Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^4-2x^3+x-380=0$.
બીજો તપાસતા,$x=5$ માટે: $5^4-2(5^3)+5-380 = 625-250+5-380 = 0$. તેથી,$x=5$ એક બીજ છે.
$x=-4$ માટે: $(-4)^4-2(-4)^3+(-4)-380 = 256+128-4-380 = 0$. તેથી,$x=-4$ બીજું બીજ છે.
ધારો કે ચાર બીજો $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે. આપણી પાસે $x_1=5$ અને $x_2=-4$ છે. ધારો કે $x_3$ અને $x_4$ સંકર બીજો છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બધા બીજોનો સરવાળો $-\frac{x^3 \text{ નો સહગુણક}}{x^4 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-2}{1} = 2$ થાય.
આમ,$x_1+x_2+x_3+x_4 = 2$.
જાણીતા બીજો મૂકતા: $5-4+x_3+x_4 = 2$.
$1+x_3+x_4 = 2$.
તેથી,$x_3+x_4 = 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1+x^2}$. આપેલ સમીકરણો $ax + b\sqrt{1+x^2} = c$ અને $ay + b\sqrt{1+y^2} = c$ ને $b\sqrt{1+x^2} = c - ax$ અને $b\sqrt{1+y^2} = c - ay$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$b^2(1+x^2) = c^2 - 2acx + a^2x^2$ અને $b^2(1+y^2) = c^2 - 2acy + a^2y^2$ મળે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$(a^2-b^2)x^2 - 2acx + (c^2-b^2) = 0$ અને $(a^2-b^2)y^2 - 2acy + (c^2-b^2) = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $(a^2-b^2)t^2 - 2act + (c^2-b^2) = 0$ ના ભિન્ન બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,બીજનો સરવાળો $x+y = \frac{2ac}{a^2-b^2}$ અને બીજનો ગુણાકાર $xy = \frac{c^2-b^2}{a^2-b^2}$ થાય.
હવે,$1-xy = 1 - \frac{c^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-b^2-c^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$.
તેથી,$\frac{x+y}{1-xy} = \frac{2ac / (a^2-b^2)}{(a^2-c^2) / (a^2-b^2)} = \frac{2ac}{a^2-c^2}$.

(D) ઘાત સમીકરણ $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ માટે,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\sum \alpha = 6$,
$\sum \alpha \beta = 11$,
$\alpha \beta \gamma = 6$.
આપણે $\sum \alpha^2 \beta + \sum \alpha \beta^2$ શોધવાનું છે.
આ પદાવલિને $(\sum \alpha \beta)(\sum \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$ તરીકે લખી શકાય.
કિંમતો મૂકતા:
$(11)(6) - 3(6) = 66 - 18 = 48$.

(D) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+3px^2+3qx-8=0$ ના બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\frac{a}{r} \times a \times ar = -(-8) = 8$ થાય.
આથી,$a^3 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
$a=2$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $(2)^3 + 3p(2)^2 + 3q(2) - 8 = 0$.
$8 + 12p + 6q - 8 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $12p + 6q = 0$ અથવા $q = -2p$ થાય છે.
$\frac{q^3}{p^3}$ માં $q = -2p$ મૂકતા,આપણને $\frac{(-2p)^3}{p^3} = \frac{-8p^3}{p^3} = -8$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$f(1) = a + b + c$ અને $f(2) = 4a + 2b + c$.
પ્રથમ શરત પરથી: $f(1) + 2f(2) = 0$
$(a + b + c) + 2(4a + 2b + c) = 0$
$a + b + c + 8a + 4b + 2c = 0$
$9a + 5b + 3c = 0$ ... $(i)$
બીજી શરત પરથી: $2f(1) + f(2) = 0$
$2(a + b + c) + (4a + 2b + c) = 0$
$2a + 2b + 2c + 4a + 2b + c = 0$
$6a + 4b + 3c = 0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(9a + 5b + 3c) - (6a + 4b + 3c) = 0 - 0$
$3a + b = 0$.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+ax^2+bx+c=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = -a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
આપણે $\sum \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ શોધવાનું છે.
લસાઅ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$.
વિયેટાના સૂત્રોની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે સમીકરણ $x^4-2x^3+x^2+4x-6=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 0$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = -(-2)/1 = 2$.
$\alpha + \beta = 0$ હોવાથી,$\gamma + \delta = 2$ મળે.
વળી,બે-બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \gamma\delta + (\alpha+\beta)(\gamma+\delta) = 1$ થાય.
$\alpha+\beta=0$ અને $\gamma+\delta=2$ મૂકતા,$\alpha\beta + \gamma\delta = 1$ મળે.
ત્રણ-ત્રણ બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta(\gamma+\delta) + \gamma\delta(\alpha+\beta) = -4$.
$\alpha+\beta=0$ અને $\gamma+\delta=2$ મૂકતા,$2\alpha\beta = -4$,તેથી $\alpha\beta = -2$.
તેથી $\gamma\delta = 1 - (-2) = 3$.
બાકીના બે બીજના વર્ગોનો સરવાળો $\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma^2 + \delta^2 = (2)^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $2x^3-5x^2+4x-3=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{5}{2}$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$,અને $\alpha\beta\gamma = \frac{3}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = (\frac{5}{2})(2) - 3(\frac{3}{2})$
$= 5 - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -a = \frac{1}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = -\frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{37}{8} = (\frac{1}{2})^3 - 3b(\frac{1}{2})$
$\frac{37}{8} = \frac{1}{8} - \frac{3b}{2}$
$\frac{36}{8} = -\frac{3b}{2}$
$\frac{9}{2} = -\frac{3b}{2} \Rightarrow b = -3$.
છેલ્લે,$a-\frac{1}{b}$ ની ગણતરી કરતા:
$a-\frac{1}{b} = -\frac{1}{2} - (\frac{1}{-3}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{-3+2}{6} = -\frac{1}{6}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2 - 2x + k - 4 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\frac{1}{\alpha}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના ગુણધર્મ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = 4$,$b = -2$,અને $c = k - 4$ છે.
તેથી,$\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{k - 4}{4}$.
$1 = \frac{k - 4}{4}$.
$4 = k - 4$.
$k = 8$.

(A) આપેલ $x^2+ax+2=0$ માટે,$\alpha+\beta = -a$ અને $\alpha\beta = 2$ છે.
$x^2-bx+c=0$ માટે,બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ છે,તેથી $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = b$ અને $\frac{1}{\alpha\beta} = c = \frac{1}{2}$ છે.
હવે,પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$E = \left(\alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta}\right) \left(\alpha\beta - \frac{\alpha}{\beta} - \frac{\beta}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta}\right)$
$E = \left(2 + 2 + \frac{1}{2}\right) \left(2 + \frac{1}{2} - \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\right) = \frac{9}{2} \left(\frac{5}{2} - \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\right)$
$E = \frac{9}{2} \left(\frac{5}{2} - \frac{a^2-4}{2}\right) = \frac{9}{2} \left(\frac{5-a^2+4}{2}\right) = \frac{9}{4}(9-a^2)$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $4x^3 + 12x^2 - 7x + 165 = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{12}{4} = -3$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -\frac{7}{4}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{165}{4}$
આપણે બીજા સમીકરણના બીજનો ગુણાકાર શોધવાનો છે,જે $(\alpha + 5)(\beta + 5)(\gamma + 5)$ છે.
આ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\alpha + 5)(\beta + 5)(\gamma + 5) = \alpha\beta\gamma + 5(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + 25(\alpha + \beta + \gamma) + 125$
કિંમતો મૂકતા:
$= -\frac{165}{4} + 5(-\frac{7}{4}) + 25(-3) + 125$
$= -\frac{165}{4} - \frac{35}{4} - 75 + 125$
$= -\frac{200}{4} + 50$
$= -50 + 50 = 0$

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-5x^2-2x+24=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 5$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -2$
$\alpha\beta\gamma = -24$
આપણે પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે:
$E = \frac{\beta\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{\beta}+\frac{\alpha\beta}{\gamma}$
$E = \frac{(\beta\gamma)^2 + (\gamma\alpha)^2 + (\alpha\beta)^2}{\alpha\beta\gamma}$
નિત્યસમ $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$:
$E = \frac{(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\beta+\gamma+\alpha)}{\alpha\beta\gamma}$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(-2)^2 - 2(-24)(5)}{-24}$
$E = \frac{4 + 240}{-24} = \frac{244}{-24} = -\frac{61}{6}$

(B) આપેલ છે કે $\tan 15^{\circ}$ અને $\tan 30^{\circ}$ એ $x^2+px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$-p = \tan 15^{\circ} + \tan 30^{\circ}$ અને $q = \tan 15^{\circ} \tan 30^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ}-30^{\circ}) = 2-\sqrt{3}$.
હવે,$q = (2-\sqrt{3}) \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-3}{3}$.
અને $-p = (2-\sqrt{3}) + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$p = \frac{2-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.
આમ,$pq = \frac{10-6\sqrt{3}}{3}$.

(A) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3-4x^2-9x+36=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1) \alpha+\beta+\gamma = 4$
$2) \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -9$
$3) \alpha\beta\gamma = -36$
આપેલ છે કે $\alpha+\beta=0$,તેથી $(1)$ પરથી $\gamma=4$ મળે.
$(2)$ માં $\gamma=4$ મૂકતા: $\alpha\beta + 4(\alpha+\beta) = -9$. $\alpha+\beta=0$ હોવાથી,$\alpha\beta = -9$ મળે.
$\alpha+\beta=0$ હોવાથી,$\beta=-\alpha$. તેથી $\alpha(-\alpha) = -9 \Rightarrow \alpha^2 = 9$.
આમ,$\alpha^2=9$ અને $\beta^2=9$.
હવે,$\alpha^2+2\beta^2+3\gamma^2 = 9 + 2(9) + 3(4^2) = 9 + 18 + 3(16) = 27 + 48 = 75$.

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $5x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{5}$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{2}{5}$
$\alpha\beta\gamma = \frac{4}{5}$
આપણે $\sum \alpha^2 \beta^2 = \alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 = \sum \alpha^2\beta^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{2}{5})^2 = \sum \alpha^2\beta^2 + 2(\frac{4}{5})(\frac{3}{5})$
$\frac{4}{25} = \sum \alpha^2\beta^2 + \frac{24}{25}$
$\sum \alpha^2\beta^2 = \frac{4}{25} - \frac{24}{25} = -\frac{20}{25} = -\frac{4}{5}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ છે,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = -b$ $(i)$ અને $\alpha\beta = c$ (ii).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 = (-b)^2 - 2c$,જે આપણને $2c = b^2-5$ અથવા $c = \frac{b^2-5}{2}$ આપે છે.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2 - \alpha\beta)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $9 = (-b)(5 - c)$.
$c = \frac{b^2-5}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $9 = -b(5 - \frac{b^2-5}{2})$.
$9 = -b(\frac{10-b^2+5}{2}) = -b(\frac{15-b^2}{2})$.
$18 = -15b + b^3$,જેનું સાદું રૂપ $b^3 - 15b - 18 = 0$ થાય છે.
બીજ માટે ચકાસણી કરતા,જો $b=-3$ લઈએ: $(-3)^3 - 15(-3) - 18 = -27 + 45 - 18 = 0$. તેથી,$b=-3$ એક બીજ છે.
ત્યારબાદ $c = \frac{(-3)^2-5}{2} = \frac{9-5}{2} = 2$.
આમ,$b+c = -3+2 = -1$.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^3 + 3x^2 + kx + 12 = 0$ ના બીજ $r, -r,$ અને $t$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $r + (-r) + t = -3$ થાય,તેથી $t = -3$.
બીજનો ગુણાકાર $(r)(-r)(t) = -12$ થાય.
$t = -3$ મૂકતા,$(r)(-r)(-3) = -12$ મળે,જે $3r^2 = -12$ થાય છે.
જો સમીકરણ $x^3 + 3x^2 + kx - 12 = 0$ હોય,તો ગુણાકાર $12$ થાય.
તેથી $3r^2 = 12$ $\Rightarrow r^2 = 4$ $\Rightarrow r = 2, -2$.
બીજ $2, -2, -3$ છે.
બે-બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $k = (2)(-2) + (-2)(-3) + (-3)(2) = -4 + 6 - 6 = -4$ મળે.

(B) ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. આપેલ છે કે $\alpha+\beta=0$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta+\gamma = 7p$
$\alpha+\beta=0$ હોવાથી,આપણને $\gamma=7p$ મળે છે.
વળી,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 5q$
$\alpha\beta + \gamma(\alpha+\beta) = 5q$
$\alpha\beta + \gamma(0) = 5q \implies \alpha\beta = 5q$.
અંતે,$\alpha\beta\gamma = 6r$.
$\alpha\beta$ અને $\gamma$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(5q)(7p) = 6r$
$35pq = 6r \implies 5q = \frac{6r}{7p}$.

(A) ધારો કે $y = \frac{x}{x+1}$. તેથી $y(x+1) = x$ $\Rightarrow yx + y = x$ $\Rightarrow x(y-1) = -y$ $\Rightarrow x = \frac{y}{1-y}$.
આમ,$\frac{\alpha}{\alpha+1}$ અને $\frac{\beta}{\beta+1}$ એ $x^2+7x+3=0$ ના બીજ હોવાથી,$x = \frac{y}{1-y}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા $\alpha$ અને $\beta$ માટેનું સમીકરણ મળે છે:
$(\frac{y}{1-y})^2 + 7(\frac{y}{1-y}) + 3 = 0$
$(1-y)^2$ વડે ગુણતા:
$y^2 + 7y(1-y) + 3(1-y)^2 = 0$
$y^2 + 7y - 7y^2 + 3(1 - 2y + y^2) = 0$
$y^2 + 7y - 7y^2 + 3 - 6y + 3y^2 = 0$
$(1-7+3)y^2 + (7-6)y + 3 = 0$
$-3y^2 + y + 3 = 0$
$3y^2 - y - 3 = 0$.
આમ,$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ $3x^2-x-3=0$ છે.

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+a x^2-b x+c=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = -b$
$\alpha \beta \gamma = -c$
આપણે $\sum \beta^2(\gamma+\alpha) = \beta^2(\gamma+\alpha) + \gamma^2(\alpha+\beta) + \alpha^2(\beta+\gamma)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\sum \alpha^2(\beta+\gamma) = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (-a)(-b) - 3(-c) = ab + 3c$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3+px+q=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે,તેથી $\alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=p$,અને $\alpha\beta\gamma=-q$ મળે.
$\alpha^3+p\alpha+q=0$ હોવાથી,$\alpha^4 = -p\alpha^2-q\alpha$ મળે.
બધા બીજ માટે સરવાળો લેતા,$\sum \alpha^4 = -p\sum \alpha^2 - q\sum \alpha = -p(-2p) - 0 = 2p^2$.
આમ,$\sum \alpha^2\beta + \sum \alpha^4$ ની કિંમત $f(-1)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
$\alpha$ બીજ હોવાથી,$a\alpha^2+b\alpha+c=0$,જેનો અર્થ છે કે $a\alpha^2+b\alpha = -c$.
$\alpha$ સામાન્ય લેતા,$\alpha(a\alpha+b) = -c$,તેથી $a\alpha+b = -\frac{c}{\alpha}$.
તે જ રીતે,$\beta$ બીજ હોવાથી,$a\beta^2+b\beta+c=0$,જેનો અર્થ છે કે $a\beta^2+b\beta = -c$.
$\beta$ સામાન્ય લેતા,$\beta(a\beta+b) = -c$,તેથી $a\beta+b = -\frac{c}{\beta}$.
હવે,આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{\alpha}{a\beta+b}\right)^3 - \left(\frac{\beta}{a\alpha+b}\right)^3 = \left(\frac{\alpha}{-c/\beta}\right)^3 - \left(\frac{\beta}{-c/\alpha}\right)^3$
$= \left(-\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 - \left(-\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3$
$= -\left(\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 + \left(\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 = 0$.

(A) $2x^3+5x^2+5x+2=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{5}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{5}{2}$
$\alpha\beta\gamma = -1$
નવા બીજ $y = x+h$ લો,તેથી $x = y-h$. મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(y-h)^3+5(y-h)^2+5(y-h)+2 = 0$
$2y^3 + (5-6h)y^2 + (6h^2-10h+5)y + (-2h^3+5h^2-5h+2) = 0$
$a(h)x^3+b(h)x^2+c(h)x+d(h)=0$ સાથે સરખાવતા,$c(h)=6h^2-10h+5$ મળે છે.
$c(h)$ માટે વિવેચક $D = (-10)^2 - 4(6)(5) = 100 - 120 = -20 < 0$.
તેથી,$c(h) \neq 0$ દરેક $h \in R$ માટે.

(B) આપેલ છે કે $\sin 2 \theta$ અને $\cos 2 \theta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx-c=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $\sin 2 \theta + \cos 2 \theta = -b$ અને બીજનો ગુણાકાર $\sin 2 \theta \cos 2 \theta = -c$ થાય.
સરવાળાનો વર્ગ કરતા,$(\sin 2 \theta + \cos 2 \theta)^2 = (-b)^2$.
વિસ્તરણ કરતા,$\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta + 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta = b^2$.
નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + 2(\sin 2 \theta \cos 2 \theta) = b^2$.
બીજનો ગુણાકાર મૂકતા,$1 + 2(-c) = b^2$,જેનું સાદું રૂપ $b^2 + 2c - 1 = 0$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે સમીકરણ $x^3+b x^2+c x+d=0$ ના બીજો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma=-b$.
આપેલ શરત મુજબ,એક બીજ બાકીના બે બીજોના સરવાળા જેટલું છે,તેથી ધારો કે $\alpha=\beta+\gamma$.
આ કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha+\alpha=-b$,જેનો અર્થ છે કે $2\alpha=-b$ અથવા $\alpha=-\frac{b}{2}$.
$\alpha$ એ સમીકરણનું બીજ હોવાથી,તે $x^3+b x^2+c x+d=0$ નું સમાધાન કરશે.
$x=-\frac{b}{2}$ મૂકતા: $\left(-\frac{b}{2}\right)^3+b\left(-\frac{b}{2}\right)^2+c\left(-\frac{b}{2}\right)+d=0$.
$-\frac{b^3}{8}+\frac{b^3}{4}-\frac{b c}{2}+d=0$.
આખા સમીકરણને $8$ વડે ગુણતા: $-b^3+2b^3-4bc+8d=0$.
$b^3-4bc+8d=0$,જેનું સાદું રૂપ $b^3+8d=4bc$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha_1, \alpha_2$ એ $x^2+ax+1=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha_1+\alpha_2 = -a$ અને $\alpha_1\alpha_2 = 1$.
આપેલ છે કે $\alpha_3, \alpha_4$ એ $x^2+bx+1=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha_3+\alpha_4 = -b$ અને $\alpha_3\alpha_4 = 1$.
આપણે $E = (\alpha_1+\alpha_3)(\alpha_2+\alpha_3)(\alpha_1+\alpha_4)(\alpha_2+\alpha_4)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદોને ગોઠવતા,$E = [(\alpha_1+\alpha_3)(\alpha_2+\alpha_3)] \times [(\alpha_1+\alpha_4)(\alpha_2+\alpha_4)]$.
વિસ્તરણ કરતા,$E = (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_3(\alpha_1+\alpha_2) + \alpha_3^2) \times (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_4(\alpha_1+\alpha_2) + \alpha_4^2)$.
કિંમતો મુકતા,$E = (1 - a\alpha_3 + \alpha_3^2) \times (1 - a\alpha_4 + \alpha_4^2)$.
કારણ કે $\alpha_3$ એ $x^2+bx+1=0$ નું બીજ છે,$\alpha_3^2+b\alpha_3+1=0$,તેથી $\alpha_3^2+1 = -b\alpha_3$.
તે જ રીતે,$\alpha_4^2+1 = -b\alpha_4$.
તેથી,$E = (-b\alpha_3 - a\alpha_3) \times (-b\alpha_4 - a\alpha_4) = (-(a+b)\alpha_3) \times (-(a+b)\alpha_4)$.
આમ,$E = (a+b)^2 \alpha_3\alpha_4 = (a+b)^2(1) = (a+b)^2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^5-5x^3+5x^2-1=0$ છે.
બહુપદીના અવયવ પાડતા,આપણને $(x-1)^3(x^2+3x+1)=0$ મળે છે.
ત્રણ સમાન બીજ $x=1, 1, 1$ છે.
અન્ય બે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+3x+1=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -3$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a} = 1$.
તેથી,$\alpha+\beta+\alpha\beta = -3 + 1 = -2$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3-9x^2+26x-24=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે જ્યાં $\alpha = 2\beta$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$) $\alpha + \beta + \gamma = 9$ $\Rightarrow 3\beta + \gamma = 9$ $\Rightarrow \gamma = 9 - 3\beta$
$2$) $\alpha\beta\gamma = 24$ $\Rightarrow (2\beta)\beta\gamma = 24$ $\Rightarrow \beta^2\gamma = 12$
બીજા સમીકરણમાં $\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$\beta^2(9 - 3\beta) = 12$ $\Rightarrow 9\beta^2 - 3\beta^3 = 12$ $\Rightarrow \beta^3 - 3\beta^2 + 4 = 0$
આ ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(\beta + 1)(\beta - 2)^2 = 0$.
તેથી,$\beta = -1$ અથવા $\beta = 2$.
કિસ્સો $1$: જો $\beta = -1$,તો $\alpha = 2\beta = -2$. ઘનનો સરવાળો $\alpha^3 + \beta^3 = (-2)^3 + (-1)^3 = -8 - 1 = -9$.
કિસ્સો $2$: જો $\beta = 2$,તો $\alpha = 2\beta = 4$. ઘનનો સરવાળો $\alpha^3 + \beta^3 = 4^3 + 2^3 = 64 + 8 = 72$.
જેથી સાચો જવાબ $72$ છે.

(C) કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+5x+2=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha^2+5\alpha+2=0$ અને $\beta^2+5\beta+2=0$ થાય.
આના પરથી,$5\alpha+2 = -\alpha^2$ અને $5\beta+2 = -\beta^2$ મળે.
વળી,બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha+\beta = -5$ અને $\alpha\beta = 2$ થાય.
હવે,આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{\alpha}{2+5\alpha}\right)^2+\left(\frac{\beta}{2+5\beta}\right)^2 = \left(\frac{\alpha}{-\alpha^2}\right)^2+\left(\frac{\beta}{-\beta^2}\right)^2$
$= \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}$
$= \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$
$= \frac{(-5)^2-2(2)}{(2)^2} = \frac{25-4}{4} = \frac{21}{4}$.

(C) આપેલ છે કે,$\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2+2x+c=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો,$\alpha+\beta = -\frac{2}{1} = -2$.
બીજનો ગુણાકાર,$\alpha\beta = \frac{c}{1} = c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta)$.
આને $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta]$ તરીકે લખી શકાય.
$\alpha^3+\beta^3 = 4$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$(-2)[(-2)^2 - 3c] = 4$.
$(-2)[4-3c] = 4$.
$4-3c = -2$.
$-3c = -6$.
$c = 2$.

(D) આપેલ છે કે,$x_1$ અને $x_2$ એ સમીકરણ $x^2-kx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
$x_1+x_2 = k$
$x_1x_2 = c$
બિંદુઓ $A(x_1, 0)$ અને $B(x_2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $|x_2-x_1|$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_2-x_1)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$.
કિંમતો મૂકતા:
$(x_2-x_1)^2 = k^2 - 4c$.
તેથી,અંતર $|x_2-x_1| = \sqrt{k^2-4c}$ થાય.

(A) પ્રથમ,$A$,$C$,અને $D$ ની કિંમતો શોધો:
$A = \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| = 1$.
$C = -1$.
$D = -2$.
સમીકરણ $x^3 + Bx^2 - x + 2 = 0$ માં કિંમતો મૂકતા.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -B$ છે.
$\alpha + \beta = 0$ હોવાથી,$\gamma = -B$.
તેથી,$(-B)^3 + B(-B)^2 - (-B) + 2 = 0$.
$-B^3 + B^3 + B + 2 = 0 \Rightarrow B = -2$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+(\sqrt{3}+2)x+(\sqrt{3}-1)=0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$m_1+m_2 = -(\sqrt{3}+2)$
$m_1m_2 = \sqrt{3}-1$
બીજનો તફાવત:
$|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2 - 4m_1m_2} = \sqrt{11}$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(c/m_1, c)$ અને $(c/m_2, c)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{c^2}{2} |\frac{m_2-m_1}{m_1m_2}| = \frac{c^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}-1} = \left(\frac{\sqrt{33}+\sqrt{11}}{4}\right)c^2$.

(D) આપેલ છે કે,$\alpha+\beta=-2$ અને $\alpha^3+\beta^3=-56$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = -56$.
$\alpha+\beta = -2$ મૂકતા,$-2(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = -56$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta = 28$.
વળી,$(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta = (-2)^2 = 4$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta) - (\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = 4 - 28$.
$3\alpha\beta = -24$,તેથી $\alpha\beta = -8$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-2)x + (-8) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2+2x-8=0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3-6x^2+11x+6=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = 11$
$\alpha \beta \gamma = -6$
આપણે $\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નોંધો કે $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) = (\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2) + 3 \alpha \beta \gamma$
તેથી,$\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2 = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$
$= (6)(11) - 3(-6)$
$= 66 + 18 = 84$.

(D) ધારો કે $x^3-13x^2+15x+189=0$ સમીકરણના બીજ $\alpha, \alpha+2, \beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1) \alpha + (\alpha+2) + \beta = 13 \implies 2\alpha + \beta = 11 \implies \beta = 11 - 2\alpha$.
$2) \alpha(\alpha+2) + (\alpha+2)\beta + \alpha\beta = 15$.
$3) \alpha(\alpha+2)\beta = -189$.
$\beta = 11 - 2\alpha$ ને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\alpha(\alpha+2)(11-2\alpha) = -189$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો બીજ $-3, 7, 9$ હોય તો:
સરવાળો: $-3 + 7 + 9 = 13$ ($x^2$ ના સહગુણક સાથે મેળ ખાય છે).
ગુણાકાર: $(-3) \times 7 \times 9 = -189$ (અચળ પદ સાથે મેળ ખાય છે).
$7$ અને $9$ વચ્ચેનો તફાવત $2$ છે.
આમ,બીજ $-3, 7, 9$ છે.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-10x^2+7x+8=0$ છે,જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -(-10)/1 = 10$ ($A$-$5$)
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 7/1 = 7$
$\alpha\beta\gamma = -8/1 = -8$
$B$ માટે: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (10)^2 - 2(7) = 100 - 14 = 86$ ($B$-$3$)
$C$ માટે: $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{7}{-8} = -\frac{7}{8}$ ($C$-$2$)
$D$ માટે: $\frac{\alpha}{\beta\gamma}+\frac{\beta}{\gamma\alpha}+\frac{\gamma}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\alpha\beta\gamma} = \frac{86}{-8} = -\frac{43}{4}$ ($D$-$1$)
આમ,સાચી જોડી $A-5, B-3, C-2, D-1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha+\beta = -b$
વળી,$\alpha+h$ અને $\beta+h$ એ સમીકરણ $x^2+qx+r=0$ ના બીજ છે.
તેથી,આ બીજનો સરવાળો:
$(\alpha+h) + (\beta+h) = -q$
$(\alpha+\beta) + 2h = -q$
$\alpha+\beta = -b$ ની કિંમત મૂકતા:
$-b + 2h = -q$
$2h = b - q$
$h = \frac{1}{2}(b-q)$

(A) આપેલ ઘન સમીકરણ $5x^3 - 2x - 4 = 0$ છે.
$\alpha, \beta, \gamma$ એ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$5\alpha^3 = 2\alpha + 4$,$5\beta^3 = 2\beta + 4$,$5\gamma^3 = 2\gamma + 4$
સરવાળો કરતા:
$5(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) = 2(\alpha + \beta + \gamma) + 12$
બીજ અને સહગુણકોના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = 0$.
તેથી,$5(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) = 12$
$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = \frac{12}{5}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-4}{x^2-5x-2k} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k} = \frac{2(x+k) - (x-2)}{(x-2)(x+k)} = \frac{2x + 2k - x + 2}{(x-2)(x+k)} = \frac{x + 2k + 2}{x^2 + (k-2)x - 2k}$.
બંને બાજુના છેદની સરખામણી કરતા,$x^2 - 5x - 2k = x^2 + (k-2)x - 2k$,જે દર્શાવે છે કે $k-2 = -5$,તેથી $k = -3$.
અંશની સરખામણી કરતા,$x-4 = x + 2k + 2$,જે દર્શાવે છે કે $-4 = 2k + 2$,તેથી $2k = -6$,જે $k = -3$ આપે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^3 + \frac{a}{2}x + b = 0$. બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma = 0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{a}{2}$,અને $\alpha\beta\gamma = -b$.
બીજા સમીકરણના બીજ $y_1, y_2, y_3$ છે.
ગણતરી કરતા,$K = \frac{3a}{2}$ અને $L = -27b^2$ મળે છે.
તેથી $\frac{L}{K} = \frac{-27b^2}{3a/2} = -\frac{18b^2}{a}$.
વિકલ્પ મુજબ જવાબ $\frac{18b^2}{a}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{2}$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{5}{2}$
$\alpha \beta \gamma = \frac{7}{2}$
આપણે $\sum \alpha^2 \beta^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \alpha \beta, b = \beta \gamma, c = \gamma \alpha$:
$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + 2(\alpha \beta^2 \gamma + \beta \gamma^2 \alpha + \gamma \alpha^2 \beta)$
$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = \sum \alpha^2 \beta^2 + 2 \alpha \beta \gamma(\beta + \gamma + \alpha)$
કિંમતો મૂકતા:
$(\frac{5}{2})^2 = \sum \alpha^2 \beta^2 + 2(\frac{7}{2})(\frac{3}{2})$
$\frac{25}{4} = \sum \alpha^2 \beta^2 + \frac{21}{2}$
$\sum \alpha^2 \beta^2 = \frac{25}{4} - \frac{42}{4} = -\frac{17}{4}$