 2$
$S = a^2 - 2a + 2$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$S = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a-1)^2 + 1$.
પદાવલિ $(a-1)^2 + 1$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે ધારણ કરે છે જ્યારે $(a-1)^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
આમ,'$a$' ની કિંમત $1$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = 2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$. $2$ અને $3$ બીજ હોવાથી,$f(2) = 0$ અને $f(3) = 0$.
$x = 2$ માટે: $2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0 \implies 16 + 4m - 26 + n = 0 \implies 4m + n = 10$.
$x = 3$ માટે: $2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0 \implies 54 + 9m - 39 + n = 0 \implies 9m + n = -15$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10 \implies 5m = -25 \implies m = -5$.
$m = -5$ ને $4m + n = 10$ માં મૂકતા: $4(-5) + n = 10 \implies -20 + n = 10 \implies n = 30$.
આપણે $4m + 5n$ શોધવાનું છે: $4(-5) + 5(30) = -20 + 150 = 130$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2-px+r=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta=p$ $(i)$ અને $\alpha\beta=r$.
આપેલ છે કે $\frac{\alpha}{2}$ અને $2\beta$ એ $x^2-qx+r=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\frac{\alpha}{2}+2\beta=q$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha+4\beta=2q$ $(ii)$.
વળી,બીજનો ગુણાકાર $\frac{\alpha}{2} \times 2\beta = r$ છે,તેથી $\alpha\beta=r$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$(\alpha+4\beta)-(\alpha+\beta)=2q-p$,જેનું સાદું રૂપ $3\beta=2q-p$ થાય,તેથી $\beta=\frac{2q-p}{3}$.
$\beta$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$\alpha=p-\frac{2q-p}{3} = \frac{3p-2q+p}{3} = \frac{4p-2q}{3} = \frac{2(2p-q)}{3}$.
કારણ કે $r=\alpha\beta$,તેથી $r = \left(\frac{2(2p-q)}{3}\right) \left(\frac{2q-p}{3}\right) = \frac{2}{9}(2p-q)(2q-p)$.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો સમાંતર મધ્યક ($A$.$M$.) $p$ છે,તેથી $\frac{\alpha+\beta}{2} = p$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha+\beta = 2p$.
આપેલ છે કે બીજનો ગુણોત્તર મધ્યક ($G$.$M$.) $q$ છે,તેથી $\sqrt{\alpha\beta} = q$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha\beta = q^{2}$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સ્વરૂપ $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - (2p)x + q^{2} = 0$ મળે છે,જે $x^{2} - 2px + q^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+x+1=0$ છે.
બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોવાથી,$\alpha + \beta = -1$ અને $\alpha \beta = 1$ થાય.
આપણે $\alpha^{2}+\beta^{2}$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = (-1)^{2} - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
વૈકલ્પિક રીતે,$x^{2}+x+1=0$ ના બીજ એકમના ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^{2}$ છે.
તેથી,$\alpha^{2}+\beta^{2} = \omega^{2} + (\omega^{2})^{2} = \omega^{2} + \omega^{4} = \omega^{2} + \omega = -1$ (કારણ કે $1+\omega+\omega^{2}=0$).

(D) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^{3}+4x+2=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
ઘન સમીકરણ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ના ગુણધર્મો મુજબ:
બીજનો સરવાળો $\Sigma \alpha = -\frac{b}{a} = 0$.
બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a} = 4$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} = -2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3 \alpha \beta \gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha)$.
અહીં $\Sigma \alpha = 0$ હોવાથી,જમણી બાજુ $0$ થશે.
તેથી,$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} = 3 \alpha \beta \gamma$.
બીજના ગુણાકારની કિંમત મૂકતા:
$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} = 3(-2) = -6$.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^{3}-2x+1=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -2$
$\alpha\beta\gamma = -1$
આપણે $\sum\left(\frac{1}{\alpha+\beta-\gamma}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha+\beta+\gamma = 0$ હોવાથી,$\alpha+\beta = -\gamma$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા:
$\sum\left(\frac{1}{-\gamma-\gamma}\right) = \sum\left(\frac{1}{-2\gamma}\right) = -\frac{1}{2} \sum\left(\frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{-2}{-1}\right) = -\frac{1}{2} \times 2 = -1$.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^{3}-5x^{2}-x+5=0$ છે.
ધારો કે બીજ $a, -a, b$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો:
$a + (-a) + b = -(-5)/1 = 5$.
આથી $b = 5$ મળે છે.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયા વિકલ્પમાં $x = 5$ મૂકતા સમીકરણનું સમાધાન થાય છે:
વિકલ્પ $C$ માટે,$x^{2}-3x-10=0$:
$x = 5$ મૂકતા,$(5)^{2}-3(5)-10 = 25-15-10 = 0$.
આમ,$b=5$ એ $x^{2}-3x-10=0$ નું બીજ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-ax+b^{2}=0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2}+Bx+C=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -B/A$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = C/A$ થાય છે.
અહીં,$A=1$,$B=-a$,અને $C=b^{2}$ છે.
તેથી,$\alpha+\beta = -(-a)/1 = a$ અને $\alpha\beta = b^{2}/1 = b^{2}$ મળે છે.
આપણે $\alpha^{2}+\beta^{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\alpha^{2}+\beta^{2} = (a)^{2}-2(b^{2}) = a^{2}-2b^{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -b = 5$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = -5$.
નિત્યસમ $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$60 = (5)^3 - 3\alpha\beta(5)$.
$60 = 125 - 15\alpha\beta$.
$15\alpha\beta = 125 - 60 = 65$.
$\alpha\beta = \frac{65}{15} = \frac{13}{3}$.
અહીં $\alpha\beta = c$ હોવાથી,$c = \frac{13}{3}$ મળે.
હવે,$3c+2$ ની કિંમત શોધતા:
$3(\frac{13}{3}) + 2 = 13 + 2 = 15$.
$b = -5$ હોવાથી,વિકલ્પો તપાસતા:
$-3b = -3(-5) = 15$.
આમ,$3c+2 = -3b$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3+a x^2+b x+c=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma = -a$ છે.
આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$\alpha+\beta-2 \gamma = (\alpha+\beta+\gamma) - 3 \gamma = -a - 3 \gamma$.
તે જ રીતે,$\beta+\gamma-2 \alpha = -a - 3 \alpha$ અને $\gamma+\alpha-2 \beta = -a - 3 \beta$.
ગુણાકાર $(-a-3 \alpha)(-a-3 \beta)(-a-3 \gamma) = -(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$ થશે.
ધારો કે $f(x) = x^3+a x^2+b x+c = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.
તેથી $f(-a/3) = (-a/3-\alpha)(-a/3-\beta)(-a/3-\gamma) = (-1/27)(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$.
આમ,$(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma) = -27 f(-a/3)$.
મૂળ પદ $-(-27 f(-a/3)) = 27 f(-a/3)$ છે.
$f(-a/3) = (-a/3)^3 + a(-a/3)^2 + b(-a/3) + c = -a^3/27 + a^3/9 - ab/3 + c = (2a^3 - 9ab + 27c)/27$.
$27$ વડે ગુણતા,આપણને $2a^3 - 9ab + 27c$ મળે છે.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3+px^2+qx+r=0$ માટે,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-p)^2 - 2q = p^2-2q$.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-r) = (-p)((p^2-2q) - q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 3r = -p(p^2-3q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -p^3+3pq-3r$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3pq-3r-p^3$.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $5x^3-4x^2+3x-2=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$e_1 = \alpha+\beta+\gamma = \frac{4}{5}$
$e_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{3}{5}$
$e_3 = \alpha\beta\gamma = \frac{2}{5}$
$\sum \alpha^2 = (\sum \alpha)^2 - 2(\sum \alpha\beta) = (\frac{4}{5})^2 - 2(\frac{3}{5}) = -\frac{14}{25}$.
$\sum \alpha^3 = \frac{4}{5}(\sum \alpha^2) - \frac{3}{5}(\sum \alpha) + 3(\frac{2}{5}) = \frac{34}{125}$.

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+px^2+qx+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha+\beta = -p-\gamma$,$\beta+\gamma = -p-\alpha$,અને $\gamma+\alpha = -p-\beta$.
તેથી,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (-p-\gamma)(-p-\alpha)(-p-\beta) = -(p+\gamma)(p+\alpha)(p+\beta)$.
ધારો કે $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3+px^2+qx+r$.
તો $f(-p) = (-p-\alpha)(-p-\beta)(-p-\gamma) = (-p)^3+p(-p)^2+q(-p)+r = -p^3+p^3-pq+r = r-pq$.
કારણ કે $f(-p) = -(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma)$,તેથી $-(p+\alpha)(p+\beta)(p+\gamma) = r-pq$.
આમ,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = pq-r$.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-35x+c=0$ ના બીજ $2t$ અને $3t$ છે.
બીજનો સરવાળો $= 2t + 3t = -(-35)/1 = 35$.
$5t = 35 \Rightarrow t = 7$.
બીજનો ગુણાકાર $= (2t)(3t) = c/1 = c$.
$6t^2 = c$.
$t = 7$ હોવાથી,$c = 6(7^2) = 6 \times 49$.
આપેલ છે કે $c = 6K$,તેથી $6K = 6 \times 49$.
આમ,$K = 49$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha+\beta=a$ અને $\alpha\beta=b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = a^2-2b$.
તેમજ,$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2) = a(a^2-2b-b) = a(a^2-3b) = a^3-3ab$.
બીજ $p$ અને $q$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બીજ $p = a^2-2b$ અને $q = a^3-3ab$ છે.
અચળ પદ $C$ એ બીજનો ગુણાકાર છે: $C = pq = (a^2-2b)(a^3-3ab)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $C = a^2(a^3) - a^2(3ab) - 2b(a^3) + 2b(3ab) = a^5 - 3a^3b - 2a^3b + 6ab^2 = a^5 - 5a^3b + 6ab^2$.

(C) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3+bx^2+cx+1=0$ ના બીજ $-1, -1, \alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \times (-1) \times (-1) = -\frac{1}{a}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -\frac{1}{a}$.
બીજનો સરવાળો $(-1) + (-1) + \alpha = -\frac{b}{a}$ થાય.
$\alpha = -\frac{1}{a}$ મૂકતા,આપણને $-2 - \frac{1}{a} = -\frac{b}{a}$ મળે છે.
$-a$ વડે ગુણતા,$2a + 1 = b$ મળે,તેથી $b = 2a + 1$.
કારણ કે $-1$ એ બીજ છે,$a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-a + b - c + 1 = 0$ થાય છે.
$b = 2a + 1$ મૂકતા,આપણને $-a + (2a + 1) - c + 1 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a + 2 - c = 0$ થાય,તેથી $c = a + 2$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $2x^2-4x+3=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = -(\frac{-4}{2}) = 2$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \frac{3}{2}$.
$\alpha^2+\beta^2$ ની ગણતરી:
$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (2)^2 - 2(\frac{3}{2}) = 4-3 = 1$.
$\alpha^4+\beta^4$ ની ગણતરી:
$(\alpha^2+\beta^2)^2 = \alpha^4+\beta^4+2\alpha^2\beta^2$.
$1^2 = \alpha^4+\beta^4 + 2(\frac{3}{2})^2$.
$1 = \alpha^4+\beta^4 + 2(\frac{9}{4}) = \alpha^4+\beta^4 + \frac{9}{2}$.
$\alpha^4+\beta^4 = 1 - \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2(\alpha^4+\beta^4)+3(\alpha^2+\beta^2)}{\alpha+\beta} = \frac{2(-\frac{7}{2}) + 3(1)}{2} = \frac{-7+3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

(C) આપેલ છે: $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
નવા બીજ $S_1 = \alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $S_2 = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$ છે.
જરૂરી સમીકરણ $(x-S_1)(x-S_2) = 0$ છે.
$(x - (-\frac{b}{a}))(x - (-\frac{b}{c})) = 0$.
$(x + \frac{b}{a})(x + \frac{b}{c}) = 0$.
$ac$ વડે ગુણતા: $(ax+b)(cx+b) = 0$.
$acx^2 + abx + bcx + b^2 = 0$.
$acx^2 + (ab+bc)x + b^2 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $y^2+y+1=0$ છે.
$a$ અને $b$ બીજ હોવાથી,વિએટાના સૂત્રો મુજબ $a+b = -1$ અને $ab = 1$ થાય.
આપણે $a^4+b^4+a^{-1}b^{-1} = a^4+b^4+\frac{1}{ab}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (-1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = (-1)^2 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a^4+b^4+\frac{1}{ab} = -1 + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $c$ અને $d$ એ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$c+d = -a$ અને $cd = b$ મળે છે.
હવે,સમીકરણ $x^2+(4c+a)x+(b+2ac+4c^2)=0$ ધ્યાનમાં લો.
$a = -(c+d)$ અને $b = cd$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+(4c-(c+d))x+(cd+2c(-(c+d))+4c^2)=0$
$x^2+(3c-d)x+(cd-2c^2-2cd+4c^2)=0$
$x^2+(3c-d)x+(2c^2-cd)=0$
$x^2+(3c-d)x+c(2c-d)=0$
આને અવયવ પાડતા $(x+c)(x+2c-d)=0$ મળે છે.
આમ,બીજ $x = -c$ અને $x = d-2c$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$d-2c$ એ એક બીજ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
ધારો કે નવા સમીકરણ $x^3+(2b-a^2)x^2+(b^2-2ac)x-c^2=0$ ના બીજ $\alpha', \beta', \gamma'$ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\alpha'+\beta'+\gamma' = -(2b-a^2) = a^2-2b = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2$.
$\alpha'\beta'+\beta'\gamma'+\gamma'\alpha' = b^2-2ac = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta\gamma) = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$.
$\alpha'\beta'\gamma' = c^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = \alpha^2\beta^2\gamma^2$.
આમ,બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ છે.